Алгоритмы глобальной оптимизации функций в пространстве непрерывных переменных при наличии ограничений-неравенств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Кузнецов, Алексей Владимирович

• Кузнецов, Алексей Владимирович
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Кузнецов, Алексей Владимирович

Содержание.

Введение.

Общие сведения о диссертации.

Краткий анализ подходов к решению задачи глобальной оптимизации.

Выводы.

1 Алгоритмы на допустимых пробных точках.

1.1 Базовый алгоритм безусловной глобальной оптимизации методом усреднения координат.

1.2 Генераторы последовательностей равномерно распределенных точек

1.3 Алгоритм глобальной оптимизации при ограничениях-неравенствах.

1.4 Примеры.

1.5 Свойства алгоритма и влияние параметров на качество его работы.

1.6 Алгоритм поиска главных экстремумов.

Выводы.

2 Алгоритмы глобальной оптимизации при ограничениях-неравенствах с использованием штрафных функций.

2.1 Прямая свертка ограничений в штрафную функцию.

2.2 Формирование штрафной функции с использованием относительных значений оптимизируемой функции и ограничений.

2.3 Примеры.

2.4 Свойства алгоритма и влияние параметров на качество его работы.

Выводы.

3 Прямой алгоритм глобальной оптимизации при ограничениях-неравенствах

3.1 Прямой алгоритм учета ограничений.

3.2 Примеры.

3.3 Свойства алгоритма и влияние параметров на качество его работы.

Выводы.

4 Программный пакет глобальной оптимизации «Global Optimizer vl.O».

4.1 Общее описание.

4.2 Требования к ресурсам.

4.3 Математическое ядро и модуль исследования. ф 4.4 Методика проведения интерактивных исследований.

4.5 Методика проведения пакетных исследований.

4.6 Методика конструирования специальных программных стендов.

Выводы.

5 Решение практических задач.

5.1 Поиск оптимальных параметров эллипсов, аппроксимирующих произвольный контур.

5.2 Поиск оптимального решения задачи распределения штатов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы глобальной оптимизации функций в пространстве непрерывных переменных при наличии ограничений-неравенств»

Актуальность работы

Методы оптимизации присутствуют практически на всех этапах системного анализа, а так же в системах поддержки принятия решений. Оптимизация находит широкое применение в науке, технике, бизнесе и во многих других практических областях деятельности человека. Это могут быть задачи: проектирования, распределения ограниченных ресурсов, расчета траектории движения объекта, идентификации параметров и т. д. Словом, такие задачи возникают везде, где необходимо получить наилучший результат целевой функции в допустимой области, задаваемой множеством некоторых ограничений-неравенств. Целевая функция может быть многоэкстремальной, разрывной, не-дифференцируемой, а также может быть искажена помехой.

В настоящее время наиболее развиты теория и методы локальной оптимизации, которые в основном опираются на использование информации о производных функции качества. Задачи из реальной жизни этими методами зачастую не разрешимы, так как очень часто функция качества является многоэкстремальной и (или) информацию о ее производных невозможно получить (для разрывных или не дифференцируемых функций). Имеется острая практическая необходимость в синтезе достаточного универсальных алгоритмов для решения задач глобальной оптимизации, опираясь лишь на измерение или вычисление функции качества.

В связи с бурным развитием вычислительной техники в последнее десятилетие становятся все более актуальными различные численные методы оптимизации, так как происходит значительное удешевление вычислительных мощностей, что позволяет использовать современные алгоритмы оптимизации для более точного решения ряда проблем, для которых ранее было возможно лишь получение лишь грубого решения. В настоящее время параллельные и векторные суперкомпьютеры рассматриваются как один из основных инструментов для проведения исследований в различных научных и прикладных дисциплинах. Современные многопроцессорные компьютеры перестали быть редкостью, и последние исследования в оптимизации принимают во внимание архитектурные особенности современных компьютеров, на которых эти алгоритмы предполагается реализовать.

Во многих современных системах поддержки принятия решений для технологических систем многоэкстремальность имеет широкое распространение, например, в работах [11, 12] отмечено, что при оптимизации химико-технологических систем многоэкстремальность является если не типичным, то, во всяком случае, достаточно часто встречающимся на практике моментом. Причины носят как математический, так и физический характер. Уже при самых простых моделях химико-технологических систем из-за перемножения расходов на концентрации образуются билинейные члены, а последние, как известно, являются потенциальным источником многоэкстремальности. С другой стороны, наличие обратных связей по веществу и теплу также часто приводит к множественности стационарных состояний, которые также могут быть причиной появления локальных экстремумов. Аналогичными свойствами обладают и другие технологические системы.

Устойчивый рост интереса исследователей - практиков к методам глобальной оптимизации в последние годы показан в работе [8], объясняемый тем, что классические методы поиска оптимума оказываются неэффективными при решении сложных многокритериальных задач (например, для оптимизации химико-технологических систем). На рисунке 1 представлен рост числа публикаций в базе данных INSPEC содержащих слова «global optimization» в заголовке с 1967 по 2000 года. Сеть STN International (The Scientific and Technical Information Network) представляет собой международную негосударственную форму сотрудничества трех крупнейших производителей вторичной научно-технической информации и образована ведущими производителями: Chemical Abstracts Service (США), Fachinformationszentrum Karlsruhe (Германия) и JST (Япония). INSPEC - крупнейшая база данных научной сети STN International с информацией по физике, электротехнике, техническим наукам, компьютеризации управления, ведущаяся с 1969 г. Приводимые данные показывают динамику роста интереса исследователей-практиков к теме глобальной оптимизации. Таким образом, новые, эффективные, универсальные и простые в эксплуатации алгоритмы глобальной оптимизации будут востребованы в индустрии.

Рисунок 1. Количество публикаций, содержащих словосочетание «global optimization» в заголовке, по годам ш Публикаций

1967

1970

1998

2000

Проблема глобальной оптимизации относится к классу сложных и до сих пор полностью не разрешенных проблем. Хотя уже и существуют определенные результаты в этой области, но высокоэффективных, быстро сходящихся, простых по своей структуре, помехоустойчивых, не требующих сложной настройки параметров и понятных конечному пользователю алгоритмов очень мало. Как отмечает в своей работе [24] А. А. Красовский «.вполне удовлетворительные методы решения многоэкстремальных многомерных задач с неизвестной априори топологией целевых функций до настоящего времени отсутствуют.».

В статье А. И. Каплинского и А. И. Пропоя [20, с. 55] написано: «Методы решения экстремальных задач к настоящему времени достаточно хорошо разработаны. Однако эти методы в основном ориентированы на решение "хороших" задач (выпуклых, гладких, детерминированных) и основаны на использовании локальной информации (типа "градиент в точке"). Принципиальная черта "плохих" экстремальных задач (невыпуклых, негладких, недетерминированных) состоит в том, что они требуют нелокальной информации в процессе их решения. Общим путем введения нелокальности является рандомизация исходной задачи».

В свете всего выше сказанного синтез простых, эффективных и практически реализуемых алгоритмов глобальной оптимизации (особенно при наличии ограничений) представляется весьма актуальной задачей.

Цель работы

Целью данной диссертационной работы является синтез и анализ новых алгоритмов глобальной оптимизации функций непрерывных переменных при наличии ограничений-неравенств, на основе метода усреднения координат, позволяющего напрямую использовать инверсные характеристики.

Новые научные результаты диссертации

Разработаны и исследованы новые программные алгоритмы глобальной оптимизации (основанные на методе усреднения координат) при наличии ограничений-неравенств:

1. Алгоритм на допустимых пробных точках [3, 25].

2. Алгоритм поиска главных экстремумов [30].

3. Алгоритм с использованием двух видов свертки ограничений в штрафную функцию: прямая свертка и свертка в относительных величинах [26].

4. Алгоритм прямого учета ограничений в ядрах процедуры усреднения координат [27].

Часть результатов, полученных автором в диссертации, вошли в монографию А. И. Рубана [45], в которой содержатся ссылки на публикации автора.

Теоретическая значимость

Построенные высокоэффективные алгоритмы глобальной оптимизации при наличии ограничений-неравенств открывают путь к созданию новых более эффективных модификаций алгоритмов. К последним относятся алгоритмы, более экономно использующие пробные точки, полученные при совершении предыдущих рабочих шагов, а также алгоритмы с другими сочетаниями пробных и рабочих движений, вплоть до их совмещения.

Показана высокая эффективность алгоритмов на представительном наборе сложных тестовых функций и двух реальных задачах. Все результаты представленные в диссертации являются практическим подтверждением теоретических выкладок в монографии [45].

Практическая значимость

На основе предложенных в диссертации алгоритмов, а также серии алгоритмов, представленных в работе [45] для других классов задач глобальной оптимизации, разработан исследовательский программный пакет «Global Optimizer vl.O». При этом создана методология конструирования программных алгоритмов глобальной оптимизации, разработаны способы исследования влияния параметров алгоритмов на качество их работы.

Полученные в диссертационной работе рекомендации по выбору типа алгоритма и подбору его параметров позволяют обычным пользователям, не владеющим теорией глобальной оптимизации, решать с помощью разработанного программного пакета «Global Optimizer vl.O» различные сложные задачи, возникающие в реальной практике. В рамках диссертационной работы решено две практические задачи (подбор оптимальных параметров эллипсов аппроксимирующих произвольный контур и поиск оптимального решения задачи распределения штатов), которые подробно описаны в пятом разделе.

Полученные результаты используются в учебном процессе Красноярского государственного технического университета и Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М.Ф. Решетнева при изучении курсов: «Методы оптимизации», «Методы анализа данных» и «Компьютерный статистический анализ данных».

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, 2 приложений и

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Кузнецов, Алексей Владимирович

Результаты работы алгоритмов приведены на рисунках 5.2.6 и 5.2.7. Как видно из рисунков, алгоритм с использованием штрафной функции отыскивает чуть лучшее решение, но за большее количество шагов, чем алгоритм прямого учета ограничений.

320

310-1

I Д'-f )

1 ч ^ ч.

345 340 335 330

325-■

320

315 Г 1 )

I--M-MH >ш

0 5 10 15 20 25

Рисунок 5.2.6. Изменение по итерациям функции (5.2.1) при оптимизации алгоритмом с использованием свертки (2.2.4)

0 5 10 15 20

Рисунок 5.2.7. Изменение по итерациям функции (5.2.1) при оптимизации прямым алгоритмом (3.1.1)

Время работы обоих алгоритмов при указанных выше настройках на компьютере класса Pentium III 1000 MHz примерно 5 секунд.

Заключение

Разработаны и исследованы новые программные алгоритмы глобальной оптимизации (основанные на методе усреднения координат) при наличии ограничений-неравенств:

1. Алгоритм на допустимых пробных точках [3, 25].

2. Алгоритм поиска главных экстремумов [30].

3. Алгоритм с использованием двух видов свертки ограничений в штрафную функцию: прямая свертка и свертка в относительных величинах [26].

4. Алгоритм прямого учета ограничений в ядрах процедуры усреднения координат [27].

Разработан программный пакет «Global Optimizer vl.O» [33], позволяющий детально исследовать свойства алгоритмов оптимизации и решать задачи:

• Безусловной глобальной оптимизации. ф • Условной глобальной оптимизации при наличии ограниченийнеравенств.

• Условной глобальной оптимизации при наличии ограничений равенств.

• Условной глобальной оптимизации при наличии ограничений-неравенств и равенств одновременно.

• Решения систем уравнений, с возможностью добавления ограничений-неравенств.

• Минимаксной глобальной оптимизации, с возможностью добавления ограничений-неравенств.

Ш • Глобальной многокритериальной оптимизации, с возможностью добавления ограничений-неравенств.

• Поиска главных экстремумов, с возможностью добавления ограничений-неравенств.

Проведены исследования влияния параметров предложенных алгоритмов на качество их работы.

Разработана методика конструирования специальных программных стендов для решения задач, у которых целевая функция задается алгоритмически.

Результаты оптимизации представительного множества тестовых функций и двух реальных задачах подтвердили высокую эффективность разработанных алгоритмов.

По результатам проделанной работы намечены пути дальнейшего развития разработанного программного пакета «Global Optimizer vl.O». Разработка алгоритмов более экономно использующих пробные точки (путем сохранения точек с предыдущих итераций). Разработка новых стратегий учета ограничений (перемещение по кратчайшему пути в допустимую область точек попавших в недопустимую область). Разработка кластерных версий алгоритмов для эффективной оптимизации задач большой размерности. Обобщение накопленного опыта оптимизации различных классов задач в виде добавления элементов экспертной системы, которая будет позволять пользователям, не владеющим высокой квалификацией в оптимизации, эффективно решать свои прикладные задачи.

Таким образом, в данной диссертации решены поставленные задачи и намечены пути для дальнейших исследований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Кузнецов, Алексей Владимирович, 2006 год

1. Goldberg, D. Е. Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning. Reading. / D. E. Goldberg. Massachusetts: Addison-Wesley, 1989.

2. Holland, J. H. (1992). Adaptation in Natural and Artificial Systems. / J. H. Holland. Cambridge, MA: MIT Press, 1992 (2nd edition).

3. Rouban, A. I. Simulation Methods of Test Multiextreme Functions of Continuous Arguments / A. I. Rouban // Advances in Modeling & Analysis: Series C. System Analysis; Control & Design; Simulation; CAD. France: A.M.S.E. 2002. Vol. 57. № 6. P. 11-30.

4. Schwefel, H. Parallel Problem Solving from Nature / H. Schwefel, R. Maenner // Proc. 1st Workshop PPSN, Berlin: Springer.

5. Алексеев, В. И. Субоптимальные рекуррентные алгоритмы оценивания в системах навигации / В. И. Алексеев // Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника. 1987. Т. 30. № 3. С. 34-39.

6. Алексеев, В. И. Экстремальная радионавигация / В. И. Алексеев, А. М. Ко-риков, Р. И. Полонников, В. П. Тарасенко. М.: Наука, 1978. 280 с.

7. Букатова, И. JI. Эволюционное моделирование и его приложения. / И. JL Букатова. М.: Наука, 1979.

8. Букатова, И. JI. Эвроинформатика: теория и практика эволюционного моделирования. /И. JI. Букатова, 10. И. Михасев, А. М. Шаров. М.: Наука, 1991.

9. Волин, Ю. М. Оптимизация технологических процессов в условиях недостаточной экспериментальной информации на этапе функционирования / Ю. М. Волин, Г. М. Островский // Автоматика и телемеханика. 2005. №8.ф С. 3-21.

10. Гергель, В. П. АБСОЛЮТ. Программная система для исследований и изучения методов глобальной оптимизации. Учеб. пособие / В. П. Гергель, Р. Г. Стронгин. Изд-во Нижегородского университета, 1998. 141 с.

11. Гради, Б. Объектно-ориентированный анализ и проектирование с примерами на С++ / Б. Гради. 2-е изд. Пер. с англ. М.: «Издательство Бином», СПб: «Невский диалект», 1998.

12. Дивногорцев, Д. И. Поиск главных минимумов многоэкстремальных функ-# ций / Д. И. Дивногорцев // Вестник Красноярского гос. техн. ун-та. Информатика, вычислительная техника, управление. Вып. 10. Красноярск: Изд-во КГТУ, 1997. С. 19-22.

13. Еремин, И. И. Современные проблемы теории оптимизации / И. И. Еремин, А. И. Кибзун // Автоматика и телемеханика. 2004. №8. С. 3.

14. Живоглядов, В. П. Непараметрические алгоритмы адаптации. / В. П. Живо-глядов, А. В. Медведев. Фрунзе: Илим, 1974. 134 с.

15. Жилинскас, А. Поиск оптимума: компьютер расширяет возможности /

16. A. Жилинскас, В. Шалтянис. М.: Наука, 1989. 128 с.

17. Ш 19. Иванов, М.В. Программная реализация алгоритма генерации ЛПт последовательностей / М.В. Иванов // Информатика и процессы управления: Межвузовский сб. науч. ст. Красноярск: КГТУ, 1995. С. 125-130.

18. Каплинский, А. И. Методы нелокальной оптимизации, использующие теорию потенциала / А. И. Каплинский, А. И. Пропой // Автоматика и телемеханика. 1993. № 7. С. 55-65.

19. Катковник, В.Я. Линейные оценки и стохастические задачи оптимизации /

20. B. Я. Катковник // Изв. вузов. Физика. 1995. Т.38. №9. С.65-73.

21. Кнут, Д. Э. Искусство программирования, том 2. Получисленные алгоритмы129

22. Д. Э. Кнут. М. Изд. Дом «Вильяме», 2000.

23. Краеовекий, А. А. Непрерывные алгоритмы и стохастическая динамика поиска экстремума / А. А. Красовский // Автоматика и телемеханика. 1991. № 4. С. 55-65.

24. Красовский, А. А. Селективно-усреднительный метод решения многоэкс-ф тремальных задач / А. А. Красовский // Автоматика и телемеханика. 1992. №9. С. 117-128.

25. Кузнецов, А. В. Алгоритмы непараметрической поисковой глобальной оптимизации при ограничениях-неравенствах / А. В. Кузнецов // Тезисы IV

26. Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Красноярск 2003, С.78. Режим доступа к полному тексту статьи: http://www.ict.nsc.ru/ws/YM2003/6319/.

27. Кузнецов, А. В. Алгоритмы прямой непараметрической поисковой глобальной оптимизации при ограничениях-неравенствах / А. В. Кузнецов, А. И. Рубан // Информатика и системы управления: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 4. Красноярск: НИИ ИПУ, 1999. С. 134-139.

28. Кузнецов, А. В. Генераторы последовательностей равномерно распределенных точек / А. В. Кузнецов // Информатика и информационные технологии:• Межвуз. сб. науч. тр. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. С. 39-47.

29. Кузнецов, А. В. Новый генератор случайных равномерно распределенных точек / А. В. Кузнецов, А. И. Рубан // Информатика и системы управления. Вып. 10: Межвуз. сб. науч. тр. Красноярск: ГУ НИИ информатики и процессов управления, 2004. С. 5-12.

30. Кузнецов, А. В. Программный алгоритм поиска главных экстремумов / А. В. Кузнецов // Информатика и системы управления. Вып. 10: Межвуз. сб. науч. тр. Красноярск: ГУ НИИ информатики и процессов управления, 2004. С. 3544.

31. Кузнецов, А. В. Программный комплекс непараметрической поисковой гло-ф бальной оптимизации / А. В. Кузнецов // Информатика и информационныетехнологии: Межвуз. сб. науч. тр. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003. С. 144-147.

32. Кузнецов, А. В. Программный пакет глобальной оптимизации «Global Optimizer vl.O» / А. В. Кузнецов, А. И. Рубан // М.Ж ВНТИЦ (№ гос. регистрации 50200500390 от 01.04.2005).

33. Кузнецов, А. В. Разбор и трансляция математических формул / А. В. Кузнецов // Информатика и информационные технологии: Межвуз. сб. науч. тр. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. С. 31-38.

34. Кузнецов, А. В. Разбор и трансляция математических формул / А. В. Кузнецов // http://www.delphikingdom.com/asp/viewi tem.asp?catalogid=l 019

35. Медведев, А. В. Об алгоритмах случайного поиска / А. В. Медведев, И. М. Цикунова // Применение вычислительных машин в системах управления непрерывными производствами / Сб. статей. Фрунзе: Изд. «Илим», 1976. С. 81-92.

36. Наумов, А. И. Селективно-усреднительный метод поиска глобального экстремума в задачах оптимизации движения динамических объектов / А. И. Наумов, И. Е. Шелковенков // Изв. РАН. Теория и системы управления.• 1996. №6.

37. Пачеко, К. Delphi 5. Руководство разработчика в 2-х томах. / К. Пачеко, С. Тейксейра. СПб.: Издательский дом «Вильяме», 2000.

38. Поляк, Б. Т. Введение в оптимизацию / Б. Т. Поляк. М.: Наука, 1983.

39. Пропой, А. И. Возбудимые среды и нелокальный поиск / А. И. Пропой // Автоматика и телемеханика. 1995. №7. С. 162-171.

40. Пропой, А. И. Задачи оптимизации и обучения для нелокального поиска в возбудимых средах / А. И. Пропой // Автоматика и телемеханика. I: 1996. № 1. С. 57-66. II: 1996. № 3. С. 68-81. III: 1997. № 4. С. 54-64.131

41. Пропой, А. И. К теории нелокального поиска. 1. Задачи обучения и оптимизации / А. И. Пропой // Автоматика и телемеханика. 1995. № 2. С. 44-52.

42. Растригин, Л. А. Адаптация сложных систем: Монография / Л. А. Растригин. Рига.: Зинатне, 1981. 375 с.

43. Растригин, Л. А. Статистические методы поиска / J1. А. Растригин. М.: Нау-ф ка, 1968. 376 с.

44. Рубан, А. И. Глобальная оптимизация методом усреднения координат: Монография / А. И. Рубан. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. 302 с.

45. Рубан, А. И. Метод непараметрической оптимизации стохастических объектов / А. И. Рубан // Системы управления: Сб. научных работ. Вып. 1. Томск: Изд-воТГУ, 1975. С. 101-107.

46. Рубан, А. И. Метод непараметрической поисковой глобальной оптимизации / А. И. Рубан // Кибернетика и вуз: Сб. научных работ. Вып. 28. Томск: ТПУ,1994. С. 107-114.

47. Рубан, А. И. Метод непараметрической поисковой оптимизации / А. И. Рубан // Изв. вузов. Физика. 1995. Т. 38. № 9. С. 65-73.

48. Рубан, А. И. Методы анализа данных. Учеб. пособие. 2-е изд. / А. И. Рубан. Красноярск: КГТУ, 2004. 319 с. (С.209-223).

49. Рубан, А. И. Методы оптимизации. Учеб. пособие. 3-е изд. / А. И. Рубан. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. 528 с.

50. Рубан, А. И. Общие схемы построения тестовых многоэкстремальных функций непрерывных переменных. / А. И. Рубан // Информатика и системы

51. Ф управления: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 4. Красноярск: НИИ ИПУ, 1999. С.12.25.

52. Семёнкин, Е. С. Адаптивные поисковые методы оптимизации сложных систем / С. П. Коробейников, Е. С. Семёнкин, О. Э. Семёнкина. Красноярск: СИБУП, 1997. 355 с.

53. Семёнкин, Е. С. Метод обобщенного адаптивного поиска для синтеза систем управления сложными объектами. / Е. С. Семёнкин, В. А. Лебедев. М.: МАКС Пресс, 2002. 320 с.

54. Семёнкин, Е. С. Модели и методы оптимизации систем управления сложны132ми объектами./ Е. С. Семёнкин, В. А. Терсков. Красноярск: СЮИ МВД РФ, 2000.211 с.

55. Стрекаловский, А. С. О локальном и глобальном поиске в невыпуклых задачах оптимизации / А. С. Стрекаловский, Т. В. Яковлева // Автоматика и телемеханика 2004 №3. С. 23-34.

56. Стронгин, Р. Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах / Р. Г. Стронгин. М., Наука, 1978. 240 с.

57. Федоров, П. Е. Применение метода эллиптических оценок при построении географических информационных систем экологического назначения» / П. Е. Федоров. Диссертационная работа на соискание степени кандидата техн. наук. Красноярск 1998. 144 с.

58. Фогель, JI. Искусственный интеллект и эволюционное моделирование. / Л. Фогель, А. Оунэнс, М. Уолш // М.: Мир, 1969.

59. Черноусько, Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. / Ф. Л. Черноусько. М.: Наука, 1988. 319 с.

60. Якунин, 10. Ю. Оптимальное управление формированием штатов профессорско-преподавательского состава вуза, / 10.10. Якунин. Диссертационная работа на соискание степени кандидата техн. наук. Красноярск, 2005.

61. Якунин, Ю. Ю. Модель распределения бюджетных и внебюджетных ресурсов по кафедрам в вузе / М. А. Воловик, В. М. Журавлёв, Ю. Ю. Якунин // Информатика и системы управления: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 9, НИИ ИПУ, Красноярск, 2003. С. 260-266.

62. Якунин, Ю. Ю. Модель распределения ресурсов в вузе / 10.10. Якунин, М. А. Воловик // Информатика и системы управления: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 10, НИИ ИПУ, Красноярск, 2004. С. 101-104.

63. Якунин, Ю. Ю. Показатели эффективности распределения штатов и нагруз133ки на кафедры / Ю. 10. Якунин, М.А. Воловик, A.M. Даничев // Информатика и системы управления: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 10, НИИ ИПУ, Красноярск, 2004. С. 105-113.

64. Якунин, 10. Ю. Показатели эффективности распределения штатов и нагрузки на кафедры электронный ресурс.: тезисы 8-й Московской международф ной телекоммуникационной конференции студентов и молодых ученых /

65. Ю. Ю. Якунин // МИФИ, 2004. Режим доступа к тезисам: http://www.molod.mephi.ru/dir2.asp?rid=23&grid=6

66. Якунин, 10. Ю. Распределение ресурсов с учетом ограничений средней на-# грузки преподавателей на кафедрах / 10. Ю. Якунин, М. А. Воловик // Информатика и системы управления: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 10, НИИ ИПУ, Красноярск, 2004. С. 124-132.