Алгоритмы вычисления собственных значений для кватернионных матриц и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Го Чжэньвэй

• Го Чжэньвэй
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Го Чжэньвэй

1.1 Предварительные сведения

1.2 Три быстрых алгоритма собственных значений для эрмитовых кватернионных матриц

1.2.1 Комплексный сохраняющий структуру алгоритм

1.2.2 Вещественный конструктивный алгоритм

1.2.3 Комплексный конструктивный алгоритм

1.2.4 Численные эксперименты и анализ приложений

1.3 Алгоритм собственных значений для неэрмитовых кватернионных матриц

1.3.1 Комплексный сохраняющий структуру QR алгоритм для декомпозиции Шура кватернионных матриц

1.3.2 Численные эксперименты и анализ приложений

1.4 Выводы

2 Алгоритмы вычисления собственных значений для сплит-кватернионных матриц и их приложения

2.1 Предварительные сведения

2.2 Алгоритм собственных значений для эрмитовых сплит-кватернионных матриц

2.2.1 Вещественный конструктивный алгоритм

2.2.2 SQPCA и его приложение в распознавании и реконструкции цветных лиц

2.2.3 2DSQPCA и его приложение в распознавании и рекон-

струкции цветных лиц

2.3 Алгоритм собственных значений для неэрмитовых сплит-кватернионных матриц

2.3.1 Вещественный конструктивный алгоритм

2.3.2 Численный эксперимент

2.4 Выводы

3 Алгоритмы вычисления собственных значений для коммутативных

кватернионных матриц

3.1 Предварительные сведения

3.2 Два новых алгоритма собственных значений для коммутативных кватернионных матриц

3.2.1 Комплексный конструктивный алгоритм

3.2.2 Вещественный конструктивный алгоритм

3.2.3 Численные эксперименты

3.3 Выводы

Заключение

Литература

Публикации автора

Приложение

Список символов

Обозначение Описание

И Множество вещественных чисел

С Множество комплексных чисел

Н = И 0 Ш 0 И] 0 Ик Множество кватернионов

Н8 = И 0 Ш 0 И] 0 Ик Множество сплит-кватернионов

Не = И 0 Ш 0 И] 0 Ик Множество коммутативный кватернионов

Я = Я1 + Я21 + Яз) + Я4к (Сплит/коммутативный) кватернион

Ы Модуль элемента я

А^хп Матрица А размерности т х п

!п Единичная матрица размерности п х п

А = А\ + А21 + Аз) + А4к (Сплит/коммутативная) кватернионная матрица

Ие(А) = Ах Вещественная часть матрицы А

1т(А) = А21 + Аз) + А4к Мнимая часть матрицы А

А Сопряжение матрицы А

АТ Транспонирование матрицы А

Ан Сопряженное транспонирование матрицы А

А-1 Обратная матрица А

^ Обобщенная обратная матрица А

Норма Фробениуса матрицы А

Таблицы умножения для Н, Н8 и Н(

Н 1 1 к Н8 1 1 к Не 1 1 к

1 1 1 к 1 1 1 к 1 1 1 к

1 1 -1 к Ч 1 1 -1 к 1 1 -1 к Ч

-к -1 1 -к 1 -1 к

к к -1 -1 к к 1 1 к к

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы вычисления собственных значений для кватернионных матриц и их приложения»

Введение

Кватернионы, как четырехмерные гиперкомплексные числа, были впервые введены в 1843 году ирландским математиком У.Р. Гамильтоном для расширения математической концепции комплексных чисел [1]. Они состоят из четырех компонентов: вещественная часть и трех мнимые части, которые вместе формируют кватернион:

Я = 21 + 221 + яз.] + д4к е Н, [2 = ]2 = к2 = ]к = -1,

где я1 , я2, яз, я4 - вещественные числа и = —^ = к, ]к = —к] = 1, к1 = — 1к = ]. Эта некоммутативность (1] = ^ отличает кватернионы от комплексных чисел и придает им уникальные алгебраические свойства. Изначально кватернионы были введены для решения задач вращения в трехмерном пространстве. В отличие от углов Эйлера и матриц вращения, кватернионы позволяют избежать проблемы блокировки карданов и являются более эффективными и устойчивыми при вычислении вращений [2-9]. Эти преимущества кватернионов привели к их широкому использованию в современной компьютерной графике [10-12], робототехнике [13-15] и аэрокосмической технике [16-19]. В компьютерной графике вращения, представленные кватернионами, широко используются в анимации и виртуальной реальности, поскольку представление кватернионов позволяет избежать проблемы сингулярности в представлении углов Эйлера, а интерполирование кватернионов (например, алгоритм 81егр) дает эффект плавного вращения [20,21]. В робототехнике кватернионы используются для описания позы и траектории движения роботизированной руки [22, 23]. В аэрокосмической технике кватернионы используются для описания и вычисления ориентации летательных аппаратов благодаря их вычислительной эффективности и численной устойчивости при комбинировании вращений [24]. Кроме того, в 1960-х годах американский физик С.Л. Адлер [25] предложил алгебраические и аналитические методы решения кватернионных задач квантовой

механики и квантовой теории поля. Он заложил математические основы ква-тернионной квантовой механики и квантовой теории поля, используя аксиоматизацию векторного пространства [26-28]. В последние годы кватернионы также играют важную роль в различных областях, таких как физика [29-31], обработка цветных изображений [32-34], обработка сигналов [35-37] и электромагнетизм [38-40]. Они не только предоставляют лаконичный и мощный математический инструмент, но и вносят значительный вклад в развитие и инновации в этих областях.

Сплит-кватернионы впервые представлены английским математиком Дж. Коклом в 1849 году [41]. Его исследование было направлено на расширение теории кватернионов У.Р. Гамильтона для более эффективного решения различных задач в геометрии и физике. Введение сплит-кватернионов ознаменовало дальнейшее развитие системы гиперкомплексных чисел, предоставив новые инструменты для изучения более сложных алгебраических структур и геометрических преобразований. В частности, сплит-кватернион может быть выражен в следующей форме:

9 9 9

Я = Я1 + Я21 + Яз] + 24к е Н8, 1 = —1, ] = к = 1]к = 1,

где ЯъЯ2,Я3,Я4 - вещественные числа и = — ^ = к, ]к = —к] = —1, к1 = — 1к = ]. Эти правила умножения делают сплит-кватернионы отличными от кватернионов по своей алгебраической структуре и свойствам. Введение сплит-кватернионов ознаменовало дальнейшее развитие гиперкомплексных систем, предоставив новые инструменты для изучения более сложных алгебраических структур и геометрических преобразований. С момента своего появления сплит-кватернионы были разработаны и применены в нескольких областях. При описании вращений и преобразований в гиперболической геометрии сплит-кватернионы обеспечивают краткую и эффективную математическую запись, которая облегчает изучение и понимание свойств неевклидовых геометрий [42]. Изучая связь между комплексифицированной классической и

неэрмитовой квантовой механикой, физики обнаружили, что они связаны со сплит-кватернионной механикой, и это открытие привело к возможности использования алгебраических методов сплит-кватернионов для решения некоторых сложных открытых проблем в комплексифицированной классической и квантовой механике [43-53]. В особенности, симметрия сплит-кватернионов связана с группой Лоренца, а не с евклидовой группой, поскольку каждое вращение в трехмерном пространстве Минковского может быть выражено в терминах сплит-кватерниона, и тогда РТ-симметричная квантовая механика эквивалентна не традиционной кватернионной квантовой теории, а скорее сплит-кватернионной квантовой механике [54]. Более того, в приложениях микрофизики скалярная часть сплит-кватерниона интерпретируется соответствующим образом, которая может управлять инерционными свойствами системы отсчета частицы и может быть интерпретирована как длина волны [55]. В целом, сплит- кватернионы, как важный вариант кватернионов, расширяют возможности исследователей в решении геометрических и физических задач. Изучение сплит-кватернионов позволяет глубже понять и применить симметрии и преобразования в пространствах более высокой размерности, что способствует развитию как математики, так и физики.

После появления кватернионов и сплит-кватернионов итальянский математик К. Сегре в 1892 году определил особую систему кватернионов [56], названную коммутативными кватернионами. Как следует из названия, коммутативные кватернионы - это особый класс кватернионов, удовлетворяющих мультипликативному закону коммутативности. Он может быть выражен в следующей форме:

9 9 9

Я = Я1 + Я21 + Яз) + Я4к е Не, 1 = - = к = 1)к = -1,

где Яъ Я2, Я3, Я4 - вещественные числа и ц = ^ = к, )к = к) = 1, к1 = 1к = -) Главная особенность системы коммутативных кватернионов заключается в том, что она сохраняет свойство коммутативности комплексных чисел и достигает

кватернионоподобного многомерного представления за счет расширения мнимой единицы, что контрастирует с отсутствием коммутативности в стандартной системе кватернионов [57-61]. Уникальность таких алгебраических структур делает их более простыми в некоторых специфических областях алгебры и физики, и поэтому они представляют большой теоретический интерес, хотя на практике они встречаются не так часто, как стандартные кватернионы. Например, в рамках теории систем частных дифференциалов изучались коммутативные кватернионные поля и их физические свойства, которые привели к более глубокому пониманию их связи с уравнениями Максвелла [62]. В заключение следует отметить, что коммутативные кватернионы являются улучшением и расширением классической системы кватернионов, предоставляя новые инструменты и перспективы для изучения алгебры и физики благодаря введению коммутативности.

Кватернионы и сплит-кватернионы, как две важные формы некоммутативных четырехмерных алгебр Клиффорда [63-68], и коммутативные кватернионы, как особый вариант кватернионов, являются тремя видами алгебр, которые не только имеют важные приложения в вышеупомянутых областях, но и привлекают большое внимание в ряде других смежных областей исследований [69-84]. Такие области, как искусственный интеллект, численные вычисления, обработка изображений и сигналов, анализ сложных данных сталкиваются с новыми вызовами, поскольку потребность в решении сложных реальных задач в современной науке и технике продолжает расти [85-99]. Эти междисциплинарные исследования и приложения на основе (сплит/коммутативных) кватернионов продемонстрировали большой потенциал и широкое влияние, которые дают новые идеи для решения сложных проблем в научных и инженерных дисциплинах, а также способствуют обмену знаниями и инновациям между различными областями. В особенности, с созданием четырехмерной алгебраической матричной модели для цветных изображений был предоставлен мощ-

ный и эффективный инструмент для представления и обработки цветных изображений [76, 83, 100]. Отображая красную, зеленую и синюю составляющие цветного изображения в четырехмерную алгебру, модель обеспечивает единую трактовку цветовых каналов цветного изображения, что, в свою очередь, сохраняет их актуальность.

Изображение как носитель информации и средство выражения имеет широкий спектр применения в различных областях, таких как мультимедиа, медицинская визуализация, спутниковая съемка и так далее [101-105]. Модель кватернионных матриц для цветных изображений была представлена С.Дж. Сангвайном в 1996 году [100]. Цветные изображения обычно представляются с помощью модели RGB, то есть каждая точка цветного изображения состоит из трех компонентов - красного (R), зеленого (G) и синего (B), поэтому для представления цветного изображения компоненты RGB каждой точки пикселя могут быть отображены на каждую из трех мнимых частей чисто мнимого кватерниона. Аналогичным образом можно попробовать использовать подобную модель для сплит-кватернионов и коммутативных кватернионов. Таким образом, любая точка пикселя q цветного изображения A может быть представлена следующей моделью:

q = 0 + r • i + g • j + b • k e H, Hs или Hc,

где r, g и b обозначают три цветовых канала в точке пикселя. Более интуитивно понятная модель представления матрицы показана на рис. 1.

С другой стороны, изучение алгоритмов собственных значений матриц является не только важной частью численной линейной алгебры, поскольку позволяет непосредственно решать такие задачи, как оптимизация [106,107], нелинейное программирование [108,109], обыкновенные дифференциальные уравнения [110,111] и различные виды математических вычислений [112-116], но и фундаментальной проблемой прикладной математики, физики, термодинамики и других технических аспектов [117-125]. Такой широкий спектр примене-

Рисунок 1: Модель кватернионной матрицы для цветного изображения.

ния делает анализ собственных значений фундаментальным инструментом во многих научных и инженерных областях. В области обработки изображений проблема собственных значений матрицы также имеет широкий спектр применений, в основном включающий:

(1) Распознавание лиц. Анализ главных компонент (РСА) [126] - это классический метод уменьшения размерности, который широко используется в задачах обработки изображений, таких как распознавание лиц и т.д. РСА рассчитывает собственные значения и собственные векторы ковариационной матрицы данных, чтобы определить основное направление распределения данных, и выбирает собственные векторы, соответствующие наибольшим собственным значениям, для формирования новой собственной базы. Этот метод эффективно снижает размерность данных, сохраняя при этом наиболее важную информацию. При распознавании лиц РСА используется для извлечения основных характеристик изображения с целью создания Eigenface (собственный вектор). Распознавание лиц может быть эффективно выполнено путем сравнения входного изображения с Eigenface в базе данных. Этот метод не только повышает точность распознавания, но и снижает вычислительные затраты [127-129].

(2) Реконструкция изображений. РСА имеет важное применение не только

в извлечении признаков, но и в реконструкции изображений, особенно в контексте уменьшения размерности и сжатия данных [130, 131]. РСА достигает эффективного сжатия данных путем извлечения главных компонент, соответствующих большим собственным значениям в данных изображения, а затем использует эти главные компоненты для повторного проецирования данных уменьшенной размерности обратно в исходное высокомерное пространство, таким образом достигая реконструкции изображения. Этот метод позволяет существенно повысить эффективность вычислений и хранения данных при условии сохранения важной информации изображения.

(3) Шифрование водяных знаков изображений. Методы водяного знака изображения используются для встраивания информации в изображения для защиты и проверки авторских прав [132]. Алгоритмы водяных знаков, основанные на собственных значениях матрицы, являются распространенным методом. Выполняя декомпозицию собственных значений или декомпозицию Шура на матрице изображения, информация водяного знака может быть встроена в собственные значения изображения [133] или ортогональную матрицу, полученную в результате декомпозиции Шура [134]. Этот метод обладает высокой устойчивостью и невидимостью, поскольку визуальные характеристики изображения определяются в основном большими собственными значениями.

(4) Обнаружение краев изображений. Алгоритм собственных значений матрицы также используется для обнаружения краев изображений. При обнаружении краев основные структурные характеристики изображения могут быть сохранены путем декомпозиции собственных значений матрицы, что позволяет обнаружить края и провести морфологическую обработку изображения, извлекая из него важную информацию о форме и краях [135,136].

Алгоритмы собственных значений матриц предоставляют мощные инструменты для обработки и понимания высокоразмерных данных изображений, делая анализ сложных данных и обработку информации более эффективной и

надежной. Эти методы и приемы играют неотъемлемую роль в современной цифровой обработке изображений и компьютерном зрении.

В настоящее время, несмотря на то, что алгоритм собственных значений вещественной матрицы достиг удовлетворительных результатов в области обработки изображений, все еще существуют некоторые ограничения. Это связано с тем, что традиционный алгоритм собственных значений вещественной матрицы в основном применим для обработки изображений в оттенках серого, в то время как при работе с цветными изображениями традиционный метод склонен обрабатывать каждый канал цветного изображения отдельно, что может игнорировать корреляцию между каналами и общую структуру изображения [137]. Благодаря тому, что модель кватернионной матрицы обеспечивает более естественное и эффективное представление для обработки цветных изображений, алгоритм на основе собственных значений кватернионной матрицы может дать много преимуществ при обработке цветных изображений, но он все еще сталкивается с некоторыми проблемами в скорости вычислений, и основные проблемы включают высокую вычислительную сложность и недостаточную оптимизацию алгоритма, который еще не достиг того же уровня зрелости, как алгоритм с реальными матрицами в оптимизации, и есть еще много возможностей для улучшения [138,139]. Кроме того, существует относительно небольшое количество приложений сплит-кватернионов и коммутативных кватернионов в области обработки цветных изображений, в основном из-за недостаточного понимания свойств и возможностей этих двух алгебраических структур, а теоретические результаты недостаточно совершенны.

Для решения указанных проблем становится актуальным повышение эффективности алгоритмов для решения собственных значений кватернионных матриц. Эффективные алгоритмы могут значительно сократить время вычислений и потребление ресурсов, что повышает их полезность в практических приложениях. Особенно при работе с данными в реальном времени или круп-

ными массивами данных эффективные алгоритмы могут повысить удобство работы и точность результатов анализа. Кроме того, повышение эффективности алгоритмов способствует применению кватернионных методов во многих областях и развитию новых технологий. Создание и совершенствование теории собственных значений и алгоритмов сплит-кватерниона и коммутативного кватерниона также позволит разработать новые методы распознавания и реконструкции цветных лиц, извлечения характеристик и так далее, чтобы еще больше повысить уровень существующей технологии и расширить ее применение в различных научных и инженерных областях. Эти исследования имеют научную ценность и широкие перспективы применения, и имеют большое значение для содействия междисциплинарному взаимообогащению и научно-техническим инновациям. С этой целью исследование посвящено теории собственных значений матриц, алгоритмам и соответствующим приложениям четырехмерной алгебры.

Целью диссертационной работы является разработка эффективных алгоритмов декомпозиции собственных значений трех типов кватернионных матриц, включая декомпозицию собственных значений кватернионных матриц, декомпозицию собственных значений сплит-кватернионных матриц и декомпозицию собственных значений коммутативных кватернионных матриц. Созданные новые алгоритмы применяются к прикладным задачам.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработка комплексного сохраняющего структуру алгоритма и двух конструктивных алгоритмов вычисления собственных значений декомпозиции эрмитовых кватернионных матриц.

2. Разработка комплексного сохраняющего структуру алгоритма для декомпозиции Шура кватернионных матриц.

3. Разработка алгоритмов декомпозиции для собственных значений эрмито-

вых сплит-кватернионных матриц.

4. Разработка алгоритмов декомпозиции для собственных значений неэрмитовых сплит-кватернионных матриц.

5. Разработка алгоритмов декомпозиции для собственных значений коммутативных кватернионных матриц.

Основные положения, выносимые на защиту, соответствуют следующим пунктам паспорта научной специальности 1.2.2. Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ:

1. Приведены три эффективных алгоритма вычисления собственных значений эрмитовых кватернионных матриц повышения скорости распознавания цветных лиц. Предложен новый более эффективный сохраняющий структуру алгоритм решения задачи собственных значений неэрмитовой кватернионной матрицы (декомпозиция Шура) (п.1, п.2);

2. Представлены теория и алгоритмы определения собственных значений эрмитовых сплит-кватернионных матриц, две новые и более эффективные схемы распознавания и восстановления цветных лиц. Приведен новый алгоритм решения задачи собственных значений неэрмитовой сплит-кватернионной матрицы (п.2, п.3, п.8);

3. Приведены два новых алгоритма решения задачи собственных значений коммутативной кватернионной матрицы и получены улучшенные теоретические результаты (п.2).

Научная и практическая значимость заключается в создании новых эффективных алгоритмов и разработке соответствующих приложений. Созданные новые алгоритмы эффективно решают задачи на собственные значения трех типов кватернионных матриц и имеют более высокую скорость вычислений и

меньшую погрешность вычислений. Разработанные схемы обработки цветных изображений имеют лучшие численные результаты. Практическая значимость заключается в том, что по сравнению с традиционными алгоритмами новые алгоритмы на базе языка программирования МаНаЪ позволяют значительно повысить скорость и точность распознавания в задаче распознавания цветных лиц, получить более четкие реконструированные изображения, а также позволяют добиться лучшей невидимости и устойчивости при шифровании цветных водяных знаков. Ожидается, что эти технологии заменят или дополнят существующие и принесут большую коммерческую выгоду и пользу пользователям.

Научная новизна:

1. Предложены три быстрых алгоритма вычисления собственных значений эрмитовых кватернионных матриц, позволяющие повысить скорость работы схем распознавания цветных лиц, основанных на кватернионном анализе главных компонент (QPCA). Предложен более эффективный комплексный сохраняющий структуру алгоритм решения задачи о собственных значениях неэрмитовых кватернионных матриц;

2. Для дальнейшего повышения точности традиционной схемы распознавания лиц на основе анализа главных компонент разработан алгоритм определения собственных значений эрмитовых сплит-кватернионных матриц и на его основе разработаны две схемы сплит-кватернионного анализа главных компонент (SQPCA и 2DSQPCA). На основе алгебраической природы сплит-кватернионов предложен новый конструктивный алгоритм для решения задачи собственных значений неэрмитовых сплит-кватернионных матриц;

3. Предложены два новых алгоритма решения задачи собственных значений коммутативных кватернионных матриц, получены новые теоретические результаты по сравнению с существующими алгоритмами.

Достоверность обеспечена:

1) Обширным обзором существующей литературы и научных теорий;

2) Использование современных вычислительных методов;

3) Проведением вычислительного эксперимента с помощью предложенных алгоритмов на модельных задачах и проверкой на прикладных задач.

4) Сравнительным анализом результатов исследования с результатами других авторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены на следующих конференциях:

• Международная конференция "Математическое моделирование, обратные задачи и большие данные", СВФУ, Якутск, Россия, 2021;

• Seminar on quaternion matrix theory and computations, Liaocheng, China, 2021;

• Евразийская конференция по прикладной математике, Академгородок, Новосибирск, Россия, 2021;

• V Всероссийская Научная конференция "Многомасштабные методы и высокопроизводительные научные вычисления", Якутск, Россия, 2022;

• The 3rd international conference on quaternion matrix computation and applications, Jinan, China, 2023;

• X международная конференция по математическому моделированию, посвященная 30-летию Академии наук Республики Саха (Якутия), Якутск, Россия, 2023;

• Научная школа для молодых учёных «Численное моделирование многомасштабных, мультифизичных проблем освоения криолитозоны», Якутск, Россия, 2023;

• XXVI Лаврентьевские чтения 2024, Якутск, Россия, 2024;

• The 4th international conference on quaternion matrix computations with applications, Jiangsu, China, 2024;

• Международная конференция "Современные вычислительные технологии математического моделирования", посвященная 75-летию профессора В.И. Васильева, Якутск, Россия, 2024;

• Научная школа для молодых учёных «Численное моделирование многомасштабных, мультифизичных проблем освоения криолитозоны», Якутск, Россия, 2024.

• Совместный семинар «Кватернионы, геометрические алгебры и приложения» Лаборатории геометрической алгебры и приложений (НИУ ВШЭ), международной научно-исследовательской лаборатории «Многомасштабное математическое моделирование и компьютерные вычисления» СВФУ и научно-учебной группы «Алгебры Клиффорда и приложения» Москва-Якутск, Россия, 26.09.2024.

Публикации. По теме диссертации было опубликовано 16 научных работ в рецензируемых научных изданиях, входящих в перечень ВАК, Scopus, Web of Science [A1-A16], получено 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [A17].

Личный вклад. В статьях [A1-A6] диссертантом построены математические модели, доказаны теоремы о корректности полученных задач, разработаны и численно реализованы вычислительные алгоритмы. В работах [A7-A16] мной реализованы вычислительные алгоритмы, проведены расчеты и проведён анализ результатов вычислительных экспериментов. Подготовка к опубликованию полученных результатов проводилась совместно с соавторами.

Объем и структура диссертационной работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. Полный объём работы составляет 171 страниц с 36 рисунками и 16 таблицами. Список литературы содержит 178

наименований.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Научного Фонда (гранты N0.23-71-30013 и N0.23-41-00037), Минобрнауки РФ (соглашение от 28.02.2024, N0.075-02-2024-1441) и стипендия правительства КНР (N0.202108370087).

В первой главе вводятся некоторые определения и алгебраические свойства кватернионов и их матриц, включая две изоморфные матрицы представления. Учитывая ограничения традиционных алгоритмов собственных значений для эрмитовых кватернионных матриц с точки зрения вычислительной эффективности и применимости, на основе соответствия между кватернионными матрицами и двумя изоморфными матрицами представления, разработаны три более эффективных алгоритма собственных значений для эрмитовых кватернионных матриц, которые включают: комплексный сохраняющий структуру алгоритм, вещественный конструктивный алгоритм и комплексный конструктивный алгоритм. Численные расчеты показали, что по сравнению с существующими алгоритмами, предложенные три алгоритма повысили эффективность численных вычислений, более существенно, на двух последних алгоритмах. Применение трех новых предложенных алгоритмов собственных значений к схеме распознавания цветных лиц на основе рРСЛ показало, что предложенные алгоритмы могут достичь цели значительного повышения скорости распознавания схемы распознавания цветных лиц без ущерба для точности распознавания. Для решения проблемы собственных значений неэрмитовых кватернионных матриц разработаны более эффективный комплексный сохраняющий структуру алгоритм декомпозиции ря и комплексный сохраняющий структуру алгоритм декомпозиции Шура, основанный на итерации ря. Численные результаты показывают, что предложенные новые алгоритмы значительно повышают скорость вычислений, в которых предложенный алгоритм декомпозиции ря кватернионных матриц также применяется для шифрования цветных водяных знаков.

Во второй главе предложен алгоритм правого собственного значения для эрмитовых сплит-кватернионных матриц, использующий особое свойство алгебраической структуры 2 х 2 изоморфных вещественных матриц представления сплит-кватернионных матриц, и получены выводы, отличные от собственных значений эрмитовых комплексных матриц и кватернионных матриц. Это связано с тем, что правые собственные значения эрмитовых матриц сплит-кватернионов не являются формально удинственными и не обязательно вещественными. Для повышения точности распознавания традиционной схемы распознавания цветных лиц на основе РСА созданы одномерный сплит-кватернионный анализ главных компонент (8рРСА) и двумерный сплит-кватернионный анализ главных компонент (2Б8рРСА) на основе предложенного алгоритма собственных значений для сплит-кватернионных матриц, они применены к схеме распознавания и реконструкции цветных лиц. Имитационные эксперименты показывают, что обе созданные схемы имеют значительно более высокую точность распознавания и более четкие реконструированные изображения, чем традиционные схемы. Учитывая свойство нулевого делителя алгебры сплит-кватернионов, приводится новый алгоритм собственных значений для неэрмитовых сплит-кватернионных матриц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Го Чжэньвэй, 2024 год

Литература

1. Hamilton William Rowan. On a new species of imaginary quantities, connected with the theory of quaternions // Proceedings of the Royal Irish Academy (1836-1869). - 1840. - Т. 2. - С. 424-434.

2. Митюшов Е.А., Мисюра Н.Е. и др. Моделирование кинематики и динамики шарнира неравных угловых скоростей // Computational Nanotechnology. - 2022. - Т. 9, № 4. - С. 48-54.

3. Митюшов Е.А., Мисюра Н.Е. Кватернионные модели в кинематике и динамике сферического движения элементов сложных технических систем // Прогрессивные технологии и системы машиностроения. - 2020. - № 4. -С. 27-34.

4. Ламоткин А.Е., Мисюра Н.Е., Митюшов Е.А. Построение траекторий движения универсального шарнира в конфигурационном пространстве в R3 // Computational nanotechnology. - 2023. - Т. 10, № 1. - С. 60-66.

5. Alaimo Andrea, Artale Valeria и др. Comparison between Euler and quaternion parametrization in UAV dynamics // AIP Conference Proceedings / American Institute of Physics. - Т. 1558. - 2013. - С. 1228-1231.

6. Brezov Danail S, Mladenova Clementina D и др. New perspective on the gimbal lock problem // AIP Conference Proceedings / American Institute of Physics. - Т. 1570. - 2013. - С. 367-374.

7. Perumal Logah. Representing rotation in Simulink using quaternion // Appl. Math. - 2014. - Т. 8, № 1L. - С. 267-272.

8. Kim Eui Myoung, Choi Han Seung. Analysis of the accuracy of quaternion-based spatial resection based on the layout of control points // Journal of the

Korean Society of Surveying, Geodesy, Photogrammetry and Cartography. — 2018. — Т. 36, № 4. — С. 255-262.

9. Artale Valeria, Milazzo Cristina LR, Ricciardello Angela. An example of quaternion parameterization for dynamical simulations // Journal of Physics: Conference Series / IOP Publishing. — Т. 490. — 2014. — С. 012005.

10. Vince John, Vince. Quaternions for computer graphics. — Springer, 2011.

11. Hart John C, Francis George K, Kauffman Louis H. Visualizing quaternion rotation // ACM Transactions on Graphics (TOG).— 1994.— Т. 13, № 3.— С. 256-276.

12. Pletinckx Daniel. Quaternion calculus as a basic tool in computer graphics // The Visual Computer. — 1989. — Т. 5, № 1. — С. 2-13.

13. Pervin Edward, Webb Jon A. Quaternions in computer vision and robotics. — 1982.

14. Liu Hao, Wang Xiafu, Zhong Yisheng. Quaternion-based robust attitude control for uncertain robotic quadrotors // IEEE Transactions on Industrial Informatics. — 2015. — Т. 11, № 2. — С. 406-415.

15. Farsoni Saverio, Landi Chiara Talignani и др. Compensation of load dynamics for admittance controlled interactive industrial robots using a quaternion-based kalman filter // IEEE Robotics and Automation Letters. — 2017. — Т. 2, № 2. — С. 672-679.

16. Левский МВ. Синтез оптимального управления терминальной ориентацией космиче-ского аппарата с использованием метода кватернионов // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. — 2009. — № 2. — С. 7-24.

17. Зубов Николай Евгеньевич, Лапин Алексей Владимирович, Микрин Евгений Анатольевич. Применение кватернионов в модальном управлении ориентацией космических аппаратов // Инженерный журнал: наука и инновации. - 2013. - № 10 (22). - С. 20.

18. Kuipers Jack B. Quaternions and rotation sequences: a primer with applications to orbits, aerospace, and virtual reality. - Princeton university press, 1999.

19. Yang Yaguang. Spacecraft attitude determination and control: Quaternion based method // Annual Reviews in Control. - 2012. - Т. 36, № 2. - С. 198-219.

20. Dam Erik B, Koch Martin, Lillholm Martin. Quaternions, interpolation and animation. - Citeseer, 1998. - Т. 2.

21. Johnson Michael Patrick. Exploiting quaternions to support expressive interactive character motion : Дисс... кандидата наук / Michael Patrick Johnson ; Massachusetts Institute of Technology. - 2003.

22. Campa Ricardo, Camarillo Karla, Ceccarelli M. Unit quaternions: A mathematical tool for modeling, path planning and control of robot manipulators // Robot manipulators. - 2008. - С. 21-48.

23. Cakir Mustafa, Butun Erhan. An educational tool for 6-DOF industrial robots with quaternion algebra // Computer Applications in Engineering Education. -2007. - Т. 15, № 2. - С. 143-154.

24. Hankey Wilbur L, Miller L Earl, Scherr Stephen J. Use of quaternions in flight mechanics. - Flight Dynamics Laboratory, Air Force Wright Aeronautical Laboratories, Air ..., 1984. - Т. 84.

25. Adler Stephen L. Quaternionic quantum field theory // Communications in Mathematical Physics. - 1986. - Т. 104. - С. 611-656.

26. Adler Stephen L. Scattering and decay theory for quaternionic quantum mechanics, and the structure of induced T nonconservation // Physical Review D. — 1988. — Т. 37, № 12. — С. 3654.

27. Adler Stephen L, Finkelstein David R. Quaternionic quantum mechanics and quantum fields. — 1996.

28. Adler Stephen L, Millard Andrew C. Coherent states in quaternionic quantum mechanics // Journal of Mathematical Physics.— 1997.— Т. 38, № 5.— С. 2117-2126.

29. Березин А.В., Курочкин Ю.А., Толкачев Е.А. Кватернионы в релятивистской физике. — Наука и техника, 1989.

30. Лунева Е.А. Применение теории кватернионов и октонионов в физике // Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования. — 2016. — № 4. — С. 109-110.

31. Терехов С.В. Нужно ли использовать кватернионы в физике? // Физика и техника высоких давлений. — 2022. — Т. 32, № 1. — С. 62-77.

32. Chen Beijing, Shu Huazhong и др. Color image analysis by quaternion-type moments // Journal of mathematical imaging and vision. — 2015.— Т. 51.— С. 124-144.

33. Chen Yongyong, Xiao Xiaolin, Zhou Yicong. Low-rank quaternion approximation for color image processing // IEEE Transactions on Image Processing. — 2019. — Т. 29. — С. 1426-1439.

34. Subakan Ozlem N, Vemuri Baba C. A quaternion framework for color image smoothing and segmentation // International Journal of Computer Vision. — 2011. — Т. 91, № 3. — С. 233-250.

35. Le Bihan Nicolas, Mars Jerome. Singular value decomposition of quaternion matrices: a new tool for vector-sensor signal processing // Signal Processing. — 2004. — T. 84, № 7. — C. 1177-1199.

36. Witten Ben, Shragge Jeff. Quaternion-based signal processing // SEG International Exposition and Annual Meeting / SEG. — 2006. — C. SEG-2006.

37. Jiang Meng-di, Li Yi, Liu Wei. Properties of a general quaternion-valued gradient operator and its applications to signal processing // Frontiers of Information Technology & Electronic Engineering. — 2016. — T. 17. — C. 8395.

38. Hong In Ki, Kim Choong Sun. Quaternion electromagnetism and the relation with two-spinor formalism // Universe. — 2019. — T. 5, № 6. — C. 135.

39. Rawat A.S., Negi OPS. Quaternion gravi-electromagnetism // International Journal of Theoretical Physics. — 2012. — T. 51. — C. 738-745.

40. Kansu Mustafa Emre, Tani§li Murat, Demir Siileyman. Quaternionic comparisons of electromagnetism using Lorentz transformations // The European Physical Journal Plus. — 2020. — T. 135, № 2. — C. 1-16.

41. Cokle James. On Systems of Algebra involving more than one Imaginary and on equations of the fifth degree // Philosophical Magazine,(series 3). — 1849. — T. 35. — C. 434-437.

42. Ozturk iskender, Ozdemir Mustafa. On geometric interpretations of split quaternions // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2023. — T. 46, № 1. — C. 408-422.

43. Guo A., Salamo G.J. h gp. Observation of PT-symmetry breaking in complex optical potentials // Physical Review Letters.— 2009.— T. 103, № 9.— C. 093902.

44. Zhao K.F., Schaden M., Wu Z. Enhanced magnetic resonance signal of spin-polarized Rb atoms near surfaces of coated cells // Physical Review A. — 2010. — T. 81, № 4. — C. 042903.

45. Moiseyev Nimrod. Non-Hermitian quantum mechanics. — Cambridge University Press, 2011.

46. Bender Carl M., Boettcher Stefan. Real spectra in non-Hermitian Hamiltonians having PT symmetry // Physical Review Letters.— 1998.— T. 80, № 24.— C. 5243.

47. Xavier Jr Ademir L., de Aguiar Marcus A.M. Complex trajectories in the quartic oscillator and its semiclassical coherent-state propagator // annals of physics. — 1996. — T. 252, № 2. — C. 458-478.

48. Bender Carl M., Boettcher Stefan, Meisinger Peter N. PT-symmetric quantum mechanics // Journal of Mathematical Physics.— 1999.— T. 40, № 5.— C. 2201-2229.

49. Kaushal R.S., Korsch H.J. Some remarks on complex Hamiltonian systems // Physics Letters A. — 2000. — T. 276, № 1-4. — C. 47-51.

50. Bender Carl M., Brody Dorje C. h gp. Faster than Hermitian quantum mechanics // Physical Review Letters. — 2007. — T. 98, № 4. — C. 040403.

51. Nesterov Alexander I. h gp. Non-Hermitian quantum systems and time-optimal quantum evolution // SIGMA. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. — 2009. — T. 5. — C. 069.

52. Brody Dorje C., Graefe Eva-Maria. On complexified mechanics and coquaternions // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2011. — T. 44, №7.—C. 072001.

53. Brody Dorje C., Graefe Eva-Maria. Coquaternionic quantum dynamics for two-level systems // ArXiv Preprint ArXiv:1105.4038. — 2011.

54. Jiang Tongsong, Jiang Ziwu, Zhang Zhaozhong. Algebraic techniques for eigenvalues and eigenvectors of a split quaternion matrix in split quaternionic mechanics // Computer Physics Communications. — 2018. — T. 229. — C. 1-7.

55. Gogberashvili Merab. Split quaternions and particles in (2+ 1)-space // The European Physical Journal C. — 2014. — T. 74. — C. 1-9.

56. Segre C. The real representations of complex elements and extension to bicomplex systems // Math. Ann. — 1892. — T. 40. — C. 413-467.

57. Kosal Hidayet Huda, Tosun Murat. Commutative quaternion matrices // Advances in Applied Clifford Algebras. — 2014. — T. 24. — C. 769-779.

58. Catoni Francesco, Cannata Roberto, Zampetti Paolo. An introduction to commutative quaternions // Advances in Applied Clifford Algebras. — 2006. — T. 16. —C. 1-28.

59. Szynal-Liana Anetta, W loch Iwona. Generalized commutative quaternions of the Fibonacci type // Boletln de la Sociedad Matematica Mexicana. — 2022. — T. 28, № 1.—C. 1.

60. Kosal Hidayet Huda, Tosun Murat. Some equivalence relations and results over the commutative quaternions and their matrices // Analele §tiinjifice ale Universita|ii"Ovidius"Constan!;a. Seria Matematica. — 2017.— T. 25, № 3.— C. 125-142.

61. Kosal Hidayet Huda, Tosun Murat. Universal similarity factorization equalities for commutative quaternions and their matrices // Linear and Multilinear Algebra. — 2019. — T. 67, № 5. — C. 926-938.

62. Catoni Francesco. Commutative (Segre's) quaternion fields and relation with Maxwell equations // Advances in Applied Clifford Algebras. — 2008. — Т. 18. —С. 9-28.

63. Марчук Н.Г. Уравнения теории поля и алгебры Клиффорда // Издательская группа URSS, Москва. — 2023.

64. Марчук Н.Г. Теория алгебр Клиффорда и спиноров // Красанд (Щ^),Москва. —2021.

65. Марчук Н.Г., Широков Д.С. Введение в теорию алгебр Клиффорда // М.: Фазис. — 2012.

66. Марчук Н.Г. Уравнения теории поля и алгебры Клиффорда // Ижевск: НИЦ РХД. — 2009.

67. Shirokov D.S. A classification of Lie algebras of pseudo-unitary groups in the techniques of Clifford algebras // Advances in applied Clifford algebras. — 2010. — Vol. 20. — P. 411-425.

68. Marchuk N.G., Shirokov D.S. Unitary spaces on Clifford algebras // Advances in Applied Clifford Algebras. — 2008. — Vol. 18. — P. 237-254.

69. Мисюра Н.Е., Митюшов Е.А. Кватернионные модели в кинематике и динамике твердого тела. — 2020.

70. Митюшов Е.А., Мисюра Н.Е., Берестова С.А. Кватернионная модель программного управления движением шара Чаплыгина // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2019. — Т. 29, №3.—С. 408-421.

71. Бранец В.Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. — Рипол Классик, 1973.

72. Shirokov D.S. Classification of elements of Clifford algebras according to quaternionic types // Dokl. Math. — T. 80. — 2009. — C. 610-612.

73. Shirokov D.S. Development of the method of quaternion typification of Clifford algebra elements // Advances in Applied Clifford Algebras. — 2012. — T. 22. — C. 483-497.

74. Shirokov D.S. Quaternion typification of Clifford algebra elements // Advances in Applied Clifford Algebras. - 2012. - Vol. 22. - P. 243-256.

75. Shirokov D.S. Contractions on ranks and quaternion types in Clifford algebras // Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences. — 2015. — T. 19, № 1. — C. 117-135.

76. Bayro-Corrochano Eduardo, Vazquez-Flores Zuleima, Uriostegui-Legorreta Ulises. The Lorentz Group Using Conformal Geometric Algebra and Split Quaternions for Color Image Processing: Theory and Practice // IEEE Access. — 2023. — T. 11. — C. 56785-56800.

77. Alagoz Yasemin, Oral Khursat Hakan, Yuce Salim. Split quaternion matrices // Miskolc Mathematical Notes. — 2012. — T. 13, № 2. — C. 223-232.

78. Ujang Bukhari Che, Took Clive Cheong, Mandic Danilo P. Split quaternion nonlinear adaptive filtering // Neural Networks.— 2010.— T. 23, № 3.— C. 426-434.

79. Ata Erhan, Yayli Yusuf. Split quaternions and semi-Euclidean projective spaces // Chaos, Solitons & Fractals. — 2009. — T. 41, № 4. — C. 1910-1915.

80. Pei Soo-Chang, Chang Ja-Han, Ding Jian-Jiun. Commutative reduced biquaternions and their Fourier transform for signal and image processing applications // IEEE Transactions on Signal Processing. — 2004. — T. 52, № 7. — C. 2012-2031.

81. Isokawa Teijiro, Nishimura Haruhiko, Matsui Nobuyuki. Commutative quaternion and multistate Hopfield neural networks // The 2010 International Joint Conference on Neural Networks (IJCNN) / IEEE. — 2010. — С. 1-6.

82. Kobayashi Masaki. Twin-multistate commutative quaternion Hopfield neural networks // Neurocomputing. — 2018. — Т. 320. — С. 150-156.

83. Gai Shan, Wan Minghua и др. Reduced quaternion matrix for color texture classification // Neural Computing and Applications.— 2014.— Т. 25.— С. 945-954.

84. Gai Shan, Yang Guowei и др. Denoising color images by reduced quaternion matrix singular value decomposition // Multidimensional Systems and Signal Processing. — 2015. — Т. 26. — С. 307-320.

85. Chetverushkin B.N. Sudakov V.A., Titov Y.P. Graph condensation for large factor models // Doklady Mathematics. — 2024.

86. Четверушкин Борис Николаевич, Якобовский Михаил Владимирович. Вычислительные алгоритмы и архитектура систем высокой производительности // Препринты Института прикладной математики им. МВ Келдыша РАН. — 2018. — № 0. — С. 52-12.

87. Chetverushkin BN, Yakobovskiy MV. The prospects of development in Russia of high-performance computing and predictive modeling in modern technologies // Herald of the Russian Academy of Sciences. — 2021. — Т. 91, №6.—С. 661-666.

88. Chetverushkin BN. Problems and prospects of supercomputer technologies in the near future // Herald of the Russian Academy of Sciences. — 2018. — Т. 88. —С. 448-453.

89. Oseledets Ivan V, Tyrtyshnikov Eugene E. Breaking the curse of dimensionality, or how to use SVD in many dimensions // SIAM Journal on Scientific Computing. — 2009. — T. 31, № 5. — C. 3744-3759.

90. Tyrtyshnikov Evgenii. A brief introduction to numerical analysis.

91. Olshanskii Maxim A, Tyrtyshnikov Eugene E. Iterative methods for linear systems: theory and applications. — SIAM, 2014.

92. Tyrtyshnikov Eugene Evgen'evich. New theorems on the distribution of eigenvalues and singular values of multilevel Toeplitz matrices // Doklady Akademii Nauk / Russian Academy of Sciences. — T. 333. — 1993. — C. 300303.

93. Oseledets Ivan V. Tensor-train decomposition // SIAM Journal on Scientific Computing. — 2011. — T. 33, № 5. — C. 2295-2317.

94. Oseledets Ivan, Tyrtyshnikov Eugene. TT-cross approximation for multidimensional arrays // Linear Algebra and its Applications. — 2010.— T. 432, № 1. —C. 70-88.

95. Kharyuk Pavel Vasil'evich, Oseledets Ivan Valer'evich. WTT decomposition for the compression of array's families and its application to image processing // Numerical methods and programming. — 2014. — T. 15, № 2. — C. 229-238.

96. Cichocki Andrzej, Lee Namgil h gp. Tensor networks for dimensionality reduction and large-scale optimization: Part 1 low-rank tensor decompositions // Foundations and Trends® in Machine Learning. — 2016. — T. 9, № 4-5. — C. 249-429.

97. Oseledets Ivan V. Approximation of 2d x 2d matrices using tensor decomposition // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. — 2010. — T. 31, № 4. — C. 2130-2145.

98. Петров Игорь Борисович, Холодов Александр Сергеевич. Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твёрдого тела сеточно-характеристическим методом // Журнал вычислительной математики и математической физики.- 1984.- Т. 24, № 5.-С. 722-739.

99. Петров Игорь Борисович, Тормасов Александр Геннадьевич, Холодов Александр Сергеевич. Об использовании гибридизированных сеточно-характеристических схем для численного решения трехмерных задач динамики деформируемого твердого тела // Журнал вычислительной математики и математической физики.- 1990.- Т. 30, № 8.- С. 12371244.

100. Sangwine Stephen John. Fourier transforms of colour images using quaternion or hypercomplex, numbers // Electronics Letters.- 1996.- Т. 32, № 21.-С. 1979-1980.

101. Penenko A.V., Mukatova Z.S., Blem A.A. Numerical solution of the inverse source problems for the advection-diffusion-reaction models with imagetype measurement data // AIP Conference Proceedings / AIP Publishing. -Т. 2027.-2018.

102. Penenko Alexey. Convergence analysis of the adjoint ensemble method in inverse source problems for advection-diffusion-reaction models with imagetype measurements // Inverse Probl. Imaging. - 2020. - Т. 14, № 5. - С. 757782.

103. Пененко А.В., Гочаков А.В. Анализ параллельного ускорения алгоритма идентификации источников на основе ансамблей решений сопряженных уравнений // Марчуковские научные чтения. - 2020. - № 2020. - С. 111111.

104. Penenko Alexey, Gochakov Alexander. Parallel speedup analysis of an adjoint ensemble-based source identification algorithm // Journal of Physics: Conference Series / IOP Publishing. - Т. 1715. - 2021. - С. 012072.

105. Kazantsev I.G., Tankibayeva A.K. и др. Correction of intensity inhomogeneity in magnetic resonance images using ramp filter // Siberian Electronic Mathematical Reports / Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН. - Т. 21. - 2024. - С. 307-314.

106. Seyranian Alexander P, Lund Erik, Olhoff Niels. Multiple eigenvalues in structural optimization problems // Structural optimization. - 1994.- Т. 8.-С. 207-227.

107. Lewis Adrian S, Overton Michael L. Eigenvalue optimization // Acta numerica. - 1996. - Т. 5. - С. 149-190.

108. Gollan Bernhard. Eigenvalue perturbations and nonlinear parametric optimization. - Springer, 1987.

109. Nakayama Keiko. Eigenvalue Problem and Nonlinear Programming Problem: For Economic Studies. - Springer Nature, 2024.

110. Chicone Carmen Charles. Ordinary differential equations with applications.-Springer, 2006. - Т. 34.

111. Ishikawa Hideaki. Numerical methods for the eigenvalue determination of second-order ordinary differential equations // Journal of computational and applied mathematics. - 2007. - Т. 208, № 2. - С. 404-424.

112. Абдикалыков А.К., Икрамов Х.Д., Чугунов В.Н. О собственных значениях (Т+Щ-циркулянтов и косых (Т+Щ-циркулянтов // Сибирский журнал вычислительной математики. - 2014. - Т. 17, № 2. - С. 111-124.

113. Абдикалыков А.К., Икрамов Х.Д., Чугунов В.Н. О некоторых приемах ускорения при вычислении собственных значений нормальных тёплице-вых матриц // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2014. — Т. 54, № 12. — С. 1835-1835.

114. Чугунов Вадим Николаевич. О параметризации классов нормальных ган-келевых матриц // Журнал вычислительной математики и математической физики. —2011. —Т. 51, № 11.—С. 1939-1951.

115. Chugunov Vadim Nikolaevich. On the problem of describing pairs of commuting Hankel complex matrices // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2012. — Т. 52, № 4. — С. 489.

116. Chugunov Vadim Nikolaevich. On pairs of symmetric Toeplitz matrices whose squares are identical // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2022. — Т. 62, № 5. — С. 733-743.

117. Saad Yousef. Numerical methods for large eigenvalue problems: revised edition. — SIAM, 2011.

118. Golub Gene H, Van der Vorst Henk A. Eigenvalue computation in the 20th century // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2000. — Т. 123, № 1-2. —С. 35-65.

119. Cullum Jane K, Willoughby Ralph A. Lanczos algorithms for large symmetric eigenvalue computations: Vol. I: Theory. — SIAM, 2002.

120. Sagan Hans. Boundary and eigenvalue problems in mathematical physics. — Courier Corporation, 1989.

121. Buchan A.G., Pain C.C. и др. A POD reduced-order model for eigenvalue problems with application to reactor physics // International Journal for Numerical Methods in Engineering. — 2013. — Т. 95, № 12. — С. 1011-1032.

122. Kovacs Zoltan, Tel Tamas. Bivariate thermodynamics of multifractals as an eigenvalue problem // Physical Review A. — 1992. — T. 45, № 4. — C. 2270.

123. Bogatyrev Andrei Borisovich. Pictorial Representation for Antisymmetric Eigenfunctions of PS-3 Integral Equations // Mathematical Physics, Analysis and Geometry. — 2010. — T. 13, № 2. — C. 105-143.

124. Bogatyrev AB. On spectra of pairs of Poincare-Steklov operators. — 1993.

125. Bogatyrev Andrei Borisovich. Poincare-Steklov integral equations and the Riemann monodromy problem // Functional Analysis and Its Applications. — 2000. — T. 34, № 2. — C. 86-97.

126. Abdi Herve, Williams Lynne J. Principal component analysis // Wiley interdisciplinary reviews: computational statistics.— 2010.— T. 2, № 4.— C. 433-459.

127. Toygar (Onsen, Acan Adnan. Face recognition using PCA, LDA and ICA approaches on colored images // IU-Journal of Electrical & Electronics Engineering. — 2003. — T. 3, № 1. — C. 735-743.

128. Faruqe Md Omar, Hasan Md Al Mehedi. Face recognition using PCA and SVM // 2009 3rd international conference on anti-counterfeiting, security, and identification in communication / IEEE. — 2009. — C. 97-101.

129. Dandpat Swarup Kumar, Meher Sukadev. Performance improvement for face recognition using PCA and two-dimensional PCA // 2013 International Conference on Computer Communication and Informatics / IEEE. — 2013.— C. 1-5.

130. Face recognition based on PCA image reconstruction and LDA / Changjun Zhou, Lan Wang h gp. // Optik. — 2013. — T. 124, № 22. — C. 55995603.

131. Tan Linglong, Wu Fengzhi, Li Weilong. Image compression and reconstruction based on PCA // Journal of Physics: Conference Series / IOP Publishing. — T. 1944. —2021. — C. 012021.

132. Ray Arkadip, Roy Somaditya. Recent trends in image watermarking techniques for copyright protection: a survey // International Journal of Multimedia Information Retrieval. — 2020. — T. 9, № 4. — C. 249-270.

133. Liu Decheng, Su Qingtang h gp. A blind color digital image watermarking method based on image correction and eigenvalue decomposition // Signal Processing: Image Communication. — 2021. — T. 95. — C. 116292.

134. Sun Yehan, Su Qingtang h gp. A double-color image watermarking algorithm based on quaternion Schur decomposition // Optik. — 2022. — T. 269. — C. 169899.

135. Guru D.S., Shekar B.H., Nagabhushan P. A simple and robust line detection algorithm based on small eigenvalue analysis // Pattern Recognition Letters. — 2004. —T. 25, № 1. —C. 1-13.

136. Nagabhushan P., Guru D.S., Shekar B.H. Eigen transformation based edge detector for gray images // Pattern Recognition and Machine Intelligence: First International Conference, PReMI 2005, Kolkata, India, December 20-22, 2005. Proceedings 1 / Springer. — 2005. — C. 434-440.

137. Xu Yi, Yu Licheng h gp. Vector sparse representation of color image using quaternion matrix analysis // IEEE Transactions on image processing. — 2015. — T. 24, № 4. — C. 1315-1329.

138. Wei Musheng, Ying Li h gp. Quaternion matrix computations. — Nova Science Publishers, 2018.

139. Li Ying, Wei Musheng h gp. A fast structure-preserving method for computing the singular value decomposition of quaternion matrices // Applied Mathematics and Computation. — 2014. — T. 235. — C. 157-167.

140. Le Bihan Nicolas, Sangwine Stephen J. Quaternion principal component analysis of color images // Proceedings 2003 International Conference on Image Processing (Cat. No. 03CH37429) / IEEE. — T. 1. — 2003. — C. I-809.

141. Zeng Rui, Wu Jiasong h gp. Color image classification via quaternion principal component analysis network // Neurocomputing. — 2016. — T. 216. — C. 416428.

142. Sangwine S.J., Bihan N.L. Quaternion toolbox for matlab // http://qtfm.sourceforge.net/. — 2013.

143. Jia Zhigang, Wei Musheng, Ling Sitao. A new structure-preserving method for quaternion Hermitian eigenvalue problems // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2013. — T. 239. — C. 12-24.

144. Jia Zhigang, Wei Musheng h gp. A new real structure-preserving quaternion QR algorithm // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2018. — T. 343. —C. 26-48.

145. Li Ying, Wei Musheng h gp. On the power method for quaternion right eigenvalue problem // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2019. —T. 345.—C. 59-69.

146. De Leo Stefano, Scolarici Giuseppe, Solombrino Luigi. Quaternionic eigenvalue problem // Journal of Mathematical Physics. — 2002. — T. 43, № 11. —C. 5815-5829.

147. Jiang Tongsong. Algebraic methods for diagonalization of a quaternion matrix

in quaternionic quantum theory // Journal of Mathematical Physics. — 2005. — T. 46, №5.—C. 052106.

148. Jiang Tongsong, Chen Li. An algebraic method for Schrodinger equations in quaternionic quantum mechanics // Computer Physics Communications. — 2008. — T. 178, № 11. — C. 795-799.

149. Wang Gang, Zhang Dong h gp. A complex structure-preserving algorithm for the full rank decomposition of quaternion matrices and its applications // Numerical Algorithms. — 2022. — T. 91, № 4. — C. 1461-1481.

150. Golub Gene H, Van Loan Charles F. Matrix computations. — JHU Press, 2013.

151. Guo Zhenwei, Jiang Tongsong h gp. Complex structure-preserving method for Schrodinger equations in quaternionic quantum mechanics // Numerical Algorithms. — 2023. — C. 1-17.

152. Jiang Tongsong, Guo Zhenwei h gp. A fast algorithm for the Schrodinger equation in quaternionic quantum mechanics // Applied Mathematics Letters. — 2024. —T. 150.—C. 108975.

153. Georgia Tech face database // https://www.anefian.com/research/facereco.htm.

154. Zhang Fuzhen. Quaternions and matrices of quaternions // Linear algebra and its applications. — 1997. — T. 251. — C. 21-57.

155. Rodman Leiba. Topics in quaternion linear algebra.— Princeton University Press, 2014.

156. Li Ying, Wei Musheng h gp. Real structure-preserving algorithms of Householder based transformations for quaternion matrices // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2016. — T. 305. — C. 82-91.

157. Peterson Gabriel. Arnold's cat map survey // Math 45-Linear Algebra.— 1997. —C. 1-7.

158. Chen Yong, Jia Zhi-Gang h gp. A new structure-preserving quaternion QR decomposition method for color image blind watermarking // Signal Processing. —2021. —T. 185. —C. 108088.

159. Zhang Mingcui, Ding Wenxv h gp. Color image watermarking based on a fast structure-preserving algorithm of quaternion singular value decomposition // Signal Processing. — 2023. — T. 208. — C. 108971.

160. Li Ying, Wei Musheng h gp. A new double color image watermarking algorithm based on the SVD and Arnold scrambling // Journal of Applied Mathematics. — 2016. — T. 2016.

161. Erdogdu Melek, Ozdemir Mustafa. On eigenvalues of split quaternion matrices // Advances in Applied Clifford Algebras. — 2013. — T. 23. — C. 615623.

162. Jiang Tongsong, Zhang Zhaozhong, Jiang Ziwu. Algebraic techniques for Schrodinger equations in split quaternionic mechanics // Computers & Mathematics with Applications. — 2018. — T. 75, № 7. — C. 2217-2222.

163. Jiang Tongsong, Zhang Zhaozhong, Jiang Ziwu. Algebraic techniques for eigenvalues and eigenvectors of a split quaternion matrix in split quaternionic mechanics // Computer Physics Communications. — 2018. — T. 229. — C. 1-7.

164. Jiang Tongsong, Jiang Ziwu, Zhang Zhaozhong. Algebraic techniques for diagonalization of a split quaternion matrix in split quaternionic mechanics // Journal of Mathematical Physics. — 2015. — T. 56, № 8.

165. Jiang Tongsong, Wang Gang h gp. Algebraic algorithms for a class of

Schrödinger equations in split quaternionic mechanics // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2024. - Т. 47, № 7. - С. 6205-6215.

166. Wang Gang, Jiang Tongsong и др. An efficient method for Maxwell's equations with a discrete double-curl operator in split quaternionic electromagnetics // The European Physical Journal Plus. - 2023. — Т. 138, № 4. - С. 341.

167. Yuan Shi-Fang, Wang Qing-Wen и др. On Hermitian solutions of the split quaternion matrix equation AXB+ CXD= E AXB+ CXD= E // Advances in Applied Clifford Algebras. - 2017. - Т. 27. - С. 3235-3252.

168. Serodio Rogerio, Beites PD, Vitoria Jose. Intersection of a double cone and a line in the split-quaternions context // Advances in Applied Clifford Algebras. - 2017. - Т. 27. - С. 2795-2803.

169. Guo Zhenwei, Jiang Tongsong и др. A novel algebraic approach for the Schrodinger equation in split quaternionic mechanics // Applied Mathematics Letters. - 2023. - Т. 137. - С. 108485.

170. Wang Gang, Jiang Tongsong и др. On singular value decomposition for split quaternion matrices and applications in split quaternionic mechanics // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2024. - Т. 436. - С. 115447.

171. FEI Face Database // https://fei.edu.br/ cet/facedatabase.html.

172. Libor Spacek's Facial Images Databases // https://cmp.felk.cvut.cz/ spacelib/faces/.

173. Turk Matthew, Pentland Alex. Eigenfaces for recognition // Journal of cognitive neuroscience. - 1991. - Т. 3, № 1. - С. 71-86.

174. Xiang Xinguang, Yang Jing, Chen Qiuping. Color face recognition by PCA-like approach // Neurocomputing. - 2015. - Т. 152. - С. 231-235.

175. Pei Soo-Chang, Chang Ja-Han, Ding Jian-Jiun. Quaternion matrix singular value decomposition and its applications for color image processing // Proceedings 2003 International Conference on Image Processing (Cat. No. 03CH37429) / IEEE. - T. 1. - 2003. - C. I-805.

176. Yang Jian, Zhang David h gp. Two-dimensional PCA: a new approach to appearance-based face representation and recognition // IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence. — 2004. — T. 26, № 1. — C. 131-137.

177. Xiao Xiaolin, Zhou Yicong. Two-dimensional quaternion PCA and sparse PCA // IEEE transactions on neural networks and learning systems. — 2018. — T. 30, № 7. — C. 2028-2042.

178. Pei Soo-Chang, Chang Ja-Han h gp. Eigenvalues and singular value decompositions of reduced biquaternion matrices // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers. — 2008. — T. 55, № 9. — C. 26732685.

Публикации автора

[A1] Z. Guo, T. Jiang, G. Wang, V. I. Vasil'ev Algebraic algorithms for eigenproblems of a reduced biquaternion matrix and applications // Applied Mathematics and Computation, 2024, 463: 128358. (Web of Science, Q1)

[A2] Z. Guo A blind color watermarking technique based on quaternion complex structure-preserving QR decomposition // Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications, 2024, 12(1): 57-69. (Scopus, Q3)

[A3] Z. Guo, T. Jiang, V. I. Vasil'ev, G. Wang A novel algebraic approach for the Schrodinger equation in split quaternionic mechanics // Applied Mathematics Letters, 2023, 137: 108485. (Web of Science, Q1)

[A4] Z. Guo, T. Jiang, V. I. Vasil'ev, G. Wang Complex structure-preserving method for Schrodinger equations in quaternionic quantum mechanics // Numerical Algorithms, 2024, 97: 271-287. (Web of Science, Q2)

[A5] Z. Guo, T. Jiang, C. Jiang, G. Wang Algebraic techniques for eigenvalues and eigenvectors of a nectarine matrix in nectarine algebra // Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2023, 46(4): 4751-4762. (Web of Science, Q1) [A6] Z. Guo, D. Zhang, V. I. Vasiliev, T. Jiang Algebraic techniques for Maxwell's equations in commutative quaternionic electromagnetics // The European Physical Journal Plus, 2022, 137(5):1-12. (Web of Science, Q2)

[A7] T. Jiang, Z. Guo, D. Zhang, V. I. Vasil'ev A fast algorithm for the Schrodinger equation in quaternionic quantum mechanics // Applied Mathematics Letters, 2024, 150: 108975. (Web of Science, Q1)

[A8] T. Jiang, G. Wang, Z. Guo, D. Zhang Algebraic algorithms for a class of Schrodinger equations in split quaternionic mechanics // Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2024, 1-11. (Web of Science, Q1)

[A9] G. Wang, T. Jiang, V. I. Vasil'ev, Z. Guo On singular value decomposition for split quaternion matrices and applications in split quaternionic mechanics // Journal of Computational and Applied Mathematics, 2024, 436: 1-12. (Web of Science, Q1) [A10] D. Zhang, T. Jiang, Z. Guo, V. I. Vasil'ev An algebraic algorithm for

the diagonalization of a biquaternion matrix in the biquaternionic mechanics // Computational and Applied Mathematics, 2024, 43(4): 1-9. (Web of Science, Q1) [A11] D. Zhang, T. Jiang, Z. Guo, V. I. Vasil'ev Real and complex solutions of the total least squares problem in commutative quaternionic theory // Computational and Applied Mathematics, 43(4): 235. (Web of Science, Q1)

[A12] A. M. Kardashevsky, V. V. Popov, Z. Guo Recovery of the non-stationary component of the right-hand side of the subdiffusion equation // Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications, 2024, 12(1): 83-93. (Scopus, Q3) [A13] G. Wang, T. Jiang, V. I. Vasil'ev, Z. Guo An efficient method for Maxwell's equations with a discrete double-curl operator in split quaternionic electromagnetics // The European Physical Journal Plus, 2023, 341(138): 1-6. (Web of Science, Q2) [A14] T. Jiang, D. Zhang, Z. Guo, G. Wang, V. I. Vasil'ev Algebraic techniques for canonical forms and applications in split quaternionic mechanics // Journal of Mathematics, 2023, 2023: 4599585. (Web of Science, Q1)

[A15] G. Wang, T. Jiang, Z. Guo, D. Zhang A complex structure-preserving

algorithm for split quaternion matrix LDU decomposition in split quaternion

mechanics // Calcolo, 2021, 58(34): 1-15. (Web of Science, Q1)

[A16] G. Wang, D. Zhang, Z. Guo, T. Jiang Cramer's rule over quaternions and

split quaternions: A unified algebraic approach in quaternionic and split quaternionic

mechanics // Journal of Algebra and Its Applications, 2021, 20(5): 2150080. (Scopus,

Q2)

[A17] Го Ч. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «Программа распознавания и реконструкции лиц с использованием разделенного кватернионного анализа главных компонент для цветных изображений». № 2024661617, опубл. 17.05.2024.

Приложение. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ