Математическое моделирование движения небесных тел с использованием банка данных координат больших планет тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Заусаев, Дмитрий Анатольевич

• Заусаев, Дмитрий Анатольевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Заусаев, Дмитрий Анатольевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1.1 Аналитический обзор и постановка задачи

1.1 Совеременные численные методы решения дифференциальных уравнений движения

1.1.1 Метод тейлоровских разложений

1.1.2 Методы Рунге-Кутты

1.1.3 Методы Адамса

1.2 Сходимость и устойчивость численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений

1.2.1. Интегрируемость и устойчивость в задачах небесной механики

1.2.2. Нуль-устойчивость

1.2.3. Области абсолютной и относительной устойчивости

1.3 Оценка погрешности численных методов для задачи Коши

1.3.1 Источники погрешностей

1.3.2 Оценка погрешности методом экстраполяции

1.3.3. Оценка локальной погрешности дискретизации одношаговых методов

1.4 Основные сведения о проблеме изучения движения малых тел Солнечной системы

1.5 Постановка задачи

ГЛАВА 2. Дифференциальные уравнения движения. Метод Эверхарта

2.1 Дифференциальные уравнения движения

2.2 Метод Эверхарта

2.3 Алгоритм интегрирования

2.4 Модификация метода Эверхарта

2.5 Связь неявного метода Эверхарта с неявными методами Рунге-Кутты

2.6 Устойчивость метода Эверхарта

2.7 Численное интегрирование уравнений движения небесных тел модифицированным методом Эверхарта

2.8 Выводы по главе 2

ГЛАВА 3. Разработка математической модели и метода решения дифференциальных уравнений движения малых тел Солнечной системы с использованием банка данных координат возмущающих планет

3.1 Создание банка данных оскулирующих элементов возмущающих тел (Меркурий-Плутон) и Луны на основе современной численной теории ОЕ-405

3.1.1 Метод вычисления оскулирующих элементов больших планет по известным координатам и скоростям

3.1.2 Нахождение координат и скоростей больших планет и Луны по оскулирующим элементам

3.1.3 Создание банка данных оскулирующих элементов больших планет и Луны путем совместного интегрирования

3.2 Использование уточненного банка данных оскулирующих элементов больших планет для численного интегрирования уравнений движения малых тел Солнечной системы

3.3 Использование банка данных координат больших планет в форме коэффициентов полинома Эверхарта для численного интегрирования уравнений движения небесных тел

3.4 Вычисление эфемерид больших планет и Луны на основании разложений

по полиномам Чебышева

3.4.1 Полиномы Чебышева

3.4.2 Банк данных координат больших планет, Луны и Солнца

3.5 Численное интегрирование уравнений движения малых тел Солнечной системы с использованием банка данных координат больших планет

3.6 Использование дифференциальных уравнений в форме Энке для исследования движения малых тел Солнечной системы

3.6.1 Модифицированные уравнения для метода Энке

3.6.2 Численное интегрирование модифицированных уравнений Энке описывающих движение малых тел Солнечной системы

3.7 Регуляризация дифференциальных уравнений движения возмущаемого тела с учетом гравитационных и релятивистских эффектов

3.8 Выводы по главе 3

ГЛАВА 4. Применение различных методов численного интегрирования с использованием банка данных координат планет к исследованию эволюции

орбит астероидов групп Аполлона Амура и Атона

4.1 Численное интегрирование уравнений движения астероида А1еп/2004 МЫ4 (Апофис)

4.2 Сравнение эффективности различных алгоритмов метода Эверхарта при численном интегрировании уравнений движения короткопериодических комет

4.3 Исследование устойчивости решений уравнений движения астероидов, сближающихся с большими планетами

4.4 Сравнения результатов вычислений с результатами других исследователей

4.5 Выводы по главе 4

ГЛАВА 5 Разработка программного обеспечения для математического моделирования движения малых тел Солнечной системы и его компьютерная

реализация

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование движения небесных тел с использованием банка данных координат больших планет»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Исследование эволюции орбит малых тел Солнечной системы является одним из основных этапов решения проблемы, связанной с астероидной опасностью. Вследствие того, что движение малых тел Солнечной системы описывается математической мрделью в форме систем дифференциальных уравнений, разработка методов численного интегрирования уравнений движения является актуальной задачей в настоящее время.

Проблеме астероидной опасности посвящен ряд работ [2,5,7,16,23,36,40,41,137], в которых дается оценка степени сближения и вероятности столкновения потенциально опасных астероидов с Землей. Помимо этого при решении задач, связанных с этой проблемой, требуется проводить регулярные исследования движения свыше 10000 астероидов групп Аполлона, Амура, Атона и более 250 короткопериодических комет на интервале времени порядка нескольких столетий. Даже при наличии современных средств вычислительной техники решение данной задачи вызывает определенные трудности. Создание высокоэффективных алгоритмов и программ численного интегрирования уравнений движения небесных тел является необходимым условием для своевременного получения результатов проведенных исследований. Повышение эффективности работы программы при решении уравнений движения небесных тел можно достичь двумя путями: либо путем создания банка данных координат больших планет, либо путем модификации метода численного интегрирования.

Для учета возмущений при численном интегрировании уравнений движения каким либо методом должны быть известны координаты возмущающих планет. Если координаты задаются табличным массивом с определенным интервалом, то внутри интервала координаты планет на нужный момент времени можно получать с помощью различных интерполяционных формул. Существуют различные подходы для получения точных положений планет на заданный момент времени. Например, интерполирование координат и скоростей внутри табличных массивов можно получать путем разложения во временные ряды или находить с помощью оскулирующих элементов небесных тел [8,25,129].

Создание банка данных координат больших планет способствует понижению порядка системы дифференциальных уравнений с 72 до 6, что более чем на порядок сокращает расчетное время практически без потери точности решения. Однако эффективность работы программ существенным образом зависит от формы хранения координат возмущающих тел. Обычно координаты задаются табличным массивом с определенным интервалом. Тогда с

помощью интерполяционных формул можно получить координаты возмущающей планеты на нужный момент времени. Неудобство такого способа хранения состоит в том, что координаты внутренних планет должны быть известны с небольшим интервалом. Хранение координат планет в форме оскулирующих элементов, в форме коэффициентов полиномов Чебышева или Эверхарта, что и использовано в настоящей работе, позволяет избежать этой трудности.

Вышеизложенное и определяет актуальность тематики диссертационного исследования.

Целью диссертационной работы является разработка модифицированной математической модели движения небесных тел на основе эффективных методов численного интегрирования малых тел Солнечной ситемы, сближающихся с Землей, с использованием банка данных координат больших планет.

Достижение данной цели напрямую связано с выполнением следующих задач:

1) разработка модифицированной математической модели для описания движения малых тел Солнечной системы, сближающихся с Землей, с использованием банка данных координат больших планет.

2) создание банка данных для барицентрических координат и скоростей больших планет, Луны и Солнца

3) разработка алгоритмов и комплекса программ численного интегрирования уравнений движения небесных тел на основе метода Эверхарта с использованием банка данных координат больших планет.

4) исследование сходимости и устойчивости, как для систем дифференциальных уравнений задачи Коши, так и численного метода.

5) оценка погрешности математической модели и численных методов.

6) проведение исследования эволюции орбит небесных тел на интервале времени с 1800 по 2200 гг.

Методы исследования. В диссертационной работе применялись следующие методы:

1) методы математического моделирования управляемых систем.

2) численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений

3) методы устойчивости и управления.

4) методы объектно-ориентированного программирования.

Научная новизна.

1. Разработана модифицированная математическая модель для описания движения малых тел Солнечной системы с использованием банка данных координат планет в форме оскулирующих элементов, коэффициентов полиномов Чебышева и Эверхарта, что, в отличии от существующих подходов, позволило понизить порядок системы дифференциальных уравнений с 72 до 6 и более чем на порядок сократить расчетное время без существенной потери точности решения.

2. Созданы алгоритмы и программное обеспечение с использованием банка данных координат планет для исследования эволюции орбит небесных тел.

3. Разработан алгоритм и программа численного интегрирования уравнений движения небесного тела с учетом гравитационных и релятивистских эффектов на основе регуляризирующего преобразования Кустанхеймо - Штифеля.

4. Проведено исследование устойчивости решений системы дифференциальных уравнений модифицированным методом Эверхарта для различных небесных тел, представляющих потенциальную угрозу для Земли.

5. На основе усовершенствованной информационной технологии создан банк данных орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы, представляющих потенциальную опасность для Земли.

Теоретическая и практическая значимость работы.

1. Разработанные алгоритмы и программы имеют универсальный характер и могут быть использованы для исследования эволюции орбит астероидов, комет и метеорных потоков.

2. Созданный программный комплекс для исследования движения небесных тел может быть использован для выявления объектов, предстасляющих опасность столкновения с Землей.

3. Багодаря высокому быстродействию, разработанные программы могут быть использованы для оценки вероятности столкновения потенциально опасных небесных тел с Землей при использовании статистических методов.

4. Результаты исследования эволюции орбит короткопериодических комет и астероидов групп Аполлона, Амура и Атона могут быть использованы для нахождения эфемерид, необходимых для проведения оптических и радиолокационных наблюдений.

Достоверность полученных результатов обеспечивается:

1) сравнением с данными наблюдений, полученными оптическими и радиолокационными методами;

2) путем сопоставления с результатами других исследователей;

7

3) апробацией результатов диссертации на международных и всероссийских конференциях.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Модифицированная математическая модель для описания движения малых тел Солнечной системы с использованием банка данных координат планет в форме оскулирующих элементов, коэффициентов полиномов Чебышева и Эверхарта

2. Алгоритмы и комплексы программа численного интегрирования уравнений движения небесного тела с учетом гравитационных и релятивистских эффектов на основе регуляризирующего преобразования Кустанхеймо - Штифеля.

3. Результаты исследования устойчивости, сходимости и погрешности решений математической модели в формеб системы дифференциальных уравнений

4. Результаты исследования эволюции орбит малых тел Солнечной системы, представляющих потенциальную угрозу для Земли.

Связь диссертационной работы с планами научных исследований.

Работа выполнялась в рамках плана НИР СамГТУ (тема «Разработка методов математического моделирования динамики и деградации процессов в механике сплошных сред, технических, экономических, биологических и социальных системах и методов решения неклассических краевых задач и их приложений».); проекта Федерального агентства по образованию РФ (проект РНП 2.1.1.1689): «Создание информационной среды на базе современных математических моделей и методов для исследования эволюции малых тел в Солнечной системе» в рамках аналитической ведомственной целевой программы: «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 гг).»; проекта Министерства образования и науки РФ (проект РНП 2.1.1.505): «Создание научно-информационной базы данных эволюции орбит малых тел Солнечной системы, представляющих потенциальную опасность для Земли» в рамках аналитической ведомственной целевой программы; «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 гг).»; проекта министерства образования и науки РФ (проект РНП 2.534.2011): . «Разработка математического и программного обеспечения для исследования эволюции орбит главных метеорных потоков (2011-2012 гг.)».

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на десятой

Международной конференции «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2010.);

на Всероссийских научных конференциях с международным участием «Математическое

моделирование и краевые задачи» (Самара, 2009, 2010, 2011, 2013), XIX Международной

8

конференции «Решетневские чтения» (г. Красноярск 2010 г.); Международной молодежной научной конференции по естественнонаучным и техническим дисциплинам «Научному прогрессу - творчество молодых» (г. Йошкар-Ола, 2010 г.). На Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (г. Ульяновск, 2009 г.) На научном семинаре «Механик и прикладная математика» Самарского государственного технического университета (рук. проф. Радченко В.П., 2011-2013 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ, из которых 6 входят в список изданий, рекомендованных ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора. Работы [29,30, 32,33] выполнены самостоятельно, в работах [25-28, 31, 34] диссертанту принадлежит совместная постановка задачи, лично соискателем построены решения задач, разработано алглритмическое и программное обеспечение, выполнены расчеты и анализ результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, общих выводов, списка литературы и двух приложений, в которых приведены выдержки из печатного варианта каталога орбитальной эволюции короткопериодических комет и листинги разработанных программ. Общий объем диссертации 164 страницы, включая 4 рисунка и 55 таблиц. Библиографический список включает 137 наименований.

ГЛАВА 1. Аналитический обзор и постановка задачи

1.1 Современные численные методы решения дифференциальных уравнений движения

Большинство задач небесной механики описываются математическими моделями в форме обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом получение точных решений возможно лишь для ограниченного класса задач. Для задач, не имеющих точных аналитических решений, возникает необходимость в разработке приближенных численных методов решения. Рассматриваемые в дальнейшем методы известны как дискретные методы, посредством которых вычисляется последовательность приближений уп «у(хп) на множестве точек, хп+х = хп + кп , п = 0,1,2,...,N-1, х0=а,х/У =Ь, где у(хп), у„-точное и приближенное решения соответственно, Ип > 0 - шаг сетки. Основные методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений изложены в

[6,10,14,52,53,55,58,68,72,80,87,88,91,92,93,98,106,107,111,115,127,128] и других работах. Для

решения задач небесной механики разработаны специальные алгоритмы и методы, изложенные в работах [3,11,12,13,25,46,83,84,90,103,105,114,117,122,123,126].

Рассмотрим наиболее употребляемые классические методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений, модификации которых широко используются в задачах математического моделирования движения «-тел

1.1.1 Метод тейлоровских разложений

Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение

Наиболее простым способом построения решения в точке хп+1, если оно известно в точке хп , является способ, основанный на разложении решения в ряд Тейлора [6,72]

У' = /(х,у)

(1.1)

с заданным начальным условием

У(Ч) = Уо

(1.2)

у(хп+{) = у(хп) + ИА(хп,уп,И), п = 0,1,2,... , И к2

где А(хп,уп,И) = у'(хп) + — у"(хп) + — у'"(хп) + ... .

(1.3)

Если этот ряд ограничить р членами и заменить у(хп) приближенным значением уп, получим следующую приближенную формулу для определения уп+j:

Уп+\ = У„ +h(p{x„,y„,h), п = 0,1,2,..., (1.4)

h hp'] , _n

где <p(x,y,h) = f(x,y) + -f'(x,y) + ... + —-f(p 1}(x,y).

21 pi

Для p = 1 имеем метод Эйлера

Уп+1 = Уп+ hf(x n->S п > •

(1.5)

Формулы (1.4), (1.5) не требуют вычисления дополнительных начальных условий и позволяют легко менять шаг интегрирования и порядок аппроксимирующей формулы.

Не представляет труда записать уравнения (1.1) и (1.2) в векторной форме. Следует отметить, что метод тейлоровских разложений до 12 порядка в задачах небесной механики был успешно применен в работах [3,53].

1.1.2 Методы Рунге-Кутты

Методы Рунге-Кутты основаны на построении формул для функции (р, которая максимально близка к А и не содержит производных от функции /. Этот процесс замены рядов Тейлора функцией <р(х, у, К) для двухэтапного метода можно представить следующим образом. Положим

<P(x,y,h) = c\f(x,y) + c2f(x + ha2, у + b2\hf(x,y)), (1.6)

где Cj, c2, a2, b2\ ~ неизвестные постоянные, подлежащие определению. Для нахождения этих постоянных представим функции <р и Д в виде разложения по степеням h. В результате получим [72,116]

<р{х,у,И) = (с, +c2)f(x,y)+ hc2\a2f'x{x,y) + b2\ f;(x,y)f(x,y)]+0(h2), (1.7)

Д(х, у, К) = fix, у) +1 h[fx (X, у) + /; (х, у) fix, y)]+Oih2). (1.8)

Из (1.5) и (1.6) для определения с,, с2, а2, Ъ2Х получим уравнения

с,+с2=1, с2а2=^, с2Ь2]=(1.9)

Таким образом, получены три уравнения для четырех неизвестных. Так как в общем

2

случае нельзя найти соотношений для членов порядка Oih ), то один из параметров можно положить свободным. Пусть с2 = а, где а 0. Тогда

С] = 1 - а, а2 = Ь2\ =

2 а

При а = имеем формулу

Уп+1 =Уп +к

^ /(*„ >уп) + ^ Яхп +Ку„+ ¥(хп. уп))

(1.10)

Для т-этапного метода Рунге-Кутты формулу (1.10) можно обобщить, используя т вычислений функции /(х,у) на каждом шаге интегрирования. В этом случае получается явный т-этапный метод Рунге-Кутты [116]:

Уп+1 =Уп+н<Р(хп>Уп>Ь)>

<р(х,у,И) = *Гсгкг, кх =/(х,у),

(1.11)

г-1

кг = /(х + Иаг,у + ), г = 2, 3, ...

5 = 1

Формула для нахождения кг удобна для практического использования при решении обыкновенных дифференциальных уравнений, так как она не требует вычисления дополнительных начальных данных и позволяет легко менять шаг интегрирования.

Наиболее известной является формула четырехэтапного метода [10]:

к

Уп+1 = Уп + 7 + 2к2 + 2кЪ + кА )> 6

к\=/(хп,уп), к2 =Дх„ +^И,уп +~Ик{), (1.12)

кз = /(*и + кА =/(х„ +И,уп+У1къ).

Полагая, что в формуле (1.11) коэффициенты {кг} определяются из системы т

нелинейных уравнений, получим более точный неявный тп-этапный метод Рунге-Кутты [116]:

Уп+1 =Уп +Ь<Р(хп>Уп>И)'

т

<р(х,у,к) = ^сгкг,

Г=1

кг=/

х + каг,у + к^Ьг$к$

, г = 1, 2, ..., т.

(1.13)

5=1 ;

Методы (1.13) являются более точными, чем соответствующие явные ш-этапные методы (1.11), так как они содержат больше параметров. Однако вычислительный алгоритм при этом

12

значительно усложняется, поскольку приходится для нахождения коэффициентов аг ,ЬГ5 ,кг использовать итерационные методы.

Следует отметить, что методы типа Рунге-Кутты (метод Эверхарта) в задачах небесной механики широко использовались в работах [19,37-39,66,104].

1.1.3 Методы Адамса

В рассматриваемых выше одношаговых методах после того как уп+1 получено, приближение уп уже не используется в дальнейших расчетах. Идея многошаговых методов состоит в использовании некоторых предварительно вычисленных значений уп,уп-\,-;Уп-к ■ Способ построения многошаговых методов заключается в следующем.

Интегрируя у' = /(х,у), хе[а,6], у(а) = у<), в пределах от х до х + £, получаем [72,96,116]

+ ¡/0,у(0ж (1.14)

X

где л: и х + £ - некоторые точки, принадлежащие отрезку [а,Ь]. Функцию /(/\.у(0) заменим интерполяционным полиномом, принимающим значения /п = /(хп,уп) на множестве точек хп , в которых уп ранее вычислены.

Если хп,хп_\,...,хп_к являются узлами интерполяции, то интерполяционный полином в форме Ньютона для функции /(х, у) можно записать в виде

к

г=0

V г )

V'/„, * = (1.15)

п

где

^ 5(5 — 1)...(5 — v + 1)

'—-, /п-г-тая разность функции /(х„,уп). Подставляя

г\

\г/

интерполяционный полином вместо подынтегральной функции в выражение (1.14) и проинтегрировав его, получим различные формулы, которые определяются положением точек х и х + ^г относительно узлов интерполяции. Например, при х = хп, = к получаем формулу

хп+1 к

уп+\ -Уп = а.1б)

/-=0

которая соответствует методу Адамса-Бэшфорта. Полагая х = хп_х, £ = к, получаем формулу [72]

Уп-Уп-\=Ь^уХ/п, (1.17)

r=0

которая соответствует методу Адамса-Мултона. Формулы Адамса (1.16) и (1.17) представляют собой соответственно класс явных и неявных методов.

На практике широко используются два типа методов Адамса - явные и неявные. Явные методы известны как методы Адамса-Бэшфорта, неявные - как методы Адамса-Мултона.

Следует отметить, что неявные методы Адамса-Мултона 12-го порядка использовались при создании численной теории движения больших планет, Луны и Солнца DE405 [130], а также для численного интегрирования дифференциальных уравнений движения в работе [2].

1.2 Сходимость и устойчивость численных методов

решения обыкновенных дифференциальных уравнений

1.2.1. Интегрируемость и устойчивость в задачах небесной механики

В разное время понятию «решение дифференциальных уравнений» придавалось разное содержание. Лагранж и Лаплас полагали, что задача считается интегрируемой, если она выражается в квадратурах [114,117].

Позднее стали считать, что задачу можно отнести к интегрируемым задачам, если возможно найти решение дифференциальных уравнений в виде рядов, сходящихся для определенных заданных параметров. В задачах небесной механики этими параметрами могут быть массы тел, элементы орбит и т.д.

Пуанкаре ввел понятие практической интегрируемости задач небесной механики [61,62]. Под этим понятием он понимал нахождение решения, удовлетворительно представляющего наблюдения и охватывающего приемлемый промежуток времени.

Понятие устойчивости решения в разное время трактовалось по-разному. Первым, по-видимому, появилось понятие устойчивости по Лагранжу, затем, устойчивости по Пуассону, устойчивости по Хиллу, устойчивости по Ляпунову, устойчивость по Далквисту [49,98]. Рассмотрим дифференциальное уравнение

~ = f(x,t), (1.18)

at

где f(x,t) - n-мерная вектор-функция, которая определена в (п+1)-мерной области

Gn+1 = Gn х It, t € I, = {a, oo), x e Gn, Gn - область в «-мерном пространстве R". Определение устойчивости по Лагранжу дается следующим образом [1]:

Пусть Оп - область конечных размеров, принадлежащая п-мерному евклидову пространству

Яп . Будем считать, что Оп имеет конечные размеры, если для любых

х евп, у еСп: ||х-.у||<с,

где с - некоторая постоянная.

Частное решение уравнения (1.18) называется устойчивым по Лагранжу, если выполняются условия

х(?0)еа„, х(/)бС„,/>/0 (1.19)

Условие (1.19) означает ограниченность решения х(?) для всех значений / > ¿0 .

Понятия устойчивости по Хиллу и Якоби специально сформулированы для исследования поведения решений ограниченной задачи трех тел.

Формулировка устойчивости решения дифференциальных уравнений, данная Ляпуновым [49], получила наибольшее признание, а методы исследования, созданные им, оказались самыми эффективными.

Пусть уравнение (1.18) имеет частное решение х = х(/), которое будем называть невозмущенным.

Определение 1.1 [1]. Частное решение х = х(^) называется устойчивым по Ляпунову по отношению к вектору х, если для любого £ > 0 и е (а, со) существует 5 = 8{е, /0)>0 такое, что выполняются следующие условия:

1) все решения х(?) (в том числе и х(/)), удовлетворяющие условию || х(/) - х(/0) || < 8 определены в бесконечном интервале /0 < / < оо ;

2) для этих решений справедливо неравенство || х(0 - х(г0) || < е при всех /0 < г < со (здесь

п

норма вектора х(/) понимается как сумма модулей компонент ||х(0|| = (0|

/Ы

Определение 1.2 [1]. Если 3 = 8{е) (не зависит от /0еГ) и выполняются остальные условия определения 1.1, то решение х(/) называется равномерно устойчивым в области Т .

Определение 1.3 [1]. Решение х(0 называется асимптотически устойчивым при £ —>• со, если оно устойчиво и к тому же для любого е (а, со) существует Д = Д(/0) > 0 такое, что все решения х(/), удовлетворяющие начальному условию || х(/) - х(?0) || < Д, обладают свойством

Нш|| х(г) - х(0 II = 0 . /—>00

Рассмотрим теперь понятие орбитальной устойчивости.

Определение 1.4 [1]. Если решение x{t) существует при а </ < Ъ , то множество точек L = [x{t\ a<t<b} называется траекторией.

Определение 1.5 [1]. Положительной полутраекторией называется множество точек L+ - {x(i): t0 < t < oo}, отрицательной - множество точек 17 = {х(/) : - со < / < /0}.

Определение 1.6 [1]. Расстояние точки х е Rn до некоторого множества L с R" называется величина р(х, L) = inf ie/ |х - ^Ц, где р(х, L) - расстояние точки х до ближайшей точки множества L.

Определение 1.7 [1]. Решение x(t) уравнения (1.18) при Ге[Г0,со) называется орбитально устойчивым при t —> оо , если для любого s > 0 существует S = S(e,t0)> О такое, что при || x(i0) -х(?0) || < 8 выполняется неравенство p{x(t),L+)<e при /0 < / < со,

где L+= {x(t): (q <t <со), Если к тому же lim^^ p(x(t), L+) = 0, то решение асимптотически устойчиво.

Условие (1.19) означает ограниченность решения x(t) для всех значений t >t0 .

Перейдем теперь к понятию устойчивости методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть необходимо численно решить следующую задачу Коши:

У'= /(х, У), хе[а,Ь]\ У(а) = у0; у, f е Rs. (1.20)

Рассмотрим следующий класс общих А'-шаговых методов [72]: к

Z^i^+I О-21)

¿=о

О < п< N - к, yr = Sr (h), 0 <r <к (начальные значения).

Метод (1-21) порождает последовательность приближенных решений (yn\n = Q, 1,..., N), где уп- приближение к у(хп) - точному решению, xn=a + nh и Nh = b-а.

Формула (1.21) включает в себя достаточно широкий набор методов, таких как линейные многошаговые методы; предсказывающее - исправляющие методы; методы Рунге-Кутты, как явные, так и неявные.

Введем два характеристических полинома р{в) и а(в) посредством формул

к к

;=0 /=0

Полная погрешность метода (1.21) при применении его к задаче (1.20) определяется как \yn-y(xn)\,0<n<N.

Определение 1.8 [72]. Метод из класса (1.21) сходится, если для каждой задачи из класса (1.20) выполняется

шах \у - у(хп )| -> 0 при /г —> 0.

0 <n<N

Рассмотрим, каким условиям должен удовлетворять метод из класса (1.21) для того, чтобы он сходился.

Определение 1.9 [72]. Локальная погрешность дискретизации dn метода (1.21) в точке хп определяется следующим образом:

dr=y(xr)-Sr(hl 0 <г<к,

dn+k =^^r\llC(ly(xn+I)-h(Pj(.xn^y(xn+kl---,y(xn),h)\, (1.22)

Р 0)h Uo J

где >>(;*:) - точное решение задачи (1.20), dn+k - невязка, получаемая при подстановке

точного решения в формулу (1.21). Теперь определим допустимый уровень локальной точности.

Определение 1.10 [72]. Метод из класса (1.21) является согласованным, если

max \d J -» 0 при h —> 0, (1.23)

0 <n<N

и имеет порядок согласованности (аппроксимации) р , если max \dn \ = 0(hp).

0< n<N

Сформулируем теперь необходимые и достаточные условия согласованности метода из класса (1.21).

Теорема 1.1 [72]. Метод из класса (1.21) согласован тогда и только тогда, когда выполнены условия

уг у0 при Л -> 0, Q<r<k, (1.24)

= м 1) = 0, (1.25)

(=0

<Pf(xn,y(xn+k)>->y(xn)'h)^> р'(\)f(xn>y(xn)) пРи h-+0, хп =a + nh.

Воспроизведем доказательство теоремы. Так как у(х) е С'[а, 6], то, применяя теорему Лагранжа, соотношение (1.22) можно записать в виде

Ап+к = —г^ГТ1X а1 ЫХП) + %'(*„ + Л 'Л)] -к<рЛхп, у(хп+к),..., у(х„), к) 1 = Р 1«=о

1 [ * Г* 1(1'26)

Р 0)А [ (=0 Ь=о ]

где 0 < п < N - к.

Из выражения (1.26) следует, что —> 0 при /г-> 0, когда выполняются условия

теоремы 1.1. Согласованность допускает минимальный уровень локальной точности и является необходимым условием для сходимости.

Теорема 1.2 [72]. Сходящийся метод из класса (1.21) с необходимостью является согласованным.

Однако согласованность недостаточна для сходимости методов из класса (1.21), т.е. обратная теорема неверна.

1.2.2. Нуль-устойчивость

Одним из важных вопросов при численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений является проблема устойчивости как самих дифференциальных уравнений, так и численных методов.

Рассмотрим класс возмущенных задач

г' = /(х, г) + 8(х), г(а) = у о+8, х е [а, Ь], где (<5(х),£) - возмущение, а г(х)-возмущенное решение.

Определение 1.11 [72,87]. Пусть (¿>(х),<5), (8* (х),8*) - некоторые возмущения, и пусть

г(х), г* (х) - возмущенные решения. Тогда, если существует положительная постоянная 5 такая, что для любого х е [а, 6] выполняется

г(х) - г (х)

<Бе, (1.27)

если

8(х)-8 (х) < £ и 8-8 <£, задача Коши (1.21) абсолютно устойчива.

Класс задач, для которых условие (1.27) не выполняется, являются неустойчивыми. Очевидно, что если задача Коши не является абсолютно устойчивой, то нет возможности получить приемлемое решение каким-либо разностным методом, если при этом сам этот метод не является устойчивым.

Рассмотрим класс возмущенных методов вида (1.21): 2Г = БГ{И) + 8Г, 0 <г < к,

= к(рг{хп,гп+к,...,1п,И) + 8п+к, 0 < п < N - к,

где (5п | я = 0, 1, ..., Ы) - возмущение, а (гп\п = 0, 1, ... , ТУ) - возмущенное решение.

Определение 1.12 [98]. Пусть (5п \ п = 0, 1,..., Щ , {5п \ п = 0, 1,..., Щ - некоторые

возмущения, и пусть {т.п \ п = 0, 1,..., И) и (гп | п = 0, 1,..., ./V) - возмущенные решения. Тогда, если существуют постоянные /г0 и 5 такие, что для любого И е (0, выполняется

гп-г*п <Б£ , 0<и<УУ,при 8п-8*п <е, 0 < п < N , то метод (1.21) нуль - устойчив

или Э - устойчив (устойчив по Далквисту).

Определение 1.13 [72]. Считается, что метод (1.21) удовлетворяет корневому условию, если все корни характеристического полинома р{в) лежат внутри единичной окружности или на самой этой окружности, причем те корни, которые лежат на единичной окружности, являются простыми.

Следует заметить, что если метод (1-21) согласованный, то полином р(в) обязательно имеет корень £?,=+1.

Определение 1.14 [72]. Метод (1.21) удовлетворяет сильному корневому условию, если его характеристический полином р(в) имеет простой корень +1, а все остальные корни лежат строго внутри единичного круга.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Заусаев, Дмитрий Анатольевич, 2013 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ источников и

ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребенников Е.А., Демин В.Г., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М.: Наука, 1976. 862 с.

2. Абрамов В.В. Электронный каталог орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы: разработка информационной базы и Интернет-ресурса // Вестник Самарского государственного технического ун-та, Серия: Физ.-мат. науки. - 2008. - №2(17). - С. 275-278.

3. Алтынбаев Ф.Х. Численное интегрирование уравнений движения небесных объектов методом разложения в ряд Тейлора с учетом релятивистских эффектов // Вестник Самарского государственного технического ун-та, Серия: Физ.-мат. науки. - 2005. -№34. - С. 202-204.

4. Альвен X, Аррениус Г. Эволюция Солнечной системы. М.: Мир. 1979. 512 с.

5. Астероидно-кометная опасность: вчера, сегодня, завтра под редакцией Б.М. Шустова, Л.В. Рыхловой. М.: Физматлит, 2010. 384 с.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы М.: Наука, 2002. 630 с.

7. Башаков A.A., Питьев Н.П., Соколов Л.Л. Особенности движения астероида 99942 Апофис // Астрономический вестник - 2008. - Т. 42, № 1. - С. 20-29.

8. Беляев H.A. Эволюция орбиты кометы Даниэля 1909IV за 400 лет (1660-2060 гг.) // Бюлл.ИТА. 1966. Т. 10. №10. С.696-710.

9. Беляев H.A., Кресак Л., Питтих Э.М., Пушкарев А.Н. Каталог короткопериодических комет. Братислава, 1986. 398 с.

10. Березин И. С, Жидков Н.П. Методы вычислений. - М.: Физматлит, 1962. - 640 с.

11. Бордовицина Т. В. Алгоритмы численного моделирования движения малых тел Солнечной системы // Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века. СПб. 2000. С. 208-211.

12. Бордовицина Т.В. Алгоритмы численного моделирования движения малых тел Солнечной системы//Тр. ИПА РАН. 2001. Вып. 6. С. 160-169.

13. Бордовицина Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука, 1984. 136 с.

14. БрауэрД., Клеменс Д. Методы небесной механики. М.: Мир, 1964. 516 с.

15. Брумберг В.А. Релятивистская небесная механика. М.: Наука, 1972. 382 с.

16. Виноградова Т.А., Железное Н.Б., Кузнецов В.Б. Каталог потенциально опасных астероидов и комет//Тр. ИПА. 2003. Т.9, С. 11-218.

17. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Физматгиз, 1963, 588 с.

18. Денисов С.С. Создание банков данных астероидов, сближающихся с Землей // Международная конференция: «100 лет Тунгусскому феномену: прошлое, настоящее, будущее». -М.: 2008. С. 114-115.

19. Денисов С.С. Разработка программного обеспечения для автоматизации процесса создания банка данных эволюции орбит астероидов // Вестник Самарского государственного технического ун-та. Серия: Физ.-мат. науки. - 2011. - №4(25). - С. 200-202.

20. ДубягоА.Д. Определение орбит. М., J1: 1949. 444 с.

21. Емельяненко НЛО. Динамика орбит комет при тесном сближении с Юпитером. Анализ длительности сближений // Астрон. вестник. 2003. Т. 37. № 2. С. 174-182.

22. Железное Н.Б., Шор В.А. Компьютерные разработки лаборатории малых тел Солнечной системы. ИПА РАН //Физика Космоса, Труды 32 Международной студенческой научной конференции - 2003. - Т. 1-3. С. 88-96.

23. Заботин A.C. ,Кочеткова О.М, Шор В.А. Сближение малой планеты (99942) Apophis 2004 MN4 с Землей в 2029 г. // Всероссийская конференция «Астероиднокометная опасность» - 3-7 октября 2005 г., С.-Петербург: ИПА РАН. 2005. С.134-137.

24. Заусаев А.Ф., Заусаев A.A. Математическое моделирование орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы // М.: Машиностроение. - 2008. - 250 с.

25. Заусаев А.Ф., Заусаев Д.А. Методы интерполяции, используемые для получения координат и элементов орбит больших планет и малых тел Солнечной системы // Вестник Самарского государственного технического ун-та, Серия: Физ.-мат. науки. -

2008,- №2 (17)-С. 231-238.

26. Заусаев А. Ф., Заусаев Д.А. Интегрирование уравнений движения малых тел Солнечной системы методом оскулирующих элементов // Вестник Самарского государственного технического ун-та, Серия: Физ.-мат. науки. - 2009. - № 1 (18) - С. 228-238.

27. Заусаев А.Ф., Заусаев Д.А. Численное интегрирование уравнение движения малых тел Солнечной системы с использованием оскулирующих элементов больших планет // Вестник Самарского государственного технического ун-та, Серия: Физ.-мат. науки. -

2009. -№2(19) -С. 231 -239.

28. Заусаев А.Ф., Заусаев Д.А. Метод оекулирующих элементов, используемый для исследования эволюции орбит малых тел Солнечной системы // В сб.: Труды Седьмой Международной конференции «Мат. моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» 2-5 февраля 2009 года, Ульяновск: УлГУ, 2009.-С. 109-110.

29. Заусаев Д.А Применение банка данных оекулирующих элементов больших планет к исследованию эволюции астероидов, сближающихся с Землей за период с 1600-2200// Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки. Части 1-3 Математика, математическое моделирование, механика. Труды 5-го Международного форума (10-й Международной конференции) 25-27 ноября 2009. Самара: СамГТУ, 2010. - С. 90-95.

30. Заусаев Д.А Банк данных оекулирующих элементов больших планет и Луны за период 1600-2200 гг. // В сб.: Математическое моделирование и краевые задачи. Труды седьмой всероссийской научной конференции с международным участием. Секция 3 «Дифференциальные уравнения и краевые задачи» - Самара: СамГТУ, 2010. -С 119123.

31. Заусаев Д.А., Соловьев Л.А. Численное интегрирование уравнение движения небесных тел с учетом регуляризации и использованием оекулирующих элементов больших планет // Вестник Самарского государственного технического ун-та, Серия: Физ.-мат. науки. - 2010. - № 5 (21). - С. 305-308.

32. Заусаев Д.А. Использование банка данных координат больших планет для численного интегрирования уравнений движения астероидов групп Аполлона и Атона // В сб.: Математическое моделирование и краевые задачи. Труды седьмой всероссийской научной конференции с международным участием. - Самара: СамГТУ, С. 77-82.

33. Заусаев А.Ф., Заусаев Д.А. Численное интегрирование уравнений движения небесных тел с использованием оекулирующих элементов больших планет. В сб.: Решетневские чтения. Материалы XIV международной конференции, посвященной памяти генерального конструктора ракетно-космических систем академика М. Ф. Решетнева (10-12 ноября 2010 г. Красноярск) Часть 2. Красноярск: Сиб. гос. аэрокосм, ун-т, С 675-676.

34. Заусаев А.Ф., Заусаев A.A. Каталог орбитальной эволюции короткопериодических комет с 1800 по 2104 гг. М.: Машиностроение 1, 2007. 410 с.

35. Заусаев А.Ф., Заусаев A.A. Математическое моделирование и анализ эволюции орбит 25 короткопериодических комет и их сближений с большими планетами // Вестник Самарского государственного технического ун-та, Серия: Физ.-мат. науки. Вып. 16. Самара. 2002. С.57-61.

36. Заусаев А.Ф., Абрамов В.В., Денисов С.С. Каталог орбитальной эволюции астероидов, сближающихся с Землей с 1800 по 2204 гг. . М.: Машиностроение - 1, 2007. 608 с

37. Заусаев А.Ф., Заусаев A.A., Ольхин А.Г. Исследование эффективности метода Эверхарта на примере решения задач небесной механики // Актуальные проблемы математики и механики. Труды математического центра им. Н.И.Лобачевского. Том 25. Казань: КГУ. 2004. С. 122-123.

38. Заусаев А.Ф., Заусаев A.A., Ольхин А.Г. Оценка точности метода Эверхарта при решении уравнений движения больших планет на интервале времени 10 000 лет // Вестник Самарского государственного технического ун-та, Серия: Физ.-мат. науки. Вып. 30. 2004. С. 108-113.

39. Заусаев А. Ф., Заусаев A.A., Ольхин А.Г. Численное интегрирование уравнений движения больших планет (Меркурий-Плутон) и Луны с учетом радиолокационных наблюдений // Вестник Самарского государственного технического ун-та, Серия: Физ.-мат. науки. Вып. 26. 2004 С.43-47.

40. Заусаев А. Ф., Денисов С.С., Деревянка А.Е. Исследование эволюции астероида 2012 DA14 // Вестник Самарского государственного технического ун-та. Серия физ.-матем. науки - 2012. -№3(28). - С. 211-215.

41. Ивашкин В.В., Стихно К.А. Анализ проблемы коррекции орбиты астероида Апофис // «Околоземная астрономия 2007». Тр. Междунар. конф. 3-7 сент. 2007, Терскол. Нальчик. Изд. КБНЦ РАН, С. 44^8.

42. Казимирчак-Полонская Е.И. Обзор исследований тесных сближений короткопериодических комет с Юпитером (1770—1960) // Труды ИТА. 1961. Вып. 7. С.19-190.

43. Казимирчак-Полонская Е.И. Некоторые актуальные задачи кометной астрономии с современных позиций небесной механики // Труды ИТА АН СССР. 1967. Вып. 12. С.3-23.

44. Казимирчак-Полонская Е.И. Эволюция орбит короткопериодических комет на интервале 1660-2060 гг. и роль внешних планет в этой эволюции // Астрон.журнал. 1967. №2. С.439-460.

45. Красинский Г.А., Питьева Е.В., Свешников М.Л., Свешникова Е.С. Уточнение эфемерид внутренних планет и Луны по радиолокационным, лазерным и мередианным измерениям 1961-1980 гг. // Бюлл. ИТА. 1982. Т. 3. С.145-163.

46. Куликов Д.К. Интегрирование уравнений движения небесной механики на электронных вычислительных машинах по квадратурному методу Коуэлла с автоматическим выбором шага // Бюлл. ИТА. 1960. №10. С.770-797.

47. Левин Б.Ю. Физическая теория метеоров и метеорное вещество в солнечной системе. М.: Изд-во АН. 1956. 290 с.

48. Ловелл Б. Метеорная астрономия. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1958. - 489 С.

49. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М: Гостехиздат, 1950. 473 с.

50. Медведев Ю.Д. Обзор исследований по динамике комет // Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века. СПб.: ИПА РАН, 2000. С.200-203.

51. Монтенбрук О., Пфлегер Т. Астрономия на персональном компьютере. СПб.: Питер. 2002. 320 с.

52. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. М.: Физматгиз.1962. 342 с.

53. Мячин В.Ф., Сизова O.A. Совместное интегрирование уравнений небесной механики численным методом Тейлора-Стеффенсона // Бюлл. ИТА. 1970. №5. С.389-400.

54. Ньютон И. Математические начала натуральной философии / Пер. с лат. и комментарии А.Н. Крылова. Ред. и предисл. Л.С. Полака. М: Наука, 1989.

55. Ортега Д., Пул.У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. 288 с.

56. Питъева Е.В. Новая численная теория движения планет ЕРМ98 и ее сравнение с эфемеридой DE403 Лаборатории реактивного движения США // Труды ИПА РАН. 1998. Вып. 3. С. 5-23.

57. Питъева Е.В. Современные численные теории движения Солнца, Луны и больших планет // Труды ИПА РАН. Вып. 10. Эфемеридная астрономия. 2004. С. 112-134.

58. Платонов А.К, Власова З.Я., Степанянц В.А. Многоточечный метод интегрирования с переменным шагом для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: 1976. 18 с. (Препринт/ИПМ:72).

59. Подбельский В.В. Язык СИ++. М.: Финансы и статистика, 1966. 560 с.

60. Птолемей К. Альмагест. М.: Физматлит, 1998.

61. Пуанкаре А. Избранные труды. Т. I. М.: Наука, 1971; Т. II. М.: Наука, 1972.

62. Пуанкаре А. Лекции по небесной механике. М.: Наука, 1965. 572 с.

63. Радзиевский В.В. О существовании массивных трансплутоновых тел с обратным движением // Анализ движения тел Солнечной системы. Сборник трудов ЛГУ. Рига, 1986. С. 126-143.

64. Радченко В.П,. Заусаев Д.А Использование банка данных координат больших планет для численного интегрирования уравнений движения небесных тел // Вестник Самарского государственного технического ун-та, Серия: Физ.-мат. науки. - № 3 (24) -2011. С. 202-207.

65. Радзиевский В. В. Происхождение и динамика кометной системы // Кинематика и физика небесных тел. 1987. Т. 3. № 1. С. 66-77.

66. Савченко В. В. Использование модифицированного метода Эверхарта при прогнозировании и уточнении орбит комет // Бюлл.ИТА. 1984. Вып. 6. С. 324-328.

67. Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Современные методы математического моделирования. Сборник лекций международной конференции Математическое моделирование. 13-16 июня 2001. Самара: СГАУ, 2001. С. 4-12.

68. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы М.: Наука, 1989. 432 с.

69. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Физматлит, 1997. 320 с.

70. Симоненко А. Н. Метеориты - осколки астероидов. М.: Наука, 1979. 68 с.

71. Смирнов Е.А. Современные численные методы интегрирования уравнений движения астероидов, сближающихся с Землей // Околоземная астрономия 2007. Материалы международной конференции 3-7 сентября 2007 г. п. Терскол. Международный центр астрономических и медико-экологических исследований Национальной академии наук Украины и Институт астрономии РАН. Нальчик, 2008 , с. 54-59.

72. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. М.: Мир, 1979. 312 с.

73. Соловьев A.C. К проблеме захвата комет на периодические орбиты // Научн. тр. матем. фак. ВГПУ. Вологда: Русь, 2001. С. 150-169.

74. Страуструп Б. Язык программирования СИ++. - ДМК Пресс, 2006. 448 с.

75. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968. 800 с.

76. Томанов В.П. Кометная космогония. Вологда: Волог. гос. пед. ун-т, 1989. 96 с.

77. Томанов В.П., Кузьмичев В.В. Результаты статистического анализа кометных орбит. Вологда: Волог. гос. пед. ун-т, 2003. 43 с.

78. Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики. М.: Наука, 1967. 524 с.

79. Уипл Ф.Л. Семья Солнца: Планеты и спутники Солнечной системы. М.: Мир. 1984. 316 с.

80. Хемминг Р.В. Численные методы. - М.: Наука, 1972. 400 с.

81. Херик С. Астродинамика. В 3-х книгах. М.: Мир, 1976-1978. 941 с.

82. Цицин Ф.А. Происхождение комет: новый взгляд на старую проблему // Вселенная и мы. 2001. Вып. 4. С.21-29.

83. Чазов В.В. Создание численно-аналитической теории движения небесных тел // Околоземная астрономия-2003: сборник трудов конференции. Ин-т астрон. РАН. СПб.: ВВМ, 2003. С.171-175.

84. Чеботарев Г.А. Аналитические и численные методы небесной механики. М.,Л.: Наука, 1965.368 с.

85. Шарлье К. Небесная механика. М.: Наука, 1966. 628 с.

86. Шор В.А., Чернетенко Ю.А, Кочеткова О.М, Железное Н.Б. О влиянии эффекта Ярковского на орбиту Апофиса // Астрономический вестник. - 2012. № 46 (2). С. 131142.

87. Штеттер Х.Д. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1978. 462 с.

88. Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М:. Наука, 1975. 304 с.

89. Akim Eh., Brumberg V.A., Kislik M.D., Koljuka Yu. F., Krasinsky G.A., Pitjeva E.V., Shiskov V.A., Stepanianz V.A., Sveshnikov M.L., Tikhonov V.F. A relativistic theory of motion of inner planets // Proceeding of the IAU Symp.: Relativity in Celestrial Mechanics and Astrometry. 1986. Kluwer. Dordrecht. P. 63-68.

90. Bretagnon P. Theorie du movement de l'ensemble des planets. Solution VSOP82 // Astron. Astrophys. 1982. V. 144. P. 278-288.

91. Bulirsch R., Stoer J. Fehlerabschatzungen und Extrapolation mit rationalen Funktionen bei Verfahren vom Richardson-Typus // Num. Math. 6. 1964. P. 413-427.

92. Bulirsh R., Stoer J. Numerical Treatment of Ordinary Differential Equations by Extrapolation Methods//Num. Math. 8. 1966. P. 1-13.

93. Butcher J.C. On the convergence of numerical solutions to ordinary differential equations // Math. Comp. 20. 1966. P. 1-10.

94. Butcher J.C. The effective order of Runge-Kutta methods // In: Lecture Notes in Mathematics Berlin: Springer. 109. 1969. P 133-139.

95. Carusi A., Kresak L., Valsecchi G.B. 1996. Electronic Atlas of Dynamical Evolutions of Short-Period Comets.

96. Cohen C.J., Hubbard E.C. An Algorithm Applicable to Numerical Integration of Orbits in Multirevolution steps // Astron. J. 1960. V. 65. P. 454-456.

97. D'Alembert Opuscules mathématiques, ou mémoires sur différents Sujets de Geometrie, de Mechanique d'Optique, d'Astronomie, 6 // Paris. 1773.

98. Dahlquist G. Convergence and stability in the numerical integration of ordinal differential equations // Math. Scand. 4. 1956. P. 33-53.

99. Database development of the solar system small bodies' orbital evolution based on modern mathematical models methods / A.F. Zausaev, A.A. Zausaev, V.V. Abramov, S.S. Denisov // Защита Земли от столкновений с астероидами и кометными ядрами: Труды международной конференции «Астероидно-кометная опасность - 2009». -СПб: Наука, 2010.-С. 102-106.

100. Davis P.J. Interpolation and approximation // Blaisdell. 1963. 393 p.

101. Eckert W.J., Brouwer D., Clemence G.M. Coordinates of the Five Outer Planets 1653-2060 // Astr. Pap. 12. 1951. 327 p.

102. Eckert W.J., Brouwer D. Clemence G.M. Coordinates of the Five Outer Planets 1653-2060 // Astron.Papers Amer.Eph. and Nautical Almanac. №12.1951. P. 1-327.

103. Encke J.F. Uber mechanische Quadratur // Berl. Astr. Jahrb. fur. 1837. P.251-287.

104. Everhart E. Implicit single methods for integrating orbits // Celestial mechanics. 1974. №.10. P.35-55.

105. Gauss C.F. Exposition d'une nouvelle methode de calculer les perturbations planétaires. (Nachlass) // Werke. 7. 1906. P.439-472.

106. Gear C.W. Hybrid methods for the initial value problem in ordinary differential equations // SIAM J. Numer. Anal. 2. 1964. P. 69-86.

107. Gragg W.B. On extrapolation algorithms for ordinary initial value problems // J.SIAM Numer. Anal. 2. 1965. P.384-403.

108. Giorgini John D. Benner Lance A.M. Ostro Steven J., Nolan Michael C. Busch Michael W Predicting the Earth encounters of (99942) Apophis // Icarus 193., 2008. P. 1-19.

109. Halley E. Synopsis of the Astronomy of Comets // Phil. Transactions Oxford Univ. 1705.

110. Hasegava I. Catalogue of periodic comets // Mem. College Sci. Kyoto Univ. Series Phys. 32. 1968. P.37-83.

111. Henrici P. Discrete variable methods in ordinary differential equations // Wiley, New York, 1962. P.327-328

112. Hughes D. W. The magnitude distribution and evolution of short-period comets // Mon. Notic. Roy. Astron. 336. Soc. 2002. №2. C.363-372.

113. Ipatov S.I Evolution of Asteroidal Orbits at the 5:2 Resonance // Icarus. 1992. V.95. P. 100114.

114. Lagrange J.L. Mecanique analytique. Seconde partie, section 7, ch. 2. Sur la variation des elements des orbites elliptiques produites par une force d'impulsion ou par des forces acceleratrices. Oeuvres de Lagrange // Paris. 1812.12. P. 63-101.

115. Lambert J.D. Computational methods in ordinary differential equations // Wiley. 1973. 523 p.

116. Lapidus L. and Seinfeld J.H. Numerical solution of Ordinary Differential Equations, Academic Press, New York. 1971. 303 p.

117. Laplace P.S. Traite de mecanique celeste // Paris. 1805. 4(2). P. 216—228.

118. Liniger W., Willoughby R.A. Efficient integration methods for stiff systems of ordinary differential equations // SIAM J. Numer. Anal. 7. 1970. P. 47-66.

119. Marsden B., Williams G.V. Catalogue of Cometary Orbits 1999. 15th ed. Smithsonian Astrophys. Obs. - Cambridge: MA. 2003. 169 p.

120. Marsden B.G. Comet and Non-Gravitational Forces. II // Astron. J. 1969. V.74. P. 720-729..

121. Marsden B.G., Sekanina Z., Yeomans D. Comet and Non-Gravitational Forces. V // Astron J. 1973.V.78.P.211-229.

122. Newhall X.X., Standish E.M., Williams Jr. and J.G. DE 102: a numerically integrated ephemeris of the Moon and planets spanning forty-four centuries //Astron.Astrophys. 1983. №125. P.150-167.

123. Newhall X.X. Numerical representation of planetary ephemeredes //Cel. Mech. - 1989. -№45.-P. 305-310.

124. Pitjeva E. V. EPM2002 and EPM2002C - two versions of high accuracy numerical planetary ephemerides constructed for TDB and TCB time scales // Communication of IAA RAN. 2003. 155. P.l-19.

125. Pitjeva E.V. Modern numerical ephemerides of planets and the importance of ranging observations for their creation // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 2001. 80. 3-4. P.294-271.

126. Schafer W.A. Semi-analytical methods for computing the orbits of asteroids and comets // Proceeding of the Conference Asteroids, Comets, Meteors. Berlin. Noordwijk. ESTEC. 2002. P.345-349.

127. Shampine L.F., Watts H.A. Block implicit one-step methods // Math. Comp. 23. 1969. P.731-740.

128. Spijker M.N. Convergence and stability of step-by-step methods for the numerical solution of initial value problems //Num. Math. 8. 1966. P.161-177.

129. Standish E.M. DE403/LE403: Announcement // Jet Prop Lab Technical Report. Interoffice Memorandum 314. 1995. P. 10-124.

130. Standish E.M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE405/LE405 // Jet Prop Lab Technical Report. Interoffice Memorandum 312.F-048. 1998. P.l-7.

131. Standish E.M. Time scales in the jpl and sfa ephemeredes // Astron. Astrophis. -1998. - № 336.-P. 381-384.

132. Standish E.M. Orientation of the JPL Ephemerides, DE200/LE200, to the Dynamical Eguinox of J2000 // Astron. Astrophys. 114. 1992. P.297-302.

133. Stuart J.S. A Neare-Earth Asteroid Population Estimate from the LINEAR Survey // Science. 2001.V. 294. P.1691-1693.

134. Tristan Gulillot, Daniel Gautier. Giant planets - Treatise on Geophysics. - 2009. 46 P.

135. Wang Yu., Ding Kong, Dong Hong, Zhou Hong-han. Nongravitational effect on orbital motions of comets // J. Nanjng. Norm. Univ. Sci. 2000. 23. 4. P.58-61.

136. Whipple F.L. The comet model // Aph. J. 1950. 111. P. 375-394.

137. Yeomans. D.K., Chesley S.R., Chodas P.W. NASA's Near-Earth Object Program Office. Proceedings of the International Conference "Asteroid-Comet Hazard -2009" Saint Petersburg: Nauka, 2010. - P. 244-254.