Бинарные аддитивные задачи с полупростыми числами, лежащими в коротких промежутках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Зинченко, Наталья Алексеевна

• Зинченко, Наталья Алексеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зинченко, Наталья Алексеевна

Обозначения

Введение

Глава 1. Вспомогательные утверждения

Глава 2. Доказательство теоремы

Глава 3. Доказательство теоремы

Глава 4. Доказательство теоремы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Бинарные аддитивные задачи с полупростыми числами, лежащими в коротких промежутках»

Аддитивные задачи с простыми числами

В двадцатых и тридцатых годах XX века Г. Харди, Дж. Литтлвуд и И.М. Виноградов развили общий метод в аналитической теории чисел, позволяющий вывести асимптотические формулы для числа решений многих аддитивных задач. С его помощью были решены тернарная проблема Гольдбаха, проблема Варинга, проблема Варинга с простыми числами и ряд других. Все эти проблемы были решены по схеме решения тернарной задачи, открытой И.М.Виноградовым.

В пятидесятых и шестидесятых годах XX века Ю.В. Линник разработал дисперсионный метод, с помощью которого ему удалось решить ряд бинарных аддитивных задач с простыми и полупростыми числами, которые не могут быть решены по схеме решения тернарной задачи. В частности, Ю.В. Линник дисперсионным методом доказал следующие теоремы:

Теорема (Проблема Харди—Литтлвуда с простыми числами). Если Q(n) — число решений уравнения п =р + £2 + т72, где £ и г/ — целые числа, то для достаточно больших п верна асимптотическая формула: п( \ п TTVi , Ха(Р) > ТТ (Р ~ г)(Р ~ ХА(Р)) , г?/ \

Q{n) = тг-- 11(1 + —--) II —2-ГТ~ +

In п р{р - 1) ££ V-V- Х4 (р) где Х4 (р) — неглавный характер по модулю 4 и

Д(п) = 0(п(1пп)"1'028). Доказательство см., например, в [1].

Теорема (Проблема Харди—Литтлвуда с полупростыми числами). Пусть Qi(n)— число решений уравнения п = £2 + г)2 +Р1Р2, где РьР2 пробегают все простые числа удовлетворяющие неравенствам щ > ехр(у1пп), г = 1,2.

Тогда

1п 1п П -ру (р — 1)(р - Х4(Р)) дцп) ~ 7гЛ0П-— м —=-гт-,

1п п ±Л~ рг-р-х4{р) р\п где и Ха{р) ~~ неглавный характер по модулю 4. Доказательство см., например, в [2].

Теорема (Проблема делителей Титчмарша). При п —> оо справедлива асимптотическая формула: , ^ 315 С(3) р^п где Д(п) = 0(п(1пп)~0,999).

Доказательство см., например, в [3, с. 182].

Теорема (вариант задачи Харди-Литтлвуда). Пусть (¿2{п)— число решений уравнения п = £2 + V2 + Р\Ръ где а ^ 2 — заданное целое число и рх пробегает простые числа промежутка [1,п1а], а Р2 — числа промежутка [1,па], где а — любая положительная константа, удовлетворяющая условию:

О < а < о

Тогда д2(п) = тгЛоЫ (п^и (п?) П (р-1)(р-Х^})(1 + р(п)), v р2~р~ Х4(Р р|п где р(п) = 0((1пп)~с) и С — сколь угодно большая наперед заданная константа.

Доказательство см., например, в [2].

Ю.В. Линник отмечал, что вторую и третью из этих теорем можно вывести из расширенной гипотезы Римапа. а четвертая теорема непосредственно таким образом не выводится.

Отметим также следующий аналог проблемы делителей Титчмар-ша с полупростыми числами, принадлежащий М.Б. Барбану (см. [4]):

Теорема. Имеет место соотношение:

Е, 630С(3) х ^,ж(1п1пя;)' т(рт -1) = —— + 0( \ 2 ; .

7Г 1П X 1п X

Заметим, что после появления в 1965 году теоремы Бомбьери-Вино-градова (см. [5] и [6]) для решения многих аддитивных задач вместо дисперсионного метода стала применяться эта теорема.

Простые числа специального вида

Настоящая диссертация посвящена бинарным аддитивным задачам с полупростыми числами, принадлежащими промежуткам специального вида.

В 1940 году И.М. Виноградов методом тригонометрических сумм получил асимптотическую формулу для числа простых чисел, не превосходящих х и лежащих в промежутках вида [(2т)2, (2т+1)2), тп £ N (см. [7]).

В 1986 году С.А. Гриценко в [8] вывел асимптотическую формулу для числа простых чисел, не превосходящих х и лежащих в промежутках вида

2тГ,(2т+1)с), (1) где тезисе (1, 2].

Задача, решенная в [8], содержит в себе следующий эффект. Длина промежутка [(2т)с, (2т+ 1)с), где т £ М, и с 6 (1, 2], по порядку равна х1~1!с и, если с близко к 1, то эти промежутки очень коротки. Ни про один из них не известно (даже в предположении справедливости гипотезы Римана), содержит ли он простое число, и тем не менее, из работы [8] следует, что на таких промежутках лежит примерно половина всех простых чисел

В 1988 году С. А. Гриценко решил ряд аддитивных задач с простыми числами, лежащими в промежутках (1) (см. [9], [10]).

Позднее задачи подобного вида рассматривались в [11] А. Балогом и Дж. Фридлендером.

Отметим, что в работах [9] - [11] аддитивные задачи являются тернарными, или решаются по схеме тернарной задачи.

Естественно задаться вопросом о разрешимости бинарных аддитивных задач с простыми числами из промежутков вида (1).

Представляет интерес следующий специальный вариант теоремы Бомбьери- Виноградова, принадлежащий Д. Толеву (см. [12]):

Теорема. Пусть выполняются неравенства

1 1

0 < А < 0 < 0 < - - Л, А>0. 4 4

Тогда max max | фх{у, к, а)------— ж1Л \п~Л х: к<хв ^ )=1 f^C^) С1 —л) где ф\{у\к,а)= Y1 ЛМп^у п=а (mod к) {Vn}<n-A 1

В этой теореме граница изменения параметра к меньше, чем ж5. Это обстоятельство не дает возможности применить теорему к решению бинарных аддитивных задач с простыми числами.

Поскольку вариантов теоремы Бомбьери-Виноградова для простых чисел из промежутков вида (1), сопоставимых по силе с классической теоремой Бомбьери-Виноградова, в настоящее время не существует, то решить бинарные аддитивные задачи с простыми числами не удается.

В настоящей диссертации рассматриваются бинарные аддитивные задачи с полупростыми числами из (1).

Основными результатами диссертации являются теоремы 1-3:

ТЕОРЕМА 1. Пусть с — произвольное число из полуинтервала (1,2], Р\,Р2 — простые числа,

Т(п) = £ t(JP\P2 - 1), pi>exp(\/lnn ), p2>exp(\/lnn ) Tl(n) = Т(рхр2 ~ 1). pi >exp(\/lnn ), p2>exp(-\/lnn ) {|(P1P2

Тогда справедливо равенство:

Ti(n) = \т(п) + 0[п In In Inn), (2) z где

T(n) ~ CqTI In Inn и

00 К \

1 rip(r)'

CO = V

ТЕОРЕМА 2. Пусть с — произвольное число из полуинтервала (1,2], РьР2 — простые числа,

J(n) = £ 1,

PlP2+X3/=n Р! >exp(\/ln n ) p2>exp(\/ln n )

Mn) = E L

Plp2+XJ/=n pi>exp(\/lnn ), p2>exp(\/lnn )

Тогда справедлива формула: т / ч 1 т, w„ Л/1п1п1ппчч

Мп) = -J(n)( 1 + Ot-j^)), (3) где

J(n) ~ conlnlnn,

00 2 ( \ V(г) ri r(p(r)'

Со Е

ТЕОРЕМА 3. Пусть п ^ щ > 0, а ^ 2 - натуральные числа,

Q = ехр(\/кт ), Аг = [1 ,nQ~1}, А2 = [1 и Е 2>

Pi5Ai p26A2 х,у PiP2~xy=\ c.(n)=E Е Ei

Pie^i р2еА2 х,у PiP^-xy-l mPiPi)1/c}<h

Тогда справедливо равенство:

G1(n) = iG(n)(l + 0(Q-")), (4)

1 1 G(n) - cöLi(-)7r(QJ) Inn (1 + 0(-=)), цг vmn

ОО 2 .

77 > 0 — абсолютная постоянная, cq = . d=i ^

Доказательства этих теорем проводятся методом тригонометрических сумм И.М. Виноградова.

Выделим основные этапы доказательства теоремы 1. Вначале при помощи теоремы Бруна-Титчмарша мы, с приемлемою точностью, приближаем сумму 7\(п) суммой вида

Щп) = £ 1,

PlP'2~xy=l exp(Vinn )<pi<P pip*)l,c}<\ где Р = п(1п1пп)2.

Заметим, что переменная р\ пробегает весьма короткий промежуток, а промежуток изменения х отделен от л/п.

Затем вводятся стаканчики Виноградова, с помощью которых выделяются слагаемые с условием {\{Р\Р2)1^С} < Стаканчики раскладываются в ряд Фурье и на нулевых коэффициентах выделяются главные члены асимптотических формул.

Для доказательства теоремы требуется оценить тригонометрическую сумму вида ехр(2тг^А;1/с), к^К к=ко (то<3 х) где -¡Ц- < х ^ Рс Ь3п и Рг € (ехр(у/1пп ), Р].

Р1 с

Внутренняя сумма оценивается методом И.М. Виноградова с использованием как теоремы о среднем значении, так и оценок ван дер Корпута по й-й производной.

Заметим, что при некоторых значениях параметров указанная сумма является очень короткой. Например, при х = КР~9 длина промежутка равна Р9. В этих случаях оценить ее методом ван дер Корпута нельзя, но метод Виноградова дает нетривиальную оценку.

Вторая задача, решаемая в диссертации, родственна первой.

Особенность третьей задачи состоит в том,что при а ^ 2 последовательность Р1Р2 является более редкой, чем последовательность Р1Р2 (при больших а она «близка» к последовательности простых чисел).

В первой главе диссертации приведены вспомогательные утверждения.

Доказательства теорем 1-3 составляют содержание глав 2-4 диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зинченко, Наталья Алексеевна, 2008 год

1. Хооли К. Применение методов решета в теории чисел. М.: Наука, 1987.

2. Виноградов И.М. Основы теории чисел. СПб-М: Лань, 2004.

3. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1971.

4. Карацуба A.A. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983.

5. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

6. Зинченко H.A. Бинарная аддитивная задача с полупростыми числами. //Сборник материалов X международной научной конференции имени академика М. Кравчука , 13-15 мая 2004 г., Киев, с. 390.

7. Зинченко H.A. Бинарная аддитивная задача с полупростыми числами специального вида. // Чебышевский сборник, 2005, т. VI, вып. 2 (14), с. 145-162.

8. Зинченко H.A. Две бинарные аддитивные задачи. // Сибирские электронные математические известия, Том 3 (2006), с. 352-354.

9. Зинченко H.A. О числе решений диофантова уравнения специального вида. // Материалы I международной научно-практической конференции, посвященной памяти профессора Б.М. Бредихина, 1-2 ноября 2006 года, г. Самара, с. 72-75.

10. Зинченко H.A. Об одной аддитивной бинарной задаче. // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика, информатика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007, вып.1, т.7, с.9-13.