Численное моделирование движения небесных тел на основе методов Адамса с высоким порядком аппроксимации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Абрамов, Владимир Владимирович

• Абрамов, Владимир Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Абрамов, Владимир Владимирович

Введение

Глава 1. Аналитический обзор и постановка задачи.

1.1. Краткий обзор по развитию численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений

1.1.1. Метод тейлоровских разложений.

1.1.2. Методы Рунге-Кутты высоких порядков

1.1.3. Неявные одпошаговые методы

1.1.4. Экстраполяциоипые методы.

1.1.5. Многошаговые методы.

1.1.6. Сравнительная характеристика методов.

1.1.7. Сходимость и устойчивость численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений

1.2. Основные сведения из курса теоретической астрономии.

1.2.1. Малые тела Солнечной системы

1.2.2. Эклиптическая и экваториальная гелиоцентрические системы координат

1.2.3. Эфемеридное, всемирное время и юлианские дни

1.2.4. Элементы орбит и прямоугольные координаты.

1.2.5. Уравнения движения небесных тел.

1.3. Постановка задачи

Глава 2. Построение вычислительных алгоритмов методов Адамса с высоким порядком аппроксимирующих формул для решения задачи Коши 53 2.1. Разработка вычислительных алгоритмов методов Адамса-Бэшфорта и Адамса-Мултона

2.1.1. Явный метод Адамса-Бэшфорта

2.1.2. Неявный метод Адамса-Мултона.

2.1.3. Реализация неявной схемы метода Адамса-Мултона.

2.1.4. Построение таблицы начальных значений для методов Адамса

2.1.5. Коэффициенты методов Адамса-Бэшфорта и Адамса-Мултона

2.2. Построение вычислительного алгоритма метода Адамса с разделенными разностями

2.3. Источники погрешностей при численном интегрировании методами Адамса

Глава 3. Применение вычислительных алгоритмов на основе методов

Адамса с высоким порядком аппроксимации для исследования движения небесных тел.

3.1. Разработка алгоритмов решения уравнений движения небесных тел на основе методов Адамса

3.1.1. Алгоритм решения уравнений движения небесных тел с помощью метода Адамса-Мултона

3.1.2. Алгоритм решения уравнений движения небесных тел с помощью метода Адамса с разделенными разностями

3.2. Применение вычислительного алгоритма метода Адамса—Мултона с высоким порядком аппроксимирующих формул к решению уравнений движения небесных тел.

3.2.1. Сравнение эффективности метода Адамса-Мултона и метода Эвер-харта при решении планетной задачи

3.2.2. Математическое моделирование движения астероидов на основе метода Адамса-Мултона

3.2.3. Исследование сходимости решения при моделировании движения астероидов с помощью метода Адамса-Мултона

3.3. Применение вычислительного алгоритма метода Адамса с разделенными разностями с высоким порядком аппроксимации к исследованию эволюции орбит астероидов

3.3.1. Математическое моделирование движения астероидов на основе метода Адамса с разделенными разностями

3.3.2. Исследование достоверности результатов численного интегрирования уравнений движения астероидов методом Адамса с разделенными разностями.

3.4. Использование метода Адамса при разработке каталога орбитальной эволюции астероидов

Глава 4. Разработка программного обеспечения для математического моделирования движения небесных тел на основе вычислительных алгоритмов методов Адамса с высоким порядком аппроксимации.

4.1. Описание программы для численного интегрирования уравнений движения небесных тел на основе методов Адамса.

4.2. Описание программного обеспечения на основе метода Эверхарта, используемого для оценки точности методов Адамса.

4.3. Разработка электронного каталога орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование движения небесных тел на основе методов Адамса с высоким порядком аппроксимации»

Актуальность работы

В последние годы достижения в области математического моделирования и вычислительного эксперимента как информационной технологии получения новых знаний об окружающем нас мире приобретают все большее значение для различных областей наук.

В связи с увеличением объема информации о динамических параметрах малых тел Солнечной системы возрос интерес к проблеме «астероидной опасности». В настоящее время известно свыше шести тысяч астероидов, проникающих внутрь орбиты Марса и Земли. Наибольшую опасность для Земли, наряду с кометами, представляют астероиды групп Аполлона, Амура, Атона.

Теория движения астероидов групп Аполлона, Амура, Атона значительно сложнее теории движения планет, поскольку эллиптические орбиты астероидов более вытянуты, чем орбиты планет, плоскости орбит значительно наклонены к плоскости эклиптики. Кроме того, астероиды имеют тесные сближения с большими планетами. Поскольку высокоэффективные аналитические теории движения астероидов, имеющих сближения, не разработаны, для исследования эволюции их орбит широко применяются численные методы.

Исследование их эволюционных процессов, устойчивости движения, оценка вероятности столкновения и предотвращение катастрофических последствий является лишь неполным перечнем проблем, требующих решения. Разработка численных методов для решения уравнений движения небесных тел является одним из составных этапов при решении проблемы, связанной с «астероидной опасностью».

Все вышеперечисленные задачи не являются в настоящее время окончательно изученными, что и определяет актуальность рассматриваемой в диссертации проблемы.

Цель диссертационной работы

Разработка вычислительных алгоритмов многошаговых методов Адамса с высоким порядком аппроксимирующих формул и программного обеспечения на их основе для исследования движения небесных тел.

В соответствии с указанной целью необходимо было решение следующих задач:

1. Разработка вычислительных алгоритмов методов Адамса с высоким порядком аппроксимации для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Создание математического и программного обеспечения для исследования движения астероидов групп Аполлона, Амура, Атона, сближающихся с Землей.

3. Создание информационной базы данных малых тел Солнечной системы (астероидов групп Аполлона, Амура, Атона и короткопериодических комет) на интервале времени 400 лет (1800-2206 гг.).

4. Выявления наиболее опасных объектов и классификация астероидов, представляющих потенциальную угрозу для Земли в случае столкновения с ней.

5. Создание Интернет-ресурса и размещение на нем полной информации об эволюции орбит малых тел Солнечной системы.

Научная новизна

1. Разработаны вычислительные алгоритмы универсальных многошаговых методов Адамса, которые в отличие от ранее существующих алгоритмов обладают более высоким (до 16-го включительно) порядком аппроксимирующих формул.

2. Разработан комплекс программного обеспечения для математического моделирования движения малых тел Солнечной системы на основе методов Адамса с использованием нового критерия изменения шага интегрирования.

3. Создана информационная база данных орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы на интервале времени 400 лет (1800-2206 гг.).

Практическая значимость

1. Разработанные вычислительные алгоритмы методов Адамса имеют универсальный характер и могут применяться для решения различного рода задач описываемых дифференциальными уравнениями.

2. Данные об эволюции элементов орбит астероидов групп Аполлона, Амура, Атона и короткопериодических комет могут быть использованы при организации и планировании наблюдений этих объектов, а также для прогнозирования их движения.

3. Информационная база данных орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы, размещенная на Интернет-ресурсе SmallBodies.Ru может быть полезной как для учебной, так и научных целей.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения

1. Вычислительные алгоритмы для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе многошаговых методов Адамса с высоким (до 16-го включительно) порядком аппроксимирующих формул.

2. Алгоритмы и программное обеспечение для математического моделирования движения малых тел Солнечной системы.

3. Результаты исследования эволюции орбит малых тел Солнечной системы на интервале времени с 1800 по 2206 гг.

Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и рекомендаций, а также достоверность полученных результатов исследований

Выполнено сопоставление координат и скоростей больших планет, Луны и Солнца на стандартные моменты с данными одной из точных современных численных теорий движения планет DE405, согласованной с оптическими и радиолокационными наблюдениями. Показано, что отличие от данных DE405 находятся в пределах точности наблюдений.

Проведено сравнение эволюции орбит малых тел Солнечной системы, полученных методами Адамса и Эверхарта на интервале времени с 1800 по 2206 гг. Показано, что результаты двух методов для малых тел, не имеющих тесных сближений с большими планетами, согласуются вполне удовлетворительно.

Данные эволюции орбит находятся в хорошем согласии как с наблюдениями, так и с результатами других исследований, проведенных в нашей стране и за рубежом.

Связь диссертационной работы с планами научных исследований

Работа выполнялась в рамках плана НИР СамГТУ (тема «Разработка методов математического моделирования динамики и деградации процессов в механике сплошных сред, технических, экономических, биологических и социальных системах и методов решения неклассических краевых задач и их приложений»); проекта Федерального агентства по образованию РФ (проект РНП 2.1.1.1689): «Создание информационной среды на базе современных математических моделей и методов для исследования эволюции малых тел в Солнечной системе» аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 гг)»; проекта Федерального агентства по образованию РФ (проект РНП 2.1.1.745): «Создание научно-информационной базы данных эволюции орбит малых тел Солнечной системы, представляющих потенциальную опасность для Земли» аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 гг)».

Апробация работы

Результаты исследований по теме диссертационной работы докладывались на Третьей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» г. Самара, 2006 г.); Втором Международном форуме «Актуальные проблемы современной науки» (г. Самара, 2006 г.); Седьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Йошкар-Ола, 2006 г.); Конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Самара, 2007 г.); Четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2007 г.); Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ — 2007» (г. Санкт-Петербург, 2007 г.); Третьем Международном форуме «Актуальные проблемы современной науки» (г. Самара, 2007 г.); Международной молодежной научной конференции «XXXIV Гагаринские чтения» (г. Москва, 2008 г.); Пятой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», (г. Самара, 2008 г.); Международной конференции «100 лет Тунгусскому феномену: прошлое, настоящее, будущее» (г. Москва, 2008 г.); Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов», (г. Ульяновск, 2009 г.); Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2009 г.); Международной конференции «Астрономия и всемирное наследие: через время и континенты» (г. Казань, 2009 г.); Международной конференции «Астероидно-кометная опасность — 2009», (г. Санкт-Петербург, 2009 г.).

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 21 печатной работе, из них 1 монография, 6 статей в рецензируемых журналах, 10 статей в сборниках трудов конференций и 4 тезиса докладов.

Личный вклад автора

Автору во всех работах, опубликованных в соавторстве, в равной степени принадлежат как постановки задач, так и результаты выполненных исследований.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, общих выводов, списка литературы и трех приложений, в которых приведены таблицы, графики и листинги разработанных программ. Общий объем диссертации составляет 141 страницу, включая 13 рисунков и 11 таблиц. Библиографический список включает 125 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Абрамов, Владимир Владимирович

В ходе выполнения диссертационной работы были получены следующие основные ре зультаты:

1) разработана математическая модель па основе методов Адамса, описывающая движе ние малых тел Солнечной системы, создано программное обеспечение для реализации этих методов;

2) проведено исследование метода Адамса с разделенными разностями для выделения области применимости полученной математической модели и разработанного про граммного обеспечения при создании каталога орбитальной эволюции малых тел Сол нечной системы;

3) на основе метода Адамса было проведено вычисление орбитальной эволюции выде ленного класса объектов на интервале времени 400 лет;

4) полученные данные были использованы при обновлении электронного каталога орби тальной эволюции астероидов групп Аполлона, Амура, Атона на интервале времени с 1800 по 2206 гг.;

5) разработан Интернет-ресурс SmallBodies. Ru на русском и английском языках с ди намическим веб-интерфейсом, содержащий информационную базу орбитальной эво люции малых тел Солнечной системы.Разработанное математическое и программное обеспечение имеет универсальный ха--

рактер и может применяться для решения различного рода задач описываемых диф ференциальными уравнениями. Данные об эволюции элементов орбит астероидов групп Аполлона, Амура, Атона, и короткопериодических комет могут быть использованы при организации и планировании наблюдений этих объектов, а также для прогнозирования их движения для решения проблемы «астероидной опасности».Информационная база данных эволюции орбит малых тел Солнечной системы, раз мещенная на сайте SmallBodies.Ru, также может использоваться в учебном процессе об разовательных учреждений при обучении астрономии и небесной механике школьников, студентов и аспирантов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Абрамов, Владимир Владимирович, 2009 год

1. Абалакин В. К., Аксенов Е. П., Гребенников Е. А. и др. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / В. К. Абалакин, Е. П. Аксенов, Е. А. Гребенников и др. — М.: Наука, 1976. — 862 с.

2. Абрамов В. В. Математическое моделирование движения малых тел Солнечной системы на основе методов Адамса // Вестник Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2006. — № 43. — 192-194.

3. Абрамов В. В. Применение методов Адамса к решению уравнений движения большихпланет, Луны и Солнца // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды

4. I Всерос. научн. конф. — Т. 3. — Самара: СамГТУ, 2006. — 13-19.

5. Абрамов В. В. Исследование устойчивости метода Адамса-Мултона при моделировании тесных сближений небесных тел // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды IV Всерос. научн. конф. — Т. 3. — Самара: СамГТУ, 2007. — 13-17.

6. Абрамов В. В. Исследование устойчивости решения уравнений движения малых телСолнечной системы при использовании метода Адамса-Мултона // Вестник Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки.— 2007.— № 1(14).— 192-194.

7. Абрамов В. В. Математическое моделирование тесных сближений малых тел Солнечной системы с большими планетами и Луной // Вестник Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2007.—№ 2(15).— 151-154.

8. Абрамов В. В. Эффективность метода Адамса-Мултона при математическом моделировании движения малых тел Солнечной системы // Нелинейный динамический анализ —2007: Тезисы докладов междунар. конгресса, СПб, 4-8 июня 2007 г. — СПб.: СПбГУ, 2007. - 184.

9. Абрамов В. В. Математическое моделирование движения астероида 99942 Apophisна основе методов Адамса с переменным шагом // Вестник Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2008. — № 1(16).— 140-144.

10. Абрамов В. В. Электронный каталог орбитальной эволюции малых тел Солнечнойсистемы: разработка информационной базы и Интернет-ресурса // Вестник Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки.— 2008.— № 2(17).— 275-278.

11. Абрамов В. В. Область применимости метода Адамса при разработке каталога орбитальной эволюции астероидов // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды VI Всерос. научн. конф. с междунар. участием. — Т. 3. — Самара: СамГТУ, 2009. — 9-15.

12. Абрамов В. В. Математическое моделирование движения астероидов на основе методов Адамса с переменным шагом // Тезисы докладов Международной Конференции «100 лет Тунгусскому феномену: прошлое, настоящее, будущее», 26-28 июня, Москва, 2008. - 92-93.

13. Алтынбаев Ф. X. Численное интегрирование уравнений движения небесных объектовметодом разложения в ряд Тейлора с учетом релятивистских эффектов // Вести. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки.— 2005.— № 34.— 202-204.

14. Алтынбаев Ф. X. Исследование резонансных движений астероидов группы Амура свнутренними планетами // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2006. - № 43. — 195-197.

15. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. — М.: Эдиториал УРСС, 2002. — 416 с.

16. Баканас Н. С, Барабанов И. Астрономический аспект проблемы космической защиты Земли // Околоземная астрономия 2003: Сб. тр. конф. — Т. 1.— СПб.: 2003.— 16-37.

17. Бахвалов Н. С, Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы / Под ред.Н. И. Тихонова. — М.: Физматлит, 2002. — 630 с.

18. Бордовицына Т. В. Современные численные методы в задачах небесной механики.—М.: Наука, 1984.-136 с.

19. Бордовицына Т. В. Алгоритмы численного моделирования движения малых тел Солнечной системы // Тр. ИПА РАН.— 2001. — № 6. — 208-211.

20. Брауэр Д., Клеменс Д. Методы небесной механики. — М.: Мир, 1964.— 516 с.

21. Брумберг В. А. Релятивистская небесная механика.— М.: Наука, 1972. — 382 с.

22. Брумберг В. А. Методика определения релятивистских планетных возмущений в теориях движения больших планет // Тр. ИПА РАН. — 1999. — № 4. — 199-224.

23. Быкова Л. Е., Галушина Т. Ю. О динамике околоземных астероидов // Исследованиепо баллистике и смежным вопросам механики.— 1999.— № 3.— 130-133.

24. Вашковъяк М. А. Численно-аналитический метод исследования эволюции орбит далеких спутников планет // Письма в Астрон. ж.— 2005. — Т. 31, № 1.— 66-75.

25. Виноградова Т. А., Железное Н. Б., Кузнецов В. Б. и др. Каталог потенциальноопасных астероидов и комет / Т. А. Виноградова, Н. Б. Железнов, В. Б. Кузнецов и др. // Тр. ИПА РАН.— 2003.— № 9.— 11-218.

26. Герасимов И. А., Чазов В. В., Тагаева Д. А. Применение универсального метода вычислений возмущающей функции в численно аналитической теории движения малых планет // Вестник МГУ. Сер. 3. — 2000. — № 3. — 55-57.

27. Гереле Т., Ксанфомамити Л. Поиск сближающихся с Землей комет и астероидов //Астрон. вестн. — 2000. — Т. 34, № 1. — С 41-54.

28. Глебова Н. И. Эфемериды больших планет и Земли // Тр. ИПА РАН. — 2004. —№ 10. — 241-252.

29. Денисов Разработка программного обеспечения с целью создания банка данныхастероидов // Мат. моделирование и краевые задачи: Тр. пятой Всерос. научн. конф. с междунар. участием. — Т. 3. — Самара: СамГТУ, 2008. — 90-92.

30. Дмитриева О. А. Анализ параллельных алгоритмов численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений методами Адамса-Бэшфорта и Адамса-Мултона // Матем. моделирование.— 2000. — Т. 12, № 5.— 81-86.

31. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы.— М.: Физматгиз,1963.-588 с.

32. Железное Н. В., Шор В. А. Компьютерные разработки лаборатории малых тел Солнечной системы ИПА РАН // Физика Космоса: Труды 32 Международной студенческой научной конференции, Екатеринбург, 3-7 февр., 2003.— Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 2003. - 88-96.

33. Заботин А. С, Медведев Ю. Д. Ретроспективная эволюция орбиты малой планеты(99942) Apophis // Тр. ИПА РАН. — 2006. - № 14. - 174-184.

34. Заусаев А. Ф. Эволюция орбит малых тел Солнечной системы, сближающихся с Землей: Автореф. дис. д-ра ф.-м. наук / ГАИШ МГУ. — М., 1994. — 20 с.

35. Заусаев А. Ф., Абрамов В. В., Денисов Каталог орбитальной эволюции астероидов, сближающихся с Землей с 1800 по 2204 гг.— М.: Машиностроение-!, 2007. — 608 с.

36. Заусаев А. Ф., Денисов С, Соловьев Л. А. Численное интегрирование уравненийдвижения астероида 2004 FU162 на интервале времени с 1800 по 2206 годы // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки.— 2006.— № 4 3 . — 189-191.

37. Заусаев А. Ф., Заусаев А. А. Каталог орбитальной эволюции короткопериодическихкомет с 1900 по 2100 гг. — М.: Машипостроение-1, 2005. — 346 с.

38. Заусаев А. Ф., Заусаев А. А. Каталог орбитальной эволюции короткопериодическихкомет с 1800 по 2204 гг. — М.: Машиностроение-1, 2007. — 410 с.

39. Заусаев А. Ф., Заусаев А. А. Математическое моделирование орбитальной эволюциималых тел Солнечной системы.— М.: Машиностроение, 2008.— 250 с.

40. Заусаев А. Ф., Заусаев А. А. Применение модифицированного метода Эверхарта д л ярешения задач небесной механики // Матем. моделирование. — 2008. — Т. 20, № 11. — 109-114.

41. Заусаев А. Ф., Заусаев А. А., Олъхин А. Г. Численное интегрирование уравненийдвижения больших планет (Меркурий-Плутон) и Луны с учетом радиолокационных наблюдений // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки.— 2004.— № 26. - 43-47.

42. Заусаев А. Ф., Заусаев А. А., Олъхин А. Г. Применение метода Эверхарта для решения уравнений движения больших планет // Труды ГАИШ.— 2006.— Т. 76.— 75-82.

43. Заусаев А. Ф., Исуткин А. Численное интегрирование уравнений движения больших планет (Меркурий-Нептун) и Луны методом Тейлора // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки.— 2000,— № 9.— 25-29.

44. Заусаев А. Ф., Корпев А. П., Рыбин О. К. Исследование эволюции орбиты астероида 2000 LG6 // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Третьей Всерос. научн. конф. — Т. 3. — Самара: СамГТУ, 2006. — 123-125.

45. Куликов Д. К. Интегрирование уравнений движения небесной механики на электронных вычислительных машинах по квадратурному методу Коуэлла с автоматическим выбором шага // Бюлл. ИТА. — 1960. — № 10. — 770-797.

46. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения.— М.: Гостехиздат, 1950.—472 с.

47. Мысовских И. П. Лекции по методам вычислений.— СПб.: СПбГУ, 1998. — 472 с.

48. Мячин В. Ф., Сизова О. А. Совместное интегрирование уравнений небесной механики численным методом Тейлора-Стеффенсона // Бюлл. ИТА.— 1970.— № 5.— 389-400.

49. Питъева Е. В. Новая численная теория движения планет Е Р М 9 8 и ее сравнение сэфемеридой DE403 Лаборатории реактивного движения США // Тр. ИПА РАН.— 1998. — № 3 . — С . 5-23.

50. Питъева Е. В. Современные численные теории движения Солнца, Луны и большихпланет // Тр. ИПА РАН— 2 0 0 4 . - № 10.— 112-134.

51. Платонов А. К., Власова 3. Я., Степанянц В. А. Многоточечный метод интегрирования с переменным шагом для обыкновенных дифференциальных уравнений. — М., 1 9 7 6 . - 18 с.

52. Пуанкаре А. Лекции по небесной механике. — М.: Наука, 1965. — 572 с.

53. Самарский А. А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент //Современные методы математического моделирования. Сборник лекций международной конференции Математическое моделирование. 13-16 июня 2001. — Самара: 2 0 0 1 . - С . 4-12.

54. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы.— М.: Наука, 1989. — 432 с.

55. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. — М.: Физматлит,1997.

56. Свешников М. Л. Эфемериды для физических наблюдений Солнца и планет // Тр.ИПА РАН. - 2004. - № 10. - 349-375.

57. Степанъянц В. А., Львов Д. В. Эффективный алгоритм решения системы дифференциальных уравнений движения // Матем. моделирование. — 2000. — Т. 12, № 6. — 9-14.

58. Страуструп Б. Язык программирования C + + : пер. с англ.— 3-е изд .— СПб., М.:Невский Диалект-Издательство БИНОМ, 1999. — 991 с.

59. Субботин М. Ф. Введение в теоретическую астрономию.— М.: Наука, 1968. — 800 с.

60. Тимошкова Е. И. Орбитальная эволюция резонансных астероидов, сближающихся сЗемлей // Изв. Гл. астрон. обсерв. в Пулкове. — 2002. — № 216. — 274-277.

61. Токовенко А. А. Модель сближения астероида Apophis 99942 с Землей // Физика Космоса: Труды 36 Международной студенческой научной конференции, Екатеринбург, 29 я н в - 2 февр., 2007. — Екатеринбург: УрГУ, 2007.— 240.

62. Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики. — М.: Наука, 1967.— 524 с.

63. Уипл Ф. Л. Семья Солнца: Планеты и спутники Солнечной системы.— М.: Мир,1 9 8 4 . - 3 1 6 с.

64. Херрик Астродинамика.— М.: Мир, 1978. — Т. 3. — 360 с.

65. Холл Д., Уатт Д. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1979.— 312 с.

66. Чазов В. В. Создание численно-аналитической теории движения небесных тел //Околоземная астрономия — 2003: Сборник трудов конференции, Терскол, 8—13 сент., 2003 / Ин-т астрон. РАН. — Т. 1.— СПб: ВВМ, 2003.— 171-175.

67. Чеботарев Г. А. Аналитические и численные методы небесной механики.— М., Л.:Наука, 1965. — 368 с.

68. Шарлье К. Небесная механика. — М.: Наука, 1966.— 628 с.

69. Штеттер X. Д. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1978. — 664 с.

70. Штифелъ Е., Шейфеле Т. Линейная и регулярная небесная механика.— М.: Наука,1975.-304 с.

71. Электронный каталог орбитальной эволюции малых тел солнечной системы. — Электронный ресурс. Режим доступа: http://smallbodies.ru/.

72. The asteroid orbital elements database. — Electronic Resource. Access Regime:ftp://ftp.lowell.edu/pub/elgb/astorb.html.

73. Bulirsh R., Stoer J. Numerical treatment of ordinary differential equations by extrapolation methods // Num. Math. — 1966. — no. 8. — Pp. 1-13.

74. Butcher J. On the convergence of numerical solutions to ordinary differential equations // Math. Сотр. — 1966. — no. 20. — Pp. 1-10.

75. Butcher J. C. The effective order of Runge-Kutta methods // Lecture Notes in Mathematics, Berlin: Springer. — 1969. — no. 109. — P p . 133-139.

76. Christou A. A. The statistics of flight opportunities to accessible near-Earth asteroids //Planet, and Space Sci. — 2003. — Vol. 51, no. 3. — Pp. 221-231.

77. Cohen C. J., Hubbard E. C. An algorithm applicable to numerical integration of orbits inmultirevolution steps // Astron. J.— 1960.— Vol. 65 .— Pp. 454-456.

78. Dahlquist G. Convergence and stability in the numerical integration of ordinal differentialequations // Math. Scand. — 1956. — no. 4. — Pp. 33-53.

79. D'Alembert. Opuscules mathematics, ou memories sur differents Sujets de Geometrie, deMechanique d'Optique, d'Astronomie. — Paris, 1773.

80. Davis P. J. Interpolation and approximation. — New York: Dover, 1975. — 368 pp.

81. Dikova S. Asteroids — the modern challenge of celestial dynamics // Proceedings of theConference «Asteroids, Comets, Meteors» (ACM 2002), Berlin, 29 July-2 Aug., 2002.— Noordwijk: ESTEC, 2002. - P p . 381-384.

83. Fehlberg E. Classical fifth, sixth, seventh and eighth order Runge-Kutta formulas withstep size control // Computing. — 1969. — Vol. 4. — P p . 93-106.

84. Gear C. W. Hybrid methods for the initial value problem in ordinary differential equations // SIAM J. Numer. Anal. — 1964. — no. 2. — P p . 69-86.

85. Gheorghiu C, Mure§an A. C. On the accuracy of Stormer/Verlet method as numerical integrator of the N-body problem // Rom. Astron. J. — 2006. — Vol. 16, no. 1. — Pp. 93-102.

86. Gragg W. B. On extrapolation algorithms for ordinary initial value problems // SIAM J.Numer. Anal. — 1965. — no. 2. — Pp. 384-403.

87. Henrici P. Discrete variable methods in ordinary differential equations. — New York: JohnWiley & Sons, 1962. - 407 pp.

88. Isaacson E., Keller H. B. Analysis of numerical methods.— New York: John Wiley &;Sons, 1966.—541 pp.

89. Kankiewicz P. Earth-Moon separation problem in the motion of near Earth asteroids / /Earth, Moon, and Planets.— 2002. — Vol. 91, no. 1.— Pp. 43-51.

90. Krasinsky G. A., Brumberg V. A. Secular increase of astronomical unit from analysis ofthe major planet motions, and its interpretation / / Celest. Mech. and Dyn. Astron.— 2004. — Vol. 90, no. 3-4. — Pp. 267-288.

91. Lambert J. D. Numerical Methods For Ordinary Differential Systems. — New York: JohnWiley & Sons, 1991. — 304 pp.

92. Liniger W., Willoughby R. A. Efficient integration methods for stiff systems of ordinarydifferential equations / / SIAM J. Numer. Anal— 1970. — no. 7. — Pp. 47-66.

93. Liu W., Zhang T. The concise numerical analysis for collinear solutions of N-body problem / / J. Beijing Norm. Univ. Natur. Sci.— 2005. — Vol. 41, no. 1. — Pp. 54-57.

94. Milani A., Gronchi G. F., De'Michieli V. M., Knezevic Z. Orbit determination with veryshort arcs / A. Milani, G. F. Gronchi, V. M. De'Michieli, Z. Knezevic / / Celest. Mech. and Dyn. Astron. — 2004. — Vol. 90, no. 1-2. — Pp. 59-87.

95. Muinonen K., Virtanen J., Bowell E. Collision probability for Earth-crossing asteroidsusing orbital ranging / / Celest. Mech. and Dyn. Astron.— 2001.— Vol. 81, no. 1-2.— Pp. 93-101.

98. Pitjeva E. V. EPM2002 and EPM2002C — two versions of high accuracy numericalplanetary ephemerides constructed for TDB and TCB time scales // Communication of

99. A RAN. - 2003. — no. 155. - Pp. 1-19.

100. A relativistic theory of motion of inner planets // Proceeding of the IAU Symp.: Relativityin Celestial Mechanics and Astrometry. — Kluwer: Dordrecht, 1986. — Pp. 63-68.

101. Rosaev A. E. Aten-Alinda orbital evolution: the example of possible interacting orbits //Proceedings of the Conference «Asteroids, Comets, Meteors» (ACM 2002), Berlin, 29 July-2 Aug., 2002. — Noordwijk: ESTEC, 2002.— Pp. 393-396.

102. Rumyantsev V. Parameters of apparent motion of asteroids which collide with the Earth //Proceedings of the Conference «Asteroids, Comets, Meteors» (ACM 2002), Berlin, 29 July-2 Aug., 2002. — Noordwijk: ESTEC, 2002.— Pp. 409-412.

103. Schafer W. A. Semi-analytical methods for computing the orbits of asteroids and comets //Proceedings of the Conference «Asteroids, Comets, Meteors» (ACM 2002), Berlin, 29 July-2 Aug., 2002. — Noordwijk: ESTEC, 2002.- Pp. 345-349.

104. Shampine L. F., Watts H. A. Block implicit one-step methods // Math. Сотр.— 1969.—no. 23. - Pp. 731-740.

105. Shefer V. A. New methods for the study of the motion of asteroids and comets // 26General Assembly of the International Astronomical Union, Prague, Aug. 14-25, 2006: Abstract Book. — Paris: Int. Astron. Union, 2006. — P. 100.

106. Spijker M. N. Convergence and stability of step-by-step methods for the numerical solutionof initial value problems // Num. Math. — 1966. — no. 8. — Pp. 161-177.

107. Standish E. M. JPL planetary and lunar ephemerides, DE403/LE405: Interoffice Memorandum 312. F-98-048: Jet Propulsion Laboratory, 1998.— August.

108. Vigo-Aguiar J., Simos Т. E. An exponentially fitted and trigonometrically fitted methodfor the numerical solution of orbital problems // Astron. J.— 2001.— Vol. 122, no. 3.— Pp. 1656-1660.