Аппроксимация функций двух переменных полиномами С.Н.Берштейна тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Ипатов А.Ф.

• Ипатов А.Ф.
• 1949

Оглавление диссертации Ипатов А.Ф.

оглавление

Стр.

ВВЕДЕН % Е -

§ 1о Состояние вопросз: 2 ,

§ 2. Цостзновкз звдзчи

Глав э п е р в в я ..:

Подготовительный матершш

§ I Шрвон'зчэлыйаз полинёш. Ш. оценки и плотность •

распределения«

§ 2 Оценки сушл первойзцэлышх полшшов

§ 3 Связь производных с 'кекечншЕ разностями. Оценки

■суш производная от первоначальных полиномов

..§ 4 Об одного свойстве &юдуля непрерывности

Г л зв э втор ея

Полиномы С.Н^Еернштейнэ напрвшвнкх функций двух пеш~ тленных

§ I. Поведение Д*^ - <в точках периметра квэдрета

§ 1-э Сходагость^лК.. 4- ' во внутренних точках: недри-.

рывностиу

§ 2с Сходимость дифшзвенщровзнных полиномов С.Н.Ееш-

штеикз '

§ 3. Оценке погрешности приближения . ,

§ 4. Интегральное поедетэвлэние дка, и вторые докззётель-

ствз теорем об~ сценках погрешности '

Глэвз третья

Полин ош С.Н.-Бернштейна произвольней ограниченной функции

§ I. Скелет«. При^ерн разрывных скелетов

§ 2. Полиномы Еепнштейна произвольных огшыкчешкх

скелетов * ..■ ;• " '

§ 3. Клзсс скелетов/Лормзлизовзнное рос.пшрвние скеле-

. та клзссз ./

§ 4. Теорему сходимости полшшов Еернштейнз скелетов

. класса д

§ 5. Некоторые теоремы "сходимости для

Главка чет ..в е р т з я- -

Полиномы СЛ.ЕёрнштеЭнз в точке /¿-стороннего возривз

г.родв , ■ ' ' ■ ■ ■ '

§ Л, Нормэлизовзнное, расширение екеяетэ в точке-^-сто-

роинего разрыва:' ^

§ 2. Обобщение теорем II,, 13, 14

йзпользов энная литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимация функций двух переменных полиномами С.Н.Берштейна»

введение

§1. состояние вопроса, • • полиномы

(а) Я„('/;/)ftt) и, ; •'

где'

и /(/) «о кред j3 леиная на сегменте а о функция, введены В математику . в 1912 году о сюда. тел ем нэнс тру кфивюй теории функций акад.сергееш наташ бичей нернпшзйшм „ отличаясь исключите ДЬЮ Й просто ¡¡о и юнеаерукции.юлйвэмы (а) б ш he.bps. мя обладаю!!! мшгочйсленнши замечательными свойствами. .0 иираясь на нею 2d рыб из этих сшйств,с.н. берншмн .дал гдуюю . оригинальнее и шесте изящвэе и ясюб доказательство фундаментальн5й. твэршз к.векерштрасса (1885), утвер2щающеи ,чзю всякая еедрерзвная на нею то ром сегменте функция может быть представлена в виде предела разюмерю сходящееся на нем. ¿осдедовательшсти юяиюшв ияй.ч'ю то .не, в виде суммы равнжерю сходящегося ряда ц0лигомов-.

с.н.бернштеян ¡ОКАЗАЛ »что если >j/f/) heiipepbbha ш

а" ' . то равнзйеря) отшситедью всех j<sf^/]

яервоначаяью щ) дишш бернштейна связывались с непрерывным и .функциями, ю «о рма их о казалась нас то лью uepciiekthbïm ,чю •ее удадось ^исахж) бить и к приближению довольш широких классов функций разрывных . так,

л • в. кане) го вич юказал/^у ,42d долиыош €0 ш берншияна : "

( Е ' А (/;/)= I \ [ffo*

__

* ) цифры в/" 7 с sha4m)t ссылки на сшсо к литературы, ш мб-■ ¡ценный в конце,

ГДб /^/-uSO и 32d льная ' сушяруешш на /^//функция, а

( *>

//■, fJL Ж- )

-интегральная средняя /а/ в (tv-'é^z/o б|[адаюе свойством,

42d е°

вс всех точках лебега ' функции 2!.в.. шчти везде на

а^/ ; 10 чн) также 1с лишмы «зорин вер ножей на

Л ■ г г- 7 ,

G'ffíf;j)-2; '^ísj/77./7С ¡IfáJ^J

(В)

А /

где /f/j-любая измеримая на/4 функция ,а

/7* /

-метрическая средняя i в к ^ ^у хаю вы, 43d

/......- 7

во всех точках шдоксша2ивюв нвирерывш с 2й функции \ т.е. ¡также х£чтй везде на

таким образом с шшщью шдифюв ббрнштейна (а) и указанных д.в.кан1ср0вичем обобщений их {б)л (в) в/шляш о б" eme оказалось звэвь до казани) к зжрема фрешз (1906) о юм,что úpoйзбодьная язесершая функция ьюиет быть йевд*' ставлена в виде ¿¿редела Л) ЧТИ везде сходящейся i£> след) ватеяьшсти U) ЛЙШхС в. эээ О бсго ятеяьс тя) осою змечаезлыю а?ей,чю как. tedpeiáa фр2ше,2ак и частшйев случж-tbdpffiia ве/герш2расса,УТВЕРЖДАЯ факт существования приближающих ш-ли-нрюв, ' не . дают сшсо ба их /¿остроения зффективю. заметим еще,420 шэлиюмы (в) ..оказываются сходящимися к ¿h не

-4'- - г

ТОИЬЮ В 20ЧКАХ АШаЮКСДОАТИВВЭЙ ЕВ HEiiPEPHBH* С .Е. ТАКИХ,В

КОТОРЫХ ДЕЛАЕТСЯ ИЗМЕРИВШИ № УДАЛЕНИЙ ИЗ ШЭМВКУТКА BE

ЗАДАНИЯ ООЯЖУШЮСТИ .ИДО Тф С2Й НУЛЬ В ДАННЭЙ ТОЧКЕ .ОНИ СЖ)ДЯТ(Я

В. КАВДЭй ТОЧКЕ, В Ю ТОГОЙ /¿^/СТАНОВИТСЯ НБиРЕРНВНЖ Ш . УДАЛЕНИЙ

1 . _ _

СОШКУиЮСТИ,ИВ1ЕВДШ iiJpTHDCTb МЕНЬШУЮ в Э2&Й 2D ЧКЕ. КЛАСС ТАКИХ у ©ЧЕК ШИРЕ КЛАССА 2D ЧЕК .. АГШОКСИМА'ШВШ£ - НЕиРЕРВВЮСТй*

В СВЯЗИ С , ЗАМЕЧЕННЫЙ НЕ ББЗИНТЕРЕСЮ СРАВНИТЬ ¡00 ДЕСС иРИЕДИНЕНИЯ ДАНЮЕ/^УС а£)Ш-ЩЬЮ ЧЮМЮШЗ (А) С ДРУГИМ,КАК И мк ДЕСООМ, iC.QTm ЕННШ НА : РАВНО С ТО ЯЩКХ АБСЦИССАХ-С -¿¿PD ЦЕОСОМ НЬЮ©

ТОНА.НЬЮТОЮВ иГОЦЕСС М)ЖБТ ОКАЗАТЬСЯ РАСХОДЯЩИМСЯ В КАВДЮй: ИЗ

! \

ЬРОМЕКУТЮВ . МЕДЦУ( . УЗЛАМИ УЖЕ ДЛЯ НЕЙРЕРЬШНЗЙ ®УНКЦЩ,ВСЛИ ЭТА • ФУНКЦИЯ ИМЕЕТ . ПРОСТЫЕ УГЛОВЫЕ ,ЗОЧКИ.2ШЗЦЕСС ПРИБЛИЖЕНИЯ ¿ЮЛЯФ-МАШ (А), БЕРНШЖНА СХОДЯТСЯ- НА. СЕЩЕНТЕ М<7 ДЛЯ . КАКОЙ УГОДФ ЕВ иРЕРЫВЮ й НА . НЕМ . ФУНКЦИИ1" , РАВФМЕРЮ .

/10 ЛУЧЕННЫЕ ЖЕ Л.В^КАНТ0В5ВИЧЕМ В РЕЗУЛЬТАТЕ ВВЕДЕНИЯ В . SOPay (А) ВМЕСТО ЗНАЧЕНИЙ В ЗЕЧКАХ i УСРЕДНЕННЫХ ■ ЕЕ . ЗНАЧЕ-

НИЙ <И 4 < ; АОЛИЮМЫ (Б)И(В) ОКАЗЫВАЮТСЯ ТАКШ1И,ЧТС ДЛЯ ИХ СХОДИМО СТИ НЕТ НЕО ЕХО ДйШСТй,ЧТО БЫ В РАС(ЖАТРИВАШ>й ТОЧКЕ / -"' шла НЕПРЕРЫВНА в .КЛАССИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ.Д>СТАЯОЧФ,Ч!Е)Ш В ЭТОЙ ЮЧКЕ О НА ШЛА - HEiiPEPbiBHA ОТФСЙТЕЛЬФ ООВОКУ*ШОСТИ С пДОТ-. .ЮСТЬЮ 1. ДЛЯ . СХОДИМОСТИ ПО ЯИШМОВ )В) ,КАК V ЗЛО . СЛЕДУЕТ ИЗ СКА* , ЗА НЮ П) ВЫШЕ, ДО СТАД) ЧШ ДАЖЕ, ЧТО БЫ ШЛА НЕПРЕРЫВНА. ОТФ-

СИ'ГЕЛЬЮ СО ВО КУиШ С ТИ ».ИМЕЮЩЕЙ В РАССМАТРИВАЕМОЙ . ТОЧКЕ пДО ТШ ОЗЬ ЛИШЬ ЮЛЫПУЮ g- «ЗДЕСЬ СКАЗЫВАЕТСЯ НЕИМУЩЕСТВО ПЕРВОНАЧАЛЬНЫХ -¿одйююв „• ,

. ИСU).ЛЬ30ВАННЫХ С.Н.БЕРНШЖШШ,ЙЕРЕД ФАКФОРИАЛЬНШШ /Ц> ЛИЮ НАМИ

£

юторымй /шльговаяся ншюн.

аюлишмы с.н.бернштезна явились ¿грдашяэм интенсивных . исследования как у нас,тан й за рубежш,и к настоящему времени теория . этих . шлеюшов разработана нас® лью .. деталью , ..о бнаружеш я) дичестю замечательных их свойств,что •

они с полным о снз.ванйем ю гут с.читаься классическими, . ^речйсдш ссювшш из № лученных результатов.. ряд важных иреддония связан с осювнзй «орйзой (а), ю то рая (как уже о тшечайо сь) ¿дирбо начально связывалась с непрерывными функциями. ирй различных нениях о тн) си тецью ашоксшя-

руейои функции {у/ на2деш .оценки ¿¿рвджешя.

/ ■ ■

е.в.юрошвсюймнаиден асшищ тический вид . ¿¿ри б лишения г . 4° Я [¿М-Яр, (//*/]<=-

\( требуется сущестнхвание ю нечю.51) .

т.ш/^вичиу устаю вия- ,420 если ' 1&/ ие1*рбрывна на/4'</

.20

^о(й) -шдудь неарешвюсти /:'>'/ ). в

если {(/] удовлетворяет в/^условию лйхлшца ./я)рядка -л ,

/ .

20 из оценки /тШ'ШШУ вытекает:

¿¡оряд)к приближения 6° составляет содержание твореш м.каца [$],. нец) средственш е доказательство .320е шследней ^ибедэ ■ м.кац2& к'лучшей юнстанте,чем 2а,ют0рая получается из б° вмес'ю ^/ ).

■ для доказательства 6° м.кац ьредставид ¿0лиюмы еерн-штейна , в виде

. fil'

ГДЕ % / -СЛЕЦИАДЬЮ ДДЯ д.Ш ЦЕЛИ ДОСТРОЕННАЯ . СИС!£ША ФУНКЦИИ ,0 РЖ>т НАДЬНЫХ ■. НА & 4] ,

РЕЗУЛЬТАТЫ М.КАЦА . И Т.ЦШЭВИЧИУ CHD Б А» И &РЙ2ВЙ' ЧРЕЗВЫЧАЕН) ШО С ТО ,Д) ДУЧЕНЫ - Й.^.НАШАНСОШИ [4] . В 1944 Г. МЕ!ЮД - НАТАНШ НА

ПРИВОДИТ К ЗОН,, ЖЕ САВДЙ УЛУЧШЕНИЕ ЮНСТАНТЕ,Ч;Ю И ШЕ-

ЮД . М.КАЦА.-Д) КАЗАН),ЧТО :

а ) РАБШ МЕРЮ О ТНЭ СИТЕДЪШ - ВСЕХ ЕСЛИ fV/)- ШИШВЫВЖ/^ б

.(И.ХЛАДОВСКИЙ ,.[зК С.ВИГЕРТ 1131 >и

б.)ДРИ ЕДИНСТВЕННОМ УСЛОВИИ ЧТО;'% В РАС(ЖАТРИВАЕШ & ЛОЧКЕ СУЩЕСТВУЕТ (Г.]рРЕНЦ '5).

ГЕРЦ) Г И ХИЛЛ Гг]. ДАЛИ, №Д)БЫ)Б ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНЭВШП «О ЕИЫ (А) И ДЛЯ СЛУЧАЯ ОГРАНИЧЕННЫХ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИИ////, ЗА ОТДРАВНШ ДДЯ НИХ /40СДУЖЙЛ ТО Т ОЧЕВИДНА ФАК2}.,Ч1Ю /¿ОЯИШШ БЕРНШТЕИНА 0ДН)ЗНАЧШ; О ЩЗДЗ ЛЕНЫ, ЕС ЛИ ЗАДАН "СКЕЛЕТ"-ФУНКЦИЯ

о 1ДРБЩЕ ЛЕННАЯ. ЛИШЬ ДДЯ РАЦИО НАЛЬНЫХ , ЗНАЧЕНИЙ АРГШЕНТА ? ИЗ ¡0 ,1 J . ФРЕЙДЕ ВСЕГО , • ГЕРЦ)Г й ХИЛЛ УСТАНАВЛИВАЮТ ТЕ-0 РЕМУ а ЛЯ ¿ЕОИЗВОЛЫЮГС ОГРАНИЧЕННОГО СКЕЛЕТА СйРАВВДИВЫ

неравенства

за тем, выделив из ^сенжуаюстй всех ограниченных скелетов тот их класс $ , для КАВДОГО из шзбрых . существует ¿¿ре-деды 5

они дошлняют. эти скелеты до функции .определенных . во .всех

точках о д равенством

а названных- ши юрмадизобанншш их расширениями.

шсле э20ю юназывается, что если свде№ г 9о /ю лиюш í сходятся к 7/;--'^/ s

10° .если непрерывна -на ,сходимость эта, равшмбр-

на на. . -v^: ......и. ; .

1х°есля шаязб и сквда ' pfthS /Я f/;/#/= S^ífj/^

ШГДА а ГОЛЬЮ ÏÏD ГДА,ЕСЛИ ;fhi- lf//y/í>¿ ЛИШЬ В ЮНЕЧНШ чяс НЕ ТОЧЕК »Т.Е., ВС ЛИ СКВ ЛЕШ ff^VL f/V. 4 ЭКВИВАЛЕНТНЫ".

если же//^данный ограниченный скблбт,де ¡^рииадлеяапш

S ,то для сходивссхи функций ^/,нш1РБрывнЖ или ивое

той разрывши, везде или даже ш>чти везде на |0>1/ , .

ню бх0 диш, что ш

■ • ' ' ■

если для данного ограниченного скелета/fe/в ^существует

• ^

скелет удовлетворяюще! усяовйш

// '

13

ас

\ of*/,-/?-

m, ЭТО УС JP ВНЕ ДОСТАТОЧНО ДЛЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ^ДШСДЕДО ЗАТЕЖ: Ш с (fe^CXC ДЯЩ&ТСЯ /¿О ЧТИ ВЕЗДЕ

УАЛО ВЙЕ КЕ • „

14о 2,/ftti-rwhomi,

достаточно уже . ДЛЯ СВОДИМО с1'и BCB&í шследзватеяьюстй/^} К равномерно на •

С ОЮБЩБНШЙ 4D.PH0& (Б) СВЯЗАН РЯД ДАЛЬНЕЙШИХ PE3yji¿-TA3DB Г. АРЕНДА 5;.

10° ИЗ ТЕОРЕМЫ 7° СЮ ЗА ВЫВОДИТСЯ СХОДШОСТЬ СЙНГУЛЯРШГС ИНТЕГРАЛА tPff ff/У J Д. В. КАНТОРОВИЧА К Г X' В ТО Ч КАХ •' ; ЛЕБЕГА î УСТАНАВЛИВАЕТСЯ РАВЕНСТВО S®. .

16° ДОКАЗЫВАЕМЯ^ЧЗС- О®-СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ (1 iß РЯДКА).

17°НА ЭТОМ ОСНОВАНИИ УСТАНАВЛИВАЮТСЯ НВОЕХОДШЫЕ И ДОС-

'У

ТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЮМПАКТНОСТИ -МНОЖЕСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ.

ДАЛЕЕ Г.ДОРЕНЦ РАССМАТРИВАЕТ . ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕН-ЮЙ ВАРИАЦИИ • И АБСО ЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ.

.18°ДО НАЗЫВАЕТСЯ,... ФУНКЦИЯ^/ТОГДА И ТО ЛЬЮ . ТОГДА О ГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ,ЕС ЛИ ЕЕ ШЛИШШ БЕРНШТЕЙНА ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ В СОВОКУПНОСТИ.

ЕС ли, ДАЛЕЕ,/А7/ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ,©

.19

о

ГДЕ V,-"ИСТИННАЯ ¿ОЛНДЯ ..ВАРИАЦИЯ^/. . 20°И, НАЮ НЕЦ,УСТАНАВЛИВАЕТСЯ»ЧТО ФУНКЦИЯ /'V'" ТОГДА И 30 ЛЬЮ ТОГДА АБСОЛЮТ® НЕПРЕРЫВНА,ЕСДИ ЕЕ ^ДИНЭШ БЕРНВПЕЙНАСХО^ ..ДЯТСЯ Ц> ВАРИАЦИИ. ЛОРЕНЦУ ПРИНАДЛЕЖИТ »КРОМЕ, ПЕРЕЧИСЛЕННЫХ, ЕШЕ РЯД РЕЗУДЬТАТО В,КАСАЮЩИХСЯ Ш ЛИНОЮ В: ФО РШ ЕЕРНШТЕЙНА( В) ПРИВЕДЕННЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ, РЕЗУЛЬТАТ В НЕ ПРЕТЕНДУЕТ НА ИСЧЕР-ШВАШУЮ 10ДНОТУ .ТАК,В НЕМ НЕ НАШДО ОТРАЖЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ Й. Н. ХЛАД) ВСЮ ГО .»ОПУБДИЮ ВАННОЕ В Рхн^м* ¿V ^

§2 Ц) С ТАЮ ВКА ЗАДАЧИ. В ПРЕДЛАГАЕМОЙ. РАЮ ТВ .ДЕЛАЕТСЯ 'ЮШТКА РАССМОТРЕНИЯ ПРОЦЕССА, А, и ЛО КСИЫИРШЦЕГО . ФУНКЦИЮ СРЕДСТВОМ ШДИЮЮ В

-д. -'¿'(гг/Ш 7/П/^/ /кр-м ¡У

у*=, Р //= о!

пояаномы (1). ВСТРОЕНЫ О..ЮШВДО 9УШЩШ0//ю ШОМУ ЖЕ ПРАВИЛУ, Ч'Ю И АХЗЯИЮМЫ (А). С. ШЮЩЬЮ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО И 4) ЭТОМУ НАЗЫВАЮТСЯ ОНИ . ТАКЖЕ ШЛИЮМАКИ С.Н.БЕРНШГЕЁНА

.функции

/ ^

еа протяжении всей раю ты будет пред^ лататься,что определена и, как ¿л>ави ДО , ю нечна в казд)й [точке двумерю гс сегмента 4 .

если процесс рассматривается во внутренней ©чке я (¿ф квадрата,то все остальные его ючки будут разбиваться ПО четырем ('¿о нюеюдишси! открытии) двумерным ¿ромежутгоы:

.(2) О*-*'*

///

о пределе н и в 1.веди существует четыре таких числа

всяюму <*><?мэгут шть со&510ставлены столь малые л, ^ ,что

'я-^ШЬе для' всех

/с с 2 /

для ВСЕХ * А, +

г ¿ъ ~Г V' «

X* -и., < ос . ¿„ м. < < а

(з) всех

<£ дда всех [уу] е л'}- л0 < л то точку л назовем точюй- р а эры в а 1 рода.

точки разрыва,не являющиеся точками разрыва 1 года, назовем ¡точками раз рывав рода. два числа

суть скачки в если то Р будет точкой не-

/ о

ирерывюсти ^/у ; ес ди ^ у то делается

/ ^ •• - НЕ-

ПРЕРЫВНОЙ В Ро В РЕЗУЛЬТАТЕ ИЗМЕНЕНИЯ ОДЮГО ЛИШЬ /Ш И

% в этом случае назовем точной и с правимо г- с

разрыва.

о п р е д е пение 2.

если среди чисел ■■?/■<-*/'/ существует одно »два,три,четыре не разных ; ('•• /,то ро на ф нем ооо тветствеюю одно-двух-трех или четырехстороннее зючюя разрьша 1. рода.^г.р i] опреде-лвниез.

функцию, не имеющую иных разрывов, кроме разрывов 1 рода назовш iipocudh разрывши функциеи.

при рас сш трении ■ нею то рых во про со в нет ню его дне© с ти; чтобы была задана .-в каждой точке квадрата £ :

достаточю считать,что она отделена на совэкупюсти 'r то лью рацио нальных то чек л? 7 * ^ & ^ j.

если hf,'k) мя^ш на может сказаться как то чю к непрерывности , так и точюи т01тг или иного вцца разрыва о т-ю си те лью а-.

условия (3) ,0пределящие точку разрыва 1 юда»югу: быть выражены и так:

в Л у не существует ни одн)й ПО след) в ate лью сти

ь'/с у, таю и. ,450 с-/*, ^ ' ~

для ююкж не шело ш места равенство

- 'и* ^J'/f )— LY /i, $ i/Jt

точка разрыва 2 рода характеризуется тем,что среди : все-в0 3ж)жных щ) след) вате лью с тег точек, сходящихся к /^имеется хотя ш одна такая,для ютрой нарушается (4) -.существует такие сц) со бы стремления д- к-?, 450 или / u-f/ стремится к пределу .отличному от / < ' •< ? и ли вообще не стремится к определенному пределу,а юлевдется.

в несюдью ооо юм хс до кении будут находиться преде-

ОДНОСТОРОННИЕ РАоРшз I РОДА

иг

^исправимый, четйрехстороннии

лы. БЗЯ1ШЕ ВДОЛЬ ПО С ЛЕД) ВАТЕ ЛЬЮ СТЕИ РАЦЮ НАЛЬНЫХ 3D ЧЕК (^СТОРОН Q . ИХ УД) БШ НАЗВАТЬ ИРБЩВЛОЫ СЛЕВА, КРЕД-еяош С ЯР A3 А, ПРЕДЕЛОМ СВЕРХУ, ПРЕДЕЛОМ 'СНИЗУ И ПИСАТЬ

о стальюй ш>дго 20взтельнш материал,ню вводимый для трех о сювных глав 7 рас сю трим в главе j.

teijspb задачи раю ты йюгут быть свсрм улик) ваны точнее. первую грушку задач свяжш с точное. непрерывно сти аппроксимируемой функции. следует выяснить особенности ПО ведения пояжюшв (1) отдельно в точках вершин,tdчках сшсрон,и ю внутренних 3d чках квадрата. второй задачей эм ' груйш ставится юпюс (шшдо&ш о 20ашвшх анадо гах одю-мерных тюрем о производных ст двумерных /¿скйюйов с.н.. бернштейна. дальше будет рас с ш трен вопрос об оценках приближения для функции,о бладащих теме или иными струк-турю -дифференциальными - сю ёстбами, аналогичными сдю мерному случаю.

перечисленные юпнзсы будет рассмотрены в главе вто во и. ■ четверюй задачей . ставится выяснение /шведения ПО лиюш в (1) „связанных слшоизюльюи ограниченной функцией. с этой целью естественю PACiiBOстранить на двумерный случаи йовятия скелета ' и юшали30ванного ел) расширения. , на основе этих ' юнятий надлежит выяснить границы ю jteba-ния и влияние разрывных свойств скелета на шоведение

особый 'интерес представляет собой процесс в точке то -го «или иного вида разрыва 1 вода. это рассматривается в главе третьей.

ш10и : задачей ставится рассмотрение ^цесса ¿приближения в - сторонней 20чке разрыва 1 рода "т.е. таюи,югда

о обделенные дредблы существуют изнутри не четырех

квадрантов (£),а изнутри ^ равных. или различных нввду совою угзр в,образуемых лучаш,выхс дящи&щ из рассматриваем

точки..

эта задача рассматривается в главе четвертой'.

глав а 12 е р в, а я

мдгсэ&вйтепьный ттериад. чю-вы не шерывать зздожения осюзных воаюс&в раюты рассуздениями и выкдадшш, не шешщши иряйсло о тш ше~ нйя к деду, .-ус$аю.в№ здесь hed esd дшше о ценки и 5вж-. дества .

ад этом нам пе>тю вятся одаущав факты лннейшш

. случая?

• (•>.. . If -

п н

(7)

. ; (7s ОС 4 J,

" ■ у ^ ^ ^ с

ири ¿аоизводьтм S>o

■ ГТ7 ' ■

(8) ' t.

Гг)

8 lfx!>s

в чдсгюсти ,

J • ? ^^ у

( 8) • ф'.^-Г < 7tJ7 JЗАВИСНИ с г Ю НЕ ЗАВИСИТ (Ю) ^

и

(11) zf^mj^zy/^^^^ у

У- О

(1£) (b/~/lxj m зависит: от Лку/

V— о

<

я

ВСЕ ШЗРЕЧИСДЕННЫВ ШОТШШЕНИЯ; КВОЖВ (в) И (8), ДОКАЗАНЫ В ЯаТгл. BSD РАЯ. ОЦЕНКА (6) УСТАЮВЛЕНА В(б|. СТР.544;©ЦЕННА (8) - В И СТР 595.

§1 .¿ерюначдашв м№шть~ ш оценки и лр гшсгь

рас 13?еде леши » • " .

&ЛЙШШ

ююрые также вдш называть дорф началыши ? для кра5-ю ста речи , будш считать .. ^анадйшащйш тсчкаы (т?7 & вычисленные в точках с^/ вершин кйадра2а.; ош . равш 17 а в 50 чках его ою 20 н извращаются в /¿одиншы одного аргумента и о^вшюашся шряасш (6). я £ м м а 1 • всди 0<?с<*,

.(13) М < *

.указатель от.. йетсчшт о ценку < &) а вщщ

(б', £

ЗАШЗЧАШ с разу ,420 ни ПРИ. каше фжши / значений вы-РАЖЕНйЯ В ЙЙРВЫХ лряшах сговках не пРВВШАВШ ^г -

.да для всех /

<4 . '

о Т.- КУДА й- СЛЕДУЕТ (13); ✓ СЛЕДСТВИЕ'.'ЕСЛИ ^

ао

(" ('-^-//'тТА /"У ОДШ ВРШЕНШ ДВЦЫХ• £ В ШОЧИХ СЛУЧАЯХ

(14) "6

ОЦЕНКА ВИДА (6) УО^МВВЛЕНА в и£/ . ГЕРШЮЙ И ХЙ|ЩШ С йешщью «ошувы СТИРЛЙНГА ЧИСЛЕННЫЙ шюштель, к щ-^Указание: ^с»^« сочти везде будет опускаться.

зе

ЗОНШУ ШШЗДЙЗ?, МЕ©Д- , АМЕРИКАНЦЕВ, ХУ2Ш % ОН НЕ МЕНЯВ ^^ ОКАЗЫВАЕТСЯ, едаю>45©: Й УЕУЧШБННАЯ ЮНСГАН$А Л нв ЯВЛЯЕТСЯ ОН)ННАВДЬЮЙ .ОЦЕНКА (13) СОХРАНЯВ? СИД2Г (8À ЕДИН-СТВЕННЫМ BO SB©ЖНЫМ ИСКЛЮЧЕНИЕМ,т ГДА i^y ¿"/m : ЛЕН-

НЫХ МЮ ЖИТЕЛЕ »МЕНЬШИХ • ВЕРНА

s

л в м м а а. шгсть о < ^ < й, < / и -йюизво лью s /ходе-

ЖИТЕДЬЮЕ ЧИС]р »HD ТАЮ Б, ЧЗО Эда^С ¿ty " ; •

■ ...

ЧАСТИЧЮ. ИЛИ ЦЕЙШСМ ¿ПРИНАДЛЕЖИТ ЛВГДА^ЕСДИ -ВНЕШ-

НЯЯ К ЗАМКНУТАЯ ; ОБЛАСТЬ ИВ©

(laf) - ^ ^^

ДО KA3ATZЛЬСТЯ) .ЗАФИКСИРОВАВ "'М?// ?Ш САМШ ФИК-

СИРУЕМ ЭЛЛШф ( * ) СгОДУОСЯМИ

УТВЕРЖДЕНИЕ ДЕБШ СТАНОВИТСЯ ОЧВВВДНЙМ,ЕелЙ ЗАМЕТИТЬ,» на ОСНОВАНИИ (б5 ШБШ j Jj^t^IL (

(16) ^г í IT f 1 < 4 ' wy^f-'

.замечание. дрй Ш ЗРАОТАНИИ ^ ВСЕ Ш»Н> НАЧАДЬШВ /¿G ДИН} Ш стремятся к НУД©'. НАИЮда МЕДЛЕННО ИСЧЕЗАЕМ ВОЗШЕНЫй ИЗ НИХ для ,4; :В (16) УБЫВАНИЕ ¿правой • части. «го-

ИСХС дит TD ЛЬЮ ЗА СЧБ11 : Стбш2ИНЫХ МШ ЙИТБЛШ. ШСТЮ ТА ' ЙС-ЧЕЗАНИЯ ^МЕЭЮ bd ЗРАСТАЕТ ГШ МЕРЕ УДАЛЕНИЯ ТОЧКИ

tí' w от '-^'благодаря ¿2ришединешш к стеиенщш йшште2-

v ' — А1

лям fío казатвльюш фактора ^ ~ :ajpk закре«явниш эллипсе

ШЕСТЕ С ?ь Ж/КШЮ ГРАШЧЕНЮ ВЗРАСТАЕТ Ш Л( СЩЛй). О СО ББНН)' ЯРЮ РАЗЛИЧИЕ 3 ШСТЮТЕ ЙСЧЕЗАНИЯ ЛЕРО0О НАЧАЛЬНЫХ /ШЦИШШВ $ео явится. НИЖЕ,В (18) Й {19').

ЕСЛИ ЗАФИКСИРОВАТЬ, ДОСТАТОЧНО МАЛЫЕ Я И /,ТО: ВНУТРИ <300ТВЕТСТВУЩЕГО ЗЯйИиСА Ю ВСЯЮМ СЛУЧАЕ В СИЛЕ ■ ОЦЕНКА (13) И Ш) СЮ ДЬКУ ни о дин ВНУТРШИЙ ГШ ДОНОМ. НЕ лРШСЖДИТ / - ~ ^

!Д) ' тем юлее зоой ВЕСЮКЕЧЮ ЙА-ЯОЙ (ЯРИВЕЛИЧИНЫ ¡Ш-¿РЕ10 сходит разшсть. ¡¿щду ЛШБсМИ -ДВУМЯ'.V из НИХ:

¿1 ? И / : ДЕРЮ НАЧАЛЬНЫЕ -ШдаоШ^^/^^НУТРЕД-

ЦШ2 К ' ИСЧЕЗ А10ЩЕ ЙА|рЙ ОКРКСШСТИ ТОЧКИ /^Д/'СТРШЯТСЯ . К РАЙШ между. СОЮЮ - ЗНАЧЕНИЯМ .

у ,

для Последующего ваш© выяснить еще й характер распределения квадрату й &ри я,

йусть имеем нею 20 вое зэчечше множество

у/ Г <7) (ЪЛ'П

| и ¿ус1ь л --двумерный яидовяуяок с вершинами 3 точках

ЕСЛИ Л;... г^уОЕСзеача2т чйсдо ТОЧЕК МЮЯШСТВА^ ЯЕШШЕХ, 1 внутри л Ш> 'ВЕЛИЧИНУ

^-¿¿г* ^ ^^

/1о Я*-* <*°

¿©ею назвать №тшстью рассрзде-ления точек у^в 'хсчке^ку' так

РАС ЯСЛО ЖЕНЮ ГО НА КВАДРАТЕ • /Г-' ^ ^ ^ ^ - 4 у < ^ /,

1рженш.г0. (4ри - я,.,- < ъ ) на 20м ее квадрате

д|я ^ } , яри 2/-^ к-и'* йринадлежащего ь квад-

ра1у

7

Г")

в : саюм деле,в, . сяучае4'абсцйссы /у. ¿чек^лринадажада^шдчиневб

усювию

чя) для ооотвешсзувлнцих ^дае1

>

паи

- .....^ А/'/ //^/ ■

/V.

значит,чис]{0.., .вбличин;для . ю30нк < равю

с )

// у/'/-г?../'-

т .£. цеж> и части заключен» л0 % в/ числа. число ? : ооо тветствувдих

■.v ■'>*/ - .; ■ ■ - '.'■ . ; : . ■' . .. v ■ ■..■■, " ' 'v.. ' .

ординат равф ' '

в , случае мюжества^чисяа абсцисс и ординат его точек принадлежащих л .равны ( о и

/77 Л

в случаемом равны ш) и если ' [ ]■- стремятся

к самим

этим числам и, вез .труда шлучаются указанные выражения

- .За/уми • ч ■ ■■ . ■ ' .

из 'ц)следее1с Ц?МЕРА,ЧаЗС . Ч'..^:

при/7,ПЬ > ^ первоначальные -пхз линош т./'¿¿'/рас^еделяются я© • инэ;щади квадрата ^ > строго равжмерю. 7

§2 Л цеикк оуш лерво начальных :№ яиншв.

в:: сиду(7) ¿1ри ; всех 'у. и /к (17) ■

д е м м а з.есди о < ^сг, с о < ^ < ¿v, (><^сю дь угодю мали и -^мееуток < ^ч -4 410 йре дос та-

©чн) больших пугп

т ...

.(16) = 2 2, -.ууьь) <

(19) л

где ^шжзво.дью •

доказательств):.имеем , на . основании (8) и (9) ддя> «внешней»- сум» мы

-Г ' )/ ' 6 V (ч '

^ / А-', / ^ Т < —■ ' Ч , v

Ы''777* ^'1777* 7

\-н-.и\'°1, ¡Уй тЫ^Щ '

сю ль вы ни. быда мада есди . и /7'/ взять сто дь 1 водь-

шши,чтобы •

• 7 } '77 '

т:.е. взять

ш о кажется ( 4 (

■ ' ... • оценка (19) следует - теаеры. из (17) ♦ заметим ,чшэ (18) дегш

додучается с -ясшщью оценки (13), дейстштедьшу -сужа ./внешних

к , малому эллипсу: с ценном в и x лзо сякй (15)*яшнь1!1е

/

. л так, как .¿рй 32а величина шжет быть оде-

/

•лапа с юль угодю йа^^г

. доказаш1ые оценки ¿^рйшдят . к точным равенствам л е и' 1 а 4 .ьусть О < *> - < ;

44/, ,вдсмез!р'ткй( 2): лх м < 4? у $ ^ ■ ■

шжшгшк Л^ ?

•разбит на частные шо&ежуткй вида (й) v * < ,,«

X -/ ^ У /У /

ТО ГДА (20)

£ = 44 Р' Т

Л, '' • "

- ^

^ У*/— у.

Тг-'Ш^Д.-

/

Доказатедьсто» ¿ФВДЕЛЬЯАЯ ТЕОРЕМА. ТЕОРИИ ВЕРОЯТШСТЕ^

^2;м-- шi ^ // > ^ - •

./¿РИ 4о.дАВ!е

^ 1? (Ьг)'\ I - 4= 4

т) ■ *

А 1ак как <7> шве!. йес1с да всех Ж) И

х *с><> 1 ТС'

теперь ймеш.шыршйер,.

равенства (ш следуют из (18^ изо ГО ,ч!ю Т/и; М Т^

л в м м а 5'. пусть о<эс<4, о < ? < /^¿юизволью мало и ^ -круяок, с центром в ц?) .если квадрат ^л^ами . из /v//? разщть на 4г част©!//с центральными углами /"'л

/ ; ¿ — 4

и //-соо тветствующие кругсше секторы: то '•

^ ^ —/>■ "у ^ Т, 'v1 ^ /«^

■ .г — -с?-мл —-Л •—i /'/;•<-' .- /л«.л/;// ■—■ • V М __( *

.доказательство .СЮль Ш малы ни были зафиксированы- ?> о ' и ,для шомежутка л-1 со -сторонами ^¿с * v 2 ~

о кажемся в силе равенство (1 тем во лее оно . &4»аведлив0

для

обнаруженные выше ©акты: равенства йерво начальных -но лишмов, внутренних к - и равно мерю го их распределения (йри^^^)

$0 этому кружку,встествбнш приводят к гй10тезе:значение предела

сумщ, /10 .равное-1, распределится по лекторам ^строго

про я0.рцйо налью • величинам их йдощадей, т. е. распадается на части,равные

.^цен1рд'//не . входит ни в один из сектою в к каждому сектору йри числяется один из радиусо в^гранйц•

(24)

(25)

Ы)

(26)

равенство (24) СВОДИТ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ®РК1УЛН(26)К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ .(20 ).

¿ршем ' :'//'/ ЗА НАЧАЛО ВСЛ01Ю ГАТЕДЫСЙ СИСТЕМЫ ЮОРДИНАТ^^ ТОГДА,ИМЕЯ ВВИДУ. ЧТО НАРЯДУ. С(22) И(23)

(ъг*) 4 ^

WC?

At ' -

х М J

(ъуЧ e'fyv,

1ЕГЮ ЛУЧАЕМ _

nr :' ' 'top .

V— 0 rtJ— c t — -

I ?гГ

с T

far)"* S

О о

ЗТА <Ю РШУЛА ФИКСИРУЕТ СЛУЧАЙ "РАЗБИЕНИЯ"КВАДРАТА . ЛУЧЖИ ^=0, и ДАЕТ .СНОВА .(17.) И СООТВЕТСТВЕННА (25) .ЕСЛИ ЖЕ

ВХОДЯЩИЙ В <ЮШУЛУ ИНТЕГРАЛ ВЫЧИСЛЯЕТСЯ В дРЦДВДАХ ^ уу, 'Ч'с*/?с'Г- ЯV < 4 ТО ОНА ДАСТ (20) и СООТВЕТСТВЕН® (26)

' 7

ПРИЧЕМ ОКАЗЫВАЕТСЯ „

§3.СВЯЗЬ ПРОИЗВОДНЫХ С Ю ПЕЧНЫМ И РАЗЮСТЯШИ.ОЦЕНКИ .СУШ ПРОИЗВОДНЫХ СТ. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫХ ЮйИШМОВ.

1-Е м М А 6. ЕС ЛИ 4 ОПРЕДЕЛЕНА В (ОТКРЫТОЙ] ОБЛАСТИ и

Т.

ИМЕЕТ ВСЕВОЗШЖНЫЕ ЧАСТНЫЕ ШОЙЗВОДНЫЕ Д) 'J) -ГО ПО»

РЯДКА ВКЛЮЧИТБЛЬШ И СМЕШАННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ //^//-ГО ¿ХОРЯД-

• ■' . ■ е ' 1 .

К А, ПРИЧЕМ ВСЕ ЭТИ ДГОИЗВОДННЕ НЕПРЕРЫВНЫ вДзЭ РАВЮМЕР-

ю " в ¿д ■ ~ ■ '

( 27) -cit**-7--"vtt^—-----"' / 1■

4 ; АЛ-»* b/'Oif

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО О ГРАНИЧИМ УКАЗАНИЕМ КАНВЫ РАССУЖДЕНИЙ.

. ЗАФИКСИРОВАВ ВНУТРИ .^С' ПРОИЗВОЛЬНУЮ ТОЧКУ {<У>р) ВОЗЬМЕМ С ТО ЛЬ . МАДЫВ ..ЦрИрАЩЕНИЯ , А а/; АД ЧТО Ш ПРШЙО УГО льылк с • ВЕРШИЮй В Л/У и СаОЮНАМи/7^/ , И ПРИНАДЛЕЖАЛ Д

ЗАТЕМ , гЮ ЛЬ8УИСЬ , £Ш,ЧТО В, УСЛОВИЯХ.. ДШШЫ .. ЕСТЬ

О даДЕЛВНФ Е ..ЩСЛО., НЕ... ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ТОГО ПОРЯДКА, В КАФМ

ВЫЦ)ЛНЯЮТСЯ -ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ,4ЮИЗВЕДЕН , СНАЧАЛА ВСЕ/I диф-

ФЕРЕЫЦИРОВАНИИ ..ПО У И,ЗАМЕТИВ ,430 »КАК ФУНКЦИЯ '..

ОТ ■>*" ,НА ОТРЕЗКЕ - МЕЖДУ А'// И [¿-г/юУ, ?) УДОВЛЕТВОРЯЕТ „УСЛОВИЯМ

порядка л /18,102, , а затей(/?0сде .^-кратного ди^фврен-

; диро ваяй я /20./, ,-ТЕМ, ЧТО ;

ЬЩХАК ФУНКЦИЯ, .от :

на ; .отрезке"', между № црлл;

...УСЛОВИЯМ ПОРЯДКА ^ ,ШЛУЧАШ

;+. /фдэ ВЛЕ ТВО РЯЕТ

' ' и V ' Гп

<. /Т) у у/ <.

ОТКУДА, И СЛЕДУЕТ , (27);. ОТМЕТИМ ЕЩЕ,Ч!Ю

Го < < О <&;<

/ V

(28-)

Е М М А. 7. ЕСЛИ О < ^ < / И ^ -ДВУМЕРНЫЙ

ЯУТОК

ТО . 10РИ Л/^ДОСТАТОЧНО БОЛЬШИХ

шо мв-

(29)

(^ё)ёЛ'г

- 1/' / 1'и

<

(30)

ГДЕ ¿ФОИЗВОЛЬШ ■ МАЛА, (^НЕ ЗАВИСИТ от

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО., ЯОДЬЗУЯСЬ «ОР34УЯОЙ ЛЗ$БНИЦА,/ЗДУЯШа

' £

I- 7=о

,7

/

I

4

У

где (¿1 есть. ^олйшм .от Л »готсрый . зависит, толь-

V ......

ко ; .0 т .<7,// т этому

, и ... не зависит, о та и У , ¿фйчш 'У*

дл/5 ^ -V /^ / ¿/7/. . . у»

4 А//7/

<7

V/

( 32) " ' у ^ / ^

приступая к . доказательству ¿шрюй; оценки »заметим, ,410,,. из условия с<эсъ<4] <' следует /^'^/й, значит,в ви-

ду.. ( 32), ¿равая часты 31) не, ..древосходит

где

не зависит от /7,/?7;1//гг. ш льзуясь о ценной (.6) яриу у /¿о лучаем, как в лише 3,

-2; та„ (а) />/ <

//

Я*-"-/72/1+'

,стр.546. / /{ е

ЧА

шмг/: у

I. -гг

,#РИ 7}71 досшочво . больших ;г, йравая ,.часть , шкет , быть [ сделана меньше любого v. "

до казательство ,.- о ценки ( 30 ) начнем с усиления равенства (.31 )с ..ПОЮщью оценки (6)

/2717' т 7/

7у

V/ <

/ "

-

где. } через

-/17; 7, 7

У 7

ж

V / И

у,

'о /,

с'

обозначены независящие 05?

велйиины. так,

(33)

/а/

/ 1>7 / л.

'А7/

V

7^/7/7^7777^

и

(34) те «ерь /¿у

У

О , д =■'

у

7/77^777.,

> о.

г

(35)

, 7/ - (■

гЛ}

Г

/ ^

^ /

/

'С.У/,

'¿И-^ ¡7/7 7 ' л

/УГ ' ] ■ ■ ' 7и У7и

если полржнм

(36)

то. внутренняя двойная суша , в*зо) распространится на

такие '771) для но т:; рых далее,

и анадэгичю -»из

и. !юп) ,410 г*

(38)

с, ДОДОЦЬВ (37)й(за) неравенство (36) усилится в свою оче-

СЛЩУЕТ

0

редь д) следующего

/Г/ _

УУ < Л

с—I

А

( 35 )

3

V

ь I / ■

V

7/У/

? , /

-р / /

/ ■ &

гУ

у,

V/ /А

¡¡л 'Яп

если ^о тревовать,.ч2рш . нн>граниченшв 2 независимое ; друг от друга во звастание # и */>/ ^исходило. 2ак,чт0бы их , отношение ц остазалось,(йег не, заключенный. (между постоянными пределами:

д'<л < /]" и если . .. .

V

I

I

Ш К $ У

И > '/

то

(39)

Г£П

? J у;

теперь остается оценить

Уу У? - ■

1тг

7 г,

у'

жз = 'фг~ Л ^

и. ./йо этому ЙЕРЕД нами -ИНТЕГРАЛЬНАЯ . СУША. ДЛЯ ФУНКЦИИ.

г г

^о :

ВСТРОЕННАЯ НА ..ЙРЯШУГОЛЬНИКЕ -.•'< // ~т( * 1 С Ж>-

;¿10ЩЬЮ , ВД2К. (36) .КАКОВА • БЫ .. НИ ШЛА^'^"7ЕСЛИ ИД' БУДУТ'' ДО СТАТОЧНО БОЛЬШИМИ,СУША . ЭТА , ; НЕ. . иРЕВО СХОДИТ . ВЕЛИЧИНЫ-

со X ) У ^^¿^сУ/Г- -

! —^—V •

И 40)

а

4

V ^

— . Л --.у. - - - . . : ТЕ^2РЬ, С.ОГЛАСНО( Ш )И. (40),НЕРАВЕНСТВО . ( 35) иРИНШАЕТ ВИД

; -Ж < )/ ■ "'^Г^', у/^ г^ , г?;.

у-? и /у у -у Л;/ V- -ц

ИРИЧШ... ИЗ (33), ( 34), ( ЗУ.) ,(40.) ЯСНО,ЧТО 7 НЕ. ЗАВИСИТ . Ох 77,

. §4.ОБ ОДФМ, . СВОЙСТВЕ ШДУДЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ /77. л Е М М А 8 .ЕСЛИ'А'; НЕлЗРЕРЫВНА .НА. с н

-МОДУЛЬ Е£ НЕПРЕРЫВНОЕ Тй, ТО., КАШ ВЫ БЫ. НИ 'БЫ](И А И / (>с)? ,..(45) " 1 - * ' ' ^

. ДО КАЗАТЕЛЬСТВО,.ПУСТЬ,СНАЧАЛА И << -ЧИСЛА НАТУРАЛЬНЫЕ .О ЦЕНИМ . РАЗОБЬЮ ДЛЯ ... ЭТОГО СЕГМЕНТЫ '' - И ^ Ъ 7ъ> ОТВЕТСТВЕННО

НА^ И € РАВНЫХ ЧАСТЕЙ. .ТОЧКАМИ -О Сколь угодно близкая к 1

• -А <%>, ц,..:, ^

^ / / У Г- / '

..тогда

/

ш со г лас ш, условий). теорейы; для всех д// ^^ля которых

Т.е.

4 (//+?

.'если 1'еиерь Я и /?/-№)Ш1Е действительные ж> лонительные . чис-■ да, 10

О : . /

т.к. ^у/ . ^неубывающая.:. функция своих аргументов, то- • -в си-

с.;.. /' 4]со-

^ [ / N ^ с / . ^ * ' г^ / - £ / V £ <•/ / -А- ' 'V I

,.450. и нужю было сказать;

лемма 3..,, если ■о<ос0<<11 и д" -двумерный. . ироншутск

у / *

-/Г 6г

V

то

(41)

4'

■У

[ '

//

'Г л

&рйчем

(.48)

(43)

¿к, ш — о

2,2, = ^ 2 № V Ы ^ ■

до казательстбо .из. (12 )слвдв1 ,что

-М

УУ I

М <

/г

и, сдедо вательш, 2ш.. шлее

(12)

затем,из ( * )

у

я

'/ТУ

<

// ^

/' < /7 ¿УЖ-

следует

✓ г < // Щ-.П*:*^ Л ^ /■£ - ^

значит,в, . силу, , (12)

согласно(11)н (12 )

ж

* /V.

и аналогично . (12) и( 9)

У

/к^ч

л

3

1/'

> Л*

// Л Л

//IV

ц) этому

(44)

1'т1

Л,

< -////■А ф У5-+ Jrt- С

.о ценка . (43)легф до.зтучается на оснований 11 )и.(9 ).

; глава. - 3 2 о ра я .

шдинжы, с. н»бернвтейна: ненрерывн ых. функции / двух . дерем ешц дрис1удш.: к рассмотрению .-долеюшв

в .точке непрерывности /^/,о^еделенюя . на . квадрате "-¿р ;

а 4у и 4

' и

§1 ж)ведение, в, „ .точках. . иершетра квадрата,

т е о р ей а. 1 .если грани чена на $ и точка ; вер-

шины то, каковы ,бы.ни были . разрывные ее- . свойствами - кь

:кихугодя) Л и /п

доказательство .утверждение теоршы. . следуем из того,что в . точке вершины ■■ квадрата , все . первоначальные ¿юлиномы.-за исключением одного,равны нулю;отличный от; нуля;*: шлиюм: . со01 ■ ветствует рассматриваешь вершине и равен 1.

т е о р е м . а 2. ес ли /, о граничена на ц и , неирерывн а в точке о< ^ < у, / ~ о горизонталью^. . .стороны . хотя - бы толь ■ ко рэль .э5юй * стороны^. то независимо , от, разрывных , ее , сво»^

,ств . в. остальных, точках ":квадрата;., при , аспнэм

....... у

(47) ^гшяп п< с/.¡а *

если /цу].. непрерывна . на сегменте ° $ ¿к

щеет. место-. - равюмерю . на э20м свго35нгб.

аналогично -в, тояках. • вертикальных сторон. доказатедьство .в-.. точке {¿ь начальные шлишмы,0твечавдиб

¡к= ^ ^,.,, /п. равны .. .нулю. -и. щ ланомы( X), превращаются , .в • оригинальные со лщюш. {а) с • н.бернште&на: .

' н

^ [^(л, о)) 4]=2, а) Ш.

У=о

далее .имеем .

Ш/Ь //V'// О// ТАу ¿V

и

% о]/}

яейрерывюсхъ вдоль сто роны. а/о ..произвольному ^ > о№ зво дяее взять, , столь,малую ^^дто .будет,- следовать

обо значив , через ^верхнюю границу модуля ^, на выбираш /петель большие, что бы ., '

тогда „пользуясь , (в)й( 9). дюлучаем

ЧВ) и. нужно.

замечание .из .> тео рем. 1. и 2 .>.следует,что . ведение двумерных. шлицомов сльбернщтезнл . на .. ¿лзршетре , квадрата, омывается . ибречисленшш!.. 30 . введении.. тщреыами линейного случая..-это . обстоятельство., ¿дзводяе! , во. всщ дальнейшей доказательства. • ограничивать. рассштрениж,., только внутренних. точек ¿д/ .

. §1-а.СХОДИМОСТЬ у -ВО ВНУТРЕННИХ „ ТОЧКАХ НЕ^РЕРЫВ-

. К0С2И.

Т Е 0, РЕМА .З.ЕСЯИ ¿Ц'/). ОГРАНИЧЕНА. /НА $ И . НЕПРЕРЫВНА I 3

/ 1 ....

500 ЧКЕ о "< 10

(.4 а) ^с-г'ж уэ ^ ^

•ВРЛЬШЕ ТО ГО; ЕСЛИ ^//'НЕ^ЕРЫВНА . НА , ¿¿РОИЕЕУТКЕ К

О £ Р < 7 4 4,, . ТО,. РАВНОМЕРНО , .. ОТНОСИТЕЛЬНО /Л?;

/. . /Л' У. £*/.-=-

(43 )

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.ДЛЙ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА (48)ЗАМЕТШ,ЧТО ИЗ- , НЕлРЕРЫВ-ЭОСТЙ В /Х^/СЛЕДУЕТ, 420 -ПРОИЗВОЛЬНОМУ ^ШЯЮ . . ООО 1НЕС-ТИ е?ОЛЬ.. МАЛЫЕ 01, йг ЧТО для ВСЕХ ■^/Т^ '

■ (*) , Л- О1; ЗУ Р ;

рс ли ОиЯ1Ь ^'-.ВЕРХНЯЯ, -;,ГРАНИЦА. . МОДУЛЯ ^ НА & . VIТО

¿1РЯ ДОСТАТОЧНО БОЛЬШИХ '////.'(ДЩИА 3)

' 'У У

« -Щ, | ¡0 7 у+

N

(А9) У- С

I /7 / и-и /£ Л, < | ^ = ■ .

вюряя „часть.. творвш^ . следует, из . того «что. оценки яешш 3,

на ю20ры?. осшвызае'а-ся дозсазатецьстн; , ттт место л клади

точке КВАДРАТА» СЛЕДУЕТ цшш шдеть В ВКДУ.ЧТО /.У// ДОЛЖНА БЫТЬ - НЕ11РЕРНВШИ И НА Ю НТУРБ &ГСШЕВУ2КА X НЕ Ю дЬЮ ИЗНУТРИ И ВД}ДЬ ствющн) И ИЗВНЕ.,ИШ Х-ЛЬЮ В ТАЮМ СЛУЧАЕ ИЗ' ( -V ) БУДЕТ ВЫТЕКАТЬ ( всех

йри = Я и тшрема 3 сливается о 32н>рн£ок 2; в люч-