Оптимальное проектирование конструкций в интегрированной системе компьютерного инжиниринга тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Новокшенов Алексей Дмитриевич

• Новокшенов Алексей Дмитриевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Новокшенов Алексей Дмитриевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Оптимальное проектирование конструкций

1.1. Подходы к оптимальному проектированию конструкций

1.2. Современные методы оптимизации при проектировании конструкций10

1.3. Методы топологической оптимизации

1.3.1. Постановка задачи топологической оптимизации

1.3.2. Определение переменных проектирования

1.3.1. Метод выполнения критерия оптимальности

1.3.2. Метод скользящих асимптот

1.3.3. Эволюционные алгоритмы: ESO, AESO BESO,

1.3.4. Оптимизация формы

1.4. Методы параметрической оптимизации при незаданном в явном виде функционале

1.4.1. Градиентные методы

1.4.2. Неградиентные методы

1.4.3. Генетические алгоритмы параметрической оптимизации

1.5. Обзор современных программных систем проектирования, компьютерного инжиниринга и оптимизации в контексте их применения к оптимальному проектированию

Глава 2. Реализация алгоритма топологической оптимизации на основе метода скользящих асимптот

2.1. Построение математической модели и определение переменных проектирования

2.2. Метод скользящих асимптот в приложении к задаче топологической оптимизации

2.3. Ключевые программные особенности разрабатываемого модуля

2.4. Вопросы постобработки результатов оптимизации

2.5. Структурная схема программного модуля

2.6. Применение разработанного программного модуля к задачам топологической оптимизации двумерных и трехмерных механических конструкций

Глава 3. Разработка интегрированной системы компьютерного проектирования и инжиниринга

3.1. Методика оптимального проектирования механических конструкций

3.2. Описание и назначение основных модулей разрабатываемой интегрированной системы

3.3. Структурная схема интегрированной системы

Глава 4. Оптимальное проектирование некоторых конструкций для

ракетно-космической отрасли с помощью интегрированной системы

4.1. Многоступенчатая оптимизация кронштейна под установку звездного датчика (РКК «Энергия» им. С. П. Королева)

4.2. Параметрическая оптимизация обечайки герметичного отсека (РКК «Энергия» им. С. П. Королева)

4.3. Топологическая оптимизация кронштейна рефлектора («ИСС» им. М.Ф. Решетнева)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальное проектирование конструкций в интегрированной системе компьютерного инжиниринга»

ВВЕДЕНИЕ

В течение нескольких последних десятилетий мировая промышленность находится в состоянии постоянных изменений, обусловленных появлением новых и развитием существующих производственных и вычислительных технологий, появлением возможности анализировать и передавать большие объёмы данных с помощью сети Internet. Все эти процессы являются составными частями глобального явления, которое принято называть IV промышленной революцией. IV промышленная революция, согласно анализу ведущих мировых экспертов[41], коснется практически всех сфер жизни человечества и приведет к существенным изменениям в мировой экономике и в социальной сфере. Не является исключением и инженерно-конструкторская область, где, благодаря развитию вычислительных технологий, и вычислительных мощностей, а также появлению новых производственных технологий (в частности, технологий аддитивного производства) происходит постепенная смена парадигмы проектирования конструкций. Теперь, наряду с опытом генерального конструктора (а иногда, и вместо него), все большее значение при проектировании конструкций приобретает владение наукоемкими инженерными технологиями.

Для того чтобы проектируемые изделия были востребованы на рынке, их эксплуатационные характеристики должны быть не хуже аналогичных характеристик промышленных изделий ведущих мировых производителей. Таким образом, важнейшей становится проблема проектирования конструкции под заданные критерии качества (целевые показатели). Данная работа посвящена разработке методики оптимального проектирования конструкций, основанной на использовании мировых достижений в области математического моделирования и оптимизации, а также разработке интегрированной системы компьютерного проектирования и инжиниринга, позволяющей реализовать эту методику.

Глава 1. Оптимальное проектирование конструкций

1.1. Подходы к оптимальному проектированию конструкций

Теория оптимального проектирования зародилась ещё в древности [39], когда наши предки опытным путем находили оптимальные характеристики оружия. В средние века решалась т.н. задача Галилея, где рассмативалось проектирование равнопрочных конструкций. Однако, как самостоятельная научная область, теория оптимального проектирования сформировалась во второй половине XX века. Пик работ по оптимальному проектированию приходится на 70е - 80е годы XX века.

Так, В. Прагер (1977) в своей книге «Основы теории оптимального проек-тирования»[31] рассматривает, в основном, оптимизацию ферменных конструкций. Н. В. Баничук рассматривает более широкий класс задач, включающий оптимизацию стержней, пластин и оболочек [2,3] и оптимизацию форм упругих тел [4], много внимания при этом уделяя различным вариационным формулировкам задач оптимизации и численным методам их решения. В. А. Троицкий и Л. В. Петухов также рассматривают задачи оптимизации форм упругих тел [40], сосредотачиваясь на задачах оптимизации форм стержней и пластин при колебаниях и в условиях потери устойчивости. Ю. М. Почтман и З. И. Пятигорский рассматривают задачи оптимизации стрежней и пластин с помощью методов линейного и нелинейного программирования [30]. Ю. М. Почтман на примере задач оптимизации стержней и оболочек (в том числе, изготовленных из композиционных материалов), рассматривает постановку и методы решения многокритериальных задач оптимизации [29]. Вопросами оптимального проектирования конструкций (как правило, на примере стержней, пластин и оболочек) также серьезно занимались М.И. Рейтман и Г. С. Шапиро [32].

В перечисленных научных трудах на глубоком фундаментальном уровне представлены подходы к оптимизации типовых механических конструкций

при наличии различных механических воздействий и в рамках имеющихся ограничений.

В литературе также представлены работы по оптимальному проектированию конструкций в конкретных промышленных областях. Например, работы по оптимальному проектированию конструкций летальных аппаратов можно найти у В. А. Комарова (точное проектирование, [17-19]). Работы по проектированию судовых конструкций можно найти у А. А. Родионова (метод суперэлементов , [33,35]). Стоит отметить, что подходы, предложенные в этих работах, могут быть обобщены и на задачи оптимизации конструкций из других отраслей.

Сегодня оптимальное проектирование развивается в двух направлениях. С одной стороны, во многом благодаря развитию численных методов решения задач механики сплошной среды, при оптимизации конструкций активно стали использовать такие методы, как топологическая оптимизация, топографическая оптимизация и др. Более подробно об этих методах речь пойдет в следующем параграфе. С другой стороны, когда мы говорим об оптимальном проектировании современных промышленных изделий, представляющих собой сложные сборки и подверженных одновременному (или поочередному) действию нагрузок различной природы, то на первый план выходят численные методы компьютерного моделирования и оптимизации, реализованные в компьютерных инженерных системах.

В первую очередь это CAD (Computer-Aided Design), CAE (Computer-Aided Engineering), CAO (Computer-Aided Optimization) системы, а также CAM (Computer-Aided Manufacturing) системы. CAD системы позволяют построить пространственную геометрическую модель объекта практически любой сложности. CAE системы позволяют смоделировать поведение конструкции при воздействии статических и динамических нагрузок различной природы, и во многих случаях, отказаться от использования упрощенных инженерных методик. CAO системы, использующие лучшие достижения в области

методов оптимизации, позволяют подобрать оптимальные параметры конструкций для улучшения их эксплуатационных характеристик. CAM системы позволяют смоделировать процесс изготовления изделия и оптимизировать этот процесс. Поэтому, и оптимальное проектирование сложных конструкций сегодня невозможно без использования перечисленных систем. В этом контексте важнейшую роль начинает играть не наличие на предприятии программных средств, реализующих те или иные оптимизационные алгоритмы, а, в первую очередь, организация процесса проектирования, включающая методические и программные средства, позволяющие выстроить процесс проектирования с помощью CAD/CAE/CAO систем наилучшим образом с точки зрения целей предприятия.

Сегодня, использование CAD/CAE/CAO систем на предприятии, как правило, происходит в рамках подхода, который, условно, можно назвать «традиционным» (Рисунок 1)

Рисунок 1 Традиционный подход к проектированию конструкций В традиционном подходе к разработке конструкции, инженер-конструктор, исходя из своего многолетнего опыта разработки и интуиции, исходя из эксплуатационных нагрузок и ограничений, придумывает концепцию будущей конструкции. Далее, с помощью оцифровки, эта конструкция превращается в CAD модель, по которой затем создается прототип изделия. Этот прототип подвергается натурным испытаниям. Параллельно создается расчетная CAE модель, которая верифицируется путем сравнения с результатами натурных испытаний, и, в дальнейшем, может использоваться для проверки тех случаев нагружения, которые нельзя воспроизвести в натурных испытаниях. В случае неудовлетворения каким-либо ограничениям, в том числе,

и технологическим, модель вместе с рекомендациями по модификации возвращается конструктору.

Очевидно, что в традиционном подходе основную роль играют опыт и интуиция специалистов конструкторского профиля. Альтернативным подходом к проектированию является проектирование на основе математического моделирования и оптимизации конструкций (Simulation & Optimization Driven Design), которое предполагает существенно более широкое использование вычислительных средств (Рисунок 2)

Рисунок 2 Подход к проектированию на основе оптимизации Данный подход предполагает, что на входе инженер работает только с компоновочным объёмом и требуемыми к изделию характеристиками (для конкретных эксплуатационных режимов) и далее, с помощью применения компьютерных технологий (CAD/CAE/CAO), получает компьютерную модель изделия, удовлетворяющую всем заданным эксплуатационным и технологическим ограничениям. При этом используются как инженерные расчеты (CAE), так и оптимизационные расчеты (CAO). Для получения концепции изделия уже используется не опыт инженера-конструктора, а оптимизационные технологии, в частности, топологическая оптимизация. Нужно отметить, что решение, полученное с помощью оптимизационных технологий, часто оказывается существенно отличающимся от той концепции, которую мог бы предложить инженер-конструктор исходя из своего опыта. Далее, создается виртуальный прототип изделия, позволяющий проверить удовлетворение изделия всем эксплуатационным и технологическим ограничениям (в последнем случае могут использоваться CAM технологии). Уже после того, как с помощью вычислительных экспериментов установлено, что изделие удовлетворяет всем

заданным ограничениям, создается прототип изделия, и проводятся натурные испытания. В случае удовлетворения требованиям натурных испытаний, изделие попадает в производство. Наиболее подробно данный подход изложен в работе А. И. Боровкова [10].

Современные научные работы, посвященные методологии оптимального проектирования, также ориентированы на использование современных средств математического моделирования. Так в профильном научном журнале «Онтология проектирования», представлен ряд статей, релевантных по отношению к теме данной работы. В частности, в выпуске 2011 года представлена статья Д. И. Конотопа [20], где рассматривается онтологический подход к оптимальному проектированию сложных технических объектов (СТО). Данная работа сосредоточена на автоматизации процесса проектирования сложных технических объектов, с применением принципов декомпозиции и синтеза критериев качества объектов, представленных в виде CAD, CAE и CAM - моделей.

В журнале также присутствуют работы, либо целиком посвященные теоретическим аспектам топологической оптимизации [18], либо, напротив, общим принципам построения процесса проектирования на основе топологической оптимизации и обучения процессу проектирования[7]. В контексте темы настоящей работы и описанных выше подходов к проектированию, особенно обращает на себя внимание статья В. А. Комарова 2013 года под заглавием «Точное проектирование»[19]. В этой статье автор, на примере отрасли самолетостроения, также рассуждает о двух парадигмах в области проектирования. Одна из них является устоявшейся для рассматриваемой отрасли в и предполагает большое количество натурных испытаний объекта. Вторая парадигма - это проектирование объекта на основе математического моделирования, где важнейшим звеном является структурная (топологическая) оптимизация. Как замечает автор, в этом подходе испытания используются не для

выявления ошибок, а для подтверждения работоспособности математических моделей.

Сегодня задачу организации проектирования призваны решить PDM (Product Data Management) системы, однако их использование, как на отечественных предприятиях, так и за рубежом, как правило, ограничено хранением и обновлением CAD моделей и сопутствующей им документации.

В настоящей работе, в рамках подхода к проектированию на основе методов математического моделирования и оптимизации, разработана методика оптимального проектирования конструкций и интегрированная система компьютерного проектирования и инжиниринга (ИСКПИ), реализующая данную методику. Методика основана на применении метода конечных элементов при решении задач теории упругости, а также на использовании методов параметрической и структурной оптимизации.

1.2. Современные методы оптимизации при проектировании конструкций

На сегодняшний день, при разработке конструкций, используются методы структурной и параметрической оптимизации. К структурной оптимизации относятся топологическая оптимизация, оптимизация формы, топографическая оптимизация, оптимизация пластин переменной толщины, оптимизация стрежневых структур и др.

Топологическая оптимизация [44] - это оптимизация, позволяющая оптимальным с точки зрения ресурса, жесткости и других физико-механических параметров тела образом удалить из тела «лишний» материал (Рисунок 3).

Рисунок 3 Топологическая оптимизация авиационного кронштейна Оптимизация формы [79] позволяет с помощью варьирования поверхности тела, снизить концентрацию напряжений, возникающих вследствие начальной кривизны поверхности (Рисунок 4).

Рисунок 4 Оптимизация формы [89]

Топографическая оптимизация [50] - позволяет оптимизировать жесткость оболочечных структур через оптимальное изменение «рельефа поверхности».

î\ __^■т^'иайИЯЯЯдИВЙВ

IГ \

(a) Initial shape (b) Optimal surface

Оптимизация пластин переменной толщины, упомянутая в предыдущем параграфе, позволяет найти оптимальное с точки зрение жесткости распределение толщины пластины.

Рисунок 6 Оптимизация пластин переменной толщины [40] Оптимизация стержневых структур (truss structures) также была упомянута в предыдущем параграфе, и позволяет при заданных кинематических и статических граничных условиях, найти оптимальную конфигурацию стержней в заданной области.

Рисунок 7 Оптимизация стержневых структур [46]

Параметрическая оптимизация предполагает изменение параметров объекта, и нахождение экстремума целевой функции, зависящей от этих параметров, при заданных ограничениях.

Классификация методов параметрической оптимизации очень обширна. В первую очередь, различают аналитические и численные алгоритмы. Поскольку оптимизацию сложных промышленных конструкций чаще всего невозможно выполнить аналитически, то в данной работе будут в основном рассмотрены численные методы. Причем именно те методы, которые работают с системой как с черным ящиком - ничего не зная о системе, по набору входных и выходных параметров, они шаг за шагом двигаются к нахождению оптимального решения. Методы параметрической оптимизации делятся аналитические (такие, как метод множителей Лагранжа [27]) и численные. Численные методы параметрической оптимизации делятся на случайные, детерминированные и смешанные (такие как Response Surface Methods, RSM) , одно-критериальные и многокритериальные, требующие вычисления только значения целевой функции и требующие вычисления производных целевой функции по переменным проектирования и т. д. Подробный обзор методов параметрической оптимизации приведен в следующем параграфе.

Все перечисленные методы структурной оптимизации основаны на методе конечных элементов. Параметрическая мультидисциплинарная оптимиза-

ция конструкций, где значения целевой функции извлекаются из расчетов в CAE системах, также невозможна без использования метода конечных элементов.

Метод конечных элементов [15,38] - наиболее распространенный численный метод решения задач механики деформируемого твердого тела, реализованный в таких известных системах инженерного анализа (CAE системах), как ANSYS, ABAQUS, LS-DYNA, NASTRAN и др.

Метод конечных элементов состоит в дискретизации области определения искомых функций (перемещений, температуры и т.д.) и аппроксимации искомых функций базисными, кусочно-непрерывными функциями. Значения искомых функций в узлах конечных элементов находятся с помощью подстановки аппроксимирующих функций в соответствующий функционал (например, функционал потенциальной энергии системы) и решении СЛАУ, возникающей в результате применения условия экстремальности записанного функционала.

Метод конечных элементов, реализованный в CAE системах, позволяет находить решение задач механики деформируемого твердого тела для составных конструкций сложной геометрической формы, подверженных одновременному действию механических, тепловых, электромагнитных и других нагрузок.

В настоящей работе метод конечных элементов выбран в качестве базового, для решения задач механики деформированного твердого тела, а также для использования его при структурной и параметрической оптимизации конструкций.

1.3. Методы топологической оптимизации

1.3.1. Постановка задачи топологической оптимизации

Задача топологической оптимизации, в классической постановке - задача нахождения оптимального, с точки зрения жесткости, распределения материала в заданной области при заданных нагрузках (Рисунок 8). При этом об-

ласть может быть разделена на пространство оптимизации и на неизменяемые (фиксированные) подобласти, которые оптимизация затронуть не должна.

Рисунок 8 Постановка задачи топологической оптимизации Для упругого деформируемого тела, подверженного действию кинематических и статических граничных условий (Рисунок 8), можно ввести понятие работы внешних сил [21]:

Аех(и) = I рК-ийУ+ I (1)

V 52

Здесь К — вектор объёмных сил, F - вектор силы, распределенной по поверхности 52, и — вектор перемещений точек тела. Для рассматриваемого тела можно ввести понятие потенциальной энергии деформации

рЖс(и)) • £ = 2 (4с~£)-• £ (2)

Здесь свободная энергия, а — тензор напряжений, £ — тензор деформаций, 4С — тензор упругости (тензор четвертого ранга), рт - плотность тела в окрестности рассматирваемой материальной точкираспределенной по поверхности 52, и — вектор перемещений точек тела

Условие равновесия тела будет эквивалентно условию равенства работы внешних сила на элементарных кинематически-допустимых перемещениях и

элементарному приращению потенциальной энергии деформации вследствие этой работы:

Aex(öu) = S(pT^£(u))) (3)

Максимизация жесткости тела в смысле наилучшей отработки заданных на тело воздействий эквивалентна минимизации работы внешних сил[47]:

min Аех(и)

иеи,Е

при ограничениях: Aex(Su) = S , V Su Е U (4)

V< aV0, 0 <а< 1 Здесь к условию равновесия добавилось условие на результирующий объём тела V. Данное ограничение обусловлено одной из целей топологической оптимизации: нахождение максимальной жесткости системы при заданном материальном ресурсе. V0 - объём тела до оптимизации

Для нахождения перемещений тела при заданных нагрузках и удовлетворению уравнению равновесия применяется метод конечных элементов. Поэтому требуется переформулировать постановку задачи оптимизации в терминах метода конечных элементов:

min fTu

UEU,Ee

при ограничениях: К(Ее)и = /, Ее Е£доп,

N Ne

к = ^ Ке(Ее) ,^ve = V = aV0,0 <а <1

е=1 е=1

где - столбец сил, и — столбец перемещений, К — матрица жесткости системы, уе - объём конечного элемента с номером е.

1.3.2. Определение переменных проектирования

В результате проведения топологической оптимизации, для каждой точки тела должно быть определено, есть ли в ней материал или нет. При наличии материала модуль упругости в точке равен Е = Е0, при отсутствии материала - Е = 0. Таким образом, переменные проектирования - упругие свойства ма-

териала в каждой точке, их бесконечно много, и изменяются они дискретно. Конечно-элементная постановка позволяет свести бесконечное количество переменных проектирования к конечному числу. Далее, для применения методов математического программирования, требуется преобразование дискретного варьирования свойств материала в каждом конечном элементе к непрерывному варьированию. В процессе развития методов топологической оптимизации предлагались различные решения параметризации свойств материала, такие как наличие в каждой точке композиционной структуры или перфорированной структуры [85](Рисунок 9).

Рисунок 9 Параметризация материала с помощью перфорированной и

композитной структуры [52]

В случае использования композитной структуры, варьирование упругих свойств достигается за счет изменения соотношения мягкой и твердой фаз в композиционном материале. В случае использования перфорированной

структуры - за счет изменения размеров отверстия в перфорированной ячейке. При использовании обоих методов в результате оптимизации в каждой точке становятся возможными не только состояния "есть материал"/ "нет материала", но также и промежуточные состояния, имеющие ясную физическую интерпретацию. При этом от угла ориентации ячейки зависит направление осей анизотропии в каждой точке тела. Однако, появление промежуточных состояний, хотя и подкрепляется ясной физической интерпретацией, для двух описанных способов параметризации вносит дополнительную трудность -крайнюю сложность изготовления получаемой конструкции. В большей степени это касается многоуровневых слоистых структур, но и изготовление меняющихся от точки к точке по ориентации и по размерам ячеек также не представляется целесообразным.

Наибольшую популярность получил метод Solid Isotropic Material with Penalization (SIMP) [45] , предполагающий наличие в каждой точке тела изотропного материала, упругие свойства которого описываются простым соотношением:

Е(х) = р(х)рЕ° (6)

Здесь р - фиктивная плотность (0<р < 1), р - штрафной фактор. Таким образом, если р = 0, упругие свойства также обнуляются, что говорит об отсутствии материала. Если же р = 1, упргие свойства в точке совпадают с исходными свойствами. Данный метод работает с изотропным материалом, и в этом аспекте SIMP метод получается менее функциональным - проведение топологической оптимизации будет возможно только для изотропных материалов. Однако этот недостаток может быть сглажен через использование достаточно подробной конечно-элементной модели, позволяющей получать анизотропные свойства в точке за счет нетривиальным образом локально распределенного изотропного материала.

Параметр р называется штрафным фактором, поскольку препятствует появлению промежуточных плотностей - если плотность р< 1 , то, при до-

статочно большом значении р, упругие свойства материала оказываются несущественными (за счет возведения р в степень р), и использование материала в этой точке, в этом смысле, достаточно дорогим (Рисунок 10). Это важный аспект топологической оптимизации, поскольку наличие в оптимальном решении точек со значением фиктивной плотности между 0 и 1 делает затруднительным интерпретацию полученного решения с физической точки зрения, в отличие от аналогичной ситуации, возникающей при использовании композитных или перфорированных ячеек.

1 -1-1-----я

ш т и 0) с

<Й

а> >

cu СП

0i¿— --'----'-'-

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Density р

Рисунок 10 Метод SIMP при увеличении штрафного фактора р Тем не менее, именно метод SIMP, благодаря своей простоте и эффективности, приобрёл наибольшую популярность и широко используется в мировых программных системах оптимизации (таких как DS Simulia Tosca и Altair Optistruct). В данной работе метод SIMP выбран в качестве базового метода для параметризации свойств материала.

1.3.1. Метод выполнения критерия оптимальности

Одним из широко используемых алгоритмов топологической оптимизации является метод выполнения критерия оптимальности (Optimality Criteria [47]) . Для решения исходной проблемы составляется функционал Лагранжа

L(u,p) = Аех(и) - {рт^(е(и), е(м)) - Аех(й)} + A^J p(x)dV -V^j

+ i Я+(х) (p(x) -1)dV + i Я~(х) (pmin — p(x))dV Jv Jv

(7)

Здесь Л,Я_(х),Я+(х) - множители Лагранжа для ограничений на переменные проектирования р и на объём тела, и - множитель Лагранжа для уравнения равновесия.

В предположении, что 0 <рт1П <р (так что поля смещений будут единственными), условия оптимальности относительно вариаций поля смещения дают, что и = и, в то время как условие р принимает следующий вид:

—=А-А.~ + А.+ дР (8)

Я" >0, Я+ >0Д-(х) (ртЫ -р(х)) = 0, Я+(х)(р(х) -1) = 0

Для промежуточных плотностей (0 <рт1П <р) получим

рр&У^Е^Е^гОЕ^и) = Л (9)

В левой части данного выражения стоит взвешенная с коэффициентом 2 *рр{х)р~1 потенциальная энергия деформации, которая, исходя из полученного условия, должна быть одинакова в каждой точке оптимального решения. В этом и состоит критерий оптимальности, который должен выполниться для каждой точки (отсюда и название метода). Предположим, что на первом шаге мы удовлетворили ограничению на объём, уменьшив фиктивную плотность в каждом конечном элементе в соответствии с заданной объёмной долей. Тогда, решив задачу теории упругости и посчитав взвешенную энер-

гию в каждой точке тела, мы получим, что, в каких-то точках взвешенная энергия больше, а в каких-то меньше (Рисунок 11):

Рисунок 11 Распределение величины взвешенной энергии деформации в объёме тела (для наглядности представлен одномерный случай) Поскольку, руководствуясь соображениями из теории упругости, мы полагаем, что в точках с высокой энергией деформации - недостаточная жесткость, а в точках с низкой энергии, напротив, - избыточная жесткость, мы применяем следующий алгоритм для изменения плотности в этих точках:

Рк+1 —

(тах{(1 -Орк.ртт) если ркВ% <тах{(1~Орк,Ртт),

I

тт{(1-Оря-,1} если тт{(1-£)ря-,1} ^РкВ,

(10)

( РкВ'к в других случаях

Здесь рк обозначает значение плотности на шаге итерации к, и Вк дается выражением:

Вк= Л^1 рр(х)р~1Е^к1£ц (иК) £к1 (иК) (11)

где ик это поле перемещений на шаге итерации к, которое определяется из уравнения равновесия с помощью метода конечных элементов и зависит от рк. Приведенная схема работает на интуитивно понятном уровне и добав-

ляет материал, в области со взвешенной энергии деформации, большей, чем Л (то есть, когда Вк > 1), и удаляет его, если энергия ниже этого значения. Добавление и удаление материала происходит в рамках границ, определенных для плотности р. Таким образом, материал добавляется в более мягких областях и удаляется в более жёстких. Естественно, после изменения значения плотности, картина распределения внутренней энергии меняется - следовательно, процесс добавления и удаления материала является итерационным.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Новокшенов Алексей Дмитриевич, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аккуратов, И.Л., Опыт разработки и изготовления корпусных элементов оптико-электронного модуля космического аппарата из композиционных материалов / И.Л. Аккуратов, А.И. Алямовский, Д.Я. Давыдов, Д.М. За-пруднов, Н.И. Копыл, А.Н. Сеньковский, А.Г. Чернявский // Космическая техника и технологии. №1 (4), 2014, с. 92 - 100.

2. Баничук, Н.В. Введение в оптимизацию конструкций / Н. В. Баничук - М.: Наука, 1986.- 303 с.

3. Баничук, Н.В. Динамика конструкций. Анализ и оптимизация / Н. В. Баничук, С. Ю. Иванова, А. В. Шаранюк - М.: Наука, 1989.- 264 с.

4. Баничук, Н.В. Оптимизация форм упругих тел / Н. В. Баничук - М.: Наука, 1980.- 256 с.

5. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. - М.:Наука, 1987. - 600 с.

6. Белов, Д. А. Метод "локальных гетерогенизаций" для восстановления микронапряжений в композитах [Текст] / Д.А. Белов, А.И. Боровков // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2008. - №6. - С. 44-50

7. Болдырев, А. В. Методика обучения топологическому проектированию конструкций на основе моделей тела переменной плотности. / А. В. Боды-рев, М. В. Павельчук // Онтология проектирования - 2016 - Т.6, № 4 (22). С. 501 -513.

8. Боргест, Н. М. Робот- проектант: на пути к реальности/ Н. М. Боргест // Онтология проектирования, т.5, №4 (18)/2015, с. 429-446

9. Боровков, А. И. Задачи моделирования и оптимизации панелей переменной жесткости и конструкций из слоистых композитов [Текст] / А. И. Боровков, Д. В. Мамчиц, А.С. Немов, А. Д. Новокшенов // Механика твердого тела.- 2018. - №1. - С. 113-122.

10.Боровков, А. И. Компьютерный инжиниринг [Текст]: учебное пособие -СПб.: Изд-во СПбПУ, 2012. - 93 с.

11.Боровков, А.И. Эффективные физико-механические свойства волокнистых композитов [Текст]: монография - М.: Изд-во ВИНИТИ. 1985. -113 с.

12. Боровков, А.И. Шесть фундаментальных задач в механике упругих композитов и гомогенизация [Текст] / А.И. Боровков, В. А. Пальмов // Труды СПбГПУ. Вычислительная математика и механика. - СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2008. - Вып. 4 (63). - С. 27-37.

13. Васильев, Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач: Учеб. пособие для вузов. / Ф. П. Васильев -2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1988. - 552 с.

14. Захаров, М. Г. Моделирование и оптимизация динамических систем: учеб. пособие/ М. Г. Захаров [и др.]; под общ. ред. В. А. Полянского. - СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. - 202 с.

15.Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация/ О. Зенкевич, К. Морган. - М.: «Мир», 1986 - 319 с

16. Карманов, В. Г. Математическое программирование/ В. Г. Карманов - М.: Наука, 1986 - 288 с.

17.Комаров, В. А. Конструкция и проектирование несущих поверхностей летальных аппаратов. Учебное пособие / В. А. Комаров - Самара: Изд-во СГАУ - 96 с., 2002.

18.Комаров, В.А. Проектирование силовых аддитивных конструкций: теоретические основы / В.А. Комаров // Онтология проектирования. - 2017. - Т. 7, №2(24). - С. 191-206.

19.Комаров, В. А. Точное проектирование / В.А. Комаров // Онтология проектирования, 3 (5), 2012, с. 8 - 23

20.Конотоп, Д.И. Оптимальное проектирование сложных технических объектов с использованием онтологического подхода / Д. И. Конотоп, В. П. Зин-ченко//Онтология проектирования, 1(2), 2011, с. 44-53

21.Лурье, А.И. Теория упругости / А. И. Лурье - М.: Наука. 1970. - 940 с.

22.Марченко, П.А. Топологическая оптимизация модели кронштейна под установку звездного датчика/ П.А.Марченко, А.Д. Новокшенов // ХЫУ Неделя науки СПбПУ: материалы научного форума с международным участием. Институт прикладной математики и механики - СПб.: Изд-во Поли-техн. ун-та, 2015. - Часть V. - С. 97 - 100.

23.Немов, А.С. Метод многоуровневой гетерогенизации для композитных сред с произвольной анизотропией [Текст] / А.С. Немов, А.И. Боровков // XXXVIII Неделя науки СПбГПУ: Материалы международной научно-практической конференции - СПб.: Изд-во СПбГПУ - 2009. - Часть V. - с. 53 - 54.

24.Новокшенов А.Д. Разработка программного компонента топологической оптимизации на основе метода движущихся асимптот / А.Д. Новокшенов, А.С. Немов, Д.В. Мамчиц, А.Ю. Зобачева // Сборник лучших докладов XLVI Недели науки СПбПУ: Материалы международной научно-практической конференции - СПб.: Изд-во СПбПУ, 2018.

25.Новокшенов А.Д. Топологическая оптимизация конструкций на основе метода движущихся асимптот/ А.Д. Новокшенов, А.С. Немов, Д.В. Мамчиц, А.Ю. Зобачева // XLVI Неделя науки СПбПУ: Материалы международной научно-практической конференции - СПб.: Изд-во СПбПУ, 2017. -Часть V. - С. 49 - 50.

26.Первозванский, А. А. Декомпозиция, аггрегирование и приближенная оптимизация / А. А. Первозванский, В. Г. Гайцгори - М.: Наука. 1979 - 344 с.

27.Первозванский, А. А. Курс теории автоматического управления. Учебное пособие/ А. А. Первозванский- СПб.: Лань, 2010 - 624 с.

28. Первозванский, А. А. Поиск / А. А. Первозванский - М.: Наука. 1970 -264 с.

29.Почтман, Ю. М. Модели и методы многокритериальной оптимизации конструкций. Учебное пособие / Ю. М. Почтман, Днепропетровск: ДГУ, 1984 - 132 с.

30.Почтман, Ю. М. Оптимальное проектирование строительных конструкций./ Ю. М. Почтман, З. И. Пятигорский. Киев-Донецк: «Вища школа», 1980 - 112 с.

31.Прагер, В. Основы теории оптимального проектирования конструкций / В. Прагер - М.: Мир, 1977 - 110 с.

32.Рейтман, М. И. Методы оптимального проектирования деформируемых тел (постановки и способы решения задач оптимизации параметров элементов конструкций) / М. И. Рейтман, Г. С. Шапиро. М.: Наука, 1976. 258 с.

33.Родионов, А.А. Декомпозиция задачи оптимизации судовых конструкций на базе метода суперэлементов/А. А. Родионов - Труды ЛКИ: Прочность новых типов транспортных судов. 1983, с. 67-71 с.

34. Родионов, А.А. Использование методов оптимизации в расчетном проектировании конструкций. /А. А. Родионов // Судостроение, 1985, N11, с.7-10. с.

35.Родионов, А.А. Математические методы проектирования оптимальных конструкций судового корпуса. / А. А. Родионов - Л. Судостроение, 1990. 248 с.

36. Руководство для учащихся по изучению программного обеспечения SolidWorks [Текст]: Dassault Systèmes SolidWorks Corporation, 2010

37.Профессиональный информационно-аналитический ресурс, посвященный машинному обучению, распознаванию образов и интеллектуальному анализу данных [Электронный ресурс] - Режим доступа: / http://www.machinelearning.ru, свободный

38.Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов/ Л. Сегерлинд -М.: Мир, 1979 -392 с

39.Смольников, Б.А. Механика в истории науки и общества /Борис Смольников - НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2014 - 608 с.

40. Троицкий, В.А. Оптимизация формы упргих тел/ В.А. Троицкий, Л.В. Петухов - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы 1982 - 432 с.

41.Шваб, К. Четвертая промышленная революция./ К. Шваб, Эксмо, 2016, 475 с.

42.Altair HyperWorks Documentaion, version 13.0[Текст]: Altair Engineering, Inc., 2014

43.ANSYS Documentation Release 15.0 [Текст]: SAS IP, Inc

44.Bendsoe, M. P Generating Optimal Topologies in Struct Design Using a Ho-mogenization Method/M. P. Bendsoe and N. Kikuchi// Computer Methods in Applied chanics and Engineering, Vol. 71, pp. 197-224, 1988.

45. Bendsoe, M. P. Material interpolation schemes in topology optimization / M. P. Bendsoe, 0. Sigmund // Archives of Applied Mechanics, vol. 69(9-10), pp 635654. 1999.

46.Bendspe, M. P. Optimization methods for truss geometry and topology design/ Bendspe, M. P., Ben-Tal, A. & Zowe, J// Structural Optimization 7(3): 141-158, 1994

47. Bendsoe, M. P. Topology Optimization. Theory, Methods and Applications / M. P. Bendsoe, 0. Sigmund - Springer, 2003

48.Bennett, J. A., Structural shape optimization with geometric description and adaptive mesh generation /Bennett, J. A., Botkin M. E. // AIAA Journal, vol. 23: pp 458-464,1985

49.Braibant, V. Shape optimal design using B-splines/ V. Braibant, C. Fleury // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering , vol. 44: pp 247267,1984

50. Clausen, P. Non-parametric large scale structural optimization for industrial applications/ Clausen, P. and Pedersen, C.B.W //III ECCM Lisbon, Portugal.June 5-8.

51.Cui, C., Ohmori H., Sasaki M. Structural design by extended ESO method / C. Cui, , H. Ohmori, M. Sasaki // In: Proceedings of frontiers of computational sciences symposium Nagoya, Japan, 11-13 October 2005, pp 149-156

52.Eschenauer, H. Topology optimization of continuum structures: A review/ H. Eschenauer, N. Olhoff // ASME, Applied Mechanics Reviews, vol. 54, no 4, July 2001.

53.Gould, N., SQP Methods for Large-Scale Nonlinear Programming/ N. Gould, P. Toint// System Modelling and Optimization,1999: p.149-178

54.Hallquist, J.O. LS-DYNA. Theoretical Manual [Текст]: монография - Liv-ermore Software Technology Corporation. 1998.

55.Herrmann, Leonard R. Laplacian-isoparametric grid generation scheme /Leonard R. Herrmann// Journal of the Engineering Mechanics Division, 102 (5): 749-756.1976

56.Huang X. A further review of ESO type methods for topology optimization / X. Huang, Y. M. Xie // Structural Multidisciplinary Optimization, vol.41, p.: 671683,2010

57.Huang, X. Bi-directional evolutionary topology optimization of continuum structures with one or multiple materials/ X. Huang, Y. M. Xie// Computational Mechanics ,43(3):p.393-401, 2009

58. Imam, M.H. Three-dimensional shape optimization/ M.H. Imam // International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 18, pp 661-673, 1982

59.Mattheck, C. A new method of structural shape optimization based on biological growth/ C. Mattheck, S. Burkardt // International Journal of Fatigue vol. 12: pp 185-190, 1990

60.Meske, R. Nonparametric gradient-less shape optimization for real-world applications/ R. Meske, J. Sauter, E. Schnack // Structural Multidisciplinary Optimization, vol.30, pp 201-218, 2005

61.Miettinen, K. M. Nonlinear Multiobjective Optimization / K. M Miettinen // International Series in Operational Research & Management Science, Kluwer Academic Publishers, 1999

62. ModeFrontier Documentation [Текст]: ESTECO S.p.A., 2016

63.MSC Nastran 2018.0.1 Realese Guide [Текст]: MSC Software, 2017

64.Nelder, J. A. A Simplex method for fuction minimization/ J. A. Nelder, R. Mead// Computer Journal, vol. 7, p.308,1965

65.Novokshenov, A. D. Integrated system as a tool for implementation of simulation- and optimization-based design methodology/ Aleksei Novokshenov, Alexander Nemov, Dmitriy Mamchits, Aleksandra Zobacheva // Materials physics and mechanics - Vol.34, no1, p.p. 76-81, 2017

66.Novokshenov, A. D. Optimizing the Support of a Stellar Sensor /A. D. Novokshenov, P. A. Marchenko, A. S. Nemov, and A. I. Borovkov // Russian Engineering Research, Vol. 38, No. 1, pp. 7-12, 2018.

67.NX Nastran User's Guide [Текст]: Siemens Product Lifecycle Management Software, 2014

68.Optimus Rev. 10.17 Manual [Текст]: Noesis Solutions, Gaston Geenslaan 11, B4 - 3001 LEUVEN -Belgium

69.Patnaik, S.N.Optimality of a fully stressed design /S.N. Patnaik, D.A. Hopkins // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 165, Issues 1-4, 2 November 1998, pages 215-221

70.Pedersen, P. The integrated approach of FEM-SLP for solving problems of optimal design/ P.Pedersen - Optimization of Distributed Parameter Structures, Sijthoff & Noordhoff, 1981.

71.Pinique, Roman. Natural Language Processing of Requirements for ModelBased Product Design with ENOVIA/CATIA V6/ Romain PinquiéEmail author, Philippe Véron,Frédéric Segonds,Nicolas Croué// 12th IFIP WG 5.1 International Conference, PLM 2015, Doha, Qatar, October 19-21, 2015

72.PSeven Core 6.11 User Manual [Электронный ресурс]: Режим доступа: https://www.datadvance.net/product/pseven-core/manual/6.11/index.html, свободный

73.PTC Help Center: Creo. [Электронный ресурс] - Режим доступа: https://support.ptc.com/apps/help_center/brand=Creo, свободный

74.PTC Windchill PDM Essentials Getting Started Guide: PTC Windchill

10.2. [Текст]: PTC Inc, 2014

75.Querin, O.M. Evolutionary structural optimization (ESO) using a bi-directional algorithm/ O.M.Querin, G.P.Steven, Y.M.Xie // Engineering Computations 15:1031-1048, 1998

76.Querin, O.M. Evolutionary structural optimisation using an additive algorithm /O.M.Querin, G.P.Steven, Y.M.Xie // Finite Elements in Analysis and Design Volume 34, Issues 3-4, 15 February 2000, Pages 291-308

77.Poles S. The SIMPLEX Method // Silvia Poles, Technical Report 2003-05, Es-teco modeFrontier UserGuide, October 7, 2003, p.4

78. Poles S. MOGA-II. An improved Multi-Objective Genetic Algorithm // Silvia Poles, Technical Report 2003-006, Esteco modeFrontier UserGuide, December 4, 2003, p.14

79.Queaue, P. Two-dimensional shape optimal design by the finite element method / J. P. Queaui, Ph. Trompette// Internation journal for numerical methods in engineering, vol.15, p. 1603-1612,1980

80.Siemens NX 8.0 Documentation [Текст]: Siemens PLM Software, 2011

81. Sigmund, O. A 99 line topology optimization code written in Matlab/ O. Sigmund, Structural and Multidisciplinary Optimization, 21, 120-127, 2001.

82.SIMULIA ABAQUS 6.14 Documentation. [Текст]: Dassault Systèmes, 2014

83.SIMULIA Tosca Structure Documentation 8.0 [Текст]: FE-DESIGN GmbH, 2013.

84.Spendley, W. Sequential Application of Simplex Designs in Optimisation and Evolutionary Operation / W. Spendley, G. R. Hext, F. R. Himsworth// Tecno-metrics, Vol.4, p. 441, 1962

85. Suzuki, K. A Homogenization Method for Shape and Topology Optimization / K. Suzuki and N. Kikuchi // Meth. Appl Mech. and Engr., Vol. 93, pp. 291- 318, 1991.

86.Stanford computer graphics laboratory. [Электронный ресурс] - Режим доступа: / http://graphics.stanford.edu/, свободный

87.Svanberg, K. The method of moving asymptotes - a new method of structural optimization / K. Svanberg // International journal for numerical methods in engineering, vol. 24,p. 359-373, 1987

88.TeamCenter. Библиотека материалов [Электронный ресурс] - Режим доступа: https://www.plm.automation.siemens.com, свободный

89.The world leading knowledge source for product weight reduction. [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://altairenlighten.com/, свободный

90. Toyota Technological Institute [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://www.toyota-ti.ac.jp,свободный

91.Turco, A. Adaptive Filter SQP - Description / Alessandro Turco - Technical Report 2009-002, Esteco modeFrontier UserGuide , June 22, 2009, p.11

92.Xie Y.M. A simple evolutionary procedure for structural optimization. / Y.M. Xie, G.P Steven // Computers & Structures , vol. 49:p. 885-896, 1993

93.Xie Y.M. Shape and layout optimization via an evolutionary procedure / Y.M. Xie, G.P Steven // In: Steven Proceedings of the international conference computational engineering science. Hong Kong, p 421, 1992

94.Zienkiewicz, O. C. Shape optimization and sequentiallinear programming. // In: Optimum structural design: theory and applications. Wiley, London,pp. 109126, 1973

95.Zobacheva, A. Yu. Design and simulation of additive manufactured structures of three-component composite material/ A.Yu. Zobacheva, A.S. Nemov, A.I.

Borovkov, A.D. Novokshenov, M.V. Khovaiko, N.A. Ermolenko// Materials physics and mechanics - Vol.34, nol, p.p. 51-58, 2017