Пары Белого над конечными полями и их редукция тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Вашевник, Андрей Михайлович

• Вашевник, Андрей Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Вашевник, Андрей Михайлович

0 Введение.

1 Предварительные понятия

1.1 Алгебраические кривые в аффинных и проективных пространствах. Основные определения и обозначения

1.2 Теория детских рисунков.

1.3 Теория пар Белого.

1.4 Дискриминант многочлена

1.5 Обобщенные многочлены Чебышева

II Пары Белого над произвольными полями

2.1 Определения функции Белого над произвольным полем

2.2 Определения обобщенного многочлена Чебышева над произвольным полем

2.3 Примеры функций Белого над различными полями

III Вычисления пар Белого над различными полями

3.1 Деревья диаметра

3.2 Деревья диаметра 4.

3.2.1 Общие факты.

3.2.2 Примеры

3.2.3 Деревья диаметра 4 над полями конечной характеристики.

3.3 Примеры несуществования и неединственности функций Белого.

IV Простые плохой редукции(ППР)

4.1 Теоремы о редукции

4.1.1 Теорема о редукции для функций Белого.

4.1.2 Теорема о редукции для обобщенных многочленов Чебышева

4.1.3 Редукция в несепарабельном случае

4.2 Определение простых плохой редукции

4.3 Простые плохой редукции для некоторых серий

4.3.1 Простые плохой редукции для цепочек.

4.3.2 Простые плохой редукции для деревьев диаметра 3.

4.3.3 Простые плохой редукции для деревьев диаметра 4.

V Кривые положительных родов

5.1 Простые плохой редукции

5.2 Детский рисунок

5.3 Простые плохой редукции рисунка К^

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пары Белого над конечными полями и их редукция»

Актуальность темы диссертации. Алгебраические кривые, определяемые различными комбинаторными структурами на римановых поверхностях в течение уже более чем ста лет постоянно возникают как в качестве естественных комбинаторных и алгебраических задач, так и в связи с различными вопросами теории пространств модулей, теории римановых поверхностей, квантовой гравитации, теории струн. Не случайно особенно бурное развитие комбинаторной и арифметической теории графов на поверхностях приходится на последние два десятилетия, когда обнаруживаются многочисленные новые взаимосвязи между алгебраической геометрией, комплексным анализом, топологией, дифференциальными уравнениями, компьютерной алгеброй и др.

В 1972- 1984 г. известный французский математик Александр Гротендик установил, что все алгебраические кривые над числовыми полями могут быть реализованы в виде графов специального вида на римановых поверхностях. При этом оказывается, что соответствующий граф является полным /^-прообразом прямой, соединяющей какие-либо два критические значения некоторой рациональной функции (3 с не более чем тремя критическими значениями (так называемой функции Белого), заданной на исходной кривой. Гротендик назвал графы рассматриваемого вида детскими рисунками (dessin d'enfant). В дальнейшем это название стало общепринятым. Выяснилось (см. [6]), что взаимосвязь между детскими рисунками и кривыми над числовыми полями может быть поднята до эквивалентности категорий.

Начиная со второй половины восьмидесятых годов,

раздел алгебры, посвященный изучению детских рисунков Гротендика, кривых над числовыми полями, рациональных функций с необщим числом критических значений, активно развивается математиками из разных стран. Современный уровень развития теории нашел отражение в большом количестве печатных работ в центральных математических журналах, в ряде обзоров, в специальных сборниках [7, 8], в работе различных международных конференций.

Определение. Парой Белого (X, (3) называется алгебраическая кривая X и непостоянная рациональная функция (3 : X —> Р^С), имеющая не более трех критических значений. Функцию (3 обычно называют функцией Белого.

Доказана эквивалентность категории пар Белого и категории детских рисунков, см. [6]. Существуют методы построения детских рисунков, соответствующих данной паре Белого. А именно, для нахождения детского рисунка, соответствующего данной паре Белого (Х,@), достаточно взять полный /^-прообраз любой несамопересекающейся кривой, соединяющей какие-либо два критических значения функции Белого. Однако, обратная задача является исключительно сложной. Существует множество частных решений этой проблемы, см. [9,10,11,13,12, 6], но отсутствует хоть какой-нибудь подход к общему решению.

Задача данной диссертации - распространение теории Гротендика на произвольные поля. Для этого строится алгебраическая теория, которая приводит к классическому определению пар Белого в случае, если основное поле имеет нулевую характеристику.

В данной определяются также простые плохой редукции детского рисунка. Определение простых плохой редукции давалось и в текстах [1], [26]. Особенность подхода, приведенного здесь состоит в том, что определение дается для детского рисунка и не зависит от выбора функции Белого, ему соответствующий. Также стоит отметить, что данное определение элементарно и не требует от читателя продвинутых знаний алгебраической геометрии.

Таким образом, тема работы представляется актуальной и активно разрабатываемой современными математиками.

Цель работы состоит в распространении теории Гротендика на произвольные поля. В работе даны определения пары Белого над произвольным полем и простых плохой редукции для комбинаторных инвариантов детских рисунков. Установлена связь между парами Белого с одинаковыми инвариантами над различными полями; разработаны методы нахождения простых плохой редукции.

Основные методы исследования. В работе используются методы и результаты теории графов, теории Галуа, теории комплексных алгебраических кривых.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них:

• Введение понятия пары Белого над произвольным алгебраически замкнутым полем

• Установление соответствий между функциями Белого над конечными полями и функциями Белого над полями характеристики 0, получение условий спуска в положительную характеристику

• Введение понятия простых плохой редукции

• Исследование связи простых плохой редукции с комбинаторными характеристиками рисунка

• Получение критериев реализуемости наборов валентностей в положительной характеристике.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в некоторых задачах теории детских рисунков Гротендика, теории алгебраических кривых, теории Галуа.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на 12-ой международной конференции по формальным степенным рядам и алгебраической комбинаторике в Москве в 2000 г, на международной алгебраической конференции, посвящцнной 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры (Москва, 26 мая - 2 июня 2004 г.), на международном семинара по компьютерной алгебре и информатике(9 ноября - И ноября 2005 г), на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ, на семинаре по алгебраической геометрии в НМУ под руководством М.А. Цфасмана, неоднократно на семинаре "Графы на поверхностях и кривые над числовыми полями"в МГУ под руководством Г.Б.Шабата.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 2 работах, список которых приведен в конце диссертации.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на параграфы, и списка

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Вашевник, Андрей Михайлович, 2006 год

1. Wewers S. Three point covers with bad reduction. J. Amer.Math. Soc. 16 (2003), 991-1032.

2. Кочетков Ю. Ю., Антивандермондовы системы и плоские деревья, Фупкц. анал. и его прил., 2002, 36. 83-87.

3. Вашевпик А. М. К определению обобщепных многочлепов Чебышч,ва над конечными полями. Функциональныйанализ и его приложения е 3 2001. 77-79.

4. Shabat G., Zvonkin А. Plane trees and algebraic numbers; Contemporary Math., 1994, vol.178, pp.233-275

5. Кострикин A. И., "Введение в алгебру. Основы алгебры". М., Физматлит, 1994.

6. Shabat G.B., Voevodsky V.A. Drawing curves over number fields. The Grothendieck Festschrift // Birkhauser.—1990.—V. III.-P. 199-227.

7. Schneps L. The Grothendieck-TeichmuUer group: a survey, in Geometric Galois Theory I, LMS1.ecture Notes 242, Cambridge U. Press, 1997.http://www.math.jussieu.fr/ leila/SchnepsGT.pdf

8. Geometric Galois Action (eds. L.Schneps, P.Lochak) // Lon- don Math. Soc. Lecture Note Series.—1997.—V. 242-243.76

9. Адрианов Н.М., КочеткоР5 Ю.Ю., Шабат Г.Б., Суворов А.Д. Плоские деревья и группы Матье //Фундаментальная и прикладная математика.—1995.—Т.1, Ш 2 .- 377-384.

10. Amburg N. Regular unicellular dessins s'enfants and Weil curves // Formal Power Series and AlgebraicCombinatorics.-Berlin: Springer-Verlag, 2000.—P. 393-401.

11. Betrema J., Pere D., Zvonkine A. Plane Trees and their Shabat Polynomials. Catalog. Bordeaux: Rapport Interne de1.aBRI.1992.-V. 75-92.

12. Shabat G. On a class of families of Belyi functions // Formal Power Series and Algebraic Combinatorics.—Berlin: Springer-Verlag, 2000.-R 575-580.

13. Kochetkov Yu. Yu. Trees of diameter 4 // Formal Power Se- ries and Algebraic Combinatorics.—Berlin: Springer-Verlag.—2000.-P. 447-453.

14. Zolotarskaya V. On the trees of diameter 3. Proc. of the 12-th International Conference FPSAC-00.-2000.-P. 30-32.

15. Vashevnik A. - Generalized Chebyshev's polynomials over fields and commutative rings. SProc. of the 12-th Interna-tional Conference FPSAC-00.

16. Хартсхорн P. Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1981.

17. Semple J.G., Roth L. Introduction to Algebraic Geometry. Oxford: Clarendon Press, 1985.

18. Шафарсвич И.P. Основы алгебраической геометрии. М.: Наука, 1972.77

19. Цишапг X., Фогг Э., Колдевай Х.-Д. Поверхности и разрывные группы. М.: Наука, 1988.

20. Shabat G., Zvonkine А. Plane trees and algebraic numbers // Contemporary Mathematics, AMS.—1994.—V. 178.—P. 233-275.

21. Grothendieck A. Esquisse d'un programme // London Math. Soc. Lecture Notes Series.—Cambridge: Cambridge Univ.Press.-1997.-V. 243.-P. 3-43.

22. Белый Г.Б. 0 расширениях Галуа максимальных циклотомических полей // Изд. Акад. Наук СССР.—1979.-Т. 43.-С. 269-276.23. ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1979.

23. Адрианов Н.М. Алгебраическая теория графов на поверхностях. Кандидатская диссертация.

24. BanieBHiiK А. М. Простые плохой редукции детских рисунков рода 0. Фундаментальная и прикладнаяматематика т. 11 в.2, 2005. 25-43.

25. Zapponi L. Specialization of polynomial covers of prime de- gree. Pacific Л. Math., 214, no. 1, (2004). 161-183

26. Шабат Г. Б. Мнимо-квадратичные решения антиваидермоидовых систем с 4 неизвестными иорбиты Галуа деревьев диаметра 4. Фундаментальная иприкладная математика т.9, в.З, 2003, 229-236.78