Численное моделирование замерзания воды с растворенным газом в замкнутых объемах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Самылова, Юлия Андреевна

• Самылова, Юлия Андреевна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Самылова, Юлия Андреевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЗАДАЧИ С ФАЗОВЫМИ ПРЕВРАЩЕНИЯМИ И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1. Задачи теплопроводности с фазовыми переходами.

1.2. Методы исследования классической задачи Стефана.

1.3. Факторы, определяющие условия фазового перехода. Термодиффузионные задачи.

1.4. Краткие сведения о растворимости газов вводе.

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ТЕРМОДИФФУЗИОННЫХ ЗАДАЧ С ФАЗОВЫМИ ПРЕВРАЩЕНИЯМИ НА СВЯЗАННЫХ ПОДВИЖНЫХ СЕТКАХ.

2.1 Численное решение задачи Стефана с переменной температурой фазового перехода.

2.1.1. Постановка задачи и её безразмерный вид.

2.1.2. Тождества интегрального баланса.

2.1.3. Расчетная сетка и схема численного решения.

2.1.4. Апробация численного алгоритма.

2.2 Численное решение термодиффузионной задачи с фазовым переходом.

2.2.1. Задача о затвердевании газонасыщенной среды.

2.2.2. Особенности численного решения.

2.2.3. Результаты тестовых расчетов.

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ЗАМЕРЗАНИЯ ВОДЫ С РАСТВОРЕННЫМ ГАЗОМ В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ.

3.1. Математическая модель замерзания газосодержащей воды в замкнутом объеме.

3.1.1. Уравнение роста давления в замерзающем объеме. Предварительные оценки.

3.1.2. Полная постановка задачи о замерзании воды с растворенным газом в замкнутом объеме.

3.1.3. Безразмерная формулировка задачи.

3.2. Алгоритм численного решения задачи, его программная реализация и апробация.

3.2.1. Итерационная процедура расчета временного шага.

3.2.2. Программная реализация исследуемой математической модели.

3.2.3. Тестирование алгоритма и подбор параметров расчетной сетки.

3.3. Результаты численного моделирования.

3.3.1. Замерзание сферического объема воды (сопоставление с экспериментом).

3.3.2. Исследование влияния интенсивности газовыделения.

3.3.2. Зависимость динамики роста давления от условий охлаждения и формы объема.

3.3.3. Интенсивность роста давления при разной растворимости газа и начальном давлении в объеме.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование замерзания воды с растворенным газом в замкнутых объемах»

Актуальность темы. В условиях холодного климата замерзание водо-содержащих сред часто приводит к негативным для функционирования различных технических и промышленных систем последствиям. Так, замерзание воды в замкнутых полостях, например скважинах или системах водоснабжения, сопровождается их закупоркой, а так же деформациями или разрывами труб. Эти проблемы связаны с тем, что при замерзании воды в замкнутом объёме происходит интенсивный рост давления в жидкой фазе, являющийся следствием разности плотностей, а так же слабой сжимаемости воды и льда. Таким образом, при соответствующих расчетах необходимо учитывать изменение температуры фазового перехода с ростом давления.

В действительности, динамика замерзания воды в замкнутом объёме имеет более сложный характер, так как необходимо дополнительно учитывать наличие в замерзающем объеме газа, как в растворенном состоянии, так и в виде свободной фазы. Известно, что водные среды даже при атмосферных условиях содержат достаточное количество растворенного воздуха. В других условиях газонасыщенность замерзающего объема может быть более высокой (повышенное начальное давление в объеме, содержание легко растворимых газов, таких как углеводородный, углекислый и др.).

Отторжение растворенного газа при образовании льда в незамерзшую область повлечет его диффузию и выделение в свободную фазу при превышении равновесного значения. Появление в системе свободного газа будет приводить к резкому увеличению сжимаемости среды, а следовательно и к иной динамике замерзания, чем без учёта указанного фактора. В то время как учет температуры замерзания от давления является стандартным элементом математических моделей, анализ влияния растворенного газа на условия замерзания замкнутых масс в известных математических моделях не встречается.

Включение фактора растворенного воздуха в модель замерзания замкнутого объема приводит к термодиффузионной задаче с фазовым переходом. Нетривиальность её постановки в данном исследовании состоит в учете возможного выделения газа из перенасыщенного раствора. При этом возникает сложная нелинейная зависимость между скоростью замерзания и интенсивностью выделяемого газа, связываемая через уравнение для роста давления, определяющегося обоими указанными факторами. Решение возникающей системы нелинейных уравнений теплообмена и диффузии с подвижной границей аналитически невозможно, а численное интегрирование требует дополнительных усилий для разработки эффективного и надежного вычислительного алгоритма.

Поэтому, актуальность представленной работы обусловлена как необходимостью построения и исследования адекватных математических моделей для имеющих важное практическое значение процессов замерзания водных сред в замкнутых объемах, так и требованиями развития алгоритмов численного решения задач совместного тепломассопереноса с фазовыми превращениями.

Целью работы являлось численное моделирование процесса замерзания газонасыщенной жидкости в замкнутом объеме для количественной оценки степени влияния растворенного газа на процесс замерзания и динамику роста давления в замерзающем объеме.

Основными задачами работы являлись:

1. разработка математической модели замерзания замкнутых объемов воды, учитывающей влияние выделения растворенного газа на динамику роста давления;

2. разработка и программная реализация численного алгоритма для исследования предложенной модели;

3. апробация математической модели и разработанного алгоритма на модельных задачах и экспериментальных данных;

4. численное исследование влияния исходных и внешних условий на динамику роста давления в замерзающем объеме.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. предложена математическая модель замерзания воды с растворенным газом в замкнутом объеме, которая учитывает изменение сжимаемости среды вследствие выделения газа;

2. разработаны и апробированы алгоритм и программа численного решения поставленной новой термодиффузионной задачи с фазовым переходом вода-лед;

3. выявлен ряд закономерностей динамики замерзания и роста давления в замкнутых объемах, которые не воспроизводятся моделями, не учитывающими фактор растворенного газа.

Обоснованность и достоверность положений, выводов и результатов, защищаемых в диссертации, обеспечиваются использование основных законов сохранения, принципов математического описания процессов теплообмена и диффузии, подтвержденных экспериментально физических законов. Алгоритм численного решения и программное обеспечение проверены на тестовых задачах, а полученные решения сопоставлены с результатами экспериментов.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты численного исследования замерзания газонасыщенной жидкости в замкнутом объеме позволяют более точно прогнозировать динамику протекания данного процесса, в частности интенсивность роста давления в объеме. Их анализ приводит к формулировке ряда новых практически значимых выводов.

Для решения задачи разработан, реализован в виде программного обеспечения и апробирован на тестах численный метод с подвижными расчетными сетками, привязанными к значениям рассчитываемых полей температуры и концентрации. Разработанные алгоритмы и программное обеспечение могут быть использованы для научно-технических расчетов исследования аналогичных процессов.

Апробация работы. Основные положения и результаты исследований по теме диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции XIII International Conference on the Methods of Aerophysical Research (Новосибирск, 2007); на VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007); на IV, V, VII конференциях «Наука и инновации XXI века: Открытая окружная конференция молодых ученых» (Сургут, 2003, 2004, 2006); на Региональном конкурсе научных студенческих работ (Тюмень, 2004); на VIII и IX научных конференциях преподавателей, аспирантов и соискателей СурГПУ (Сургут, 2004, 2005); на научно-исследовательском семинаре под руководством профессора В.Н. Кутрунова при ТюмГУ (Тюмень, 2010); на научных семинарах аспирантов и соискателей СурГПУ «Численное моделирование процессов тепломассопереноса» (Сургут); на научно-методических семинарах кафедры высшей математики информатики СурГПУ (Сургут).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы, содержащего 109 наименований, и приложения. Работа содержит 37 рисунков и 12 таблиц. Полный объем диссертации составляет 115 страниц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Самылова, Юлия Андреевна

Основные результаты, полученные в ходе выполнения диссертационного исследования, могут быть сформулированы следующими положениями.

1. Предложена новая модель замерзания воды с растворенным газом в замкнутом объеме на основе системы дифференциальных уравнений, учитывающей теплообмен с фазовым переходом, диффузию растворенного газа и его выделение из перенасыщенного раствора, влияние последнего фактора на изменение давления в замкнутом объеме.

2. Для решения задачи совместного теплообмена и диффузии растворенного газа разработан и реализован численный метод с подвижными расчетными сетками, привязанными к значениям рассчитываемых полей.

3. Проведено сопоставление результатов моделирования с экспериментальными данными, показавшее их достаточное согласование.

4. Выполнено численное исследование процесса замерзания газонасыщенной водной среды в замкнутом объеме. На его основе выявлен ряд новых физических закономерностей, являющихся следствием наличия растворенного газа и возможности его выделения в свободную фазу. В частности:

- показано, что при условиях создающих более интенсивное газовыделение из раствора происходит снижение темпов роста давления и образуется больший объем льда к моменту наступления термодинамического равновесия;

- обнаружен эффект влияния граничных условий на динамику роста давления, заключающийся в зависимости скорости роста давления от интенсивности охлаждения;

- выявлен разнонаправленный характер данной зависимости в случае поддержания на поверхности охлаждения постоянной температуры и при режиме конвективного охлаждения;

- показано, что динамика роста давления зависит не только от объема образовавшегося льда, но и от формы замерзающего объема: для одинаковой доли замерзшего объема более медленная скорость роста давления наблюдается для плоского тела, наибольшая - для сферического;

- даны оценки величины начальной концентрации растворенного газа, необходимой для исключения возникновения больших давлений вплоть до окончания процесса замерзания; показано, что насыщение воды газом при повышенном давлении приводит к большей интенсивности его последующего роста.

Таким образом, итоговый результат диссертационной работы состоит в разработке, программной реализации и численном исследовании новой компьютерной модели замерзания водной среды с растворенным газом в замкнутом объеме. Выполненное исследование выявило ряд новых закономерностей развития процесса, которые не воспроизводятся более простыми моделями, не учитывающими эффекты выделения газа в свободное состояние

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Самылова, Юлия Андреевна, 2010 год

1. Авдонин H.A. Математическое описание процессов кристаллизации: — Рига: Зинатне, 1980. 178 с.

2. Албу А.Ф., Горбунов В.И., Зубов В.И; Оптимальное управление процессом плавления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. - Т. 40. - № 4. - С. 517-531.

3. Александров Д.В., Иванов A.A., Малыгин А.П. Автомодельное затвердевание с двухфазной зоной от охлаждаемой стенки // Вестник удмурд-ского университета: Физика, химия. 2008. - Вып. 1. - С. 14-25.

4. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т. Т.1: Пер. с англ. -М.: Мир, 1990. 384 с.

5. Бреславский П.В., Мажукин В.И. Алгоритм численного решения гидродинамического варианта задачи Стефана при помощи динамически адаптирующихся сеток // Математическое моделирование. 1991. -Том 3.-№10.-С. 105-115.

6. Будак Б.М., Васильев Ф.П. Успенский А.Б. Разностные методы решения некоторых краевых задач типа Стефана // Численные методы в газовой динамике. Вып. IV. М.: Изд-во МГУ. - 1965. - С. 139-183.

7. Будак Б.М., Гольдман Н.Л., Егорова А.Т., Успенский А.Б. Метод выпрямления фронтов для решения задач типа Стефана в многомерном случае // Вычислительные методы и программирование. Вып. VIII. -М.: Изд-во МГУ. 1967. - С. 103-120.

8. Будак Б.М., Гольдман Н.Л., Успенский А.Б. Разностные схемы с выпрямлением фронтов для решения многофронтовых задач типа Стефана // Вычислительные методы и программирование. Вып. VII. М.: Изд-во МГУ. - 1967. - С. 206-216.

9. Будак Б.М., Соловьева E.H., Успенский А.Б: Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задач Стефана // Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. 1965. - Т.5. - № 5. - С. 828-840.

10. Бурже Ж.П., Сурио М., Комбарну М. Термические методы повышения нефтеотдачи пластов. — М.: Недра, 1988. 422 с.

11. Васильев В.И. Численная реализация моделей замораживания водона-сыщенного грунта // Математическое моделирование. 1995. — Т. 7. -№8.-С. 91-104.

12. Васильев В.И., Попов В.В. Численное решение задачи промерзания грунта // Математическое моделирование. 2008. - Т. 20. - №7. -С. 119-128.

13. Васильев Ф.П., Успенский А.Б. Разностный метод решения двухфазной задачи Стефана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1963. — Т. 3 - № 5. - С. 874-886.

14. Гегузин Я.Е., Дзюба A.C. Выделение газа, формирование и выделение газовых пузырьков на фронте кристаллизации из расплава// Кристаллография. 1977. - Т. 22. - № 2. - С. 348-353.

15. Герасимов Я. И., Древинг В. П., Еремин Е. Н. Курс физической химии. Т. 1.-М.: Химия, 1970.-624 с.

16. Гётц И.Г., Мейрманов A.M. Обобщенное решение задачи Стефана с кинетическим переохлаждением. // Сибирский журнал индустриальной математики. 2000. - Т. 3. - №1(5). - С. 66-87.

17. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 392 с.

18. Гофман Ю.В. Законы, формулы, задачи физики. Справочник. Киев: Науковая думка, 1977. - 576 с.

19. Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена / В сб.: Проблемы теплообмена. М.: Атомиздат, 1967. - С. 75-90.

20. Данилюк И.И. О задаче Стефана // Успехи математических наук. — 1985. Т. 40. - № 5 (245). - С. 133-185.

21. Данилюк И.И. Об одной квазистационарной задаче типа Стефана. // Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теориифункций JI.: Наука, Ленинград, отд. - 1979. - №84. - С. 26-34.

22. Дарьин H.A., Мажукин В.И. Математическое моделирование нестациоiнарных двумерных краевых задач на сетках с динамической адаптацией // Математическое моделирование. 1989. — Т. 1. - №3. - С. 29-43.

23. Дубина М.М. Тепловое и механическое взаимодействие инженерных сооружений с мерзлыми грунтами / Дубина М.М., Красовицкий Б.А., Лозовский A.C., Попов Ф.С. Новосибирск: Наука, 1977. - 144 с.

24. Ентов В.М. Максимов A.M. К задаче о замерзании раствора соли // Инж.-физ. журн. 1986. - Т. 51. - № 5. - С. 817-821.

25. Ершов Э.В. Общая геокриология. Учебник. М.: Изд-во МГУ, 2002. -682 с.

26. Зенин Г.С., Пенкина Н.В., Коган В.Е. Физическая химия. Ч.З. Фазовые равновесия и учение о растворах: Учебное пособие. — СПб.: Изд-во СЗТУ, 2005.- 119 с.

27. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М: Мир, 1986.-312 с.

28. Иванов И.Э., Крюков И.А. Методы динамической адаптации расчетных сеток // Математическое моделирование. 2005. - Т. 17. - № 8. -С. 121-128.

29. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

30. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. -488 с.

31. Кикоин А.К., Кикоин И.К. Молекулярная физика. М.: Наука, 1976. -480 с.

32. Кириллин В.А., Шейндлин А.Е., Шпильрайн Э.Э. Термодинамика растворов. М.: Энергия, 1979. - 288 с.

33. Кнорре Д.Г., Крылова Л.Ф., Музыкантов B.C. Физическая химия. М.: Высш. шк., 1990. - 416 с.

34. Коган В.Б., Огородников С.К., Кафаров В.В. Справочник по растворимости. (В 3-х тт.): Т.З. Тройные и многокомпонентные системы, образованные неорганическими веществами. M.-JL: Изд-во Акад. наук, 1970.-1219 с.

35. Краткий справочник физико-химических величин / Под ред. A.A. Равеля и A.M. Пономаревой. JL: Химия, 1983. - 232 с.

36. Кудряшов Б.Б., Чистяков В.К., Литвиненко B.C. Бурение скважин в условиях изменения агрегатного состояния горных пород. Л.: Недра, 1991.-295 с.

37. Лидин Р. А., Андреева Л. Л., Молочко В. А. Справочник по неорганической химии. М.: Химия, 1987. - 320 с.

38. Лебедев A.C., Лисейкин В.Д., Хакимзянов Г.С. Разработка методов построения адаптивных сеток // Вычислительные технологии. 2002. -Т. 7. № 3. - С. 29-43.

39. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. Издание второе дополненное и переработанное. М.: Государственное издательство физико-химической литературы, 1959. - 700 с.

40. Лейбензон Л.С. К вопросу об отвердевании земного шара из первоначального расплавленного состояния. М.: Известия АН СССР, Серия: География и геофизика. - 1939. — № 6. — 433 с.

41. Лейбензон Л.С. Собрание трудов. Т.2. М.: Изд-во АН СССР, 1953. -С. 317-357.

42. Лейбензон Л .С. Собрание трудов. Т.З. М.: Изд-во АН СССР, 1955. -С. 435-439.

43. Любов Б.Я. Кинетическая теория фазовых превращений. М.: Металлургия, 1969.-265 с.

44. Любов Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах. М.: Наука, 1975.-256 с.

45. Лыков A.B. Теория теплопроводности. М.: Высш. шк., 1967. - 599 с.

46. Мажукин В.И., Такоева Л.Ю. Принципы построения динамически адаптирующихся к решению сеток в одномерных краевых задачах // Математическое моделирование: Вычислительные алгоритмы и методы. 1990. - Т. 2. - № 3. - С. 101-118.

47. Медведский Р.И. Влияние давления водной фазы на процессы промерзания и протаивания поровой влаги в крупнодисперсных средах // ИФЖ. 1986. - Т.50. - № 5. - С. 780-786.

48. Медведский Р.И. Строительство и эксплуатация скважин на нефть и газ в вечномерзлых породах. М.: Наука, 1987. - 232 с.

49. Медведский Р.И., Сигунов Ю.А. Метод численного решения одномерных многофронтовых задач Стефана // ИФЖ. 1990. - Т.58. - № 4. -С. 681-689.

50. Медведский Р.И., Сигунов Ю.А. О решении одномерных нелинейных задач теплопроводности на изотермической сетке // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. - Т. 29. - № 11. - С. 1742-1746.

51. Медведский Р.И., Сигунов Ю.А. Метод решения внутренней двухфазной задачи Стефана с нелинейным граничным условием // Теплофизика высоких температур. 1990. - Т. 28. - №2. - С. 291-300.

52. Медведский Р.И., Сигунов Ю.А. Численное моделирование повторяющихся тепловых воздействий на толщу мерзлых пород // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1988. - № 21. - Вып. 6. - С. 72-79.

53. Мейрманов A.M. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986. - 239 с.

54. Мейрманов A.M. О классическом решении многомерной задачи Стефана для квазилинейных параболических уравнений. // Математический сборник. 1980. -№ 2(6). - С. 180-192.

55. Меламед В.Г. Сведения задачи Стефана к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Известия АН СССР, Серия: Геофизика. 1958.-№ 7. - 132 с.

56. Мюнстер А. Химическая термодинамика. М.: Едиториал, УРСС, 2002. - 296 с.

57. Намиот А.Ю. Растворимость газов в воде: Справочное пособие. — М.: Недра, 1991.- 167 с.

58. Несис Е.И. Методы математической физики. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1997. - 199 с.

59. Олейник O.A. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типа с разрывными коэффициентами // Известия Академии Наук СССР. Серия математическая. 1961. - № 25. - С.3-20.

60. Олейник O.A. Об одном методе решения общей задачи Стефана // Доклады АН СССР. 1960. - Т. 135. - № 5. - С. 1054-1057.

61. Рид. Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей: Справочное пособие / Пер. с англ. под ред. Б.И. Соколова. JI.: Химия, 1982. 592 с. - Нью-Йорк, 1977.

62. Рубинштейн Л.И. К вопросу о численном решении интегральных уравнений задачи Стефана // Известия высших учебных заведений. Математика. -1958. №4(5) - С. 202-214.

63. Рубинштейн Л.И. О решении задачи Стефана. М.: Известия АН СССР, Серия: География и геофизика. - 1947. - № 1.

64. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. Рига: Звайгзне, 1967. — 458 с.

65. Савельев И. В. Курс общей физики. В 3 томах. Том 1. Механика. Молекулярная физика. Учебное пособие. -М.: Изд-во ЛАНЬ, 2007. 528 с.

66. Самарский A.A. Теория разностных схем. — 3-е изд., испр. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 616 с.

67. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача М.: Едиториал УРСС, 2003. - 784 с.

68. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы: Учебное пособие для* вузов. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 432 с.

69. Самарский A.A., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1965-Т. 5.-№5.-С. 816-827.

70. Сигунов Ю.А. Метод изопотенциальных сеток для задач тепломассо-переноса при фазовых превращениях // Сб. науч. тр. Сургут: Сургутский государственный университет, 1998. - № 4. - С 54-61.

71. Сигунов Ю.А. Методы решения классической задачи Стефана Сургут: РИО Сургутского государственного педагогического университета, 2009. - 140с.

72. Сигунов Ю.А., Самылова Ю.А. Динамика роста давления при замерзании замкнутого объема воды с растворенным газом // Прикладная механика и техническая физика. 2006. - Т. 47. — №6. - С. 85-92.

73. Стригоцкий C.B. Основы управления качеством строительства скважин в многолетних породах. М.: ВНИИОЭНГ, 1991. - 179 с.

74. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. 7-е изд. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - 798 с.

75. Тихонов А.Н., Швидковский Е.Г. К теории непрерывного слитка. // Журн. техн. физики. 1947. - Т. 17. - № 2. - С. 161-176.

76. Федорченко А.И., Чернов A.A. Аналитические решения задачи о вытеснении растворенного в расплаве газа плоским и сферическим фронтами кристаллизации. // Прикладная механика и техническая физика. -2003. -№ 1.-С. 131-136.

77. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. В 2-х томах: Т. 1. М.: Мир, 1991. - 504 с.

78. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. М.: Мир, 1988.-352 с.

79. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 536 с.

80. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. - 428 с.

81. Чарный И.А. О продвижении границы изменения агрегатного состояния при охлаждении и нагревании тел // Известия АН СССР. Отд. тех-нич. наук. 1948. -№ 2. - С. 187-202.

82. ТТТи Д. Численные методы в задачах теплообмена. М.: Мир, 1988 -544 с.

83. Bari S.A., Hallett J. Nucleation and growth of bubbles at an ice-water interface // Journal of Glaciology. 1974. - Vol. 13. - № 69. - P. 489-520.

84. Bianchi M.V.A., Viskanta R. The Effect of Air Bubbles on the Diffusion-Controlled Solidification of Water and Aqueous Solutions of Ammonium Chloride // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1999. - № 42. - P. 1097-1110.

85. Bonnerot R., Jamet P. A second order finite element method for the one-dimensional Stefan problems // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1974. -Vol. 8. -P. 811-820.

86. Cannon J.R., Hill C.D., Existence, uniqueness, stability and monotone dependence in a Stefan problem for the heat equation // J. Math. Mech. 1967. -Vol. 17.-№ l.-P. 1-19.

87. Chawla T.C., Pedersen D.R., Leaf, G., Minkowycz W.J., Shouman, A.R. Adaptive collocation method for simultaneous heat and mass diffusion with phase change // J. Heat Transfer. 1984. - V. 106. - № 3. P. 491-497.

88. Conti M. Planar solidification of a finite slab: effects of the pressure dependence of the freezing point // Int. J. Heat Mass Transfer. 1995. - Vol. 38. -P. 65-70.

89. Evans G.W., Isaacson E., Mac Donald J.K.L. Stefan-like problems // Quart. Appl. Math. 1950. - Vol. 8. - № 3. - P. 312-319.

90. Fedorov A.G., Viskanta R. Gas diffusion in closed-cell foams // Journal of Cellular Plastics. 2000. - Vol. 36. - № 6. - P. 451-474.

91. Felvarch E., Bergheau J.M., Leblond J.B. An implicit finite element algorithm for the simulation of diffusion with phase changes in solids // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2009. — V. 78. -P. 1492-1512.

92. Grange B.W., Viskanta R., Stevenson W.H. Diffusion of heat and solute during freezing of salt solutions // Int. J. Heat Mass Transfer. 1976. - Vol. 19. - P. 373-384.

93. Hanzawa E.-I., Classical solutions of the Stefan problem // Tohoku Mathematical Journal. 1981. - Vol. 33. - № 3. - P. 297-335.

94. Kinderlehrer D. Variational inequalities and free boundary problems // Bulletin of the American mathematical society. 1978. - V.84. - №1. - P. 7-26.

95. Monaghan J.J., Huppert H.E., Worster M.G. Solidification using smoothed particle hydrodynamics // Journal of Computational Physics. 2005. - Vol. 206. - P. 684-705.

96. Murray W.D., Landis F. Numerical and machine solutions of transient heat conduction problems involving melting or freezing // J. Heat Transfer. -1959. Vol. 81. - P. 106-112.

97. O'neill K., Lynch D.R. A finite element solutions for freezing problems using a continuously deforming coordinate system // Numerical Methods in Heat Transfer / Ed. By R.W. Lewis, K. Morgan and O.C. Zienkiewicz. -New-York: Wiley, 1981. P. 215-232.

98. Pena J.A., De Pena R.G., Hosier C.L. Freezing of water in equilibrium with different gases // Journal of the atmospheric science. 1969. - Vol. 26. -P.309-314.

99. Sugawara M., Seki N., Kimoto K. Freezing limit of water in a closed circular tube // Berlin: Heidelberg. Heat and Mass Transfer. 1983. - Vol. 17. - № 3.-P. 187-192.

100. Sychevskii V.A. Calculation of stresses and strains in a spherical volume filled with water caused by its freezing // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2007. - Vol. 80. - № 4. - P. 820-827.

101. Thompson J.F., Warsi Z.U.A., Mastin C.W. Numerical Grid Generation. Foundations and Applications. North-Holland: Prentice Hall Professional Technical, 1985 - 330 p.

102. Visagie P.J. Pressures inside freezing water drops // Journal of Glaciology. -1969. Vol. 8. - № 53. - P. 301-309.