Бисингулярные начально-краевые задачи для параболических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Бутузова, Мария Валентиновна

• Бутузова, Мария Валентиновна
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бутузова, Мария Валентиновна

Введение.

Глава1 Бисингулярные линейные параболические задачи

§1 Бисингулярная линейная параболическая задача с негладкими пограничными функциями

1.1 Постановка задачи.

1.2 Регулярная часть асимптотики

1.3 Функции пограничного слоя.

1.4 Функции внутреннего переходного слоя.

1.5 Функции Wk(^,t,e).

1.6 Теорема об асимптотике решения.

1.7 Доказательство леммы 1.

1.8 Доказательство леммы 1.3.

1.9 Доказательство леммы 1.4.

§2 Бисингулярная линейная параболическая задача с двумя малыми параметрами

2.1 Постановка задачи.

2.2 Регулярная часть асимптотики

2.3 Функции пограничного слоя.

2.4 Функции внутреннего переходного слоя.

2.5 Функции Wi,k{£,t,£,[i).

2.6 Теорема об асимптотике решения.

Глава2 Бисингулярные полулинейные параболические задачи.

§1 Бисингулярная полулинейная параболическая задача с негладким вырождением

1.1 Постановка задачи.

1.2 Регулярная часть асимптотики

1.3 Функции внутреннего переходного слоя.

1.4 Функции Wk(x,t,e).

1.5 Теорема о существовании и асимптотическом разложении решения.

§2 Бисингулярная полулинейная параболическая задача с двумя малыми параметрами

2.1 Постановка задачи.

2.2 Регулярная часть асимптотики

2.3 Функции пограничного слоя.

2.4 Функции внутреннего переходного слоя.

2.5 Функции Witk{i,t,s,p).

2.6 Теорема об асимптотике решения.

ГлаваЗ Бисингулярная задача для системы линейных параболических уравнений

§1 Построение асимптотического разложения решения

1.1 Постановка задачи.

1.2 Регулярная часть асимптотики

1.3 Функции пограничного слоя.

1.4 Функции внутреннего переходного слоя.

1.5 Функции Wk(£,t,e).

§2 Обоснование построенного асимптотического разложения решения .115 Список литературы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Бисингулярные начально-краевые задачи для параболических уравнений»

Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения возникают в качестве математических моделей при описании многих процессов физики, химии, биологии. Это вызывает большой интерес к таким уравнениям со стороны математиков.

Начало систематического развития асимптотической теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений восходит к работам А.Н.Тихонова [24] - [26]. К настоящему времени для различных классов сингулярно возмущенных задач развиты разнообразные методы исследования в работах М.Н.Вишика и Л.А.Люстерника [б], [7], А.Б.Васильевой [4], [5], Л.С.Понтрягина, Е.Ф.Мищенко, Н.Х.Розова [14], [12], [13], А.М.Ильина [8], С.А.Ломова [10], В.П.Маслова [11], В.Г.Сушко [21] и многих других авторов. Среди зарубежных Исследований наиболее известны работы В.Вазова [3], Н.Левинсона [30], П.Файфа [28], [29].

Вместе с тем, проблема построения асимптотических разложений решений для некоторых классов сингулярно возмущенных задач до сих пор остается актуальной. К числу таких задач относятся так называемые бисингулярные задачи, в которых одна особенность связана с сингулярной зависимостью решения от малого параметра, а другая — с негладкостью членов асимптотики. В частности, если рассматривается сингулярно возмущенная задача в области с негладкой границей, и дифференциальный оператор, описывающий какие-либо члены асимптотики, является гиперболическим, то на характеристиках, проходящих через угловые точки границы, может происходить потеря гладкости этих членов асимптотики. Одним из мощных методов построения асимптотики произвольного порядка решений бисингулярных задач является метод сращивания асимптотических разложений (см., например, [8]).Однако этот метод достаточно сложен для обоснования. Построение и обоснование асимптотических представлений нулевого и первого порядков можно осуществить с помощью более простой процедуры сглаживания негладких членов асимптотики (см., например, [2]).

В работах В.Г.Сушко (см. [21], а также [1], [15], [17] - [20], [22], [23]) развиты методы, позволяющие для некоторых классов бисингулярных задач построить асимптотику произвольного порядка без использования метода сращивания. Так, в работе [1] построено асимптотическое разложение решения первой краевой задачи в полуполосе для линейного сингулярно возмущенного параболического уравнения в случае наличия угловой характеристики у вырожденного уравнения.

Исследованные в данной работе задачи примыкают к задаче, рассмотренной в [1]. Предложенные ниже способы построения асимптотических разложений являются дальнейшим развитием идей работы [1] с определенными модификациями.

Останавимся кратко на содержании работы.

В первой главе рассматриваются две линейные параболические задачи в полуполосе: с разными степенями малого параметра при первой и второй производных по пространственной переменной и с двумя независимыми малыми параметрами при указанных производных.

В первом параграфе данной главы рассматривается задача

2 ^6 (ж, ^ — с (ж, t) w — ^ = / (ж, t), (1) x,t) € D = (0 < ж < +оо) х (0 < < < Г), и (х, 0) = Ф (ж), 0 < ж < +оо, (2) u(0,f) = 0, 0 < t < Г, (3) где е > 0 — малый параметр. Предполагается, что выполнены следующие условия.

Условие 1°. Функции b(x,t), c(x,t), f (ж, if), Ф (ж) - бесконечно дифференцируемые и ограниченные вместе с производными в D.

Условие 2°. Ъ (х, t)>B0 = const>0 , с (ж, t)> С0 = const > 0, Ф (0) = 0.

В данном параграфе построено и обосновано асимптотическое разложение по малому параметру г классического, ограниченного всюду в D решения u(x,t,e) задачи (1) - (3) в виде: u(x,t,e) = u(x,t,e) + n(f,t,e) + V(ri,t,e) + W(f,t,e) = оо оо оо оо Ее*'%(хЛ+£ек'яПл(£Ле) + ]Г+ (4) к=О к=О к=1 к= 1 где uk(x,t) — регулярные члены асимптотики; е) — функции пограничного слоя, описывающие поведение решения в окрестности боковой границы х = 0 полуполосы D, £ = x/y/£;vf.(ri,t) — функции, описывающие внутренний переходный слой в окрестности линии £ = £0(t,e), которая является характеристикой уравнений для функций Щ, выходящёй из угловой точки (£, t) = (0,0), г) = [£ — £)]/\/£? wk(£it,e) — функции, устраняющие невязки, вносимые функциями Vk в граничное условие (3).

Особенность данной задачи состоит в том, что функции пограничного слоя t, е) определяются из уравнений в частных производных первого порядка, вследствие чего оказываются негладкими и даже разрывными (при к > 1) на характеристике £ = £o(t7 е), выходящей из угловой точки полуполосы.

Отметим, что наибольшую сложность в данной задаче, как и в остальных, рассмотренных в работе, представляет описание асимптотического поведения решения в окрестности угловой точки (ж, I) — (0,0).

Регулярные члены асимптотики t) определяются стандартным способом, являются бесконечно дифференцируемыми всюду в D и не удовлетворяют, вообще говоря, граничному условию (3).

Для того, чтобы обеспечить выполнение граничного условия (3), вводятся функции пограничного слоя (к > 0) . Стандартный способ определения функций Щ состоит в следующем. В уравнении (1) переходят к быстрой переменной подставляют в уравнение ряд П(£, t, г), раскладывают коэффициенты Ь и с в ряды Тейлора с центром разложения в точке (0, t) и получают для функций Щ уравнения вида:

- с(<М)Щ - ^ = **(£,*), € Dt = (0 < £ < +оо) х (0 < t < Г), где правые части рекуррентно выражаются через функции П; (г < к) и их производные <9Пг/д£, д2Иi/d£2. Однако, если определять функции Щ таким образом, то в параболический оператор, с помощью которого строятся функции Vk, будет входить слагаемое dvk/dr] с коэффициентом, зависящим от времени. Это приведет к тому, что функции v* не будут иметь явного представления. Чтобы этого избежать, будем определять функции t, е) как решения уравнений = ~[bo(t) + -со№ - ^ = MtM, it,*) € % где bo(t) — 6(0,i), bi(t) = bx(0,t), co(t) = c(0,i), а функции 7г& рекуррентно выражаются через функции П, (г < к) и их первые и вторые производные по переменной

Дополнительные условия для функций Щ имеют вид:

Щ(£,0,г) = 0, II*(0,f,e) =

Угловая характеристика ( = £0(t, е) уравнений для функций Щ определяется условиями:

§ = е(о,С) = о.

В области Z>2 = (£о(М) < £ < х (0 < t < Г) = 0 для всех fc, функции

П0 и П4 и производная <9По/<9£ непрерывны всюду в D^ а производные функций Щ при к > 1 и сами функции life при к >2 разрывны на угловой характеристике.

Для устранения скачков функций Щ и их производных на угловой характеристике вводятся функции внутреннего переходного слоя Vk{r},t) (к > 1) . Функции Vk определяются как решения уравнений

Lvvk = - co(t)vk - — = fk(rj,t), -00 < Т) < +oo, 0 < t < Г, (5) где функции fk(r},t) рекуррентно выражаются через функции Vi(i],t) (i < к) и их производные по переменной г/.

Заметим, что в оператор Lv, с помощью которого определяются функции v^, не входит производная д/дч]. Это достигнуто за счет того, что в оператор Ьж. с помощью которого строились функции Щ, был включен член \Zsbi(t)£(d/д£).

Остановимся теперь на отличии данной задачи от задачи, рассмотренной в [1]. В работе [1] в полуполосе D было рассмотрено уравнение вида

2 д2и ди ди ,. . с начальным условием (2) и граничным условием (3).

Вырожденное уравнение, соответствующее (6), является уравнением в частных производных первого порядка, и регулярные члены асимптотики оказываются негладкими и даже разрывными на характеристике х = х0(t), выходящей из угловой точки (х, t) = (0,0). Для устранения скачков этих членов асимптотики и их производных по переменной х на угловой характеристике были введены функции внутреннего переходного слоя Vk(rj, t), т] = [х — x0(t)]/e. Уравнения для этих функций имели такой же вид, как уравнение (5). Однако в работе [1], в отличие от данной задачи, отсутствие в операторе Lv слагаемого д/дт] с коэффициентом, зависящим от времени, было достигнуто за счет соответствующей замены переменных в исходном уравнении. А именно, вместо переменных ж, t были введены переменные y-(j>(t)x, W = причем функции ф{£) и ^(t) были выбраны так, чтобы в новых переменных уравнение (6) приняло вид

2д2й ~ ди ди ~ в котором производная коэффициента Ь(у, ш) по переменной у обращается в ноль на угловой характеристике вырожденного уравнения. При этом, однако, требование, чтобы коэффициент Ь по-прежнему удовлетворял условию 2°, накладывает дополнительные ограничения на малость Т. В нашем случае этого дополнительного ограничения удается избежать за счет описанного выше выбора оператора Lw.

Вернемся к рассматриваемой нами задаче. Дополнительные условия для функций Vk задаются таким образом, чтобы были устранены скачки функций Щ и их производных по переменной £ на угловой характеристике.

Функции Vk(r},t) можно выписать в явном виде, они являются бесконечно дифференцируемыми при ф 0 и экспоненциально убывают по мере удаления от угловой характеристики. При этом функции Vk отличны от нуля при х = 0, т.е. вносят невязки в граничное условие (3). Для устранения этих невязок строятся функции Wk(£,t,e) (к > 1).

Задачи для функций Wk состоят из параболического уравнения, содержащего слагаемое dwk/d£ с коэффициентом, зависящим от времени, ненулевого граничного и нулевого начального условий. Однако решения таких задач не имеют явного представления. Поэтому в качестве функции Wk берутся приближенные решения этих задач, имеющие явное представление и вносящие в уравнение и граничное условие невязки порядка 0(у/е), которые можно устранить в следующих приближениях, т.е. при построении функций где г > к. Для функций Wk доказано экспоненциальное убывание по мере удаления от угловой характеристики.

Далее с помощью барьерных функций доказано (Теорема 1.1), что частичная сумма п-то порядка ряда (4) является равномерным в полуполосе D асимптотическим приближением для решения задачи (1) - (3) с точностью порядка

Во втором параграфе первой главы рассматривается задача:

2 о д2и 1 / \ , л ди , .

6 ^ = (7) x,t) € D = (0 < ж < +оо) х (0 < t < Г), и (X, 0) = Ф (ж), 0 < X < +оо, (8) и(0,*) = 0, 0<t <Т, (9) где е > 0, (л > 0 — малые параметры; функции b(x,t), c(x,t), f (x,t,e,fi), Ф (ж) — бесконечно дифференцируемые и ограниченные вместе с производными в D; b{x,t)>B0 = const > 0, Ф(0) = 0.

Асимптотическое разложение по малым параметрам е и jи классического, ограниченного всюду в D решения задачи (7) - (9) построено в виде: u(x,t,e,n) = u(x,t,e,ii) + ty£,t,e,fi) + V(riit,e,fi) + W(t1t,e,ii) = оо i,k=О оо оо Е Е £V Ып, t, Я) + witk(Z, t, е, ц)}, (10) г=1 fc=0 где щ,к(х, t) — регулярные члены асимптотики; t, ц) — функции пограничного слоя, описывающие поведение решения в окрестности боковой границы х = 0 полуполосы D, £ = ж//х; v{,k(ri, t, fi) — функции, описывающие внутренний переходный слой в окрестности линии £ = £o(t, /л), которая является характеристикой уравнений для функций Щ*, выходящей из угловой точки (£,*) = (0,0), ?? = [£- *,£,//) — функции, устраняющие невязки, вносимые функциями в граничное условие (9).

Отметим, что разложение (10) пригодно как в случае, когда е и ц — независимые друг от друга параметры, так и в случае, когда один из них является функцией другого.

По сути дела задача (1) - (3), рассмотренная в §1, является частным случаем задачи (7) - (9) при

Регулярные члены асимптотики строятся стандартным способом, являются бесконечно дифференцируемыми всюду в D и не удовлетворяют, вообще говоря, граничному условию (9).

Для устранения невязки в граничном условии вводятся функции пограничного слоя t,fi) (i > 0, к > 0) . Так же, как и в §1, стандартная процедура определения функций Пitk в данном случае оказывается непригодной. А именно, если разложить коэффициенты 6 и с в ряды Тейлора с центром разложения в точке (0, t) и определять функции П;^ с помощью оператора

Л Л где I — единичный оператор, то в уравнения для функций vbk будут входить слагаемые, сингулярно зависящие от е. Более того, даже если в операторе для определения функций в качестве коэффициента при д/д£ взять не только главный член 6(0, t) разложения коэффициента в ряд Тейлора, а несколько членов этого разложения, то в уравнения для определения функций v^k и в этом случае войдут слагаемые, сингулярно зависящие от е. Поэтому мы определяем функции Щ* как решения уравнений:

LJli<k = - c(fiC,t)Ili7k ~ = TTiik((,t,£,^), т.е. используем полностью коэффициенты Ъ и с, а не частичные суммы их разложений. Дальнейшая процедура построения функций П^, v^k и не отличается по существу от процедуры построения соответствующих функций в §1. При этом все сказанное относительно этих функций в §1 переносится без принципиальных изменений в данный параграф, и аналогично тому, как это сделано в доказательстве Теоремы 1.1, можно доказать (Теорема 1.2), что частичная сумма ряда (10) п тп г=0 к=О п тп г=1 к—О является равномерным в полуполосе D асимптотическим приближением для решения задачи (7) - (9) с точностью порядка 0(бп+1 + //m+1).

Во второй главе рассматриваются две полулинейные параболические задачи: с малым параметром при второй производной по пространственной переменной и с двумя независимыми малыми Параметрами при первой и второй производных по пространственным переменным.

В первом параграфе второй главы рассматривается задача

2 д2и ди ди . . . е ^ - 6 ОМ) ^ - = / (u, t, е), (И) ж,<) G D = (0 < ж < +оо) х (0 < < < Г) и (х, 0, е) = Ф (ж), 0 < х < +оо, (12) u(0,M) = °> 0<t<T, (13) где е > 0 — малый параметр. Данная задача является обобщением задачи, изученной в [1], на случай, когда правая часть уравнения (11) нелинейно зависит от и. Предполагается, что выполнены следующие условия.

Условие 1°. Функции b(x,t), / (и, ж, t1e)1 Ф (х) - бесконечно дифференцируемые и ограниченные вместе с производными для любого ограниченного интервала изменения и, (x,t) е D, е £ [0,ео], £о > 0 — некоторое число.

Условие 2°. Ъ (х,t)>B0 = const >0, Ф (0) = 0.

Требуется доказать существование классического, ограниченного всюду в D решения данной задачи, а также построить его асимптотическое разложение по малому параметру е.

В начале производится замена переменных, такая же, как в [1]: у = (f>(t)x, и = Ф(г).

Функции <f>(t), ф{1) выбираются так, что уравнение для искомой функции й(у, ш) = u(x(y,w),t(y,uj)) примет вид

2д2й ~ дй дй ~ ч в котором коэффициент Ь(у,ш) удовлетворяет условию Ьу(уо{ш),ы) = 0, где у = уо(со) — уравнение угловой характеристики вырожденного уравнения. При этом требование, чтобы коэффициент Ъ удовлетворял Условию 2° накладывает дополнительные ограничения на малость Т. Вводя для новых переменных у, ш старые обозначения х, t будем считать, что коэффициент Ь(ж, t) из уравнения (11) удовлетворяет условию bx(x0{t),t) = 0, (14) т.е. его производная по переменной х обращается в ноль на угловой характеристике вырожденного уравнения.

Формальное асимптотическое разложение решения задачи (11) - (13) построено в виде: u(x,t,s) = u(x,t,e) + V(ri,t,e) + W(iK,t,e) — оо оо оо

15) к=О к=X к=1 где щ(х, t) — регулярные члены асимптотики; Vk(rj, t) — функции, описывающие внутренний переходный слой в окрестности линии х = ж0(£), которая является характеристикой уравнений для функций Щ, выходящей из угловой точки (ж, t) — (0,0), т] = [х — x0(t, е)]/е; Wk(x,t,e) — функции, устраняющие невязки, вносимые функциями vk в граничное условие (13).

Регулярные члены асимптотики определяются стандартным способом. Так, для «о(ж, I) имеем задачу: дй

-b(x,t)-~- - = f(uo(x,t),x,t,0), 0 < ж < +оо, 0 < t < Г, (16) й0(ж, 0) = Ф(ж), 0 < ж < +оо, 56(0, t) = 0, 0 < t < Т. (17)

Предполагается, что выполнено следующее условие.

Условие 3°. Задача (16), (17) имеет решение. Отметим, что при достаточно малом Т это условие выполнено в силу гладкости функций Ьи/.

Так как Ф(0) = 0, то функция щ непрерывна всюду в D, в то время как ее производные, вообще говоря, разрывны на угловой характеристике ж = xo(t). Задачи для функций Щ при к > 1 имеют вид:

-b{x,t)— - fu(uo(x,t),x,t,0)uk - -gj- = fk(x,t), 0<ж<оо, 0 <t<T, Щ(х, 0) - 0, 0 < ж < +оо, щ(0,t) = 0, 0 < t < Г, где функции fk(x,t) рекуррентно выражаются через функции щ (г = 1,2,., к — 1) и их производные по переменной ж. Функция щ непрерывна всюду в D, а производные функций йк при к > 1 и сами функции при к > 2 имеют на угловой характеристике скачки, которые нетрудно вычислить.

Для устранения скачков функций щ и их производных дщ/дж на угловой характеристике вводятся функции внутреннего переходного слоя Vk(r],t), к — 1,2,. . Уравнения для определения функций Vk получаются стандартным способом и имеют вид:

LvVk s - fu(t)vk - ~ = Vkf(rj,t), -оо <Г) < +оо, 0 < t < Т, гДе fu(t) = fu(uo[xo{t),t],xo(t),t,0), Vif == 0, а функции Vkf при к > 2 рекуррентно выражаются через функции Vi(rf, t) (i = 1,2,., к — 1) и их производные по переменной П

Заметим, что в оператор LV1 с помощью которого строятся функции vk, не входит слагаемое д/дг]. Это обеспечивается условием (14). Если бы условие (14) не было выполнено, то в оператор Lv вошло бы слагаемое д/д'ц с коэффициентом, зависящим от времени, и функции Vk не имели бы явного представления, что значительно усложнило бы процедуру их построения.

Дополнительные условия для функций Vk задаются таким образом, чтобы были устранены скачки функций Щ и их производных дйк/дх на угловой характеристике.

Функции Vk(f), t) можно выписать в явном виде, они являются бесконечно дифференцируемыми при т] ф 0 и экспоненциально убывают по мере удаления от угловой характеристики. При этом функции Vk вносят невязки в граничное условие (13), так как, вообще говоря, Vk\x-Q = Vk(—x0(t)/£, t) ф 0. Для устранения этих невязок вводятся функции wk(x,t,e) (к > 1).

Задачи для определения функций Wk получаются стандартным способом и состоят из параболического уравнения, содержащего слогаемое dwkjdx с коэффициентом, зависящим от времени, ненулевого граничного и нулевого начального условий. Однако решения таких задач не имеют явного представления. Поэтому, как и в первой главе данной работы, в качестве функций Wk берутся приближенные решения этих задач, которые имеют явное представление и вносят в уравнение и граничное условие невязки порядка 0(e), которые можно устранить в следующих приближениях, т.е. при построении функций Wi, где i > к. Для функций Wk доказано экспоненциальное убывание по мере удаления от угловой характеристики.

Далее в данном параграфе с помощью метода дифференциальных неравенств доказано (Теорема 2.1), что при достаточно малых е задача (11) - (13) имеет, и притом единственное, решение u(x,t,e), и частичная сумма n-ого порядка ряда (15) является равномерным в полуполосе D асимптотическим приближением для решения u(x,t,e) с точностью порядка 0(еп+1).

Во втором параграфе второй главы рассматривается задача:

2 2 д2и . ди ди е ** 'dx~~dt= ^ x,t) е D = (0 < х < +оо) х (0 < t < Т), и (х, 0) = Ф (ж), 0 < ж < +оо, (19)

0,*) =0, 0<t <Т, (20) где е > 0, /л > 0 — малые параметры; функции Ъ (ж, t), / (и, ж, t, е, /и), Ф (х) - бесконечно дифференцируемые и ограниченные вместе с производными для любого ограниченного интервала изменения и, (х, t) £ D, е £ [0; £о], № 6 [0; //0], £о > 0 и > 0 — некоторые числа; 6 (ж,t)>B0~ const >0, Ф (0) = 0.

Требуется доказать существование классического, ограниченного всюду в D решения данной задачи, а также построить его асимптотическое разложение по малым параметрам еи/j.

Формальное асимптотическое разложение решения задачи (18) - (20) построено в виде: оо Е £>к [М*> <) + щ , tlP)] + i,k-О оо оо £ 2 £V** К*(»Ь *> и) + е1 А*)]> (21) i=l fe=0 где t) — регулярные члены асимптотики; П,t, у) — функции пограничного слоя, описывающие поведение решения в окрестности боковой границы х — 0 полуполосы D, £ = xj\i\ Vitk(r},t,fj,) — функции, описывающие внутренний переходный слой в окрестности линии £ = которая является характеристикой уравнений для функций П^, выходящей из угловой точки (£,t) = (0,0), 77 = [£ — (о(t,fi)]/e-, wiik(^,t,£, у) — функции, устраняющие невязки, вносимые функциями в граничное условие (20).

Регулярные члены асимптотики определяются стандартным способом. Так, для функции и0,о(х, i) имеем задачу (х входит как параметр, 0 < х < +оо): дй

-jf- = -ДйЬ|О(М),М,0,0), 0 < t < Т, (22)

ВЬ|О(®,0) = Ф(х). (23)

Предполагается, что выполнено следующее условие. Условие 1. Задача (22), (23) имеет решение.

Отметим, что при достаточно малом Т это условие выполнено в силу гладкости функции /. Функция й0,0 является бесконечно дифференцируемой в полуполосе D и, вообще говоря, не удовлетворяет граничному условию (20).

Следующие члены (i + к > 1) регулярной части асимптотики определяются как решения линейных задач -/«(uo,o(ar^),z,t,0,0)wa + /i!fc(a;,i), 0 < t < Г, Щ,к(х, 0) = 0, где функции fi t? рекуррентно выражаются через функции Щт, (I < г, т < к, l+m < i+k) и их производные по переменной ж, и имеют вид: щ,к(х, t) = J fitk{x, s) exp (- J fu(uo,o(x, cr), ж, <r, 0,0)da^j ds.

Функции ulyk так же, как и функция гГ0,о, бесконечно дифференцируемы в D и, вообще говоря, не удовлетворяют граничному условию (20).

Для устранения невязки в граничном условии вводятся функции IItifc(£, t). Уравнение для ряда оо

П(£,*,е,/х) = £ e^klli>k(U) (24) i,k~0 имеет вид: € Dt = (0 < £ < +оо) х (0 < t < Т), где й(х, t, е, ц) — регулярный ряд, т.е. оо u(x,t,£,fi) - J2 £^kUi,k(x,t), (26) i,k=0 переменные x,t,e,fi, от которых зависит и, в уравнении (25) для краткости записи опущены.

Стандартная процедура получения задач для функций Пг)& состоит в следующем. В уравнение (25) подставляют ряды (24) и (26), функции /(й -f П,е, д), и коэффициент b([i£,t) раскладывают в ряды Тейлора с центрами разложений в точках (йо,о((М) + По,о(£, t), 0, 0,0), (мо,о(0, t), 0,1,0,0) и (0,i) соответственно, и получают для функций Пг-,&(£, t) уравнения вида:

27)

-6(0,^ - Ut,t)TU* - ^ = Мб*), * + к > 0, (28) е % где

По,о/ = /(«о,о(0, t) + П0,о(е, t), 0, 0,0) -/(йо,о(0, *), 0, i, 0, о), о = л («о,о(о, t)+n0l0(e, t), о, о, о), а функции 7г,;д. рекуррентно выражаются через функции Пг)ТО (/ < i,m < £г, / + т < г + &) и их производные д211^т/д(2. Однако при таком подходе в уравнения для функций Viyk войдут члены, сингулярно зависящие от е. Чтобы этого избежать, будем определять функции Щ/ьзависящие не только от t, но также и от /1, как решения уравнений: и t ^\^По,о 5П0,0 „ , ---^- = По,о/,

Ь^Щк = -b(fx^t)^^ - fu(^t,ii)Ui>k - = + Щ*/, i + к > 0, где функции Пг,й/ рекуррентно выражаются через функции Щт (/ < г, m < к, 1+т < г+к), функции у которых хотя бы один из индексов отрицательный, считаются равными нулю, с дополнительными условиями 0, Па(о,*,р) = -«if*(o,i).

Задача для функции П0,о(£, t, ц) имеет вид:

29)

По,о(е,0,^) = 0, (30) lloto(0,*,/0 = -ilo,o(0,f). (31)

Угловая характеристика £ = £o(t,fi) уравнения (29) разбивает полуполосу Dt = (0 < С < х (0 < t < Т) на две части Dx = (0 < ( < X (0 < t < Т) и Di — < £ < -foo) х (0 < t < Т). В области D\ функция По,о определяется уравнением (29) и условием (31), а в области D2 — уравнением (29) и условием (30). Очевидно, что П0,о(£, t, м) = 0 в области Z)2. Далее предполагается, что выполнено следующее условие.

Условие 2. Задача (29), (31) имеет решение.

Отметим, что при достаточно малом Т это условие выполнено в силу гладкости функций Ь и /. Так как ¥о,о(0,0) = Ф(0) = 0, то По,о(£о(^а0 —0,2,//) = 0 и функция По,о является непрерывной всюду в области D^, в то время как ее производные разрывны на угловой характеристике £ = (o(t,[i).

Далее последовательно находятся функции Щь при i+к > 0. При этом оказывается, что П,-^ = 0 в £>2 для всех i,k, функции По,й и П^ (к > 0) непрерывны всюду в D^ а производные функций П,г^ при i >0, к > 0 и сами функции П^ при г > 2, к > 0 разрывны на угловой характеристике.

Для устранения скачков функций ILi,k и их производных <9П^/<9£ вводятся функции внутреннего переходного слоя i?,-^?;, fi) (i > 1, к > 0) . Уравнения для функций v^k получаются стандартным способом и имеют вид:

Lvvitk = In (t)vijk - ^^ = fi<k{rht,p), -оо <ц< +оо, 0 < t < Т, (32) где fu (t) = /„(йо,о(0, t), 0, t, 0,0), fh0(rj,t,fi) = 0, а остальные функции fitk(ri,t. (j.) рекуррентно выражаются через функции v\>m (I < i, m < к, I + га < i + к) и их производные по переменной г).

Заметим, что в уравнение (32) не входит производная dvi^/dr). Если бы мы строили функции Пitk с помощью уравнений вида (27), (28), то в уравнение (32) вошла бы производная dv^k/drj с коэффициентом, сингулярно зависящим от е.

Дальнейшая процедура построения функций и w^k не отличается по существу от процедуры построения соответствующих функций в §2 главы 1. При этом все сказанное относительно этих функций в §2 главы 1 переносится без принципиальных изменений в данный параграф.

Далее с помощью метода дифференциальных неравенств аналогично тому, как это сделано в доказательстве Теоремы 2.1, можно доказать (Теорема 2.2), что при достаточно малых е и ц задача (18) - (20) имеет, и притом единственное, решение и(х, и частичная суммма ряда (21) п т ищт (ж, i, е, fi) = £tVk [Щк(х, t) + И,■,*(£, t, fi)] +

4=0 fc=0 n m

4 = 1 k=0 является равномерным в полуполосе D асимптотическим приближением для решения u(x,t,£,/j.) с точностью порядка 0(en+1 + ym+l).

В третьей главе данной работы рассматривается бисингулярная задача для системы линейных параболических уравнений: . ди ди л. . ,. , дх~1Й= t)u + (x,t) е D = (0 < ж < +оо) х (0 < t < Г), и (х, 0, е) = Ф (х), 0 < ж < +оо, (34) u(0,t,£) = О, 0 < t < Г, (35) где u(x,t,£), f(x,t) и Ф(ж) — m-мерные вектор-функции с элементами мг(ж, t, е), /г(ж, t) и Ф4(ж) соответственно, A(x,t) — т х то-матрица с элементами «^(ж, t), £ > 0 — малый параметр; функции b (х, t), а^(х, t), f(x,t), Ф4(ж) - бесконечно дифференцируемые и ограниченные вместе с производными в D ; b(x,t)> В0 = const > 0, Ф (0) = 0.

В первом параграфе третьей главы построено асимптотическое разложение по малому параметру е классического, ограниченного всюду в D решения t, е) задачи (33) -(35) в виде: u(x,t,e) = u{x,t,e) + ll(U,e) + V(ri,t,e) + W{U,e) = оо оо оо оо X t) + £ e^Mi, t, в) + Е *) + £ (36) fc=0 fe=0 fc=l где Uk(x,t) — регулярные члены асимптотики; Щ(£, t, е) — функции пограничного слоя, описывающие поведение решения в окрестности боковой границы ж = 0 полуполосы D, £ = жД/г; — функции, описывающие внутренний переходный слой в окрестности линии £ = fo(t, е), которая является характеристикой уравнений для функций Щ, выходящей из угловой точки (£, t) = (0,0), г/ = [£ — t$(t,£)}j у/е-, Wk(i,t,e) — функции, устраняющие невязки, вносимые функциями Vk в граничное условие (35).

Регулярные члены асимптотики определяются стандартным способом. Так, для вектор-функции и0(х, t) имеем задачу (х входит как параметр, 0 < х < +оо):

А— -А(х, - f(x, t), 0 < t < Т, й0(х, 0) = Ф(ж).

Обозначим через H(x,t) фундаментальную матрицу (зависящую от х как от параметра) однородной системы уравнений, т.е. дН = -A(x,t)H{x,t), причем Н(х, 0) = Е, где Е — единичная матрица. Тогда функцию и0(х, t) можно записать в виде: u0(x,t) = H{x,i)${x)~ t H(x,t)H~1(x, \)f(x, X)dX.

Jo

Функция щ(х, t) является бесконечно дифференцируемой всюду в полуполосе D и не удовлетворяет, вообще говоря, граничному условию (35).

Далее последовательно определяются следующие члены регулярной части асимптотики Uk(x,i) (к > 1), которые также являются бесконечно дифференцируемыми всюду в полуполосе D и не удовлетворяют граничному условию (35).

Для устранения невязки в граничном условии вводятся функции пограничного слоя Щ(£, (к > 0). Задачи для определения функций Щ имеют вид:

LTXLk s -[&о(*) + уГеЬ,- МЩк ~ = at € А = (0 < £ < +оо) х (0 < t < Т), Щ(£,0,е) = 0, Щ(0,*,е) = -uk(0,t), где b0(t) = 6(0, t), bi(t) = bx(0,t), A0(t) — A(0,t), а функции жk(£,t,s) рекуррентно выражаются через функции П; (i < к) и их первые и вторые производные по переменной Заметим, что так же, как в §1 главы 1, в оператор Ь* включен член \fe bi(t)£(d / Это дает возможность существенно упростить опреатор Lv, с помощью которого строятся функции внутреннего переходного слоя Vk(rj,t). Введем обозначение:

Яо(*) = Я(0,*). (37)

Матрица Ho(t) удовлетворяет уравнению dHo/dt = -A0(t)H0.

Делая замену переменных приходим к задачам для функций Щ(£,^,е):

-[ЫО + v^>i(*)]fr - ^ = H^(t)7Tk(U,e), (£,*) € % (38)

Щ(£,0,е) = 0, Щ(0,*,е) = -H^(t)uk(0,t).

Очевидно, система уравнений для вектор-функции Щ распадается на т отдельных уравнений для компонент Щ (1 < i < т). Эти уравнения имеют такой же вид, как уравнения для функций Щ в §1 главы 1, вследствие чего процедура построения функций Щ полностью повторяет описанную в п.1.3 главы 1. Все свойства функций П/t остаются без изменений. А именно, Щ(£,£,е) = 0 в D2 = (£0(М) < f < +оо) х (0 < t < Т) для всех к, функции П0 и Щ непрерывны всюду в — (0 < £ < +оо) х (0 < t < Г), а производные функций Щ при к > 0 и сами функции Щ при к > 2 разрывны на угловой характеристике £ = £о(t,s) уравнения (38).

Для устранения скачков функций Щ и их производных дПк/д£ на угловой характеристике вводятся функции внутреннего преходного слоя vk(rj,t). Уравнения для функций vk (к > 1) получаются стандартным способом и имеют вид:

Lvvk = - Ao(t)vk = fktn, t), -оо < ц < +оо, 0 <t<T, (39) где fi(rj,t) = 0, а функции fk(r),t) при к > 2 рекуррентно выражаются через функции

Vi(r),t), i < к.

Заметим, что в оператор Lv, с помощью которого определяются функции vk не входит производная d/drj. Это так же, как в §1 главы 1, достигнуто за счет того, что в оператор L,г, с помощью которого строились функции Щ, был включен член \[ёbi(t)^(d/d(). Если бы этого не было сделано, то оператор Lv содержал бы слагаемое д/дг} с коэффициентом, зависящим от времени, и функции vk нельзя было бы найти в явном виде.

Дополнительные условия для функций vk задаются таким образом, чтобы были устранены скачки функций Щ и их производных по переменной £ на угловой характеристике.

Сделаем в уравнении (39) замену переменных vk(rj,i) = HQ(t)vk(rj1 £), где функция H0(t) определена равенством (37). Тогда уравнения для функций vk(i], t) (к > 1) будут иметь вид: Hvl(t)fk{r),t), -оо <7] < +оо, 0 <t <Т.

Легко видеть, что система уравнений для вектор-функции vk распадается на m отдельных уравнений для компонент vk (1 < г < ш). Эти уравнения не отличаются по существу от уравнений для функций vk в §1 главы 1, вследствие чего процедура построения функций v\ повторяет без принципиальных изменений описанную в п. 1.4 главы 1.

Функции v'j, можно выписать в явном виде, они яаляются бесконечно дифференцируемыми при г} ф 0 и экспоненциально убывают по мере удаления от угловой характеристики. При этом вектор-функции vк отличны от нуля при х = 0, т.е. вносят невязки в граничное условие (35). Для устранения этих невязок строятся функции Wk(£,t,e).

Уравнения для вектор-функций wk(£,t,e) (к > 1) имеют вид:

LwWk = - [цг) + -щ- - Ao(t)wk - = Ffc(£,*,e), (40) где Fi(^t,e) = 0, а функции Fk(£, i,£j при к > 2 рекуррентно выражаются через функции Wi (г < к) и их производные по переменной

Сделаем в уравнении (40) замену переменной г) = H0(t)wk(€,t,e), где функция Ho(t) определена равенством (37). Тогда для функций Wk получим уравнения:

Lwm = - [b0(t) + - ^Г = Hol(t)Fk(U,e),

Дополнительные условия для функций wk имеют вид: wk(0,t,e) = wk(£,0,e) = 0, к > 1.

Очевидно, что задача для вектор-функции wk распадается на т отдельных задач для компонент w\ (1 < г < т). Эти задачи имеют такой же вид, как задачи для функций wk в §1 главы 1. Поэтому процедура построения функций w\ полностью повторяет описанную в п.1.5 главы 1, и функции wk(£, t, е) экспоненциально убывают по мере удаления от угловой характеристики.

Во втором параграфе третьей главы с помощью метода дифференциальных неравенств доказано (Теорема 3.1), что частичная сумма ге-ого порядка ряда (36) является равномерным в полуполосе D асимптотическим приближением для решения u(x,t,e) задачи (33) - (35) с точностью порядка О ((у/ё)п+1).

Таким образом, основные результаты работы состоят в следующем. 1. Построены асимптотические разложения решений двух линейных параболических задач в полуполосе: с разными степенями малого параметра при первой и второй производных по пространственной переменной и с двумя независимыми малыми параметрами при указанных производных. С помощью метода барьерных функций доказана равномерная близость построенных разложений к точным решениям задач при стремлении малых параметров к нулю.

2. Построены асимптотические разложения решений двух полулинейных параболических задач в полуполосе: с малым параметром при второй производной по пространственной переменной и с двумя независимыми малыми параметрами при первой и второй производных по пространственной переменной. Методом дифференциальных неравенств доказано существование решений упомянутых задач, а также получены равномерные оценки остаточных членов асимптотик.

3. Построено асимптотическое разложение решения линейной системы Параболических уравнений с разными степенями малого параметра при первой и второй производных по пространственной переменной и дано обоснование асимптотики с помощью метода дифференциальных неравенств.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [32]- [34].

Большинство задач, решения которых представлены в диссертации, было поставлено автору его научным руководителем профессором Валерием Григорьевичем Сушко, уделявшим при жизни большое внимание данной работе. Автор благодарен ему за это внимание, постоянную помощь и поддержку и посвящает свою работу его светлой памяти.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бутузова, Мария Валентиновна, 2001 год

1. Булычева О.Н., Сушко В.Г. Построение приближенного решения для одной сингулярно возмущенной параболической задачи с негладким вырождением / / Фундаментальная и прикл. матем. 1995. Т. 1. № 4. С. 881-905.

2. Бутузов В.Ф., Нестеров А.В. Об асимптотике решения уравнения параболического типа с малыми параметрами при старших производных // Ж. вычисл. матем. и ма-тем.физ. 1982. Т. 22. № 4. С. 865-870.

3. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. 464 С.

4. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных // Успехи матем. наук. 1963. Т. 18. № 3. С. 15-86.

5. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990. 208 С.

6. Вишик М.И., Люстерник JI.A. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи матем. наук. 1957. Т. 12. № 5. С. 3-122.

7. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Об асимптотике решения краевых задач для квазилинейных дифференциальных уравнений //ДАН СССР. 1958. Т. 121. №5. С. 778-781.

8. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 334 С.

9. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 С.

10. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981. -398 С.

11. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Изд-во МГУ, 1965. 549 С.

12. Мищенко Е.Ф. Асимптотическое вычисление периодических решений систем дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных // Изв. АН СССР, сер. матем. 1957. Т. 21. № 5. С. 627-654.

13. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975. 247 С.

14. Понтрягин JI.C. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малыми параметрами при высших производных // Изв. АН СССР, сер. матем., 1957. Т. 21., № 5. С. 605-626.

15. Розов Н.Х., Сушко В.Г., Чудова Д.И. Дифференциальные уравнения с вырождающимся коэффициентом при старшей производной // Фундаментальная и прикл. матем. 1998. Т. 4. № 3. С. 1063-1095.

16. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 2. М.: Наука, 1974.

17. Сушко В.Г. Асимптотика по малому параметру для решений одного дифференциального уравнения с разрывными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1983. № 3. С. 3-8.

18. Сушко В.Г. Об асимптотических разложениях решений одного параболического уравнения с малым параметром // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21. № 10. С. 17941798.

19. Сушко В.Г. Некоторые сингулярно возмущенные краевые задачи с негладкими исходными данными // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 11. С. 2017-2018.

20. СушКо В.Г. Асимптотические решения некоторых сингулярно возмущенных уравнений смешанного типа // Фундаментальная и прикл. матем. 1997. Т. 3. № 2. С. 579586.

21. Сушко В.Г. Асимптотические разложения решений бисингулярных задач // Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. МГУ. 1998. 310 С.

22. Сушко В.Г. Краевые слои для квазилинейного параболического уравнения// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1999. № 1. С. 7-10.

23. Сушко В.Г. Асимптотика решения на угловой характеристике для параболического уравнения с малым параметром // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 5. С. 694699.

24. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Матем. сб. 1948. Т. 22. № 2. С. 193-204.

25. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры // Матем. сб. 1950. Т. 27. № 1. С. 147-156.

26. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Матем. сб. 1952. Т. 31., № 3. С. 575-586.

27. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.

28. Fife Р.С. Boundary and interior transition layer phenomena for pairs of second-order differential equations // Y. Math. Anal, and Appl. 1976. V. 54. P. 497-521.

29. Fife P.C. Singular perturbation and wave front techniques in reaction-diffusion problems // SIAM AMS Proceeding, Symposiutn on Asymptotic Methods and Singular Perturbations. New York. 1976. P. 23-49.

30. Levinson N. The first boundary problem for eAu+A(x, y)ux+B(x, y)uy+C(x, y)u = D(x, y) for small e // Ann. of Math. 1950. V. 51. P. 428-445.

31. Pao C.V. Nonlinear parabolic and elliptic equations. Plenum Press, New York and London, 1992.

32. Бутузова M.B. Построение асимптотики решения сингулярно возмущенной параболической задачи с негладкими пограничными функциями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 8. С. 1176-1191.

33. Бутузова М.В. Об одной бисингулярной задаче // Матем. методы и приложения, Труды седьмых матем. чтений МГСУ. 2000. С. 115-119.

34. Бутузова М.В. Бисингулярная параболическая задача с двумя малыми параметрами // Матем. методы и приложения, Труды восьмых матем. чтений МГСУ. 2001. С. 34-43.