Численное моделирование безударного сильного сжатия одномерных слоев политропного газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Николаев, Юрий Владимирович

• Николаев, Юрий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Николаев, Юрий Владимирович

Введение

Глава 1.

1.1 1.

Задача о безударном сильном сжатии идеального 18 политропного газа в случае конфигурации Мизеса Постановка задачи Мизеса

Теоремы о существовании и единственности решения описывающего течения в газе при конфигурации Мизеса

Алгоритм расчета течения методом характеристик

Результаты расчетов и выводы Задача о получении других финальных распреде- 4G лений

Глава 2. Задача Крайко о безударном переходе из покоя в покой

Постановка задачи

Теоремы о существовании и единственности решения описывающего течения в газе при конфигурации Крайко

Численный метод решения Результаты расчетов и выводы Решение задачи Крайко в г=0 Сравнение двух решений задачи о безударном сильном сжатии

2.5 2.G

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование безударного сильного сжатия одномерных слоев политропного газа»

Диссертация 1 иосвящсна математическому моделированию двух способов безударного сильного сжатия одномерного слоя политроиного газа. Первый способ описывает течения, возникающие в газе при переводе его из однородного покоящегося состояния в однородный движущийся поток. Второй способ описывает течения, возникающие в газе при переводе его из однородного покоящегося состояния также в однородное покоящееся состояние с большим значением плотиости. Математическое моделирование этих течений основано на соответствующих численных методах и реализованно с помощью созданного комплекса программ для персонального компьютера.

В задачах физики часто возникает необходимость произвести сжатие газа до больших значений плотности. В частности, получение больших плотностей требуется при лазерном (инерционном) термоядерном синтезе, при котором происходит слияние легких атомных ядер в более тяжелые ядра. Для реализации таких реакций требуется получить достаточно большое значение плотности у относительно больших масс исходного вещества.

Считается [1], что исследование безударного сильного сжатия в рамках модели газовой динамики для идеального политропного газа позволит выявить основные закономерности и дать некоторые рекомендации для реального осуществления требуемых процессов получения больших значений плотности. Конечно, при требуемых плотностях и температурах газ будет далеко не идеальной средой: изменяются физико-химические свойства, будут происходить процессы ионизации, диффузные процессы, перенос энергии излучением. Ясно, что эти обстоятельства приводят к существенному усложнению математической модели и делают ее труднодоступной для качественного анализа. Том не менее существенно, что упомянутые сложные физико-химические процессы в газе происходят на общем фоне чисто газодинамического течения, свойства которого во многом являются определяющими и подлежат независимому изучению. Это обстоятельство послужило основой того, что в диссертации рассмотрена модель идеального иолитропного газа.

В работе [1] отмечено, что "куммуляция (сильный рост плотиости и давления) свойственна непрерывным средам и безусловным ее ограничением служит атомизм (конечные размеры атомов и их пробегов), но связанный с этим предел но размерам обычно в миллионы раз дальше того, что изучается в самых тонких опытах, и тогда практически несуществен". Там же отмечено, что, "несмотря на неустойчивость кумуляции в сплошных средах, она остается очень полезной идеализацией, допускающей точные решения и указывающей как к пей приближаться практически, не рассчитывая, однако, на

1 Исследование поддержано РФФИ, проекты 02-01-01122, 04-01-00205. самофокусировку (т.е. надо прилагать определенные усилия)".

Современное состояние теории газовой динамики в значительной степени было определено результатами полученными очень многими авторами на протяжении 140-летних исследований. В основу легла классическая работа Б. Римана 18G0 г. [2] по описанию волны сжатия в плоскосимметричном течении идеального газа. Система уравнений газовой динамики, постановки различных начально-краевых задач для нее, теоремы о существовании решений у такой системы - все это изложено в хорошо известных учебниках по газовой динамике, авторами которых являются: JI.B. Овсянников [3]; Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко [4]; Л.Г. Лойцянский [5]; Г.Г. Черный [6].

При математическом моделировании процессов безударного сильного сжатия с помощью построения решений системы уравнений газовой динамики можно выделить два различных подхода:

1. Использование точных решений, полученных исходя из заранее указанных свойств этих решений: симметрия, автомодельность, линейность по части переменных и т.п. Только после построения этих решений под них подбираются начально-краевые задачи, имеющие содержательный газодинамический смысл.

2. Сначала ставятся нужные (с точки зрения газовой динамики для получения соответствующих течений сжатия) начально-краевые задачи для системы уравнений газовой динамики, а затем ищутся решения этих задач и анализируются свойства этих решений.

Исследования в рамках первого подхода привели к четырем точным решениям системы уравнений газовой динамики, описывающим процесс безударного сильного сжатия первоначально однородного и покоящегося газа:

1. Простая центрированная волна Б. Римана, описывающая сжатие одномерного плоско-симметричного слоя до бесконечной плотности (см., например, работы [1, 7]). Непрерывная состыковка этого течения с однородным движущимся потоком произведено Р. Мизесом и, следовательно, в случае плоской симметрии получено безударное сильное сжатие до любого наперед заданного значения плотности.

2. Автомодельные решения, подробно описанные в книге Л.И. Седова [8], интерпретированные Я.М. Кажданом [9], И.Е. Забабахиным и В.А. Симонен-ко [10] на сжатие одномерных объемов газа со сферической или цилиндрической симметрией и, в последующем, детально исследованные А.Н. Крайко, Н.И. Тилляевой [11].

3. Двумерное решение В.А. Сучкова [12], интерпретированное А.Ф. Сидоровым [13] на сжатие призмы при согласованных значениях показателя 7 и угла призмы.

4. Трехмерное решение А.Ф. Сидорова [13, 14], описывающее сжатие многогранника при согласованных значениях показателя у и двугранных углов.

Второй подход к решению задачи о безударном сильиом сжатии был предложен в книге С.П. Баутина [15], где установлено, что течения, реализующие безударное сильное сжатие различных объемов газа, описываются решением соответствующих характеристических задач Коши.

В работе [15] показано, что для описания процессов безударного сжатия до бесконечной плотности необходимо для нелинейной системы уравнений с частными производными (системы уравнений газовой динамики) решать одну характеристическую задачу — задачу о получении вертикального распределения. Здесь термин «вертикальное распределение» указывает на то, что в момент сильного сжатия график зависимости плотности от пространственной координаты переходит в вертикальную прямую. Получаемая волна сжатия в одномерном плоскосимметричном случае есть центрированная волна Римана. В случае одномерных цилиндрически и сферически симметричных течений, а также в двумерном и трехмерном случае эта волна есть соответствующее обобщение центрированной волны Римана.

В рамках как первого, так и второго подхода возможно моделирование процессов безударного сильного сжатия численными методами. Например, Г.В. Долголевой, А.В. Забродиным и др. [16, 17, 18, 19] рассмотрены решения системы уравнений газовой динамики, реализующие достаточно большое по плотности безударное сжатие в плоском, цилиндрическом и сферическом случаях и показано, что в рамках оболочечпой системы можно подобрать такой закон эперговложения, который позволяет воспроизвести зависимости скорости и давления на внешней границе сжимаемого слоя, соответствующие точному решению в плоскосимметричиом случае и позволяющие осуществить безударное сжатие в смеси дейтерий-тритий до плотностей р* = 103 —5- 103ро

Также численные исследования других задач о безударном сильном сжатии проводились в работах В.Т. Жукова, А.В. Забродина и др. [20], Т.Н. Бро-ниной [21]. В этих работах алгоритм расчета течений при безударном сильном сжатии также основан на использовании известных точных решений. Следовательно, закон движения сжимающего поршня, используемый в этих работах, известен заранее до проведения расчетов. Благодаря этому указанные алгоритмы достаточно точно восстанавливают известные данные течения. Однако, их использование ограничено теми конфигурациями, для которых получены эти точные решения.

В работе М.Г. Анучина [22] проведено численное исследование влияния процесса теплопроводности на сжатие плоского газового слоя, при котором в случае идеального адиабатического газа реализуется безударное сжатие с неограниченной кумуляцией плотности и энергии. При заданной траектории поршня рассчитано сжатие плоского слоя газа со следующими показателями в финальный момент расчета: максимальное сжатие в одной точке (непосредственно на поршне) 4- 105р(Ъ ПРИ этом средняя по слою степень сжатия равна 8 • 103/Оо, а 87,6% массы газа занимает 0,02% области газа около поршня.

В работах А.В. Рощупкина, С.А. Ягупова проведены численные расчеты безударного сжатия, использующие методику предложенную в работе [15].

В работе [23] А.В. Рощункиным численно решается задача о безударном сильном сжатии газа до конечной плотности в случае двумерных течений. Построена траекторию поршня, реализующего сжатие двумерных газовых слоев в G-8 раз от исходной плотности первоначально однородного покоящегося газа.

В работе [24] С.А. Ягуиовым численно получены автомодельные решения, описывающие процесс безударного сильного сжатия водорода с реальным уравнением состояния воздуха в условиях перехода из молекулярной фазы в атомарную.

В работе [25] С.П. Баутина, Ю.Ю. Чернышева, с использованием предложенного в [15] подхода, аналитически решена задача о безударном сильном сжатии одномерных слоев теплопроводного невязкого газа при учете равновесного излучения.

В дайной работе проведено численное построение решений двух задач о безударном сильном сжатии одномерного слоя нолитропиого газа. В первом случае последовательно решаются две характеристические задачи Коши. Во втором случае последовательно решаются три характеристические задачи Коши. Кусочно-составные течения, найденные в процессе численного построения, моделируют процесс безударного сильного сжатия одномерного слоя политроиного газа. Первое построение описывает течения, возникающие при сжатии первоначально однородного и покоящегося газа так, что в финальный момент времени получается однородный движущийся поток. Второе построение описывает течения, возникающие при сжатии газа, когда и в начальный момент газ однороден и покоится, и в финальный момент газ также однороден и покоится, но с большим значением плотности. Приближенное аналитическое исследование этих задач проведено в работах А.Ф. Сидорова [26] и А.Н. Крайко [11, 27, 28, 29, 30]. В этих работах данные задачи исследовались с точки зрения оптимальности процесса сжатия плоских, цилиндрических и сферических слоев однородного покоящегося газа.

В работе Р. Мизеса [31] решена задача о сжатии плоского однородного покоящегося слоя газа с помощью двух поршней. Первая фаза такого сжатия полностью совпадает с конфигурацией, предложенной А.Ф. Сидоровым [20].

В работе А.Ф. Сидорова [26], а затем в работе С.П. Баутина [15] продолжено исследование первой фазы сжатия по конфигурации Р. Мизеса для случая цилиндрически и сферически симметричных течений. В частности, С.П. Бау-тиным [15] доказано существование решения в конфигурации течений Р. Мизеса для случая цилиндрических и сферических течений.

В работе А.Ф. Сидорова [26] исследована задача об оптимальном безударном сжатии плоских, цилиндрических и сферических слоев однородного покоящегося газа, требующее для достижения заданной степени сжатия минимальной внешней энергии. Решение задачи строилось состыковкой двух течений. В одном из течений есть особенность, которая подобна особенности в центрированной волне Римана. Управление сжимающим поршнем имеет одну точку переключения. С помощью этого подхода в плоском случае восстановлено точное решение задачи, являющееся состыковкой центрированной волны Римана и однородного движущегося потока. Это решение повторяет решение, полученное Р. Мизесом. С использованием этого решения построены законы оптимального управления движением поршня. В случае цилиндрически и сферически симметричных течений построено приближенное решение с использованием начальных отрезков характеристических рядов.

В работах А.Н. Крайко [11, 27, 28, 29, 30] предложен специальный способ сжатия плоских, цилиндрических и сферических слоев однородного покоящегося газа. Выполненное в работе [30] исследование показало, что но энергетическим затратам наиболее выгодно неавтомодельное сжатие газа из однородного покоящегося состояния в однородное покоящееся состояние с большим значением плотности. Поэтому способ, предложенный А.Н. Крайко оптимальнее способа, предложенного в работах А.Ф. Сидорова [26].

В данной диссертации рассматриваются численные решения двух указанных выше задач (задача Мизеса и задача Крайко соответственно), существование и единственность решений у которых доказано в работах С.П. Баутина [15, 32, 33].

Известно, что система уравнений газовой динамики является системой гиперболического типа, для которой задача с начальными данными при t = 0, а также задача о плавном движении поршня в газе (характеристическая задача Коши) поставлены корректно (см. [3], стр.64-70). В силу того, что одновременная смена знака у времени и у скорости газа оставляют систему уравнений газовой динамики без изменений, то отмеченные выше две задачи (задача Коши и характеристическая задача Коши) являются корректными также и при их решении в обратную сторону изменения времени, естественно, если в течении не возникают сильные разрывы (ударные волны). Именно этот случай непрерывных решений у корректно поставленных задач как при изменении времени в положительную сторону, так и в отрицательную рассмотрен в диссертации.

В работе использованы в основном численные, а также аналитические методы исследования конкретной математической модели — системы уравнений газовой динамики (нелинейной системы дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического тина) — описывающей течения газа при больших степенях сжатия. Решения получаются в табличном и графическом виде. По данным таблиц устанавливаются законы внешнего воздействия на газ, реализующие требуемое сжатие, а также исследуются основные свойства решений.

Целями работы являются:

1. Рассчитать неавтомодельные течения идеального нолитроипого газа, возникающие при безударном сильном сжатии одномерных объемов: плоскосимметричных, цилиндрических и сферических слоев, а также цилиндрических и сферических объемов.

2. В том числе, численными расчетами определить безразмерные значения масс газа для которых возможно безударное сжатие по конфигурации Мизеса и по конфигурации Крайко.

Для реализации указанных целей необходимо:

3. Разработать алгоритмы для численного расчета решения задачи Р. Мизеса и решения задачи А.Н. Крайко. Алгоритмы должны учитывать свойства решений, строго установленные математическими методами.

4. С помощью созданного комплекса программ провести массовые расчеты но численному построению решений задачи Р. Мизеса и задачи А.Н. Крайко.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1. Впервые проведены численные расчеты неавтомодельных течений, возникающих при безударном сильном сжатии цилиндрических и сферических слоев газа до итоговой плотности, постоянной по всему сжатому слою и в 104 — 106 раз превышающей исходную плотность. Вычислены значения масс газа, сжимаемых рассматриваемыми безударными способами.

2. Впервые определен закон движения поршня, реализующего требуемое безударное сжатие цилиндрических и сферических слоев газа как в конфигурации Мизеса, так и в конфигурации Крайко.

3. Для этого впервые предложены и реализованы два численных алгоритма решений нескольких (в первом случае - двух, во втором - трех) специальных начально-краевых задач, имеющих конкретные особенности в течении.

Теоретическая ценность работы состоит в следующем.

К известному методу характеристик с пересчетом добавлены новые моменты: счет нескольких конкретных характеристических задач Коши в обратном направлении изменения времени, учет свойств решений как в особой точке центрированной волны, так и в точке г = 0, где система уравнений газовой динамики имеет особенность; восстановление в процессе счета траектории движения сжимающего непроницаемого поршня.

Практическая ценность работы состоит в следующем.

Для конкретных значений параметров газа (массы, плотности, показателя адиабаты) указаны законы внешнего воздействия на газ, при которых реализуется требуемое безударное сжатие. Они являются конкретными рекомендациями для соответствующих физических экспериментов.

Апробация работы.

Результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.), XVIII, XIX и XX Всероссийская школа-семинар «Аналитические методы и оптимизация процессов в механики жидкости и газа», (САМГОП — 2000, Пермь, 2000 г.; САМГОП - 2002, Снежинск, 2002 г.; САМГОП - 2004, Абрау-Дюрсо, 2004 г.), Международная конференция «VI и VII Забабахинские научные чтения» (Снежинск, 2001 г., 2003 г.), Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Екатеринбург, 2003 г.), Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2004 г.), Международная конференция «Russia-Japan International Workshop on Turbulence and Instabilities», (Москва, 2004 г.), Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика, RDAMM — 2001», (Новосибирск, 2001 г.), Конференция «Вычислительные технологии и математические модели в науке, технике и образовании», (ВТММ - 2000, Новосибирск, 2000 г., ВТММ - 2002, Алма-Ата, 2002 г.), Всероссийская конференция молодых ученых «Проблемы исследования и разработок ио созданию силовых и энергетических установок 21 века» (Москва, ЦИАМ, 2000 г.), Конференция «Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф» (Красноярск, ИВМ СО РАН, 1999), 30, 31, 32 и 33 региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 1999, 2000, 2001 и 2002 гг.), Межотраслевая научно-практическая конференция «Снежинск и наука» (Снежинск, 2000 г.), Всероссийская научно-практическая конференция «Фундаментальные и прикладные исследования транспорту — 2000» (Екатеринбург, 2000 г.), Научно-техническая конференция «Молодые ученые — транспорту» (Екатеринбург, 1999, 2001 г).

По теме диссертации опубликовано 23 работы: 4 статьи в журнале «Вычислительные технологии» [52, 53, 54, 55], 3 депонированных в ВИНИТИ статьи

5G, 57, 58], остальные [59-74] — труды и тезисы конференций.

Работа состоит из введения, двух глав, содержащих одиннадцать пунктов, заключения, списка используемой литературы, рисунков и таблиц.

Первая глава посвящена задаче, впервые рассмотренной в работе Р.Мизеса [31]. Исследования этой главы примыкают к результатам, полученным в [9, 26, 31], и являются продолжением исследований [15]. Предлагается алгоритм численного расчета решения, в основу которого положен известный метод характеристик с пересчетом. Традиционно применяемый метод характеристик дополнен двумя новыми элементами. Во первых, решение строится в обратном направлении изменения времени из точки, имеющей особенность аналогичную особенности в центрированной волне Римана. Для этого, в частности, используется математически строго доказанное свойство решения в этой особой точке. Во вторых, строится решение задачи с данными на характеристике, в процессе этого построения определяется закон движения сжимающего поршня, который до построения всего решения не известен. Это позволяет рассчитать течения, описывающие процесс безударного сжатия политроино-го газа до большего значения плотности.

Глава состоит из пяти пунктов.

В пункте 1.1 ставиться задача Р. Мизеса. Для этого определяется конфигурация газовых течений Р. Мизеса (конфигурация предложена Р. Мизссом для случая плоских течений): пусть в момент времени t = to рассматриваемый газ покоится, т.е. его скорость и равна 0; однороден с плотностью ус?о, равной 1. В конечный момент времени t = > to плотность газа равна или больше некоторого р*- любого наперед заданного значения, превышающего pq. Состояние газа в момент времени t = to назовем фоновым потоком. Конфигурацию газовых течеиий, возникающих при таком переходе назовем конфигурацией Мизеса.

Таким образов в задаче Р. Мизеса требуется найти течения, возникающие в газе при безударном сжатии плоского, цилиндрического или сферического газового слоя из покоящегося однородного с плотностью р = 1 состояния в однородный с плотностью р = р* > 1 движущийся поток. В частности, требуется указать закон воздействия на газ непроницаемым поршнем, который реализует указанное сжатие.

В пункте 1.2 приводятся теоремы о существовании единственного локально-аналитического решения задачи Р. Мизеса (теоремы доказаны в работе С.П. Ба-утина [15]). Приведенные теоремы указывают способ раскрытия особенности в решении задачи Мизеса, которая возникает на неподвижной стенке. А именно, в точке с особенностью решение описывается формулами известной центрированной волны Римана. Это свойство выполняется в точке с особеиностыо для случая цилиндрических и сферических волн, а в случае плоских воли оно выполняется во всем потоке.

Решение задачи Мизеса должно удовлетворять системе уравнений газовой динамики для одномерных изэнтропических течений:

Г at + иаг + Ь^Иa(ur + v%j) = 0, щ + ищ + -фцМг = 0, здесь: а = р^-1)/2, р - плотность; 7 - константа в уравнении состояния р = р1 /7; г = \]Y!i=\ xf > 0, v - константа определяющая вид симметрии (0 -плоская, 1 - цилиндрическая, 2 - сферическая).

Решение задачи Мизеса находится последовательным решением двух специальных начально-краевых задач для системы (1). Первая задача - задача о сжатии газа до бесконечной плотности. Искомое решение должно примыкать к фоновому течению через звуковую характеристику. Кроме условия премы-капия, искомое решение должно удовлетворять "условию вертикали": в физическом пространстве кривые a(t, Ol<=const<f, = °r(r) ПРИ ^ ~—0 переходят в вертикальную прямую г = г*. Это условие передает особенность, возникающую в точке (£*, г*). А только при таком поведении a(t, г) при t —» £* — 0 и может получиться сжатие до бесконечной плотности.

Показано, что поставленная задача о безударном сжатии течения газа, примыкающего к фоновому, до бесконечной плотности в пространстве специальных переменных имеет единственное аналитическое решение. Решение первой задачи получено в виде бесконечных сходящихся рядов. Анализ коэффициентов этих рядов показал, что: вне зависимости от вида симметрии (т.е. значения константы v) главная при t —^ t* часть решения первой начально-краевой задачи полностью совпала с центрированной волной Римана. Это очень важное свойство используется в дальнейшем численном расчете решения.

После того, как получено решение задачи о сжатии до бесконечной плотности в виде ряда, в области определения полученного решения выделяется С~ характеристика, на которой в момент времени t = t* выполняется равенство <т = сг*. На этой характеристике из решения первой начально-краевой задачи определены параметры газа, которые можно взять в качестве начальных данных для решения второй начально-краевой задачи. Дополнительно на решение второй начально-краевой задачи накладывается условие, чтобы в финальный момент времени t = t* функция <т(£, г) совпадала с наперед заданным распределением о*(г). В частности, в качестве наперед заданного распределения можно брать <т*(г) = сг* = const. При этих условиях существует единственное решение второй начально-краевой, которое и даст требуемое финальное распределение в задаче Мизеса, а также будет непрерывно состыкованно с решением первой задачи.

Приведенные в пункте 1.2 теоремы не указывают массу слоя газа, сжимаемого безударно. Поэтому одна из целей исследований, результаты которых приведены в диссертации: с помощью численных расчетов определить массу газа, сжимаемого требуемыми способами.

В пункте 1.3 излагается алгоритм численного построения решения задачи Мизеса. В основе алгоритма лежит известный метод характеристик с пересчетом, позволяющий получать требуемую точность вычислений в расчетах нестационарных газовых течений. Алгоритм учитывает свойство решения, полученное в пункте 1.2: решение в особой точке описывается формулой, связывающей скорость звука в газе с и скорость газа и: с=1 -Ц^и. (2)

В предложенном алгоритме решения двух описанных начально-краевых задач (последовательная состыковка которых даст решение задачи Мизеса) строятся одновременно.

В основу алгоритма положен известный метод характеристик с пересчетом но следующим причинам [4, 51]: 1) метод имеет второй порядок точности после пересчета; 2) так как каждая ячейка расчетной характеристической сетки аппроксимирует свой характеристический коноид, то этот факт обеспечивает консервативность данной разностной схемы; 3) метод характеристик является устойчивым, в том числе при расчетах течений даже с сильными разрывами.

В пункте 1.4 приведены результаты расчетов сжатия газовых слоев снаружи. Рассмотрены случаи сжатия одномерных газовых слоев в 104 — 106 раз для различных значений массы газа тп и показателя адиабаты у.

Рассчитаны течения газа в целом, и в частности, восстановлена траектория сжимающего поршня. Траектория сжимающего поршня получена, в табличном виде: набор () - координат точек пространства физических переменных, в этих точках также сосчитаны плотность и скорость газа. Причем, скорость газа совпадает со скоростью движения поршня.

Для проверки правильности работы алгоритма проведенные расчеты сжатия плоского слоя газа сравниваются с известным точным решением. Результаты совпали, это говорит о надежности предложенного алгоритма и достоверности произведенных расчетов.

На точность расчетов влияет значение шага с которым строи тся характеристическая сетка. Точность выполненных расчетов проверяется по значению относительной погрешности масс 5т = lm«~m°l • 100% газа до сжатия то и по

771 # еле га*. Так как сжатие производится непроницаемым поршнем, то массы газа до сжатия и после сжатия должны совпадать. Но из-за ошибок численного расчета (округление чисел компьютером, приближенные формулы метода) наблюдается различие масс газа до сжатия и после сжатия. Поэтому, чем меньше значение бтп, тем точнее выполнены расчеты траектории сжимающего поршня и всего течения в целом. В расчетах для каждого конкретного набора параметров газа подобрано значение шага построения сетки такое, при котором полученная погрешность масс 5т меньше 1%.

Также точность выполненных расчетов проверяется по степени выполнения закона сохранения энергии: по значению величины SE = \Аг~^Е\ . Ю0%, где Ар - расчетное значение работы производимой сжимающим поршнем, АЕ - разность между полной энергией газа в начальный момент сжатия и полной энергией газа в финальный момент сжатия.

Расчетами с разными значениями входных данных задачи (отступление от момента времени t = варьирование различных распределений плотности газа в этот момент времени) получено подтверждение устойчивости алгоритма, предложенного в пункте 1.3, относительно небольшого изменения входных данных.

В пункте 1.5 предложена модификация алгоритма из пункта 1.3. Модифицированный алгоритм позволяет численно решать задачи о сжатии газа для случая, когда финальное распределение плотности газа есть некоторая кусочно-линейная зависимость от физической неременной г.

Выполнены расчеты для некоторых значений параметров газа в момент t = t*. Точность расчетов проверяется по значению относительной погрешности масс 8т газа до сжатия и после. Результаты расчетов еще раз подтверждают надежность предложенного алгоритма. По результатам расчетов видно, что небольшие изменения финального распределения сг(г) позволяют получать решения, похожие на решение задачи, описанной в пункте 1.2. Следовательно, алгоритм счета, предложенный в пункте 1.3 является устойчивым по отношению к изменению входных параметров: итогового финального распределения плотности газа.

Вторая глава посвящена задаче, впервые предложенной А.Н. Крайко. Исследования этой главы примыкают к результатам полученным в [11, 27, 28, 29, 30] и являются продолжением исследований [33]. Предложен алгоритм численного расчета решения, в основу которого положен известный метод характеристик с пересчетом в сочетании со строго математически обоснованными свойствами решения. Рассчитаны течения, описывающие процесс безударного сжатия политропного газа до большего значения плотности.

Глава состоит из четырех пунктов.

В пункте 2.1 ставиться задача Крайко. Пусть в начальный момент времени t = to газ однороден с плотностью р, равной 1, и покоится, т.е. скорость газа и равна 0. Это состояние газа назовем состоянием 1. Состояние газа в момент времени t = t* > to такое: газ однороден, его плотность р равна некоторому р* > 1; при этом газ снова покоится. Это состояние назовем состоянием 2. Задачу о безударном переходе газа из состояния 1 в состояние 2 назовем задачей Крайко. Таким образом, в задаче Крайко требуется найти течения газа, возникающие при безударном переходе одномерного газового слоя из состояния 1 в состояние 2, под действием двух непроницаемых поршней, один из которых неподвижен. В таком виде задача Крайко была впервые сформулирована в работе С.П. Баутина [33].

В пункте 2.2 приводятся теоремы, доказывающие существование единственного локально-аналитического решения задачи Крайко (теоремы доказаны в работе С.П. Баутина [33]). Приведенные теоремы указывают способ раскрытия особенности в решении задачи Крайко: особенность возникает (в отличие от задачи Р. Мизеса) на подвижном поршне в момент получения требуемого сжатия (состояние 2). В точке с особенностью решение описывается формулами центрированной волны Римана.

Для описания одномерных изэнтропических течений идеального полит-ропного газа в исследуемой задаче Крайко рассматривается система уравнений (1) для скорости газа и и скорости звука <т. Также рассматривается уравнение для потенциала скорости газа Ф(t,r) [3].

Решение задачи Крайко находится при последовательном решении трех специальных начально-краевых задач. При этом использовано следующее: система уравнений газовой динамики инвариантна относительно сдвига по времени t, а также одновременной смены знака у скорости газа и у времени. Поэтому можно вместо задачи о сжатии газа исследовать задачу о разрежении газа. Полученная волна разрежения при рассмотрении в обратном направлении изменения времени является искомой волной сжатия газа.

Плоский, цилиндрический или сферический слой однородного газа (р = р*), в момент t = 0 покоится между двумя непроницаемыми стенками, расположенными в точках г = г о и г = г*(0 < г0 < г*). В дальнейшем, в численных расчетах варьируются значения: г* — г0 - ширина рассматриваемого слоя и значение ро = 1. По известному значению ширины и плотности слоя газа легко найти массу слоя газа. Таким образом, расчетами ищется ответ па вопрос: какой ширины слой газа можно сжать в задаче Крайко и во сколько раз.

Однако приведенные в пункте 2.2 теоремы не указывают массу слоя газа сжимаемого безударно. Поэтому в диссертации требуемые решения находятся численными расчетами.

В пункте 2.3 приведен алгоритм численного построения решения задачи Крайко. В основе алгоритма лежит известный метод характеристик. Решение в точке с особенностью описывается формулой (2) связывающей скорость звука в газе с и скорость газа и. Особенность возникает на сжимающем поршне в финальный момент сжатия. Из особой точки начинается расчет характеристической сетки и ведется в сторону уменьшения времени.

Доказанные в пункте 2.2 теоремы дают положительный ответ на вопрос о существовании решения задачи Крайко, но не позволяют указать конкретное значение массы газового слоя, для которого возможно такое безударное сжатие. Поэтому алгоритм позволяет найти решение численными расчетами, включая закон движения сжимающего поршня.

В пункте 2.4 приведены результаты расчетов для случая сжатия газовых слоев снаружи. Рассчитаны случаи сжатия одномерного газового слоя в 104 — 106 раз для различных значений массы газа т и показателя адиабаты 7.

Рассчитаны течения газа в целом и, в частности, значения скорости и плотиости газа на неподвижной стенке. Восстановлена траектория сжимающего поршня. Траектория сжимающего поршня получена расчетами в табличном виде: набор (ti, п) - координат точек пространства физических переменных, в этих точках также сосчитаны плотность и скорость газа. По заданной плотности пересчитывается давление: р = р1 /7.

Расчетами установлены три возможных варианта изменения модуля скорости сжимающего поршня. Первый случай плоской симметрии {и = 0): модуль скорости сжимающего поршня монотонно возрастает от 0 до некоторого значения, а затем до момента получения требуемого финального распределения поршень будет двигаться с постоянной скоростью. Расчетами установлено, что на последней стадии сжатия в случае плоской симметрии между центрированной волной Рнмаиа и поршнем находится однородный движущийся с постоянной скоростью газ.

Для случая цилиндрической (v = 1) и сферической (и = 2) симметрии, можно подобрать такое значение массы газа т, = т° (для каждого вида симметрии свое значение т°), что если сжимать газ меньшей массы, то модуль скорости сжимающего поршня будет монотонно увеличиваться (второй вариант). Если же сжимать газ большей массы, то изменения модуля скорости сжимающего поршня будет не монотонным: перед финальным моментом времени сжимающий поршень будет притормаживать (третий вариант). Характер изменения модуля скорости сжимающего поршня исчерпывается указанными тремя вариантами.

Расчетами установлено, что в случае, когда сжимающий поршень нритор-мажимает перед получением финального распределения, тем не менее он пикогда не останавливается. То есть в момент времени t — t* поршень входит в однородный покоящийся сжатый газ с ненулевой скоростью, что, естественно, приведет к возникновению при t > U ударной волны и дальнейшему сжатию газа от плотности р*.

Также расчетами установлено, что плотность на сжимающем поршне растет монотонно от ро до Р* при увеличении t, при этом плотность на поршне всегда меньше итоговой плотности сжатого газа (аналогичное утверждение справедливо для давления).

Точность выполненных расчетов проверяется по значениям двух величин: относительной погрешности масс 8т и по величине работы Ар, совершенной сжимающим поршнем.

Чем меньше значение 5т, тем точнее выполнены расчеты траектории сжимающего поршня и всего течения в целом.

Работа по сжатию газа при фиксированных т*,7, /?*, для случаев, когда течения газа плоско, цилиндрически или сферически симметричные, должна быть одинаковой, так как работа тратится только на сжатие газа: в начальный и конечный момент времени рассматриваемые объемы заполнены неподвижным газом и поэтому вся работа сжимающего поршня тратится па изменение внутренней энергии Ej — Es (здесь Е/ - внутренняя энергия газа в финальный момент времени, a Es - внутренняя энергия газа в начальный момент времени). Таким образом, количество работы по сжатию газа ие зависит от вида симметрии и по выполнению этого свойства также можно сравнивать точность расчетов.

Работа, потраченная па сжатие газа, вычисляется в соответствии с общей формулой

Также точность расчетов проверяется по степени совпадения работы выполненной поршнем Ар и изменению внутренней энергии газа Ej — Es. Изменение внутренней энергии газа рассчитывается по следующей формуле:

В пункте 2.5 предложена модификация алгоритма, описанного в пункте 2.3. Предложенная модификация позволяет получить численное решение задачи Крайко в некоторой окрестности точки г = 0. Алгоритм, описанный в пункте 2.3, не позволяет вести счет в точке г = 0, так как в формулах алгоритма заложен множитель 1 jr. В предложенной модификации изменены формулы счета параметров газа в малой окрестности точки г = 0 для раз

Ej - Es = pi lm m

7(7-1) 7(7-1)' личных значений t, в остальных точках счет ведется по алгоритму пункта 2.3.

Приведены результаты расчетов для некоторых параметров газа. Точность расчетов проверяется по значению относительной погрешности масс 5т газа до сжатия и после, также но степени совпадения расчетного значения работы с значением работы, полученного из точных формул (по разности Ef — Es).

В пункте 2.G проведено сравнение численных решений задачи Мизеса и задачи Крайко. В частности, как и ожидалось, получено, что необходимо затратить большее количество работы для сжатия газа способом из задачи Мизеса, чем с помощью способа из задачи Крайко. Выигрыш в работе получается существенным, при этом время, необходимое на сжатие способом Мизеса, хоть и меньше, но отличается не сильно от времени, необходимого на сжатие способом Крайко. Так например, в одном из вариантов расчетов, получен шестикратный выигрыш в работе, а время сжатия отличается в 1.1 раза.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Николаев, Юрий Владимирович

Результаты работы. Сделаем некоторые замечания и выводы основанные на полученных результатах.

1. В основу метода расчета положен проверенный метод характеристик, позволяющий с достаточной степенью точности восстанавливать течения в газе. В частности, для проведенных расчетов относительная погрешность масс газа 5т до сжатия и после сжатия получилось меньше 1%.

Для раскрытия особенности в течении использовано свойство решения, полученное строго математически: особенность описывается сходящимся рядом, первые слагаемые которого известны. Расчеты ведутся в обратном направлении изменения времени, течения рассчитываются в следующей последовательности: сначала рассчитываются течения в точке с особенностью, затем методом характеристик делается расчет в области, содержащей траекторию сжимающего поршня, где особенностей не возникает. Предложенная методика расчета была использована в работах [55, 57], полученные в этих работах результаты подтверждают надежность используемой методики расчетов. Все сказанное указывает на достоверность полученных результатов.

2. Численными расчетами установлено, что при различных режимах сжатия возможны различные характеры изменения скорости сжимающего поршня. А именно, от начального момента времени до момента получения требуемого финального распределения скорость поршня может монотонно увеличиваться, а может с какого-то момента времени начинать убывать или становиться постоянной. Установлено, что для случая плоско-симметричных течений скорость сжимающего поршня изменяется как показано на рисунке 9.1, в этом случае между центрированной волной Римана и траекторией поршня однородный движущийся с постоянной скоростью газ. Для случая цилиндрической и сферической симметрии указаны режимы сжатия, при которых изменение скорости сжимающего поршня будет как на рисунке 9.4, т.е. монотонно, указаны режимы, при которых скорость поршня будет изменяться как па рисунке 9.6, т.е. не монотонно. При этом давление на сжимающем поршне будет монотонно расти от момента старта и достигнет наибольшего значения в момент получения требуемого распределения. При этом максимальное давление на поршне будет меньше, чем давление в сжатом газе, равное р* = рЦ7.

3. Анализ значений давлений, возникающих на неподвижной стенке, показал, что давление максимально в точке примыкания к покоящемуся сжатому газу, и равно р*. Минимальное значение давления достигается в точке примыкания к покоящемуся несжатому газу и равно ро. Вдоль стенки давление монотонно возрастает, увеличение давления происходит плавно, без точек перегиба (рисунки 9.3,9.9,9.10).

4. Численно построены течения, возникающие в газе при переходе из состояния 1 в состояние 2. В качестве одного из искомых элементов исследуемой задачи рассчитана траектория сжимающего поршня. Анализ рассчитанных течений показал, что полученное численное решение описывает процесс безударного сжатия одномерного слоя газа из покоя в покой, т.е. в случае конфигурации Крайко.

А самое главное: удалось получить конкретное значение массы газа, которую можно сжать безударно до плотности р*, в 104 — 105 раз превышающей исходную. Тем самым дан ответ на вопрос о возможности безударного сжатия газа в случае конфигурации Крайко достаточно больших масс газа до больших плотностей.

2.5 Решение задачи Крайко в г=0

В пространстве физических переменных t, г будем рассматривать одномерные изэнтроиические течения, возникающие в политропном газе с уравнением состояния р = р7/7. Рассматриваемые течения описываются решениями системы уравнений (7.1) (см. пункт 2.2).

Пусть в начальный момент времени t = to газ является покоящейся (и = 0) однородной средой с плотностью р = 1. Это состояние газа назовем состоянием 1. Требуемое в момент времени t = t* > to Состояние газа такое: газ однороден и покоится, его плотность р равна некоторому р* > 1. Это состояние газа назовем состоянием 2.

Задачу Крайко сформулируем следующим образом: требуется найти течения газа, возникающие при безударном переходе одномерного газового слоя из состояния 1 в состояние 2. Газ сжимается одним внешним подвижным поршнем, второй отсутствует и, следовательно, течения сжатия строятся вплоть до точки г = 0 (см.рисунок 10.1, на котором траектория поршня - линия AF). Для этого случая конфигурации газовых течений нет доказанных теорем существования решений. Именно такая конфигурация газовых течений вплоть до точки г = 0 и была рассмотрена А.Н. Крайко в серии работ [11, 27-30], в работах А.Н. Крайко описаны свойства решения задачи Крайко.

В пункте 2.3 предложен алгоритм численного решения задачи Крайко, для случая сжатия газового слоя. Однако, предложенный алгоритм не позволяет вести счет решения для случая, когда течения сжатия строятся до точки г = 0, в том числе и в самой точке г = 0. Невозможность счета обусловлена наличием в формулах (8.5), (8.7) множителя 1 /г.

В данном пункте приводятся формулы позволяющие вести счет вплоть до точки г = 0. Использование этих формул в алгоритме, изложенном в пункте 2.3, позволяет численно строить решение задачи Крайко для случая, когда сжимаемый газ находится в окрестности точки г = 0. При построении характеристической сетки в окрестности точки г = 0, используются две модификации стандартного метода характеристик.

Первая: при нахождении точек пересечения характеристики семейства С+ и вертикальной линии г = 0 и значений параметров газа. Вторая: при нахождении как самих точек, ближайших к линии г = 0, так и значений искомых функций в них.

Расчет точки пересечения характеристики семейства С+ и вертикальной стенки г = 0 делается следующим образом. Координаты таких точек оиределяются при решении следующей системы (первое приближение):

J — i r-= 0 , t]-t{

-1 t(tUr{-1).

10.1)

В формуле (10.1) точка (tj 1? rfj) считается заданной и в пей известны значения инвариантов R, L. Поэтому значение углового коэффициента r{ j) характеристики С+ в ней также известны. Точка (tl,r{) в формуле (10.1) -искомая.

Учитывая, что скорость газа и на линии г = 0 равна нулю, то из формулы (8.3) следует:

L = 2и - R = -R. (10.2)

То есть на линии г = 0 достаточно знать инвариант i?, который считается с иомощыо первого соотношения из формул (8.5). Затем найденная точка уточняется с помощью следующей системы: г?' = 0,

10.3)

-г3 ri-1 t; t; г—1 2 а значения инвариантов в ней уточняются с помощью первого соотношения из формул (8.7). Таким образом определяются координаты точки, лежащей на линии г = 0, также определятся значения параметров газа в этой точке.

При нахождении точек, ближайших к линии г = 0, нельзя воспользоваться формулами (8.5),(8.7) из-за того, что при нахождении таких точек функция F+(t, х, R, L) будет неонределена, так как в формулах присутствует выражение 1 /г. Координаты таких точек находятся как точки пересечения характеристик С+ С~ по формулам (8.4),(8.6). А для расчета инвариантов Римана в этих точках можно использовать следующий алгоритм:

Пусть точка (xi,t\) (см. рисунок 10.2) лежит на последнем рассчитанном слое, а точки (жз,£з), (^2,^2) на рассчитываемом слое. Параметры газа в точках 1 и 2 известны, саму точку 3 и значения параметров газа в ней требуется определить. Как уже отмечалось выше, координаты точки (хз, 13) находятся как пересечения соответствующих характеристик семейства С+, С~. Для определения параметров газа в точке 3 перепишем соотношения на характеристиках в следующем виде:

-ft = ^(Д2 - V) ■

10.4)

Для нахождения значений параметров газа в точке 3 выпишем разностную аппроксимацию системы (10.4):

- LI) , "W - Lt) ■

Из первого равенства системы (10.5) получим соотношение

10.5) г2 r2R2 ■ (Т 1) / р2 г 2\

- fe^y + —- ^ из которого однозначно определяется значение инварианта R в точке 3:

ЙЗ = + Л). (10.6)

О 7*2

Затем находится, значение инварианта L в этой точке. Для этого решается второе уравнение из системы (10.5), являющееся с учетом (10.G) квадратным относительно L3: гз г гз r 7-lD2 7-1г2

-L3--L\ = v—-—R( — v—-—Li h — h h —8 8 Отсюда получается, что т2 „7-1 , т r3 ( r3 r 7-1 2\

Lo • v—---h L3 ----Li + v-R% — 0.

3 8 h-h \h-ti 8 V

У этого квадратного уравнения два решения.

-b + \f~D -Ъ-s/D

Li.j. — -, ху — -.

2а 2 а где

-» = -ЙГ>0, а = «^>0.

Одно из них, соответствующее физическому смыслу задачи, и является нужным. Легко заметить, что так как в рассматриваемом течении сжатия, газ движется к точке г = 0 и L — и — ф^с, поэтому L < 0.

Таким образом, соответствующим газодинамическому смыслу является один корень

Итак: координаты точки 3 находятся как пересечение характеристик семейства С+ и С~ но формулам (7),(9); значения инвариантов Римана в этой точке находятся но формулам (10.6) и (10.7).

Заметим, что в случае плоской симметрии отсутствует выражение 1/г и расчет ведется по формулам (8.5)-(8.7) при v = 0. В результате счет выполняется по следующей схеме:

1) Находятся координаты точки (£з, гз) как координаты точки пересечения характеристик С+ и С~.

2) А значения инвариантов Римана в этой точке равны:

Дз — Д2, Ьз = L\.

Результаты расчетов и выводы

1. Численно восстановлены течения, реализующие сжатие газа по конфигурации Крайко. Данные расчетов вынесены в приложения (таблицы 2.6-2.10). Также, в табличном виде получена траектория сжимающего поршня.

2. Исследованы некоторые свойства решения:

2.1 Скорость движения сжимающего поршня не монотонна, может изменяться в зависимости от режимов сжатия. В случае плоской симметрии {и = 0), модуль скорости сжимающего поршня будет изменятся как показано на рисунке 10.3, монотонно возрастая от 0 до некоторого значения, а затем до финального момента времени поршень будет двигаться с постоянной скоростью. Для случая цилиндрической {v = 1) и сферической (v = 2) симметрии, можно подобрать такое значение массы газа га = т° (для каждого вида симметрии свое значение га0), что если сжимать газ меньшей массы, то характер изменения модуля скорости сжимающего поршня будет как показано на рисунке 10.4, т.е. монотонно увеличиваться. Если сжимать газ большей массы, то характер изменения модуля скорости сжимающего поршня будет как показано на рисунке 10.5, т.е. на финальной стадии - не монотонный. Характер изменения модуля скорости сжимающего поршня исчерпывается указанными тремя вариантами. Так как решение задачи Крайко получено численно, поэтому указать точное значение га0 не удается. Но можно расчетами установить интервал значений массы газа [mi, 777-2]? содержащий в себе значение га0.

Расчетами установлено, что в случае, когда сжимающий поршень притор-мажимает перед получением финального распределения, он никогда не останавливается до скорости и = 0. То есть поршень входит в однородный покоящийся сжатый газ с ненулевой скоростью, это получено во всех рассчитанных вариантах.

Также расчетами установлено, что в случае и = 1,2 плотность на сжимающем поршне растет монотонно от ро до некоторого pf при увеличении t (см. рисунок 10.6). По данным таблиц 2.6,2.8 видно, что pj < р*. Таким образом плотность на поршне всегда меньше плотности сжатого газа (аналогичное утверждение справедливо для давления). В точке А присутствует особенность в течении, а именно, разрыв плотности от р/ до /э*. Но если приближаться к точке особенности по траектории поршня, то предельное значение плотности равно pf.

2.2 В окрестности г = 0 линии уровня плотности почти параллельные Or прямые. На рисунке 10.7 пунктирной линией показаны линии уровня.

2.6 Сравнение двух решений задачи о безударном сильном сжатии

В данной диссертации численными методами получены два решения системы уравнений газовой динамики, описывающие процесс безударного сжатия одномерного слоя политропного газа. Первое решение удовлетворяет конфигурации газовых течений рассмотренной в работе Р.Мизеса [31J, а задача о нахождении этого решения задачей Мизеса. Второе решение удовлетворяет конфигурации газовых течений рассмотренной А.Н. Крайко в работах [11, 27, 28, 29, 30], а задача о нахождении этого решения задачей Крайко.

В обеих конфигурациях газовых течений в начальный момент времени газ однороден, его плотность р равна 1, и покоится, его скорость и равна 0. В финальный момент времени газ однороден, его плотность р равна в конфигурации Крайко газ покоится, а в конфигурации Мизеса газ движется.

Рассмотрены одномерные изэнтропические течения возникающие в полит-ропном газе с уравнением состояния р = р1 /7. Указанные течения являются решением системы уравнений для скорости газа и и скорости звука с = р^-1»2: ct -f исг + 6=11c(ur + f) = 0, (п г) щ + -ф\)сст + ииг = 0, здесь t - время; г = Х1 > 0 ~ пространственная переменная; 7 - показатель адиабаты; р - давление; и - параметр геометрии: и = 0 в случае плоских течений, и = 1 в случае цилиндрических течений, i/ = 2b случае сферических течений.

В работах С.П. Баутина [15, 33] доказано, существование двух локально-аналитических решений системы уравнений газовой динамики, описывающих одномерные изэнтропические газовые течения и удовлетворяющих двум рассматриваемым конфигурациям. Доказанные теоремы являются локальными по массе газа, другими словами теоремы не указывают конкретное значение для массы газа, сжатие которого возможно безударным способом.

Детальное исследование задачи Мизеса, проведенное С.П. Баутиным [15], привело к постановке двух начально-краевых задач для системы уравнений газовой динамики. Первая задача - задача о сжатии газа до бесконечной плотности, решение первой задачи непрерывно примыкает через звуковую характеристику к области 0, где находится газ в первоначально однородном покоящемся состоянии. Вторая задача - задача о получении наперед заданного распределения: в момент времени ;t = t\f газ должен быть однородной с плотностью р = р* средой. Решение второй задачи непрерывно примыкает через звуковую характеристику к решению первой задачи. Доказано существование локально-аналитических решений первой и второй задач. Также показано, что в газовых течениях описываемых решением задачи Мизеса будет особенность: разрыв значения плотности на звуковой характеристике отделяющей однородный покоящийся газ от течения сжатия, в момент получения требуемого финального состояния газа (точка А на рис. 2.1). Также показано, что в некоторой окрестности точки А решение представимо в виде рядов являющихся обобщением центрированной волны Римана, а в самой точке решение задано соотношениями простой волны Римана. Указанное свойство решения используется для раскрытия особенности при численном решении задачи Мизеса.

Детальное исследование задачи Крайко, проведенное С.П. Баутиным [33], привело к постановке трех начально-краевых задач для системы уравнений газовой динамики. Первая задача - задача о плавном выдвижении подвижного поршня из заданного газового течения, при этом решение первой задачи непрерывно склеивается с областью 0 в которой находится однородный сжатый (р = р*) покоящийся газ. Вторая задача - задача о непротекании газа через неподвижный поршень, при этом решение второй задачи непрерывно склеивается с решением первой задачи через звуковую характеристику. Третья задача - задача Гурса, решение этой задачи непрерывно склеивается через одну звуковую характеристику с решением второй задачи и через другую характеристику с областью 4 в которой находится однородный покоящийся несжатый (р = 1) газ. Доказано существование локально-аналитических решений этих задач. При доказательстве использовано свойство инвариантности системы уравнений газовой динамики относительно изменения направления времени и одновременной смены знака скорости, что позволило рассмотреть вместо задачи о сжатии задачу о разрежении. Также показано, что в газовых течениях описываемых решением задачи Крайко возникнет особенность: разрыв значения плотности на поверхности подвижного сжимающего поршня, в момент получения требуемого финального состояния газа (точка А на рис. 7.1). Также показано, что в некоторой окрестности точки А решение можно представить в виде рядов являющихся обобщением центрированной волны Римана, а в самой точке решение задается соотношением определяющим простую волну Римана. Указанное свойство решения используется для раскрытия особенности при численном решении задачи Крайко.

Полученные численные решения В расчетах были рассмотрены различные варианты для параметров: т, 7, v, р*. Выполнены расчеты когда показатель политропы газа 7 принимает значения: 1.4, 5/3, 2. Вид симметрии и принимает значения: 0 - плоская симметрия, 1 - цилиндрическая симметрия,

2 - сферическая симметрия. Рассчитано сжатие газа до плотности р* равной 104 — 106 от первоначальной плотности ро = 1.

Для обеих задач численно восстановлены газовые течения в целом и, в частности, траектория сжимающего поршня. Траектория сжимающего поршня получена в виде точек (£г-, гг) пространства физических переменных, здесь г - номер точки на траектории поршня, количество точек для каждого рассмотренного случая параметров газа га, 7, и, р* индивидуально. В точках траектории поршня рассчитаны значения плотности pi и скорости щ газа. По известным значения плотности pi легко найти значение давления рг- = р]~1 /7 в точке (ti,ri), что позволило рассчитать работу по сжатию газа, совершаемую сжимающем поршнем.

Анализ расчетов. Для двух конфигураций численно восстановлены течения возникающие в газе при сжатии, как частный случай, рассчитана траектория сжимающего поршня. Сделаем некоторые выводы основанные на полученных результатах (отметим, что многие из выводов понятны интуитивно, при этом они подтверждены расчетами). Выводы:

Первый: анализ рассчитанных течений показал, что полученное численное решение описывает процесс безударного сжатия одномерного слоя газа.

Второй: в основе алгоритма расчета лежит проверенный метод характеристик, позволяющий с достаточной степенью точности восстанавливать течения в газе. В частности, для проведенных расчетов относительная погрешность масс газа 5т до сжатия и после меньше 1%. Для раскрытия особенности в течении используется свойство решения, полученное с использованием строгих математических приемов: особенность описывается сходящимся рядом, первые слагаемые которого известны. По мнению автора, особая привлекательность указанного алгоритма в том, что расчет течений начинается из точки с особенностью, где течения заданы строгими аналитическими соотношениями, а уже йотом, в оставшейся области. Поэтому рассмотренная методика позволяет получать достаточно точное численное решение используя персональный компьютер.

Третий: сжатие одного и того же слоя газа в случае конфигурации Мизеса происходит быстрее, чем в случае конфигурации Крайко. Это хорошо видно на рис. 10.1, также подтверждено расчетами.

Четвертый: сжатие по конфигурации Крайко, если сравнивать с конфигурацией Мизеса, является более выгодным с точки зрения энергетических затрат. Так как в случае конфигурации Крайко газ покоится в начальный и финальный моменты времени, то работа тратится только на сжатия газа, а в случае конфигурации Мизеса к работе сжатия добавляется работа по разгону газа. Это также подтверждено расчетами.

Пятый: в случае конфигурации Крайко, работа тратится только на сжатие и в финальный момент времени газ однороден, поэтому не важно какую форму объема занимает газ. Другими словами, количество работы производимой сжимающим поршнем, в случае конфигурации Крайко, одинаково для различных видов симметрии газовых течений - расчеты подтверждают это. Факт равенства работ для различных видов симметрии можно использовать, вместе с величиной относительной погрешности масс 5т, в качестве критерия точности расчетов.

Шестой: в случае конфигурации Мизеса, требуемые течения газа реализуются воздействием одного подвижного поршня. В случае плоско-симметричных течений (и = 0) скорость сжимающего поршня монотонно увеличивается от момента старта t = 0 до некоторого момента времени меньшего, чем финальный момент времени t = tM, а затем до момента времени t = Ьм скорость постоянна. В случае цилиндрических (у = 1) и сферических {и = 2) течений скорость сжимающего поршня монотонно увеличивается от момента старта t = 0 до финалыюго момента времени t = t^j

Характер изменения плотности газа, а соответственно и давления, на поверхности сжимающего поршня аналогичен характеру изменения скорости. Максимальное значение плотности на сжимающем поршне равно плотности сжатого газа.

Седьмой: в случае конфигурации Крайко, требуемые течения газа реализуются воздействием двух поршней. Один поршень неподвижен (является стенкой), второй поршень - подвижный сжимающий. В случае плоскосимметричных течений {v = 0) скорость сжимающего поршня монотонно увеличивается от момента старта t = 0 до некоторого момента времени меньшего, чем финальный момент времени t = а затем, до момента времени t = tx скорость постоянна (см.рис. 9.1). В случае цилиндрических {v — 1) и сферических (и = 2) течений при различных режимах сжатия возможны различные характеры изменения скорости сжимающего поршня. Если взять определенные значения параметров 7, и, р* и варьировать значение массы m сжимаемого газа, то можно заметить следующее: если масса т меньше некоторого т°, то скорость сжимающего поршня монотонно увеличивается от момента старта t = 0 до финального момента времени t — tx (см.рис. 9.4); если масса газа т больше или равна т°, то скорость сжимающего поршня монотонно увеличивается от момента старта t = 0 до некоторого момента времени меньшего, чем финальный момент времени t = а затем до момента времени t = tx скорость поршня монотонно уменьшается, то есть поршень притормаживает (см.рис. 9.6). Определить чему равно т° не удалось, так как решение численное. Но можно указать интервал значений в котором находится 7П° (см. таблица 2.1,2.3).

В плоско-симметричном случае характер изменения плотности, а соответственно и давления, аналогичен характеру изменения скорости (см.рис. 9.2). В случае цилиндрических и сферических течений плотность газа на поверхности сжимающего поршня монотонно увеличивается от момента старта t = О до финального момента времени t = ti< (см.рис. 9.5). При этом для любого вида симметрии (и = 0,1,2) плотность газа на поверхности сжимающего поршня всегда меньше, чем плотность сжатого газа.

Анализ давлений возникающих в решении задачи Крайко на неподвижной стенке показал, что давление максимально в точке примыкания к покоящемуся сжатому газу, и равно р*. Минимальное значение плотности в точке примыкания к покоящемуся несжатому газу, и равно 1. Вдоль стенки давление монотонно возрастает, увеличение давления происходит плавно, без резких колебаний.

А самый главный вывод: для двух конфигураций получены конкретные значения массы газа, которые можно сжать безударно до плотности, в 101 — 10е раз превышающей исходную. Другими словами дан ответ на вопрос о возможности безударного сжатия достаточно больших масс газа до больших плотностей.

Заключение

В диссертации рассмотрены две задачи, решения которых описывают процесс безударного сжатия газа до степеней в 104 — 106 раз превышающей первоначальную плотность газа, и получены следующие результаты.

1. Для задачи Мизеса рассчитано решение, описывающее волну сжатия для случая плоских, цилиндрических и сферических течений. Получен закон воздействия на газ, реализующий требуемое безударное сжатие. В случае плоской симметрии рассчитанные течения совпали с известным точным решением.

2. Для задачи Крайко рассчитано решение, описывающее волну сжатия для случая плоских, цилиндрических и сферических течений. Получен закон воздействия на газ, реализующий требуемое безударное сжатие, установлены закономерности в характере изменения скорости и плотности газа на поверхности сжимающего поршня.

3. Для двух задач вычислены существенные значения масс газа, сжатие которых возможно в 104 — 106 раз.

4. С помощью проведенных численных расчетов подтверждена эффективность подхода к математическому моделированию безударного сильного сжатия газа, предложенного С.П. Баутнпым. Ранее эффективность этого подхода была подтверждена аналитическими исследованиями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Николаев, Юрий Владимирович, 2005 год

1. Римап Б. О распаде плоских волн конечной амплитуды // Сочинения, М., Л.: ОГИЗ 1948, с. 37G-395.

2. Овсянников JI.B. Лекции по основам газовой динамики. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 336 с.

3. Роэюдествсиский Б. Л., Янепко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамики. — М.: Наука, 1978.

4. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа — Москва: Наука, 1970 -904 с.

5. Черный Г.Г. Газовая динамика. — М.: Наука, 1988, 424 с.

6. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. — М: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1955.

7. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. — М.: Наука, 1981.

8. Каоюдан Я.М. К вопросу об адиабатическом сжатии газа под действием сферического поршня // Журнал прикладной механики и технической физики. 1977, № 1, с. 23-30.

9. Забабахин И.Е., Симопенко В.А. Сферическая центрированная волна сжатия // Прикладная математика и механика. — 1978, т. 42, вып. 3, с. 573-576.

10. Крайко А.Н., Тилляева Н.И. Автомодельное сжатие идеального газа плоским, цилиндрическим или сферическим поршнем // Теплофизика высоких температур — 1998, т. 36, № 1, с. 120-128.

11. Сучков В.А. Истечение в вакуум на косой стенке // Прикладная математика и механика. — 1963, т. 27, вып. 4, с. 739-740.

12. Сидоров А.Ф. Некоторые оценки степени кумуляции энергии при плоском и пространственном сжатии газа // Доклады АН СССР. — 1991, т. 318, К°- 3, с. 548-552.

13. Сидоров А. Ф. Два точных решения уравнений гидродинамики типа тройной волны // Прикладная математика и механика. — 1964, т. 28, выи. 6, с. 1139-1142.

14. Баутин С.П. Математическая теория безударного сильного сжатия идеального газа. — Новосибирск: Наука, 1997.

15. Долголева Г.В., Забродин А.В. Кумуляции энергии в слоистых системах и реализация безударного сжатия — Москва: Физматлит, 2004, 70 с.

16. Забродин А.В., Плинер Л.А., Северин А.В. Численные расчеты некоторых режимов безударного сжатия // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН 1996, № 4.

17. Долголева Г.В., Забродин А.В. Построение последовательности приближенных решений для определения величины кумулирующей энергии при схождении слоистой системы оболочек // Изв. Академии Наук. Механика жидкости и газа. 1999, № 2, С. 115-123.

18. Долголева Г.В., Забродин А.В. Разработка термоядерных мишений на основе реализации концепции безударного сжатия // Аэромеханика и газовая динамика. — 2002, № 2, С. 48-54.

19. Жуков В.Т., Забродин А.В., Имшенник B.C., Феодоритова О.Б. Численное моделирование мишени тяжелоионного термоядерного синтеза в приближении теплопроводной газодинамики. — Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 1993, № 41.

20. Броиина Т.Н. Численные расчеты движения поршня при безударном сжатии конуса с идеальным газом // Вычислительные технологии. — 1996, т. 1, № 2, с. 47-56.

21. Анучин М.Г. Влияние теплопроводности на неограниченное безударное сжатие плоского газового слоя // Прикладная механика и техническая физика. 1998, т. 39, № 4, с. 25-32.

22. Baijmwi С.П., Рощупкин А.В. Об одном способе расчета безударного сильного сжатия двумерных газовых слоев // Вычислительные технологии. — 2002, т. 7, № 6, с. 3-12.

23. Ваутин С.П., Ягупов С.А. Математическое исследование безударного сжатия водорода с реальным уравнением состояния // Вычислительные технологии. — 2001, т. 6, с. 103-107.

24. Ваутин С.П., Чернышев Ю.Ю. Аналог центрированной волны Римана в теплопроводном невязком газе // Доклады Академии наук. — 2001, т. 380. № 1, с. 43-47.

25. Сидоров А.Ф. Безударное сжатие баратропного газа // Прикладная математика и механика. — 1991, т. 55, вып. 5, с. 769-779.

26. Крайко А.Н. О свободном нестационарном расширении идеального газа // Известия РАН. Механика жидкости и газа — 1993, № 4., С. 155-163.

27. Крайко А.Н. Вариационная задача об одномерном изэнтропическом сжатии идеального газа // Прикладная математика и механика — 1993. т. 57, выи. 5., с. 35-51.

28. Крайко А.Н. Асимптотические закономерности нестационарного расширения идеального газа в пустоту // Прикладная математика и механика 1994. т. 58, вып. 4., с. 70-80.

29. Крайко А.Н. О неограниченной кумуляции при одномерном нестационарном сжатии идеального газа // Прикладная математика и механика — 199G, т. 60, вып. 6, с. 1000-1007.

30. Мизсс Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости — Москва: Издательство иностранной литературы, 1950, 426 с.

31. Баутип С.П. О задаче получения наперед заданных распределений параметров газа // Прикладная математика и механика. — 1999, т. 63, выи. 6, с. 938-946.

32. Баутип С.П. О существовании решений задачи А.Н. Крайко // Прикладная механика и техническая физика. — 2000, т. 41, № 3, с. 48-55.

33. Тешуков В.М. Центрированные волны в пространственных течениях газа // Динамика сплошной среды: Сборник научных трудов АН СССР. Сибирское отделение. Институт гидродинамики. — 1979, вып.39, с. 102-118.

34. Тешуков В.М. Распад произвольного разрыва на криволинейной поверхности // Прикладная механика и техническая физика. 1982, № 4, с. 98106.

35. Баутип С.П. Аналитические решения задачи о движении поршня // Численные методы механики сплошной среды. — 1973, т. 4, К0- 1, с. 3-15.

36. Баутип С.П. Асимптотические законы безударного сильного сжатия квазиодномерных слоев газа // Прикладная математика и механика. — 1999, т. 63, вып. 3, с. 415-423.

37. Зубов А.Д., Симопепко В.А. Движение с однородной деформацией в магнитной газодинамике. — Вопросы Атомной Науки и Технике, Сер. Теоретическая и прикладная физика. 1986, вели. 1(3), с. 3.

38. Зубов А.Д., Симопепко В.А. О стахостичности движений с однородной деформацией. — Вопросы Атомной Науки и Технике, Сер. Теоретическая и прикладная физика. 1987, № 2, с. 45 56.

39. Зубов А.Д., Симопепко В.А. Магпитогазодинамические течения с однородной деформацией. — Препринт Российского Федерального Ядерного

40. Центра — Всероссийский Научно-Исследовательский Институт Технической Физики, 1997, № 56.

41. Зубов Е.Н., Сидоров А.Ф. О решении одной краевой задачи для неустановившегося течения газа и распространение слабых ударных волн // Численные методы механики сплошной среды. — 1972, т. 3, № 3, с. 32-50.

42. Баутип С.П., Рощупкин А.В. Алгоритм расчета безударного сильного сжатия двумерных газовых слоев. Екатеринбург: УрГУПС, 2000, Деи. в ВИНИТИ от 24.10.2000 за № 2699-В00, 50 с.

43. Рощупкин А.Б. Трехмерные нестационарные задачи о получении наперед заданных распределений параметров течения идеального газа. Екатеринбург: УрГУПС, 2002, Деи. в ВИНИТИ от 24.06.2002 за № 1174-В2002, 21 с.

44. Рощупкин А.В. Асимптотические законы безударного сильного сжатия многомерных слоев газа. Екатеринбург: УрГУПС, 2002, Деп. в ВИНИТИ от 10.07.2002 за № 1281-В2002, 44 с.

45. Riemann G.F.B. Uber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingiingsweite. Abhandl. Konigl. Ges. Wiss. Gottingen, 1860, 8.

46. Каждан Я.М. Сферический разлет газа к центру. — Препринт института прикладной математики им. М.В. Келдыша, 1969, 150.

47. Каждан Я.М. Адиабатическое сжатие газа иод действием цилиндрического поршня. — Препринт института прикладной математики им. М.В. Келдыша, 1980, № 56.

48. Долголева Г.В., Забродин А.В. Воспроизведение безударного сжатия в оболочных конструкциях микромишений. — Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 1999, № 53.

49. Сидоров А.Ф. Об оптимальном безударном сжатии газовых слоев // Доклады Академии наук. 1990, т. 313, № 2, с. 283-287.

50. Сидоров А.Ф. Избранные труды. Математика. Механика. — М.: Физмат-лит, 2001. 769-779.

51. Жуков А.И. Применение метода характеристик к численному решению одномерных задач газовой динамики // Труды математического института имени В.А.Стеклова, LVIII. Москва: Издательство Академии наук СССР, 1960, 151с.

52. Публикации автора по теме диссертации

53. Баутип С.П., Николаев Ю.В. Об одном методе расчета безударного сильного сжатия одномерных слоев газа. Вычислительные технологии, 2000, т. 5, № 4, 3-12.

54. Николаев Ю.В. О численном решении задачи безударного сильного сжатия одномерных слоев газа // Вычислительные технологии. — 2001, т. 6, № 2, с. 104-109.

55. Николаев Ю.В., Рощупкин А.В. Расчеты сильного безударного сжатия газовых слоев // Вычислительные технологии, 2001, т. G, спец.выпуск с. 4G4-4GG.

56. Николаев Ю.В. О численном решении задачи А.Н. Крайко. Екатеринбург: УрГУПС, 2003, 52 с, деп. в ВИНИТИ от 02.09.2003 за № 1637-В2003.

57. Николаев Ю.В. О численном решении задачи А.Н. Крайко в точке г=0 и в ее окрестности. Екатеринбург: УрГУПС, 2004, 25 с, деп. в ВИНИТИ от 15.11.2004 за № 1768-В2004.

58. Николаев Ю.В. Расчет решения задачи Крайко в точке г=0 и в ее окрестности // Тезисы XX Всероссийской школы-семинара «Аналитические методы и оптимизация процессов в механики жидкости и газа» (САМГОП 2004), Абрау-Дюрсо, 2004, с. 55-56.

59. Николаев Ю.В. Расчеты двух способов безударного сильного сжатия одномерных слоев газа // Тезисы докладов Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики». Екатрин-бург: УрО РАН, 2003, с. 59.

60. Николаев Ю.В. Расчеты безударного сильного сжатия одномерных слоев газа // Труды 31 региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики». Екатеринбург: Институт Математики и Механики УрО РАН, 2000, с. 57.

61. Рис. 2.4 Распределение плотности газа в финальный момент сжатия для задачи МизесаМ