Итеративные алгебры, близкие к транзитивным тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Мальцев, Иван Анатольевич

• Мальцев, Иван Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Мальцев, Иван Анатольевич

Введение

0.1 О суперпозициях функций .I

0.2 Обзор основных результатов .уш

1 Клетки и клеточные алгебры

1.1 Итеративные алгебры.

1.2 Транзитивные полугруппы.

1.3 Структурные свойства.

1.4 Свойства базисов.

1.5 Максимальные подалгебры.

1.6 Число подалгебр.

2 Решетка подклонов клона Бурле

2.1 Строение нижней части решетки.

2.2 Решетка подклонов клона 2о.

2.3 Клоны типов «ТС, 2/С, ^/С, «ТС при /С <

2.4 Другие подклоны клона ^и^, порождаемые с помощью унарных функций из .'.

2.5 Подклоны клона Ео и ¿2, порождаемые с помощью многоместных функций из

3 Гомоморфизмы

3.1 Конгруэнции на клетках.

3.2 Конгруэнции на некоторых подалгебрах клеток

3.3 Гомоморфизмы итеративных алгебр и свойства оснований этих алгебр.

3.4 Конгруэнции на клеточных подалгебрах.

3.5 Гомоморфизмы вполне ограниченных расширений итеративных алгебр

3.6 Автоморфизмы.

3.7 Инварианты.

4 Гипертождества

4.1 О разделении клонов гипертождествами.

4.2 Гиперподстановки.

4.3 Некоторые приложения.

4.4 Выделение гипертождествами квазиклеток.

5 Согласованные произведения

5.1 Транзитивные полугруппы в произведениях итеративных алгебр.

5.2 Теорема Слупецкого.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Итеративные алгебры, близкие к транзитивным»

0.1 О суперпозициях функций

Суперпозиция, то есть замена одной из переменных функции также функцией, является одним из простых и естественных способов получения новых функций из уже имеющихся. Возникающая в результате суперпозиций функция называется сложной. Одни свойства исходных функций наследуются сложной функцией, другие же не сохраняются. Например, при суперпозиции возрастающих функций получается также возрастающая функция. Закономерный интерес вызывает вопрос, можно ли всякую функцию, обладающую каким-то заданным свойством, получить при помощи суперпозиций из функций, обладающих тем же свойством, но зависящих от меньшего числа переменных. В качестве свойства обычно выбирается непрерывность, дифференцируемость и т. п.

Упомянем лишь некоторые результаты в указанном направлении, полученные отечественными математиками А. Г. Витушкиным, А. Н. Колмогоровым и В. И. Арнольдом. Если натуральные числа га, п, гах, п\ удовлетворяют неравенству га т1 — > —, п П\ то, как доказал А. Г. Витушкин [9], существует зависящая от га переменных п раз дифференцируемая функция, которую нельзя получить суперпозициями из щ раз дифференцируемых функций, зависящих от Шх переменных. А. Н. Колмогоров [32] и В. И. Арнольд [1] доказали, что каждая вещественная непрерывная функция представима в виде суперпозиции непрерывных функций, зависящих от двух переменных. Любую непрерывную функцию от нескольких переменных можно получить при помощи суперпозиций из функции х-\-у и непрерывных функций, зависящих от одного аргумента (Колмогоров, [33]).

В приведенных выше примерах решаемые задачи можно сформулировать следующим образом.

Каким-то способом заданы два множества функций М\ и Мъ- Можно ли каждую функцию из множества М\ получить суперпозициями функций, принадлежащих множеству М2 ?

К этой задаче близка следующая.

Задан класс функций К. Описать все функции, которые можно получить суперпозициями функций, принадлежащих К.

Функции, получаемые при помощи суперпозиции из функций класса К, образуют множество [К], называемое замыканием класса К. Класс К называется порождающим для своего замыкания. Если К = [К], то класс [К] называется замкнутым. Описание множества [М2] ведет к решению первой из указанных выше задач: функции из множества М\ можно получить суперпозициями функций, принадлежащих множеству Мг тогда и только тогда, когда множество М\ является подмножеством замыкания множества Мг. Однако решение первой задачи может и не зависеть от решения второй.

Рис. 1. Решетка Поста.

Задача описания замыкания множества функций М имеет смысл только при существенных ограничениях на входящие в М функции. Одним из таких ограничений является фиксирование числа элементов в множестве, на котором определены функции из М. Э. Постом [60, 61] описаны все замкнутые классы функций, определенных на множестве из двух элементов. По включению эти классы образуют решетку, изображенную на рисунке 1, называемую решеткой Поста.

На множестве из трех элементов имеется континуум замкнутых классов ([97]), образующие решетку очень сложного строения, поэтому приходится дополнительно ограничивать множество изучаемых классов.

Замкнутые классы функций и свойства порождающих их систем изучались во многих работах по математической логике, поскольку операции, определенные на конечном множестве, используются при интерпретации связок в различных исчислениях. Формулам при таких интерпретациях отвечают сложные функции, принадлежащие замкнутым классам, порождаемым этими операциями. Особое внимание привлекала проблема полноты: найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы система функций, определенных на конечном множестве, порождала замкнутый класс, содержащий все функции, определенные на этом множестве. Как уже говорилось, проблема полноты в классе всех функций, определенных на множестве из двух элементов, была решена Э. Постом. Задача оказалась намного сложнее в случае, когда функции определены на множестве, содержащем более двух элементов. Одну из первых работ в этом направлении опубликовал в 1939 г. Я. Слупецкий [83]. Он доказал, что каждая полная система функций должна содержать существенно многоместную функцию, принимающую все возможные значения. Такую функцию принято называть функцией Слупецкого. В 1954 г. С. В. Яблонский [92, 93] решил проблему полноты для случая, когда функции определены на множестве из трех элементов. Затем в течение 10 лет появилось много работ, в которых указывались достаточные условия полноты системы функций. Окончательно проблема полноты была решена И. Розенбергом [66] в 1965 году.

Стоит отметить, что упомянутую ранее теорему А. Н. Колмогорова [33] о том, что функция х -\-у вместе со всеми непрерывными одноместными функциями порождает все непрерывные функции, можно рассматривать в качество аналога теоремы Слупецкого. Определенные топологические аналоги теоремы Колмогорова были позже найдены А. А. Мальцевым [301.

В теории универсальных алгебр важную роль играют классы функций, замкнутых относительно суперпозиций и содержащие все проекции, то есть функции вида е]'(х\,., х„) = Х\. Эти классы называются клопами. Две алгебры А1 = (А/; Fl) и А2 = (А/; /^2) одинаковыми носителями называются рационально эквивалентными, если множества их основных операций порождают один и тот же клон. Ввиду этого описание с точностью до рациональной эквивалентности различных универсальных алгебр, определенных на каком-то множестве, сводится к описанию всех клонов на этом множестве.

Клоны можно рассматривать как алгебры, например, как содержащие функцию е\{х\,Х2) нредитеративные алгебры, введенные А. И. Мальцевым |41|. Предитера,тивным,и алгебрами называются подалгебры прсОи-теративной алгебры Поста О а = {О а', С г? А? *) тина (1,1,1.2), в которой Оа ~ множество всех операций, определенных на множестве А. Определения операций т, Д, * приведены в разделе 1.1. В совокупности они заменяют суперпозицию, которая не является алгебраической операцией. Поскольку элементами носителей иредитеративных алгебр являются функции, гомоморфизмы таких алгебр бывают двух видов: сохраняющие арность функций и не сохраняющие арности. Отвечающие им конгруэнции соответственно называются подарностными и внеарност-ными. Сохраняющий арность гомоморфизм клона, отображающий каждую проекцию е" одного клона в такую же проекцию е" другого клона называется клоповым.

Обозначим через Т(А) клон, порождаемый основными операциями алгебры А, а через Var А многообразие, порождаемое алгеброй А. Взаимосвязь между клоновыми изоморфизмами клонов Т{ А) и Т'(В) и строением многообразий Var А и Var В найдена А. И. Мальцевым [41]. Фактически им была доказана более сильная теорема, так как утверждение остается верным, если в формулировке и в доказательстве вместо изоморфизмов говорить о клоновых гомоморфизмах. Эта теорема осталась незамеченной и затем была заново открыта в работах ряда авторов (см., например, [71], иное доказательство приведено в [23]). Утверждение, о котором идет речь, можно сформулировать следующим образом.

Возьмем два непустых множества А и А'. Пусть А = (A; {/^j-iej) — некоторая алгебра, а С' — какой-то клон функций, определенных на множестве А'. Клоповый гомоморфизм кр : Т(А) —* С', отображающий Т( А) на С', существует тогда и только тогда, когда существует такое отображение <р' : Т(А) —* С', что алгебра А' = (А'\ (у?'(//1)ге/) принадлежит многообразию Var А (и С = Т{А')).

Отсюда легко заключить, что решетка подарностных конгруэнций клона изоморфна решетке всех подмногообразий многообразия, порождаемого алгеброй, основные операции которой порождают этот клон.

Тождество t ~ t' называется гипертождеством алгебры А, если t = t' тождественно выполняется в А при любой замене символов oneраций, входящих в термы £ и £', термальными функциями алгебры А соответствующей арности. Тождества в клонах называются клоповыми тождествами. Клоновые тождества алгебры Т(А) соответствуют гипертождествам алгебры А [84].

Следующие примеры [24] показывают, что тождества и гипертождества могут применяться в теории логических сетей. Изобразим логический элемент с двумя входами и одним выходом, реализующий конъюнкцию, следующим образом:

- к

->

Тогда сложная составная переключающая схема может быть заменена этим элементом в любом месте сети, так как х&,{х&,{х&,у)) = х&,у тождественно выполняется в двухэлементной булевой алгебре (0,1; &, -/V) (а потому и в любой булевой алгебре). Если является произвольным переключающим элементом с двумя входами и одним выходом, реализующим какую-то бинарную булеву функцию д(х,у), то составную переключающую схему можно заменить элементом

-> g

-> какой бы не была функция д, поскольку

F(x,F(x,F(x,y)))*sF(x,y) является гипертождеством алгебры (0,1;&, N).

Гипертождества позволяют кратко формулировать признаки полноты системы функций. Например, система булевых функций S полна тогда и только тогда, когда равенство

F(F(x, у), F(x, у))) « F(F(:г, х), F(y, у)) не является гипертождеством алгебры (0,1; S).

0.2 Обзор основных результатов

Для любого множества функций F С Ok через п € N,, обозначим множество всех функций из F, зависящих ровно от п переменных, через — множество всех функций из F, принимающих не более п значений, через F^ — множество всех функций из F, принимающих ровно п значений. Отметим, что множество относительно операции * является полугруппой. Порождаемую множеством подалгебру алгебры Va, образованную всеми существенно одноместными функциями из А, обозначим через Полугруппа одноместных функций называется s раз транзитивной, если для любых попарно различных чисел ai,., ая и любых чисел Ъ\,., bs в ней найдется такая функция /, что f(a¡) = bh i - М.

Итеративная алгебра называется клеточной (А. И. Мальцев |43|), если она состоит из всех существенно одноместных функций и всех существенно многоместных функций, принимающих не более s значений. Клеточная алгебра имеет вид U V^ и далее часто будет обозначаться через Us. Подалгебра образованная всеми функциями, принимающих не более s значений,называется ее основной клеткой.

А. И. Мальцевым [41] доказана структурная теорема, обобщающая известные теоремы Слупецкого [83] и С. В. Яблонского [93|. Опуская особые случаи, ее можно сформулировать следующим образом.

Итеративная алгебра, порождаемая функциями из s раз транзитивной полугруппы вместе с существенно ■мпого.местпой (функцией f, принимающей т значений, codepoicum клетку v]?'^ и все функции, значения которых принадлежат множеству значений функции f, если 2 < m < s +1.

В диссертации изучаются итеративные алгебры с s раз транзитивными основаниями, и обобщения таких алгебр. Однако в ряде случаев, например в четвертой главе, исследование выходит за указанные границы, поскольку некоторые утверждения нося т общий характер.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Мальцев, Иван Анатольевич, 2004 год

1. Арнольд В. И. О функциях трех переменных // ДАН СССР, 1957, т. 114, №, с. 679-681.

2. Bagyinszki J., Demetrovics J. The lattice of linear classes in prime-valued logics ¡I Discrete mathematics, Banach center publ. Warsaw. 1982. V. 7. P. 105-123.

3. Байрамов P. А. О предикатной характеризуемости подалгебр многозначной логики II Изв. АН АзССР. Сер. физ.-техн. и мат. наук. 1969. т. С. 100-104.

4. Berman J., McKenzie. Clones satisfying the term condition // Discrete math. 1984. V. 52. P. 7-29.

5. Birkhoff G. Lattice Theory // Amer. Math. Soc. Colloq. Pub. 25, 1948. (Русский перевод: Биркгоф Г. Теория структур. 11 ИЛ., М.: 1952.)

6. Бурле Г. А. Классы k-значной логики, содержащие все функции одной переменной // Дискретный анализ. 1967, вып. 10. С. 3-7.

7. Webb D. Generation of any n-valued logic by one binary operator // Proc. Nat. Acad. Sci. 1935. V. 21. P. 252-254.

8. W§glorz В. A representation theorem for Post-like algebras // Colloq. math. 1970. V. 30, №1. P. 35-39.

9. Витушкин А. Г. О многомерных вариациях // M.: Гос. издат. технико-теоретич. литературы. 1955.

10. Goetz A. On weak isomorphisms and weak homomorphisms of abstract algebras // Coll. Math. 1966. V. 14. P. 163-167.

11. Goetz A. A generalization of the notion of direct product of universal algebra // Colloq. Math. 1971. V. 22. P. 167-176.

12. Горлов В. В. О конгруэнциях на замкнутых классах Поста // Мат. заметки. 1973. Т. 13, вып. 5. С. 725-734.

13. Demetrovics J., Malcev I. A. On the depth of infinitely generated subalgebras of Post's iterative algebra Pz // Coll. math. soc. Janos Bolyai. Szeged, 1983. V. 43. P. 85-96.

14. Деметрович Я., Мальцев И. А. О существенно минимальных ТС-клонах на трехэлементном множестве // МТА SZTAKI Kozl. 1984. №32. С. 115-151.

15. Demetrovics J., Malcev I. A. Essentially minimal TC-clones on three-element base set // C.R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada. 1986. V. 8, №3. P. 191-196.

16. Деметрович Я., Мальцев И. А. О строении клона Бурле на трехэлементном множестве // Институт математики СО АН СССР. Препринт №1, Новосибирск, 1987.

17. Деметрович Я., Мальцев И. А. О строении клона Бурле на трехэлементном множестве // Acta cybernetica. 1989. V. 9, №1. P. 1-25.

18. Demetrovics J., Malcev I. A. Essentially minimal TC-clones on three-element base set // The nineteenth int. symp. on multiple-valued logic. Guangzhou, China. 1989. P.220-227.

19. Denecke K. Boolean clones and hyperidentities in universal algebras // Universal and applied algebra. Proc. of the 5th universa algebra sympos. Turawa, Poland, 1988.

20. Denecke K. On varieties generated by Boolean clones. Potsdam, 1991. (Preprint).

21. Denecke K., Lau D., Poeschel R., Schweigert D. Hyperidentities, hyperequational classes and clone congruences. Contributions to General Algebra N 7, Verlag Hoelder-Pichler-Tempsky. Wien, 1991, Verlag BG Teubner, Stuttgart.

22. Денеке К., Мальцев И. А. Разделение клонов гипертождествами // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, №2. С. 310-316.

23. Денеке К., Мальцев И. А., Решке М. О разделимости клонов гипертождествами // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, №5. С. 1050-1066.

24. Denecke К., Poeschel R. The characterization of primal algebras by hyperidentities // Contributions to general algebra 6. Wienna: Hoelder-Pichler-Tempsky, 1988. Bd 6. S. 67-68.

25. Denecke K., Reichel M. Funktionalgleichungen in zweiwertigen Logiken // Wiss. Z. Padagog. Hochsch. "Karl Libknecht" Potsdam. 1988. Bd 32, №3. S. 603-606.

26. Denecke K., Schweigert D. Hyperidentities and completeness properties of finite algebras // Preprint, 1986.

27. Denecke K., Wismath S. L. Hyperidentities and clones // Amsterdam: Gordon & Breach Publ., 2000.

28. Epstein G. The lattice theory of Post algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 1960. 95, №. 300-317.

29. Ермолаева H. M., Мучник А. А. Функционально замкнутые четырехзначные расширения алгебры Буля и соответствующие логики // Исследования по неклассическим логикам и теории множеств. -Москва: Наука, 1979. С. 298-315.

30. Keisel Н. J. Limit ultrapowers // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. V. 107. P. 382-497.

31. Колмогоров А. H. О представлении непрерывных функций нескольких переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных // ДАН СССР, 1956, т. 108, №2, с. 179-182.

32. Колмогоров А. Н. О представлении непрерывных функций нескольких в переменных в виде суперпозиций непрерывных функций одного переменного и сложения // ДАН СССР, 1957, т. 114, №5, с. 953-956.

33. Lampe W. A. Abstract 777Т-А120. // Notices Amer. Math. Soc. 1977. №24. A-371.

34. Lau D. Prävollständige Klassen von Pkj // EIK. 1975. №11. S. 624-626.

35. Lau D. Kongruenzen auf gewissen Teilklassen von Pk,i // Rostock, math, kolloq. 1977. №3. S. 37-43.

36. Lau D. Klassen quasilinearen Funktionen von Pz // Rostock, math, kolloq. 1985. №28. S. 33-45.

37. McKenzie R. N., Taylor W. Interpretations of module varieties //J-Algebra. 1990. V. 135, №2. P. 456-493.

38. Мальцев А. А. Топологический вариант теоремы Слупецкого для некоторых компактов // ДАН СССР. 1969. Т. 188, №1. 33-36.

39. Мальцев А. И. Симметрические группоиды // Мат. сб. 1952. Т. 31, вып. 1. С. 136-151.

40. Мальцев А. И. Итеративные алгебры и многообразия Поста // Алгебра и логика. 1966. Вып. 5, №2. С. 5-24.

41. Мальцев А. И. Об одном усилении теорем Слупецкого и Яблонского // Алгебра и логика. 1967. Вып. б, №3. С. 61-75.

42. Мальцев А. И. Итеративные алгебры Поста. Новосибирск: Ново-сиб. гос. ун-т, 1976.

43. Мальцев И. А. Некоторые свойства клеточных подалгебр алгебр Поста и их основных клеток // Алгебра и логика. 1972. Вып. 11, №5. С. 571-587.

44. Мальцев И. А. Конгруэнции и автоморфизмы на клетках алгебр Поста // Алгебра и логика. 1972. Вып. 11, №6. С. 666-672.

45. Мальцев И. А. Некоторые свойства клеток алгебр Поста. // Дискретный анализ. 1973. №23. С. 24-31.

46. Мальцев И. А. О конгруэнциях на подалгебрах итеративных алгебр Поста. // Дискретный анализ. 1976. №29. С. 40-52.

47. Мальцев И. А. Гомоморфизмы вполне ограниченных расширений итеративных алгебр Поста // Rostock. Math. Kolloq. 1979. №11. P. 85-92.

48. Мальцев И. А. Инварианты квазиклеток итеративных алгебр Поста // Сиб. мат. журн. 1985. Т. 26, №1. С. 220-223.

49. Мальцев И. А., Швайгерт Д. Гипертождества QZ-алебр // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, №6. С. 132-139.

50. Malcev I. Graduated products of Post algebras // Note on multiple-valued logic. 1995. V. 18, №13. P. 1-4.

51. Malcev I. Coordinated products of iterative algebras // Proc. VIII int. conf. on logic and сотр. sci. Novi Sad, Yugoslavia. 1997. P.1-2.

52. Мальцев И. А., Тугылбаева Б. Г. Произведения итеративных алгебр // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, №1. С. 102-112.

53. Malcev I. Slupecki subalgebras in coordinated products of iterative algebras // Multi. val. logic. 2000. V. 5, pp. 1-13.

54. Марченков С. С. О замкнутых классах квазилинейных функций в Р3 // Препринт №17 ИПМ АН СССР. 1986.

55. Марченков С. С. О полноте в системе Р3 х Рз // Дискретная математика. 1992. Т. 4, т. С. 126-145.

56. Марченков С. С. О классах Слупецкого в системах Р& х . х Рк // Дискретная математика. 1992. Т. 4, №3. С. 135-148.

57. Machida Н. Toward a classification of minimal closed sets in 3-valued logic // Proc. 12th int. symp. on multiple-valued logic. Paris, 1982. P. 313-317.

58. Poeschel R., Kaluznin L. A. Funktionen und Relationenalgebren // Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1979.

59. Post E. Introduction to a general thery of elementary propositions / / Amer. J. Math. 1921. V. 43. P. 163-185.

60. Post E. Two-valued iterative systems of mathematical logic. Princeton Univ. Press., 1941.

61. Reichel М., Schweigert D., Simovici D. A. A completeness criterion by functional equations // Proc. 17th int. symp. on multiple-valued logic. Boston, 1987. P. 2-4.

62. Reichel M. Hyperidentitäten in zweielementigen Algebren // Diplomarbeit PH Potsdam, 1988.

63. Reschke M., Denecke К. Ein neuer Beweis für die Ergebnisse von E. L. Post über abgeschlossene Klassen Boolescher Funktionen // J. Inform. Process. Cybernet. 1989. V. 25, N 7. P. 361-380.

64. Reschke M., Lueders O., Denecke K. Kongruenzdistributiviaet, Kongruenzvertauschbarkeit und Kongruenzmodularität zweielemetiger Algebren // J. Inform. Process. Cybernet. 1988. V. 24, №1/2. P. 6578.

65. Rosenberg I. G. La structure des fonctions de plusieurs variables sur un ensemble fini. // C.R. Acad. Sei. Paris. Ser. A,B. 1965. V. 260. P. 3817-3819.

66. Rosenberg I. G. Uber die funktionale Vollständigkeit in dem mehrvertigen Logiken von mehreren Verändlichen auf endlichen Mengen // Rozpravy Cs. Akademie Ved, Ser. Math. Nat. Sei. 1970. V. 80. P. 3-93.

67. Rosenberg I. G. Strongly rigid relations // Rocky mountains j. of math. 1973. JV®3. P. 631-639.

68. Rosenberg I. G. Universal algebras with all operations of boundid range // Colloq. math. 1974. V. 30, №. P. 177-185.

69. Rosenberg I. G. Clones containing the direct square of a primal algebra. // Proc. of the 12 int. symposium on multiple-valued logic. CNAM, Paris. 1982. P. 30-34.

70. Rosenberg I. G. Mal'cev algebras for universal algebra terms. Berlin: Springer, 1990. (Lecture Notes in Comput. Sci.).

71. Rosenblum P. C. Post algebras. 1. Postulates and general theory. // Amer. j. math. 1942. V. 64, m. P. 35-39.

72. Ромов Б. А. Алгоритм решения проблемы полноты в классе векторных функциональных систем // Математические модели сложных систем. Киев: ИК АН УССР, 1973. С. 151-155.

73. Ромов Б. А. О решетке подалгебр прямых произведений алгебр Поста конечной степени // Математические модели сложных систем. Киев: ИК АН УССР. 1973. С. 156-168.

74. Ромов Б. А. О полноте на квадрате функций алгебры логики и в системе Pk х Pi // Кибернетика, 1987. Т. 4. С. 9-14.

75. Ромов Б. А. Об одной серии максимальных подалгебр прямых произведений алгебр конечнозначных логик // Кибернетика, 1989. Т. 3. С. 11-16.

76. Ромов Б. А. О функциональной полноте в системе Р2 х Рк // Кибернетика, 1991. Т. 1. С. 1-8.

77. Salomaa A. On basic groups for the set of functions over a finite domain // Ann. Acad. Sci. Fennicae. A. 1. 1963. №338. P. 3-15.

78. Salomaa A. On infinitely generated sets of operations in finite algebras // Ann. Univ. Turkuensis. 1964. V. 74. P. 1-13.

79. Scendrei A. On closed sets of linear operations over a finite set of square-free cardinality // EIK. 1978. V. 14. P. 547.

80. Scendrei A. Clones in universal algebra // Montreal: Les presses de l'universite de Montreal, 1986.

81. Slupecki J. Kriterium pelnosci uuielowartosciowich systemow logiki zdan // Comptes Rendus des Seances de la Société des Sciences et des Letters de Varsovie, Cl III. 1939. V. 32. P. 102-128.

82. Taylor W. Hyperidentities and hypervarieties // Aequationes Math. 1981. V. 23, №1. P. 30-49.

83. Taylor W. Some applications of the term condition // Algebra universalis. 1982. V. 14. P. 11-24.

84. Тайманов В. А. О декартовых степенях Р2 // Доклады АН СССР, 1983. Т. 270, № 6. С. 1327-1330.

85. Traczyk T. Axiomes and some properties of Post algebras // Colloq. Math. 1963. V. 10. P. 193-209.

86. Schweigert D. Clones of term functions of lattices and abelian groups 11 Algebra universalis. 1985. V. 20. P. 27-33.

87. Schweigert D. Hyperidentities and clone congvruences // Proc. Mal'cev-conference. Novosibirsk, 1989.

88. Schreier I. Uber Abbildungen einer abstrakten Menge auf ihre Teilmengen // Fundamenta Mathematicae, 1937, V. 28, P. 261-264.

89. Csakany B. All minimal clones on the three-element set // Acta Cybernetika. 1983. V. 6. P. 227?

90. Яблонский С. В. О функциональной полноте в трехзначном исчислении // ДАН СССР. 1954. Т. 95, Ж. С. 1152-1156.

91. Яблонский С. В. Функциональные построения в k-значной логике. В кн.: Труды МИ АН СССР. - М.: Изд-во АН СССР, 1958. Т. 51. С. 5-142.

92. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. // М., Наука. 1986.

93. Яблонский С. В., Гаврилов Г. И., Кудрявцев В. Б. Функции алгебры логики и классы Поста. // М., Наука. 1966.

94. Яблонский С. В., Гаврилов Г. И., Набебин А. А. Предполные классы в многозначных логиках. Московский энергетический институт. 1997.