Многогранные метрики на границах выпуклых гиперболических многообразий и изгибаемость многогранников в пространстве Лобачевского тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Слуцкий Дмитрий Анатольевич

• Слуцкий Дмитрий Анатольевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Слуцкий Дмитрий Анатольевич

изгибаний

0.2 Условие изгибаемости подвески вВ3

0.3 Многогранные метрики на границах выпуклых квази-

фуксовых многообразий

1 Нежёсткий многогранник с ненулевой вариацией объёма в пространстве Лобачевского

1.1 Построение многогранника

1.2 Условие нежёсткости

1.3 Вычисление метрических элементов тетраэдра Т{1)

1.4 Доказательство Теоремы

1.5 Заключительные замечания

2 Необходимое условие изгибаемости невырожденной подвески в пространстве Лобачевского

2.1 Формулировка основного результата

2.2 Уравнение Коннелли изгибаемости подвески

2.3 Уравнение изгибаемости подвески в терминах длин её рёбер

2.4 Доказательство Теоремы

2.5 Проверка необходимого условия изгибаемости на октаэдрах Брикара - Штахеля в трёхмерном пространстве

Лобачевского

2.5.1 Октаэдры Брикара - Штахеля первого и второго

типов

2.5.2Октаэдры Брикара - Штахеля третьего типа

3 Построение квазифуксова многообразия, содержащего выпуклое компактное множество с заданной многогранной гиперболической метрикой на границе

3.1 Доказательство Теоремы

3.1.1 Построение последовательностей метрик, сходящихся к заданным метрикам

3.1.2Сходимость выпуклых поверхностей в компактной

области пространства Лобачевского Н3

3.1.3Сходимость представлений голономии и раз-

вёртывающих отображений : —>• 1Н13}„е^ и

и§- : 5- е3}„€К......."

3.1.4Адаптация доказательства классической теоремы А. Д. Александрова на случай пространства

Лобачевского

3.1.5 Индуцированные метрики поверхностей и <5^

4 Расстояние между компонентами границы выпуклой компактной области в квазифуксовом многообразии

4.1 Построение цилиндров Су1\ и Су1о

4.2 Свойства цилиндров типа Су1

4.3 /¿-окрестность геодезической на плоскости Лобачевского

е2

4.4 Фундаментальные области цилиндров Су1\ и Су12 на плоскости Лобачевского Н2

4.5 Рассмотрение Ситуации 1 в случае, когда условие ортогональности выполнено

4.6 Рассмотрение Ситуации 2 в случае, когда условие ортогональности выполнено

4.7 Доказательство Теоремы 4.2 в общем случае

4.7.1 Рассмотрение Ситуации 1 в общем случае

4.7.2 Рассмотрение Ситуации 2 в общем случае

4.7.3 Завершение доказательства Теоремы

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многогранные метрики на границах выпуклых гиперболических многообразий и изгибаемость многогранников в пространстве Лобачевского»

Введение

Данная диссертация посвящена решению трёх вопросов из геометрии «в целом», к изложению которых мы и переходим.

0.1 Гипотеза кузнечных мехов на уровне бесконечно малых изгибаний

Многогранник (точнее, многогранная поверхность) называется изгибаемым, если его пространственную форму можно изменить такой непрерывной во времени деформацией, при которой каждая грань не изменяет своих размеров (то есть движется как твёрдое тело), а деформация осуществляется только за счёт непрерывного изменения двугранных углов. Такая деформация называется изгибанием многогранника (см., например, [1]).

Первые изгибаемые многогранники в евклидовом пространстве (коими являются октаэдры) сконструировал Р. Брикар ещё в 1897 году. Современный способ построения октаэдров Брикара был предложен А. Лебегом [2]. Октаэдры Брикара имеют самопересечения. В 1976 году Р. Коннелли сконструировал первый изгибаемый многогранник, вложенный в М3 ([3]; см. также русский перевод [4]).

В теории жёсткости многогранников одной из самых знаменитых проблем являлась гипотеза кузнечных мехов, утверждающая,

что ориентируемый объём изгибаемого многогранника не меняется в процессе изгибания. И. X. Сабитов [5] в 1996 году доказал гипотезу кузнечных мехов в трёхмерном евклидовом пространстве. Доказательство И. X. Сабитова базируется на построении и изучении многочлена, выражающего объём изгибаемого многогранника. Более короткое, однако не дающее способа построения многочлена объёма, доказательство этой теоремы приведено в совместной статье [6] Р. Коннелли, И. X. Сабитова и А. Вольц.

Представляет большой интерес изучение классических вопросов теории многогранников, в том числе и гипотезы кузнечных мехов, не только в евклидовом пространстве, но и в пространствах, локально являющихся пространствами постоянной кривизны, например, в сферическом пространстве, в пространстве Лобачевского, а также в пространствах размерности, больше либо равной трём (см. вопрос 15 в работе И. X. Сабитова [7, стр. 59]).

Несколько лет назад А. А. Гайфуллин доказал гипотезу кузнечных мехов в евклидовом пространстве размерности 4 [8], а затем и в евклидовом пространстве произвольной размерности [9]. Обе работы вышли в печать в 2014 году.

В. А. Александров [10] в 1997 году построил в трёхмерном сферическом пространстве изгибаемый многогранник, объём которого меняется при изгибании этого многогранника. В продолжение этого результата А. А. Гайфуллин [11] в 2015 году построил примеры изгибаемых кросс-политопов в сферических пространствах всех размерностей, гипотеза кузнечных мехов для которых не верна.

А. А. Гайфуллин [12] в 2015 году доказал гипотезу кузнечных мехов в нечетномерных пространствах Лобачевского.

Другим вопросам теории жёсткости и изгибаемости многогран-

ников посвящены недавние работы В. А. Александрова [13, 14], В. А. Александрова и Р. Коннелли [15], А. А. Гайфуллина [16], Д. И. Сабитова и И. X. Сабитова [17], И. X. Сабитова [18].

Широкий обзор теории многогранников, а также формулировки многих нерешённых задач в области «решения многогранников» приведены в статье И. X. Сабитова [7].

Виртуальным многогранником называется разность Минковского двух выпуклых многогранников (см. [19], [20]). Понятия жёсткости и изгибаемости распространяются и на виртуальные многогранники. Так, в 2003 году Г. Ю. Панина [21] доказала, что виртуальные многогранники с выпуклыми веерами являются жёсткими.

Деформацией многогранной поверхности S называется семейство поверхностей S(t), t е (—1,1), аналитически зависящее от параметра t, сохраняющее комбинаторную структуру многогранника S и такое, что <S(0) = S. Деформация многогранной поверхности S с треугольными гранями называется её бесконечно малым изгибанием, если при t = 0 длины всех рёбер поверхности S(t) стационарны. Бесконечно малое изгибание называется нетривиальным, если найдутся две вершины, не соединённые ребром, пространственное расстояние между которыми нестационарно. Многогранник называется нежёстким, если для него найдётся нетривиальное бесконечно малое изгибание.

Пытаясь доказать гипотезу кузнечных мехов, И. X. Сабитов ещё в 1980 году предложил рассматривать её в том числе и на уровне бесконечно малых изгибаний (см. примечание редактора перевода в [4]). Несколько огрубляя ситуацию, мы можем высказать вопрос Сабитова так: верно ли, что при любом бесконечно малом изгибании замкнутой поверхности объём, ограниченный ею, стационарен?

В. А. Александров в своих статьях [22] и [10] даёт отрицательный ответ на вопрос Сабитова для нежёстких многогранников в трёхмерных евклидовом и сферическом пространствах.

В главе 1 данной диссертации я показываю, что гипотеза кузнечных мехов на уровне бесконечно малых изгибаний не верна для нежёстких многогранников в трёхмерном пространстве Лобачевского (см. также [1*]):

Теорема 1.1. В трёхмерном пространстве Лобачевского существует вложенный гомеоморфный сфере нежёсткий многогранник, объём которого нестационарен при некотором бесконечно малом изгибании.

Этот результат был представлен на семинаре отдела анализа и геометрии ИМ СО РАН в феврале 2010 г., семинаре профессора И. X. Сабитова в МГУ в марте 2010 г., семинаре аспирантов Института математики г. Тулуза (Франция) в мае 2010 г., а также на международной научной конференции "Неравенства на объёмы" в Математическом центре г. Банфф (провинция Альберта, Канада) в марте 2010 г.

0.2 Условие изгибаемости подвески в Н3

Подвеской называется многогранник с двумя выделенными вершинами, именуемыми северным и южным полюсом, не соединёнными ребром, каждая из которых при этом имеет общие рёбра со всеми оставшимися вершинами (именуемыми вершинами экватора), а рёбра, соединяющие вершины экватора, образуют цикл.

Октаэдры Брикара [2] служат примером изгибаемых подвесок.

Г. Штахель [23] в 2002 году доказал изгибаемость аналогов октаэдров Брикара в трёхмерном пространстве Лобачевского.

В 1974 году Р. Коннелли [24] доказал, что некоторая комбинация длин рёбер экватора изгибаемой подвески в трёхмерном евклидовом пространстве, взятых со знаком «плюс» или «минус» каждая, равна нулю. С. Н. Михалёв [25] в 2001 году алгебраическими методами передоказал упомянутый выше результат Коннелли и, кроме того, установил, что сумма длин рёбер любого пространственного четырёхугольника, образованного рёбрами подвески и содержащего её северный и южный полюсы, будет равна нулю, если только этим длинам приписать подходящим образом выбранные знаки «плюс» или «минус».

Вслед за Р. Коннелли и С. Н. Михалёвым я получил следующий результат (см. [2*], [3*]), доказательство которого приведено в главе 2 данной диссертации:

Теорема 2.1. Пусть V — невырожденная изгибаемая подвеска в трёхмерном пространстве Лобачевского с полюсами Б и N и вершинами экватора Р), ] = 1,...,У. Тогда существуют такие величины е {+1,-1}, что выполнено тождество

Здесь символ \PjPj+l\ обозначает длину ребра ] =

причем по определению считается, что РуРу+1 = РуР\ и

сЫ

Суу+1 = Су, 1В работе [3*] мы также проверяем справедливость Теоремы 2.1 для октаэдров Брикара - Штахеля в трёхмерном пространстве Лобачевского.

V

Этот результат был представлен на семинаре аспирантов Института математики г. Тулуза (Франция) в апреле 2012 г., а также на международных научных конференциях «Дни геометрии в Новосибирске» в Институте математики имени С. Л. Соболева СО РАН в сентябре 2011 г. и «The Fourth Geometry Meeting» в честь столетия со Дня рождения А. Д. Александрова в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН в августе 2012 г.

0.3 Многогранные метрики на границах выпуклых квазифук-совых многообразий

Напомним для начала две классических теоремы метрической геометрии. Первую доказали А. Д. Александров и А. В. Погорелов [26]:

Теорема 3.2. Пусть h — С^-гладкая метрика на сфере S2, кривизна которой всюду строго больше —1. Тогда существует изометрическое вложение сферы (S2,h) в Н3, единственное с точностью до изометрических преобразований Н3. Такое вложение ограничивает выпуклое тело в Н3.

Второй результат принадлежит М. Громову [27]:

Теорема 3.3. Пусть S — компактная поверхность рода > 2, снабжённая С^-гладкой метрикой h кривизны всюду строго большей чем —1. Тогда существует фуксова группа Г, действующая изометриями в пространстве Лобачевского Н3, такая что поверхность (S, h) изометрически вложена в фактор-пространство

е3/г.

Компактное гиперболическое трёхмерное многообразие М с гра-

ницей дМ называется строго выпуклым [28], если любые две точки М могут быть соединены минимальной геодезической, лежащей во внутренности многообразия М. Из этого условия следует, что кривизна границы дМ всюду строго больше —1 (для нас термин «гиперболичность» означает постоянную кривизну, равную —1).

В 1992 году Ф. Лабури [28] доказал следующий результат, который может считаться обобщением Теорем 3.2 и 3.3:

Теорема 3.4. Пусть М — компактное многообразие с краем, отличное от полного тора, допускающее структуру строго выпуклого гиперболического многообразия и пусть к — С^-гладкая метрика на дМ кривизны, всюду строго большей чем —1. Тогда на многообразии М найдётся гиперболическая метрика д, относительно которой многообразие М является выпуклым, а ограничение метрики д на границу ЭМ совпадает с к:

д |эм= к.

Гиперболическое многообразие М называется квазифуксовым, если предельное множество Км границы на бесконечности универсального накрытия М многообразия М является жордановой кривой.

Мною недавно было получено следующее обобщение Теоремы 3.4:

Теорема 3.5. Пусть М — связное компактное многообразие с краем, которое можно представить в виде: 5 х [—1,1], где 5 — связная замкнутая поверхность рода > 2. Пусть к — метрика на дМ, гиперболическая повсюду, кроме конечного набора конических точек, таких что полный угол вокруг них не превосходит 2п. Тогда на многообразии М найдётся гиперболическая метри-

ка д, относительно которой многообразие М является выпуклым, а ограничение метрики д на границу ЭМ совпадает с к:

9 I дм= Ь*.

Доказательству этого результата посвящены главы 3 и 4 данной диссертации (см. также [4*]).

Упомянем ещё одну классическую теорему А. Д. Александрова о реализации многогранных поверхностей в пространствах постоянной кривизны [29]:

Теорема 3.1. Пусть к — метрика на сфере Б2 постоянной секционной кривизны К, К е К, повсюду кроме конечного набора конических точек таких, что полный угол вокруг них не превосходит Ъг. Тогда в трёхмерном пространстве Як постоянной кривизны К существует выпуклый многогранник, единственный с точностью до изометрических преобразований Як, индуцированная метрика которого совпадает с к. При этом мы полагаем, что дважды покрытые плоские в Як выпуклые многоугольники также являются выпуклыми многогранниками.

Теорема 3.5 также является аналогом Теоремы 3.1 для выпуклых гиперболических многообразий с многогранной границей.

В 2002 году Ж.-М. Шленкер [30] показал единственность метрики д в Теореме 3.4. То есть, им доказана

Теорема 3.6. Пусть М — компактное связное многообразие с границей, отличное от полного тора, на котором возможно задать кокомпактную полную гиперболическую метрику, многообразие М относительно которой является строго выпуклым. Пусть д — такая гиперболическая метрика на М, что граница ЭМ —

строго выпуклая и С°°-гладкая. Тогда кривизна К индуцированной метрики I на дМ строго больше —1. Кроме того, для каждой С°°-гладкой метрики h на дМ, такой что К > —1, существует ровно одна метрика g на многообразии М, которая индуцирует h на дМ.

Было бы естественно предположить, что метрика g из формулировки Теоремы 3.5 является единственной. К сожалению, методы, использованные при доказательстве Теоремы 3.5 не позволяют подтвердить или опровергнуть это предположение.

Теорема 3.5 и её доказательство были представлены на семинаре «Геометрия и топология трёхмерных многообразий» в Институте передовых математических исследований в г. Страсбург (Франция) в ноябре 2013 г. и на семинаре «Геометрия, топология и их приложения» под руководством академика РАН И. А. Тайманова в Институте математики имени С. Л. Соболева СО РАН в г. Новосибирске в декабре 2013 г, а также на международных научных школах-конференциях «GEAR Junior Retreat» в Университете Мичигана в г. Энн Арбор (США) в мае 2014 г. и «Теория пространств Тайхмюллера и поверхности в трёхмерных многобразиях» в Высшей Нормальной Школе в г. Пиза (Италия) в июне 2014 г., на тематическом дне «Ограниченная кривизна в смысле А. Д. Александрова» в университете Сержи-Понтуаз в г. Париж (Франция), на семинаре «Дискретизация в геометрии и динамике» в Техническом университете г. Берлин (Германия) в марте 2015 г.

В рамках соглашения о двойном научном руководстве, заключённого между Институтом математики имени С. Л. Соболева СО РАН

(г. Новосибирск, Россия) и Университетом Поля Сабатье (г. Тулуза, Франция) в 2008 году, эта диссертация была мною успешно защищена в Университете Поля Сабатье 1го октября 2013 г. с присвоением степени доктора Университета Поля Сабатье — Тулуза III по направлению «фундаментальная математика» (французского аналога российской учёной степени кандидата физико-математичеких наук).

Результаты данной диссертации также были целиком представлены на международной научной конференции «Геометрические структуры и многообразиия представлений» в Корейском Институте передовых научных исследований (KIAS) в г. Сеул в ноябре 2014 г. и на семинаре Отдела анализа и геометрии в Институте математики имени С. Л. Соболева СО РАН в г. Новосибирск в декабре 2015 г.

Глава 1

Нежёсткий многогранник с ненулевой вариацией объёма в пространстве Лобачевского

Гипотеза кузнечных мехов утверждает, что ориентируемый объём изгибаемого многогранника не меняется в процессе изгибания. В 1996 году И.Х. Сабитов [5] доказал гипотезу кузнечных мехов в трёхмерном евклидовом пространстве. Доказательство И. X. Сабитова базируется на построении и изучении многочлена, выражающего объём изгибаемого многогранника. Более короткое, однако не дающее способа построения многочлена объёма, доказательство этой теоремы приведено в совместной статье [6] Р. Коннелли, И. X. Сабитова и А. Вольц.

Представляет большой интерес изучение классических вопросов теории многогранников, в том числе и гипотезы кузнечных мехов, не только в евклидовом пространстве, но и в пространствах, локально являющихся пространствами постоянной кривизны, например, в сферическом пространстве, в пространстве Лобачевского, а также в пространствах размерности, больше либо равной трём (см. вопрос 15

в работе И. X. Сабитова [7, стр. 59]).

Несколько лет назад А. А. Гайфуллин доказал гипотезу кузнечных мехов в евклидовом пространстве размерности 4 [8], а затем и в евклидовом пространстве произвольной размерности [9]. Обе работы вышли в печать в 2014 году.

В. А. Александров [10] в 1997 году построил в трёхмерном сферическом пространстве изгибаемый многогранник, объём которого меняется при изгибании этого многогранника. В продолжение этого результата А. А. Гайфуллин [11] в 2015 году построил примеры изгибаемых кросс-политопов в сферических пространствах всех размерностей, гипотеза кузнечных мехов для которых не верна.

A. А. Гайфуллин [12] в 2015 году доказал гипотезу кузнечных мехов в нечетномерных пространствах Лобачевского.

Широкий обзор теории многогранников, а также формулировки многих нерешённых задач в области «решения многогранников» приведены в статье И. X. Сабитова [7].

В примечании редактора перевода в [4] И.Х. Сабитов предложил рассматривать гипотезу кузнечных мехов на уровне бесконечно малых изгибаний. Несколько огрубляя ситуацию, мы можем высказать вопрос И. X. Сабитова так: верно ли, что при любом бесконечно малом изгибании замкнутой поверхности объём, ограниченный ею, стационарен? Если бы ответ на этот вопрос был положительным, то из этого бы автоматически следовала справедливость общей гипотезы кузнечных мехов.

B. А. Александров в [22] дал отрицательный ответ на вопрос И. X. Сабитова для нежёстких многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве. Из упомянутого в [10] примера изгибаемого многогранника в трёхмерном сферическом пространстве, кото-

рый в процессе изгибания изменяет свой объём, очевидно вытекает, что для нежёстких многогранников в трёхмерном сферическом пространстве ответ на этот вопрос тоже отрицателен. В данной главе будет доказана следующая

Теорема 1.1. В трёхмерном пространстве Лобачевского существует вложенный гомеоморфный сфере нежёсткий многогранник, объём которого нестационарен при некотором бесконечно малом изгибании.

Данный результат был опубликован в [1*].

Многогранник, о котором идёт речь в Теореме 1.1, построен явно. Он аналогичен многограннику в евклидовом пространстве, построенному А. Д. Александровым и С.М. Владимировой [31] и позднее изучавшемуся А. Д. Милкой [32]. Другой пример нежёсткого многогранника в трёхмерном евклидовом пространстве (октаэдр некоторого специального типа) был описан Г. Глюком ([33]; см. также русский перевод [34]).

1.1 Построение многогранника 5

На протяжении всей этой главы под термином «многогранник» мы будем понимать многогранную поверхность.

Рассмотрим правильную п-угольную невыпуклую пирамиду V в трёхмерном пространстве Лобачевского, в основании которой лежит правильная п-угольная звезда с вершинами А{, Вг, г = 1 а ортогональная проекция вершины N пирамиды совпадает с центром С этой звезды (см. Рис. 1.1). Отразим пирамиду V относительно плоскости её основания. Обозначим через 5 подвеску, которая является

Рис. 1.1: Боковая поверхность V. Рис. 1.2: Тетраэдр Т.

объединением исходной и отражённой пирамид за вычетом их общего основания. Точку, симметричную N относительно плоскости основания V, обозначим через S. Экватором подвески S называем цикл, образованный рёбрами основания пирамиды V.

Отметим, что по построению длины всех рёбер экватора S равны друг другу. Кроме того, равны между собой длины всех рёбер SA¡, NA¡, i = 1, ...,n, а также длины всех рёбер NB¡, SB¡, i = 1, ...,n.

В силу построения подвеска S обладает множеством симметрий и ограниченное S пространственное тело, состоит из одинаковых «кирпичиков» — тетраэдров. Один из таких тетраэдров изображён на рисунке 1.2. Обозначим его поверхность через Т, а его вершины через N, А, В, С. Обратим внимание, что по построению ÁACN = ÁBCN = 7г/2. Для длин рёбер и плоских углов тетраэдра Т используем следующие обозначения: \CN\ = h, \СА\ = р, \СВ\ = q, \АВ\ = a, \NA\ = Ь, \NB\ = с, ZACB = а, АС AN = ß, ABAN = 7, АС AB = 6, ACBN = tp, ACBA = ф, AABN = в,

ААЫВ = Л, АСЫ А = ¡л, АСЫВ = и. Обозначим двугранные углы тетраэдра Т при ребре АВ через ААВ, при ребре ЫА через АЫА, при ребре ЫВ через АЫВ.

По построению двугранный угол тетраэдра Т при ребре СЫ равен а, двугранные углы подвески 5 при рёбрах экватора равны 2ААВ, при рёбрах NAi и БА{ , г = 1, ...,п, равны 2при рёбрах NBi и БВ{ , г = 1,...,п, равны 2/ТУБ.

Далее мы покажем, что в качестве многогранника, существование которого утверждается в Теореме 1.1, можно взять построенную выше подвеску

1.2 Условие нежёсткости

Деформацией многогранной поверхности 5 называется семейство поверхностей I е (—1,1), аналитически зависящее от параметра I, сохраняющее комбинаторную структуру многогранника 5 и такое, что 5(0) =

Деформация многогранной поверхности 5 с треугольными гранями называется её бесконечно малым изгибанием, если при 1 = 0 длины всех рёбер поверхности ¿>(£) стационарны.

Бесконечно малое изгибание называется нетривиальным, если найдутся две вершины, не соединённые ребром, пространственное расстояние между которыми нестационарно.

Многогранник называется нежёстким, если для него найдётся нетривиальное бесконечно малое изгибание.

Рассмотрим деформацию подвески 5, определяемую следующим образом. Точка С неподвижна. Точка N в момент времени I переходит в точку N(1), которая лежит на луче С1\ и находится от точки

С на расстоянии, определяемом формулой

h(t) = h + tu, (1.1)

где и есть некоторое вещественное число, которое имеет смысл скорости и которое мы конкретизируем в ходе дальнейшего рассмотрения. Точка S в момент времени t переходит в точку S(t), которая лежит на луче и находится от точки С на расстоянии, также определяемом формулой (1.1). Точка A¡, i = 1 в момент времени t переходит в точку A%(t), которая лежит на луче CA¡ и находится от точки С на расстоянии, определяемом формулой p(t) = p + tv, где V — некоторое вещественное число, которое имеет смысл скорости. Точка Вг, i = 1 в момент времени t переходит в точку B%(t),

которая лежит на луче CB¡ и находится от точки С на расстоянии, определяемом формулой q(t) = q + tw, где w — некоторое вещественное число, которое имеет смысл скорости и которое будет уточнено ниже.

Для определения движения других точек подвески S(t) воспользуемся утверждением теоремы Чевы в пространстве Лобачевского [35]:

Теорема 1.2. На сторонах ВС, С А и АВ треугольника ААВС взяты точки А, В и С. Тогда отрезки AÁ, ВЁ и С С пересекаются в одной точке в том и только том случае, когда выполняется одно из следующих эквивалентных соотношений:

sin Z^АС С sin АВ АА sin АС В В _ sin ZCCВ sin ZÁAC sin ABBA ~ ' shACshBÁshCB _ i shCBshÁCshBA ~

В терминах формулировки теоремы Чевы 1.2 в качестве нового положения произвольной точки Р ребра АВ в момент времени t возьмём такую точку P(t) отрезка A(t)B(t), для которой справедливо равенство

sh A{t)P{t) _ sh АР shP{t)B{t) ~ shPB' Для того, чтобы определить движение внутренней точки Q грани ААВС, построим сначала точки А, В и С, как пересечения рёбер ВС, С А и АВ с лучами AQ, BQ и CQ, и определим их положения A(t), B(t) и C(t) в момент времени t методом, описанным выше. По теореме Чевы 1.2 отрезки A(t)A(t), B(t)B(t) и C(t)C(t) пересекаются в одной точке (соотношение (1.2) остаётся верным при любом t). Эту точку мы и будем считать новым положением Q(t) точки Q в момент времени t.

Описанная деформация подвески естественным образом порождает деформацию тетраэдра Т, которую мы обозначаем через T{t). Длины всех рёбер, а также величины плоских и двугранных углов тетраэдра T(t) являются функциями параметра t и их обозначения наследуются из обозначений для соответствующих величин тетраэдра Т, например, длину ребра \N(t)A(t)\ обозначаем через b(t), величину угла ZCA(t)N(t) — через /3(t), а значение двугранного угла T{t) при ребре N{t)A{t) — через ZN{t)A{t) и т. д.

Найдём соотношения на u, v и w, при которых эта деформация является бесконечно малым изгибанием. Поскольку изгибания всех граней подвески S однотипны, достаточно изучить такую деформацию для грани ABN тетраэдра Т.

Применим теорему Пифагора для пространства Лобачевского [36]

к треугольнику AN(t)CA(t):

chb{t) = ch{h + tu) ch{p + t.v) (1.3)

и к треугольнику AN(t)CB(t):

chc(i) = ch(h + tu) ch(q + tw) (1.4)

тетраэдра T{t).

Поскольку угол а в ходе деформации не меняется и остаётся равным то по теореме косинусов для пространства Лобачевского [36], применённой к треугольнику AA(t)CB(t), имеем:

ch a(t) = ch(р + tv) ch(q + tw) — sh(p + t.v) sh(q + tw) cos a. (1.5)

Далее нам будет удобно следить за стационарностью не самой длины l(t) какого-то ребра многогранника S(t), а за стационарностью функции f(t) = ch l(t), ведь /'(О) = //(0)sh/(0) и тем самым /'(О) = 0 тогда и только тогда, когда ¿'(0) = 0, поскольку /(0) > 0. Продифференцируем соотношение (1.3):

(ch b(t))' = ush(h + tu) ch(p + tv) + v ch(h + tu) sh(p + tv).

Тогда условие стационарности длины b(t) ребра N(t)A(t) эквивалентно

(ch b{t.))' |i=o = и sh h chp + v ch h shp = 0,

или

th h

v = -——u. (1.6)

th p

Аналогично стационарность длины c(t) ребра N(t)B(t) эквивалентна условию

th h

Ш = ~th~qU' ^ '

Продифференцировав соотношение (1.5), найдём условие стационарности длины а(1) ребра А(1)В(1)\

(сЬа(/:))/|^=о = узЪрсЪд+гисЪрзЪд—соза^сЪрзЪд+гизЪрсЪд} = 0.

(1.8)

Подставив (1.6) и (1.7) в (1.8), получаем:

■uthh

(chpshq shpchgi shpchq chpshq

cosc^ —---1---->--------

I tn p tn q ) til p til q

= 0.

Таким образом, рассматриваемая деформация подвески S является бесконечно малым изгибанием, если выполнены соотношения (1.6), (1.7) и

(chpshq shpchq cosck —---1----> = 2 clip eng.

I tap thq J

Тем самым, подвеска S допускает бесконечно малое изгибание описанного в начале этого раздела вида если и только если р, q и а связаны следующим образом:

thp 1 ± sin а til q cos a

Построенное изгибание является нетривиальным, потому что расстояние между полюсами N(t) и S(t) нестационарно.

Как отмечено в работе [4], существует естественное соответствие между бесконечно малыми изгибаниями многогранника (или некоторого каркаса) в евклидовом пространстве и в пространстве Лобачевского (а также и в сферическом пространстве). Его можно установить при помощи отображения Погорелова, или же придавая коническую форму окрестностям вершин многогранников. Как следствие, установить, является ли многогранник S нежёстким можно, рассмотрев его образ в клейновой (проективной) модели пространства Лобачевского как евклидов многогранник, однако следует пом-

нить, что параметры изгибания у полиэдра 5 пространства Лобачевского и у его евклидова собрата — разные. Интересный проективный подход к изучению бесконечно малых изгибаний, а равно и других вопросов теории жёсткости, изложен в некоторых работах Уолтера Уайтли, например, в [37].

1.3 Вычисление метрических элементов тетраэдра T{t)

Получим формулы для двугранных углов ZA(t.)B(t), ZN(t)A(t), ZN(t)B(t) тетраэдра T{t), которые нам понадобятся для доказательства Теоремы 1.1.

Вычислим для начала синусы и косинусы плоских углов тетраэдра

Tit).

Для вычисления косинуса угла (3(t) применим теорему косинусов для пространства Лобачевского к треугольнику ACA(t)N(t)\ ch(/i + tu) = ch(p + tv) ch b(t) — sh(p + tv) shb(t) cos/3(t). Тогда с учётом (1.3) и формул гиперболической тригонометрии получаем:

sh(p + tv) ch(h + tu) sh(p + tv) ch(h + tu)

ch2{h + tu)ch2{p + tv) - 1

(1.10)

Здесь и далее в качестве л/s мы берём любую ветвь квадратного корня, которая положительному вещественному аргументу s ставит в соответствие положительное вещественное значение. Для вычисления синуса угла (3(t) применим теорему синусов для пространства Лобачевского [36] к треугольнику ACA(t)N(t) :

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Слуцкий Дмитрий Анатольевич, 2016 год

Литература

[1] Тихомиров, В.М. Вспоминаем Николая Владимировича Ефимова / В.М. Тихомиров, И.Х. Сабитов. — М.: МЦНМО, 2014. — 123 с.

[2] Lebesgue, H. Octaèdres articules de Bricard / H. Lebesgue // Enseign. Math., II. Ser. — 1967. — Vol. 13. — P. 175- 185.

[3] Connelly, R. Conjectures and open questions in rigidity / R. Connelly // International Congress of Mathematicians (Helsinki; 1978). — Helsinki, 1980. — Vol. 1. — P. 407-414.

[4] Коннелли, Р. Некоторые предположения и нерешенные вопросы в теории изгибаний / Р. Коннелли // Исследования по метрической теории поверхностей. — М.: Мир, 1980. — С. 228-238. — (Математика: новое в зарубежной науке; т. 18).

[5] Сабитов, И.Х. Объем многогранника как функция его метрики / И.Х. Сабитов // Фундам. и прикл. мат. — 1996. — Т. 2, Вып. 4. — С. 1235- 1246.

[6] Connelly, R. The Bellows conjecture / R. Connelly, I. Sabitov, A. Walz // Beitr. Algebra Geom. — 1997. — Vol. 38, №1. — P. 1-10.

[7] Сабитов, И.Х. Алгебраические методы решения многогранников / И.Х. Сабитов // Успехи мат. наук — 2011. — Т. 66, № 3(399). - С. 3-66.

[8] Gaifullin, A. A. Sabitov polynomials for volumes of polyhedra in four dimensions / A. A. Gaifullin // Adv. Math. — 2014. — Vol. 252. - P. 586-611.

[9] Gaifullin, A. A. Generalization of Sabitov's theorem to polyhedra of arbitrary dimensions / A. A. Gaifullin // Discrete Comput. Geom. - 2014. - Vol. 52, № 2. - P. 195-220.

[10] Alexandrov, V. An example of a flexible polyhedron with nonconstant volume in the spherical space / V. Alexandrov // Beitr. Algebra Geom. - 1997. - Vol. 38, №1. - P. 11-18.

[11] Гайфуллин, А. А. Вложенные изгибаемые сферические кросс-политопы с непостоянными объемами / А. А. Гайфуллин// Геометрия, топология и приложения. Сборник статей. К 70-летию со дня рождения проф. Н. П. Долбилина. — М.: МАИК, 2015. - С. 67-94. - (Тр. МИАН; т. 288).

[12] Гайфуллин, А. А. Аналитическое продолжение объема и гипотеза кузнечных мехов в пространствах Лобачевского / А. А. Гайфуллин // Мат. сб. - 2015. - Т. 206, № 11. - С. 61 -112.

[13] Alexandrov, V. Algebra versus analysis in the theory of flexible polyhedra / V. Alexandrov // Aequationes Math. — 2010. — Vol. 79, № 3. - P. 229-235.

[14] Александров, В. А. Множество изгибаемых невырожденных многогранников данного комбинаторного строения не все-

гда является алгебраическим / В. А. Александров // Сиб. мат. ж. - 2015. - Т. 56, № 4. - С. 723-731.

[15] Alexandrov, V. Flexible suspensions with a hexagonal equator / V. Alexandrov, R. Connelly // 111. J. Math. - 2011. - Vol. 55, № 1. - P. 127- 155.

[16] Гайфуллин, A.A. Изгибаемые кросс-политопы в пространствах постоянной кривизны / A.A. Гайфуллин// Алгебраическая топология, выпуклые многогранники и смежные вопросы, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН В. М. Бухштабера. — М.: МАИК, 2014. — С. 88- 128. - (Тр. МИАН; т. 286).

[17] Сабитов, Д. И. Многочлены объема для некоторых многогранников в пространствах постоянной кривизны / Д. И. Сабитов, И.Х. Сабитов // Модел. и анализ информ. систем — 2014,- Т. 19, № 6.-С. 161 - 169.

[18] Сабитов, И.Х. Об одном классе неизгибаемых многогранников / И.Х. Сабитов // Сиб. мат. ж. — 2014. — Т. 55, № 5. — С. 1175- 1183.

[19] Панина, Г. Ю. Виртуальные многогранники и классические вопросы геометрии / Г.Ю. Панина // Алгебра и анализ — 2002. - Т. 14, № 5. - С. 152- 170.

[20] Панина, Г. Ю. Виртуальные многогранники / Г. Ю. Панина, И. Стрейну // Успехи мат. наук — 2015. — Т. 70, № 6(426). — С. 139-202.

[21] Panina, G. Rigidity and flexibility of virtual polytopes /

G. Panina 11 Cent. Eur. J. Math. - 2003. - Vol. 1, № 2. -P. 157- 168.

[22] Александров, В. А. Замечания к гипотезе Сабитова о стационарности объема при бесконечно малом изгибании поверхности / В. А. Александров // Сиб. мат. ж. — 1989. — Т. 30, № 5. - С. 16-24.

[23] Stachel, H. Flexible octahedra in the hyperbolic space /

H. Stachel// Non-Euclidean geometries/ Jânos Bolyai memorial volume: [proc. from the International conference on hyperbolic geometry (Budapest, Hungary; July 6-12, 2002)]. — New York: Springer, 2006. - P. 209-225. - (Mathematics and its Applications; vol. 581).

[24] Connelly, R. An attack on rigidity. I, II. / R. Connelly // Bull. Am. Math. Soc. - 1975. - Vol. 81. - P. 566-569.

[25] Михалёв, С. H. Некоторые необходимые метрические условия изгибаемости подвесок / С.Н. Михалёв // Вестн. Моск. унта. Сер. 1. Матем. Мех.-2001,- № 3. - С. 15-21.

[26] Погорелов, А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей / А. В. Погорелов. - М.: Наука, 1969. - 760 с.

[27] Gromov, M. Partial differential relations / M. Gromov. — Berlin: Springer-Verlag, 1986. — 363 p.

[28] Labourie, F. Métriques prescrites sur le bord des variétés hyperboliques de dimension 3 / F. Labourie // J. Differ. Geom. — 1992. - Vol. 35, № 3. - P. 609-626.

[29] Александров, А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей / А. Д. Александров. - М.;Л.: ОГИЗ, 1948. - 387 с.

[30] Schlenker, J.-M. Hyperbolic manifolds with convex boundary / J.-M. Schlenker // Invent. Math. - 2006. - Vol. 163, № 1. - P. 109- 169.

[31] Александров, А. Д. Об изгибании многогранника с твёрдыми гранями / А. Д. Александров, С.М. Владимирова // Вестн. ЛГУ. Математика. Механика. Астрономия. — 1962.— Т. 3, № 13.-С. 138-141.

[32] Милка, А. Д. Нежёсткие звёздчатые бипирамиды А. Д. Александрова и С.М. Владимировой / А. Д. Милка// Труды по анализу и геометрии. — Новосибирск: Изд-во Инс-та математики, 2000. - С. 414-430.

[33] Gluck, Н. Almost all simply connected closed surfaces are rigid / L. C. Glaser et al.// Geometric Topology: Proc. Conf. (Park City; Febr. 19-22, 1974) - New York: Springer, 1975. - P. 225239 - (Lect. Notes Math.; vol. 438).

[34] Глюк, Г. Почти все односвязные замкнутые поверхности неизгибаемы / Г. Глюк // Исследования по метрической теории поверхностей. — М.: Мир, 1980. — С. 148- 163. — (Математика: новое в зарубежной науке; т. 18).

[35] Прасолов, В. В. Геометрия Лобачевского / В. В. Прасолов. — М.: МЦНМО, 2004. - 89 с.

[36] Алексеевский, Д. В. Геометрия пространств постоянной кривизны / Д. В. Алексеевский, Э.Б. Винберг, А. С. Солодовников// Современные проблемы математики. Фундаментальные

направления. (Итоги науки и техники). — Т. 29. — М.: ВИНИТИ, 1988. - С. 5-146.

[37] Crapo, Н. Statics of frameworks and motions of panel structures, a projective geometric introduction / H. Crapo, W. Whiteley // Structural Topology - 1982. - Vol. 6. - P. 43-82.

[38] Alexander, R. Lipschitzian mappings and total mean curvature of polyhedral surfaces. I. / R. Alexander // Trans. Am. Math. Soc. - 1985. - Vol. 288. - P. 661 -678.

[39] Bricard, R. Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé / R. Bricard // J. Math. Pures Appl. - 1897. - Vol. 3. - P. 113-150.

[40] Anderson, J.W. Hyperbolic geometry / J.W. Anderson. — London: Springer, 2005. — 276 p.

[41] Benedetti, R. Lectures on hyperbolic geometry / R. Benedetti, C. Petronio. — London: Springer, 2003. — 330 p.

[42] Бицадзе, А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного / А. В. Бицадзе. — М.: Наука, 1984. — 240 с.

[43] Ahlfors, L. Complex analysis / L. Ahlfors. — New York: McGraw-Hill Book Co., 1978. - 331 p.

[44] Alexandrov, V. The Dehn invariants of the Bricard octahedra / V. Alexandrov // J. Geom. - 2010. - Vol. 99, № 1-2. - P. 1-13.

[45] Matsuzaki, К. Hyperbolic manifolds and Kleinian groups / K. Matsuzaki, M. Taniguchi. — Oxford: Clarendon Press, 1998. — 253 p. — (Oxford Mathematical Monographs).

[46] Otal, J.-P. Le théorème d'hyperbolisation pour les variétés fibrées de dimension 3 / J.-P. Otal. — Paris: Soc. Math, de France, 1996. - 159 p. - (Astérisque; vol. 235).

[47] Canary, R.D. Notes on notes of Thurston / R.D. Canary, D.B.A. Epstein, P. L. Green // Fundamentals of hyperbolic geometry: selected expositions. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2006. - P. 1-115. - (London Math. Soc. Lecture Note Ser.; vol. 328).

[48] Moroianu, S. Quasi-Fuchsian manifolds with particles / S. Moroianu, J.-M. Schlenker 11 J. Differ. Geom. - 2009. -Vol. 83, № 1. - P. 75- 129.

[49] Соболев, С. Jl. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике / С. Л. Соболев. — Л.: Изд. ЛГУ, 1950. - 255 с.

[50] Gallot, S. Riemannian geometry / S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine. — Berlin: Springer-Verlag, 2004. — 322 p.

[51] Brock, J. F. Iteration of mapping classes and limits of hyperbolic 3-manifolds / J.F. Brock 11 Invent. Math. - 2001. - Vol. 143, № 3. - P. 523-570.

[52] Dieudonné, J. Foundations of modern analysis / J. Dieudonné. — New York; London: Acad. Press, 1960. — 361 p. — (Pure and Applied Mathematics; vol. X).

[53] Matsuzaki, К. Indecomposable continua and the limit sets of Kleinian groups / W. Abikoff et al.// In the tradition of Ahlfors and Bers: proc. of the 3rd Ahlfors-Bers colloquium (Storrs; Oct. 18-21, 2001). - Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2004. - P. 321 -332. — (Contemporary Mathematics; vol. 355).

[54] Александров, А. Д. Полные выпуклые поверхности в пространстве Лобачевского / А. Д. Александров // Изв. АН СССР. Сер. мат.- 1945,- Т. 9, № 2. - С. 113 - 120.

[55] Otal, J.-P. Les géodésiques fermées d'une variété hyperbolique en tant que nœuds / Y. Komori, V. Markovic, C. Series.// Kleinian groups and hyperbolic 3-manifolds (Warwick, 2001). — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2003. — P. 95- 104. — (London Math. Soc. Lecture Note Ser.; vol. 299).

[56] Ballmann, W. Manifolds of nonpositive curvature / W. Ballmann, M. Gromov, V. Schroeder. — Boston e. a.: Birkhàuser, 1985. — 263 p. — (Progress in Mathematics; vol. 61).

Список публикаций автора по теме диссертации

[1*] Слуцкий, Д. А. Нежесткий многогранник с ненулевой вариацией объема в пространстве Лобачевского / Д. А. Слуцкий // Сибирский математический журнал. — 2011. — Т. 52, №1. — С. 167- 176.

[2*] Слуцкий, Д. А. Соотношение между длинами рёбер экватора изгибаемой подвески в пространстве Лобачевского / Д. А. Слуцкий // Доклады Академии наук. — 2013. — Т. 449, №1. - С. 11-14.

[3*] Слуцкий, Д. А. Необходимое условие изгибаемости невырожденной подвески в пространстве Лобачевского / Д. А. Слуцкий // Математический сборник. — 2013. — Т. 204, №8. — С. 117-136.

[4*] Slutskiy, D. Polyhedral metrics on the boundaries of convex compact quasi-Fuchsian manifolds / D. Slutskiy // Comptes Rendus. Mathématique. Académie des Sciences, Paris. — 2014. — Vol. 352, № 10. - P. 831 -834.