Алгебраическая теория пар Белого тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Дремов, Владимир Александрович

• Дремов, Владимир Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дремов, Владимир Александрович

Введение

Глава 1. Комбинаторные вопросы

1.1. Представления, порядки и методы перебора.

1.2. О перечислении рисунков.

1.3. Деревья заданного комбинаторного типа.

Глава 2. Алгебраические системы и методы их построения

2.1. Деревья заданного комбинаторного типа.

2.2. Обобщенная антивандермондова система.

2.2.1. Основные объекты.

2.2.2. Трансверсальность пересечения в непаразитическом случае.

2.2.3. Об изменении свойств системы при малом изменении параметров

2.2.4. Комбинаторный смысл решений ОАВ.

2.3. Дивизориальные рассмотрения: слои над якобианом

2.4. Случай гиперэллиптических кривых.

2.4.1. Нормировки для гиперэллиптических пар Белого

2.4.2. Инварианты Игузы кривых рода 2.

2.5. Рисунки на неособых квартиках.

2.6. Общая система для пар Белого (в плоской модели кривой)

2.6.1. Исходная постановка

2.6.2. Параметры системы.

2.6.3. Условия гладкости.

2.6.4. Проекция из 'общей' точки (ti : ^ • 1).

Глава 3. Вычисления пар Белого

3.1. Общие вопросы нормировки.

3.1.1. Нормировка торических рисунков.

3.2. Методы редукции

3.3. Конкретные результаты.

3.3.1. Набор валентностей < 5, 5, 3, 3 || 6,6,1,1,1,1 >

3.3.2. Набор валентностей < 5,4 | 3,3,3 | *(д = 0) >.

3.3.3. 3-валентный рисунок с валентностями граней 10,4,2,1,

3.3.4. 3-валентный рисунок с валентностями граней 13,2,1,1,

3.3.5. 3-валентный рисунок с валентностями граней 8,4,3,2,

3.3.6. 3-валентный рисунок с валентностями граней 8,5,2,2,

3.3.7. Набор валентностей < 5, 3 || 7,1 >.

3.3.8. Деревья малых степеней и теорема Везу.

3.3.9. Набор валентностей < 6,6,2,2 || 5,5,2,2,1,1 >

3.3.10. Цикл длины 2 с петлями наружу.

3.3.11. Игра Белого на плоской квартике.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебраическая теория пар Белого»

Актуальность темы диссертации. В 1979 году Г.В.Белый доказал в статье [3] теорему о том, что на любой алгебраической кривой, определённой над полем Q, существует хотя бы одна непостоянная функция с тремя критическими значениями. Более того, существование такой функции - это критерий определённости кривой над Q. Сейчас такие функции с не более чем тремя критическими значениями принято называть функциями Белого.

Определение 1. Пара Белого - это пара, состоящая из полной неприводимой гладкой комплексной алгебраической кривой и рациональной функции на этой кривой, имеющей не более чем три критических значения (функции Белого).

В 1984 году Гротендик ввёл понятие детского рисунка и сформулировал план исследований в своём "Наброске программы" (опубликован в 1997 году [7]).

Определение 2. Детский рисунок — это граф, вложенный в поверхность так, что дополнение к его образу гомеоморфно несвязному объединению открытых дисков.

В данной диссертации всегда рассматриваются, если специально не оговорено обратное, двудольные двукрашенные детские рисунки (см. определение 3). Оказалось, что хотя структура рисунка полностью определяется простыми комбинаторными данными (например, парой перестановок), но в то же время рисунки тесно связаны с парами Белого. С одной стороны, прообразом отрезка комплексной плоскости, соединяющей два критических значения функции Белого, будет детский рисунок. С другой стороны, по рисунку можно построить соответствующую ему пару Белого. На самом деле, эта связь является очень точной. В диссертации [1] Г.Б.Шабат доказал теорему об эквивалентности категории детских рисунков и категории пар Белого с занумерованными критическими значениями (с соответствующим образом введенным понятием морфизма). Существуют точные эквивалентности в следующих двух случаях: во-первых, все пары Белого и двудольные рисунки, во-вторых, все рисунки и пары Белого, у которых все прообразы одного из критических значений являются двукратными. Каждая из этих теорий легко вкладывается в другую. В диссертации рассматривается первый случай.

Таким образом, на каждой арифметически (над Q) определённой кривой есть хотя бы один рисунок. Более того, на каждой такой кривой есть бесконечное количество рисунков, со сколь угодно большим числом рёбер. При этом каждый из рисунков (с точностью до изоморфизма) определяется своими комбинаторными данными, которые могут быть более элементарными и наглядными, чем формулы для кривой. Например, Гротендик начинал свои исследования рисунков независимо от алгебраических кривых и работы Белого. И только потом пришёл к выводу, что рисунки могут помочь в исследовании алгебраических кривых и даже абсолютной группы Галуа.

Таким образом, очень интересно описывать свойства кривых с точки зрения лежащих на них рисунков. Это подводит нас к вполне содержательной проблеме нахождения пары Белого по соответствующему ей рисунку. С вычислительной точки зрения эта лроблема до сих пор далека от полного разрешения. Соответствующие алгебраические системы часто оказываются удобны для анализа с помощью использования специфики детских рисунков. В данном направлении ведутся активные исследования.

Другой важной проблемой, связанной с построением пар Белого, является проблема выбора координат и параметров, которая с одной стороны влияет на сложность системы, а с другой - имеет чисто теоретический аспект, связанный с полями определения и возможностью представить возникающие рациональные функции в форме, определённой над этим полем. Действительно, когда группа Галуа AutQ действует на пару Белого, рисунок может измениться, потому что это действие не является непрерывным в комплексной топологии (за исключением комплексного сопряжения, которое действует отражением, в том числе и на рисунках). Действие группы Галуа даёт нам некоторую орбиту, а также и стабилизатор рисунка. Стандартная конструкция позволяет сопоставить стабилизатору поле, которое и называется полем определения рисунка. Оказывается, что некоторые рисунки удаётся записать с коэффициентами из поля определения, в то время как для других рисунков это оказывается невозможным (в статье [8] приведён пример с полем определения степени 2 и минимальной степенью поля коэффициентов 4).

Цель работы. Работа состоит в построении и исследовании систем уравнений для вычисления пар Белого и создании элементов теории кратностей для таких систем. Проводятся вычисления пар Белого (как конечных, так и бесконечных семейств) в терминах аффинных и проективных систем уравнений, задающих алгебраическую кривую, и отношения многочленов, задающего рациональную функцию на этой кривой.

Основные методы исследования. В работе разработаны следующие подходы: вычисление торических функций Белого с помощью дифференциала Муласе-Пенкавы [9], построение однозначно заданной системы координат для эллиптических и гиперэллиптических пар Белого, теория кратностей и малых окрестностей для системы уравнений, позволяющей вводить рациональные параметры, и задающей плоские детские рисунки специального вида (подробнее см. раздел 2.2., с. 27-32).

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них:

1. Построена учитывающая паразитические решения (подробнее см. раздел 2.2., с. 27) теория кратностей для обобщенной анти-вандермондовой системы уравнений на пары Белого.

2. Приведены несколько систем и подходов к вычислению для пар Белого малых родов.

3. Обоснован способ построения систем для рисунков с произвольными наборами валентностей (в частности, кривых сколь угодно большого рода).

4. Описаны множества детских рисунков и пар Белого для некоторых наборов валентностей.

5. В общей сложности, в работе получены пары Белого для 29 рисунков и 2 серий рисунков.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в работе результаты могут быть использованы в задачах теории детских рисунков Гротендика, а также в её приложениях к теории алгебраических кривых и к теории Галуа. Рассмотрены также связи с теорией штребелевых дифференциалов. Методы, рассмотренные в этой работе, были успешно применены для подсчета многих пар Белого, вошедших в каталог [18].

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах:

1. В. А. Дремов "Вычисление двух пар Белого степени 8"// Успехи математических наук - 2009, том 64, выпуск 3(387), с. 183-184.

2. Н. М. Адрианов, Н. Я. Амбург, В. А. Дремов, Ю. Ю. Кочетков, Е. М. Крейнес, Ю. А. Левицкая, В. Ф. Насретдинова, Г. Б. Шабат "Каталог функций Белого детских рисунков с не более чем четырьмя рёбрами" // Фундаментальная и прикладная математика - 2007, т.13, вып.6, с. 35-112.

В этой работе Дремову Владимиру Александровичу принадлежит раздел 2, а также существенная часть разделов 4-7, а именно: вычисление пар Белого для несимметричных 4-рёберных рисунков рода 1 с двумя гранями (в том числе, 51-60, 64-65, 67-68, 82-85,100), дублирующее вычисление для 4-рёберных рисунков рода 0, отдельные вычисления для других групп рисунков. Также Дремов проводил завершающее упрощение формул и сведение их к единому виду.

3. Б. С. Бычков, В. А. Дремов, Е. М. Епифанов "Вычисление пар Белого шестирёберных рисунков рода 3 с группами автоморфизмов порядков 12 и 3" // Фундаментальная и прикладная математика - 2007, т.13, вып.6, с. 137-148.

В этой работе Дремову Владимиру Александровичу принадлежит раздел 3, содержащий утверждение 3.1 про факторизацию по группе автоморфизмов в категории детских рисунков.

4. В. А. Дремов "Вычисление двух пар Белого"// Депонировано в ВИНИТИ 29.04.09 N 267В2009, МГУ. - М., 2009.

5. Дремов В.А. "Об одном семействе обобщенных многочленов Че-бышева" // конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения": Тезисы докладов. - Тула, 2003.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на семинаре "Графы на поверхностях и кривые над числовыми полями" и на "Научно-исследовательском семинаре по алгебре" кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ им. Ломоносова, на докладе в ПОМИ (Санкт - Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова), на Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию МГУ им. М.В. Ломоносова и 75-летию кафедры высшей алгебры (Москва, 2004), на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (Москва, 2008) и на международной конференции "The Grothendieck-Teichmiiller Theory of Dessins d'Enfants" (Edinburgh, 2008).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх основных глав и списка литературы. Каждая из глав в свою очередь разбита на разделы и подразделы. Полный объём диссертации - 81 страниц, библиография включает в себя 22 наименования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дремов, Владимир Александрович, 2010 год

1. Г.Б.Шабат "Комбинаторно-топологические методы в теории алгебраических кривых" (диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук), М., 1998

2. Jun-ichi Igusa "Arithmetic variety of moduli for genus two" // Ann.Math. Vol. 72, No. 3, Nov. 1960, p. 612-649

3. Г. В. Белый "О расширениях Галуа максимального кругового поля" // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1979, 43:2, р. 267-276

4. Г. Б. Шабат "Мнимо-квадратичные решения антивандермондо-вых систем с 4 неизвестными и орбиты Галуа деревьев диаметра 4" // Фундамент, и прикл. матем., 2003, 9:3, р. 229-236

5. Kochetkov Yu. "Trees of diameter 4" // Proceedings of the 12th International Conference, FPSAC'OO (Formal Power Series and Algebraic Combinatorics), ed. D. Krob, A. A. Mikhalev, A. V. Mikhalev., Springer, 2000, p. 447-475.

6. Gilbert Ames Bliss "Algebraic Functions"; AMS, Colloquium publications, volume XVI; New York 1933

7. Grothendieck A. Esquisse d'un programme //London Math.Soc. Lecture Notes Series-Cambridge: Cambridge Univ.Press., 1997, V.243, p. 3-43

8. Филимоненков В.О., Шабат Г.Б. "Поля определения рациональных функций одного переменного с тремя критическими значениями" // "Фундаментальная и прикладная математика", 1995, т. 1, N3, с.781-799

9. М. Mulase and М. Penkava "Ribbon Graphs, Quadratic Differentials on Riemann Surfaces, and Algebraic Curves Defined over Q"// Asian Journal of Mathematics, Vol 2, number 4, 1998, p. 875-920

10. Е.М.Крейнес "Семейства геометрических паразитических решений систем уравнений на функции Белого рода ноль" // Фундамент. и прикл. матем., том 9, выпуск 1, 2003, с. 103-111

11. S.K.Lando, A.K.Zvonkin "Graphs on Surfaces and their Applications" //Springer, 2004

12. Ж. Серр "Алгебраические группы и поля классов" // изд. Мир, Москва, 1968

13. David Mumford "The Red Book of Varieties and Schemes" // Springer, 1999; Second, Expanded Edition

14. И.Р.Шафаревич "Основы алгебраической геометрии." // том 1, М., 1988

15. А.К. Zvonkin "Matrix integrals and map enumeration : An accessible introduction"// Computers and Mathematics with Applications : Mathematical and Computer Modelling, vol. 26,1997, p. 281-304Работы автора по теме диссертации.

16. В.А.Дремов "Об одном семействе обобщенных многочленов Че-бышева", тезисы доклада на конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", Тула, 2003, с. 98-99

17. А.М.Вашевник, В.А.Дремов "О парах Белого над произвольными полями", "Фундаментальная и прикладная математика", т.12,вып.З, Москва, 2006, с. 3-8

18. Борис Бычков, Владимир Дремов, Евгений Епифанов "Вычисления пар Белого шестиреберных рисунков рода 3 с группами автоморфизмов порядков 12 и 3". //Фундаментальная и прикладная математика 2007, том 13, выпуск 6, с. 137-148

19. В.А.Дремов "Антивандермондова система и функции с 3 критическими значениями", тезисы докладов на коференции, посвященной 100-летию Куроша, 2008, с. 85-86

20. В. А. Дремов "Вычисление двух пар Белого степени 8"// Успехи математических наук 2009, том 64, выпуск 3(387), с. 183-184.

21. В. А. Дремов "Вычисление двух пар Белого"// Депонировано в ВИНИТИ 29.04.09 N 267В2009, МГУ. М., 2009, 18 стр.