Квантовая аномалия в струнных теориях, взаимодействующих с фоновыми полями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Мищук, Богдан Ростиславович

• Мищук, Богдан Ростиславович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мищук, Богдан Ростиславович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4 ГЛАВА 1. Теория струн и квантование

1.1. Бозонная струна в фоновых полях

1.2. Фермионная N811 - струна в фоновых полях

1.3. Ковариантное квантование бозонной струны в безмассовых фоновых полях

1.4. ВИЗТ-ВЕУ квантование: общие положения 31 ГЛАВА 2. Квантовая аномалия в струнных теориях

2.1. Квантовая аномалия в рамках БИЭТ-ВГУ квантования

2.2. Высшие квантовые поправки к аномалии

2.3. Получение общего вида аномалии

2.4. Калибровочно-инвариантная квантовая формулировка для некалибровочной классической теории

ГЛАВА 3. Структура квантовой аномалии в теории бозонной струны взаимодействующей с фоновыми полями

3.1. Калибровочно-инвариантная формулировка квантовой теории бозонной струны взаимодействующей с безмассовыми фоновыми полями

3.2. Условия существования квантовой калибровочно-инва-риантной теории

ГЛАВА 4. Квантовая аномалия в теории фермионной струны

взаимодействующей с фоновым гравитационным полем

4.1. N811 - струна взаимодействующая с фоновым гравитационным полем

4.2. Квантовая аномалия в теории фермионной струны в фоновых полях

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ В

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовая аномалия в струнных теориях, взаимодействующих с фоновыми полями»

ВВЕДЕНИЕ

Вопросы теории струн занимают значительное место в современных исследованиях по теоретической физике высоких энергий. Интерес к теории струн в значительной степени обусловлен тем, что эта теория является в настоящее время единственным реальным кандидатом на роль единой теории всех фундаментальных взаимодействий (см. например [1] - [4]).

Возникнув около двадцати лет назад, теория струн с тех пор неизменно привлекает внимание физиков и математиков. Релятивистские струнные теории первоначально возникли в физике высоких энергий в связи с проблемами описания динамики сильных взаимодействий элементарных частиц. На рубеже 6070 годов был разработан ряд так называемых дуальных моделей, в частности, модель Венециано [5, 6]. В работах [7, 8] было отмечено, что модель Венециано описывает рассеяние одномерных объектов - струн и является унитарной. Несколько позже эта модель была расширена путем ведения в теорию фермионов [9] - [12]. Однако оказалось, что квантовая теория струн содержит аномалии, условия сокращения которых ведут к ограничениям на размерность пространтва-времени и другие параметры теории. Для бозонной струны критическая размерность И — 26, а включение в теорию фермионов ведет к ограничению И = 10. Кроме

этого, существовали и другие проблемы, связанные со струнным спектром, плохо объяснимые с точки зрения теории сильных взаимодействий.

В восьмидесятых годах были построены суперсимметричные обобщения теории бозонных струн (суперструнные модели), в которых было обнаружено сокращение аномалий, приводящее к фиксации не только размерности пространтва-времени, но и типа калибровочной группы [13]-[16], и предложена интерпретация струнных моделей в качестве фундаментальной теории элементарных частиц.

Современная точка зрения на теорию суперструн заключается в том, что она должна описывать все виды частиц и взаимодействий, при этом различным частицам соответствуют различные возбужденные состояния струны, а взаимодействие осуществляется путем разрыва и склеивания отдельных струн. Из всех измерений пространства-времени при низких энергиях наблюдаемы только четыре, остальные - скомпактифицированы, причем теория сама должна определять, каким образом при компакти-фикации возникает известный спектр частиц (см. [1, 3]).

Одна из основных проблем теории струн состоит в описании струнного взаимодействия. Известны различные подходы к этой проблеме. Первый и наиболее разработанный - метод амплитуд. В этом методе постулируется вид вершинных функций и вычисляются амплитуды для произвольных диаграмм. Также известен способ изучения взаимодействия струн в рамках по-

левой теории струн [17, 18]. Такое описание представляет собой вторично-квантованную теорию, которая является расширением известной в квантовой теории поля процедуры построения вторично-квантованной (или полевой) теории для точечных частиц. Одним из основных методов изучения струнного взаимодействия является сигма-модельный подход [36] - [29]. Этот метод представляет собой, по-существу, 2-мерную теорию поля, что позволяет использовать для ее описания методы квантовой теории поля. Для описания струны, взаимодействующей с фоновыми полями было предложено добавить к действию нелинейной двумерной сг—модели члены, описывающие взаимодействие с различными струнными модами [24]-[32], при этом фоновые поля интерпретируются как конденсат различных мод других струн [23]-[37].

Уже упоминалось, что практически все струнные модели являются аномальными. В рамках сигма-модельного подхода, при функциональном ковариантном квантовании требование сокращения квантовой аномалии является источником эффективных уравнений движения, которые представляют собой ограничения на фоновые поля. Аномалия же возникает как нарушение вейлевской инвариантности квантового эффективного действия. Условие отсутствия аномалии строится как условие равенства нулю перенормированного оператора следа тензора энергии-импульса, соответствующие коэффициенты при независимых составных операторах интерпретируются как эффективные уравнения движе-

ния для фоновых полей. При рассмотрении обобщенного действия <7—модели, взаимодействующей с набором безмассовых полей, было показано, что уравнения движения для струнных мод, следующие из эффективного струнного действия, совпадают с условиями сокращения квантовой конформной аномалии, которые, в свою очередь, связаны с (3—функциями и условиями ультрафиолетовой конечности теории [33]-[35]. Реализация этого подхода для теорий бозонных струн, взаимодействующих с безмассовыми фоновыми полями детально изучена в работах [23]-[28] (см. также обзоры [36], [37]).

Дальнейшим обобщением теории является включение взаимодействия и с массивными фоновыми полями. Теория с действием, содержащим члены с размерностью выше двух по двумерным производным и описывающим взаимодействие с массивными полями1, не является конформно-инвариантной уже на классическом уровне. Тем не менее, если потребовать конформной инвариантности теории на квантовом уровне, то на фоновые поля возникнут ограничения, причем их линейная часть будет воспроизводить уравнения Клейна-Гордона с правильным знаком квадрата массы [82]. Случай замкнутой бозонной струны, взаимодействующей с фоновыми полями первого массивного уровня детально изучен в работе [38]. Проанализирован статус различных структур в классическом действии с точки зрения их соот-

1Мы не будем касаться проблемы взаимодействия с тахионной модой, которая также оказывается нетривиальной [83]-[84]

ветствия струнному спектру. В линейном приближении по фоновым полям осуществлена перенормировка полей и соответствующих составных операторов. Из условия квантовой конформной инвариантности получены уравнения для фоновых полей первого массивного уровня и показано, что тензорный состав полученного набора полей согласуется со струнным спектром лишь при некоторых дополнительных ограничениях.

Другим способом изучения действия и—модельного типа, описывающего взаимодействие струны с фоновыми полями, является метод обобщенного канонического квантования Баталина-Фрадкина-Вилковыского (BRST - BFV метод) [45]-[49] (смотрите также работы [40]-[43]). В нем с самого начала используется требование Becci-Rouet-Stora-Тютина (BRST) симметрии [51], [52] в качестве фундаментального принципа построения квантовой теории. Предложен общий рецепт построения производящего функционала калибровочной алгебры О (или BRST-заряда), который является основным объектом, для любой калибровочной теории.

В методе обобщенного канонического квантования источником аномалий является возможное нарушение квантового условия нильпотентности фермионного производящего функционала калибровочной алгебры Q, выполненного на классическом уровне по построению. Оператор О при этом строится по структурным константам алгебры классических связей первого рода, несущих информацию о калибровочных симметриях классической теории. Это существенно отличает каноническое квантование от ковари-

антного, в котором требование вейлевской инвариантности налагается на квантовое действие теории независимо от того, была соответствующая классическая теория вейлевски инвариантна или нет. Поэтому наивное применение процедуры канонического квантования к теориям струн в фоновых полях с вейлевски неинвариантными классическими лагранжианами может привести к противоречию с ковариантным подходом.

Подобных проблем не возникает при квантовании свободной струны, а также теории струны, взаимодействующей с безмассовыми гравитоном и антисимметричным тензором, которая на классическом уровне обладает тем же набором симметрий, что и свободная струна. Включение взаимодействия с другими фоновыми полями (дилатоном, тахионом, полями высших массивных уровней) нарушает вейлевскую инвариантность классического действия и соответствующие связи первого рода исчезают. Таким образом, поскольку симметрия отсутствует уже на классическом уровне, нет смысла говорить о ее нарушении в квантовой области.

Конечно, конкретный механизм возникновения аномалий, а следовательно, и условий на фоновые поля, зависит от используемого подхода. Естественно полагать, что различные подходы применяемые к одной и той же теории должны приводить к совпадающим или, по крайней мере, непротиворечивым результатам.

Для свободной бозонной струны операция БФВ квантования впервые проведена в работах [53]-[56], в которых был построен

оператор £1 и показано, что условие его нильпотентности влечет ограничения на параметры теории, совпадающие с аналогичными условиями, возникающими при использовании других методов.

Обобщение метода канонического квантования для струны, взаимодействующей с фоновыми полями, является нетривиальной задачей, поскольку теория становится нелинейной и требуется строить адекватную задаче теорию возмущений. В существующих работах предлагалось в качестве таковой использовать разложение по слабым фоновым полям , вычислялись квантовые аномалии в алгебре связей различных моделей в линейном приближении [65]-[70].

Так, в работах [65], [66] для теории замкнутой бозонной струны, взаимодействующей с гравитоном и с антисимметричным тензором, была построена алгебра связей в классической области и получена первая по слабым фоновым полям поправка в квантовую алгебру. В таком же приближении для этой теории в работах [67], [68] было показано, что из условия нильпотентности оператора О для фоновых полей следуют уравнения Даламбера и условия поперечности. Аналогичная процедура для суперструны проделана в работах [69], [70]. Однако этот способ не лишен ряда недостатков, в частности, он не ковариантен.

Использовалось также разложение исходного действия и связей теории по степеням нормальных координат, квантовая алгебра связей была получена в низшем порядке по кривизне [71], [72].

Последовательное обобщенное каноническое квантование взаимодействующей струны проведено в работах [73], [74]. В них развита гамильтонова формулировка, вычислены связи и их алгебра. Предложено соответствующее теории свободное приближение, критическя размерность которого равна 25. Квантовая алгебра построена в терминах символов операторов в произвольном порядке. Найден явный вид первой квантовой поправки. Для струны, взаимодействующей с гравитоном и дилатоном, с помощью разложения по степеням нормальных координат получены уравнения движения фоновых полей. Следует, однако, заметить, что рассмотренный случай не вполне соответствует струнной картине, свидетельством чему является равная 25 критическая размерность свободного приближения и вид уравнений движения фоновых полей, не соответствующих ковариантному подходу для струны.

Аналогичные проблемы имеются и при каноническом квантовании теории струны, взаимодействующей с массивными полями, также вейлевски неинвариантной на классическом уровне. Способ разрешения этих трудностей был предложен в работе [75], где рассматривалась принципиальная возможность построения калибровочно-инвариантной квантовой формулировки для некалибровочной классической модели, зависящей от параметров. Предложенная общая схема была использована для построения канонической формулировки теории струны, взаимодействующей с фоновыми тахионом и полями первого массивного уровня,

для которых в линейном приближении были получены эффективные уравнения движения, совпадающие с уравнениями, возникающими в рамках ковариантного подхода.

Таким образом, проблема последовательного канонического квантования струнных теорий, включающих взаимодействие с фоновыми полями, а также вычисления на этой основе общего вида квантовой аномалии в алгебре связей остается открытой и нуждается в дальнейшем изучении.

Для свободной струны исследование общего вида аномалии проводилось в работах [87]-[90]. На основе метода ВРУ-квантования был проведен алгебраический анализ аномалии в расширенном фазовом пространстве. Получен наиболее общий вид вирасоров-ской аномалии, исследуется ее связь с вейлевской аномалией и найден контрчлен, добавление которого к исходному действию для свободной струны, ведет к сдвигу вирасоровской аномалии в вейлевскую.

Общие вопросы, связанные с аномалией в рамках метода обобщенного канонического квантования изучались в работе [91].

Во многом аналогичная поцедура была реализована в работах [94]-[104]. Для заданного набора полей и калибровочных сим-метрий в рамках лагранжевого ВУ - квантования (см. например работы [92], [93]) была найдена квантовая аномалия, как антискобочная когомология на интегрируемых локальных функционалах.

В этом подходе изучались нетривиальные решения уравнения

5А = 0 (1)

где 5 - нильпотентный ВЫ8Т дифференциал и А - интегрируемый локальный функционал А = / в,2х/. Используя лемму Пуанкаре, уравнение (1) переписывается в виде локальных, так называемых, понижающих уравнений:

5ш 2 + с1ш\ = О 5ш 1 + с1шо = О 8ш о = О

где (¿2 - 2 форма, а и>\ и и>о - соответственно 1 и 0 формы. Известно, что эти уравнения для теории (супер)струн в параметризации Бельтрами (смотрите например [101, 102]), ведут к тому, что при нетривиальной 0 - форме ¡.¿о "интегрирование" двух других тривиально. Таким образом, достаточно определить общее решение уравнения

6ш0 = 0 (2)

в пространстве локальных функционалов полей.

Таким образом, можно сделать вывод, что имеет место задача последовательного канонического квантования струнных теорий, взаимодействующих с фоновыми полями, вычисления общего вида квантовой аномалии в алгебре связей и соотнесения полученных результатов с условиями на фоновые поля, полученными в рамках других подходов.

В предлагаемой работе процедура обобщенного канонического квантования осуществляется как для теории замкнутой бо-зонной струны, взаимодействующей с полным набором безмассовых полей, имеющихся в струнном спектре - гравитоном, антисимметричным тензором и скалярным дилатоном, так и для теории фермионной струны, взаимодействующей с фоновым гравитационным полем в рамках N811 модели [57]-[60]. В отличие от работ [94] - [104] все вычисления, связанные с изучением и получением общего вида квантовой аномалии проводятся в рамках ВКБТ-ВРУ квантования. Для получения и исследования соответствующей квантовой: аномалии предлагается использовать формализм символов операторов [79], [80], что дает возможность получать результаты в наиболее общем виде. Тем самым дается общее решение проблемы канонического квантования теории взаимодействующей струны.

Работа состоит из Введения, четырех глав, Заключения и двух приложений.

Глава 1 носит обзорный характер. Рассмотрено действие для теории замкнутой бозонной струны в свободном случае и в случае безмассовых фоновых полей, перечислены соответствующие классические симметрии. Также приведено действие и симметрии для фермионной струны, как в свободном случае, так и на нетривиальном фоне. Дан краткий обзор общих подходов ВРУ-В118Т-квантования калибровочных теорий со связями первого рода. Приведены сведения о перенормировке сг—модели взаимодей-

ствуюгцей с безмассовыми фоновыми полями. Рассматривается перенормировка составных операторов, получение соответствующих ß—функций и эффективных уравнений движения фоновых полей, следующих из условия квантовой конформной инвариантности.

В главе 2 формулируется в общем виде применяемый в дальнейшем подход. Изучаются общие свойства квантовой аномалии в BRST-BFV подходе в контексте струнных теорий. Приведен метод построения анзаца для квантовой аномалии. Изучен вопрос о структуре высших квантовых поправках к аномалии. Сформулированы в общем виде правила построения квантовой аномалии как нетривиальной BRST когомологии в рамках обобщенного канонического квантования. Детально разобран метод построения калибровочно-инвариантной квантовой формулировки по некалибровочно-инвариантной классической теории.

Глава 3 посвящена исследованию общего вида квантовой аномалии в теории замкнутой бозонной струны, взаимодействующей с безмассовыми фоновыми полями. Построена классическая формулировка, для построения которой осуществлен специальный выбор динамических полей, обеспечивающих правильную размерность рассматриваемой теории. Строится квантовая теория, записывается анзац для BRST - заряда, имеющий структуру, аналогичную с луча ю свободной струны. Существование BRST - заряда позволяет в дальнейшем найти квантовую аномалию, которая в рассматриваемом случае имеет смысл условия

существования квантовой калибровочно-инвариантной формулировки рассматриваемой модели. Методом ВИЗТ-ВРУ квантования с использованием техники символов операторов проводится детальный анализ аномалии. Найдены ограничения на аномалию, из которых в дальнейшем определяется ее общий вид. В заключение обсуждается связь полученных результатов с ковариантным функциональным подходом.

Глава 4 посвящена получению и исследованию общего вида квантовой аномалии для фермионной струны (в рамках N811 -модели), взаимодействующей с фоновым гравитационным полем. Построена классическая формулировка, выписана алгебра связей теории. Далее в рамках обобщенного канонического квантования с привлечением техники символов операторов ищется общий вид квантовой аномалии как нетривиальной когомологии ВИ8Т преобразования.

В Заключении перечислены основные результаты работы.

В приложениях приведены некоторые сведенияя из теории символов операторов, которые будут необходимы при изучении квантовых аномалий в контексте струнных теорий, и также даны выражения для ВЕ8Т преобразований произвольных функций, возникающих при рассмотрении бозонной струны в безмассовых фоновых полях.

В работе приняты следующие соглашения. Двумерная метрика имеет сигнатуру ( — ,+), Б—мерная - ( — ,+,...,+). Тензор кривизны определяется как Я^^хк — дкТ^г/\ — ....

Суперкоммутаторы удовлетворяют следующим соотношениям:

[А, В] = -(-1)е(А)е(в) [В, А] [А, В + С] = [А, Б] + [А, С] [[А, Б], С] + (-1 А], В]

+ (_1)ф1)ИЯ)+е(С7)) С], А] = 0

(3)

Здесь б(А) - грасманова четность величины А (0 - для бозона, 1 - для фермиона). Каждый параграф имеет независимую нумерацию формул. При ссылке на формулы текущего параграфа указывается ее номер, при ссылке на формулу другого параграфа слева от номера формулы ставятся номер главы и номер параграфа.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Мищук, Богдан Ростиславович

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [105] - [110].

В заключение считаю своим приятным долгом выразить благодарность доктору физико-математических наук, профессору И.Л. Бухбиндеру за научное руководство, всестороннюю помощь в работе и сотрудничество.

Я глубоко признателен кандидату физико-математических наук, доценту В.Д. Першину за постоянные консультации, помощь в работе над диссертацией и сотрудничество.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведем основные результаты полученные в диссертации.

1. В рамках метода обобщенного канонического квантования изучена алгебраическая структура квантовых аномалий в теориях струн, взаимодействующих с фоновыми полями. Основываясь на уравнениях совместности, получаемых с использованием (супер)тождества Якоби и применяя технику символов операторов получено соотношение, определяющее аномалию как когомологию нетривиальных решений уравнения на аномалию в пространстве с-числовых функций, зависящих от координат расширенного фазового пространства и, возможно, фононовых полей.

2. Сформулирована процедура получения общего вида квантовой аномалии для струнных теорий в рамках а—модельного подхода. Изучен вопрос о произволе, имеющем место при определении аномалии, а также исследован общий вид поправок к аномалии в высших петлях.

3. Для теории замкнутой бозонной струны, взаимодействующей с безмассовыми фоновыми полями гравитона (симметричного тензора), антисимметричного тензора и дилатона построена непротиворечивая квантовая теория в рамках метода ВКБТ

- ВРУ квантования. Предложен адекватный выбор динамических полей, обеспечивающих правильную размерность рассматриваемой теории, являющийся каноническим аналогом известного подхода Полякова. Найден общий вид квантовой аномалии и приведены условия ее отсутствия, которые для рассматриваемой теории играют роль условий обеспечивающих ее квантовую калибровочную инвариантность.

4. Изучена взаимосвязь результатов, полученных в рассмотренном подходе, с хорошо известной в рамках ковариантного подхода структурой условия квантовой вейлевской инвариантности рассматриваемой модели.

5. Найдена структура квантовой аномалии для теории фер-мионной струны в рамках N811 модели фермионной струны, взаимодействующей с фоновым гравитационным полем. На основе предложенного в работе подхода построен анзац для аномалии и найдена нетривиальная когомология решений уравнений на аномалию.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мищук, Богдан Ростиславович, 1998 год

Литература

[1] Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн: В 2-х т. - М.: Мир, 1990. - Т. 1: 518 е.; Т. 2: 656 с.

[2] Бринк JL, Энно М. Принципы теории струн. - М.: Мир, 1991. - 296 с.

[3] Schwarz J.H. Superstring theory // Phys. Rep.- 1982.- Vol. 89, N 3.- P. 223-322.

[4] Scherk J. An introduction to the theory of dual models and strings // Rev. Mod. Phys.- 1975.- Vol. 47, N 1.- P. 123-164.

[5] Veneziano G. Construction of a crossing-symmetric, Regge-behaved amplitude for linearly rising trajectories // Nuovo Cim. A.- 1968.- Vol. 57, N 1,- P. 190-197.

[6] Veneziano G. An introduction to dual models of strong interactions and their physical motivations // Phys. Rep. C.-1974.- Vol. 9, N 4.- P. 199-242.

[7] Nambu Y. Lecturesat the Copenhagen Sumposiun on Summetries and Quark Models.- N.Y.:Gordon and Breach Book Сотр., 1970.- P. 269.

[8] Rebbi C. Dual models and relativistic qauntum strings // Phys. Rep. C.- 1974.- Vol. 12, N 1.- P. 1-73.

[9] Ramond P., Dual theory for free fermions // Phys. Rev. D. -1971.- Vol. 3.-P. 2415.

[10] Neveu A., Schwarz J.H. Factorizable dual model of pions // Nucl. Phys. B.- 1971.- Vol. 31.- P. 86-112.

[11] Neveu A., Schwarz J.H. Quark model of dual pions // Phys. Rev. D.- 1971.- Vol. 4.- P. 1109-1111.

[12] Schwarz J.H. Physical states and pomeron poles in the dual pion model // Nucl. Phys. B.- 1972.- Vol. 46.- P. 61-74.

[13] Schwarz J. Dual resonance theory // Phys. Rep. C.- 1973.- Vol. 8, N 4.- P. 269-335.

[14] Green M.B., Schwarz J.H. Anomaly cancellations in supersymmetric D = 10 gauge theory and superstring theory // Phys. Lett. B.- 1984.- Vol. 149, N 1.- P. 117-122.

[15] Green M.B., Schwarz J.H. The hexagon gauge anomaly in type I superstring theory // Nucl. Phys. B.- 1985.- Vol. 255.- P. 93-114.

[16] Green M.B., Schwarz J.H. Infinity cancellations in SO(32) superstring theory // Phys. Lett. B.- 1985.- Vol. 151, N 1,- P. 21-25.

[17] Kaku M., Kikkawa K. Field theory of relativistic strings 1. Trees // Phys. Rev. D.: Part, and Fields.- 1974.- Vol. 10, N 6.- P. 380400.

[18] Kaku M., Kikkawa K. Field theory of relativistic strings 2. Loops and pomerons // Ibid.- N 10.- P. 1823-1843.

[19] Goto T. Relativistic quantum mechnics of one-dimensional mechanical continuum and subsidiary condition of dual resonanse model // Progr. Theor. Phys.- 1971.- Vol. 46, N 5.-P. 1560

[20] Green M.B., Schwarz J.H. Supersymmetrical dual string theory // Nucl. Phys. B.- 1981.- Vol. 181.- P. 502-530.

[21] Green M.B., Schwarz J.H. Supersymmetrical string theories // Phys. Lett. B.- 1982.- Vol. 109.- P. 444-448.

[22] Green M.B., Schwarz J.H. Covariant descriotion of superstring // Phys. Lett. B.- 1984.- Vol. 136.- P. 367.

[23] Lovelace C. Strings in curved space // Phys. Lett. B.- 1984.-Vol. 135, N 1-3.- P. 75-77.

[24] Fradkin E.S., Tseytlin A.A. EfFectife action approach super-string theory // Phys. Lett. B.- 1985.- Vol. 160.- P. 69-76.

[25] Fradkin E.S., Tseytlin A.A. Quantum sring theory effective action // Nucl. Phys. B.- 1985.- Vol. 261.- P. 1-27.

[26] Callan C., Martinec E., Perry M., Friedan D. Strings in background fields // Nucl. Phys. B.- 1985.- Vol. 262.- P. 593609.

[27] Sen A. Heterotic string in an arbitrary background field // Phys. Rev. D.- 1985.- Vol. 32, N 8.- P. 2102-2112.

[28] Sen A. Equations of motion for the heterotic string theory from the conformal invariance of the sigma model // Phys. Rev. Lett.-1985.- Vol. 55, N 18.- P. 1846-1849.

[29] Фрадкин E.C., Цейтлин А.А. Поля как возбуждения квантованных координат // Письма в Журн. эксперим. и теор. физики.- 1985.- Т. 41, вып. 4.- С. 169-171.

[30] Wess J., Zumino В. Consecuences of anomalous Ward identities // Phys. Lett. В.- 1971.- Vol. 37.- P. 95.

[31] Witten E. Non abelian bosonization in two dimensions // Commun. Math. Phys.- 1984.- Vol. 92, N 2.- P. 455-472.

[32] Witten E. Global aspects of current algebra // Nucl. Phys. B.-1983.- Vol. 223.- P. 422.

[33] Tseytlin A.A. Sigma-model Weyl invariance conditions and string equations of motion // Nucl. Phys. В.- 1987.- Vol. 294.-P. 383-411.

[34] Curci G., Paffuti G. Consistency between the string background field equation of motion and the vanishing of the conformal anomaly // Nucl. Phys. В.- 1987.- Vol. 286.- P. 399-408.

[35] Osborn H. String theory effective actions from bosonic cr-models // Nucl. Phys. В.- 1988.- Vol. 308.- P. 629-661.

[36] Tseytlin A.A. Sigma model approach to string theory // Int. J. Mod. Phys. A.- 1989.- Vol. 4, N 6.- P 1257-1318.

[37] Osborn H. General bosonic a models and string effective actions // Ann. Phys. (USA).- 1990.- Vol. 200.- P. 1-48.

[38] Buchbinder I.L., Fradkin E.S., Lyakhovich S.L., Pershin V.D. Higher spins dynamics in the closed string theory // Phys. Lett. В.- 1993.- Vol. 304, NN 3-4.- P. 239-248.

[39] Banks Т., Nemeschansky D., Sen A. Dilaton coupling and BRST quantizaton of bosonic strings // Nucl. Phys. В.- 1986.- Vol. 277, P. 67-86.

[40] Дирак П. Лекции по квантовой механике /Дирак П. Принципы квантовой механики.- М.: Наука, 1979.- 480 с.

[41] Sundermeyer К. Constrained dynamics: Lecture Notes in Physics.- Vol. 169.- Berlin: Springer Verlag, 1982.- 318 p.

[42] Гитман Д.М., Тютин И.В. Каноническое квантование полей со связями.- М.: Наука, 1986.- 216 с.

[43] Henneaux М., Teitelboim С., Quantization of Gauge System. Princeton, New Jersey: Princeton Univ. Press, 1992.

[44] Fradkin E.S., Vilkovisky G.A. Quantization of relativistic systems with constraints // Phys. Lett. В.- 1975.- Vol. 55, N 2.- P. 224-226.

[45] Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Relativistic ^-matrix of dynamical systems with boson and fermion constraints // Phys. Lett. B.-1977.- Vol. 69, N 3.- P. 309-312.

[46] Fradkin E.S., Fradkina Т.Е. Quantization of relativistic systems with boson and fermion first- and second-class constraints // Phys. Lett. В.- 1978.- Vol. 72, N 3.- P. 343-348.

[47] Henneaux M. Hamiltonian form of the path integral for theories with a gauge freedom // Phys. Rep.- 1985.- Vol. 126, N 1.- P. 1-66.

[48] Batalin I. A., Fradkin E.S. Operatorial quantization of dynamical systems subject to constraints. A further study of the construction // Ann. Inst. Henri Poincare,- 1988.- Vol. 49, N 2.- P. 145-214.

[49] Batalin I.A., Fradkin E.S. Operator Quantization and Abelization of Dynamical Systems Subject to First-class Constraints // Riv. Nuovo Cim.- 1986.- Vol. 9, N 10.- P. 1-48.

[50] Batalin I.A., Lavrov P.M., Tyutin I.V. Covariant quantization of gauge theories in the framework extended BRST symmetry // J. Math.Phys.- 1990.- Vol. 31, N 6.- P. 1487 -1493.

[51] Becchi C., Rouet A., Stora R. Renormalizaton of gauge theories // Ann. Phys.- 1976.- Vol. 98.- P. 287-321.

[52] Тютин И.В. Калибровочная инвариантность в теориях поля и статистической физике в операторной формулировке. - М.; 1975,- 56 с. (Препр./ФИАН: 39)

[53] Hwang S. Covariant quantization of the string in dimensions D < 26 using a Becchi-Rouet-Stora formulation // Phys. Rev. D.- 1983.- Vol. 28, N 10.- P. 2614-2620.

[54] Marnelius R. Canonical quantization of Polyakov's string in arbitrary dimensions // Nucl. Phys. В.- 1983.- Vol. 211.- P. 14

[55] Kato M., Ogawa K. Covariant quantization of string based on BRS invariance // Nucl. Phys. В.- 1983.- Vol. 212.- P. 443-460.

[56] Ohta N. Covariant quantization of superstrings based on Becchi-Rouet-Stora invariance // Phys. Rev. D.- 1986.- Vol. 33, N 6.-P. 1681-1691.

[57] Deser S., Zumino B. A complete action for the spinning string // Phus. Lett. B. - 1976.- Vol. 65.- P. 364

[58] Brink L., Di Vecchia P., Howe P. A locally supersymmetric and reparametrization invariant action for the spinning string // Ibid.- N 6.- P.471

[59] Кетов С.В. Действие для "обобщенной" суперструны с кручением // ТМФ.- 1986.- Т. 69. - С. 214-218

[60] Ketov S.V. Supersymmetric сг-models with torsion in supergravity background and critical dimensions for string theories // Class. Quantum Grav.- 1987.- Vol. 4, N 5.- P.1163

[61] It о M., Morozumi Т., Nojiri S., Uehara S. Covariant quantization of Neveu-Schwarz-Ramond model // Prog. Theor. Phys.- 1986.- Vol. 75.- P. 934.

[62] Das A., Maharana J., Roy S. BRST quantization of the superstring in background fields // Phys. Rev. D.- 1989.- Vol. 40, N 12.- P. 4037-4046.

[63] Das A., Maharana J., Roy S. The Neveu-Schwarz-Ramond string in background fields: Nilpotency of BRST charge.- N.Y., 1989.27 p.- (Preprint /Univ. of Rochester, ER 13065-567).

[64] Fubini S., Maharana J., Roncadelli M., Veneziano G. Quantum constraint algebra for an interacting superstring // Nucl. Phys. B.- 1989.- Vol. 316.- P. 36-58.

[65] Akhoury R., Okada Y. String in curved space-time: Virasoro algebra in the classical and quantum gravity.- Ann Arbor, 1986.54 p.- (Preprint /UM TH 86-8).

[66] Akhoury R., Okada Y. Unitarity constraints for string propagation in the presence of background fields // Phys. Lett. B.- 1987.- Vol. 183, N 1.- P. 65-70.

[67] Das A., Roy S. Nilpotency of Qbrst and background field equations // Z. Phys. C.- 1987.- Vol. 36.- P. 317-322.

[68] Maharana J., Veneziano G. Strings in a background: A BRS hamiltonian approach // Nucl. Phys. B.- 1987.- Vol. 283.- P. 126-140.

[69] Das A., Maharana J., Roy S. BRST quantization of the superstring in background fields // Phys. Rev. D.- 1989.- Vol. 40, N 12.- P. 4037-4046.

[70] Das A., Maharana J., Roy S. The Neveu-Schwarz-Ramond string in background fields: Nilpotency of BRST charge.- N.Y., 1989.27 p.- (Preprint /Univ. of Rochester, ER 13065-567).

[71] Diakonou M., Farakos K., Kontsoumbas G., Papantonopoulos E. Hamiltonian formulation and quantum constraint algebra for a closed string moving in a curved background // Phys. Lett. B.- 1990.- Vol. 247, N 2-3.- P. 273-279.

[72] Diakonou M., Farakos K., Kontsoumbas G., Papantonopoulos E. Quantum constraint algebra for a closed bosonic string in a gravitational and dilaton background // Phys. Lett. B.- 1990.-Vol. 240, N 3-4.- P. 351-355.

[73] Buchbinder I.L., Fradkin E.S., Lyakhovich S.L., Pershin V.D. Generalized canonical quantization of bosonic string in background fields // Int. J. Mod. Phys. A.- 1991.- Vol. 6, N 7.- P. 1211-1231.

[74] Buchbinder I.L., Krykhtin V.A., Pershin V.D. Massive fields dynamics in open string theory // Physics Letters B. - 1995. - Vol. 348. - P. 63-69.

[75] Buchbinder I.L., Pershin V.D., Toder G.V. On a gauge invariant quantum formulation for non-gauge classical theory // Mod. Phys. Lett. A.- 1996.- Vol. 11.- P. 1589.

[76] Buchbinder I.L., Pershin V.D., Toder G.V. Canonical approach to string theory in massive background fields // Class. Q. Grav.-1997.- Vol. 14.- P. 589.

[77] Бухбиндер И.Jl., Крыхтин В.А., Першин В.Д. Открытая бо-зонная струна в массивных фоновых полях // Ядерная физика. - 1996.- т. 59, N 2. - с. 352-359.

[78] Batalin I.A., Lyakhovich S.L. Generalized canonical quantization of nonstationary dynamical systems subject to constraints. Preprint N 19, Tomsk Scientific Centre SD AS USSR, 1989, P. 17.

[79] Березин Ф.А. Метод вторичного квантования.- М.: Наука, 1986.- 320 с.

[80] Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера.- М.: Изд-во МГУ, 1983.- 392 с.

[81] Polyakov A.M. Quantum geometry of the bosonic strings // Phys. Lett. В.- 1981.- Vol. 103, N 2.- P. 207-211.

[82] Friedan D., Martinec E., Shenker S. Conformal invariance, su-persymmetry and string theory // Nucl. Phys. В.- 1986.- Vol. 271.- P. 93-165.

[83] Tseytlin A.A. On the tachyonic terms in the string effective action // Phys. Lett. В.- 1991.- Vol.264, N 3-4.- P. 311-318.

[84] Banks T. The tachyon potential in string theory.- Piscataway, 1991.- 8 p.- (Preprint /RU-91-08).

[85] Hull C.M., Townsend P.K. Finiteness and conformal invariance in non-linear sigma models // Nucl. Phys. B.- 1986.- Vol. 274.-P. 349-362.

[86] Schwarz J.H. Faddev-Popov ghosts and BRS symmetry in string theories // Suppl. Prog. Theor. Phys.- 1986.- Vol. 86.- P. 70.

[87] Fujiwara T., Igarashi Y., Kubo J. Anomaly in the Schrodinger reprezentation of QFT // Nucl. Phys. B.- 1992.- Vol. 387, P. 447-467

[88] Fujiwara T., Igarashi Y., Kubo J., Tabei T. Virasoro anomaly, trace anomaly and the Lioville action for 2D gravity // Phys. Lett. B.- 1994.- Vol. 336, P. 157-162

[89] Fujiwara T., Igarashi Y., Kubo J., Maeda K. A new insight into BRST anomalies in string theory // Nucl. Phys. B.- 1993.- Vol. 391.- P. 211-228.

[90] Fujiwara T., Igarashi Y., Koseki M., Kuriki R., Tabei T. New insight into BRST anomalies in superstring theory // Nucl. Phys. B.- 1994.- Vol. 425.- P. 289

[91] Marnelius R. Anomalous BRST quantization // Nucl. Phys. B.-1987.- Vol. 294.- P. 685-699.

[92] Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Feyman rules for reducible gauge theories // Phys. Lett. B.- 1983.- Vol. 120.- P. 166-170.

[93] Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Quantization of gauge theories with linearly dependent generators // Phys. Rev. D.- 1983.- Vol. 28, N 10.- P. 2567-2582.

[94] Brandt F., Barnich G., Henneaux M. Local BRST cohomology in Enstain-Yang-Mills theory // Nucl. Phys. B.- 1995.- Vol. 455,-P. 357.

[95] Brandt F., Barnich G., Henneaux M. Local BRST cohomology in antifield formalism: I. General theorems // Comm. Math. Phys.- 1995.- Vol. 174.- P. 57.

[96] Brandt F., Barnich G., Henneaux M. Local BRST cohomology in antifield formalism: II. Application to Yang-Mills theory // Comm. Math. Phys.- 1995.- Vol. 174.- P. 93.

[97] Blaga P.A., Tataru L., Vancea I.V. BRST cohomology for 2D gravity // Rom. J. Phys.- 1995.- Vol. 40.- P. 773.

[98] Brandt F., Troost W., Van Proeyen A. The BRST-antibracket cohomology of 2d gravity conformally coupled to scalar matter // Nucl. Phys. B.- 1996.- Vol. 464.- P. 353.

[99] Brandt F., Troost W., Van Proeyen A. Background charges and consistent continuous deformation of 2d gravity theories // Phys. Lett. B.- 1996.- Vol. 374.- P. 31-36.

[100] Brandt F., Paris J. On determination of anomalis in supersymmetric theories // Phys. Rev. D.- 1997.- Vol. 55.- P. 2398.

[101] Bandelloni G., Lazzarini S. Diffeomorphism cohomology in Beltrami parametrization II: The 1-forms //J. Math. Phys.-1995.- Vol. 36.- P. 1.

[102] Werneck de Olivera M., Schweda M., Sorella S.P. Supersymmetric structure of the bosonic string theory in Beltrami parametrization // Phys. Lett. В.- 1993.- Vol. 315.- P. 93.

[103] Dragon N. BRS Symmetry and Cohomology. - (hep-th/9602163)

[104] Brandt F., Gomis J., Simon J. Cohomological analysis of bosonic D - strings. - (hep-th/9712125)

[105] Buchbinder I.L., Mistchuk B.R., Pershin V.D. BRST-BFV analisys of anomalies in bosonic string theory interacting with background gravitational field // Phys. Lett. В.- 1995.- Vol. 353, P. 457-462.

[106] Бухбиндер И.JI., Бухбиндер Е.И., Мищук Б.Р., Першин В.Д. Структура аномалии при каноническом квантовании бозонной струны в фоновых полях // ТМФ.- 1996.- том 108, N 2, с. 294-305.

[107] Buchbinder I.L., Mistchuk B.R., Pershin V.D. General quantization anomaly in bosonic string theory interacting with backgraund gravitational field// Proceeding of the Third Workshop "Quantum Field Theory Under the Influence of

External Conditions", Edited by M. Bordag, B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart - Leipzig, 1996, p. 210-217

[108] Бухбиндер И.JI., Мищук Б.Р., Першин В.Д. Канонический анализ квантовой теории бозонной струны в безмассовых фоновых полях // Ядерная физика.- 1997.- том 60, N 10, с. 18801887

[109] Бухбиндер Е.И., Мищук Б.Р. Вирасоровская аномалия в модели струны, взаимодействующей с фоновыми полями // Известия ВУЗов.Физика.- 1996.- N 9, с. 223-226

[110] Mistchuk B.R. Canonical quantization bosonic string theory in massless background fields // Квантовая теория поля и гравитация: Труды второй международной конференции / Под редакцией И.Л. Бухбиндера, К.Е. Осетрина, - Томск; Томский государственный педагогический университет, 1998.