Асимптотики решений сингулярно возмущённых задач, описывающих явление конвективной диффузии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Ахметов, Рустям Гилимович

• Ахметов, Рустям Гилимович
• доктор физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ахметов, Рустям Гилимович

0 Введение

0.1 Исторические замечания

0.2 Основные результаты.

1 Асимптотика решения около капли задачи конвективной диффузии

1 Построение асимптотики по малому параметру в диффузионном пограничном слое

1.1 Постановка задачи

1.2 Построение формального асимптотического реше

1.3 Асимптотика коэффициентов асимптотического разложения около границы области

2 Существование решения и асимптотика эллиптического уравнения в полуплоскости.

2.1 Постановка задачи и существование решения

2.2 Построение асимптотического разложения решения на бесконечности.

3 Асимптотическое разложение решения по малому параметру в эллиптическом пограничном слое

3.1 Постановка задачи

3.2 Построение формального асимптотического разложения в окрестности седловой точки предельного уравнения.

3.3 Согласование асимптотических разложений и их обоснование.

4 Асимптотика решения в конвективно - погранслойной области.

4.1 Постановка задачи

4.2 Построение формального асимптотического разложения в конвективно - погранслойной области.

5 Асимптотика решения во внутренней области диффузионного следа

5.1 Постановка задачи

5.2 Построение формального асимптотического разложения во внутреней области диффузионного следа

6 Построение а.р. решения в области смешения

6.1 Постановка задачи

6.2 Построение ф.а.р. в области смешения

6.3 Согласование асимптотических разложениий и их обоснование

2 Асимптотика решения около частицы задачи конвективной диффузии

7 Асимптотика решения в диффузионном пограничном слое

7.1 Постановка задачи

7.2 Доказательство существования решений и$(т], 9)

7.3 Асимптотика функций и$(т],6) при в —> 0.

8 Асимптотика решения эллиптического уравнения в полуплоскости.

8.1 Постановка задачи .4.

8.2 Существование решения и асимптотика при \у\ —>

8.3 Построение асимптотического разложения решения на бесконечности.

8.4 Асимптотика решения главного члена асимптотики на бесконечности.

8.5 Асимптотика решения главного члена асимптотики на бесконечности в случае обтекания цилиндра

9 Асимптотика по параметру решения в окрестности седловой точки.

9.1 Построение а.р.решения задачи по малому параметру в эллиптическом слое.

9.2 Построение формального асимптотического разложения в окрестности седловой.точки предельного уравнения.^

9.3 Согласование асимптотических разложений и их обоснование

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотики решений сингулярно возмущённых задач, описывающих явление конвективной диффузии»

0.1 Исторические замечания

Дифференциальные уравнения с малым параметром при старших производных возникают при рассмотрении математических моделей физических, химических, биологических и других явлений [39], [67], [91], [47], [83]. Особое значение для исследования сингулярно возмущённых задач имеет понятие пограничного слоя, введённое Прандтлем [144]. Решения в пограничных слоях строятся в виде асимптотических рядов [107], зависящих также от погран-слойных переменных. В зависимости от исследуемых задач, разработаны различные асимптотические методы. Исследованиям по обыкновенным дифференциальным уравнениям посвящены известные работы [36], [42], [88], [125]. Часто возникают задачи, где применяются методы построения экспоненциально убывающих погран-слойных функций [40]-[43]. Однако, в ряде задач коэффициенты ряда по степеням малого параметра имеют особенности. Такие задачи носят бисингулярный характер [56]. Одним из эффективных методов, приводящих к успеху в подобных задачах, является метод согласования (сращивания) асимптотических разложений [39], [67], [56], [80]. Аналогичные ситуации имеют место также в задачах волновой оптики [25], [26], и теории релаксационных колебаний [53], [88], [106]. Другой подход к подобным задачам состоит в применении метода канонического оператора В. П. Маслова [84] - [86]. Асимптотическим методам посвящены также работы [38], [60], [66], [91], [118], [128], [135], а методу усреднения - работы [33], [55], [108].

Бисингулярные задачи также возникают при исследовании явлений тепломассообмена с учётом конвекции, в частности, конвективной диффузии. Такие задачи исследовали многие авторы:

Левич В.Г., Фукс Н. A., Acrivos A., Goddard J.D., Taylor T.D., Sih Р.Н., Newman J., Murray D., Гупало Ю.П., Полянин А.Д., Ря-занцев Ю.С. и другие ( [102]-[104], [133], [134], [141], [145]). Задачи конвективной диффузии в окрестностях частиц и цилиндров возникают в химической технологии [51], [74], в теории фильтрации [121], [122], [126], в биофизике [83], [146].

Характерной особенностью задач конвективной диффузии являются наличие особых точек типа седла на границе области в предельном уравнении, когда малый параметр равен нулю. В качестве примера рассмотрим эллиптическое уравнение с малым параметром при старших производных du ди . . ^. еАи + хох~Уо^ = У) (°-1Л) в прямоугольнике {(х,у) : |ж| < 1,г/ € (0; 1)}, где 0 < е - малый параметр, А— оператор Лапласа. Это уравнение содержит некоторые особенности рассматриваемого класса задач: 1) точка 0(0, 0) является седловой точкой предельного уравнения ( при е = 0), 2) после замены £ = х/yfe получаем вырождающееся на границе области ( при у = 0) параболическое уравнение д2и ^ди ди „ . . ,

8ё + (0~ГУЪ=тУ)' ((U-2) где /о(0, у) - главный член разложения функции f(x,y) при х = 0. Подобные и более общие задачи рассматривались в работе [62], где построено полное асимптотическое разложение решения по малому параметру. Для построения асимптотики применяется комбинация методов согласования [56] и регуляризации [79]. В работах [138], [139] исследовано уравнение с седловой точкой внутри области, где построение асимптотики опирается на явные формулы, а в работе [61] исследованы более общие уравнения такого типа. Однако, исследование такого рода задач не дает возможности непосредственного их применения к задачам механики, физики и другим прикладным задачам, в частности, задачам конвективной диффузии. Это обстоятельство побудило продолжить исследования, начатые диссертантом в начале восьмидесятых годов. С одной стороны, хотелось сохранить классы задач максимально приближённые к тем задачам, которые возникают в упомянутых выше публикациях (см. ссылки [47], [74] по задачам конвективной диффузии). С другой стороны, хотелось рассмотреть более трудные для исследования бисингулярные [56] задачи. Основным мотивом для автора было желание дальнейшей разработки асимптотических методов и их применение для исследования новых задач.

В приведённых выше работах ранее были исследованы, в основном, лишь главные члены формальной асимптотики по малому параметру. Исследование и построение полного асимптотического разложения и его обоснование является трудной задачей. В окрестности частицы, за исключением следа за частицей, погранслойные функции обычно носят экспоненциальный характер. Однако, в следе за частицей асимптотика носит степенной характер. В таких случаях приходится применять метод согласования асимптотических разложений. В окрестности частицы ( или капли ) возникают несколько пограничных слоёв, в том числе и внутренние пограничные слои. В работах [48], [50] методом согласования [39] построены главные члены формальных асимптотик как вне одиночной капли, так и вне цепочки капель ( пузырей ). В работах [130], [140], [147], [49] построены главные члены формальных асимптотик вне твёрдой сферической частицы и вне цепочки осесимметричных частиц. Более полное изложение результатов по задачам конвективной диффузии дано в работе [47]. Задачи с внутренними пограничными слоями возникают во многих работах. Отметим, например, работы [28]—[32], [137]. Отметим также, не претендуя на полноту, некоторые работы, посвященные математическим проблемам механики и физики: [70], [71], [81], [82], [90], [92], [96], [100], [101], [109], [111], [115].

Вклад диссертанта в развитие теории асимптотических методов состоит в следующем. В 1983-84 годах была исследована задача конвективной диффузии в малой окрестности твёрдой осесиммет-ричной частицы [4], [5]. Построено полное асимптотическое разложение решения в диффузионном пограничном слое [5]. В частности, доказано, что в окрестности седловой точки, соответствующей точке натекания жидкости к частице, дополнительный пограничный слой не возникает. Вместе с тем доказано, что в окрестности седловой точки, соответствующей точке стекания жидкости с частицы, действительно возникает дополнительный (эллиптический) пограничный слой. Построено полное асимптотическое разложение решения в эллиптическом пограничном слое [4], [6] и методом согласования асимптотических разложений получено равномерное составное асимптотическое разложение в малой окрестности частицы. Эти результаты составляют основу кандидатской диссертации [6]. Для построения асимптотического разложения решения на бесконечности (в полуплоскости) задача сводится к интегральному уравнению и применяется асимптотический аналог метода последовательных приближений [4], [57]. Далее исследовались задачи в окрестности капли [7], [8], [10]. Были решены также эллиптические задачи, поставленные в работах [147], [142] ( в цитируемых работах применялись численные методы для их решения). Построены асимптотики на бесконечности решений этих задач и дано обоснование методом барьерных функций [11], [12], [14]. В работе [16] построено полное асимптотическое разложение решения в эллиптическом пограничном слое ( в окрестности седловой точки, соответствующей точке стекания жидкости с капли ) и доказано, что вместе с асимптотическим разложением, построенным в работах [7], [8], они дают приближения решения задачи конвективной диффузии в малой окрестности капли.

В 2000-2003 годах исследовались задачи конвективной диффузии в окрестности сферической частицы и капли с учетом химической реакции. Одна из характерных особенностей таких задач -это зависимость от двух параметров: числа Пекле Ре и постоянной скорости химической реакции kv. В случаях, когда один из параметров ограничен, задача упрощается. Задача усложняется, когда оба параметра достаточно большие. Построены асимптотические разложения решений задач конвективной диффузии в малой окрестности сферической частицы и капли с учетом линейной [15], [19] и нелинейной [17], [18], [131] объёмной химической реакции.

В 2004-2006 годах исследовались задачи конвективной диффузии в следе за каплей [21], за сферической частицей [24], где построены полные асимптотические разложения по малому параметру и дано обоснование всюду вне капли и частицы. В работах [22], [23], [132] построены главные члены формальной асимптотики задачи конвективной диффузии с учетом объёмной нелинейной химической реакции в следе за осесимметричной частицей. Следует заметить, что ранее подобные задачи исследовались на физическом уровне строгости, используя методы модельных уравнений и аналогий, и метод интерполяции. Были получены интерполяционые формулы для нахождения полного диффузионного потока [52], [105].

0.2 Основные результаты

В диссертации строятся асимптотические разложения (а.р.) по малому параметру решений внешних краевых задач для эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных в случаях, когда предельные уравнения имеют особые точки типа "седла" на границе области. Для решения таких задач применяется метод согласования а.р.: в пограничных слоях вводятся погранслойные переменные, строятся формальные асимптотические разложения (ф.а.р.) решений, проводится обоснование. Сложность применения метода согласования состоит в том, что в пограничных слоях при нахождении структуры ф.а.р., при их согласовании и обосновании, приходится порой выполнять трудные и громоздкие вычисления. При этом в каждой задаче возникают свои специфические особенности [56], [80], [3], [44], [45], [62], [77], [95], [127].

Задача конвективной диффузии около капли. Рассмотрим математическую постановку задачи о конвективной диффузии. Для удобства обтекаемое тело будем считать сферической. При ряде упрощающих предположений стационарное уравнение конвективной диффузии в безразмерных переменных имеет вид [47] е2Аи- (У,У)гг = 0, (0.2.1) где £2 = Ре- малый параметр (соответствует большим числам Пекле Ре), А - оператор Лапласа, вектор - функция V для сферической частицы известна и выражается через функцию тока ф(г, в), где г, в - сферические координаты, г > 1, # £ (0; 7г). В случае обтекания сферической капли в приближении Стокса функция тока имеет вид [123]: ф(г,0) = |(г - 1)(2г - ^ - ДТТ^-пЧ (0.2.2) где (3 - отношение вязкости капли к вязкости окружающей среды. Тогда

-г , 1 дф 1 дф , г1 бш и Ои г вт в ог

Требуется построить ограниченное решение гг(г, в), удовлетворяющее условиям ди и( 1,6») = 0, и -> 1 при г -» оо, — = 0 при в = 7г,в = 0. (0.2.4)

Рис. 1 е -Внешняя область, 0 - Диффузионный пограничный слой, 1- Конвективно - погранслойная область, 2 - Внутренняя область диффузионного следа, 3 - Область задней критической точки, 4 - Область смешения

В окрестности капли возникают несколько пограничных слоёв (см., напр., [47]) (Рис.1). Во внешней области = 1.

А. р. в диффузионном пограничном слое строится в переменных г] = (г — 1)£1,0. В диффузионном пограничном слое решение ищется в виде оо ,„.

U<0)(»7,M)= E^ÎW)- (0.2.5) к-о

Подставляя ряд (0.2.5) в уравнение (0.2.1), разлагая также коэффициенты этого уравнения, и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s, приходим к следующей рекуррентной системе уравнений т- гоъ ^ д2и№ ricosQduf^ sin0 ди^? „. п. . л . Lui W) = ^ " ji+ï-fi- + = Ml> «). (0-2-6) где правая часть (см. (1.1.13)) рекуррентно зависит от до

I = к — 1, разлагается в асимптотический ряд при 9 —» 7Г, в —» 0; /0(?7,<9) ее 0, функции Ь{г],в) = 0(ехр{-5г]2)) при к > 0 и в > еа для некоторых 5 > 0, а > 0; a при в —>- 0 имеют особенности при к > 2.

Функции кроме того, должны удовлетворять граничным условиям и(0о)(О,в) = 0;и(00) -> М оо-ди^/дв\в^ = 0; 4о)(О,0)=О;4о) О,?? ^ оо-,ди[ъ]/дв\е=к = 0; к > 0 .

0.2.7)

Функции и^ (ту, в) определяются из рекуррентной системы дифференциальных уравнений параболического типа. Линиями вырожч дения являются в = 7г, в = 0. Известно ( см., напр., [58], [114] ), что на линии вырождения, как правило, требуется дополнительное исследование. В этом случае, как следует из работы [114] ( теорема 1) на линии в = 7Г достаточно требовать условие ограниченности. Здесь обычно задают условие симметрии (равенство нулю первой производной решения по в ). А значение решения на этой линии вырождения нельзя задавать. В некоторых случаях на линии вырождения решение может быть разрывной. При построении функции и{^(7],в) удобно перейти к переменным х = г]'ф1{в)^ = Щ, (0.2.8) где

Щ = Г ф1{г)*шг<1Ь,'ф1{в) = 8Й126>/(2(/3 + 1)). (0.2.9)

3 в

Функция У0(ж,£) = имеет вид (см. [47], гл. 1, §2, (2.13)): = вг/(^). (0.2.10)

В работах [7], [8] построены функции и^ 0) и иследованы асимптотические разложения решений при в —> 7Г, в —> 0. Эти функции экспоненциально убывают на бесконечности, за исключением следа за частицей ( см. области 1 - 4 ). Доказано, что функции и{ъ\г),в) являются гладкими при 0 < 0 < 7г,77 > 0. Таким образом, доказано, что в окрестности точки 01(1,7г) (точки набегания потока к капле) никаких других пограничных слоёв не возникает. При 9 —> 0 функции имеют особенности для к > 2. Поэтому приходится дополнительно исследовать исходную задачу в окрестности седловой точки 02(1,0).

В области задней критической точки 3 ( точки стекания жидкости с капли ) асимптотическое разложение решения строится в переменных £ = г) = (г — 1)е--1 и ищется в виде оо оо . . Е (0.2.11) г=0 к=2

Подставляя ряд (0.2.11) в уравнение (0.2.1) ( разлагая также коэффициенты уравнения ) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £, 1п £ приходим к следующей рекуррентной системе уравнений (0.2.12) где \?д£) дг]2 + 2д£ 77д^ правые части рекуррентно зависят от до / = к — 1, разлагаются в асимптотические ряды степенного типа ( с логарифмическими множителями от растущие на бесконечности.

Функции и\31(£,г}) строятся как решение системы (0.2.12), удовлетворяющее граничным условиям

3(£,0) = 0, = о при £ = 0 (0.2.13) и условиям согласования

ЗК'^-^К^)^0 ПРИ ¿-»оо (0.2.14) для любого фиксированного 77, где 77) получены путем перехода в сумме (0.2.5) к переменным 77, разложения в ряд по степеням е, 1п е. Сначала исследуется уравнение

1 д (>.ди\ д2и £ди ди в полуплоскости И : {(£,77) : £ Е Я1, 77 > а}, где а > 0, функция /(£>г}) стремится к нулю на бесконечности и достаточно гладкая. В работе [10] доказана теорема существования, получены оценки решения и построено асимптотическое разложение решения при 77 —» оо. Затем строится асимптотическое разложение решения по малому параметру ( строятся функции ) и иследуются асимптотические свойства на бесконечности функций ^^(£,77) . Проводится обоснование, пользуясь условием согласования и барьерными функциями [16].

А.р. решения в конвективно - погранслойной области 1 строится в переменных г = £~1гф{г,6) = /(у)^= г — 1. Вид а.р. в этом пограничном слое определяется из условий согласования с а.р. решения в области 0. А. р. решения в области 1 ищем в виде ряда оо к — 1 . . £ е* У)- (0-2.15)

А-=0 ¿=0

В уравнении (0.2.1) перейдем к переменным 2, у и, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.15), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, 1п е, приходим к системе $(,,„), (0.2.16) где правые части имеют оценки порядка 0((у~к(гк + 1) + укг~~к) ехр(—5г2)). Требуется найти а. р. решения уравнения (0.2.16), удовлетворяющее условиям согласования для функций г^- ПРИ У ► 0

V) ~ = о(уаг-1ехр(-5г2)) (0.2.17) для любого а £ (0,1/2),/ > 0. Здесь функции получены переписыванием а. р. функции в, е) при 9 —> 0 и г отделенных от нуля в переменных г, у. Функции построены в работе

21].

А.р. решения в области 2 ( во внутренней области диффузионного следа ) ищем в переменных £ = у = г — 1. Вид а.р. решения определяется структурой а.р. решений в областях 1, 3 вблизи области 2. А.р. решения в области 2 ищем в виде ряда со к—1 . . £ г* £ 1п^422(С,у). (0.2.18) к=1 г=0

В уравнении (0.2.1) перейдем к переменным и, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.18), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £, 1п£, приходим к системе

2(С,у) = 4?(С,у), (0-2.19)

Ь^У~2д(СдУ) дУ ьу<¥ = 2ас(С } ~ ^ и справедливы оценки = 0(2/~*(1 + И)А), ж = ~С/(2у).

Эти уравнения являются вырождающимися при £ = 0 параболическими уравнениями. В работе [114] доказаны теоремы существования и единственности в классе ограниченных функций. Требуется построить гладкие решения уравнений (0.2.19), удовлетворяющие условиям ди{2) 0 при С = 0, (0.2.20) условиям согласования при С, —> оо

12(С.у) - У'^У) = °(Уа( 1 + СГт) (0.2.21) для любого а £ (0,1/2) и условиям согласования при у —» 0

Ш - У$)(Су) = о(уа(1 + С)') (0.2.22) для любого а Е (0,1/2), где функции у)-, У) получены переписыванием а. р. (0.2.5) ( при 0-*Оиж>жо>О), (0.2.11) С при г) —» оо) в переменных у. Функции построены в работе [21].

А. р. решения в области смешения 4 строится в переменных г = е~1-ф{г, в), р = ег = е(у + 1). Вид а.р. в этом пограничном слое определяется из условий согласования с а.р. решения в областях 1, 2. А.р. решения в области 4 ищем в виде ряда оо к—1 . . £ ^ £ 1п'«1$ (*,/>). (0.2.23) к-0 г=0

В уравнении (0.2.1) перейдем к переменным г,р и, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.23), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £, 1п приходим к системе р) = $(*>Р), (0.2.24) где ьту = 2±.г?Ц гдг> др'

Заметим, что левые части уравнений этой системы такого же вида, что и в области 2. Отличие состоит в том, что в области 2 классы функций были растущие на бесконечности, а здесь функции экспоненциально убывают при 2 ->оо и имеют особенности при р —> 0. Аналогичную сруктуру имеют и правые части. Кроме того, условия согласования получены согласованием а. р. в пограничных слоях 1, 2 по переменным при у —> оо. Условия согласования для функций при р —> 0 имеют вид г45(*,р) - УГ${г,р) = о(р°(ехр(-5г2) + (1 + \з\)~1)) (0.2.25) для любого а £ (0,1/2),/ > 0, где функции получены переписыванием согласованных а. р. (0.2.15), (0.2.18) при у —>■ оо в переменных z,p. Кроме того, должно выполняться условие ди{4) y/s-j^- = о при 5 — 0. (0.2.26)

Функции uf'l (z, р) в классе гладких функций построены в работе [21]. Далее проводится обоснование [21], используя барьерные функции.

Задача конвективной диффузии около частицы. Рассматривается стационарное уравнение конвективной диффузии е3Аи - (V, V)u = 0, (0.2.27) где £3 = Ре-1 - малый параметр. Вообще говоря, внешний вид уравнения такой же, как и уравнение (0.2.1). Но ввиду изменения функции тока ( см. ниже ), следовательно и масштабов растяжения в пограничных слоях, удобнее множитель писать в виде г3. В случае обтекания твердой сферической частицы стоксовым потоком функция тока имеет вид [123]: ф(г, 6>) = |(r - I)2 + i)) sin2 9. (0.2.28)

Требуется построить ограниченное решение t¿(r, 9) уравнения (0.2.27), удовлетворяюшее условиям ди u(r, 9) = 0 при г=1 , и —> 1 при г —оо, —- — 0 при 9 — п, 9 = 0. о9

0.2.29)

В окрестности частицы возникают пограничные слои такого же вида как и на рисунке 1. Но масштабы несколько другие (см. [147], [47]). Во внешней области и= 1. Функция тока на поверхности сферы обращается в нуль вместе с первой производной. Задача в этом случае усложняется. А. р. в диффузионном пограничном слое строится в переменных г] = (3/2)1/,3(г — 1)е-1,9. В этом пограничном слое решение ищется в виде оо . .

W>e)= (0.2.30) к=0

0.2.32)

Подставляя ряд (0.2.30) в уравнение (0.2.27) ( разлагая также коэффициенты уравнения ) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, приходим к следующей рекуррентной системе уравнений

0 - Ч'ссв^ + „.тв^ = 4%,в), (0.2.31) где = 0, функции Д.(ту, в) = 0(ехр(-5гу3)) при к > 0 и 9 > £а для некоторых 5 > 0, а > 0; а при 9 —)■ 0 имеют особенности.

Функции гг^(?7,0), кроме того, должны удовлетворять граничным условиям

40)(0,9) = 0; -Я, »7 ди{$)/89\в^ = 0;

4О)(О,0) = 0;40) 0,г7 оо; ди^/д9\в=1Т = 0; к > 0 .

Система дифференциальных уравнений (0.2.31) - параболического типа, вырождающаяся на границе области. В работах [5], [7] построены функции 9) и иследовано асимптотическое разложение решения при 9 —>• 7г, 9 —> 0. Эти функции экспоненциально убывают на бесконечности, за исключением следа за частицей. Доказано, что функции г$\г],в) являются гладкими при 0 < 9 < 7г, 77 > 0. Таким образом, доказано, что в окрестности точки 01(1,7г) (точки набегания потока к частице) никаких других пограничных слоев не возникает. При 9 —> 0 функции и^\г1,9) имеют особенности для к > 2. Поэтому приходится дополнительно исследовать исходную задачу в окрестности седловой точки 02(1, 0).

В области задней критической точки (точки стекания жидкости с частицы) асимптотическое разложение решения строится в переменных £ = (3/2)1/39£~\ 7] = (3/2)х/3(г - 1)£-х и ищется в виде оо оо . .

0-2.33) г=0 к-1

Подставляя ряд (0.2.33) в уравнение (0.2.27) ( разлагая также коэффициенты уравнения ) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 1п е приходим к следующей рекуррентной системе уравнений

1 д Л д \ . д2 . д 2д где правые части рекуррентно зависят от (£, г]) до I = к — 1, а на бесконечности разлагаются в асимптотические ряды степенного вида с множителями, зависящими от 1пгу,1п^.

Функции строятся как решение системы (0.2.34), удовлетворяющее граничным условиям ди%с ^ =0 пРи £ = (°-2-35) и условиям согласования к^)-**.*^)-»0 пРи (°-2-36) и при любом фиксированном т/, где г)) получены путем перехода в сумме (0.2.30) к переменным 7/, разложения в ряд по степеням е, 1п £.

Асимптотические ряды (0.2.30), (0.2.33) были построены в кандидатской диссертации ( [4], [5], [6]). Во второй главе построение этих рядов и их согласование приводятся для полноты изложения, а так же для удобства чтения и не выносятся на защиту. Заметим так же, что для главного члена асимптотического разложения (0.2.33) были изучены асимптотические свойства на бесконечности, но не было установлено согласованность с ранее известными решениями в следе за частицей. Поэтому потребовалось дополнительное исследование [11], [12]. Ранее главный член асимптотики был построен численными методами [147].

А.р. решения в конвективно - погранслойной области 1 строится в переменных z — e~l\Jip(r, 9) = e^t^f(y), у = г — 1. Вид а.р. в этом пограничном слое определяется из условий согласования с а.р. решения в области 0. А. р. решения в области 1 ищем в виде ряда оо к—1 u{1)(z,y,s) = £ ^ £ In*еи§(г,у). (0.2.37) к=0 г=0

В уравнении (0.2.27) перейдем к переменным z, у, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.37), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, In е, приходим к системе

У), (0.2.38) где правые части имеют оценки порядка 0{{y~k{zk + 1) + ykz~k) ехр(—5z3)). Требуется найти а. р. решений уравнений (0.2.38), удовлетворяющие условиям согласования для функций при у —» 0

- Щь&у) = о(^-гехр(-^3)) (0.2.39) для любого а G (0,1/2),/ > 0. Здесь функции Wi^(z^y) получены путем перехода в сумме (0.2.30) при 9 —> 0 и z, отделенных от нуля, к переменным z,y, разложения в ряд по степеням е, Ine. Функции u^~l(z,y) построены в работе [24].

А.р. решения в области 2 ( во внутренней области диффузионного следа ) ищем в переменных С, = е~2,ф,у = г — 1. Вид а.р. решения определяется структурой а.р. решений в областях 1, 3 вблизи области 2. А.р. решения в области 2 ищем в виде ряда riLiil 00 L 2 J u{2\U,e) = £ ек'2 £ 1пг'^22(С,2/). (0.2.40)

В уравнении (0.2.27) перейдем к переменным у, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.40), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, In е, приходим к системе

Lf);U%(Cy)=F$((,y), (0.2.41) где 2дС{СдС} ду'

0(,о(С»у) = 0, и справедливы оценки ^(С,у) = 0(у~к/2{ 1 + \х\)к), х = —С/(2у). Левые части этих уравнений те же, что и в уравнениях (0.2.19), но здесь классы функций другие. Требуется построить гладкие решения уравнений (0.2.19), удовлетворяющие условиям

0 (2) 0 при с = 0, (0.2.42) условиям согласования при £ —>• оо

У^кШ - = о(уа( 1 + СГт) (0.2.43) для любого а 6 (0,1/2) и условиям согласования при у —» 0

С, у) - ^?(С,у) = "(уЧ1 + О1) (0.2.44) для любого а 6 (0,1/2), где функции у), у) получены переписыванием а. р. (0.2.30) ( при 0 0 и ж > ж0 > 0), (0.2.33) ( при г} —» оо) в переменных Функции построены в работе [24].

А. р. решения в области смешения 4 строится в переменных г = в), р = е{г —1)/2 = еу/2. Вид а.р. в этом пограничном слое определяется из условий согласования с а.р. решения в областях 1, 2. А.р. решения в области 4 ищем в виде ряда оо к—1 £ е* £1п*еи§(г,р). (0.2.45)

Л-=0 г=0

В уравнении (0.2.27) перейдем к переменным г, р, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.45), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, 1п е, приходим к системе

Ь%1и§(г,р) = р}${г,р), (0.2.46) р~ гдхК дг] др1 здесь функции Р^] (г, р) экспоненциально убывают при г оо и имеют особенности при р —> 0. Условия согласования для функций и^}. при р —>■ 0 имеют вид

- = о(ра(ехр(—8г2) + (1 + \з\)~1) (0.2.47) для любого а € (0,1/2),/ > 0, где функции получены переписыванием согласованных а. р. (0.2.37), (0.2.40) при у —оо в переменных г, р. Кроме того, должно выполняться условие о при 5 = 0. (0.2.48) дв

Функции в классе гладких функций построены в работе

24], там же дано обоснование справедливости составного асимптотического разложения.

Задача конвективной диффузии с учетом химической реакции. Рассматривается краевая задача для стационарного уравнения конвективной диффузии при наличии объемной химической реакции ( см. [47], гл. 5, (6.1)-(6.3) )

А и = Ре(У ■ У)и + КЯф), (0.2.49) ди и — 1 при г = 1; и —У 0 при г —> оо —— = 0 при 9 = 7Г, в = 0 , д9

0.2.50) где V - (К, 14,0) , К = (г2зтв)-1дф1дв, Ув = -{гз1п9)~1дф/дг , ф(гу9)~ функция тока, г, 9— сферические координаты, Л— оператор Лапласа, Ре— число Пекле, ку - число, определяемое скоростью химической реакции, угол 9 отсчитывается от направления потока на бесконечности. В случае обтекания сферической частицы функция тока имеет вид (см., например, [123]) ф(г, в) = зт2 9(г - 1)2(2 + 1 /г)/4. (0.2.51)

Будем считать, что выполнены следующие условия.

Условие А. Функция F(u) монотонно возрастает, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица на отрезке [0; 1] и такая, что

F : [0; 1] [0; 1], Р(0) = 0 . (0.2.52)

Некоторые свойства асимптотических решений будут также исследоваться при дополнительных условиях:

F(u) € Ск(0,1), где к>1. (0.2.53)

Требуется найти асимптотику по малому параметру е — Ре-1/3 ограниченного решения задачи (0.2.49), (0.2.50). Наиболее трудным является случай, когда Ре >>1, fc„>>l.B данной работе предполагается, что величина ¡i = kv/Pe2/3 - постоянная. В этом случае все слагаемые в уравнении (0.2.49) одного порядка в окрестностях седловых точек. При рассмотрении твердых частиц для удобства введем малый параметр е = Ре-1/3 и перепишем уравнение (0.2.49) в виде - S АШ - - %г> - ^ = 0.

0.2.54)

Уравнение (0.2.54) при е — 0 имеет особые точки Oi(l, 7г), Ог(1,0) седлового типа.

Во внешней области е решение и^ = 0.

А. р. решения в диффузионном пограничном слое строится в переменных х - E~l(3~l{r - 1), где (3 = (2/3)1/3. Функция i¿(°)(íe, в, е) ищется в виде и{0\х, 0, е) = щ(х, в) + 0(е). (0.2.55)

Для определения щ(х,в) получаем задачу д2и0 9 лдщ . лдщ . „„

-f - ж2 cos 0—+ ж sin е-%- - ¡iF(u0(x, в)) = 0, (0.2.56) t¿o(O,0) = 1; щ{х,9) 0 прих-ъ оо,тг) = 0. (0.2.57)

Уравнение (0.2.56) является квазилинейным параболическим, вырождающимся на границе области. Асимптотика 9) при 9 —» 7г строится в виде uo,o(z) + O((7r-0)2). (0.2.58)

Для определения главного члена асимптотики при в —> тт получаем задачу u'¡Q{x) + x2u'qq[x) - fj,F(u00(x)) = 0. (0.2.59)

•^oo(O) = 1 i woo —> 0 при x —>• oo. (0.2.60)

Доказано существование решения задачи (0.2.59), (0.2.60), удовлетворяющее оценке щ0(х)) < ехр(-ж3/6). (0.2.61)

Функция щ(х,9) удовлетворяет условиям щ(х, 9) = щ0(х) + 0((тг - 6>)2 ехр(-7ж3)) (0.2.62) для некоторого 7 > 0 при 9 —» 7Г, и оценке

ММ)| < Мехр(-7ж3),М > 0 (0.2.63) в области D = {ж, 9 : х > 0,71^ < 9 < 7г}, z/ G (0,1),71 > 0. Асимптотика функции ^(ж,^) при 9 —>• 0.

При исследовании асимптотики функции щ{х,9) при 9 —> 0 будем использовать также переменные z = £1\Л/>, т = т{9), где т = (л/3/8)(тг - 0 + sin 29/2) и обозначим и0(£, 0) = Vq(z, т) . Дело в том, что асимптотика функции гго(£, 9) при 9 —> 0 носит различный характер для малых z и для значений z, отделенных от нуля.

Сначала рассмотрим случай малых значений z. В этом случае асимптотика функции щ(х, 9) при в 0 ищется в виде щ(х, 9) = vQ{x) + 0{92) (0.2.64)

Функция г>о(ж) строится как решение задачи v'i(x) - x2v'0(x) - fj,F(v0(x)) = 0, (0.2.65) v0(0) = 1 ; г/0(а:) = °{l) пРи х > 0. (0.2.66)

Справедлива теорема [22]:

Теорема 1 Пусть F(u) удовлетворяет условиям (0.2.52) и (0.2.53).

Тогда существует ¿¿о > 0, что для всех \х Е (0, ¿¿о) пРи ж —> оо для решения задачи (0.2.65), (0.2.66) справедливо асимптотическое представление v0(x) = с0 + ciaT1 + с2аГ2 + • • • + ckx~k + 0(x~k~l), (0.2.67) где со Е (0,1) , а коэффициенты сп при п > 0 определяются из системы сл = uF(cn). со = uF'(cn)ci /2.

0.2.68) ci = fiF(c0), с2 = ¡jlF'(cq)ci/2,

Переходим к исследованию свойств функции щ(х,6) при в —> О для значений г, отделенных от нуля. Такое исследование дает возможность построить асимптотику решения в конвективно-погранслойной области ( область 1) и доказать согласованность в некоторой промежуточной области между областями 0 и 1 (см. рис. 1). Как было отмечено в начале этого пункта, удобно перейти к переменным г,г. При этом функция Уо(г,т) = щ(х,в) удовлетворяет уравнению - ^ - Мг)ПУ0(г, г)) = 0, (0.2.69) где д(т) = до(го — т)~2/3[1 + О((то — т)2/3)]. Требуется исследовать асимптотические свойства решения уравнения (0.2.69), удовлетворяющего условию

У0(г,Л) = ф), (0.2.70) где <р(г) удовлетворяет оценке <р{г) — 0(ехр(—11^))-, М\ > 0,71 > 0. Для решения задачи (0.2.69), (0.2.70) справедливо интегральное уравнение

V0(z, т) = /о°° ÇG(z, т-d, CMQdC + гт гоо

Jd /0 qF(Vo)G(z, r-t, C)dCdi, (0.2.71) где G(z,r,Q- фундаментальное решение оператора д2/дz2 — zd/dr (см., напр., [148]). Справедлива теорема [23]:

Теорема 2 Пусть F(u) удовлетворяет условию А и условию (0.2.53). Тогда найдутся число ¡1* > 0 и точка M*(z*,т*), где z* > zq,t* £ (ci,tq), tq — d = ea такие, что на множестве D^ — {(z,r),z > z*, \t — r*| < Эл^ = sai и любого ц £ (0,//*) справедливо асимптотическое представление

V0(z, т) = V0(z) + 0(eQ/3) пртечО (0.2.72) d/Lff 7 > 2a и некоторых ai,a G (0,1). Функция Vq(z) монотонно убывает, удовлетворяет условию

V0(z*) = с0, (0.2.73) где со- то же число, что и в теореме 1, и оценке

0 < V0(z) < M2exp(-72z3),M2 > 0,72 > 0. (0.2.74)

Итак, для функции щ(х,в) при 0 —» 0 справедлива асимптотика „ч i У0(х) + О(в2) при х = 0(£~s) щ(х,в) = \ , п/ (0.2.75)

1 V0(z) + 0{£а/3) npuz>z* V J для £ —у 0 и некоторых S > 0, а > 0.

Асимптотика в диффузионном следе. Область диффузионного следа состоит из областей 1, 2, 3, 4. В области 3 задней критической точки удобно ввести локальные координаты £ = £-1(3/2)1!г0,х = е 1(3/2)1/'3(г — 1). Тогда, для определения главного члена разложения в области 3 получаем задачу

1 Э Гдт®\ Л/3> , дш® 2д»(3> „ ,,ь „ ,„„„„, еве 1€"вг) ) = (0'2'76)

Ягу(з) ги(3)(£,0) = 1; — = 0при,£ = 0; х) ~ ^о(ж) 0 при £ оо, (0.2.77) где г?о(ж) - решение задачи (0.2.65)-(0.2.66). Тогда функция к/3) = ио(х) есть решение задачи (0.2.76)-(0.2.77).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ахметов, Рустям Гилимович, 2008 год

1. Аксельруд Г. А. Массообмен тел сферической формы с потоком жидкости // Инж.-физ. журн. 1970. Т. 19. N 1. С. 110-112.

2. Астарита Дж. Массопередача с химической реакцией. JL, Химия, 1971.

3. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения эллиптического уравнения второго порядка с малым параметром при старших производных // Дифф. уравнения. 1982. Т. 18. N 3. С. 440-450.

4. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения краевой задачи для одного уравнения диффузии в полуплоскости // Дифф. уравнения.1983. Т. 19. N 2. С. 287-294.

5. Ахметов Р. Г., Асимптотика решения краевой задачи для одного уравнения диффузии // Дифференц. ур-ния с малым параметром. Свердловск: Ин-т матем. и механ. Ур.НЦ АН СССР,1984. 3-17.

6. Ахметов Р. Г., Асимптотика решения сингулярно возмущенного эллиптического уравнения, описывающего явление диффузии около частицы. Дисс. . канд. физ.-мат. наук, Уфа, 1986.

7. Ахметов Р.Г. Метод согласования в задаче о диффузии к частице // Матем.заметки. 1990. Т. 47, Вып. 5. С. 144-146.

8. Ахметов Р. Г. Асимптотика по малому параметру решения уравнения диффузии вне капли // Асимптотические решения задач математической физики: сборник научных статей / БНЦ УрО АН СССР. Уфа, 1990. С. 3 16.

9. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения краевой задачи для одного эллиптического уравнения // Дифференц. ур-ния. 1997. Т. 33(11). С. 1552 1554.

10. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи для уравнения диффузии в окрестности седловой точки у предельного оператора //Докл. РАН. 1998. Т. 362. N 6. С. 727-728.

11. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения задачи конвективной диффузии около сферы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.1998. Т. 38. N 5. С. 801-806.

12. Ахметов Р.Г. Оценки решений краевой задачи для одного уравнения диффузии в полуплоскости // Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы. Сб. науч. тр.: В 2 ч./ Междунар. науч. конф., Стерлитамак, СГПИ, 1998. С. 5-9.

13. Ахметов Р. Г. Об асимптотике решения задачи конвективной диффузии около цилиндра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.1999. Т. 39. N 4. С. 612-617.

14. Ахметов Р.Г. Асимптотика решения одной задачи конвективной диффузии с двумя параметрами // Труды междунар. конф. Комплексный анализ, дифференц. ур-ния и смежные вопросы. II. Дифференц. ур-ния. Уфа: Ин-т матем. с вычисл. центром РАН, 2000. С. 10-15.

15. Ахметов Р. Г. Асимптотическое разложение решения задачи о конвективной диффузии около осесимметричной капли // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т.40. N 10. С. 1541-1553.

16. Ахметов Р. Г. Об асимптотике решения задачи конвективной диффузии около сферы с объемной реакцией // Кубатур-ные формулы и их приложения. Труды VI-го международного семинара-совещания, Уфа, 2-7 июля 2001 г., ИМВЦ УНЦ РАН, БГПУ. 2002. С. 5-14

17. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения задачи о конвективной диффузии с объемной химической реакцией // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т.42. N 10. С. 1600-1608.

18. Ахметов В.Р., Ахметов Р. Г., Загидуллина A.B. Асимптотика решения одного квазилинейного эллиптического уравнения // Уч. записки: Сб. науч. тр. Уфа, 2003. С. 12-17.

19. Ахметов Р. Г. Асимптотическое разложение решения задачи конвективной диффузии в следе за каплей. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т.44. N 6. С. 1062-1078.

20. Ахметов Р. Г., Существование и асимптотики решений одного класса квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференц. ур-ния. 2005. Т. 41. N 6. С. 723-729

21. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения задачи конвективной диффузии с объемной химической реакцией в следе за частицей // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. N 5. С. 834-847.

22. Ахметов Р. Г. Асимптотическое разложение решения задачи конвективной диффузии в следе за сферической частицей // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. N 10. С. 18221837.

23. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука,1970, 456 с.

24. Бабич В.М., Кирпичникова Н.Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции. Л.: Изд-во ЛГУ, 1974, 124 с.

25. Бабенко К. И. Основы численного анализа. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002, 848 с.

26. Бабенко К. И., Введенская Н. Д., Орлова М. Г. Расчет стационарного обтекания кругового цилиндра вязкой жидкостью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т.15. N 1.0. 183-196.

27. Байдулов В.Г., Матюшин П.В., Чашечкин Ю.Д. Структура течения, индуцированного диффузией, около сферы в непрерывно стратифицированной жидкости // Докл. РАН. 2005. Т. 401. N 5. С. 1-6.

28. Батищев В. А. Автомодельные решения, описывающие нестационарные термокапиллярные течения жидкости // Прикл. матем. и механ. 1995. Т. 59. N. 6.

29. Батищев В. А. Ветвление автомодельных решений, описывающих термокапиллярные течения жидкости в тонком слое// Прикл. механ. и техническая физика. 1999. Т. 40. N. 3.

30. Батшцев В. А., Хорошунова Е.В. Возникновение вращательных режимов термокапиллярных течений неоднородной жидкости в слое // Прикл. матем. и механ. 2002. Т. 64. N. 4.

31. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах, М. Наука, 1984.

32. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, Т. 1, 1973, Т. 2, 1974.

33. Бернштейн С. Н. Ограничение модулей последовательных производных решений уравнений параболического типа. Докл. АН СССР, Т. 18. N. 7.(1938), с. 385-388.

34. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974, 503 с.

35. Броунштейн Б. И., Фишбейн Г. А. Гидродинамика, массо и теплообмен в дисперсных системах. Л.: Химия, 1977, 280 с.

36. Вайнберг Б. Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1982, 294 с.

37. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкостей. М.: Мир, 1967. 310 с.

38. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных // УМН, 1963, Т. 18. N. 3. С. 15-86

39. Васильева А.Б. О развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных за период 1966-1976 // УМН, 1976, Т. 31. N. 6. С. 102-122

40. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука. 1973, 272 с.

41. Вишик М. И., Люстерник JI. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, вып. 5. С. 3-120

42. Гадылынин Р. Р. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной самосопряженной эллиптической задачи с малым параметром в граничных условиях // Дифференц. ур-ния. 1986. Т. 22. N 4. С. 640 652.

43. Гадылынин Р. Р. Метод сращиваемых асимптотических разложений в задаче об акустическом резонаторе Гельмгольца / / Прикл. матем. и механ. 1992. Т. 56. Вып. 3. С. 412-418.

44. Головин А. М., Животягин А. Ф. Влияние объемной химической реакции на массоперенос внутри капли при больших числах Пекле // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. и механ. N 4 (1979) 77-83.

45. Гупало Ю.П.,Полянин А.Д.,Рязанцев Ю.С. Массотеплообмен реагирующих частиц с потоком. М.: Наука, 1985.

46. Гупало Ю.П., Полянин А.Д., Рязанцев Ю.С., Массоперенос в диффузионном следе капли при стоксовом обтекании // Прикл. матем. и механ. 1977. Т. 41. Вып. 2. с. 307-311

47. Гупало Ю.П.,Полянин А.Д.,Рязанцев Ю.С. О массообмене частиц, расположенных на оси потока, при больших числах Пекле // Изв.АН СССР, МЖГ. 1977. N 2. С. 64-74.

48. Гупало Ю.П.,Полянин А.Д.,Рязанцев Ю.С. О диффузии к цепочке капель (пузырей) при больших числах Пекле // Изв.АН СССР, МЖГ. 1978. N 1. С. 59-69.

49. Данквертс П. В. Газожидкостные реакции / Пер. с англ. М.: Химия, 1973

50. Дильман В.В., Полянин А. Д., Метод модельных уравнений и аналогий в задачах о конвективном массообмене с поверхностными и объемными реакциями // Хим. промышленность. 1983. N 1. С. 238-241.

51. Дородницын A.A. Асимптотика решения уравнения Ван-дер-Поля // Прикл. мат. и мех. 1947. Т. 11, вып. 3. С. 313-328.

52. Животягин А. Ф. Влияние гомогенной химической реакции на распределение концентрации в диффузионном следе капли // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. и механ. 1980 . N 6. С. 73-78.

53. Жиков В. В., Козлов С.М. Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Изд. фирма "Физ.- мат. лит.", 1993, 464 с.

54. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

55. Ильин A.M. Асимптотика решения краевой задачи для уравнения Пуассона вне цилиндра и вне полуцилиндра // Матем. сборник. 1982. Т. 118. 2. С. 184-202.

56. Ильин A.M. Вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения // Матем. сборник. 1960. Т. 50(92). N 4. С. 443-498. С. 184-202.

57. Ильин A.M., Сулейманов Б.И. О двух специальных функциях, связанных с особенностями типа сборки // Докл. РАН. 2002. Т. 387. N 2. С. 156-158.

58. Итс А.Р., Капаев A.A., Новокшенов В.Ю., Фокас A.C. Транс-ценденты Пенлеве. Метод задачи Римана. Москва-Ижевск, 2005.

59. Калякин JI. А. Эллиптическое возмущение динамической системы с седловой точкой на границе области // Метод согласования асимптотических разложений в задачах с сингулярными возмущениями. Башк. Филиал АН СССР. Уфа. 1980. С. 3 33.

60. Калякин JI. А. Асимптотики решений уравнений главного резонанса // Теор. и мат. физика, 2003. Т.137, N 1, с. 142-152.

61. Калякин JI. А. Асимптотическое решение задачи о пороговом эффекте для уравнений главного резонанса // Дифференц. ур-ния. 2004. Т. 40. N 6. С. 731 739.

62. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976

63. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Моск. мат. об-ва. 1967. Т. 16. С. 209-292.

64. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. 274 с.

65. Крылов. В. С. Диффузионный пограничный слой на поверхности движущейся капли при наличии объемной химической реакции // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1967. N 1. С. 146-149.

66. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир.1964. 830 с.

67. Кузнецов В. В. О существовании пограничного слоя вблизи точки трехфазного контакта // Сиб. мат. журн. Т. 41, N 3. 2000. С.635-647.

68. Кузнецов В. В. О задаче продолжения пограничного слоя Пран-дтля // Дифференц. ур-ния. Т. 36, N 7. 2000. С.898-902.

69. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1977.

70. Ладыженская О. А., Солонников В.А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

71. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физмат-гиз, 1959.

72. Левич В.Г., Крылов В. С., Воротилин В. П. К теории нестационарной диффузии из движущейся капли // Докл. АН СССР,1965, т. 161, 3 , с. 648-652.

73. Леликова Е.Ф. Об асимптотике решения эллиптического уравнения второго порядка с малым параметром при старших производных // Дифференц. ур-ния. 1976. Т. 12. N 10. С. 18521865.

74. Леликова Е.Ф. Асимптотика решения эллиптического уравнения с малым параметром в области с конической точкой // Дифференц. ур-ния. 1983. Т. 19. N 2. С. 305-317.

75. Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.

76. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981, 398 с.

77. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. Тбилиси: Изд-во. Тбил. ун-та, 1981. 206 с.

78. Макаренко Н.И. Второе длинноволновое приближение в задаче Коши -Пуассона // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1986. Вып. 77. С. 56-72.

79. Макаренко Н.И. Асимптотика несимметричных внутренних волн // Вычислительные технологии. 1993. Т. 2, N 4. С. 2229.

80. Марри Д. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983, 400 с.

81. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Изд-во МГУ, 1965. 549 с.

82. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Наука, 1977. 384 с.

83. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976, 296 с.

84. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа.- М.: ИЛ. 1957. 256 с.

85. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука,1975, 247 с.

86. Мовчан Н.В., Назаров С.А. О напряженно-деформированном состоянии вблизи вершин конусов // Прикл. мат. и мех. 1990. Т. 52, N 2. С. 281-293.

87. Мукминов Ф.Х. О скорости убывания сильного решения первой смешанной задачи для систем уравнений Навье-Стокса в областях с некомпактными границами // Матем. сборник, 1993. Т. 184. N 4. С. 149-160.

88. Найфэ А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976, 455 с.

89. Налимов В.И., Пухначев В.В. Неустановившиеся движения идеальной жидкости со свободной границей. Новосибирск: НГУ, 1975.

90. Натансон Г.Л. Диффузионное осаждение аэрозолей на обтекаемом цилиндре при малых коэффициентах захвата. Докл.АН СССР, Т. 112(1), 1957, с. 100-103.

91. Новокшенов В. Ю. Асимптотика решения сингулярного интегрального уравнения с малым параметром // Матем. сборник.1976. Т. 100. N 3. С. 455-475.

92. Новокшенов В. Ю. Сингулярное интегральное уравнение с малым параметром на конечном отрезке // Матем. сборник. 1978. Т. 105. N 4. С. 543-573.

93. Овсянников Л.В., Макаренко Н.И., Налимов В.И. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск.

94. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука,1978,376 с.

95. Олейник O.A., Вентцель Т.Д. Первая краевая задача и задача Коши для квазилинейных уравнений параболического типа // Матем. сборник. 1957. Т. 41, N 1. С. 105-128.

96. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.

97. Плотников П.И. Разрешимость задачи о пространственных гравитационных волнах на поверхности идеальной жидкости // Докл. АН СССР. 1980. Т. 251, N 3. С. 591-594.

98. Плотников П.И. Обоснование гипотезы Стокса в теории поверхностных волн // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269, N 1. С. 80-83.

99. Полянин А. Д., Некоторые качественные особенности внутренних задач конвективного тепло и массообмена в областях с замкнутыми линиями тока // Изд. АН СССР, Механ. жидкости и газа. 1983. N 5. С. 116-125.

100. Полянин А. Д., Качественные особенности внутренних задач нестационарного конвективного массо и теплоообмена при больших числах Пекле // Теор. основы хим. технол. 1984. Т. 18. N 3. С. 284-296.

101. Полянин А. Д., О нестационарном конвективном массо- и теплообмене капли при соизмеримых фазовых сопротивлениях // Жур. прикл. мех. и техн. физ. АН СССР, Сиб. отд. 1984. N 3. С. 105 116.

102. Полянин А. Д., Дильман В.В., Асимптотическая интерполяция в задачах массо и теплопереноса и гидродинамики // Теор. основы хим. технол. 1985. Т. 19. N 1. С. 3-11.

103. Понтрягин JI.C. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных // Изв. АН СССР, сер. матем. 1957. Т. 21. N. 5. С. 605-626.

104. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр. труды, т. 1. М.: Наука, 1971.

105. Пятницкий A.JL, Чечкин Г.А., Шамаев A.C. Усреднение. Методы и приложения. Новосибирск: Изд-во "Тамара Рожков-ская", 2007.-264 с. (Белая серия в математике и физике. Т. 3.

106. Радкевич Е.В. Математические вопросы неравновесных процессов. Новосибирск: Изд-во "Тамара Рожковская", 2007.-300 с. (Белая серия в математике и физике. Т.4)

107. Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И.Г. Числе-ные методы решения жестких систем. М. Наука, 1979, 208 с.

108. Рамазанов М.Д. Задача об обтекании тонкого крыла с острой задней кромкой невязкой несжимаемой жидкостью // Математический анализ и смежные вопросы математики.-Новосибирск: Наука, 1978.-С. 224-236.

109. Риекстынып Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Рига: Зинатне, 1974. Т.1. 390 с.

110. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений.-М.: Наука, 1978.

111. Смирнова Г. Н. Линейные параболические уравнения, вырождающиеся на границе области // Сибирский матем. журнал. 1963, Т. 4. N 2. С. 343-358.

112. Тешуков В.М. О гиперболичности уравнений длинных волн. Докл. АН СССР. 1985. Т. 284, N 3. С. 555-559.

113. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Матем сб. 1948. Т. 22 (64). N. 2. С. 193-204.

114. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры // Матем сб. 1950. Т. 27 (69). N. 1. С. 147-156.

115. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1983. 352 с.

116. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1967

117. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.- М.: Мир. 1968. 427 с.

118. Фукс Н. А., Стечкина Н. Б. К теории волокнистых аэрозольных фильтров // Докл. АН СССР. 1962. Т. 146. N 5. С. 11441146.

119. Фукс Н. А. Механика аэрозолей. Изд. АН СССР. 1955. 352 с.

120. Хаппель Д., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976, 630 с.

121. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970

122. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов ( метод ВКБ ). М.: Мир, 1965. 237 с.

123. Чен Ч. Фильтрация аэрозолей волокнистыми материалами // Успехи химии. 1956. Т. 25, вып. 3. С. 368-392.

124. Шайгарданов Ю.З. Асимптотика по параметру решения эллиптического уравнения высокого порядка в окрестности линии разрыва предельного уравнения // Дифф. уравнения. 1985. Т. 21. N 4. С. 706-715.

125. Эрдейи А. Асимптотические разложения. М.: Физматгиз, 1962. 127 с.

126. Acrivos A., Goddard J. D. Asymptotic expansions for laminar forced-convection heat and mass transfer. Pt 1. Low speed flows //J. Fluid Mech. 1965. T. 23. pt. 2. P. 273-291.

127. Acrivos A., Taylor T. D., Heat and mass transfer from single spheres in Stokes flow // Phys. Fluids. 1962 V. 5. N 5. P. 378-394.

128. Akhmetov R. G. Asymptotics of Solution for a Problem of Convective Diffusion with Volume Reaction Near a Spherical Drop // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 1, 2003, pp. S8-S12.

129. Brignell A. S. Solute extraction from an internally circulating spherical liquid drop. // Internat. J.Heat Mass Transfer. 1975. V. 18. N 1. p. 61-73

130. Chapman S.J., Lawry J.M.S., Ockendon // Ray Theory for high-Peclet-number convection diffusion. SIAM J. APPL. MATH., 1999, Vol. 60, N 1, pp. 121-135

131. Dobrokhotov S.Yu., Maslov V.P. Multiphase asymptotics of nonlinear partial differential equations with a small parameter // Sov. Sci.Rev., New York, Harwood Acad. Publishers. OVP. 1982. V.3. P. 221-311.

132. Fraenkel L.E. On the method of matched asymptotic expansions, Parts I-III // Proc. Camb. Phil. Soc. 1969. V. 65. N 1. pp. 209263.

133. Goddard J. D., Acrivos A. Asymptotic expansions for laminar forced-convection heat and mass transfer. Part 2. Boundary layer flows //J. Fluid Mech., 1966, v. 24, pt. 2, p. 339-366.

134. Newman J. Mass transfer to the rear of a cylinder at high Schmidt number // Ind.and Engng Chem Fundam., 1969. V. 8(3). P. 553557.

135. Polyanin A. D. Unsteady-State Extraction From a Falling Droplet With Nonlinear Dependens of Distribution Coefficient on Concentration // Internat. J.Heat Mass Transfer. 1984. V. 27. N 8. P. 1261-1276.

136. Prandtl L. Uber Flüssigkeiten bei sehr kleiner Reibung // Vehr. III Internat. Math. Kongr. Heidelberg, 1904, Leipzig 1905 - S.

137. Ruckenstein E. Mass transfer between a single drop and a continuous phase // Internat. J.Heat Mass Transfer. 1966. V. 10. N. 12. P. 1785-1792

138. Schneider D. The sex atractant receptor of moths // Sei. Amer. 1974. V. 231. N 1. P.28-35

139. Sih P.H.,Newman J. Mass transfer to the rear of a sphere in Stoces flow // Internat. J.Heat Mass Transfer. 1967. V. 10. N 12. P.1749-1756.484.491.

140. Sutton W. G. L. On the equation of diffusion in a turbulent medium // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1943. V. 182. N 988. P. 48-75.