Применение алгебраических методов для анализа сложных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Калинина, Елизавета Александровна

• Калинина, Елизавета Александровна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Калинина, Елизавета Александровна

Оглавление

Введение

Глава 1. Устойчивость и ^-устойчивость семейства вещественных полиномов

1.1. Постановка задачи

1.2. Необходимые сведения из алгебры и теории дифференцируемых

отображений

1.2.1. Отделение корней полиномов

Теоремы Якоби и Эрмита — Сильвестра

Результаты Кронекера

Безутианта

Параметры Маркова

Теория исключения. Случай двух переменных

Теория исключения. Случай нескольких переменных

Известные результаты

Устойчивость полиномов

1.2.2. Теория дифференцируемых отображений

1.3. Вещественные корни семейства полиномов

1.4. Устойчивость семейства полиномов

1.5. ^-устойчивость семейства полиномов

1.6. Заключение

Глава 2. Собственные числа матриц

2.1. Вспомогательные результаты

2.2. Общие собственные числа двух матриц

2.2.1. Предварительные результаты

2.2.2. Алгоритм

2.2.3. Пример

2.3. Число обусловленности Гёльдера

2.3.1. Предварительные результаты

2.3.2. Максимальный порядок клетки Жордана

2.3.3. Собственные числа, которым соответствуют максимальные клетки Жордана

2.3.4. Пример

2.4. Кратные собственные числа матрицы

2.4.1. Алгоритм

2.4.2. Асимптотическая сложность алгоритма

и повышение точности вычислений

2.4.3. Численный пример

Глава 3. Графы и матрицы

3.1. Линейные пространства над полем СР(2)

3.1.1. Теорема о циклах и разрезах

3.1.2. Факторизация матрицы над полем ОГ(2)

3.2. Графы как линейные отображения

3.3. Паросочетания и реберные покрытия

3.4. Распознавание реберного графа

3.4.1. Необходимые сведения из теории графов

3.4.2. Описание алгоритма

3.4.3. Алгоритм

3.4.4. Примеры

3.4.5. Оценка асимптотической сложности алгоритма

Глава 4. Метод Эйлера

4.1. Предварительные результаты. Ошибки округления

4.1.1. Абсолютная и относительная погрешности

4.1.2. Арифметика с плавающей точкой

4.2. Локально оптимальный шаг метода Эйлера

4.3. Реализация метода

4.4. Численные примеры

4.5. Оптимальное число шагов метода Эйлера

4.5.1. Вычислительный алгоритм

4.6. Обсуждение полученных результатов

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение алгебраических методов для анализа сложных систем»

Введение

Актуальность темы исследования. В последние десятилетия в науке наблюдается интенсивное развитие теории сложных систем. Такие системы используются для моделирования процессов в информатике, биологии, экономике, физике, химии и многих других областях (см., например, книгу [157] и статьи [50, 68, 180]). В настоящее время более 50 институтов и исследовательских центров по всему миру занимаются изучением сложных систем.

Основным методом исследования сложных систем является математическое моделирование, при котором процессы функционирования сложной системы формализуются, а затем строится ее математическое описание. Характеристиками такой системы являются ее структура и поведение. Для описания структуры сложной системы и связей между ее элементами применяются графы, а сами эти элементы во многих случаях представляют собой динамические системы.

Принципиально важно изучить реакции таких систем на изменения параметров, от которых она зависит. С помощью линейного анализа устойчивости выясняется, при каких значениях параметров однородное состояние равновесия системы теряет устойчивость и в системе возникают неоднородности (см., например, [2, 12]). В диссертационной работе рассматриваются алгебраические методы, позволяющие в некоторых случаях провести данный анализ.

При линейном анализе устойчивости появляется необходимость исследовать спектр результирующей матрицы коэффициентов. При этом возникает проблема локализации нулей полинома от одной переменной или полиномиальной системы уравнений относительно нескольких переменных.

Для проверки того, что все собственные числа результирующей матрицы лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости, к ее характеристическому полиному может быть применен критерий Рауса — Гурвица. Однако в практических задачах довольно часто требуется проверка выполнения более

сильного условия: необходимо, чтобы все корни характеристического полинома находились внутри определенной алгебраической области D комплексной плоскости. Возникает более общая задача D-устойчивости (см., например, [43, 44]).

Решением задачи о числе корней полинома в некоторой области комплексной плоскости, известной с первой половины XIX века, занимались такие математики, как Ш. Эрмит, И. Шур, А. Кон, B. N. Datta, J. Ackermann и R. Muench, Р. Е. Калман [10, 20, 30, 94]. Так, для того, чтобы установить, находятся ли все корни полинома внутри единичного круга комплексной плоскости, используется критерий Шура — Кона [7] (B. N. Datta обобщил критерии Рауса — Гурвица и Шура — Кона, используя матрицу безутианты [76]). В случае областей, границами которых являются уникурсальные (вещественно параметризуемые) кривые, можно использовать метод Эрмита (1854) [98]. Р. Е. Калман разработал еще один критерий, позволяющий определить, все ли нули полинома лежат в некоторой алгебраической области комплексной плоскости [113]. Известен также метод D-разбиения [6], т. е. разбиения на области в пространстве параметров. Однако его применение затруднительно при большом количестве параметров. В пространстве коэффициентов полинома границы областей, соответствующих полиномам с одинаковым числом вещественных корней, задаются дискрими-нантной поверхностью. При этом каждая точка дискриминантной поверхности соответствует полиному с кратными корнями.

В общем случае проблема сводится к исследованию поведения нулей некоторой системы алгебраических уравнений в зависимости от параметров, которые в ней содержатся. Численные методы в данном случае малоэффективны, поскольку их применение возможно только при конкретных значениях параметров (см., например, работы Д. Уилкинсона [35]). Возникает необходимость разработки надежных аналитических символьных алгоритмов. Такие алгоритмы существуют для одномерного случая, и они широко реализованы в современных системах аналитических вычислений (Maple, Mathematica, MatLab и др.), позволяющих манипулировать аналитическими выражениями и производить

вычисления с вещественными числами с мантиссой практически неограниченной длины. Большинство алгоритмов для алгебраических систем общего вида в случае больших размерностей используют алгоритм Б. Бухбергера построения базисов Грёбнера [51, 58], однако его применение часто является весьма затратным. Так, объем памяти, требуемый для его работы, в общем случае экспоненциально зависит от числа переменных. Кроме того, для систем общего вида не получено оценок времени работы алгоритма.

Поскольку нахождение характеристического полинома матрицы само по себе достаточно сложно, то возникает необходимость исследования поведения собственных чисел матрицы в тех случаях, когда построение канонического представления ее характеристического полинома вычислительно затратно. Тем самым задача о локализации собственных значений матрицы является обобщением задачи локализации корней полинома. В последнее время довольно большое внимание привлекают задачи, связанные с существованием кратных собственных чисел матрицы, например, при определении структуры жордано-вой нормальной формы матрицы в зависимости от параметров. Такие задачи встречаются в физике (в том числе в квантовой механике и ядерной физике) [47, 97, 121], оптике [54], электротехнике [82]. Рассматриваются как малые возмущения матриц [60, 67, 114, 118, 138, 166], так и значения параметра, которые не являются малыми [103, 131, 140].

Еще одним подходом к исследованию сложных систем, получившим развитие в последнее время, является приложение методов теории графов. Это связано с тем, что процессы, встречающиеся в различных приложениях (в химической кинетике, химической технологии, биологии, марковских процессах) могут описываться дифференциальными уравнениями на графах. Тем самым при построении качественной теории дифференциальных уравнений и анализа их решений могут использоваться свойства графов (см. работы [5, 26, 27, 28, 29, 42, 129, 151, 162]. Графы применяются также в теории многоагентных систем (МАС), изучение которых связано с решением практических задач в сфере се-

тевых и мобильных технологий, в логистике, в графике, геоинформационных системах (см. работы [137, 146, 176]) и при исследовании систем с переключениями ([63, 79, 150]). К исследованию графов применимы алгебраические методы. Так, известны теоремы, связывающие спектральные свойства матрицы смежности с другими свойствами графа (см., например, книгу [56]), известное неравенство Чигера, позволяющее оценить наименьший разрез графа посредством второго собственного значения матрицы Кирхгофа (это один из наиболее применимых в алгоритмических приложениях результатов) [100], теоремы, связывающие диаметр графа и собственные числа [45, 136], которые получены с помощью линейной алгебры. Стоит отметить, что задача об изоморфизме графов может быть также сформулирована как линейно-алгебраическая задача [87]. Во многих случаях решение задач теории графов упрощается, если известно, что граф является реберным (например, задача поиска максимального независимого множества). Поэтому разработка эффективных алгоритмов распознавания реберного графа и построения его корневого графа остается актуальной, несмотря на существование нескольких таких алгоритмов [78, 124, 127, 155].

При моделировании и симуляции биологических систем анализ может проводиться с помощью численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Во многих случаях для решения систем ОДУ, описывающих работу ионных каналов клеточных мембран, используется явный метод Эйлера [86, 117, 163, 169]. В режиме реального времени при одновременном проведении экспериментов каждый шаг вычислений должен быть выполнен за ограниченное время [64]. При очень большом количестве уравнений в каждый момент времени необходимо сделать огромное количество вычислений [64, 117]. Поэтому необходимы численные методы, позволяющие найти решение задачи Коши с минимальной возможной погрешностью (с учетом ошибок округления, возникающих при выполнении арифметических операций в реальной арифметике с плавающей точкой, которая используется при вычислении на компьютере), для чего уместным оказывается применение алгебраического подхода.

Цель диссертационной работы заключается в разработке конструктивных алгебраических методов и алгоритмов, применимых для анализа сложных систем и в применении этих алгоритмов к конкретным задачам, требующим исследования динамики и устойчивости таких систем.

Научная новизна. Выносимые на защиту результаты являются новыми, все они опубликованы в открытой печати. Предложенные алгоритмы разработаны и программно реализованы лично автором.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты, изложенные в диссертации, позволяют упростить анализ устойчивости и ^-устойчивости сложных систем, а также получить максимально точные решения этих систем в арифметике с плавающей точкой в режиме реального времени.

Предложенные алгоритмы являются достоверными и эффективными, что позволяет использовать их в механике, теории управления, биофизике и химической кинетике. Простота и вычислительная эффективность позволяют в ряде случаев применять их для моделирования процессов в сложных системах в реальном времени.

Практическая ценность результатов диссертации состоит в том, что при моделировании и анализе сложных систем они позволяют:

1) повысить достоверность и точность выполняемых расчетов,

2) сократить время вычислений,

3) проанализировать свойства системы в зависимости от параметров.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы системного анализа, классической высшей алгебры (теория исключения, теория ганкелевых квадратичных форм), теории дифференцируемых отображений и алгебраической теории графов, оценка погрешностей в арифметике с плавающей точкой.

Основные положения, выносимые на защиту: 1. Конструктивный алгоритм проверки устойчивости и ^-устойчивости семейства вещественных полиномов с коэффициентами, полиномиально зависящими от параметров.

2. Алгоритм нахождения общих собственных чисел двух матриц.

3. Алгоритм нахождения максимального порядка клетки Жордана и собственных чисел, которым соответствуют клетки Жордана максимального порядка для матрицы с комплексными элементами.

4. Алгоритм нахождения значений параметра, при которых матрица с элементами, линейно зависящими от этого параметра, имеет кратные собственные числа.

5. Матричный алгоритм распознавания реберного графа.

6. Эффективный алгоритм численного интегрирования систем ОДУ, позволяющий получить максимально точное решение задачи Коши в арифметике с плавающей точкой.

Результаты исследований прошли апробацию на следующих конференциях:

• I международная конференция "Stability and Control Processes", посвященная 75-летию со дня рождения В.И. Зубова, SCP 2005 (г. Санкт-Петербург, 2005),

• 10-я международная конференция "Computer Science and Information Technologies", CSIT 2013 (г. Ереван, Армения, 2013),

• 13-я международная конференция "Internationsl Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics", ICNAAM 2015 (г. Родос, Греция, 2015),

• III международная конференция "Stability and Control Processes", посвященная 85-летию со дня рождения В.И. Зубова, SCP 2015 (г. Санкт-Петербург, 2015),

• 18-я международная конференция "The 18th International Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing", CASC 2016 (г. Бухарест, Румыния, 2016),

а также на семинарах факультета прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 20 печатных работ, в том числе 12 статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка, включающего 182 наименования. Общий объем работы составляет 257 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения. Также дан обзор классических и современных результатов, посвященных исследованию поведения решений и численному интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Первая глава диссертационной работы посвящена локализации корней вещественного семейства полиномов.

Сложные динамические системы обычно моделируются нелинейными дифференциальными уравнениями (динамика роста населения, изменения цен, распространение эпидемий, поведение различных электромеханических систем, химические реакции в клетках и т. д.). При этом во многих практических приложениях требуется исследовать некоторые качественные свойства решений в целом. Наиболее важным вопросом при этом является вопрос об устойчивости положения равновесия, который во многих случаях сводится к исследованию спектра некоторой матрицы, т. е. нулей ее характеристического полинома.

С помощью теории исключения задача решения системы алгебраических уравнений от нескольких переменных может быть сведена к одномерному случаю. Практически это можно сделать с использованием современных пакетов символьных вычислений, либо с помощью базисов Грёбнера, либо с помощью аппарата многомерных результантов. Тем самым задача анализа свойств множества решений такой системы сводится к аналогичной задаче для одного алгебраического уравнения относительно одной переменной. В частности, таким образом может быть решена задача определения количества вещественных решений, а также задача их локализации (в том числе в конкретной алгебраической области вещественной или комплексной плоскости). В развитие метода Ш. Эрмита может быть реализована процедура построения многомерного аналога системы полиномов Штурма. В диссертации данная идеология применется к задачам устойчивости и ^-устойчивости семейства вещественных полиномов.

Рассматривается вещественный полином /(г, VI, ..., ^) с коэффициентами, полиномиально зависящими от параметров ... . Параметры изменяются в многомерном вещественном параллелепипеде:

В = {(иг,и2,... ) IV1 < VI < V1, V 2 < < < Vk < Ук}.

Решается следующая задача.

Задача ^-устойчивости. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы каждый полином семейства

р = { f (г,^^,... ^к )| (VI,...,ик) е В} (1)

был ^-устойчивым, т.е. все его нули принадлежали данной алгебраической области комплексной плоскости О.

В практических задачах область О обычно симметрична относительно вещественной оси. Поэтому рассматриваются области, заданные неравенством д(х,у) < 0, где д(х,у) = С(х,у2) для некоторого полинома С(х,У) с вещественными коэффициентами.

Частным случаем данной задачи, имеющим довольно много практических приложений, является задача об устойчивости данного семейства полиномов. Она состоит в нахождениии необходимых и достаточных условий того, что нули всех полиномов семейства (1.1) лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости.

Для решения задачи ^-устойчивости используются результаты классической высшей алгебры: теория исключения переменных (для систем нелинейных уравнений относительно двух и нескольких переменных), условия устойчивости семейства полиномов с коэффициентами, непрерывно зависящими от параметров, теория ганкелевых квадратичных форм, а также теория дифференцируемых отображений.

Для решения поставленной задачи в диссертации рассматривается более общая задача. Приводится алгоритм построения необходимых и достаточных условий, при которых семейство полиномов с вещественными коэффициентами, полиномиально зависящими от параметров, не имеет вещественных корней.

В работе приведены численные примеры, иллюстрирующие работу предложенных алгоритмов.

Вторая глава диссертационной работы посвящена вопросам отделения собственных чисел матрицы, которые также имеют большое значение в исследовании устойчивости сложных систем.

Действительно, во многих случаях (особенно тогда, когда элементы матрицы зависят от параметров), построение характеристического полинома является довольно сложной и вычислительно затратной задачей. Поэтому требуются эффективные алгоритмы, позволяющие исследовать спектр матрицы, не вычисляя коэффициентов ее характеристического полинома.

В этой главе диссертации решаются следующие задачи:

1) задача нахождения всех общих собственных чисел двух квадратных матриц А = \ttij]^=1 и В = ]^=1 с комплексными элементами. Предложен алгоритм, который позволяет построить полином, корнями которого являются

общие собственные числа данных матриц.

2) задача нахождения максимального порядка клетки Жордана квадратной матрицы и всех собственных чисел этой матрицы, которым соответствуют клетки Жордана максимального порядка. Решение данной задачи позволяет упростить вычисление числа обусловленности Гёльдера, которое является мерой изменения кратных собственных чисел матрицы.

3) задача нахождения кратных собственных чисел матрицы, элементы которой полиномиально зависят от параметра. Предложенный алгоритм позволяет построить полином, корнями которого являются все значения параметра, при которых данная матрица имеет кратные собственные числа.

Работа всех предложенных в работе алгоритмов показана на численных примерах.

В третьей главе диссертационной работы рассматриваются некоторые задачи теории графов и их решение с помощью методов линейной алгебры.

Для структурного анализа сложных систем применяют методы теории графов. Графы используются в теории многоагентных систем (МАС), при исследовании систем с переключениями, а также при анализе любых процессов, которые моделируются дифференциальными уравнениями на графах (например, процессы, которые изучает химическая кинетика, химическая технология, биология и др.). Тем самым для анализа сложных систем требуется изучение графов, для исследования свойств которых применимы алгебраические методы.

С этой целью рассмотрены линейные пространства над полем вычетов по модулю 2. Вводятся понятия 1-зависимости системы (0,1)-векторов и минимальной 1-зависимой системы. Предложен конструктивный метод разложения 1-зависимой системы векторов на минимальные 1-зависимые подсистемы. Также рассмотрена связь фундаментальной системы решений однородной системы линейных уравнений с единственностью разбиения столбцов матрицы А системы уравнений на 1-зависимые минимальные подсистемы.

Кроме того, показано, как связаны задачи распознавания реберного графа

и факторизации матрицы, а также приводится новый матричный алгоритм распознавания реберного графа, построенный с помощью линейно-алгебраического подхода. Приводятся примеры, показывающие работу алгоритма.

В четвертой главе диссертационной работы предлагается эффективный численный алгоритм, позволяющий в арифметике с плавающей точкой построить решение задачи Коши для системы нелинейных дифференциальных уравнений, имеющее наименьшую полную погрешность (сумму погрешности метода и ошибок округления). Данный метод может применяться при имитационном моделировании сложных систем, в частности, для анализа биологических систем.

Для численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений существуют и более эффективные методы, чем метод Эйлера. Однако явный метод Эйлера часто используется в задачах моделирования и симуляции биологических систем. Так, обычно с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений описывается работа ионных каналов клеточных мембран. Преимущества явного метода Эйлера интегрирования систем дифференциальных уравнений хорошо известны: это его простая реализация и скорость. В некоторых случаях, например, при расчете в режиме реального времени (особенно для систем с большим количеством уравнений) эти особенности метода интегрирования очень важны. Кроме того, часто вычисления производятся в стандартной процессорной арифметике с плавающей точкой. Поэтому вопрос точности метода Эйлера при таких вычислениях довольно важен.

Рассматривается задача Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида

НХ

— = Г (1,Х), X (Ю) = Хо, (2)

где Г = [/^ (Ь,Х)]т=1 вещественный вектор т х 1, элементы которого — данные

функции,

X (*) =

( и\ \

V

хт

Хп =

/

( __п \

Ж1

Жт !

Предлагается алгоритм интегрирования системы ОДУ, позволяющий построить численное решение максимально точно, учитывая ошибки округления, возникающие при численном интегрировании. Данный алгоритм позволяет построить шаг метода Эйлера, интегрирование с которым дает наилучший по точности результат.

В работе приводятся численные примеры, показывающие работу алгоритма. Для этих примеров также проведен анализ эффективности данного алгоритма по сравнению с известными методами (классическим методом Розенброка, методом Рунге — Кутта, методом Эйлера с постоянным шагом интегрирования). Приведенные примеры (в том числе и жесткие системы ОДУ, и система ОДУ с разрывными правыми частями) показывают, что точность интегрирования и скорость работы метода, предложенного в диссертационной работе, выше, чем у остальных методов.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

В диссертации использованы следующие обозначения:

1 Ск = —^_

' п к!(п - к)!

~ . dж

2. ж означает —;

dt

— биномиальный коэффициент;

3. ] = 1,п означает, что ] принимает все целые значения от 1 до п;

4. К — множество вещественных чисел; С — множество комплексных чисел;

5. для вещественного числа ж: [ж] означает целую часть ж;

sign x — знак x;

/

1, x> 0, sign x = ^ 0, x = 0, -1, x < 0;

6. если x комплексное число, то x — комплексно-сопряженное к x;

7. знак T означает транспонирование;

8. если X = (xi,x2,..., xn), то ||X|| = |xi| + |x2| + ... + |xn|;

9. если f (z),g(z) — полиномы, то deg f — степень полинома f (z),

Sj — суммы Ньютона полинома f,

— параметры Маркова полинома f;

Н.О.Д.(^ g) — наибольший общий делитель полиномов f и g;

nr {f (z)|g(z) > 0} [nrr {f (z)|g(z) > 0}] — число [вещественных] корней полинома f, удовлетворяющих условию g > 0;

10. обозначения D(f) и R(f, g) вводятся в разделе 1.2.1 главы 1;

11. если A(X, X) — квадратичная форма, то A — ее (симметричная) матрица; n+(A) [или n_(A)], r(A) и a(A) — число положительных [или отрицательных] квадратов (индекс инерции), ранг и сигнатура соответственно;

12. для произвольной квадратной матрицы A: det A — ее определитель, Sp (A) — след, Aj — главный минор порядка j;

13. для произвольной матрицы A: rank A — ее ранг;

14. сокращение ГКФ — ганкелева квадратичная форма; ОДУ — обыкновенное дифференциальное уравнение.

Замечание 1. В диссертации используются результаты отца и сына Марковых. Параметры Маркова были введены А.А. Марковым-старшим (1856-1922), в то время как теорема о числе корней полинома, удовлетворяющих системе полиномиальных неравенств была доказана А.А. Марковым-младшим (1903-1979).

Глава 1

Устойчивость и ^-устойчивость семейства вещественных полиномов

1.1. Постановка задачи

Во многих задачах, связанных с исследованием сложных систем, требуется исследовать устойчивость или ^-устойчивость некоторого полинома с коэффициентами, зависящими от параметров, т. е. локализовать корни некоторых полиномов или семейств полиномов. Рассмотрению вопросов локализации корней семейств вещественных полиномов и посвящена данная глава диссертации.

Расмотрим полином / (г) с вещественными коэффициентами (/(г) £ К [г], г = х + гу, х,у £ К). Пусть имеется также вещественный полином относительно двух переменных д(х,у) (д(х,у) £ К[х,у]).

Замечание 2. Везде в дальнейшем будем предполагать, что область комплексной плоскости, определяемая неравенством д(х,у) > 0, не является пустым множеством.

Определение 1. Будем говорить, что полином /(г) является О-устойчивым, если все его корни удовлетворяют неравенству д(х,у) > 0*.

Задача О-устойчивости состоит в нахождении необходимых и достаточных условий на коэффициенты полинома /(г), при которых полином является О-устойчивым. Данная задача впервые рассматривалась в работе Эрмита [98], а затем была решена Раусом, Гурвицем, Шуром, Коном и др., что можно увидеть в работах [71, 105, 156, 159] и обзоре [20], для различных выборов полинома д(х,у). Среди возможных полиномов д(х,у) наиболее важными являются

* Заметим, что ^-устойчивость, рассматриваемая в диссертации, отличается от матричной ^-устойчивости.

д(х,у) = у,д(х,у) = — х и д(х,у) = 1 — х2 — у2, которые используются для выяснения асимптотического поведения решений обыкновенных дифференциальных и, соответственно, разностных уравнений. Критерии нахождения всех корней полинома в полуплоскости и в круге важны также для теории устойчивости и теории бифуркаций, а также для теории управления.

Один из наиболее значительных результатов в этой области, касающийся устойчивости интервальных полиномов, т. е. полиномов вида

/ (г) = аогп + а^-1 + ... + ап, (ао = 0)

с коэффициентами, лежащими в определенных заданных интервалах

а < а,, < а«, % = 0,1,... ,п,

был получен В. Л. Харитоновым [40]. В. Л. Харитонов показал, что для проверки устойчивости семейства таких полиномов необходимо и достаточно проверить, лежат ли корни всего лишь четырех полиномов данного семейства в левой полуплоскости комплексной плоскости (т. е. выяснить, являются ли устойчивыми эти четыре полинома). В статье [41] этот результат был обобщен на полиномы с комплексными коэффициентами. В этом случае необходимо проверить устойчивость восьми полиномов семейства.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Калинина, Елизавета Александровна, 2016 год

Список литературы

1. Арнольд, В. И., Варченко, А. Н., Гусейн-Заде, С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Том 1 / В. И. Арнольд. — М.: МЦНМО, 2009.

— 672 с.

2. Барбашин, Е.А. Функции Ляпунова / Е. А. Барбашин. — М.: Наука, 1970.

— 240 с.

3. Бахвалов, Н. С., Жидков, Н. П., Кобельков, Г. М. Численные методы / Н. С. Бахвалов. — М.: Издательство «Бином. Лаборатория знаний», 2008. — 640 с.

4. Бохер, М. Введение в высшую алгебру / М. Бохер. — М.: УРСС, 2008. — 292 с.

5. Вольперт, А. И. Дифференциальные уравнения на графах / А. И. Воль-перт // Матем. сб. — 1972. — Т. 88(130), № 4(8). С. 578-588.

6. Воронов, А. А. Теория автоматического управления: в 2 т. Т. 1 / А. А. Воронов. — М.: Высшая школа, 1986. — 367 с.

7. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. — М.: Наука, 1966. — 576 с.

8. Годунов, С. К. Лекции по современным аспектам линейной алгебры / С. К. Годунов. — Новосибирск: Науч. книга, 2002. — 216 с.

9. Горушкина, Е. А. О знакоопределенности однородного полинома при ограничениях в виде однородных полиномиальных уравнений и неравенств / Е. А. Горушкина. — Л., 1990. Депон. в ВИНИТИ №3786-В90 от 09.07.90 — 27 с.

10. Джури, Э. И. Инноры и устойчивость динамических систем / Э. И. Джури.

— М.: Наука, 1967. — 300 с.

11. Жегалкин, И. И. Арифметизация символической логики / И. И. Жегалкин // Матем. сб. — 1928. — Т. 35, № 3-4. С. 311-377; 1929. — Т. 36, № 3-4. С. 205-338.

12. Зубов, В. И. Методы А. М. Ляпунова и их применение / В. И. Зубов. — Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1957. — 242 с.

13. Калинина, Е. А. О числе обусловленности Гёльдера / Е. А. Калинина. — Вестник СПбГУ. Серия 10: прикладная математика, информатика, процессы управления. — 2013. — Т.2. — С. 46-54.

14. Калинина, Е. А. Общие собственные числа двух матриц / Е. А. Калинина // Дальневост. матем. журн. — 2013. — Т. 13, № 1. С. 52-60.

15. Калинина, Е. А. Использование алгебраических методов при анализе поведения решений дифференциальных уравнений: дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.01.07 / Елизавета Александровна Калинина; С.-Петербург. гос. ун-т. — СПб., 1996. — 104 л.

16. Калинина, Е. А., Самарина, О. Н. Минимизация полной погрешности метода Эйлера для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / Е. А. Калинина // Вестник СПбГУ. Серия 10: прикладная математика, инфор-матика, процессы управления. — 2009. — Т.4. — С. 95-103.

17. Калинина, Е. А., Самарина, О. Н. Вычислительная погрешность метода Эйлера при вычислениях в арифметике с плавающей точкой / Е. А. Калинина // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2011. — Т. 14, № 3. — С. 37-49.

18. Калинина, Е. А., Хитров, Г. М. Особенности векторного пространства упорядоченных (0, 1)-наборов из п элементов над полем по модулю 2 / Е. А. Калинина // Вестник СПбГУ. Серия 10: прикладная математика, информатика, процессы управления. — 2014. — Т.1. — С. 62-71.

19. Калинина, Е. А. Кратные собственные числа матрицы с элементами, полиномиально зависящими от параметра / Е. А. Калинина // Вестник СПбГУ. Серия 10: прикладная математика, информатика, процессы управления. — 2016. — Т.2. — С. 26-33.

20. Крейн, М., Неймарк, М. Метод симметрических и эрмитовых форм в тео-

рии отделения корней алгебраических уравнений / М. Крейн // Х.: АНТ-ВУ, 1938. — 257 с.

21. Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. Т. 2 / Л. Д. Кудрявцев. — М.: Дрофа, 2004. — 720 с.

22. Лидл, Р., Нидеррайтер, Г. Конечные поля. В 2-х т. Т.1 / Р. Лидл. — М.: Мир, 1988. — 430 с.

23. Лидский, В. Б. К теории возмущений несамосопряженных операторов / В. Б. Лидский // Журн. вычисл. математики и матем. физики. — 1966. — Т. 6 №1. — С. 52-60.

24. Марков, А. А. О функциях, получаемых при обращении рядов в непрерывные дроби / А. А. Марков // Избранные труды. — М., Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1948. — с. 76-105.

25. Ортега, Дж., Пул, У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений / Дж. Ортега. — М.: Наука, 1986. — 288 с.

26. Подвальный, С. Л., Провоторов, В.В. Граничное управление дифференциальной системой с распределенными параметрами на графе / С. Л. Подвальный // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. — 2015. — Т. 20, № 5. — С. 1374-1378.

27. Подвальный, С. Л., Провоторов, В.В. Стартовое управление параболической системой с распределенными параметрами на графе / С. Л. Подвальный // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2015. — № 3. — С. 126-142.

28. Подвальный, С. Л., Провоторов, В.В. Управляемость дифференциальной системы параболического типа с распределенными параметрами на графе / С. Л. Подвальный // Вестник Воронежского государственного технического университета. — 2015. — Т. 11, № № 3. — С. 49-56.

29. Подвальный, С. Л., Провоторов, В.В. Задача оптимизации параболической системы с запаздыванием и распределенными параметрами на графе / С.

Л. Подвальный // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2015. Т. 11. № 5. С. 18-27.

30. Постников, М. М. Устойчивые многочлены / М. М. Постников. — М.: Наука, 1981. — 176 с.

31. Самарский, А.А., Гулин, А.В. Численные методы / А. А. Самарский. — М.: Научный мир, 2000. — 358 с.

32. Свами, М., Тхуласираман, К. Графы, сети и алгоритмы / М. Свами. — М.: Мир, 1984. — 454 с.

33. Серре, И. А. Курс высшей алгебры / И. А. Серре. — СПб, 1897. — 605 с.

34. Тараканов, В. Е. Комбинаторные задачи и (0,1)-матрицы / В. Е. Тараканов. — М.: Наука, 1985. — 192 с.

35. Уилкинсон, Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений / Дж. Х. Уилкинсон. — М.: Наука, 1970. — 564 с.

36. Утешев, А.Ю. Использование символьных методов локализации решений для анализа полиномиальных систем: дисс. докт. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Алексей Юрьевич Утешев; С.-Петербург. гос. ун-т. — СПб., 1998. — 275 л.

37. Утешев, А. Ю. Использование однородных форм в качестве функций Ляпунова / А. Ю. Утешев — Л., 1987. Депон. в ВИНИТИ №2942-В87 от 24.04.87 — 13 с.

38. Фаддеев, Д. К. Лекции по алгебре / Д. К. Фаддеев. — М.: Наука, 1984. — 416 с.

39. Фаддеев, Д. К., Фаддеева, В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры / Д. К. Фаддеев. — М.: ГИФМЛ, 1960. — 656 с.

40. Харитонов, В. Л. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений / В. Л. Харитонов // Дифференциальные уравнения. — 1978. — Т. 14, № 11. — С. 2086-2088.

41. Харитонов, В. Л. Об обобщении критерия устойчивости / В. Л. Харитонов

// Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. — 1978. — № 1. — С. 53-57.

42. Шильяк, Д. Д. Децентрализованное управление сложными системами / Д. Д. Шильяк. — М.: Мир, 1994. — 575 с.

43. Ackermann, J. Sampled-data control systems / J. Ackermann. — Berlin: Springer-Verlag, 1985. — 596 p.

44. Ackermann, J., Muench, R., Robustness analysis in a plant parameter plane / J. Ackermann // IFAC 10th Triennial World Congress, Munich, FRG. — 1987.

— P. 205-209.

45. Alan, N., Milman, V. D. Ai, Isoperimetric Inequalities for Graphs, and Superconcentrators / N. Alan // J. of Combin. Theory, Ser. B. — 1985. — № 38. — P. 73-88.

46. Albert, A. A. Symmetric and alternate matrices in an arbitrary field / A. A. Albert // Trans. Amer. Math. Soc. — 1938. — № 43. — P. 923-957.

47. Antoniou, I. E., Gadella, M., Hernandez, E., Jauregui, A., Melnikov, Yu., Mondragon, A. and Pronko G. P. Gamow vectors for barrier wells / I. E. Antoniou // Chaos, Solitons and Fractals. — 2001. — №. 12. — P. 2719-2736.

48. Babai, L., Frankl, P. Linear Algebra Methods in Combinatorics with Applications to Geometry and Computer Science. Preliminary version 2 (September 1992) / L. Babai. — The University of Chicago, 1992. — 216 p.

49. Barnett, S. Polynomials and Linear Control Systems / S. Barnett. — New York: Dekker, 1983. — 452 p.

50. Bar-Yam, Y. General Features of Complex Systems [Electronic resource] / Y. Bar-Yam // Encyclopedia of Life Support Systems (EOLSS UNESCO Publishers, Oxford, UK). — 2002. — Режим доступа: http://www.eolss.net/sample-chapters/c15/E1-29-01-00.pdf, свободный.

— Загл. с экрана.

51. Becker, T., Weispfenning, V. Gröbner Bases — A Computational Approach to Commutative Algebra. — New York: Springer, 1993. — 576 p.

52. Beineke, LW., Characterizations of derived graphs / LW. Beineke // Journal

of Combinatorial Theory. — 1970. — Vol. 9, № 2. — P. 129-135.

53. Berman, A., Xu, Ch. (0, Incompletely positive matrices / A. Berman // Linear Algebra Appl. — 2005. — № 399. — P. 35-51.

54. Berry, M. V., Dennis, M. R. The optical singularities of birefringent dichroic chiral crystals / M. V. Berry // Proc. Roy. Soc. Lond. A. — 2003. — №. 459.

— P. 1261-1292.

55. Bhattacharyya, S. P., Chapellat, H., Keel, L. H. Robust Control: The Parametric Approach / S.P. Bhattacharyya. — New York: Prentice Hall PTR, Englewood Cliffs, 1995. — 648 p.

56. Biggs, N. Algebraic Graph Theory (2nd ed.). — Cambridge: Cambridge University Press, 1993. — 205 p.

57. Bikker, P., Uteshev, A. Yu. On the Bezout Construction of the Resultant / P. Bikker //J. Symbolic Computation. — 1999. — № 28. — P. 45-88.

58. Buchberger, B. Grobner bases: an algorithmic method in polynomial ideal theory. In Bose, N. K., ed., Multidimensional Systems Theory, pp. 184-232. Dodrecht, Reidel.

59. Burke, J. V., Lewis, A. S., and Overton, M. Optimal stability and eigenvalue multiplicity / J. V. Burke // Found. Comput. Math. — 2001. — Vol. 1, №. 2.

— P. 205-225.

60. Burke, J. V., Lewis, A. S., and Overton, M. Optimization and pseudospectra, with applications to robust stability / J. V. Burke // SIAM J. Matrix Anal. Appl. — 2003. — Vol. 25, № 1. — P. 80-104.

61. Bjork, A., Dahlquist, G. Numerical mathematics and scientific computations / A. Bjork. — Philadelphia: SIAM, 2008. — Vol. 1, 482 p.

62. Borges, C. F., Discretization vs. Rounding Error in Euler's Method / C. F. Borges // The College Mathematical Journal. — 2011. — Vol. 42, № 5. — P. 396-399.

63. Borutzky, W., Dauphin-Tanguy, G., Thoma, J. U. Advances in bond graph modelling: theory, software, applications / W. Borutzky // Mathematics and

Computers in Simulation. — 1995. — Vol. 39, № 5-6. — P. 465-475.

64. Butera, R. J., McCarthy, M. L. Analysis of real-time numerical integration methods applied to dynamic clamp experiments / R. J. Butera //J. Neural Eng. — 2004. — № 1. — P. 187-194.

65. Cecioni, F. Sulle equazioni fra matrici AX = XB,Xm = A /F. Cecioni // Atti Accad. naz. Lincei, Rend. — 1909. — Vol. 5, № 18. — P. 556-571.

66. Chatelin, F. Eigenvalues of Matrices / F. Chatelin. — New York: John Wiley, 1993. — 458 p.

67. Chaitin-Chatelin, F., Harrabi, A. and Ilahi, A. About H^der condition numbers and the stratication diagram for defective eigenvalues / F. Chaitin-Chatelin // Math. Comput. Simulation. — 2000. — №. 54. — P. 397-402.

68. Chapouthier, G. Mosaic structures — a working hypothesis for the complexity of living organisms [Electronic resource] / G. Chapouthier // E-Logos (Electronic Journal for Philosophy). — 2009. — Vol. 17. — Режим доступа: http://nb.vse.cz/kfil/elogos/biocosmology/chapouthier09.pdf, свободный.

— Загл. с экрана.

69. Chen, W. K. On vector spaces associated with a graph / W. K. Chen // SIAM J. Appl. Math. — 1971. — Vol. 20 № 3. — P. 526-529.

70. Cheng, J. J., Hwang, C. Value sets of polynomial families with coefficients depending nonlinearly on perturbed parameters / J. J. Cheng // IEEE Proc., Control Theory Appl. — 1998. — Vol. 145, № 1. — P. 73-82.

71. Cohn, A., Uber die Anzahl der Wurzeln einer algebraischen Gleichung in Einem Kreise / A. Cohn // Math. Z. — 1922. — № 14. — P. 110-148.

72. Coppersmith, D. Solving linear equations over GF(2): block Lanczos algorithm / D. Coppersmith // Linear Algebra and its Applications. — 1993. — Vol. 192.

— P. 33-60.

73. Coppersmith, D. Matrix multiplication via arithmetic progressions / D. Coppersmith, Sh. Winograd // J. Symbolic Computation 9(3), 251-280 (1990)

74. Cormen, Th. H., Leiserson, Ch. E., Rivest, R. L., Stein, C. Introduction to

Algorithms / Th. H. Cormen. — Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 1990. — 1292 p.

75. Couceiro, M., Foldes, S. Definability of Boolean function classes by linear equations over GF(2) / M. Couceiro // Discrete Applied Mathematics. — 2004. — Vol. 142, issues 1-3. — P. 29-34.

76. Datta, B. N. On the Routh — Hurwitz — Fujiwara and the Shur — Cohn — Fujiwara Theorems fot the Root-Separation Problem / B. N. Datta // Linear Algebra and its Applications. — 1978. — Vol. 22. — P. 235-245.

77. Datta, A., Ho, M.-T., Bhattacharyya, S. P. Structure and Synthesis of PID Controllers / A. Datta. — London: Springer Verlag, 2003. — 233 p.

78. Degiorgi, D. G., Simon K. A dynamic algorithm for line graph recognition / D. G. Degiorgi // Lecture Notes in Comput. Sci. — 1995. — Vol. 1017. — P. 37-48.

79. Delgado, M., Sira-Ramirez, H. A bond graph approach to the modeling and simulation of switch regulated DC-to-DC power supplies / M. Delgado // Simulation Practice and Theory. — 1998. — Vol. 6, №7. — P. 631-646.

80. Deo, N. Graph Theory with Applications to Engineering and Computer Science / N. Deo. — New Jork: Prentice-Hall, 1974. — 478 p.

81. Diestel R. Graph Theory Fourth Edition / R. Diestel. — Heidelberg: SpringerVerlag, 2010. — 451 p.

82. Dobson, I., Zhang, J., Greene, S., Engdahl, H. and Sauer, P. W. Is strong modal resonance a precursor to power system oscillations? / I. Dobson // IEEE Transactions On Circuits And Systems I: Fundamental Theory And Applications. — 2001. — №. 48. — P. 340-349.

83. Duff, I. S., Reid, J. K., Algorithm 529: Permutations to Block Triangular Form [F1] / I. S. Duff // ACM Trans. Math. Softw. — 1978. — Vol. 4, № 2. — P. 189-192.

84. Edmonds, J. Paths, trees, and flowers / J. Edmonds // Canad. J. Math. — 1965. — № 17. — P. 449-467.

85. Realtime Simulation of Detailed Vehicle and Powertrain Dynamics, SAE 2004 World Congress & Exhibition / H. Elmqvist [et al.] // SAE Paper 2004-01-0768.

— 2004.

86. Fall, C. P., Rinzel, J. An intracellular Ca2+ subsystem as a biologically plausible source of intrinsic conditional bistability in a network model of working memory / C. P. Fall //J. Comput. Neurosci. — 2006. — № 20. — P. 97-107.

87. Friedland, Sh. Quadratic Forms and the Graph lsomorphism Problem. / Sh. Friedland // Linear Algebra Appl. — 1991. — № 150. — P. 423-442.

88. Frobenius, F. G. Über die mit einer Matrix vertauschbaren Matrizen / F. G. Frobenius // Berlin Sitzb. — 1910. — P. 3-15.

89. Garloff, J., Zettler, M. Robustness Analysis of Polynomials with Polynomial Parameter Dependency Using Bernstein Expansion / J. Garloff // IEEE Trans. Automat. Control. — 1998. — № 43. — P. 425-431.

90. Gelfand, I. M., Kapranov, M. M., Zelevinsky, A. V. Discriminants, Resultants and Multidimensional Determinants / I. M. Gelfand. — Boston: Birkhäuser, 1994. — 532 p.

91. Giorgi, P. On the complexity of polynomial matrix computations / P. Giorgi [et al.] // ISSAC'03. — New York: ACM Press, 2003. — pp. 135-142.

92. Golub, G. H., Van Loan, Ch.F. Matrix Computations / Golub, G. H., Van Loan, Ch.F. — Baltimore and London: The Johns Hopkins University Press, 1996. — 694 p.

93. Golub, G. H., Ortega, J. M. Scientific Computing and Differential Equations / G.H. Golub. — San Diego, California: Academic Press, 1992. — 337 p.

94. Gutman, S. Root Clustering in Parameter Space / S. Gutman. — Berlin: Springer-Verlag, 1990. — 120 p.

95. Halmos, P. R. Finite-dimensional vector spaces. Undergraduate Texts in Mathematics / P. R. Halmos. — New York: Springer-Verlag, 1993. — 202 p.

96. Harary, F. Graph Theory / F. Harary. — Addison-Wesley, Reading, MA, 1969.

— 274 p.

97. Heiss W. D. Exceptional points - their universal occurrence and their physical significance / W. D. Heiss // Czech. J. Phys. — 2004. — №. 54. — P. 1091-1099.

98. Hermite, C. Extrait d'une lettre de Mr. Ch. Hermite de Paris 'a Mr. Borchardt de Berlin, sur le nombre des racines d'une 'equation alg'ebrique comprises entre des limits don'ees / C. Hermite // J. Reine Angew. Math. — 1856. — № 52. — P. 39-51.

99. Higham, N. J. Accuracy and stability of numerical algorithms / N. J. Higham.

— Philadelphia: SIAM, 1996. — 688 p.

100. Hoory, S., Linial, N., Widgerson, A. Expander graphs and their applications / S. Hoory // Bulletin (New series) of the American Mathematical Society. — 2006. — Vol. 43, № 4. — P. 439-561.

101. Hosoya H. Topological index. A newly proposed quantity characterizing the topological nature of structural isomers of saturated hydrocarbons / H. Hosoya // Bulletin of the Chemical Society of Japan. — 1971. — Vol. 44, № 9. — P. 2332-2339.

102. Janusz, G. J. Parametrization of self-dual codes by orthogonal matrices / G. J. Janusz // Finite Fields Appl. — 2007. — № 13. — P. 450-491.

103. Jarlebring, E., Kvaal, S., Michiels, W. Computing all pairs (A; such that A is a double eigenvalue of A + ^B / E. Jarlebring // SIAM J. Matrix Anal. Appl.

— 2011. — № 32. — P. 902-927.

104. Horn, R. A., Johnson, Ch. R. Topics in matrix analysis / R. A. Horn. — New York: Cambridge University Press, 1991. — 607 p.

105. Hurwitz, A. On the conditions under which an equation has only roots with negative real parts / A. Hurwitz // Selected Papers on Mathematical Trends in Control Theory / ed. by R. Bellman, R. Kalaba. — Dover, New York, 1964.

— P. 72-82.

106. Kahaner, D., Moler, C., Nash, S. Numerical Methods and Software / D. Kahaner. — Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1989. — 495 p.

107. Kalinina, E. Stability and D-stability of the family of real polynomials /

E. Kalinina // Linear Algebra and Its Applications. — 2013. — № 438. — P. 2635-2650

108. Kalinina, E., The most precise computations using Euler's method in standard floating-point arithmetic applied to modelling of biological systems / E. Kalinina // Computer Methods and Programs in Biomedicine. — 2013. — Vol. 111, № 2. — P. 471-479.

109. Kalinina, E. A., Uteshev, A. Yu. Determination of the Number of Roots of a Polynomial Lying in a Given Algebraic Domain / E. A. Kalinina // Linear algebra and its applications. — 1993. — № 185. — P. 61-81.

110. Kalinina, E.A. On Multiple Eigenvalues of a Matrix Dependent on a Parameter / E. A. Kalinina // Proc. of the 18th In-tern. Workshop, CASC 2016. LNCS 9890, pp. 305-314.

111. Kalinina, E., Pogozhev, S., Khitrov, G.Edge covers and independence: algebraic approach // Proceedings of the International Conference on Numerical Analysis and Applied Mathematics 2015 (ICNAAM-2015). AIP Publishing, 2016. AIP Conf. Proc. 1738.

112. Kalinina, E., Pogozhev, S., Khitrov, G. Linear algebra methods in graph theory // "Stability and Control Processes"in Memory of V.I. Zubov (SCP), 2015 International Conference. — P. 570-572.

113. Kalman, R. E. Algebraic characterization of polynomials whoes zeroz lie in certain algebraic domain / R. E. Kalman // Proc. of the National Academie of the U.S.A. — 1969. — Vol. 64., № 3. — P. 818-823.

114. Karow, M. Eigenvalue condition numbers and a formula of Burke, Lewis and Overton / M. Karow // Electron. J. Linear Algebra. — 2006. — № 15. — P. 143-153.

115. Keel, L. H., Bhattacharyya, S. P. Robust Stability via Sign-Definite Decomposition / L.H. Keel // IEEE Trans. Automat. Control. — 2011. — Vol. 56, №1. — P. 140-145.

116. Kharitonov, V. L., Torres-Munoz, J. A., Ortiz-Moctezuma, M. B. Polytopic

families of quasipolynomials: vertex-type stability conditions, Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, IEEE Transactions on [see also Circuits and Systems I: Regular Papers, IEEE Transactions on]. — 2003.

— Vol. 50, № 11. — P 1413-1420.

117. Korhonen, T., Tavi, P. Automatic time-step adaptation of the forward Euler method in simulation of models of ion channels and excitable cells and tissue / T. Korhonen // Simulation Modelling Practice and Theory. — 2008. — № 16.

— P. 639-644.

118. Kressner, D., Pelaez, M. J., and Moro, J. Structured Holder condition numbers for multiple eigenvalues / D. Knesser // SIAM J. Matrix Anal. Appl. — 2009.

— Vol. 31, № 1. — P. 175-201.

119. Kronecker, L. Zur Theorie der Elimination einer Variabeln aus zwei Algebraischen Gleichungen (1881) / L. Kronecker // Leopold Kronecker's Werke. — Leipzig: Teubner, 1897. — Bd. 2. — P. 113-192.

120. Ladyman, J., Lambert, J., Wiesner, K. What is a Complex System? J. Ladyman // European Journal for Philosophy of Science. — 2013. — №. 3.

— P. 33-67.

121. Latinne, O., Kylstra, N. J., Dorr, M., Purvis, J., Terao-Dunseath, M., Jochain, C. J., Burke, P. G. and Noble, C. J. Laser-induced degeneracies involving autoionizing states in complex atoms / O. Latinne // Phys. Rev. Lett. — 1995. — №. 74. — P. 46-49.

122. Laurent, H. L'Elimination. In Scientia, Phys.-Mathematique, volume 7 / Y. Laurent — Paris: Gauthier-Villars, 1900. —

123. Lehnigk, S. H. Stability Theory for Linear Motions ns with an Introduction to Liapunov's Direct Method / S. H. Lehngik. — New York: Prentice-Hall, 1966.

— 251 p.

124. Lehot, Ph. G. H. An Optimal Algorithm to Detect a Line Graph and Output Its Root Graph / Ph. G. H. Lehot // J. ACM. — 1974. — Vol. 21, № 4. — P. 569-575.

125. Lempel, A. Matrix Factorization over GF(2) and Trace-Orthogonal Bases of GF(2n) / A. Lempel // SIAM J. Comput. — 1975. — Vol. 4, № 2. — P. 175-186.

126. Littlewood, D. E. The theory of group characters and matrix representations of groups / D. E. Littlewood. — Oxford: Oxford University Press, 1950. — 310 p.

127. Liu, D., Trajanovski, S., Van Mieghem, P. ILIGRA: An Efficient Inverse Line Graph Algorithm / D. Liu // Journal of Mathematical Modelling and Algorithms in Operations Research. — 2015. — Vol. 14, № 1. — P. 13-33.

128. MacDuffee, C. C. The Theory of Matrices / C .C. MacDaffee. — New York: Chelsea Publishing Company, 1956. — 110 p.

129. Maidens, J. Global Lyapunov functions and a hierarchical control scheme for networks of robotic agents / J. Maidens // American Control Conference (ACC). — 2013. — P. 4050-4055.

130. MacWilliams, J. Orthogonal matrices over finite fields / J. MacWilliams // Amer. Math. Monthly. — 1969. — № 76. — P. 152-164.

131. Mailybaev A. A. Computation of multiple eigenvalues and generalized eigenvectors for matrices dependent on parameters. Numer / A. A. Mailybaev // Linear Algebra Appl. — 2006. — № 13. — P. 419-436.

132. Macaulay, F. S. On some formulae in elimination / F. S. Macaulay // Proc. London Math. Soc. — 1903. — Vol. 35. — P. 3-27.

133. Marenich, E. E. Factorization properties of (n x n) Boolean matrices / E. E. Marenich //J. Math. Sci. (N. Y.). — 2009. — Vol. 163, № 6. — P. 732-738.

134. Markoff, A. On the determination of the number of roots of an algebraic equation, situated in a given domain / A. Markoff // Математический сборник. — 1940. — Т. 7 (49), № 1. — С. 3-6.

135. The Math Libraries [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_lib.html, свободныйю — Загл. с экрана.

136. Mohar, B., Eigenvalues, Diameter, and Mean Distance in Graphs / B. Mohar // Graphs Combin. — 1991. — № 7. — P. 53-64.

137. Monshizadeh, N., Zhang, Sh., Kanat Camlibel, M.Disturbance decoupling problem for multi-agent systems: A graph topological approach / N. Monshizadeh // Systems & Control Letters. — 2015. — Vol. 76. — P. 35-41.

138. Moro, J., Burke, J. V., Overton, M. L. On the Lidskii-Vishik-Lyusternik Perturbation Theory for Eigenvalues of Matrices with Arbitrary Jordan Structure / J. Moro // SIAM J. Matrix Anal. Appl. — 1997. — Vol. 18, № 4.

— P. 793-817.

139. Mucha, M., Sankowski, P. Maximum Matchings via Gaussian Elimination / M. Mucha // Proc. 45th IEEE Symp. Foundations of Computer Science. — 2004. — P. 248-255.

140. Muhic, A., Plestenjak, B. A method for computing all values A such that A+AB has a multiple eigenvalue / A. Muhica // Linear Algebra Appl. — 2014. — № 440. — P. 345-359.

141. Netto, E. Vorlesungen über Algebra, Bd. 2. / E. Netto. — Leipzig: Teubner, 1900. — 531 s.

142. Norman, R. Z., Rabin M. O. An Algorithm for a Minimum Cover of a Graph / R. Z. Norman // Proc. Amer. Math. Soc. — 1959. — Vol. 10, № 2. P. 315-319.

143. Olshevsky, A., Olshevsky, V. Kharitonov's theorem and Hermite's criterion / A.Olshevsky // Linear Algebra and Its Applications. — 2005. — Vol. 399, № 1.

— P. 285-297.

144. Ostrowski, A. M. Solution of Equations and Systems of Equations / A. M. Ostrowski. — New York: Academic Press, 1960. — 202 p.

145. Seroussi, G., Lempel, A. Factorization of symmetric matrices and trace-orthogonal bases in finite fields / G. Seroussi // SIAM J. Comput. — 1980.

— № 9. — P. 758-767.

146. Oh, K.-K., Moore, K. L., Ahn, H.-S. Disturbance attenuation in a consensus network of identical linear systems: An approach / K.-K. Oh // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2014. — Vol. 59 (8), № 6701156. — P. 2164-2169.

147. Pan, V. Algebraic complexity of computing polynomial zeros / V. Pan // Comput. Math. Appl. — 1987. — Vol. 14, № 4. — P. 285-304.

148. Pemmaraju, S., Skiena, S. Implementing Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica / S. Skiena. — Cambridge: Cambridge University Press, 2003. — 480 p.

149. Pothen, A., Fan, C. Computing the block triangular form of a sparse matrix / A. Pothen // ACM Trans. Math. Softw. — 1990. — Vol. 16, № 4. — P. 303-324.

150. Poyraz, M., Demir, Y., Gulten, A., Koksal, M. Analysis of switched systems using the bond graph methods / M. Poyraz // Journal of the Franklin Institute.

— 1999. — Vol. 336, № 3. — P. 379-386.

151. Provotorov, V.V. Boundary control of a parabolic system with distributed parameters on a graph in the class of summable functions / V. V. Provotorov // Automation and Remote Control. — 2015. — Vol. 76, № 2. — P. 318-322.

152. Ptak V. Explicit Expressions for Bezoutiants / V. Ptak // Linear Algebra and its Applications. — 1984. — Vol. 59. — P. 43-54.

153. Ramnath, S., Sunder, S. On two-processor scheduling and maximum matching in permutation graphs. — 1996. — Vol. 50, № 6. — P. 321-327.

154. Roth, W. E. On direct product matrices / W. E. Roth // Bull. Amer. Math. Soc. — 1934. — № 40. — P. 461-468.

155. Roussopoulos, N. D. A max m,n algorithm for determining the graph H from its line graph G / N. D. Roussopoulos // Inform. Process. Lett. — 1973. — Vol. 2, № 4. — P. 108-112.

156. Routh, E. J. A Treatise on the Stability of a Given State of Motion: Particularly Steady Motion / E.J. Routh. — London: Macmillan and co., 1877. — 108 p.

157. Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems / H. Sayama.

— New York: Open SUNY Textbooks, 2015. — 498 p.

158. Schlafli, L. Uber die Resultante eines Systemes mehrerer algebraischer Gleichungen. / L. Schlafli //In Gesammelte Mathematische Abhandlungen.

— Basel: Birkhauser, 1953. — Vol. 2. — P. 9-112.

159. Schur, I. Uber potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschrankt sind / I. Schur // J. fur Mathematik. — 1917 and 1918. — 147 and 148. — P. 205--232 and 122--145; English Transl. in: J. Schur Methods in Operator Theory and Signal Processing (Operator Theory: Advances and Applications, OT 18, Basel: Birkhauser-Verlag. — 1986. — P. 31--88).

160. Seelinger, G., Sissokho, P., Spence, L., Vanden Eynden, C. Partitions of finite vector spaces over GF(2) into subspaces of dimensions 2 and s / G. Seelinger // Finite Fields and Their Applications. — 2012. — Vol.18, № 6. — P. 1114-1132.

161. Serret, J.-A. Cours d'Algebre Superieur, volume 1 / J.-A. Serret. — Paris: Gauthier-Villars, 1866. — 643 p.

162. Siegel, D., MacLean, D. Global stability of complex balanced mechanisms / D. Siegel // Journal of Mathematical Chemistry. — 2000. — Vol. 27, №. 1. — P. 89-110.

163. Sneyd, J., Dufour, J-F. A dynamic model of the type-2 inositol triphosphate receptor / J. Sneyd // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. — 2002. — № 99. — P. 2398-2403.

164. Strassen, V. Gaussian Elimination is not Optimal / V. Strassen // Numerische Mathemetik. — 1969. — № 13. — P. 354-356.

165. Schucan, T. H. and Weidenmüller H. A. Perturbation theory for the effective interaction in nuclei / T. H. Schucan // Ann. Physics. — 1973. — № 76. — P. 483-501.

166. Sun, J. On condition numbers of a nondefective multiple eigenvalue / J. Sun // Numer. Math. — 1992. — №. 61. — P. 265-275.

167. Thom, M. R. Sur la theorie des enveloppes, J. de mathematiques pures et appliquees / M. R. Thom. — Paris: Gauthier-Villars, 1962. — T. 41, № 2. — P. 177-192.

168. Thulasiraman, K., Swamy, M. N. S. Graphs: Theory and Algorithms / K. Thulasiraman. — Wiley, 1992.

169. A model for human ventricular tissue / K.H.W.J. Ten Tusscher [et al.] // Am.

J. Physiol. Heart Circ. Physiol. — 2004. — № 286. — H1573-H1589.

170. Uspensky, J. V. Theory of Equations / J.V. Uspensky. — New York: McGraw-Hill, 1948. — 353 p.

171. Uteshev, A. Yu., Baravy, I. Solution of interpolation problems via the Hankel polynomial construction. arXiv: cs.SC/1603.08752.2016

172. Uteshev, A. Yu., Cherkasov, T. M. On the search of the maximum of a polynomial / A. Yu. Uteshev // RISC-LINZ Report series. — 1995. — № 95-16. — 18 p.

173. Uteshev, A. Yu., Shulyak, S. G. Hermite's Method of Separation of Solutions of Systems of Algebraic Equations and its Applications / A. Yu. Uteshev // Linear Algebra and its Applications. — 1992. — Vol. 177. — P. 49-88.

174. Wang, M., Lee, F. B., Boley, D. Matrix Pencil and Matrix Measure Methods for Robust Stability in Real Parameter Spaces / M. Wang // Proceedings of the 30th Conference on Control. England. — 1991. — P. 411-415.

175. Victorri, B. [et al.] Numerical integration in the reconstruction of cardiac action potentials using the Hodgkin — Hucksley model / B. Victorri // Computers and Biomed Res. — 1985. — № 18. — P. 10-23.

176. Wang, J., Liu, Z., Hu, X. Consensus control design for multi-agent systems using relative output feedback / J. Wang // Journal of Systems Science and Complexity. — 2014. — Vol. 27, № 2. — P. 237-251.

177. Whitney, H. Congruent graphs and the connectivity of graphs / H. Whitney // American Journal of Mathematics. — 1932. — Vol. 54 № 1. — P. 150-168.

178. Williams, T. W., Maxwell, L. M. The decomposition of the graph and the introduction of the new class of subgraphs / T. W. Williams // SIAM J. Appl. Math. — 1971. — Vol. 20, № 3. — P. 385-389.

179. Yeh, D. T. [et al.] Numerical Methods for Simulation of Guitar Distortion Circuits / D. T. Yeh // Computer Music J. — 2008. — Vol. 32, № 2. — P. 23-42.

180. Zayed, J. M. Chemical Complexity — supramolecular self-assembly of synthetic and biological building blocks in water / J. M. Zayed, N. Nouvel, U. Rauwald,

O. A. Scherman // Chemical Society Reviews, 2010. — Vol. 39. — P. 2806-2816.

181. Zhong, J. Binary ranks and binary factorizations of nonnegative integer matrices / J. Zhong // Electron. J. Linear Algebra. — 2012. — No 23. — P. 540-552.

182. Zhu, H. [et al.] Facilitating arrhythmia simulation: the method of quantitative cellular automata modeling and parallel running / H. Zhu // BioMedical Engineering OnLine. — 2004. — Vol. 3, № 29.