Симметрии графов на поверхностях и алгебраические кривые тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Амбург, Наталья Яковлевна

• Амбург, Наталья Яковлевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Амбург, Наталья Яковлевна

0 Введение

1 Основные категории

1.1 Двукрашенные рисунки.

1.1.1 Категория детских рисунков.

1.1.2 Категория неособых обобщенных детских рисунков

1.1.3 Категория обобщенных детских рисунков.

1.1.4 Морфизмы на сферу Белого

1.2 Категории конечных Ъ * Ъ - множеств.

1.3 Функтор САКТОО.

1.4 Функтор VIIАУ^.

1.5 Категории пар Белого.

1.6 Функтор ВЕСУX.

1.7 Функтор ОКОТИ.

1.8 Функтор ММТ>.

1.9 Эквивалентность категорий

2 Детские рисунки с циклическими группами симметрий и кривые Вейля

2.1 Правильные одноклеточные рисунки.

2.1.1 Склейки 2п-угольника.

2.1.2 Перечисление правильных одноклеточных рисунков

2.2 Правильные рисунки с циклической группой симметрии

2.2.1 Кривые Вейля.

2.2.2 Функции Белого на кривых Вейля.

2.3 Рисунки на кривых Вейля

2.3.1 Описание детского рисунка £>(п,р, д).

2.3.2 Реализация детского рисунка некоторой парой

Белого.

2.4 Реализация правильных детских рисунков с группой автоморфизмов Z/nZ на кривых Вей ля

2.5 Бирациональные изоморфизмы кривых Вей ля.

2.6 Изоморфизмы кривых Вей ля рода один.

3 Конструкции штребелевых дифференциалов

3.1 Определения.

3.2 Действительное семейство мероморфных штребелевых пар на эллиптических кривых.

3.3 Пример штребелева дифференциала на кривой Вейля рода

7 = 3.

3.3.1 Кривые и отображения.

3.3.2 Голоморфный штребелев дифференциал на кривой рода д = 3.

Глава О Введение

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Симметрии графов на поверхностях и алгебраические кривые»

Детские рисунки - это конструкция, сочетающая в себе и двумерные поверхности и комбинаторику. Детский рисунок - это двумерная поверхность и граф, вложенный в нее, так что дополнение к нему - это несвязное объединение открытых дисков. Гротендик назвал графы рассматриваемого вида детскими рисунками (dessins d'enfant) за то, что они похожи на то, что ребенок рисует, не отрывая карандаша. В дальнейшем это название стало общепринятым. Эта, казалось бы, простая конструкция находится теперь на стыке различных разделов теоретической физики и математики. Детские рисунки связывают между собой алгебраическую геометрию, теорию чисел, теорию римановых поверхностей, теорию струн и т.д. В матричных моделях корреляторы вычисляются в терминах количеств специальных детских рисунков [30, 36]. Существует несколько параметризаций пространств модулей алгебраических кривых Мдп использующих детские рисунки [33, 20, 50].

Возникает множество естественных задач, связанных с детскими рисунками. Многие из них оказываются достаточно трудными.

Пара: алгебраическая кривая и функция на ней с тремя критическими значениями, называется парой Белого. Прообраз отрезка, соединяющего два критических значения - это детский рисунок. Для каждого детского рисунка есть реализующая его пара Белого. Г. В. Белый в своей работе [9] показал, что на любой кривой над полем алгебраических чисел есть функция с тремя критическими значениями. Задача построения пар Белого для некоторых частных случаев решена [3, 27, 31, 46, 52, 53]. Но проблема определения свойств кривой по комбинаторным свойствам рисунка на данный момент далека от решения. Начиная со второй половины восьмидесятых годов, раздел алгебры, посвященный изучению кривых над числовыми полями, рациональных функций с необщим числом критических значений и детских рисунков Гротендика, активно развивается. Современный уровень развития теории нашел отражение в печатных работах в центральных математических журналах, в ряде обзоров, в специальных сборниках [56, 57], в работе международных конференций.

Одна из основных идей программы Гротендика — это кодировка комплексной структуры комбинаторным образом. Конструкции, связанные со штребелевыми дифференциалами, также реализуют эту идею. Штре-белеву дифференциалу на кривой соответствует склеивание поверхности из прямых цилиндров. Существует параметризация Концевича пространства модулей Л45)7, использующая как детские рисунки, так и штре-белевы дифференциалы. В работах [32, 48] рассматриваются общие подходы к теории штребелевых дифференциалов. Примеры мероморфных штребелевых дифференциалов дает, например, конструкция Концевича.

Таким образом, тема работы представляется актуальной и активно разрабатываемой современными математиками.

Цель работы состоит в развитии основных идей программы Гро-тендика. А именно: обобщение понятий детский рисунок и пара Белого на случай приводимых и особых кривых, построение пар Белого для правильных детских рисунков с циклической группой симметрии, и применение техники детских рисунков к построению штребелевой пары на кривой рода 3 с большой группой симметрии.

Основные методы исследования. В работе используются методы и результаты теории детских рисунков, теории графов, перечислительной комбинаторики, теории групп , теории Галуа, римановых поверхностей, теории комплексных алгебраических кривых, теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них:

• Распространение понятий детского рисунка и пары Белого на приводимые и особые кривые

• Описание функторов, связывающих категории обобщенных детских рисунков, пар Белого на кривых (возможно, приводимых и особых) и конечных Ъ * Ъ множеств.

• Перечисление одноклеточных правильных детских рисунков и их реализация на кривых Вейля.

• Доказательство того, что все правильные рисунки с циклическими группами симметрии (не только одноклеточные) также реализуются на кривых Вейля.

• Построение явного примера голоморфного штребелева дифференциала на кривой рода д = 3

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в некоторых задачах теории детских рисунков Гротендика, теории алгебраических кривых, топологической классификации многочленов и рациональных функций, теории Галуа, теории математических биллиардов, теории штребелевых дифференциалов, теории струн, квантовых компьютеров, матричных моделей.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 5 работах.

N.Amburg Regular unicellular dessins d'enfants and Weil curves. Formal Power Series and Algebraic Combinatorics.—Berlin: Springer-Verlag, 2000, p. 393-401.

Амбург Н.Я. Реализация правильных одноклеточных эскизов с циклической группой автоморфизмов. Математические методы и приложения. МГСУ. Москва. 1999. Т. VI. С.128-133.

Н. Я. Амбург Правильные эскизы Гротендика с циклическими симе-триями. // Международный алгебраический семинар,посвященный 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ. Тезисы докладов, Москва. - 1999.-с.7-8.

Н. Я. Амбург. Пример регулярного штребелева дифференциала // Успехи матем. наук, 2002, V.57. No.5. с. 145

Н. Я. Амбург, Е. М. Крейнес, Г. Б. Шабат Паразитические решения систем уравнений, определяющих функции Белого плоских деревьев. Вестник МГУ сер.1, Математика. Механика. 2004. N1 с. 20 - 25

В работе [7] написаной в соавторстве с Е. М. Крейнес и Г .Б. Шабатом определения 2,3,6,17, примеры 5,8,15,16 и теорема 19 принадлежат автору диссертации.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на 55-ой международной конференции по общей алгебре и дискретной математике в Потсдаме (Германия) в 1999 г.; международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию кафедры Высшей Алгебры МГУ им. М.В. Ломоносова в Москве в 1999 г.; 12-ой международной конференции по формальным степенным рядам и алгебраической комбинаторике в Москве в 2000 г.; международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию семинара О.Ю. Шмидта в Москве в 2000 г.; международной конференции по теории Галуа в Потсдаме (Германия) в 2001 г.; 65-ой международной конференции по общей алгебре и дискретной математике в Потсдаме (Германия) в 2003 г.; на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ, на семинаре "Кольца и модули", на семинаре "Графы на поверхностях и кривые над числовыми полями", на еженедельном семинаре лаборатории теоретической и математической физики ГНЦ РФ ИТЭФ, на семинаре факультета математики университета в Анжере (Франция).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Полный объем диссертации — 86 страниц, библиография включает 64 наименования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Амбург, Наталья Яковлевна, 2004 год

1. Абикоф Уильям, Вещественные аналитическая теория пространства техмюлера. М.: Мир, 1985

2. Н. М. Адрианов, Правильные карты с группой автоморфизмов PSL2(g). Успехи Матем. Наук..—1997.—т.52, №4. с. 195-196.

3. Адрианов Н.М., Кочетков Ю.Ю., Шабат Г.Б., Суворов А.Д. Плоские деревья и группы Матье / / Фундаментальная и прикладная математика.—1995.—Т. 1, № 2.— 377-384.

4. Амбург Н.Я. Реализация правильных одноклеточных эскизов с циклической группой автоморфизмов. Математические методы и приложения. МГСУ. Москва. 1999. Т. VL 128-133.

5. Н. Я. Амбург Правильные эскизы Гротендика с циклическими симе- триями. / / Международный алгебраический семинар,посвященный 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ. Тезисы докладов, Москва. - 1999.- с.7-8.

6. Н. Я. Амбург. Пример регулярного штребелева дифференциала / / Успехи матем. наук, 2002, V.57. No.5. с. 145.

7. Н. Я. Амбург, Е. М. Крейнес, Г. Б. Шабат Паразитические решения систем уравнений, определяющих функции Белого плоских деревьев. Вестник МГУ сер.1, Математика. Механика. 2004. N1 с. 20 - 25

8. Арнольд В.И. Критические точки функций и классификация каустик / / Успехи мат. наук.—1974.—Т. 29, No. 2, 243-244.

9. Г. В. Белый, О расширениях Галуа максимального кругового поля, Изв. Акад. Наук СССР, 43 (1979), с. 269-276.

10. N.Amburg Regular unicellular dessins d'enfants and Weil curves. FPSAC-00,Berlin:Springer-Verlag, 2000, 393-401.

11. Arnold V.I. Topological classification of complex trigonometric polynomials and combinatorics of graphs with an equal number of vertices and edges / / Funct. Anal. Appl.—1996.—V. 30, №1.—P. 1-14.

12. E. Aurel, C. Itzykson, Rational billiards and algebraic curves, J. Geom. Phys. 1988. Vol. 5 n. 2. p.191-208.

13. D. Bessis, C. Itzykson, J.B. Zuber Quantum Field Theory Techniques in Graphical Enumerations. Adv. Appl. Math., vol.1 (1980),pp.l09-157

14. Betrema J., Pere D., Zvonkine A. Plane Trees and their Shabat Polynomials. Catalog. Bordeaux: Rapport Interne de LaBRI.—1992.—V. 75-92.

15. A.Douady, J.Hubbard On the density of strebel differentials. Inventiones math., 30(1975), 175-179.

16. L.O. Chekhov, V.V. Fock Quantum Mapping Class Group, Pentagon Relation, and Geodesies. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Vol.226, 1999, pp.149-163.

17. Couveignes J.-M. Boundary on Hurwitz spaces and explicit patching / / J. Symbolic Computation.—2000.—V. 30.—P. 739-759.

18. Darevskaya Ju. On the integer models of plane trees / / Formal Power Series and Algebraic Combinatorics.—Berlin: Springer-Verlag, 2000.—P. 414-421.

19. P. Di Francesco Rectangular Matrix Models and Combinatorics of Colored Graphs. Nucl.Phys. B648 (2003) 461-496.

20. Goulden LP., D.M. Jacson D.M. The combinatorial relationship between trees, cacti and certain connection coefficients for the symmetric group / / European J. Combin.—1992.—V. 13.—P. 357-365.

21. Grothendieck A. Sketch of a Programme / / Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser. 242 (1997) 243-283 •

22. Grothendieck A. Esquisse d'un programme / / London Math. Soc. 1.ecture Notes Series.—Cambridge: Cambridge Univ. Press.—1997.—V. 243.—P. 3-43.

23. Harer J., Zagir D. The Euler characteristic of the moduli space of curves / / Inventiones Mathematicae.—1986.—V. 85.—P. 457-485.

24. Harris J., Mamford D. On the Kodaira dimension of the moduli space of curves / / Inventiones Mathematicae.—1982.—V. 67.—P. 23-86.

25. Harris J., Morrison I. Moduli of Curves. Graduate Texts in Mathematics.—New York, Berlin: Springer-Verlag.—1998.—V. 187.

26. Hurwitz A. Uber Riemannsche Flachen mit gegeben Verzweigunspuncten / / Mathematischen Annalen.—1981.—V. 38.—P. 1-41.

27. Jensen C.U., Lenzing H. Model Theoretic Algebra with particular emphasis on fields, rings, modules.—Gordon and Breach Science Publishers, 1994.

28. Khovanskii A. G., Zdravkovska S. Branched covers of 5^ and braid groups / / J. of Knot Theory and its Ramifications.—1996.—V. 5, №1.—P. 55-75.

29. Kochetkov Yu. Yu. Trees of diameter 4 / / Formal Power Series and Algebraic Combinatorics.—Berlin: Springer-Verlag.—2000.—P. 447-453.

30. Looijenga E. The complement of the bifurcation variety of a simple singularity / / Invent. Math.—1974.—V. 27, №3.—P. 94-129.

31. M.Mulase, M.Penkava Ribon Ggraphs, Quadratic Differentials On Rie- mann Surfaces, And Algebraic Curves Defined over Q.

32. Natanzon S., Turaev V. A compactification of the Hurwitz space / / Topology.—1999.—V. 38, №4.—P. 889-914.

33. Penner R.C. The decorated TeichmuUer Space of punctured surfaces. Comm. Math. Phys., 113:2(1987), 299-340.

34. Semple J.G., Roth L. Introduction to Algebraic Geometry. Oxford: Clarendon Press, 1985.

35. Shabat G. On a class of families of Belyi functions / / Formal Power Series and Algebraic Combinatorics.—Berlin: Springer-Verlag, 2000.— P. 575-580.

36. Shabat G.B., Voevodsky V.A. Drawing curves over number fields. The Grothendieck Festschrift / / Birkhauser.—1990.—V. III.—P. 199-227.

37. Shabat G., Zvonkine A. Plane trees and algebraic numbers / / Contem porary Mathematics, AMS.—1994.—V. 178.—P. 233-275.

38. G. B. Shabat, On cartographical normalization of Grothendieck's dessins, preprint, LaBRI, 1993.

39. The Grothendieck Theory of Dessins d'Enfants (ed. L.Schneps) / / Lon don Math. Soc. Lecture Note Series.—1994.—V. 200.

40. Geometric Galois Action (eds. L.Schneps, P.Lochak) / / London Math. Soc. Lecture Note Series.—1997.—V. 242-243.

41. Silverman Joseph Advanced topic in the arithmetic of elliptic curves. New York ets. Springer, 1994

42. Strebel, K.: Quadratische Differentiale mit divergierenden Trajektorien. Colloquium on Mathematical Analysis, Jyvaskyla. Lecture Notes in Mathematics. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1970.

43. Kurt Strebel, Quadratic differetials,Springer-Verlag, 1984.

44. Thom R. L'equivalence d'une fonction differentiable et d'un polynome / / Topology.—1965.—V. 3.—P. 297-307.

45. Zolotarskaya V. On the trees of diameter 3. Proc. of the 12-th Interna tional Conference FPSAC-00.—2000.—P. 30-32.

46. Zvonkine D. Multiplicities of the Lashko-Looijenga map on its strata / / C.R. Acad. Sci. Paris.—1997.—V. 324, Smie I.—P. 1349-1353.

47. Weil A. Sur les periodes des integrales abelliennes / / Comm. Pure and Appl. Math.—1976—V. 29.