Алгоритмы и программы построения инвариантных и квазиинвариантных индексов потребительского спроса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Козлова, Любовь Александровна

• Козлова, Любовь Александровна
• кандидат технических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат технических наук Козлова, Любовь Александровна

Введение

1 Индексы потребительского спроса

1.1 Индексный метод.

1.2 Основные направления в теории индексов.

1.3 Бинарные статистические индексы. Тесты Фишера.

1.4 Индексы в непрерывном времени Дивизиа

1.5 Аналитические индексы.

1.5.1 Задача максимизации полезности.

1.5.2 Примеры функций полезности и построение функций спроса.

1.5.3 Задача минимизации расходов. Полные аналитические индексы.

2 Непараметрический метод Африата-Вэриана. Инвариантные и квазиинвариантные индексы

2.1 Однородные предпочтения. Инвариантные индексы.

2.2 Обратная задача теории потребительского спроса.

2.3 Однородная теорема Африата и инвариантные индексы

2.4 Определение и свойства квазиинвариантных индексов

2.5 Основные подходы к решению неравенств Африата.

2.6 Проблема несовместности. Известные подходы.

2.7 Алгоритм Варшалла-Флойда.

3 Метод и алгоритмы решения неравенств Африата

3.1 Специальная система

3.2 Общая система.

3.3 Оценка точности полученного решения.

3.4 Алгоритм симплекс-метода для ограничений-неравенств

3.5 Алгоритм поиска нормального решения.

3.6 Преобразования общего квадратичного функционала

3.7 Схема решения неравенств Африата разработанным методом

4 Экспериментальные исследования инвариантных и квазиинвариантных индексов с использованием разработанных программ

4.1 Закон спроса и индексы потребления

4.2 Тестовые примеры.

4.3 Инвариантные индексы потребления продуктов питания. Швеция, 1921-1938 г.г.

4.4 Моделирование данных о спросе.

4.4.1 Пример

4.4.2 Пример 2.

4.5 Исследование рынков продовольственных товаров.

4.5.1 Российская Федерация, годовые индексы за 2000-2007г.г.

4.5.2 Ульяновская область, годовые индексы за 2004-2007 г.г.

4.5.3 Ульяновская область, месячные индексы за 2007 год

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы и программы построения инвариантных и квазиинвариантных индексов потребительского спроса»

Экономическая теория и методы количественного анализа в последние десятилетия развиваются в существенной мере благодаря математическим методам. Однако до настоящего времени остаются разделы экономической науки и практики, в которых использование эффективного метода математического моделирования не соответствует его потенциалу. Это, по нашему мнению, относится к методам построения экономических индексов.

Диссертация посвящена развитию и реализации численных методов построения аналитических индексов потребительского спроса, учитывающих рациональность поведения потребителей на рынках продуктов и услуг (благ) конечного потребления.

История индексологии насчитывает более двухсот лет, однако ее современное состояние характеризуется множественностью подходов [53], их слабой согласованностью, субъективизмом исследователей и политиков, использующих индексный метод. Как научное направление индексология сформировалась в 20-ые годы XX века.

Современная экономика характеризуется очень большой номенклатурой выпускаемых товаров. Это существенно усложняет задачу анализа и регулирования многопродуктовых рынков и производств. Цены и количества выпускаемых и продаваемых продуктов меняются во времени с различными темпами, что затрудняет объективную оценку изменения экономической конъюктуры в целом, для всей экономики и ее сегментов.

Кроме того, при разработке государственных экономических и социальных программ, а также при контроле за эффективностью их реализации очень важно проследить изменение структуры объемов и цен многопродуктового производства и потребления, выяснить относительную значимость двух многомерных наборов количеств и цен для различных моментов времени. Снизить размерность экономических показателей и тем самым упростить задачу анализа и регулирования экономики позволяет процедура агрегирования, то есть введение обобщенных скалярных показателей количеств (объемов) и цен потребления для отдельных групп товаров, выделяемых на основе схожих свойств и характеристик. Теория и методы агрегирования, а значит, и анализа многомерных экономических показателей тесно связаны с понятием индексов количеств и цен потребления.

Под экономическими индексами мы понимаем обобщенные скалярные показатели характера изменения многомерных экономических явлений (в данном случае потребления) во времени и в пространстве.

Используемые в экономико-статистической практике индексы количеств и цен потребления относятся к классу бинарных статистических [29, 35], рассчитываемых по двум парам многомерных наборов (векторов) "цены-количества", соответствующим сравниваемым ситуациям. Эти многочисленные методы представляют субъективизм исследователей и политиков, но игнорируют субъективизм и рациональность потребителей.

Наиболее применяемыми в экономической статистике оказались индексы цен и количеств Ласпейреса и Пааше, в которых индексируемый показатель строится на основе соответственно базового и текущего набора цен или количеств потребления. Кроме них было разработано множество альтернативных методик построения экономических индексов, но значения, полученные с их помощью, различаются, что затрудняет их использование для объективного анализа особенно в периоды экономической нестабильности [1, 2, 29].

Качество различных индексов потребления принято оценивать по их соответствию известной системе "тестов" (аксиом) И.Фишера [35]. Основной л интерес представляют три теста - транзитивности (цепное свойство), мультипликативности и промежуточности [29]. Индексы Ласпейреса и Пааше удовлетворяют из этих тестов только тесту промежуточности.

Теория экономических индексов до 20-х годов XX столетия развивалась независимо от теории потребительского спроса как статистическая теория, оперирующая произвольно сформированными наборами количеств товаров и их цен без выявления каких-либо функциональных связей между этими показателями спроса, вытекающих из рациональности поведения потребителей, приспосабливающихся к меняющейся конъюнктуре рынка в соответствии со своими субъективными предпочтениями.

Новый подход к проблеме индексов, позволяющий рассчитывать на преодоление отмеченной множественности систем индексов, порождаемой субъективизмом различных исследователей, был заложен в работе советского экономиста-математика Конюса [38] в 1924 году. Его идеи легли в основу нового направления в теории экономических индексов, названного теоретико-экономическим [3, 86] или аналитическим [29, 19]. Основой этого направления является предположение о рациональном поведении потребителей, которые максимизируют свою субъективную полезность при бюджетном ограничении. В современной трактовке классической модели потребительского выбора максимизация полезности заменена на выбор наиболее предпочтительного набора на доступном (при данных ценах и уровне расходов) множестве товаров. Это позволило использовать модель рационального потребления для построения аналитических индексов. Конюс ввел "истинный индекс стоимости жизни" как отношение стоимостей двух наборов товаров, обеспечивающих одинаковый уровень потребления при разных ценах. Подход Конюса был развит или переоткрыт в ряде работ англоязычных авторов [71, 86, 77, 87, 75], однако до недавнего времени был проигнорирован отечественными специалистами.

Несмотря на очевидную прогрессивность этой идеи, аналитические индексы до настоящего времени не вошли в полной мере в статистическую практику и спорадически появляются как объект исследования в отдельных научных публикациях [88, 23, 45, 46, 60, 61]. Мы выделяем две основные причины, препятствующие развитию и внедрению в статистическую практику аналитических индексов, - методологическую и техническую.

Методологическая причина, сдерживающая развитие аналитического направления, заключается в известной несостоятельности традиционно излагаемой теории потребительского спроса как раздела микроэкономики [85]. Здесь одна и та же модель максимизации функции полезности на множестве товаров ограниченной стоимости применяется как к индивидуальному потребителю, так и к ансамблю потребителей некоторого рынка1. Такая схема объясняется желанием построить теорию макрообъекта - рыночного (агрегированного) спроса - через теорию микрообъекта - индивидуального потребителя, причем на основе одинаковой аналитической модели максимизации полезности. При этом естественно возник вопрос об аналитических свойствах индивидуальной и коллективной функций полезности, обеспечивающих корректное агрегирование [85]. Ответ был дан в статье У. Гормана 1953 года [79]. Оказалось, что необходимым и достаточным условием корректного агрегирования является "выпрямление" кривых Энгеля для всех покупателей, причем все индивидуальные прямые Энгеля должны быть параллельными. Аналогичный результат получен в последние годы В.И. Зоркальцевым [31]. Класс соответствующих предпочтений является некоторым обобщением однородных предпочтений2, совершенно недостаточным для представления известных свойств наблюдаемого рыночного спроса, установленным на основе анализа торговых статистик (классификация благ как ценных, малоценных, заменителей, дополнителей.). Также

115 большинстве курсов микроэкономики излагается только теория индивидуального потребления [4, 34, 25].

2Потребительские предпочтения называются однородными, если спрос на различные продукты пропорционален суммарным расходам. необходимо отметить, что в традиционной схеме агрегирования индивидуальные потребители считаются автономными и независимыми. Но это противоречит очевидному взаимовлиянию потребителей через обычаи и моду, а также влиянию рекламы и другим эффектам. Ограниченности и соответствующей критике сложившейся схемы агрегирования покупателей и понятия "репрезентативного потребителя" посвящены современные статьи A.Kirman [83] и J.Chipman [73].

Далее, в 70-е годы XX столетия было установлено (теорема Дебре-Зонненшейна-Мантеля [82]), что агрегированный спрос, являющийся суммой индивидуальных спросов, которые порождаются различными предпочтениями классического типа (полных, непрерывных, транзитивных,.), может быть произвольной непрерывной функцией, удовлетворяющей расходному тождеству (закону Вальраса). Это, очевидно, также противоречит известным аналитическим свойствам рыночного спроса. Эти свойства воспроизводятся классической моделью максимизации полезности, которая накладывает жесткие аналитические ограничения на функции спроса требованием отрицательной полуопределенности и симметричности матрицы Слуцкого [85, 16].

Требование необходимой почти-однородности индивидуальных и коллективных предпочтений, а также эффект Дебре-Зонненшейна-Мантеля, делают несостоятельной традиционную схему построения теории потреблений "от индивидуального потребителя к коллективному" на основе одной и той же аналитической модели максимизации (порядковой) функции полезности. Однако эта несостоятельность не является основанием для отказа от позитивной части классической теории потребительского спроса, состоящей в формализации описания основного объекта теории - рыночного спроса, представляющего не отдельных потребителей, а их статистически значимые ансамбли, а также эффективный аппарат его качественного и количественного анализа.

Способ освобождения теории потребительского рыночного спроса от описанных противоречий предложен В.К.Горбуновым [17]. Именно анализ статистических данных, представляющих ансамбли потребителей, привел классиков теории спроса (Курно, Энгель, Госсен,.) к математической модели максимизации функции полезности и развитию современного аналитического и вычислительного аппарата. Поэтому статистический ансамбль потребителей необходимо взять за априорный объект аналитической теории спроса и признать, что для описания индивидуальных потребителей более уместен аппарат дискретных вероятностных процессов. Аналоги использования различного математического аппарата для описания сложных ансамблей и их компонент представляют физические теории сплошных сред. Поведение молекул газов и жидкостей описывается как броуновское движение (дискретный стохастический процесс), а поведение газа и жидкости, состоящих из таких молекул, - детерминированными дифференциальными уравнениями.

Техническая причина заключается в сложности построения полных аналитических индексов. Такие индексы определяются [86, 16, 19] через функцию потребительских расходов, которая представляет минимальные расходы потребителей данного рынка, обеспечивающие при заданных ценах покупку набора товаров, эквивалентного заданному набору [85]. Предпочтения ансамбля потребителей, определяющие наблюдаемый на рынке спрос, должны быть представлены соответствующей порядковой функцией полезности, называемой также функцией предпочтения [41]. Такая функция должна строиться по статистическим данным с неизбежными погрешностями. Соответствующая "обратная задача" в полном объеме (построение рационализирующей вогнутой pi дифференцируемой функции полезности) достаточно сложна и до настоящего времени методы ее решения далеки от завершения [13, 21, 16].

Разумеется, любая теория имеет свои границы применения, и функция полезности, "рационализирующая" статистические данные, существует пе всегда, особенно в периоды резких социально-экономических изменений. Но в такие периоды, как показывают исследования [29, 1,2], традиционные бинарные статистические индексы также несостоятельны для адекватной макроэкономической (агрегированной) оценки ситуации на потребительских рынках. Эффективный критерий адекватности рынков конечного потребления классической модели максимизации коллективной функции полезности был получен в 1967 году в работе С. Африата [69]. Эта работа открыла новое плодотворное направление в конструктивной теории потребительского спроса, цель которой - количественное исследование реальных рынков конечной продукции, в частности, построение индексов потребления. На основе этой работы X. Вэриан развил "непараметрический анализ" потребительского спроса [88, 89], который позволил существенно продвинуть методы построения аналитических индексов.

В случае однородных предпочтений, аналитические индексы количеств и цен потребления обладают свойством взаимной независимости. Индекс количеств определяется функцией полезности, вычисляемой на статистических наборах товаров, а индекс цен определяется множителем Лагранжа задачи максимизации полезности, причем этот множитель зависит только от цен. Соответствующие индексы рационального потребления [13] названы [86] инвариантными. Они удовлетворяют всем тестам Фишера и могут расчитываться в рамках непараметрического анализа Африата-Вэриана без построения функции полезности. Этот метод также является математическим аппаратом наших исследований и подробно излагается во второй главе. Инвариантные индексы являются основным предметом исследований российских авторов [8, 23, 60, 61], однако с иной терминологией, причем с постулированием однородности предпочтений как неотъемлемым свойством рациональности. Однако реальные предпочтения не являются однородными в общем случае, поэтому значение инвариантных индексов ограничено, в основном, проблемой корректного агрегирования экономической информации методом поэтапного поиска номенклатурных подгрупп, спрос на которые однороден. Положительный, хотя и ограниченный относительно потенциальных возможностей опыт применения непараметрического метода к реальным данным, приведенный в этих работах, говорит о достаточно широких границах применимости классической модели потребления для построения индексов.

Диссертация состоит из 4 глав, введения и заключения.

В главе 1 излагаются основные факты теории экономических индексов. В первой части главы уточняются понятия индексов потребительского спроса, излагаются: история возникновения и развития ипдсксологии, бинарные статистические индексы Ласпейреса и Пааше, аксиоматика (тесты) Фишера, индексы в непрерывном времени Дивизиа. Вторая часть данной главы посвящена изложению теории аналитических индексов. Здесь представлены основные факты классической теории потребительского спроса, в рамках которой определяются полные аналитические индексы цен и количеств. Эти индексы являются развитием направления, заложенного в работе А.А. Конюса 1924 года, где он впервые ввел "истинный индекс стоимости жизни", учитывающий рациональность поведения потребителей.

Во 2 главе исследуются известные методы решения систем линейных неравенств Африата, возникающих в рамках непараметрического метода Африата-Вэриана решения обратной задачи теории потребительского спроса. Эта задача заключается в построении функции полезности, порождающей функции спроса, которые соотвествуют наблюдаемому на данном рынке статистическому спросу. Решением системы линейных неравенств Африата являются значения функции полезности и множителя Лагранжа для задач рационального выбора, соответствующих всем статистическим ценам и расходам. Эти значения, называемые "числами Африата", в случае разрешимости специальной системы Африата определяют инвариантные индексы, и в случае разрешимости общей системы Африата - квазиинвариантные индексы. Инвариантные индексы удовлетворяют всем тестам Фишера, таким образом, можно сказать, что они являются идеальными. Однако реальные предпочтения потребителей для произвольных групп товаров в общем не являются однородными, и в таких случаях инвариантные индексы не существуют. Квазиинвариантные индексы удовлетворяют основным тестам мультипликативности и транзитивности, но в общем случае не удовлетворяют тесту промежуточности. Однако отсутствие теоретического обоснования не означает неизбежную невыполнимость свойства промежуточности для квазиинвариантных индексов, определенных для существенно более широкого множества возможных торговых статистик, чем инвариантные индексы.

В 3 главе излагается новый численный метод решения систем линейных неравенств Африата. Ввиду того, что использование реальных данных в большинстве случаев проиводит к неразрешимости линейных неравенств Африата, для решения общей и специальной систем применяется релаксационно-штрафной метод, предложенный Горбуновым [14]. Сущность его состоит в том, что вводится параметр несовместности, который делает систему неравенств совместной. Для решения специальной и общей систем неравенств Африата ставятся задачи линейного или квадратичного программирования, заключающиеся в минимизации введенного параметра или квадрата уклонения искомого набора чисел Африата от пробного набора, определяемого индексами Фишера. Эти задачи позволяют установить, совместна ли данная система в допустимых пределах. Допустимость невязки должна устанавливаться экспертами. В совместном случае по полученным решениям строятся инвариантные или квазиинвариантные индексы, наименее уклоняющиеся от индексов Фишера. В этой же главе описываются эффективные алгоритмы: симплекс-метод для ограничений-неравенств (для задачи линейного программирования) [32] и алгоритм Горбунова типа активных наборов для решения задачи о нормальном решении (для квадратичного программирования) [11, 12].

В 4 главе представлены результаты применения разработанного метода построения инвариантных и квазиинвариантных индексов потребительского спроса. Также в этой главе предложена методика моделирования недостающих (например, помесячных) данных о количествах потребления продуктов по их суммарным (погодовым) значениям. Представлены результаты анализа некоторых рынков продовольственных товаров с помощью построенных инвариантных (если это возможно) или квазиинвариантных индексов. Использованы данные по Швеции (1921-1938 г.г., из работы [8]), г.Иркутску (90-е годы), Ульяновской области и РФ в последние годы.

Имеется Заключение и два Приложения "Описание программного комплекса", "Таблицы статистических данных". Список литературы содержит 89 источников. Из них работы автора, содержащие результаты диссертации [20, 37].

Положения, выносимые на защиту:

1) численный метод решения систем Африата, использующий в качестве дополнительной информации бинарные индексы Фишера,

2) алгоритмы линейного и квадратичного программирования для построения двух классов аналитических индексов - инвариантных для групп товаров, спрос на которые соответствует однородности потребительских предпочтений, и в случае неоднородности предпочтений - квазиинвариантных,

3) программный комплекс, разработанный для построения инвариантных и квазиинвариантных индексов на основе реальной торговой статистики и с применением моделирования данных о ценах и количествах потребления продуктов,

Автор выражает искреннюю благодарность и признательность научному руководителю В.К.Горбунову.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Козлова, Любовь Александровна

Вывод

Экспериментальные исследования показывают возможность существования квазиинвариантных индексов, удовлетворяющих всем основным тестам Фишера, что свидетельствует о качестве построенных индексов.

Одно из применений построенных инвариантных и квазиинвариантных индексов, отраженное в данной работе - проверка Закона Спроса в индексной формулировке. Ее результаты свидетельствует о неприемлимости данной формулировки Закона Спроса.

Заключение

В диссертации разработаны методы построения аналитических индексов потребительского спроса, учитывающих рациональность поведения потребителей в рамках классической модели максимизации полезности на множестве продуктов, доступных при данных ценах и суммарных расходах всех потребителей некоторого рынка.

Объектом исследования являются индексы цен и количеств продуктов на некотором рынке продуктов или услуг (благ)конечного потребления. Предмет исследования - численные методы построения аналитических индексов в рамках классической модели поведения потребителей.

Проблема адекватности классической модели данному рынку решается методом непераметрического анализа спроса, разработанного американскими математиками С.Африатом и Х.Вэрианом в 60-е - 80-е годы XX века. Этот метод заключается в решении системы линейных неравенств (Африата), коэффициенты которой строятся по торговой статистике за период наблюдений, а неизвестными являются значения рационализирующей функции полезности и множителя Лагранжа задачи максимизации полезности, вычисленные для статистических количеств и цен потребления (числа Африата). В случае положительной разрешимости неравенств Африата по числам Африата строятся индексы цен и количества потребления для периода наблюдения. При этом особое значение имеет возможность построения однородной рационализирующей функции полезности. Эта возможность проявляется разрешимостью специальной системы Африата. В случае ее совместности (однородный случай) отношения чисел Африата определяют известные ранее инвариантные индексы, которые являются "идеальными индексами", удовлетворяющими известным аксиомам (тестам) И.Фишера. Однако однородность потребительских предпочтений проявляется для содержательно близких сегментов рынка в редких случаях. В общем случае идеальные индексы не существуют и проблемой индексологии является улучшение качеств "неидеальных" индексов относительно аксиоматики Фишера.

Основной проблемой для неидеальных индексов спроса является совмещение тестов транзитивности, мультипликативности и промежуточности [29]. Решение этой проблемы па основе разработки численных методов построения новых, "квазиинвариантных" индексов спроса, введенных в недавних работах научного руководителя данной диссертации В.К.Горбунова, составило предмет диссертации. Квазиинвариантные индексы всегда (если существуют) транзитивны и мультипликативны. Как и для общих аналитических индексов для них теоретически может нарушаться свойство промежуточности. Если это свойство фактически выполнено' (проверяется непосредственно после построения), то они могут использоваться в качестве альтернативы бинарных индексов, учитывающей приспособительные реакции потребителей при изменении цен и уровня доходов.

В диссертации получены следующие новые научные и научно-практические результаты:

1) Разработаны или усовершенствованы методы построения частных классов аналитических индексов потребительского спроса, учитывающих рациональность поведения потребителей в рамках классической модели максимизации полезности на множестве продуктов, доступных при данных ценах и суммарных расходах всех потребителей некоторого рынка. Это класс инвариантных индексов, для которых существующие методы построения усовершенствованы, и новый класс квазиинвариантных индексов В.К.Горбунова, для которых регулярных методов построения до нашей работы не было. Для оценки погрешностей получаемых индексов предложено использовать тест транзитивности инвариантных или квазиинвариантных индексов.

2) Выявлена эффективность решения систем линейных неравенств Африата методом квадратичного программирования, позволяющим использовать экспертную информацию об искомом решении - индексы Фишера. Это стабилизирует процесс построения индексов и увеличивает возможность выполнения теста промежуточности для квазиинвариантных индексов. Ранее было экспериментально выяснено [39], что задача о нормальном решении системы неравенств Африата решается существенно быстрее, чем задача линейного программирования.

3) Продвинуто решение одной из основных проблем построения индексов спроса - совмещение тестов транзитивности, мультипликативности и промежуточности. Квазиинвариантные индексы всегда (если они существуют) транзитивны и мультипликативны. Как и для общих аналитических индексов для них теоретически может нарушаться свойство промежуточности. Проведенные вычисления на реальных данных последних лет продемонстрировали существование квазиинвариантных индексов, удовлетворяющих всем основным тестам.

4) Создан программный комплекс для построения инвариантных и квазиинвариантных индексов потребительского спроса, предназначенный для практического использования и не требующий особых навыков пользователя.

4) На всех использованных реальных данных исследован Закон Спроса в индексной формулировке, предложенной Гребенниковым и Шананиным [23]. Установлено, что данная формулировка Закона Спроса неприемлема для адекватной характеристики изменений потребительского спроса, так как она не учитывает в достаточной степени "эффект дохода", учитываемый в стандартной формулировке Закона Спроса в терминах компенсированного спроса Хикса [85], [80].

Мы считаем, что полученные результаты подтверждают более высокое качество инвариантных и новых квазиинвариантных индексов потребительского спроса относительно используемых статистическими службами бинарных статистических и нормативных (вычисляемых по "потребительской корзине") индексов. Целесообразно развитие методов построения полных аналитических индексов в рамках классической модели спроса, а также развитие методов построения квазиинвариантных индексов в рамках новой, обобщенной модели потребительского спроса, основанной на понятии векторного поля предпочтений и предложенной в недавних работах В.К.Горбунова [18], [19].

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Козлова, Любовь Александровна, 2010 год

1. Айзенберг, Н.И. Сравнительный анализ методов расчета индексов цен: автореф. дис. . канд. экон. наук (08.00.13)/Айзенберг Наталья Ильинична; ИСЭ СО РАН. - Иркутск, 2000 - 22 с.

2. Айзенберг, Н.И. Методика экспериментального анализа формул расчета индексов цен /Н.И. Айзенберг, З.В. Солонина // Вестник ИрГТУ. 2007. - No.4 (32). - С.11-15.

3. Аллсн, Р. Экономические индексы / Р. Аллен. М.: Изд-во Статистика, 1980. - 256 с.

4. Ашманов, С.А. Введение в математическую экономику / С.А. Ашма-нов. М.: Изд-во Наука, 1984. - 296 с.

5. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков М.: Наука, 1987. - 600 с.

6. Вальтух, К.К. Математический и статистический анализ функции потребления / К.К. Вальтух, Н.П. Дементьев, И.А. Ицкович. Новосибирск: Изд-во Наука, 1986. - 167 с.

7. Васильев, Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. М.: Изд-во Наука, 1988. - 549 с.

8. Вратенков, С.Д. Анализ структуры потребительского спроса с помощью экономических индексов / С.Д. Вратенков, А.А. Шананин М.: ВЦ АН СССР, 1991. - 60 с.

9. Вэриан, Хэл Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход /Хэл Р. Вэриан М.: Изд-во Юнити, 1997. - 767 с.

10. Гилл, Ф. Практическая оптимизация: учеб. пособие для вузов / Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт. М.: Изд-во Мир, 1985. - 290 с.

11. Горбунов, В.К. Методы редукции неустойчивых вычислительных задач / В.К. Горбунов. Фрунзе: Изд-во Илим, 1984. - 241 с.

12. Горбунов, В.К. Экстремальные задачи обработки результатов измерений / В.К. Горбунов. Фрунзе.: Изд-во Илим, 1990. - 121 с.

13. Горбунов, В.К. Индексы рационального потребления / В.К. Горбунов // Обозрение прикладной и промышленной математики. Сер. Финансовая и страховая математика М.: Изд-во ТВП, 1997. - Т.4. - Вып.1. - С. 66-85.

14. Горбунов, В.К. Релаксационно-штрафной метод и вырожденные экстремальные задачи / В.К. Горбунов // Докл. АН., 2001. Т.377. - No.5.

15. Горбунов, В.К. Регуляризация нелинейных некорректных задач с параметризованными данными / В.К. Горбунов // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения ; под ред. В.А. Треногина и А.Ф. Филиппова. М.: Физматлит, 2003. - С. 418-447.

16. Горбунов, В.К. Математическая модель потребительского спроса: Теория и прикладной потенциал. / В.К. Горбунов. М.: Изд-во Экономика, 2004. - 174 с.

17. Горбунов, В.К. Особенности агрегирования потребительского спроса /В.К. Горбунов // Журнал Экономической Теории, 2009. No.l. - С. 85-94.

18. Горбунов, В.К. Модель потребительского спроса, основанная на векторном поле предпочтений /В.К. Горбунов // Вестник Московского ун-та. Сер. 6. Экономика. 2009. No 1. С. 67-79.

19. Горбунов, В.К. Аналитические индексы потребления: история и перспективы / В.К. Горбунов // Труды РЭК-2009. Тем. конф. "Теория игр, эконометрика, фин. математика". Сессия "Индексы и проблемы агрегирования" Электронный ресурс].

20. Горбунов, В.К. Построение и исследование квазиинвариантных индексов потребления / В.К. Горбунов, JT.A. Козлова // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. No.3(19). - С. 120127.

21. Гранберг, А.Г. Математические модели социалистической экономики / А.Г. Гранберг. М.: Экономика, 1978.

22. Гребенников, В.А. Обобщенный непараметрический метод: закон спроса в задачах прогнозирования / В.А. Гребенников, А.А. Шананин // Матем. моделирование, 2008. Т.20. - No.9. - С. 34-50.

23. Джордж, А. Численное решение больших разрежцнных систем уравнений / А. Джордж, Дж. JIio. М.: Мир, 1984. - 333 с.

24. Емцов, Р.Г. Микроэкономика / Р.Г. Емцов, М.Ю. Лукин. М: Изд-во ДИС, 1997. - 320 с.

25. Еремин, И. И. Противоречивые модели оптимального планирования / И.И. Еремин. М: Наука, 1988. - 160 с.

26. Ершов, Э.Б. Индексы цен и количеств Фишера и Монтгомери как индексы Дивизиа / Э.Б. Ершов // Экономика и мат. методы, 2003. т.39. - No.2. - С. 136-154.

27. Есипов, В.Е. Цены и ценообразование: Учебник для вузов / В.Е. Еси-пов. СПб.: Изд-во Питер, 2001. - 464 с.

28. Зоркальцев, В.И. Индексы цен и инфляционные процессы /В.И. Зор-кальцев. Новосибирск: Наука, 1996. 316 с.

29. Зоркальцев, В.И. Проблемы агрегирования в экономике: есть ли логическая совместимость микроэкономики и макроэкономики?: препринт / В.И. Зоркальцев. Иркутск: Изд-во СЭИ СО РАН, 1997. - 51 с.

30. Зуховицкий, С.И. Линейное и выпуклое программирование / С.И. Зу-ховицкий, Л.И. Авдеева. М.:Наука, 1967. - 460 с.

31. Иванилов, Ю.П. Математическое моделирование в экономике / Ю.П. Иванилов, А.В. Лотов. М.: Наука, 1979. - 304 с.

32. Интрилигатор, М. Математические методы оптимизации и экономическая теория / М. Интрилигатор. М.: Прогресс, 1975. - 597 с.

33. Кевеш, П. Теория индексов и практика экономического анализа / П.Кевеш. М.: Финансы и статистика, 1990. - 303 с.

34. Ковалевский, Г.В. Индексный метод в экономике /Г.В. Ковалевский. -М.: Финансы и статистика, 1989. 239 с.

35. Козлова, JI.A. Опыт применения квазиинвариантных индексов потребления / JI.A. Козлова // Журнал Экономической Теории, 2009. No.2.- С. 276-279.

36. Конюс, А.А. Проблема истинного индекса стоимости жизни / А.А. Ко-нюс // Экономика и математические методы, 1989 (1924, переиздание).- No.3. Т.25. - С. 435-444.

37. Кулицкий, А.Е. Решение систем Африата обратной задачи рационального потребления / А.Е. Кулицкий // Труды 12-ой Байкальской межд. конф. "Методы оптимизации и их приложения". Т.З "Математическая экономика". - Иркутск, 2001.

38. Леонтьев, В. Экономические эссе. Теории, исследования, факты и политика / В. Леонтьев. М.: Политиздат, 1990. - 415 с.

39. Лотов, А.В. Введение в экономико-математическое моделирование /А.В. Лотов. М.: Наука, 1984. - 498 с.

40. Обследование бюджетов домашних хозяйств (2003-2007) электронный ресурс]: база данных. Режим доступа: http://www.infostat.ru, свободный. - Загл. с экрана.

41. Ортега, Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболдт. М.:Мир, 1975. - 558 с.

42. Основные показатели обследования бюджетов домашних хозяйств Ульяновской области за 2004-2007 годы: стат.сб. Ульяновск: Росстат, 2008.

43. Поспелова, Л.Я. Анализ торговой статистики Москвы 1992-1993 г.г. с помощью непараметрического метода / Л.Я. Поспелова, А.А. Шана-нии. М.: Изд-во ВЦ РАН, 1995. - 36 с.

44. Поспелова, Л.Я. Анализ торговой статистики Нидерландов 1951-1977г.г. с помощью обобщенного непараметрического метода / Л.Я. Поспелова, А.А. Шананин. М.: Изд-во ВЦ РАН, 1998. - 160 с.

45. Поспелова, Л.Я. Показатели нерациональности потребительского поведения и обобщенный непараметрический метод / Л.Я. Поспелова, А.А. Шананин // Матем. моделирование, 1998. Т. 10. - No.4. С. 105116.

46. Потребление продуктов питания домашних хозяйств за 2007 год. (по итогам обследования бюджетов домашних хозяйств): экспресс-информация Ульяновск: Ульяновскстат, 2008. - 2 с.

47. Пшеничный, Б.Н. Численные методы в экстремальных задачах / Б.Н. Пшеничный, Ю.М. Данилин. М.: Наука, 1975. - 319 с.

48. Регионы России. Социально-экономические показатели.: стат.сб. М.: Росстат, 2001.

49. Регионы России. Социально-экономические показатели.: стат.сб. -М.:Росстат, 2005.

50. Романовский, И.В. Алгоритмы решения экстремальных задач / И.В. Романовский. М.: Наука, 1977. - 352 с.

51. Руководство по индексу потребительских цен: теория и практика. -Вашингтон: Международный валютный фонд, 2007г. 679 с.

52. Слуцкий, Е.Е. К теории сбалансированного бюджета потребителя / Е.Е.Слуцкий // Народнохозяйственные модели: теоретич. вопросы потребления М.: Изд. АН СССР, 1963 (1915). - С. 241-277.

53. Среднедушевое потребление продуктов питания, килограмм, Российская Федерация, значение показателя за год Электронный ресурс]: база данных. Режим доступа: http://www.infostat.ru, свободный. -Загл. с экрана.

54. Средние потребительские цены на основные виды товаров и услуг по РФ Электронный ресурс]: динамические таблицы. Режим доступа: http://www.gks.ru, свободный. - Загл. с экрана.

55. Средние потребительские цены на отдельные виды товаров и услуг по субъектам РФ (с 2003 г.) Электронный ресурс]: динамические таблицы. Режим доступа: http://www.gks.ru, свободный. - Загл. с экрана.

56. Тихонов, А.Н. О задачах с неточно заданной исходной информацией /

57. A.Н. Тихонов //Докл. АН СССР, 1985. Т.280. - No.3. - С. 559-562.

58. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов,

59. B.Я. Арсенин. М.: Наука, 1986. - 286 с.

60. Шананин, А.А. Исследование условий интегрируемости экономических показателей: автореф. дис. . д.ф.м.н. / А.А. Шананин. М.: ВЦ РАН, 1992.

61. Шананин, А.А. Непараметрические методы анализа структуры потребительского спроса / А.А. Шананин // Математические моделирование, 1993. Т.5. - No.9. - С. 3-17.

62. Хикс, Дж. Р. Стоимость и капитал / Дж. Р. Хикс. М.: Прогресс, 1993. - 488 с.

63. Черемных, Ю.Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень / Ю. Н. Че-ремных. М.: Инфра-М, 2008. - 844 с.

64. Черников, С.Н. Линейные неравенства. / С.Н. Черников. М.: Наука, 1968. - 488 с.

65. Экономическое положение Ульяновской области в 2004 г.: стат.сб. -Ульяновск: Изд-во Росстата, 2005. 405 с.

66. Экономическое положение Ульяновской области в 2005 г.: стат.сб. -Ульяновск: Изд-во Росстата, 2006. 391 с.

67. Экономическое положение Ульяновской области в 2006 г.: стат.сб. -Ульяновск: Изд-во Росстата, 2007. 413 с.

68. Экономическое положение Ульяновской области в 2007 г.: стат.сб. -Ульяновск: Изд-во Росстата, 2008. 483 с.

69. Afriat, S.N. The construction of utility functions from expenditure data / S.N. Afriat //International Economic Review, 1967. V.8. - No.l - P. 67-77.

70. Afriat, S.N. On a system of inequalities on demand analysis: an extension of the classical method / S.N. Afriat //International Economic Review, 1973. No.14.

71. Allen, R.G.D. The economic theory of index numbers / R.G.D. Allen // Economica, New Series, 1949. V.16. - No.63. - P. 197-203.

72. Bridges, D.S. Representationsof Preferences Orderings / D.S. Bridges, G.B. Mehta Berlin: Springer - Verlag, 1995.

73. Chipman, J.S. Agregation and estimation in the theory of demand / J.S. Chipman // History of Political Economy, 2006. V.38. - P. 106-125.

74. Diewert, W.E. Afriat and revealed preference theory / W.E. Diewert // Review of Economic Studies, 1973. V.40. - P.419-425.

75. Diewert, W.E. Cost of Living Indexes and Exact Index Numbers / W.E. Diewert // Discussion Paper 09-06, Depart. Econ., Univ. British Columbia, 2009.

76. Fostel, A. Two new proffs of Afriats Theorem / A. Fostel, H. Scarf, M. Todd // Economic Theory, 2004. V.24.

77. Geary, R.C. A note on "A constant-utility index of the cost of living"/ R.C. Geary // The Review of Economic Studies, 1951. V.18. - No.l. - R 65-66.

78. Gorman, W.M. Community preference fields. / W.M. Gorman // Econometrica. 1953. V.21. - P.63-80.

79. Hildenbrand, W. On the "Low of demand"/ W. Hildenbrand // Econometrica. 1983. V.51. - No.4 - P.997-1019.

80. Houtman, M. Nonparametric consumer and producer analysis: Thesis, Maastricht: Univ. of Limburg, 1995.

81. Hugo F.Sonnenschein. Электронный ресурс]. Режим доступа: http://cepa.newschool.edu/het/profiles/sonnens.htm, свободный. - Загл. с экрана.

82. Kirman, А.P. Whom or what does the representative individual represent? / A.P. Kirman // J. Econ. Perspectives. 1992. V.6. - No.2. - P.117-136.

83. Koo, A.Y.C. An Empirical Test of revealed preference Theory / A.Y.C. Koo. // Econometrica, 1963. V.31. - P.646-664.

84. Mas-Colell, A. Microeconomic Theory / A. Mas-Colell, M. Whinston, J. Green. New York: Oxford University Press, 1995.

85. Samuelson, P.A. Invariant economic index numbers and canonical duality: survey and synthesis / P.A. Samuelson, S. Swamy // The American Economic Review, 1974. V. 64. - No.4. - P. 566-593.

86. Triplett, J.E. Should the Cost-of-Living Index Provide the Conceptual Framework for a Consumer Price Index? / J.E. Triplett // The Economic Journal, 2001. V. 111. - P. 311-334.

87. Varian, H. The nonparametric approach to demand analysis / H. Varian // Econometrica, 1982. V.50. - P. 945-973.

88. Varian, H. Non-parametric tests of consumer behaviour / H. Varian // The Review of Economic Studies, 1983. V.50. - P. 99-110.