Бесконечномерная симплектическая группа и редуцированная динамика тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Тверитинов, Иван Дмитриевич

• Тверитинов, Иван Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тверитинов, Иван Дмитриевич

1 Построение проективного представления симплектической группы и построение метаплектической группы при помощи унитарных преобразований Боголюбова

1.1 Некоторые определения.

1.2 Представления ККС в различных пространствах.

1.3 Преобразования Боголюбова. Унитарные преобразования Боголюбова. 1.4 Построение проективного представления симплектической * группы конечномерного пространства.

1.5 Построение проективного представления подгруппы симплектической группы бесконечномерного пространства

1.6 О различных проективных представлениях симплектической группы.

1.7 Построение метаплектической группы.

1.8 Связь с картиной Баргмана-Фока.

2 Квадратичные гамильтонианы

2.1 Квантования Винера-Сигала-Фока и Шредингера квадратичной функции Гамильтона.

2.2 О связи между решениями уравнений Шредингера, соответствующих квадратичным формам переводимым друг в друга некоторой симплектической заменой.

2.3 Свойства спектра квадратичных гамильтонианов

2.4 Решения уравнений Шредингера с квадратичными гамильтонианами и условия самосопряженности последних

2.5 Явные решения уравнений Шредингера для одного класса квадратичных гамильтонианов.

3 Асимптотические свойства редуцированной динамики открытых квантовых систем

3.1 Понятие открытой квантовой системы и её динамика

3.2 Асимптотическая декогерентность.

3.3 Примеры асимптотической декогерентности.

3.4 Системы с гамильтонианом, обладающим точечным спектром

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Бесконечномерная симплектическая группа и редуцированная динамика»

Диссертация относится к бесконечномерному анализу. В ней рассматриваются несколько задач, связанных с исследованием (редуцированной) динамики открытых квантовых систем. Именно, в ней строятся представления бесконечномерных симплектической и метаплектиче-ской групп, исследуются условия самосопряженности дифференциальных операторов, возникающих при квантовании бесконечномерных га-мил ьтоновых систем с квадратичной функцией Гамильтона и исследуется асимптотика решений управляющего уравнения, описывающего эволюцию открытых квантовых систем.

Проективное представление симплектической группы строится при помощи унитарных преобразований Боголюбова, являющихся сплетающими операторами для пары автоморфизмов алгебры Гейзеиберга, причем один из этих автоморфизмов получается из другого при помощи симплектического преобразования. Унитарные преобразования Боголюбова преобразуют решения полученных при квантовании квадратичной функции Гамильтона уравнений Шредингера при симплектической замене переменных. В диссертации получены явные формулы для унитарных преобразований Боголюбова в пространстве Винера-Сигала-Фока и установлена их связь с аналогичными преобразованиями в пространстве Баргмана-Фока, которые рассмотрены в работах Ф.А.Березина. Таким образом, преобразования Боголюбова могут использоваться как для упрощения уравнений Шредингера с одной стороны, так и для построения проективных представлений — с другой. Помимо проективного представления симплектической группы в диссертации изучаются унитарные представления её накрытий (в частности, метаплектической группы), которые индуцируют проективное представление. Для некоторой ветви проективного представления вычислен коцикл, и с его помощью построены аналоги метаплектических групп для различных подгрупп сим-плектической группы бесконечномерного симплектического пространства. При этом найдена связь с результатами, полученными в книге Ж.Лион и М.Вернь. Подобные вопросы изучались в работах [24], [2], [12].

Асимптотические свойства (соответствующие большим временам) квантовых систем (преимущественно открытых) исследуются с помощью изучения специальных усреднений решений соответствующих управляющих уравнений, порожденных заранее выбранной спектральной мерой (равно правилом суперотбора), принимающей значение в множестве ортогональных проекторов. В том случае, когда изучается управляющее уравнение для состояний принято говорить об асимптотической деко-герентности состояний; если же используется управляющее уравнение для наблюдаемых (пространство которых двойственно к пространству, являющемуся замкнутой линейной оболочкой множества смешанных состояний), то подразумевается асимптотическая декогерентность для наблюдаемых (точные определения приведены в тексте диссертации). В последние десять лет исследование декогерентности стало одним из наиболее актуальных направлений математической физики. К этому направлению относится, в частности, вышедшая в прошлом году вторым изданием книга [20] (первое издание вышло в 1996 году); в этой книге можно найти и обширную библиографию работ в этой области. В диссертации описаны классы квантовых систем (как открытых, так и изолированных), в которых возникают различные типы декогерентностей. Кроме того, исследованы связи между различными декогерентностями, в частности, отмечены существенные различия между понятием асимптотической декогерентности для состояний и асимптотической декогерентности для наблюдаемых (в частности, что различия не могут быть устранены при помощи выбора топологии). Показано, что асимптотическая деко-герентность отсутствует у систем, полученных при квантовании строго положительной квадратичной функции Гамильтона, определенной на конечномерном пространстве.

Изучение декогерентности потребовало детального исследования квантовых систем с квадратичными гамильтонианами (т.е гамильтонианами, полученными при квантовании классических гамильтоновых систем с квадратичной функцией Гамильтона). Исследование квадратичных гамильтонианов входило в сферу интересов Березина, Купша, Ме-лера, Орнштейна, Саймона, Уленбека.

В диссертации найдены явные формулы для решения задачи Ко-ши (при тотальном множестве начальных условий) для уравнения типа Шредингера с гамильтонианом, полученным путем применения процедуры квантования Винера-Сигала-Фока к некоторой квадратичной функции Гамильтона (которая может быть определена как на конечномерном, так и на бесконечномерном пространстве); при этом заранее (квантовый) гамильтониан предполагается лишь симметричным (но не самосопряженным).

Найдены достаточные условия на квадратичную функцию Гамильтона, обеспечивающие самосопряженность в существенном (на областях специального вида) операторов, полученных при ее квантовании. Кроме того, для таких операторов указаны достаточные условия отсутствия существенной самосопряженности на некоторых областях; конечно, при этом может оказаться, что существует самосопряженный оператор, сужение которого на часть упомянутой области совпадает с сужением на нее исходного оператора, но в то же время действие которого на некоторые элементы (т.е. в рассматриваемом случае функции) из той же области отлично от того действия на них исходного оператора, которое определяется задающим его аналитическим выражением.

Описанные в диссертации решения уравнений Шредингера представлены в явном виде при этом не используется представление решений в виде интеграла Фейнмана.

Показано, что формула, использованная в работе [9J вытекает из полученных в диссертации формул.

Методы исследования

В диссертации используются методы бесконечномерного анализа, а также ряд специальных конструкций.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Кроме того некоторые результаты могут использоваться при исследовании эволюции открытых квантовых систем.

Апробация диссертации

Основные результаты диссертации докладывались на конференциях молодых ученых, семинарах механико-математического факультета МГУ и института математики РАН.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах автора. Работ по теме диссертации, написанных в соавторстве, пет.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из трёх глав, разбитых на параграфы. Общий объём диссертации составляет 87 страниц. Список литературы включает 35 наименований.

Краткое содержание диссертации. Глава 1

В первой главе изучаются вопросы, связанные с преобразованиями Боголюбова, порождаемыми симплектическими преобразованиями. Находятся явные формулы унитарных преобразований Боголюбова в пространстве Винера-Сигала-Фока, соответствующие симплектическим преобразованиям как в конечномерном, так и бесконечномерном случае. С помощью этих преобразований строится проективное представление симплек-тической группы (в конечномерном случае всей, а в бесконечномерном случае её некоторой подгруппы), причем это проективное представление может быть порождено унитарными преобразованиями Боголюбова; имеется в виду, что унитарному оператору ставится в соответствие преобразование проективного пространства, построенного по гильбертову пространству, в котором действует унитарный оператор. Далее рассмотрена связь с проективным представлением из работы [12]. Доказано, что эти представления не эквивалентны в обычном смысле, но эквивалентны в смысле Ф.А.Березина (имеется в виду коммутативность соответствующей диаграммы с той разницей, что операторы представления берутся в элементах группы переводимых друг в друга некоторым автоморфизмом, подробнее см. [2]). Для некоторой ветви проективного представления вычислен коцикл и построен соответствующий аналог метаплек-тической группы. В конечномерном случае построенный объект как раз и есть метаплектическая группа. В конечномерном случае метаплекти-ческая группа, являющаяся подгруппой расширения Макки имеет1 двузначную проекцию на симплектическую группу. В диссертации доказано, что в бесконечномерном случае так быть не может; то есть для достаточно богатой подгруппы симплектической группы в её расширении Макки нет подгрупп с двузначной проекцией. В диссертации приведен ряд подгрупп симплектической группы, расширение Макки которых обладает подгруппами с двулистными проекциями.

Указана связь преобразований Боголюбова с каноническими преобразованиями, рассматриваемыми в работе [2]. Используя явные формулы для преобразований Боголюбова, показан вид изоморфизма между различными представлениями канонических коммутационных соотношений (далее просто ККС) имеются в виду представления в пространстве Винера-Сигала-Фока, Фока, Баргмана-Фока.

Также построены представления ККС, аналогичные случаю пространства Винера-Сигала-Фока для неканонической гауссовой меры в терминах пространства Баргмана-Фока (с неканонической гауссовой мерой) и указан соответствующий изоморфизм.

Первая глава состоит из семи параграфов. В §1.1 приводятся определения основных используемых понятий.

Гильбертово пространство Н = Q х Р, где Q, Р — копии действительного гильбертова пространства, вместе с кососимметрической билинейной формой В(-,-) (полученной как мнимая часть эрмитова произведения на пространстве Н с комплексной структурой, заданной оператором

J : (q, p) £ Q x P i—> (—p,q) G Q x P), называется симплектическим пространством.

Группа действительно-линейных обратимых преобразований пространства Н, сохраняющих форму В(-,-), называется симплектической группой и обозначается через Sim(H). Далее указываются аналитические условия принадлежности преобразования к Sim(H).

Представлением ККС операторами в некотором гильбертовом пространстве Е называется отображение Н Э f н-> a(f) (a(f) — оператор на Е) такое, что верны соотношения [a(f), a(g)] = [a*(f), a*(g)] = 0, [a(f), a*(g)] =< f, g >c • Вводится понятие представления ККС с вакуумным вектором: вектор v0 называется вакуумным, если для всех f Е Н a(f)(vo) = О Е Е и множество векторов (a*(fi) • . • a*(fn)|fj G Н} — тотально. Далее приводятся определения пространств: Винера-Сигала-Фока (I^Q,/^)), Фока (FV(H)), Баргмана-Фока (Ьг(Н, /ц)).

В параграфе 1.2 приводятся различные представления ККС опе-Ш раторами в пространствах L2(Q5/ui), FV(H), Ьз(Н, A^i), обозначаемые соответственно через a^s(-), %(•), аь(-). Также определяются операторы Шредингера, которые порождают ту же алгебру, что и операторы представления ККС и связаны с ними равенствами: а(х,у) = = где (XJ)6H = QxP,

В §1.3 каждому линейному оператору А на пространстве Н ставится в соответствие преобразование алгебры операторов ККС Пд так, что Па : qa ь-> qa.(a) + Р/з*(а)> Па : Pa q7*(a) + Р<5*(а)- Устанавливается, что ПА сохраняет ККС тогда и только тогда A G Sim(H). Всякий линейный оператор в алгебре ККС, который сохраняет ККС, называется преобразованием Боголюбова. Также определяются унитарные преобразования Боголюбова. Если {a(f),a*(f)} — представление ККС операторами в гильбертовом пространстве Е, обладающее вакуумным вектором и для симплектического преобразования А существует унитарный оператор Уд, такой, что для всякого a G Q выполняются равенства

Г VX1-qa-yA = nA(qa) ' УХ1-ра-УА=Пд(ра) предполагается, что равенства выполнены на общей области существен ной самосопряженности), то будем говорить, что автоморфизм Пд приводим и симплектическое преобразование порождает унитарное преобразование Боголюбова Уд.

В §1.4 рассматривается симплектическая группа конечномерного сим-плектического пространства и строится её проективное представление. Пусть операторы (qa, ра) — стандартные операторы Шредингера в пространстве L2(Q) (в случае dimQ < оо пространство Винера-Сигала-Фока естественно рассматривать с мерой Лебега). Симплектическому преобразованию А ставится в соответствие унитарное преобразование Боголюбова Уд, которое единственно с точностью до комплексного множителя равного по модулю единице [2] (условие на модуль возникает только если требовать унитарность). Учитывая сказанное, получаем, что симплектическому преобразованию А (конечно, имеется в виду, если существует Уд, что как будет видно, выполняется) корректно ставится в соответствие преобразование Pr(L2(Q)) Э Link{x} ь-> 1лпк({Уд(х)}), где Pr(L2(Q)) — совокупность действительных прямых в L2(Q). Соответствия такого рода рода называются проективными унитарными представлениями (унитарными, так как соответствующее преобразование проективного пространства индуцируется унитарным оператором в линейном пространстве, по которому построено проективное пространство, т.е в данном случае L^Q)). Основными результатами этого параграфа являются явные формулы для унитарных преобразований Боголюбова, индуцирующие проективное представление, т.е Уд.

Теорема (1.1). Для любой функции /(•) из класса Шварца справедливо: VA(f)(x) - е^ Vldet(/3 + a*)|

J ei{ <рх,рДи> <рХ[2>+ <».а/»*.+аД««> + <7/a,,+7<«a»,a»> ax)d2.

Im/3

Здесь a, р — ортогональные проекторы на ядро и на образ операторов Р*>(3 соответственно, а симплектическое преобразование A:H = QxP—> Q х Р = Н представлено блочной операторной матрицей А = ^ ^ ^ ) ' Ф°РМУЛЫ> полученные в последней теореме являются новыми и были получены из известных формул [10] (там требовалась обратимость оператора Р) с помощью предельного перехода. Имеется в виду, что симплектическое преобразование с вырожденным оператором Р аппроксимируется последовательностью симплектических преобразований с обратимым оператором Р, после чего ищется предел соответствующих унитарных преобразований Боголюбова. При нахождении предела производится некоторая замена переменных в интеграле, после чего из ядра интегрального оператора выделяется дельтаобразная часть (т.е сходящаяся к дельта-функции). Ограничения на оператор /3 возникли из-за того, что при выводе соответствующей формулы симплектическое преобразование представлялось в виде произведения симплектических преобразований частного вида (см. 1.4); возможность такого представления как раз и накладывает эти ограничения (имеется в виду обратимость).

В §1.5 результаты §1.4 обобщаются на случай симплектической группы бесконечномерного пространства. Первое отличие — это отсутствие меры Лебега: то есть вместо пространства L2(Q) приходится рассматривать пространство L2(Q,//i). В силу теоремы Шейла (см. [2]) для того, чтобы представление ККС Пд^а^ЩРа) было унитарно эквивалентно представлению ККС qa, ра (qa, Ра — стандартное представление Шредин-гера) симплектическое преобразование А должно быть таким, что преобразование VА'А — I — преобразование Гильберта-Шмидта. Обозначим через S2, Si {Ajx/A^A - I e L2(H)}, {A|— I € La(H)} соответственно, где символы L/2(H),Li(H) обозначают пространства действительно-линейных операторов, которые соответственно Гильберта-Шмидта и ядерные. Как следует из замечания 1.1, множества Si, S2 являются подгруппами симплектической группы. В этом параграфе выводятся формулы для унитарных преобразований Боголюбова, отвечающих элементам из Si. Первая теорема, позволяющая получать унитарные преобразования для некоторых элементов из Si имеет вид:

Теорема (1.3). Если А = (а,Р, 7,5) — симплектическое преобразование, причем оператор Р — околоедипичный, а а, 5 — ядерные операторы, то для цилиндрической функции /(•) из класса Шварца унитарное преобразование Боголюбова задается следующей формулой: VA(f)(x) = е^^^И^/З + а<5)| ехр р ; f <рх.р5п> | <г.а/3*г+аД*ах> , <-уА*а+чД*ах,ах> i <z,z:>-<(;3*-t-[?*.-0(z+Hx),(fi* + i5%)(z+ax)>

I gll 2 2 -t- 2 } ^ q § lm/3 f(/?*z -f- 5*ax)d/zi(z).

Ограничения на операторы a, 5 обеспечивают возможность продолжения подынтегральной функции до измеримой на расширение пространства Q, на котором образ меры счетно-аддитивен [7]. Условиям последней теоремы удовлетворяют лишь некоторые элементы из Si, поэтому для распространения явных формул на другие элементы группы Si приходится изучить унитарные преобразования Боголюбова, отвечающие унитарным операторам в пространстве Н, что удобнее производить в пространстве Фока. Отсюда получается важная теорема.

Теорема (1.5). Пусть последовательность унитарных операторов {Un} сходится в сильной операторной топологии (в топологии поточечной сходимости) к унитарному оператору U. Тогда последовательность соответствующих унитарных преобразований Боголюбова V\j„ сходится к Vu в сильной операторной топологии. Конечно, имеется в виду при определенном выборе (имеется произвол с точностью до скалярного мноэюителя с единичным модулем) преобразований Vun

Последняя теорема позволяет получать формулы для унитарных преобразований Боголюбова, отвечающих произвольным симплектическим преобразованиям из Si. Имеется в виду, что симплектическое преобразование раскладывается в композицию унитарного и удовлетворяющего условию теоремы 1.1, после чего применяется следующая теорема.

Теорема (1.6). Пусть U : Н —► Н унитарное. Тогда для каждой последовательности возрастающих конечномерных подпространств Qn С

00

Qn+i С Q таких, что (J Qn = Q, каждой последовательности уни

П=1 тарных операторов Un : Q п * Рп —* Qn * Рп такой, что последовательность {UnxPr((QnxPn)-L)} (символ Рг обозначает ортогональный проектор) сильно сходится к U, последовательность {Vyn ® ^} сильно сходится к Vu- Формулы для Vyn могут быть взяты из теоремы 1.1 (конечно, надо учесть, что мера гауссовская и выбрать унитарное преобразование Боголюбова так, чтобы вакуумный вектор был собственным с собственным значением один).

Так, используя полученные формулы, показан вид изоморфизма представлений ККС в пространствах Фока и Винера-Сигала-Фока (см. 1.5.)

В параграфе 1.6 проводится сравнение построенного проективного представления с проективным представлением симплектической группы конечномерного пространства, рассматриваемого Ж. Лион и М. Вернь в [12]. Сама конструкция представления из работы [12] в диссертации не излагается, так как было замечено, что оно -^-эквивалентно проективному представлению, построенному в диссертации. Представления T(-),Ti(-) группы G называются ф— эквивалентными, если существует автоморфизм ф группы G такой, что Т(ф(-)) и Ti(-) эквивалентны в обычном смысле. Это понятие было введено Ф.А. Березиным см. [3]. Доказано, что отображение ф : Sira(H) Э ^ (6,ъР,а) Е Sim(H) является автоморфизмом симплектической группы (см. предложение 1.7), который и осуществляет ф — эквивалентность. Конструкция, применяемая в [12] не приспособлена для переноса на бесконечномерный случай, поскольку использует инвариантное интегрирование. Доказано, что представление из работы [12] не эквивалентно представлению, построенному в диссертации (см. теорему 1.9).

В §1.7 строится аналог метаплектической группы (это такой объект, что в конечномерном случае совпадает с метаплектической группой). Пусть дано некоторое проективное представление Si (можно считать то самое, которое построено в диссертации), которое индуцируется операторнозначной функцией, принимающей значение в множестве унитарных операторов в пространстве, по которому строилось проективное пространство (конечно предполагается наличие необходимых структур). Такое проективное представление естественно называть: проективное унитарное представление. Выбор соответствующей функции, которая порождает данное проективное представление, аналогичен выделению ветви многозначной функции. Если зафиксирована некоторая ветвь Т : Si Э g > Vg, то функция с : Si х Si —» S1 такая, что T(gi) о T(g2) = c(gbg2)T(gig2), где S1 = {z € С : |z| = 1}, называется коцикл. Если есть некоторая ветвь проективного представления, то можно построить расширение группы Si на которую выбранная ветвь поднимется до нормального представления. Более конкретно, если дана группа G и ее проективное унитарное представление с некоторой ветвью Т : G —> U(H), коцикл с : GxG —► S1, то можно построить расширение G такое, что проективное представление Т группы G поднимется до обычного представления Т группы G. Как множество группа G отождествляется с G х S1, а умножение определяется так: (g, t)(gi, ti) = (ggi, ^г^у). Эта группа называется расширением Макки группы G. Если положить T((g,t)) = tT(g), то получится настоящее (не проективное) представление группы G. Если в качестве G взять Si, то получится некоторое накрытие, на котором проективное представление поднимется до обычного. В случае dimH < со в [12] строится двулистное накрытие симплектической группы, на которое проективное представление поднимается до обычного. Полученная группа называется метаплектической. В диссертации ветвь выделяется условием Vg(l)(0) > 0 (значение функции в точке определено естественным образом, так как функция есть экспонента от квадратичной формы) и вычисляется коцикл.

Теорема (1.11). Если симплектические преобразования gi = (e*i, (3\, Yi, £i), g2 = (a 2,/?2,72) ^2) — около единичные (множество их обозначим через Gij, то det(ai+\-pi) det(Q2+i-/?2) / \2 Idet^i+j./jQI ' |det(aa+i-fl>)l det(a3+b/33) ' det(a-3+i-/93)| где gi • g2 = («з^зЛз^з).

Также вычислен коцикл для элементов Si (предыдущая теорема пригодна для элементов Gi) см. теорему 1.10. Используя полученную теорему, строится подгруппа в расширении Макки группы околоединичных симплектических преобразований, имеющая двулистную проекцию (в конечномерном случае метаплектическая группа) см. теорему 1.12. Так же указан класс подгрупп в Si для которых в расширении Макки есть подгруппы с двулистной проекцией (см. теорему 1.13 и замечание 1.4 к ней). Доказано, что в бесконечномерном случае в расширении Макки для Si нет подгруппы с двулистной проекцией (см. теорему 1.14).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тверитинов, Иван Дмитриевич, 2004 год

1. Accardi L., Smolyanov О.G.Extensions of spaces with cylindrical measures and supports of measures generated by the Levy Laplacian. Mathmatical Notes, 1998, 64, № 4, 483-492.

2. Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. M. Наука. 1965.

3. Березин Ф.А. Несколько замечаний о представлении соотношений коммутации, УМН, 1969, Т. 24, вып. 4, с. 65-88.

4. Богачев В.И. Гауссовские меры. Наука 1999.

5. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Квантовые поля. М., 1980.

6. Х.-С. Го. Гауссовские меры в банаховых пространстранствах. Мир, 1979.

7. Дал едкий Ю.Л., Фомин С.В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. Наука 1983.

8. Лион Ж., Вернь М., Представление Вейля, индекс Маслова и тэта-ряды. М., Мир, 1983.

9. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Мир 1977, Т. 1

10. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Мир 1978., Т. 2.

11. Смолянов О. Г., Шавгулидзе Е. Т. Континуальные интегралы. МГУ 1990.

12. Adler, S.L. Why decoherence has not solved the measurement problem. Report quant-ph/0202095. 2002.

13. Albeverio, S., Kolokoltsov, V. N., and Smolyanov, O. G. Continuous quantum messurement: local and global approaches. Rev. Math. Phys. 9, 827-840.

14. Araki, H. and Yanase, M.Measurement of quantum mechanical operators. Phys. Rev. 120, 622-626; reprinted in Wheeler and Zurek. 1983.

15. Baez J. C., Segal I. E., Zhou Z. Introduction to Algebraic and Constructive Quantum Field Theory. Princeton University Press, Princeton, 1992.

16. Joos E., Zeh H. D., Kiefer G., Giulini D., Kupsch J., Stamatescu I.-O. Decoherence and the Appearance of a Classical World in Quantum Theory. Springer, 2003.

17. Kupsch, J. Mathematical aspects of decoherence. In: Blanchard et al. (2000), p. 125136.

18. Kupsch, J. The role of infrared divergence for decoherence. J. Math. Phys. 41, 5945-5953. 2000.

19. Kupsch, J., Smolyanov, O.G., and Sidorova, N.A. States of quantum systems anc! their liftings. J. Math. Phys. 42, 1026-101037. 2001.

20. Ottesen J. T. Infinite dimensional Groups and Algebras in Quantum Physics, Springer, 1995.

21. Smolyanov O.G., Weizsacker H.v. Infinite dimensional analysis, quantum probability and related topics, V.2, № 1, 51-79, 1999.

22. Zurek, W.H.Sub-Planck structure in phase space and its relavence for quantum decoherence. Nature 412, 712-717. 2001.

23. Zurek, W.H.Decoherence, Einselection, and the Quantum Origin of the Classical. Rev. Mod. Phys-quant-ph/0105127. 2003

24. Zurek, W.H. and Paz, J.P Reply to Comment on Decoherence, Chaos, and the Second Law. Phys. Rev. 75, 351, 1995.29j Zurek, W.H., Habib, S., and Paz, J.P. Coherent States via Decoherence. Phys. Rev. Lett. 70, 1187-1190. 1993.

25. Тверитинов И. Д. Преобразования Боголюбова, соответствующие симплекти-ческим преобразованиям. Вести, моек, ун-та. сер.1, математика, механика. №4, 2002, с.9-14.

26. Tveritinov I. D. Asymptotic Decoherence in Quantum Systems, Russian Journal of Mathematical Physics. Vol 10, No.4, p.487-494 2003.

27. Тверитинов И. Д. Связь между различными реализациями преобразований Боголюбова. Мат. зам., 2004, Т.75, вып. 5, с.797-800.

28. Тверитинов И. Д. Несколько замечаний о представлении бесконечномерной симплектической группы и о построении метаплектической группы. Мат. зам., 2004, Т.75, вып.6, с.861-876.

29. Тверитинов И. Д. Несколько замечаний о декогерентности. Труды 25 Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В.Ломоносова 2003.

30. Тверитинов И. Д. Построение пространств типа Баргмана-Фока, отвечающих различным представлениям ККС. Труды 26 Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В.Ломоносова 2004.