Аппроксимативные свойства обобщённых рациональных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Рютин, Константин Сергеевич

  • Рютин, Константин Сергеевич
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2002, Москва
  • Специальность ВАК РФ01.01.01
  • Количество страниц 93
Рютин, Константин Сергеевич. Аппроксимативные свойства обобщённых рациональных функций: дис. кандидат физико-математических наук: 01.01.01 - Математический анализ. Москва. 2002. 93 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рютин, Константин Сергеевич

Введение.

1. Непрерывность ^-выборок на обобщённые рациональные функции в пространствах Lp, 0 < р < оо.

§1.1. Положительные результаты. ч

§1-2. Отрицательные результаты.

1.2.1. Случай пространств Lp[0; 1],0 < р < 1.

1.2.2. Случай пространств Li[0; 1].

§1.3. Замечания.

2. О липшицевых ретракциях на многообразия и на множества 7£ТО;П.

§2.1. Липшицевы ретракции на многообразия.

2.1.1. Геометрические свойства липшицевой по-верхности.

2.1.2. Доказательство теоремы 2.2.

2.1.3. Доказательство теоремы 2.1.

§2.2. О липшицевых ретракциях на множества рациональных функций.

2.2.1. Геометрические свойства Т^-од- ■ •

2.2.2. Доказательство теоремы 2.3.

2.2.3. Замечания.

3. Равномерная непрерывность ^-выборок на обобщённые рациональные дроби.

§3.1. Положительные результаты.

3.1.1. Общая теорема.

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимативные свойства обобщённых рациональных функций»

В диссертации рассматриваются вопросы, связанные с устойчивостью операторов обобщённого рационального приближения.

Напомним несколько стандартных определений геометрической теории приближений. Пусть (X, d) - метрическое пространство, А С X; положим р(х, А) := infa€^ d(x, а). Назовём оператором метрического проектирования многозначное отображение, сопоставляющее каждой точке х Е X множество Ра(х) = {a £ А : d(x,a) = р(х,А)}. Может случиться, что для некоторых точек х Е x выполнено Ра(х) = 0- Любую точку а Е Ра{х) мы называем элементом наилучшего приближения для х. Множество А называется чебышёвеким в X, если #Ра(х) = 1 для любой точки х Е X.

Теория приближений началась с работы П.Л. Чебышева 1859 года [1], в которой была показана единственность элемента наилучшего приближения множеством Vm алгебраических полиномов степени не выше т и множеством алгебраических рациональных дробей, т.е. множеством функций

Пт,п = jr(r) = ^ Е С[0; 1] : и Е Vm, w Е j в пространстве С[0; 1]. Заметим, что вопросам существования в 19 веке не уделяли должного внимания. В [1] был опи сан оператор метрического проектирования на 1Zm^n (теорема об альтернансе). Существование наилучшей дроби было доказано в работах Уолша [2] и Н.И. Ахиезера [3]. Кирхбер-гер [4] показал, что в пространстве С\0; 1] (однозначный) оператор метрического проектирования на множество Vm непрерывен и локально Липшицев; С.Н. Бернштейн [5] установил, что этот оператор не является равномерно непрерывным на единичном шаре С[0; 1] при т > 1. В 50-60 годы Кли, Н.В. Ефимов, С.Б. Стечкин заложили основы геометрической теории приближений. Благодаря работам Л.П. Власова, Вулберта, А.Л. Гаркави, Зингера, Коллатца, Линденштраус-са, Е.В. Ошмана, Раиса, Ривлина, Рудина, Фелпса, С.Я. Ха-винсона, Чини, Шапиро и других она получила дальнейшее развитие. Одним из первых её приложений к задачам классической теории аппроксимаций стала теорема Н.В. Ефимова и С.Б. Стечкина [6] о том, что 1Z-m,ni Ti 1 не является че-бышевским множеством в Lp[0;l],l < р < оо. Джексон [7], М.Г. Крейн [8], С.Я. Хавинсон [9], А.Л. Гаркави [10] и другие исследовали единственность элементов наилучшего приближения в метрике L\. Вопросами единственности в пространствах lpi 0 < р < 1, занимался Д. Камунтавичюс [11]; эта тематика получила дальнейшее развитие у Н.К. Рахметова [12].

Основным объектом исследования в диссертации являются обобщённые рациональные дроби. Пусть X - некоторое функциональное пространство, V, W - его подпространства. Назовем обобщенными рациональными функциями (дробями) элементы следующего множества r(v,w) = {r = ^:v eV,w ew,r ex}.

Заметим, что если V = W = Vni то R(V1 W) = TZm,n- Если W =< 1 > - подпространство констант, то R(V, W) = V - подпространство в X. Таким образом, множества 7Zmjn и подпространства входят в класс обобщённых дробей. Мы рассматриваем подобные множества в различных функциональных пространствах и данное определение придётся подправлять.

Важнейшими для теории приближений являются следующие вопросы: существование, единственность элемента наилучшего приближения и устойчивость оператора метрического проектирования.

А.Н. Колмогоров в работе [13] получил критерий элемента наилучшего приближения для подпространств в С (К). Г.Ш. Рубинштейн [14] установил критерий наилучшей обобщённой дроби, а Чини и Леб [15] указали достаточное условие для её единственности. Ньюмен и Шапиро [16] и Бём [17] дали достаточные условия того, что для любой / Е С {К) существует обобщённая дробь наилучшего приближения. В работах Брозовского [18] и Шашкина [19] были получены результаты о чебышевском ранге обобщённых дробей и аналог теоремы Мэрхьюбера.

Браесс, Н.С. Вячеславов, А.К. Рамазанов, М.А. Назарен-ко и другие исследовали вопрос о возможной мощности метрической проекции на множества алгебраических дробей (см. например [20], [21], [22]) в пространствах Lp, 1 < р < оо.

Устойчивость оператора метрического проектирования (в различных ситуациях) изучали также Ньюмен и Шапиро [23], Вулберт [24], Л.П. Власов [25], П.В. Галкин [26], А.В. Колушов [27], Бьернестал [28], B.C. Балаганский [29] и другие. Мэли и Вицгаль [30] доказали, что для непрерывности оператора метрического проектирования Рцт п '■ С[0; 1] —» > 1 в точке / G С[0; 1] достаточно, чтобы степень числителя или знаменателя наилучшей несократимой дроби была максимальна, а Вернер [31] показал, что это условие является и необходимым (если / Е С[0; 1] \ 7ZmiTl). Аналог этого утверждения для обобщённых дробей получил Чини [32]. А.В. Колушов [33] исследовал дифференцируемость по направлению оператора метрического проектирования на

7гга>пвС[0;1].

Из результатов Бернштейна [5], Мэли и Вицгаля [30] и Вернера [31] следует, что оператор наилучшего приближения, вообще говоря, не является устойчивым. В связи с этим естественно исследовать устойчивость операторов почти наилучшего приближения (^-выборок).

Определение. Пусть (X, d) ~ метрическое пространство, А - его подмножество, е > 0. Отображение Ф : X А называется мультипликативной (аддитивной) £~выборкой из X на А, если для всех х £ X выполнено d(Ф(х),х) < (1 + е)р(х, А) (соответственно 4(Ф(х),х) <р(х,А)+е).

Из определения мультипликативной t-выборки следует, что ограничение Ф на А — тождественное отображение. Выборка называется непрерывной (равномерно непрерывной, липшицевой), если Ф — непрерывно (равномерно непрерывно, липшицево). Отметим, что при г = 0 получается определение выборки из метрической проекции. Ниже мы поясним, какова связь между аддитивными и мультипликативными выборками. Понятие "почти наилучшее приближение" впервые встречается в работе Вулберта [24].

Пусть X - линейное нормированное пространство, Y С X - конечномерное выпуклое замкнутое множество. Для е > 0 и х £ X положим Р(е,х) = {у £ Y : \\х — у\\ < p(x,Y) + е). В связи с интересом к некорректным задачам устойчивость многозначных отображений х н-> Р(е,х) изучали В.И. Бердышев [34], [35], О.А Лисковец [39], [40], А.В Мари-нов [37], [36], В.А. Морозов [41], Р. Вегман [42] и другие. В.И. Бердышев и А.В. Маринов [34] — [37] получили различные оценки величины хаусдорфова расстояния h(P(£\, х\), Р(£2-, #2))

Если X - линейное нормированное пространство, Y - его подпространство, то для любого £ > 0 существует непрерывная мультипликативная ^-выборка из J на У (это вытекает из классической теоремы Майкла [43]). Из результатов В.И. Бердышева [34] , А.В. Маринова [36] и П.В. Альбрехта [38] следует существование липшицевых аддитивных е-выборок на конечномерные подпространства с константой Липшица порядка j при £ —> 0. П.В. Альбрехт [38] исследовал дифференцируемость ^-выборок на подпространства и получил оценки констант Липшица ^-выборок, имеющие правильный порядок по £ (при £ 0) в классических пространствах. Из упомянутых результатов следует, что существуют е-выборки более гладкие, чем оператор метрической проекции. В работе И.Г. Царькова [44] показано, что оценки модуля непрерывности ^-выборки, полученные в [36], точны по порядку размерности и доказано, что в пространстве С[0; 1] существует ограниченное выпуклое замкнутое множество Y и число £ > 0 такие, что при любом S > 0 не существует равномерно непрерывной аддитивной ^-выборки из окрестности Us(Y) = {ж : p(x,Y) < J} на Y. Е.Д. Лившиц [45] исследовал существование непрерывных г-выборок на множества сплайнов с нефиксированными узлами.

Исследуемая в диссертации задача оказывается связанной с таким активно развивающимся разделом топологии, как выборки из многозначных отображений. В последние годы в работах Ван де Вела [46], Хорвата, Реповша и П.В. Семёнова [47] и других активно изучаются выборки из многозначных отображений, при контролируемом отказе от выпуклости и при различных обобщённых выпуклостях.

Укажем известные обзорные работы по тематике диссертации: в [48] описываются различные результаты по нелинейным аппроксимациям и, в частности, по приближениям обобщёнными дробями; в [49], [50] имеется обширная библиография по проблеме устойчивости оператора метрического проектирования; с современным состоянием теории непрерывных выборок из многозначных отображений можно ознакомиться в [51]. В монографии [52] содержатся доказательства многих, упоминавшихся нами, результатов по рациональным аппроксимациям.

В диссертации мы будем исследовать устойчивость е-выборок на множества обобщённых рациональных дробей в классических функциональных пространствах. Опишем более подробно известные результаты по этой тематике. С.В. Ко-нягин показал в работе [53], что справедлива

Теорема А. Пусть К - связный метрический компакт, X = С (К), а V, W - подпространства в X. Если 7Zv,w — : v 6 V,w £ IV, w ф 0 на К} ф 0, то для любого £ > 0 существует непрерывная аддитивная е-выборка из X на 1Zy,w

В работе И.Г. Царькова [54] получена

Теорема В. Пусть т Е Z+,n Е N,1 < р < со, тогда при достаточно малом s > 0 любая аддитивная е-выборка на 71т^п в Lp[0; 1] разрывна.

С.В. Конягин в [55] анонсировал следующее утверждение: при любом г G (0; 2) не существует равномерно непрерывной е-выборки из С[0; 1] на Т^од- В работе А.В. Маринова [56] была получена оценка константы Липшица локально-липшицевой выборки на множества обобщённых дробей в

С[0; 1].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы из 65 наименований. Нумерация теорем, лемм и выносных формул своя в каждой главе; при этом, теорема 3.1 означает первую теорему в третьей главе. Полный объём диссертации - 92 страницы.

Похожие диссертационные работы по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рютин, Константин Сергеевич, 2002 год

1. Чебышев П.Л. Вопросы о наименьших величинах, связанных с приближенным представлением функций. 1859 в кн.: Чебышев П.Л. Полное собр. соч. т. 2, М.-Л. Изд-во АН СССР, 1947. С. 151 235.

2. Walsh J.L. The existence of rational functions of best approximation// Trans. Amer. Math. Soc., 1931, V. 33, N. 3, 668-689.

3. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации// М.-Л. Гостехиздат, 1947.

4. Kirchberger P. Uber Tschebyschefsche Annaherungs-methoden// Inaugural-dissertation. Gottingen, 1902.

5. Бернштейн C.H. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной. Ч. I// М.-Л. Гостехиздат, 1937.

6. Ефимов Н.В., Стечкин С.Б. Аппроксимативная компактность и чебышевские множества// Докл. АН СССР, 1961, Т. 140, N 3, С. 522-524.

7. Jackson D. A general class of problems in approximation// Amer. Journ. of Math., 1924, V. 46, P. 215-234.

8. Ахиезер Н.И., Крейн М.Г. О некоторых вопросах теории моментов// Харьков. ГОНТИ, 1938.

9. Хавинсон С.Я. О единственности функции наилучшего приближения в метрике пространства L\f / Изв. АН СССР. Сер. матем., 1958, Т. 22, N. 2, С. 243-270.

10. Гаркави A.JI. О единственности решения L-проблемы моментов// Изв. АН СССР. Сер. матем., 1964, Т. 28, N. 3, С. 553-570.

11. Kamuntavichius. D. A criterion for the existence of finite-dimensional Chebyshev spaces in the spaces L^j/Litovsk. Mat. Sb., 1990, V. 30, N. 1, P. 44-55.

12. Рахметов H.K. О конечномерных чебышевских подпространствах в пространствах с интегральной метрикой// Матем. Сборн., 1991, Т. 182, N. 11, С. 1613-1634.

13. Колмогоров А.Н. Замечание по поводу полинома П.Л. Чебышева, наименее уклоняющегося от заданной функции// Успехи, матем. наук, 1948, вып. 23.

14. Рубинштейн Г.Ш. О равномерном приближении функции с помощью обобщённых рациональных функций// Успехи матем. наук, 1960, Т. 15, N 3, С. 232-234.

15. Cheney E.W., Loeb H.L. Generalized rational approximation// J. Soc. Indust. and Appl. Math., ser. B, 1964, V. 1, P. 11-25.

16. Newman D.J., Shapiro H.S. Approximation by generalized rational functions// "On Approximation theory." Basel-Sttutgart, Birkhauser Verl., 1964, P. 245-251.

17. Boehm В. Existence of best rational Tchebysheff approximations// Pacif. J. Math., 1965, V. 15, N 1, P. 19-28.

18. Brosowski B. Uber die Eindeutigkeit der rationalen Tschebyscheff-Approximationen// Numer. Math., 1965, V. 7, N 2, P. 176-186.

19. Шашкин Ю.А. О наилучшем приближении рациональными функциями// Докл. Болг. АН, 1966, Т. 19, N 1, С. 5-7.

20. Braess D. On rational L2 approximation// J. of. Appr. theory, 1976, V. 18, N. 2, P. 136-151.

21. Вячеславов H.C., Рамазанов А.К. О степени рациональных функций наилучшего приближения в Ьр(Шт)// Ма-тем. заметки., 1993, Т. 53, вып. 2, С. 37-45.

22. Назаренко М.А. Некоторые свойства рациональных аппроксимаций, Дисс. канд. физ.-мат. наук, Москва, 1997.

23. Newman D.J., Shapiro H.S. Some theorems on Chebyshev approximation// Duke Math. J., 1963, V. 30, P. 673-681.

24. Wulbert D.E. Continuity of metric projections. Approximation theory in a normed linear lattice. Thes// Univ. Texas Сотр. Center. Austin, 1966.

25. Власов Л.П. Непрерывность метрической проекции на выпуклые множества// Матем. заметки, 1992, Т. 52, N 6, С. 3-9.

26. Галкин П.В. О модуле непрерывности оператора наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций// Матем. заметки, 1971, Т. 10, N 6, С. 601-604.

27. Колушов А.В. Задача корректности наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций// Ма-тем. заметки, 1978, Т. 23, N 3, С. 351-360.

28. Bjornestal В.О. Local lipshitz continuity of the metric projection operator// Banach Center Publications, 1979, V. 4, P. 43-54.

29. Балаганский B.C. Слабая непрерывность метрической проекции на подпространства// Труды Инст. Матем. и Механ. УРО РАН, 1995, Т. 2, С. 80-87.

30. Maehly Н., Witzgall Ch. Tschebyscheff-Approximationen in kleinen Intervalen. II, Stetigkeitssatze fur gebrochene rationale Approximationen// Numer. Math., I960, V. 2, N 5, P. 193-309.

31. Werner H. On the rational Tschebyscheff operator// Math. Z., 1964, V. 86, N 4, P. 317-326.

32. Cheney E.W. Approximation by generalized rational functions// Approximation of functions. Ed. Garabedian H.L., Elsevier publish, сотр., Amsterdam-London-New York, 1965,101-110.

33. Колушов А.В. Дифференциальные свойства оператора наилучшего приближения рациональными дробями// Матем. заметки., 1989, Т. 45, N. 2, С. 40-50.

34. Бердышев В.И. Непрерывность многозначного отображения связанного с задачей минимизации функционалов// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980, Т. 44, N 2, С. 483-509.

35. Бердышев В.И. Варьирование нормы в задаче о наилучшем приближении// Матем. заметки. 1981, Т. 29, N 2, С. 181 196.

36. Маринов А.В. Оценки устойчивости непрерывной селекции для метрической почти-проекции//Матем. заметки, 1994, Т. 55, N 4, С. 47-53.

37. Маринов А.В. Константы Липшица операторов метрического ег-проектирования в пространствах с заданным модулем выпуклости и гладкости// Изв. РАН, Сер. Матем, 1998, Т. 62, N 2, С. 103-130.

38. Альбрехт П.В. Об операторах почти наилучшего приближения, Дисс. канд. физ.-мат. наук, Москва, 1994.

39. Лисковец О.А. Метод £-квазирешений для уравнений I го рода// Дифференц. уравнения, 1973, Т. 9, N 10, С. 1851-1861.

40. Лисковец О.А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск. НиТ, 1981.

41. Морозов В.А. Метод квазирешений на некомпактных множествах// Докл. АН СССР, 1982, Т. 263, N 5, С. 1057-1061.

42. Wegmann R. Bounds for nearly best approximations// Proc. Amer. Math. Soc., 1975, V. 52, P. 252-256.

43. Michael E. Continuous selections, I// Ann. of Math., 1956, V. 63, P. 361 382.

44. И.Г. Царьков. Об г-выборках// Докл. РАН, 1996, Т. 349, N 6, С.747-748.

45. Repovs D., Semenov P.V. Continuous selections of nonlow-er semicontinuous nonconvex-valued mappings//Diff. incl. and Opt. contr., 1998, V. 2, P. 253-262.

46. Гаркави А.Л. Теория наилучшего приближения в линейных нормированных пространствах// Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР. Математический анализ. 1969, С. 75-132.

47. Власов Л.П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах// Успехи ма-тем. наук, 1973, Т.28, N 6, С.3-66.

48. Балаганский B.C. Власов Л.П. Проблема выпуклости че-бышевских множеств// Успехи матем. наук, 1996, Т. 51, вып. 6, С. 125 188.

49. Repovs D., Semenov P.V. Continuous selections of multivalued mappings// 1998, Math, and its Appl., 455, Kluwer. Dordrecht.

50. Lorentz G.G., v. Golitshek. M, Makovoz. Y Constructive approximation. (Advanced problems)// Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Berlin. Springer, xi. 1996.

51. Конягин С.В. О непрерывности операторов обобщенного рационального приближения// Матем. заметки, 1988, Т. 44, вып. 3, С. 404.

52. Царьков И.Г. Свойства множеств, обладающих непрерывной выборкой из оператора Ps // Матем. заметки, 1990, Т. 48, вып. 4, С. 122-131.

53. Конягин С.В. О равномерной непрерывности операторов рационального приближения// Теория приближений и задачи вычислительной математики. Днепропетровск, 108 (1993)

54. Маринов А.В. Липшицевы селекции оператора метрического ^-проектирования на обобщённые рациональные дроби// Совр. методы теор. функций и смежные пробл. (тезисы докл. Воронежской зимней матем. школы), 2001, С. 183-184.

55. Cohen F.R. Cohen R.L. Mann B.M. Milgram R.J. The topology of rational functions and divisors of surfaces// Acta Math., 1991, V. 166, N. 3/4, R 163-221.

56. Бари H.K. Тригонометрические ряды. M., Физматгиз, 1961.

57. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М., Наука, 1973.

58. Посицельский Е.Д. О липшицевых отображениях в пространствах выпуклых тел// Оптимизация, 1971, выпуск 4(21).

59. Рютин К.С. Равномерная непрерывность операторов обобщённого рационального приближения// Совр.пробл. теор. функций и их прилож. (тезисы докл. 10-й Саратовской зимней школы), 2000, С. 120-121.

60. Рютин К.С. Липшицевость ретракций и оператор обобщённого рационального приближения// Фунд. и прикл. матем., 2000, Т. 6, N 4, С. 1205-1220.

61. Рютин К.С. Непрерывность операторов обобщённого рационального приближения в пространствах Ьр// Совр. пробл. теор. функций и их прилож. (тезисы докл. 11-й Саратовской зимней школы), 2002, С. 177-179.

62. Рютин К.С. Равномерная непрерывность обобщённых рациональных приближений// Матем. заметки, 2002, Т. 71, вып. 2, С. 261-270.

63. Rjutin K.S. On continuous operators of generalized rational approximation in Lp spaces// East journal on appr., 2002, V. 8, N. 2, P. 151 159.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.