Анализ энергетических полей в составной анизотропной полуплоскости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Ремизов, Михаил Юрьевич

• Ремизов, Михаил Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ремизов, Михаил Юрьевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ АНИЗОТРОПНОЙ

ПОЛОСЫ.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Представление решения в трансформантах интегрального преобразования Фурье.

Глава 2. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ АНИЗОТРОПНОЙ

ПОЛУПЛОСКОСТИ.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Представление решения в трансформантах интегрального преобразования Фурье

Глава 3. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПОЛОСЫ, СОЕДИНЕННОЙ С АНИЗОТРОПНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТЬЮ.

3.1 Вывод связи для трансформант Фурье Функций нагрузок.

3.2 Представление решения в грансформантах Фурье задач 1 и 2 для сопряженных сред.

3.3 Интегральное представление решения для полосы и полуплоскости с учетом принципа предельного поглощения.

3.4 Метод контурного интегрирования. Определение области аналитичности подынтегральных функций решений.

3.5 Вычисление потока энергии в полосе.

Глава 4. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

АНИЗОТРОПНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ, СОЕДИННЕННОЙ С АНИЗОТРОПНОЙ ПОЛОСОЙ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ энергетических полей в составной анизотропной полуплоскости»

Проблема изучения распространения упругих волн в неоднородных анизотропных средах является актуальной как в сейсмологии и сейсморазведке, так и в радиотехнике и электронике. Так, проведенные за последние двадцать лет сейсмические наблюдения показали, что явления анизотропии сейсмических сред, практически и теоретически не учитываемые ранее, наблюдаются в природе в значительно более широком смысле, чем это предполагалось. Современные технические средства позволяют получать данные, которые доказывают проявление известного свойства сейсмической анизотропии как в масштабе верхних слоев земной коры, так и на уровне "включений", соизмеримых с длинами волн, используемых в сейсморазведке. Такие явления, как усложнение характера поляризации, зависимость фазовых скоростей распространения от направлений в среде, очевидно и являются причинами тех трудностей, которые возникают при разработке методик расчета волновых полей в анизотропных средах как в теоретическом плане, так и при составлении вычислительных программ на ЭВМ.

В случае изотропных сред теоретические исследования волновых процессов в безграничных, полуограниченных и полуограниченных сред с накладками являются в значительной мере завершенными. Результаты этих исследований стали классическими и в основном отражены в работах Во-ровича И.И., Бабешко В.А. [16], Гринченко В.Т., Мелешко В.В. [20], Дье-лесана Э. [23], Ландау Л.Д. [32], Новацкого В. [43], Musgrave M.J.P. [79], Sneddon I.N. [82] и других отечественных и зарубежных авторов.

Теория динамической анизотропной упругости находится в стадии интенсивной разработки уже довольно продолжительное время, а именно, с пятидесятых годов минувшего столетия. В настоящее время имеется ряд работ, в которых достаточно полно изучены свойства волновых полей в полубесконечных анизотропных однородных средах. Необходимо отметить работы Бабешко В.А. [2], Белоконя A.B., Наседкина A.B., [7], Ватульяна А.О. [15] Гетмана И.П., Устинова Ю.А. [17] , Наседкина A.B. [42], Огур-цова К.И. [45,46], Свекло В.А. [57], Фарнелла Дж. [63], Федорова Ф.И. [64], Payton R.G. [80], и др. С 1957 г. начинают издаваться сборники научных статей под общим названием «Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн» под редакцией Г.И. Петрашеня, в которых описаны свойства волновых полей в рамках нулевого приближения лучевого метода [28, 40, 44, 48, 51]. Среди авторов, занимающихся этой проблемой, необходимо отметить Бабича В.М., Гречку В.Ю., Ковтуна A.A., Каштана Б.М., Оболенцеву И.Р. и других.

Для сейсмических сред наиболее распространенной моделью является модель трансверсально-изотропного тела. Поэтому с восьмидесятых годов прошедшего столетия широкое исследование распространения волн, возбуждаемых точечным источником, проводилось именно для этих сред. Здесь были получены точные формулы для упругих полей в виде интегралов Меллина, совпадающих с представлениями вектора перемещений в подобных задачах для изотропных сред. Установлено, что методы исследования решений с целью получения физических следствий, развитых для случаев изотропных сред, распространяются почти без изменений на анизотропные (трансверсально-изотропные) среды.

Детально изучены задачи для канонических областей с точечными источниками волн. Их решения приведены к виду, удобному для вычисления на ЭВМ полей перемещений в любых областях поля. Здесь следует отметить работы Алексадрова И.С. [1], Закорко В.Н. [24], Каштана Б.М., Ковтуна A.A., Решетникова В.В., Мухиной И.В. [29, 30, 52], Когана С.Я. [31], Мелешко В.В. [38], Мартынова В.Н. [37, 77], Молоткова JI.A., Баймагам-бетова У. [40], Успенского И.Н., Огурцова К.И. [61], Петрашеня Г.И. [47], Сарайкина В.А. [55].

Среди зарубежных авторов следует отметить работы Берриджа [71], Снеддона [82], Уайта [83], а также [68, 74, 75].

В работе Мкртычана К.Ш. [39] для трансверсально изотропной среды была построена асимптотика волнового поля от гармонического по времени касательного напряжения методом стационарной фазы в дальнем поле в плоской постановке.

Наиболее сложными, но и ценными с практической точки зрения являются задачи о распространении гармонических волн в составных анизотропных телах, как-то: два полупространства или слой и полупространство, когда на границе поверхности или на границе сочленения сред имеются источники, порождающие эти волны. Подобные задачи рассмотрены в работах [18, 19, 21, 25, 26, 33-36, 41, 50, 70, 72, 73, 76, 78, 81].

Анализ влияния неоднородностей различного характера был проведен в монографии Ломакина В.А. [33]. В статье Мартыненко М.Д. Мелешко В.В. [36] рассмотрен слой на жестком изотропном полупространстве. В работах Кайбичева И.А., Ленского В.С., Майбороды В.П. [26, 34, 35] иследовалось влияние свойств приграничных неоднородностей на дисперсионную зависимость и на поверхностные волны для изотропных моделей полубесконечных подложек.

Работы Глушкова Е.В. [18, 19] посвящены анализу энергии, распространяющейся в полубесконечной среде с накладкой, где рассматривается энергетика изотропной полосы и полуплоскости, соединенных между собой. Для полуплоскости использовалась изотропная модель, стратифицированная по глубине ,, р(г)).

Колебания в системе изотропный слой — упругое полупространство при сосредоточенном источнике рассматривались в работах Петрашеня Г.И. [50], Казея И.С. [25]. Свойства волн в среде, состоящей из нескольких изотропных приповерхностных слоев, описаны в [76, 78]. В [76] приведены выражения для функции Грина для горизонтально слоистой системы при сосредоточенном возмущении и ряда других типов воздействий. В [78] исследованы колебания для различного сочетания изотропных полос, а также предельный случай тонкого слоя.

Колебаниям в системе состоящей из анизотропного слоя и анизотропной подложки были посвящены работы Молоткова JI.A. Крауклиса П.В. [41], Darinskii А. [72], Philippe L. Depollier С. [81], в которых исследовались дисперсионные зависимости и свойства отражения волн от внутренней границы сред при жестком их соединении. В [81] описаны свойства дисперсии в случае тонкой накладки. Darinskii А. [73] получил условие существования поверхностной волны, фазовая скорость которой превышает скорости обеих квазипоперечных волн в подложке, в зависимости от ширины накладки. В приведенных публикациях имело место жестко содинение материалов. В [70] описаны некоторые свойства объемных волн, возбуждаемых при скольжении двух сред друг относительно друга. В роли накладки выступало изотропное полупространство.

Необходимо отметить, что в приведенных работых энергетический анализ для неоднородных полубесконечных анизотропных сред проводился недостаточно полно. В связи с этим в данной работе впервые была рассмотрена задача о вынужденных колебаниях полосы, соединенной с полуплоскостью, где для обеих сред предполагается разная анизотропная, распространяющаяся до орторомбического класса включительно. В основу решения легла численная реализация метода контурного интегрирования при обращении трансформант преобразования Фурье компонент векторов перемещений в каждой среде. В процессе применения этого метода были использованы несколько разновидностей контуров интегрирования, предложенных в работе Белоконя A.B., Белоконя O.A. [5, 6], где решена задача о гармонических колебаниях в анизотропной полуплоскости.

Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения, содержащего графики численных результатов, а также списка цитируемой литературы.

В главе 1 в рамках модели плоской деформации рассмотрена задача о колебаниях анизотропной полосы постоянной толщины под действием гармонического по времени напряжения, приложенного вдоль краев полосы. В задаче 1 задаются на верхней границе ненулевые нормальные и касательные напряжения, на нижней — нормальные и нулевые касательные. Задача 2 представляет частный случай задачи 1, когда на верхней границе касательные напряжения равны нулю. Необходимость рассмотрения задачи 1 и 2 отдельно продиктована тем обстоятельством, что в дальнейшем придется сопрягать полученные решения с решениями соответствующих задач для полуплоскости. При этом задача 1 отвечает склейке полосы и полуплоскости, а задача 2 — случаю проскальзывания границы полосы относительно границы полуплоскости. После этого с помощью преобразования Фурье построены решения в виде соответствующих трансформант этих задач.

Во главе 2 рассмотрена анизотропная полуплоскость, возбуждаемая напряженими на границе. Здесь также рассмотрены две задачи: 1 — когда нормальные и касательные напряжения отличны от нуля, 2 — с нулевыми касательными напряжениями. На бесконечности использовано условие затухания решения. Аналогично получен вектор перемещения в трансформантах Фурье.

В главе 3 полученные ранее решения в главах 1, 2 сопрягаются так, что случай склеивания полосы с полуплоскостью и скольжения полосы вдоль границы полуплоскости рассматривается отдельно. В каждом из этих случаев возникает дополнительное условие о равенстве перемещений, которое накладывает ограничения на заданные функции нагрузки, а именно трансформанты Фурье введенных функций связаны линейными соотношениями. С помощью обращений Фурье строятся общие решения для каждой из двух задач. Проводятся исследования областей аналитичности многозначных функций для применения метода контурного интегрирования. Выписаны общие рабочие формулы на основе разработанного метода контурного интегрирования для потока мощности в полосе, а также потока мощности, уходящего через бесконечный слой в полуплоскость.

В главе 4 рассматривались колебания полуплоскости, взаимодействующей с полосой посредством двух типов соединения. При этом использовалась трансформанта вектора перемещений, построенная в главе 2. Так же, как и в главе 3, была установлена связь функций нагрузок для обоих типов взаимодействия сред. Далее, применяя метод контурного интегрирования для полученного представления решения при его анализе в дальней от источника возмущений зоне, использовались метод стационарной фазы и теория вычетов, после чего было построено асимптотическое решение.

На основе этой асимптотики был получен вектор плотности потока энергии Умова-Пойнтинга, который использовался при исследовании потока энергии в полуплоскости. Для этого оценивался интеграл по полуцилиндрической поверхности большого радиуса (Я, = у/ х\ + х\ —>• оо). Поток энергии объемных волн удалось разделить на составляющие, соответствующие потокам для квазипродольной и квазипоперечной волны.

Дисперсионная зависимость, имеющая место в данной задаче привела к наличию при фиксированной циклической частоте конечного числа волн релеевского типа, распространяющихся в полуплоскости и имеющих характер экспоненциального затухания при оо).

В главе 5 помещены результаты численного анализа задач, представленных в главах 3, 4. В каждом случае брались разные сочетания анизотропных материалов исследуемых сред. Это обусловлено принципиальным различием свойств характеристических функций, приводящих к разным контурам интегрирования при вычислении полей перемещений. Излагаются результаты по вопросам эффективности возбуждения того или иного типа движения, т.е. волн, бегущих в полосе и объемных волн, вызывающих колебания полуплоскости. Приводятся количественные соотношения потоков энергии существующих типов волн в зависимости от внешних параметров задачи. Исследуется вопрос о влиянии свойств анизотропных материалов полосы (накладки) и полуплоскости (подложки) на распространяющиеся в этих средах потоки энергии. В качестве отличительной особенности рассматриваемых материалов брались их скорости звука. Изучив свойства полученных энергетических полей для нескольких сочетаний анизотропных материалов, рассмотрен вопрос влияния типа соединения сред накладки и подложки на свойства переносимых этими средами потоков энергии. Предметом сравнительного анализа энергетических полей для случая жесткого и скользящего соединения послужили следующие составляющие:

1. поток энергии, "закачиваемый" через площадку нагружения;

2. поток энергии, распространяющийся в полосе;

3. поток энергии, распространяющийся в полуплоскости.

Таким образом, из проведенного сравнительного анализа свойств потоков энергии можно сделать выводы:

1) имеющаяся полоса является препятствием для распространения потока энергии в полуплоскость, т.к. большая часть "закачиваемой" мощности переносится полосой. Однако, для определенного сочетания материалов при скользящем соединении это свойство нарушается.

2) при фиксированных материалах сред величина "закачиваемой" мощности снижается в системе "мягкая" накладка — "жесткая" подложка .

3) поток "закачиваемой" энергии в системе одна и та же "мягкая" накладка — "жесткие" подложки меньше в случае более "жесткой" подложки;

4) поток "закачиваемой" энергии в системе "мягкие" накладки в сочетании с одной и той же "жесткой" подложкой меньше в случае более "жесткой" накладки.

5) показано, что выбором типа соединения можно регулировать распределение потока энергии в среде.

В процессе настоящего исследования был создан комплекс программ, написанный на языке Фортран [27], позволяющий проводить численный анализ, в котором участвуют такие волновые характеристики, как фазовая скорость, дисперсионная зависимость, вектор перемещения, поток энергии.

Входными параметрами программы являются упругие постоянные для полуплоскости и полосы, плотности сред, ширина полосы и частота вынуждающей нагрузки.

11

Следует отметить, что до энергетического анализа основной трудностью явилось решение вопроса об определении области аналитически подынтегральных функций при использовании метода контурного интегрирования после того, как на основе обратного преобразования Фурье были получены представления полей перемещений. Использование контуров интегрирования, представленных в работах Белоконя A.B., Белоконя O.A. [5, 6], позволило провести процедуру определения области аналитичности подынтегральных функций, представленную в главе 3, что послужило основой для дальнейшего исследования свойств энергетических и других характеристик полей в рассматриваемой стратифицированной среде. Полученные численные результаты отражены графиками, помещенными в приложение.

По теме диссертации опубликованы статьи [8-11]. Результаты работ [8-11] принадлежат обоим авторам, где A.B. Белоконю принадлежит постановка задач и основные идеи решения, а М.Ю. Ремизову — создание вычислительных программ, включающих реализацию метода контурного интегрирования и позволяющих проводить анализ свойств энергетических полей.

Автор выражает глубокую признательность Александру Владимировичу Белоконю за постоянное внимание и помощь в работе.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Ремизов, Михаил Юрьевич

Заключение

В диссертационной работе исследованы задачи динамической теории упругости для полуограниченных однородных и неоднородных сред, объединенных общим источником колебаний, изменяющимся по гармоническому закону.

Получив решение задачи о вынужденных колебаниях анизотропной полосы (глава 1) и анизотропной полуплоскости (глава 2), впервые рассмотрены вынужденные колебания анизотропной стратифицированной среды, состоящей из полосы и полуплоскости, соединенных между собой. Посредством численной реализации метода контурного интегрирования при обращении трансформант Фурье, соответствующих векторам перемещений, получены новые свойства возникающих энергетических полей.

В главе 3 представлено решение задачи о полосе с учетом ее взаимодействия с полуплоскостью вдоль одной из границ. Для различных анизотропных материалов вычислено значение потока энергии, переносимого полосой, а также потока "закачиваемого" в обе среды.

В главе 4 построена асимптотика вектора перемещений для полуплоскости, взаимодействующей с полосой вдоль границы. Для полуплоскости описаны некоторые свойства вектора потока энергии. Изучен характер разделения величины потока на составляющие — потоки квазипродольных и квазопоперечных волн в зависимости от внешних параметров задачи.

Результаты численного анализа энергетических полей (глава 5) соответствовали трем направлениям, исходя из следующих характеристик:

1. потока энергии в полосе — §5.1;

2. потока энергии в полуплоскости, — § 5.2;

3. поток "закачиваемой" энергии — §5.3.

В § 5.4 описаны результаты вычисления потока "закачиваемой" энергии для различных сочетаний анизотропии сред полосы и полуплоскости. Основанием для сравнения послужило различие скоростей звука рассмотренных кристаллов.

В § 5.5 проведен сравнительный анализ свойств энергетических полей на основании их различия в случае жесткого и скользящего соединения полосы с полуплоскостью. При этом сравнивались значения потока "закачиваемой" энергии, а также потоков, переносимых каждой из сред.

Нижеследующие результаты исследования волн в стратифицированной полубесконечной анизотропной среде приведены для случая сосредоточенного возмущения (а —> 0).

В таблице 1 помещены значения потоков "закачиваемой" энергии при жестком соединении сред: 1. накладка подложка жестк. соед.

1а ВаТЮг Ве

1Ь Ве ВаТЮ3

2а КС1 т а)

2Ь КС1 Ве 0.51^з (2а)

За КС1 Ве Й^з(За)

ЗЬ ВаТЮъ Ве О.ЗЗ^з(За) из которой следует:

1) имеющаяся полоса является препятствием для распространения потока энергии в полуплоскость, т.к. большая часть "закачиваемой" мощности переносится полосой. Однако, для определенного сочетания материалов при скользящем соединении это свойство нарушается.

2) при фиксированных материалах сред величина "закачиваемой" мощности снижается в системе "мягкая" накладка — "жесткая" подложка.

3) поток "закачиваемой" энергии в системе одна и та же "мягкая" накладка — "жесткая" подложка уменьшается в случае более "жесткой" подложки (2 а,Ь);

4) поток "закачиваемой" энергии в системе "мягкие" накладки в сочетании с одной и тойже "жесткой" подложкой уменьшается в случае более "жесткой" накладки (3 а,Ь).

Влияние типа соединения рассмотренных сред характеризуют таблицы 2, 3 на примере материалов из (1 а,Ь). Приняв величину "закачиваемого" потока для материалов 1а при жестком соединении за единицу, имеем следующие свойства распределения на составляющие IV1, IV 2 — потоки энергии в полосе и полуплоскости соответственно для остальных случаев:

2. жестк. соед. Жз(1а) = 1.0 Й7!

1а 1.0 0.69 0.30

1Ь 2.0 1.08 0.92

3. склз. соед. Щ W2

1а 0.9 0.81 0.08

1Ь 2.63 1.05 1.42

Таблицы 2, 3 показывают, что:

1) при переходе от жесткого соединения к скользящему для материалов 1а поток энергии в полосе увеличивается, при этом падает величина потока в полуплоскости и "закачиваемой" мощности; в случае 1Ь имеет место свойство противоположного характера.

2) в целях снижения величины энергетического потока в полосе следует использовать сочетание материалов 1а в жестком соединении, в полуплоскости и во всей системе — 1Ь в скользящем.

Таким образом, в рассмотренной задаче, впервые получены количественные соотношения энергетических потоков, переносимых каждой из

98 сред в отдельности и энергетического баланса во всей системе в зависимости от свойств вынуждающей силы для двух типов соединения материалов различной анизотропии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ремизов, Михаил Юрьевич, 2003 год

1. Александров И. С., Рыжкова Т. В. Упругие свойства кристаллов // Кристаллография, 1961. Т. 6, вып. 2.

2. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М., 1989. 344 с.

3. Бабич В.М. Лучевой метод вычисления интенсивностей волновых фронтов в упругой неоднородной анизотропной среде. — В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. 1961. Сб. 5. С.36-46.

4. Балакирев М.К., Гилинский И.А. Волны в пьезокристаллах. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1982. 239 с.

5. Белоконъ A.B., Белоконъ O.A. Гармонические колебания в анизотропной полуплоскости // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский Регион. Естественные науки. 1999. № 4.

6. Белоконъ A.B., Белоконъ O.A. Метод контурного интегрирования в задачах о гармонических колебаниях анизотропной полуплоскости // Известия ВУЗов. северо-Кавказский Регион. Естественные науки. 2000. №3.

7. Белоконъ A.B., Наседкин A.B. Общие энергетические теоремы и принципы излучения для однородных волн // Динамич. задачи МСС, теор. и прикл. вопросы вибрац. просвечивания Земли: Матер, per. конф. Краснодар: Куб. гос. ун-т, 1992. С. 13-14.

8. Белоконь A.B., Ремизов М.Ю. Гармонические колебания бесконечной аниизотропной полосы, жестко связанной с анизотропной полуплоскостью // Москва. Деп. в ВИНИТИ от 29.12.00. №3324-В00. 18 с.

9. Белоконь A.B., Ремизов М.Ю. Вынужденные колебания в системе анизотропные полоса—полуплоскость при жестком и скользящем соединении сред. Сравнительная характеристика свойств энергетических полей // Москва. Деп. в ВИНИТИ от 20.12.01. №2636-В2001. 18с.

10. Белоконь A.B., Ремизов М.Ю. Гармонические колебания в системе анизотропные полоса полуплоскость при жестком и скользящем соединении сред // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский Регион. Естественные науки. 2002. №3. С. 120-121.

11. Брич З.С., Гулецкая О.Н., Капилевич Д.В. Фортран 77 ЕС ЭВМ. М.: Финансы и статистика, 1989. 351с.

12. Будаев B.C. Об одной краевой задаче динамической теории упругих анизотропных сред // ПМТФ, 1975. №3.

13. Будаев В. С. Корни характеристического уравнения и классификация упругих анизотропных сред // МТТ, 1978. № 3.

14. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 319с.

15. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов-на Дону: Изд-во РГУ. 1993. 144 с.

16. Глушков E.B Распределение энергии поверхностного источника в неоднородном полупространстве // ПММ, 1983. Т. 43, N21. Киев: Наук, думка, 1981. 284 с.

17. Глушков Е.В Поток энергии при гармонических колебаниях многослойных упругих сред. В сб.: 4 Всесоюзн. съезд по теор. и прикл. мех., Ташкент, 24-30 сент. 1986. С. 198.

18. Гринченко В. Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наук, думка, 1981. 284 с.

19. Гришин A.C., Лошицкий А.Р. Энергия плоских волн в анизотропных средах // Изв. РАН. МТТ, 1998. №5. С. 111-114.

20. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. 544 с.

21. Дъелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. Применения для обработки сигналов. М.: Наука. 1982. 424 с.

22. Закорко В.Н. К динамической задаче Лемба для однородного полупространства // Дальневосточный математический сборник. Хабаровск, 1972. №3. С. 16-27.

23. Казей И. С. Устаноаившиеся колебанияе жесткой полосы на упругом полупространстве // МГУ-М. 1996. 18 с. Деп. в ВИНИТИ 17.05.96. №1583-В96.

24. Кайбичев И.А., Шавров В.Г Трансформация спектра волн Лява при жестком слое и мягком полупространстве // Акуст. журн., 1993. Т. 39. № 5. С. 848-853

25. Катцан Г. Язык Фортран 77 / Пер. с англ.; Под ред. Ю.М. Бая-ковского. М.: Мир, 1982. 208 с.

26. Каштан Б.М., Ковтун A.A. Программы расчета волновых полей и краткий обзор полученных при их помощи количественных результатов. — В кн.: Распространение объемных волн и методы расчета волновых полей в анизотропных упругих средах. JL: Наука, 1984. 282 с.

27. Каштан Б.М., Ковтун A.A., Решетников В.В. Эталонная задача для вычисления полей сосредоточенных источников в трансверсально-изотропной упругой среде. — В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. JL, 1987. Вып. 27. С. 22-44.

28. Коган С.Я. О сейсмической энергии, возбуждаемой источником, находящимся на поверхности // Изв. АН. СССР. Сер. Геофиз., 1963. №7. С.1000-1013.

29. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.7. Теория упругости. М.: Наука, 1987. С. 124-149.

30. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд. МГУ, 1976. 367с.

31. Ленский B.C. Релеевское движение в упругом полупространстве с несвободной границей // ПММ. 1991. Т. 55. №5. С. 873-875.

32. Майборода В.П., Сафаров И.И., Вазаташвили М.Г. Волны в слое на деформируемом полупространстве // Расчёты на Прочность. М., 1984. №25.

33. Мартыненко М.Д., Мелешко В.В Распределение нормальных волн в слое, лежащем на жестком основании // ПМ, 1986. Т. 22, №7. С. 23-29.

34. Мартынов В.Н. Волновые поля от сосредоточенных источников в трансверсально-изотропных средах // Физика Земли, 1986. №11. С. 19-26.

35. Мелешко B.B. Энергетический анализ волновых движений в задачах Лемба // Прикладная механика, 1981. Т. 17, № 12. С. 76-82.

36. Мкртчян К.Ш. Распространение упругих волн в трансверсально-изотропной упругой полуплоскости под действием касательной гармонической силы // Изв. АН СССР. МТТ, 1989. С. 134-138.

37. Молотков Л.А., Баймагамбетов У. К вопросу об источниках в трансверсально- изотропной упругой среде. — В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. JL, 1982. Вып. 22. С. 5-13.

38. Молотков Л.А., Крауклис П.В. Построение и исследование эффективных моделей сложно-построенных сред при решении прямых и обратных задач теории распространения сейсмических волн. Информационный бюллетень РФФИ, 4 (1996). 5 (январь). 634.

39. Наседкин A.B. Принципы предельного поглощения и предельной амплитуды в стационарных задачах теории упругости // Известия СКНЦ ВШ. Естественные науки, 1986. №4. С. 42-46.

40. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир. 1975. 872с.

41. Оболенцева И.Р., Гречка В.Ю. Лучевой метод в анизотропной среде. Алгоритмы и программы. Новосибирск, 1989. 225 с.

42. Огурцов К.И. Количественные исследования волновых процессов в упругом полупространстве при различных типах воздействий // Уч. зап. ЛГУ,1956. №208.

43. Огурцов К.И., Петрашенъ Г.И. Динамические задачи для упругого полупространства в случае осевой симметрии // Уч. зап. ЛГУ, 1951. № 149.

44. Петрашенъ Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. Л., 1980. 280с.

45. Петрашенъ Г.И. О лучевом методе и поляризации объемных сейсмических волн. — В кн. : Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л., 1981. Вып 21. С. 5-53.

46. Петрашень Г. И. Основы математической теории распространения упругих волн. — В кн. : Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л., 1978. Вып. 18. С. 5-246.

47. Петрашень Г.П., Каштан Б.М. Элементарная теория распространения объемных волн в анизотропных упругих средах. — В кн.: Распространение объемных волн и методы расчета волновых полей в анизотропных упругих средах. Л.: Наука, 1984. 282 с.

48. Петрашень Г.И., Успенский H.H. О распространении волн в слоисто-изотропных упругих средах // Уч. зап. ЛГУ, 1956. №208.

49. Россихин Ю.И. Слабо неоднородная поверхностная волна в изотропном полупространстве при наличии слабой анизотропии у поверхности / / Акустический журнал, 1992. Т. 92. № 5. С. 2741-2746.

50. Сарайкин В.А. Плоская задача Лемба для анизотропного полупространства. Исследование волнового поля в прифронтовых зонах. Численные результаты. / Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых, Новосибирск, 1974. №4. С. 65-75.

51. Сарайкин В.А. Плоская задача Лемба для анизотропного полупространства. Определение напряжений и скоростей частиц. / Физикотехнические проблемы разработки полезных ископаемых, Новосибирск, 1974. №3.

52. Свекло В. А. Упругие колебания анизотропного тела // Уч. зап. ЛГУ, сер.мат.наук. Вып. 17, № 114. 1949. С. 28-71.

53. Свешников А.Г. Принцип излучения // Докл. АН. СССР, 1950. Т. 73, N5. С. 917-920.

54. Снеддон И. Преобразование Фурье. М.: ИЛ, 1955.

55. Умов H.A. Избранные сочинения. Под ред. A.C. Предводителева. М-Л.: Гостехиздат, 1950. 553 с.

56. Успенский И.Н., Огурцов К.И. Сосредоточенные источники в транс-версально-изотропной упругой среде. — В кн. : Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л., 1962. Сб. 6. С. 75-83.

57. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости // Л., 1976. 402 с.

58. Фарнелл Дж. Свойства упругих поверхностных волн. — В кн.: Физическая акустика / Под ред. У. Мезона и Р. Терстона. Т. 6. М.: Мир, 1973. С.139-202.

59. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. М.: 1965. 386 с.

60. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368с.

61. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды. М.: Наука, 1987. 544 с.

62. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. Т. 1,2. М.: Мир, 1978.

63. Физическая акустика / Под ред. У. Мэзона, Т. 7. М.: Мир, 1974.

64. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматгиз, 1958. Т. 1. Гл. 3, 6.

65. Adams G.G., Nosonovsky M. Dilatational and shear waves induced by the frictional sliding of two elastic half-spaces // International Journal of Engineering Science, 39 (2001), И (июль), 1257-1269.

66. Burridge R. Lamb's problem for an anisotropic half-space // Quart. J. Mech. Appl. Math., 1971. V. 24, №1. P. 81-98.

67. Darinskii A. On the theory of elastic wave propagation in a crystal coated with a solid layer. Two-component surface waves and simple reflection // Proc. Roy. Soc., London. A. 2000. 456. №2000. C. 1897-1912.

68. Darinskii A. Symmetry aspects of the existence of high-velocity SAW in layered composites // Physics Letters A, 266 (2000). 2-3 (февраль, 21). 183-186.

69. Duff G.F.D. The Cauchy problem for elastic waves in an anisotropic medium // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. Ser. A, 1960. V. 252. №1010. P. 249273.

70. Hanyда A. Point source in an anisotropic elastic medium. Gerlands beitr. Geophys. 1984. 93, №6. P. 463-479.

71. Kausel E. Dynamic point sources in laminated media via the thin-layer method. International Journal of Solids and Structures, 37 (2000), 43 (октябрь, 25), 6381.

72. Martynov V.N., Mihailenko E.G. Nymerical modelling of propagation of elastic waves in anisotropic inhomogeneous media for half-space and sphere // Geophys. J. Roy. Astr. Soc., 1984. V.76. P. 53-63.

73. Morro A., Caviglia G. Wave propagation condition in linear anisotropic viscoelastic media // International Journal of Engineering Science, 33 (1995), 7 (June). P. 1059-1074.

74. Musgrave M.J.P. Crystal acoustics. San Franc., 1970. 352p.

75. Payton R. G. Two-dimensional anisotropic elastic waves emanating from a point source. Proc. Cambr. Phil. Soc., 1971. V.70, №1.рис.2140 160 180 Qрис.41. ReV-é-vÍD1801. A ReAUWF1рис.6к