Численное моделирование сердечно-сосудистой и дыхательной систем организма человека с учетом их взаимодействия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Симаков, Сергей Сергеевич

• Симаков, Сергей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Симаков, Сергей Сергеевич

Введение

ГЛАВА 1. Обзор моделей

ГЛАВА 2. Модель глобального кровотока

2.1. Задача о динамике кровотока в одном сосуде.

2.2. Постановка граничных условий для задачи о замкнутом кровотоке.

2.3. Задача о динамике кровотока в сердце.

2.4. Численная реализация задачи о динамике глобального кровотока.

ГЛАВА 3. Модель движения воздуха в легких

3.1. Задача о движении воздуха в проводящей зоне легких.

3.2. Задача о движении воздуха в альвеолярном объеме легких.

3.3. Модель переноса веществ и газообмен с кровью.

3.4. Численная реализация задачи о движении воздуха в легких.

ГЛАВА 4. Результаты

4.1. Идентификация параметров и структуры сети кровеносных сосудов и трахейно-бронхиального дерева.

4.2. Локальные эффекты при кровопотере на примере общей сонной артерии человека.

4.3. Глобальное влияние кровопотери на системный кровоток.

4.4. Особенности ретинального кровотока при кровопотере и стенозе внутренней сонной артерии.

4.5. Моделирование нарушений сердечной функции

4.6. Перенос веществ в организме человека

4.7. Исследование резонансных свойств альвеолярного объема.

4.8. Исследование резонансных свойств трахейно-бронхиального дерева

4.9. Исследование резонансных свойств легочного круга кровообращения

4.10. Анализ влияния акустических воздействий на процессы аспирации и конвективно-диффузионного переноса веществ дыхательной и кровеносной системами.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование сердечно-сосудистой и дыхательной систем организма человека с учетом их взаимодействия»

В диссертационной работе рассматривается задача численного моделирования функционирования замкнутой сердечно-сосудистой и дыхательной систем организма человека с учетом их взаимодействия и переноса веществ. Эта задача является актуальной, поскольку болезни, связанные с нарушением функции сердечно-сосудистой системы, уверенно лидируют среди главных причин смертности во всем мире. В дополнении к этому, несмотря на активную деятельность организаций по защите окружающей среды, усиливается влияние на организм человека антропогенных факторов. Эти факторы могут проявляться как в виде внешних механических воздействий (интенсивные шумы, вибрации и т.п.), так и в виде локальных изменений условий среды обитания (изменение состава вдыхаемого воздуха и др.). Они могут носить как преднамеренный так и случайный характер. Таким образом, для снижения рисков и повышения жизнеспособности, следует принимать во внимание и прогнозировать последствия внешних взодействий на организм человека.

Еще одним важным аспектом рассматриваемой задачи является проблема прогнозирования хода хирургических операций и их последствий, а также введения в организм различных фармакологических препаратов, не всегда полезных для организма в целом. При этом необходимо учитывать индивидуальные анатомические, возрастные и другие особенности каждого конкретного пациента.

Об активном развитии и большом интересе научной общественности к рассматриваемой теме говорит также тот факт, что ежегодно проводится несколько крупных международных конференций по биомеханике и вычислительной физиологии. При этом, как правило, почти половина докладов посвящена вопросам, связаным с моделями кровотока, дыхания и транспорта веществ в организме человека.

Научная и практическая ценность работы.

Результаты работы представляют весьма обширный интерес как для практических приложений в физиологии и медицине, так и для теоретических исследований, включающих дальнейшее развитие модели и интеграцию ее с моделями других систем организма человека.

Разработанный программный комплекс может в дальнейшем использоваться для планирования хирургических операций (структурные и функциональные изменения сосудистой сети: шунты, искусственные сосуды, временное пережатие сосудов) и прогнозирования их последствий (потери крови, изменения в гемодинамике); планирования лечения фармакологическими препаратами; анализа жизнеспособности организма в различных неблагоприятных условиях окружающей среды (интенсивные вибрационные воздействия, аспирация ядовитых газов); создания новых методик лечения и диагностики (артериальные инъекции при онкологических заболеваниях, резонансные воздействия на сердце при фибрилляции желудочков, диагностика сердечных заболеваний по ретинальному кровообращению и др.).

Объединение разработанной модели с моделями микроциркуляции, водного баланса и пищеварения может в дальнейшем быть использовано для построения комплексной модели организма, учитывающей более полно внешние воздействия и механизмы внутренних взаимодействий различных систем организма. С помощью разработанного программного комплекса возможно так же построение моделей организмов других млекопитающих.

Разработанная методика проведения вычислений и архитектура программного комплекса могут послужить основой для разработки численной реализации других сетевых моделей в таких областях, как: интенсивное дорожное движение, электрические сети, наводнения и распространение загрязнений по рекам, динамические нагрузки сложных стержневых конструкций, распространение информации в компьютерных сетях.

Цель работы.

Целью работы является математическое моделирование процессов, протекающих в сердечно-сосудистой и дыхательной системах организма человека с учетом их взаимодействия. Численно исследуются механические свойства этих систем, их поведение при наличии патологических изменений и внешних воздействий, процессы переноса веществ.

Научная новизна.

1. Построены несимметричная замкнутая динамическая модель кровотока и несимметричная динамическая модель трахейно-бронхиального дерева с учетом взаимодействия между ними.

2. Предложена многокомпонентная модель альвеолярного объема легких.

3. Произведена оценка резонансных частот желудочков сердца и альвеолярного объема легких.

4. Проведено численное исследование кровопотери, переноса веществ и влияния акустических воздействий на организм человека.

Содержание и структура диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, а так же списка использованных источников, оглавления, списков таблиц и рисунков. Она содержит 42 рисунка, 7 таблиц и 112 наименований в списке использованных источников. Объем диссертации составляет 115 страниц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Симаков, Сергей Сергеевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В диссертационной работе предложена математическая модель функционирования кровеносной и дыхательной систем человека с учетом их взаимодействия, включающая распределенные одномерные структуры сети кровеносных сосудов и трахейно-бронхиального дерева, объединенные с четырехкамерной моделью сердца и многокомпонентной моделью альвеолярного объема.

2. На основе предложенной математической модели, с помощью выбранных численных методов разработан программный комплекс для численного моделирования функционирования кровеносной и дыхательной систем человека с учетом их взаимодействия.

3. При проведении вычислительных экспериментов были выявлены следующие особенности функционирования рассматриваемых систем:

• существует взаимосвязь между стенозом (кровопотерей) во внутренней сонной артерии и обратным кровотоком в глазничной артерии;

• снижение сердечного выброса на 20% приводит к уменьшению скорости кровотока в 2 раза в крупных сосудах и большему в мелких сосудах;

• наличие межжелудочкового протока приводит к снижению концентрации кислорода в большом круге кровообращения;

• сердце и альвеолярный объем являются колебательными системами и имеют собственные частоты: желудочки сердца — б Гц; компоненты альвеолярного объема — 7 и 70 Гц;

• внешние акустические воздействия на альвеолярный объем при частоте 7 Гц приводят к существенному снижению концентрации кислорода в крови даже при малой интенсивности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Симаков, Сергей Сергеевич, 2006 год

1. Симаков С. С. Численное исследование динамики системного кровотока при кровопотере // Информационные технологии моделирования и управления. 2006. - Т. 8(33). - С. 931-938.

2. Kholodov A. S., Simakov S. S. Hybrid approach to the global circulation modeling // Journal of Biomechanics. — 2006.— Vol. 39, Supplement 1.— P. S401.

3. Global dynamical model of the cardiovascular system / S. S. Simakov, A. S. Kholodov, Y. A. Kholodov et al. // Proceedings of the III European Conference on Computational Mechanics / Ed. by C. A. Mota Soares. — Springer, 2006.-Pp. 1467.1-1467.15.

4. Kholodov A. S., Simakov S. S. Numerical analysis of the external acoustical impacts to the lungs // 2006 Proceedings of the Summer Bioengineering Conference: CD-ROM. USA, 2006.

5. Kholodov A. S., Evdokimov A. V., Simakov S. S. Numerical Simulation of Peripheral Circulation and Substance Transfer with 2D Models // Mathematical Biology / Ed. by P. Chandra, В. V. R. Kumar. — Anshan, 2005.-Pp. 22-29.

6. Evdobmov A. V., Simakov S. S. Computation of the heart model with fuzzy parameters by the method of linearization // Proceedings of the 14-th conference of European Society of Biomechanics: CD-ROM. — Netherlands, 2004.

7. Симаков С. С. О динамических моделях кровообращения // Труды XLVIII научной конференции МФТИ: Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. — Т. 3. — Москва Долгопрудный, 2004. - С. 37.

8. История медицины / П. Е. Заблудовский, Г. Р. Крючок, М. К. Кузьмин, М. М. Левит. М.: "Медицина", 1981. - С. 351.

9. Мультановский М. П. История медицины. — М.: "Медицина", 1967. — С. 271.

10. Hales S. Statistical essays: containig Haemostatics. — London, Innys, Manny & Woodward, 1733.

11. Young T. Hydraulic investigations, subservient to an intended croonian lecture on the motion of the blood // Phil Trans Roy Soc. — 1808. — Vol. 98. Pp. 164-186.

12. Young T. On the function of the heart and arteries // Phil Trans Roy Soc. — 1809.-Vol. 99.-Pp. 1-31.

13. Moens A. /. Die Pulskurve / Ed. by E. J. Brill. Leiden, 1878.

14. Korteweg D. J. Uber die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Schalles in elastischen Rohren // Ann Phys Chem. — 1878. — Vol. 5. — Pp. 525-537.

15. Womersley J. R. Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known // J. Physiology. 1955. - Vol. 127. - Pp. 553-563.

16. Womersley J. R. Velocity profiles of oscillating arterial flow with some calculations of viscous drag and the reynolds number //J. Physiology. — 1955. Vol. 128. - Pp. 629-640.

17. Womersley J. R. Oscillatory flow in arteries: the constrained elastic tube as a model of arterial flow and pulse transmission // Physics in Medicine and Biology. 1957. - Vol. 2. - Pp. 178-187.

18. Womersley J. R. Oscillatory flow in arteries II: the reflection of the pulse wave at junctions and rigid inserts in the arterial system // Physics in Medicine and Biology. 1958. - Vol. 2. - Pp. 313-323.

19. Womersley J. R. Oscillatory flow in arteries III: flow and pulse velocity formulae for a liquid whose viscosity varies with frequency // Physics in Medicine and Biology. 1959. - Vol. 2. - Pp. 374-382.

20. Morgan G. W., Kiely J. P. Wave propagation in a viscous liquid contained in a flexible tube // J Acoust Soc Am. 1954. - Vol. 26. - Pp. 323-328.

21. Taylor M. G. Use of random excitation and spectral analysis in the study of frequency-dependent parameters of the cardiovascular system // Circ Res. 1966. - Vol. 18. - Pp. 585-595.

22. Taylor C. A., Hughes T. J. R., Zarins C. K. Finite element modeling of blood flow in arteries // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1998. - Vol. 158. - Pp. 155-196.

23. Long Q., Xu X. Y. Numerical investigation of physiologically realistic pulsatile flow through arterial stenosis // Journal of Biomechanics. — 2001.- Vol. 34.- Pp. 1229-1242.

24. Engineering analysis of biological data: an example of blood pressure over one day / W. Huang, Z. Shen, N. Huang, Y. Fung // Proceedings of the National Academy of Sciences USA. Vol. 95. - 1998. - Pp. 4816-4821.

25. Multiscale analysis of blood pressure signal / A. Marrone, A. D. Polosa, G. Scioscia et al. // Physical Review. 1999. - Vol. E60. - Pp. 1088-1091.

26. Anlinker M., Rockwell R. L. Nonlinear analysis of flow pulses and shock waves in arteries, part i: derivation and properties of mathematical model // Zeitschrift fuer Angewandte Mathematik und Physic. — 1971.— Vol. 22.— Pp. 217-246.

27. Anlinker M., Rockwell R. L., Ogden E. Nonlinear analysis of flow pulses and shock waves in arteries, part ii: parametric study of related to clinical problems // Zeitschrift fuer Angewandte Mathematik und Physic. — 1971. — Vol. 22.-Pp. 563-581.

28. Parker K. H., Jones C. J. H. Forward and backward running waves in arteries: Analysis using the method of characteristics // Journal of Biomechamcal Engineering. — 1990. — Vol. 112. — Pp. 322-326.

29. Time-domain representation of ventricular-arterial coupling as a windkessel and wave system / J. Wang, A. O'Brein, N. Shrive et al. // American Journal of Physiology Heart and Circulatory Physiology. — 2003. — Vol. 284.-Pp. H1358-H1368.

30. One-dimensional modeling of vascular network in space-time variables / S. J. Sherwin, V. Franke, J. Peiro, K. Parker // Journal of Engineering Mathematics. 2003. - Vol. 47. - Pp. 217-250.

31. Anharmonic analysis of arterial blood pressure and flow pulses / P. A. Voltairas, D. I. Fotiadis, С. V. Massalas, L. K. Michailis // Journal of Biomechanics. 2005. - Vol. 38. - Pp. 1423-1431.

32. Pedley T. J., Luo X. Y. Modelling flow and oscillations in collapsible tubes // Theoretical and Computational Fluid Dynamics.— 1998. — Vol. 10. Pp. 277-294.

33. Chakravarty S., Mandal P. H. A nonlinear two-dimensional model of blood flow in an overlapping arterial stenosis subjected to body acceleration // Math. Comput. Modeling. 1996. - Vol. 24. - Pp. 43-58.

34. Yakhot A., Grinberg L., Nikitin N. Modeling rough stenosis by an immersed-boundary method // Journal of Biomechanics.— 2005.— Vol. 38.— Pp. 1115-1127.

35. Peshn C., McQueen D. Fluid dynamics of the heart and its valves // Case studies in mathematical modeling, ecology, physiology, and cell biology. — Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1996. Pp. 309-337.

36. Механика кровообращения / К. Kapo, Т. Педли, Р. Шротер, У. Сид; Под ред. С. А. Регирер, В. М. Хаютин.- М.: "МИР", 1981.- С. 624.

37. Olufsen M. Structured tree outflow condition for blood flow in larger systemic arteries // Am. J. Physiol. 1999. - Vol. 276. - Pp. H257-H268.

38. Pedley T. J. Mathematical modelling of arterial fluid dynamics // Journal of engineering mathematics. — 2003. — Vol. 47. — Pp. 419-444.

39. Van de Vosse F. N. Mathematical modelling of the cardiovascular system // Journal of engineering mathematics. — 2003. — Vol. 47. — Pp. 175-183.

40. Математическая модель гемодинамики сердечно-сосудистой системы / М. В. Абакумов, К. В. Гаврилюк, Н. Б. Есикова и др. // Дифференциальные уравнения. — 1997. — Т. 33. — С. 892-898.

41. Холодов А. С. Некоторые динамические модели внешнего дыхания и кровообращения с учетом их связности и переноса веществ // Компьютерные модели и прогресс медицины / Под ред. О. М. Белоцерковский, А. С. Холодов. М.:Наука, 2001.- С. 127-163.

42. Brunette R. R. Computer simulation of human blood flow and vascular resistance // Comput. Bio. Med. 1996. - Vol. 26.-Pp. 363-369.

43. Byczkowski J. A linked pharmacokinetic model and cancer risk assessment for breast-fed infants // J. Drug Info. 1996. - Vol. 30. - Pp. 401-412.

44. Godfrey K. Compartmental models and their application.— Academic Press, London, 1983.

45. Olufsen M., Nadi A. On deriving lumped models for blood flow and pressure in the systemic arteries // Math, biosciences and engineering. — 2004. — Vol. l.-Pp. 61-80.

46. A heterogeneous approach for modelling blood flow in an arterial segment / A. Carlo Di, P. Nardinocchi, G. Pontrelli, L. Teresi // Simulation in Biomedicme. 2003. - Vol. 5. - Pp. 69-78.

47. Multiscale modelling of the circulatory system: a preliminary analysis / L. Formaggia, F. Nobile, A. Quarteroni, A. Veneziani // Computing and Visualization m Science. — 1999. — Vol. 2. — Pp. 75-83.

48. On the coupling of 3d and Id navier-stokes equations for flow problems in compliant vessels / L. Formaggia, J. F. Gerbeau, F. Nobile, A. Quarteroni // Applied Mechanics and Engineering. — 2001. — Vol. 191. — Pp. 561-582.

49. McDonald D. A. Blood flow in arteries. — London, Edward Arnolds, 1960.

50. Milnor W. R. Hemodynamics. — Baltimor, Maryland, Williams & Wilkins, 1989.

51. Nichols W. W., O'Rourke M. F. McDonald's blood flow in arteries. Theoretical, experimental and clinical principles. — London, Edward Arnolds, 1990.

52. Zamir M. The physics of pulsatile flow. — American Institute of Physics, Spinger, New York, 2000.

53. Frank О. Die Grundfurm des arteriellen Pulses. Erste Abhandlung. Matematische Analyse. // Zeitschrift Biologie.— 1899.— Vol. 37.— Pp. 483-526.

54. Кантор Б. Я., Кунделев А. Ю. Моделирование периодического течения вязкой несжимаемой жидкости в толстостенном сосуде // Проблемы машиностроения. — 1998. — Т. 2. — С. 94-101.

55. Кантор В. Я., Кунделев А. Ю. Применение моделей упругого резервуара при расчете параметров кровеносной системы // Проблемы машиностроения. 2002. - Т. 3. - С. 71-75.

56. In vitro evaluation of an extended pulse pressure method for the estimation of total arterial compliance / P. Segers, I. Coomans, P. Vendrock, N. Stergiopulos // Computers in Cardiology. — 1996. — Pp. 153-156.

57. Fogliard R. Comparson of linear and non linear formulations of three-element windkessel model // American Journal of Physiology. — 1996. — Vol. 271.-Pp. 2661-2668.

58. A numerical fluid mechanical study of repaired congenital heart defects / G. Dubini, M. de Laval, R. Pietrabissa et al. // Journal of Biomechanics. — 1996,-Vol. 29.-Pp. 111-121.

59. Lambermont B. Comparison between three- and four-element windkessel model to characterize vascular properties of pulmonary circulation // Archives of Physiology and Biochemistry. — 1997. — Vol. 105. — Pp. 625632.

60. Quarterom A. What mathematics can do for the simulation of blood circulation // Proceedings of the International Congress of Matematicians 2006. 2006. - Pp. 110-144.

61. Ультразвуковая допплеровская диагностика сосудистых заболеваний / Под ред. Ю. М. Никитин, А. И. Труханов. М.: Видар, 1998. - С. 432.

62. Тарасова JI. Н., Киселева Т. Н., Фокин А. А. Глазной ишемический синдром. М.: Медицина, 2003. - С. 176.

63. Morphometry of the human pulmonary vasculature / W. Huang, R. T. Yen, M. McLaurine, G. Bledsoe // Journal of applied physiology.— 1996. — Vol. 81.-Pp. 2123-2133.

64. Huang W., Yen R. T. Zero-stress states of human pulmonary arteries and veins // Journal of applied physiology. — 1998. — Vol. 85. — Pp. 867-873.

65. Glenny R. W., Robertson H. T. Fractal properties of pulmonary blood flow: characterization of spatial heterogeneity // Journal of Applied Physiology. — 1990. Vol. 69. - Pp. 532-545.

66. Levy-Vehel J., Berroir J. P. 3-d fractal model for lung morphogenesis // Proceedings SPIE Medical Imaging IV: Image Processing, / Ed. by M. H. Loew. Vol. 1233. - 1990. - Pp. 10-22.

67. Nelson Т. R., West В. J., Goldberger A. L. The fractal lung: Universal and species-related scaling patterns // Cellular and molecular life sciences. — 1990.-Vol. 46.-Pp. 251-254.

68. Kalda J. Fractal model of blood vessel system // Fractals. — 1993. — Vol. l.-Pp. 191-197.

69. Kalda J. On the fractality of the biological tree-like structures // Discrete Dynamics in Nature and Society. — 1999. — Vol. 3. — Pp. 297-306.

70. Goldberger A. L., Rigney D. R., West В. J. Chaos and fractals in human physiology // Scientific american. — 1990. — Vol. 262. — Pp. 42-49.

71. Образцов И. Ф., Ханин М. А. Оптимальные биомеханические системы. — М.: Медицина. С. 207.

72. Bukharov I. В., Khanin М. A. Optimal arterial blood pressure // Journal of theoretical biology. 1991. - Vol. 148. - Pp. 289-294.

73. Bukharov I. В., Khanin M. A. Optimal pulmonary arterial blood pressure // Journal of theoretical biology. — 1993. — Vol. 162. — Pp. 431-445.

74. Bukharov I. В., Khanin M. A. Optimal structure of microcirculatory bed // Journal of theoretical biology. — 1994. — Vol. 169.— Pp. 431-435.

75. Охотников С. С. Бронхиальное дерево, как гидравлическая сеть с минимальной диссипацией // Вестник амурского государственного университета. 1999. - Т. 4. - С. 46-49.

76. Donders F. С. Bijdrage tot het mechanisme van ademhaling en bloedsomloop in den gezonden en zieken toestand // Ned. Lancet. — 1849. — Vol. 5 : 333.

77. Rhorer F. Der Strömungwiderstand in den menschlichen Atemwegen und der Einfluss der unregelmtigen Verzweigung des Bronchialsystems auf den Atmungsverlauf in verschiedenen Lungenbezirken // Arch. ges. Physiol. — 1915. Vol. 162 : 225.

78. Wirz K. Das Verhalten des Druckes im Pleuraraum bei der Atmung und die Ursachen seiner Verbderlichkeit // Arch. ges. Physiol. — 1923. — Vol. 199 : 1.

79. Neergaard K., Wirz K. Uber eine Methode zur Messung der Lungenelastizitgt am lebenden Menschen, insbesondere beim Emphysem // Z. Hin Med. 1927. - Vol. 105 : 35.

80. Mead J. Mechanical properties of lungs // Physiological Reviews. — 1961. — Vol. 41.-Pp. 281-330.

81. Jaeger M. Y., Otis A. B. Effects of compressibility of alveolar gas on dynamics and work of breathing // Journal of Applied Physiology. — 1964. — Vol. 19.-Pp. 83-91.

82. Шабелъников В. Г. Влияние скорости воздушного потока при вдохе и выдохе на энергозатраты и легочный газообмен человека // Биомеханика кровообращения, дыхания и биологических тканей. — Рига, 1981.— Т. 1.-С. 157-168.

83. Любимов Г. А. Механика органов дыхания // Биомеханика кровообращения, дыхания и биологических тканей. — Рига, 1981. — Т. 1. — С. 113— 125.

84. Амосов И. С., Дегтярев В. А., Волков В. С. Биомеханика грудной клетки в процессе физической нагрузки и покоя // Биомеханика кровообращения, дыхания и биологических тканей. — Рига, 1981. — Т. 1. — С. 47-53.

85. Miller Т. К., Pimmel R. L. Standard errors on respiratory mechanical parameters, obtained by forced random excitation // IEEE Trans. Biomed. Eng. 1983. - Vol. 30. - Pp. 826-832.

86. Дьяченко А. И. Исследование однокомпонентной модели механики легких // Медицинская биомеханика. — Рига, 1986. — Т. 1.— С. 147-152.

87. Grimal Q., Naili S., Watzky A. A high-frequency lung injury mechanism in blunt thoracic impact // Journal of Biomechanics. — 2005. — Vol. 38. — Pp. 1247-1254.

88. Физиология кровообращения: физиология сосудистой системы / Под ред. Б. И. Ткаченко. J1.: Наука, 1984. - С. 652.

89. Дьяченко А. И., Шабельников В. Г. Математические модели действия гравитации на функцию легких. — М.: Наука, 1985. — С. 250.

90. Воробьев В. П. Атлас анатомии человека. — Минск, Литература, 1998. — С. 1472.

91. Standnng S. Gray's Anatomy: The Anatomical Basis of Medicine and Surgery. 39 edition. - Churchill-Livingstone, 2004. - P. 1600.

92. Краевая задача для ЛГД уравнений на графе / И. В. Ашметков, С. И. Мухин, Н. В. Соснин, А. П. Фаворский // Дифференциальные уравнения. 2004. - Т. 40. - С. 1-11.

93. Физиология человека / Под ред. Р. Шмидт, Г. Тевс. — М.: Мир, 2005. — Т. 2.-С. 314.

94. Магомедов К. М., Холодов А. С. Сеточно-характеристические численные методы. М.:Наука, 1988.- С. 290.

95. Холодов А. С., Лобанов А. ИЕвдокимов А. В. Разностные схемы для решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве неопределенных коэффициентов. — Москва, 2001.— С. 47.

96. Физиология человека / Е. Б. Бабский, А. А. Зубков, Г. И. Косицкий, Б. И. Ходоров. М.:Медицина, 1966. - С. 656.

97. Pedley Т. J., Schroter R. С., Sudlow М. F. Energy losses and pressure drop in models of human airways // Respir. Physiol. — 1970.— Vol. 9.— Pp. 371-386.

98. Shin J. J. Simulation of forced breathing maneuvers // Biological flow. — 1995.-Vol. 9.-Pp. 287-313.

99. Jiang Z. L., Kassab G. S., Fung Y. C. Diameter-defined Strahler system and connectivity matrix of the pulmonary arterial tree // Journal of Applied Physiology. 1994. - Vol. 76. - Pp. 882-892.

100. Horsfield K. Diameters, generations, and orders of branches in the bronchial tree // Journal of Applied Physiology. — 1990. — Vol. 68. — Pp. 457-461.

101. Horsfield K. Pulmonary airways and blood vessels considered as confluent trees // The Lung: Scientific Foundations / Ed. by R. G. Crystal, J. B. West. New York: Raven, 1991.- Pp. 721-727.

102. Бегун П. И., Шукейло Ю. А. Биомеханика: Учебник для вузов. — СПб.: Политехника, 2000. С. 643.

103. Fredberg J. Mechanics of the lung during high frequency ventilation // Proceedings of the 36th ACEMB. Vol. 25. - Bethesda, Md.1983, 1983. -P. 33.