Алгебраическая геометрия над жёсткими метабелевыми про-Р-группами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Афанасьева, Светлана Григорьевна

• Афанасьева, Светлана Григорьевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Афанасьева, Светлана Григорьевна

Оглавление

Введение

1 Уравнения и алгебраическая геометрия над проконечными группами

1.1 Некоторые сведения о прокопечных группах

1.2 Уравнения над проконечной группой

1.3 Нётеровость но уравнениям

1.4 Примеры про-р-групп, не являющихся нётеровыми по уравнениям

1.5 Координатные группы неприводимых алгебраических множеств, универсальные теории и дискриминируемость

2 Жёсткие метабелевы про-р-группы

2.1 Вспомогательные определения и факты

2.2 Универсальная эквивалентность жёстких метабелевых про-р-групп

2.3 Копроизведение жёстких метабелевых про-р-групп

2.4 Координатная группа аффинного пространства над жёсткой метабелевой нро-р-группой

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебраическая геометрия над жёсткими метабелевыми про-Р-группами»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования

Алгебраическая геометрия — раздел математики, объединяющий абстрактную алгебру с геометрией. Главный предмет изучения алгебраической геометрии — алгебраические многообразия, т.е. множества решений систем уравнений, задаваемых многочленами. Классическая алгебраическая геометрия изучает решения систем алгебраических уравнений над полем. Сначала решения систем алгебраических уравнений рассматривались над полем комплексных чисел, затем был переход к алгебраически замкнутому и произвольному полю. Лишь сравнительно недавно были сформулированы основные понятия и доказаны базисные факты в алгебраической геометрии над группами и другими алгебраическими системами. Универсальная алгебраическая геометрия (по-другому её называют алгебраической геометрией над алгебраическими системами) — это новое направление исследований, которое в последние годы активно развивается.

Основы алгебраической геометрии над группами разработаны в двух фундаментальных статьях Г. Баумслага, А.Г. Мясникова, В.Н. Ремесленникова [25] и А.Г. Мясникова, В.Н. Ремесленникова [33]. Э.Ю. Даниярова, А.Г. Мясников и В.Н. Ремесленников в работах [5-8, 27, 28] развивают алгебраическую геометрию над произвольной алгебраической системой и доказывают объединяющие теоремы.

А.Г. Мясников, О.Г. Харлампович [29-32] и 3. Села [37, 38] развили и успешно применили алгебраическую геометрию над свободными группами при решении известных проблем Тарского о свободных группах.

Другим важным классом групп, где удалось построить хорошую алгебраическую геометрию, является класс жёстких разрешимых групп. Он был определен и изучался в работах Н.С. Романовского [20-23,36] и А.Г. Мясникова, Н.С. Романовского [16,34]. Примерами жёстких групп являются свободные разрешимые группы, итерированные сплетения абелевых групп без кручения, а также их подгруппы.

Приведём основные понятия алгебраической геометрии над группами.

Для данной группы С всякую группу, содержащую С в качестве фиксированной подгруппы, называют б-группой. Естественным образом для С-групп определяется

понятие G-нодгруппы, G-гомоморфизма и т.п. В качестве уравнений от набора переменных х = (.xj,..., хп) над G можно брать выражения вида v(x) = 1, где v(x) — элемент группы уравнений F, которая представляет из себя свободное произведение группы G и свободной группы с базой X = {хх,... ,хп}. Иногда удобнее уравнениями называть сами элементы группы F. Решением уравнения v(x) называется набор (.9ъ • • • >.9Vi) £ Gn такой, что v(gi,...,дп) = 1 в группе G. Подмножество S из Gn называется алгебраическим, если оно является множеством решений некоторой системы уравнений. Фактор-группа F/I(S), где I(S) = {^(ж) £ F \ v(s) = l,s 6 S} — аппулятор S, называется координатной группой алгебраического множества S и обозначается через Г(5).

В диссертации рассматривается алгебраическая геометрия над проконечными группами. В этом случае эти определения переносятся не буквально, так как наши объекты топологические.

Цели и задачи

Главная цель диссертации — перенести основные понятия алгебраической геометрии на случай проконечных групп и исследовать алгебраическую геометрию над жёсткими метабелевыми про-р-группами. '

Основные результаты диссертации

1. Найдено представление координатной группы проконечной группы в виде проективного предела координатных групп её конечных гомоморфных образов. (Теорема 1.1)

2. Введено понятие стандартной линейной про-р-группы и доказано, что такая группа всегда нётерова по уравнениям. Как следствие получено, что свободные нильпотентные про-р-группы и свободные метабелевы про-р-группы нётеровы по уравнениям. (Теорема 1.4 и следствие 1.1)

3. Построены два примера про-р-групп, не являющихся нётеровыми по уравнениям: первая из этих групп является нильпотентной (не конечно порождённой), а вторая — центрально метабелевой с четырьмя порождающими.

4. Введены понятия универсальной формулы и универсальной теории над проконечной группой. Доказано (совместно с Н.С. Романовским), что все жёсткие 2-ступенно разрешимые про-р-группы универсально эквивалентны между собой. (Теорема 2.1)

5. Доказано (совместно с Н.С. Романовским), что в категории 2-градуированных жёстких про-/;-групп существует операция копроизведения, установлены её свойства. (Теорема 2.2 и следствие 2.2)

6. Для конечно порождённой 2-ступенно разрешимой жёсткой про-р-группы С найдена координатная группа аффинного пространства Сп и установлено, что пространство С71 неприводимо в топологии Зарисского. (Теоремы 2.3 и 2.4)

Результаты 1 — 3 и 0 получены автором лично. Результаты 4 и 5 получены в неразделимом соавторстве с научным руководителем Н.С. Романовским.

Научная новизна и значимость работы

Работа носит теоретический характер. Все основные результаты диссертации являются новыми. Результаты работы могут быть использованы при дальнейшем исследовании алгебраической геометрии над нроконечными группами. Также результаты могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в области алгебры.

Методы исследования

В работе используются методы алгебраической геометрии над группами и проконечными группами.

Апробация работы

Результаты диссертации были представлены на международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технические прогресс» (Новосибирск 2009, 2010); международной школе-семинаре «Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах» (Омск, 2009); международной конференции «Мальцевские чтения», посвященной 100-летию со дня рождения Анатолия Ивановича Мальцева (Новосибирск, 2009); международной конференции «Стохастические модели в биологии и предельные алгебры» (Омск, 2010); международной школе «Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей» (Республика Алтай, 2012); международной молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2013).

Результаты диссертации обсуждались на семинарах «Теория групп» лаборатории теории групп Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН и «Алгебра и логика» Новосибирского национального исследовательского государственного университета.

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [1-3,10-15], при этом работы [1, 2, 14] опубликованы в изданиях, которые входят в перечень ВАК российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание учёных степеней доктора и кандидата наук. Результаты работы [1] получены в неразделимом соавторстве с Н.С. Романовским.

Благодарности

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору Николаю Семеновичу Романовскому за неоценимую помощь и поддержку в процессе обучения и работы над диссертацией. Автор признателен всем сотрудникам лаборатории теории групп ИМ СО РАН и кафедры алгебры и математической логики НГУ за творческую атмосферу и полученные знания в процессе обучения в аспирантуре.

Глава 1. Уравнения и алгебраическая

геометрия над проконечными группами 1.1 Некоторые сведения о проконечных группах

Напомним, что проконечпая группа (? является проективным (обратным) пределом С = некоторого проективного спектра С = {Gi,^pгj,I} конечных групп

(здесь ^ : Сг —> г ^ — гомоморфизмы, / — направленное множество индексов), и на ней определяется проконечная топология. Замкнутые подгруппы являются обратными пределами некоторых подспектров спектра С. И наоборот, обратный предел любого подспектра спектра С есть замкнутая подгруппа в данной проконечной группе. Ниже, говоря о подгруппах проконечных групп, будем иметь ввиду только замкнутые подгруппы. В классе топологических групп прокопечные группы характеризуются как компактные вполне несвязные. С проконечными группами можно ознакомиться по монографиям [35,39].

Будем говорить, что множество М является системой порождающих проконечной группы С, если С совпадает с наименьшей подгруппой, содержащей М, и М сходится к 1, т.е. любая окрестность единицы содержит почти все элементы из А/. Известно [9], что любая проконечная группа обладает системой порождающих.

Пусть К — компактное коммутативное кольцо с единицей, и С? — проконечная группа, представленная в виде проективного предела конечных групп С*. Через КО обозначим (пополненную) групповую алгебру группы С над К. Она по определению является проективным пределом алгебр К С г. В случае про-р- групп чаще вознпикает необходимость рассматривать алгебру ЪРС над кольцом целых р-адических чисел Ър.

Пусть А — свободная абелева про-р-групиа с базой {ап\а £ 21} (сходящейся к 1), тогда алгебра ZРА совпадает с алгеброй формальных степенных рядов 2р[[£а|а £ 21]] от Ьа = аа — 1. Эта алгебра проконечная, в ней базу окрестностей нуля составляют идеалы вида

АГ + га ■

где М = р ■ ЪрА + ¿а ' максимальный идеал.

1.2 Уравнения над проконечной группой

Пусть С — фиксированная проконсчная группа.

Проконечную группу Я назовём й-группой, если она содержит С как выделенную подгруппу.

Подгруппу группы Н назовём С-подгруппой, если она сама является С-группой. Под С-гомоморфизмом (С-эпиморфизмом) С-групп Н —> Н' понимаем обычный гомоморфизм (эпиморфизм), действующий тождественно на (7.

Пусть ... ,хп) — свободная проконечная группа с базой {хх, ■.., хп]. Положим

F = (хх,...,хп),

где * обозначает свободное проконечное произведение. (Всюду в первой главе за ^ сохраняется данное обозначение.)

Уравнением над С назовём выражение ь(х) = 1, где х = (хх, ■ ■ ■,хп), у(х) е .Р. Отметим, что в отличие от абстрактного случая левая часть уравнения, вообще говоря, не является групповым словом над С от Хх,. ■ ■, хп.

Решением уравнения назовём набор (дг,..., дп) £ (?п = С х ... х С такой,

что ь(дх, ■ ■ ■, Яп) = 1, здесь у(д\----, дп) обозначает образ ь(х) при С-эпиморфизме

Р —> С, определённом отображением хг ь-У дг. Очевидным образом определяется решение системы уравнений {и^х) = 1 | г € /}.

Подмножество Б множества С1 называется алгебраическим, если 3 является множеством решений некоторой системы уравнений от переменных хп.

Множество решений уравнения ь(х) = 1 замкнуто в проконечной топологии как прообраз 1 при отображении С х ... х С (7, действующем по правилу (.<?!,.. .,дп) ь-4 у(дъ... ,дп). Алгебраическое множество 5 замкнуто в проконечной топологии как пересечение замкнутых множеств решений уравнений соответствующей системы.

Топологией Зарисского аффинного пространства Сп, называется топология, предбазой замкнутых множеств которой является совокупность всех алгебраических над С множеств Я С С™. Топология Зарисского в общем случае слабее проконечной

топологии, т.е. всякое множество, замкнутое в топологии Зарисского, замкнуто в проконечпой топологии.

Пусть далее 7(5) — аннулятор алгебраического множества 5в т.е. множество всех левых частей уравнений, у которых все элементы из 5 содержатся во множестве решений. Он замкнут в ироконечной топологии как пересечение ядер всех эпиморфизмов .Р —» (7, определяемых отображениями I 4 в 6 5.

Фактор-группа Г(5) = Р//(5*) называется координатной группой множества 5; очевидно, она содержит (7, а потому может рассматриваться как С-группа.

Назовем группой (всех) уравнений над С любую фактор-группу Р)II, где нормальная подгруппа Н из Р удовлетворяет следующим условиям:

1) Я ПС = 1;

2) всякое отображение х^ д^ продолжается до С-эпиморфизма Р/ Н —> С.

Максимальная подгруппа Н с этими условиями — это множество С-тождеств на С. Для неё Р/Н = Г (С71).

Теорема 1.1. Пусть проконечная группа С? является обратным пределом спектра С = конечных групп С^, и все : —> С^ — эпиморфизмы (так можно

представить всякую проконечную группу). Тогда группы Г((7") = Г; конечны, причём существуют канонические эпиморфизмы —» Г^-, г ^ и Г(СП) = 1,1 т Г^.

Доказательство. Заметим сначала, что группа Г, конечна. Как проконечная группа она конечно порождена, скажем, /-порождена. Рассмотрим произвольное абстрактное тождество ги(уь ..., ут) = 1, которое выполняется на группе Сг. Если

иг(х), . . .,Ут{х) € РСг = Сг * (^1, • • -,Хп),

то т(У1(х),..., ут(х)) е Поэтому любой конечный гомоморфный образ группы

Г; = принадлежит многообразию, порождённому группой С;, а значит,

является гомоморфным образом свободной группы ранга I этого многообразия. Известно [17, теорема 15.71], что свободная группа конечного ранга многообразия, порождённого конечной группой, конечна. Поэтому группа Г* конечна.

Эпиморфизм : С* —> С] поднимем до эпиморфизма свободных проконечных произведений

•ф) : = Сг * (хг,..., хп) -> Рс. =С^{х1,..., хп).

Теперь можно определить эпиморфизм —» т.к. если у(х) е /(С"),

то г;^^} £ /(С"). Пусть эпиморфизм <т : Р Цгп Г(С") задаётся отображениями С Сьх х. Если € /(С"), то у^а = 1. Полупаем эпиморфизм

г : ЩпГ(С?).

Заметим, что кегт = 1. Действительно, пусть ю(х) 6 Р не является тождеством на С™, т.е. представляет нетривиальный элемент в Г(СП). Тогда для некоторого г образ т(х) в Г(С") не является тождеством на С", т.е. не лежит в кегт. Теорема доказана.

1.3 Нётеровость по уравнениям

1.3.1. Напомним, что топологическое пространство называется нётеровым, если в нём нет бесконечных строго убывающих цепочек замкнутых подмножеств.

Проконечная группа С называется нётеровой по уравнениям, если для любого натурального числа п и любой системы уравнений над С

{Уг(хг, ...,£„) = 1 I г е /}

найдётся конечная подсистема

{vj(x1,..., хп) = I \ j £ J С I,\J\ < оо},

такая что множество её решений совпадает с множеством решений всей системы.

Стандартными рассуждениями легко показать, что нётеровость группы С? по уравнениям эквивалентна нётеровости топологии Зарисского на пространствах С1.

Замкнутое в топологии Зарисского множество 5 С С1 называется неприводимым, если его нельзя представить в виде объединения 51 = ¿1 и собственных замкнутых подмножеств.

В случае нётеровости по уравнениям группы С любое замкнутое в топологии Зарисского множество 5 С С представимо как конечное объединение неприводимых алгебраических множеств 5 = 5х и ... и б1*., и если это представление несократимо, то оно единственно. Без условия нётеровости по уравнениям алгебраическую геометрию над С изучать сложно.

Лемма 1.1. Класс нётеровых по уравнениям проконечных групп замкнут относительно подгрупп и конечных прямых произведений.

Доказательство. 1) Пусть проконечная группа А нётерова по уравнениям, В — её подгруппа. Рассмотрим систему уравнений над В

{vi{x) = 1 | г е /}• (1.1)

Группа А нётерова по уравнениям, поэтому существует конечная подсистема

{Vj(x) = l\jzJ}, (1.2)

такая что если набор ... ,ап) € Ап является решением системы (1.2), то он также будет решением системы (1.1). Очевидно, что это верно и для наборов из Вп.

2) Достаточно рассмотреть случай, когда проконечные группы А и В нётеровы по уравнениям, и показать, что группа С = А х В также нётерова по уравнениям.

Пусть А[у\,..., уп), В[гъ ..., zn] — группы уравнений от ух,..., уп над А и гь ..., zn над В соответственно. Заметим: если Я = А[у\,..., уп] х B[zi,..., zn] и Х\ = yiZi,..., xn = ynzn, то подгруппа D, порождённая С и множеством {xi,... ,.тп}, будет группой уравнений над С от переменных х\,..., хп. Действительно, любое отображение

xj 14q = ах6ь ..., хп i-> сп = апЬп

продолжается до эпиморфизма £)-^ЛхЯ = Спо правилу

у\ i-t а,\,... ,уп ап, Zi •-> ..., zn н-» bn, а >-» а, & Ь.

Рассмотрим теперь произвольную систему уравнений

{^(х) = 1 I i G /}

над С. Имеем Vi(x) = щ{у) ■ Wi(z), где щ(у) G А[уи ■ ■ ■, Уп], е Я[гь ..., zn}. Если

X\ = a-^bi,... ,хп = апЬп является решением уравнения Vi(x) = 1, то у\ = ai,..., (/„ = ап является решением уравнения щ{у) = к z\ — Ь\,zn = Ьп является решением уравнения и\(г) = 1. Выберем конечное подмножество V С I такое, что система

{щ(у) = 1 ,щ{г) = 1 | г е /},

где у ищем в Ап и z в Вп, эквивалентна своей конечной подсистеме

{^г(?У) — 1) wi(z) = 1 | € /'}.

Тогда можно утверждать, что исходная система уравнений над С эквивалентна своей конечной подсистеме {«¿(х) = 1 | г £ /'}. Лемма доказана.

1.3.2. Для данной проконечной группы С полагаем 7г((?) = ия-(Сг), где пробегает все конечные гомоморфные образы группы С, а 7г(С;) обозначает множество простых делителей порядка группы С^.

Теорема 1.2. Если множество 7г(С?) бесконечно, то проконечная группа С? ме является пётеровой по уравнениям от одной переменной.

Доказательство. Отметим, что {х), как однопорождёиная свободная проконечная группа, изоморфна тихоновскому произведению одпопорождённых свободных про-р-групп по всем простым р. Пусть х^ обозначает р-компоненту элемента х. Тогда система {.т^ = 1 | р е 7г(С)} не эквивалентна никакой своей конечной подсистеме = 1,... = 1}, т.к. последней удовлетворяет любой нетривиальный элемент из силовской р-подгруппы, где р £ 7г((?) \ {рг,... ,р5}. Теорема доказана.

Теорема 1.3. Если проконечная группа С? абелева и множество 7г(С) конечно, то группа С нётерова по уравнениям.

Доказательство. Проконечная группа С абелева, поэтому в аддитивной записи имеем представление С = Г'л'е ^р — силовская р-подгруипа. В силу леммы 1.1

достаточно понять, что абелева про-р-группа является пётеровой по уравнениям.

Пусть С — абелева про-р-группа. Её можно рассматривать как р-адический модуль, и тогда система уравнений над С записывается в виде:

{т'г1хг + ... + т'гпхп = д\ | г £ /, т'^ £ 1Р, д[ £ С}.

С точностью до перестановки х\,... ,хп эту систему элементарными преобразованиями

над Ър можно привести к треугольному виду: /

тпх! 4- т^х 2 + ... + тих3 + ... + т1пхп = дг

т22х2 + ... + гп2зхя + ... + т2пхп = д2

тПззХз -Ь ... т8пхп — д3

О = да+1

где т{1ф 0.

1) если д^ ф 0 при некотором у > з, то система несовместна, а уравнение 0 = ^ в свою очередь является следствием конечного числа уравнений исходной системы.

2) если все д^ = 0 при у > то исходная система эквивалентна системе

тпцхх + т 12х2 + ... + тих8 + ... + т1пхп = дх т22х2 + ... + т2ях3 + ... + т2пхп = д2

"Ь - - • ТПапХп —

>

которая получена из конечного числа уравнений исходной системы. Теорема доказана.

1.3.3. Рассмотрим алгебру формальных степенных рядов Ър[[1а |а 6 21]] от переменных над кольцом целых р-адических чисел с проконечной топологией, которая была определена в разделе 1.1. Напомним, что базу окрестностей нуля составляют идеалы вида

Мп+ £ 1а ■ ЪРА,

где М = р-ХрА+^у Ьа-ЪРА — максимальный идеал. Пусть I — произвольный замкнутый простой идеал рассматриваемого кольца. Обозначим через Я фактор-кольцо по этому идеалу и оставим за образом идеала М в Я то же самое обозначение. Через Ьт{Я) обозначим

группу матриц из (./?), сравнимых с единичной по модулю М. Она является иро-р-группой.

Стандартной линейной про-р-группой назовём всякую про-р-групиу, которая вкладывается в Ьт{К).

Теорема 1.4. Группа С = Ьт(В), а значит, и любая её подгруппа нётеровы по уравнениям.

Доказательство. Рассмотрим кольцо формальных степенных рядов Я[[у\^)} с

(к)

коэффициентами из Я от переменных у- - , где г, ] = 1,..., т; к = 1,..., п. Из элементов

1 , (<0 ,{к)

(к)

х)/ -

Уц,

составим матрицы Х^ = (х^). Обозначим через (^[Л^1',..., подгруппу в

]])» порождённую (7 и матрицами ..., Покажем, что она является

группой уравнений над С от переменных Х^г\ ... ,Х(-п\ Для этого заметим, что всякое отображение

Х[к) -> А{к) € С 13

продолжается до С-эпиморфизма

т.к. отображение >■ а^ определяет /^-эпиморфизм колец

л,

затем возникает (^-эпиморфизм групп

ЬтШУ™]]) Ьт{Щ = С, его ограничение па С[Х^\ ... дает искомый эпиморфизм

СрГ(1),...,Х(п)] С. Возьмём теперь произвольную систему уравнений

{гуа(Х^,...,Х^) = Е}. (1.3)

Приравнивая соответствующие элементы матриц, получаем некоторую систему

(к}

уравнений над Я, от переменных у^ :

{Ур(Уп1 • • • > Утт) — 0}' (1-4)

здесь ур £ Щ[У^])- Обозначим через Я' иоле частных кольца

Я. Кольцо Щу^]]

нётерово, поэтому идеал, порождённый левыми частями системы (1.4), порождается некоторым конечным подмножеством множества {ур}. Тогда система (1.4) эквивалентна своей соответствующей конечной подсистеме, которая в свою очередь является следствием конечного числа уравнений системы (1.3). Теорема доказана.

Следствие 1.1. Свободные нилъпотентные про-р-группы, а также свободные метабелевы про-р-группы любых рангов нётеровы по уравнениям.

Доказательство. Укажем матричные представления этих групп. 1) Пусть Я обозначает кольцо формальных степенных рядов над Хр, построенных на множестве {х1а,...,хпа | а £ Щ. Обозначим через Ха матрицу из Ьп+\{Я), которая отличается от единичной только элементами, расположенными на местах (1,2), (2,3),..., (п. и + 1), где стоят соответственно х1а,..., хпа. Группа, порождённая

этими матрицами, является свободной п-ступенно нильпотентной про-р-группой, и указанные порождающие составляют её базу (подобный факт известен для абстрактных групп, случай про-р-групп аналогичен).

2) Пусть теперь Я обозначает кольцо формальных степенных рядов над Ър, построенных на множестве {ха,уа | а € 21}. Полагаем

Из [19] (см. также [24]) следует, что мы получили представление в Ь2(Я) свободной 2-ступенно разрешимой про-р-группы с базой {Ха | а € 21}.

1.4 Примеры про-р-групп, не являющихся нётеровыми по уравнениям

Приведём два примера про-р-групп, которые не будут нётеровыми по уравнениям. Для абстрактных групп похожие примеры построены в работе [4].

1.4.1. Пусть А и В — свободные абелевы про-р-группы с базами {ао,аь...} и {£>о, ...} соответственно. Как упоминали выше, последовательности {«¿}, {Ьг} сходятся к 1. Обозначим через С двуступенно нильпотентное произведение А и В. Как и в абстрактных группах, его коммутант (он же центр) является свободной абелевой про-р-группой с базой {[Ь^а^ | г, у — 0,1,...}. Наложим на элементы группы С дополнительные соотношения:

[Ьп, ао] = [Ьп, аа] = ... = [Ьп, ап] = 1,...,

т.е. рассмотрим фактор-группу Б — С/Н, где Н — подгруппа из С, порождённая левыми частями соотношений (1.5). Рассмотрим систему уравнений от одной переменной

[х,ао] = 1, [х,ах] = 1,...

Эта система не эквивалентна никакой своей конечной подсистеме

[¿»О, "о] = 1, [Ьиао] = {Ьх,ах} = 1,.

(1.5)

[х, а0] = 1, [х, ах] = 1,..., [х, ап) = 1,

т.к. х = Ъп — решение подсистемы, а [Ьп, ап+г] ф 1.

Тем самым построена 2-ступенно нильпотентная про-р-груииу которая не является нётеровой но уравнениям. Эта группа, естественно, не конечно порождена, т.к. конечно порождённые нильпотентные про-р-группы пётеровы по уравнениям.

1.4.2. Рассмотрим кольцо формальных степенных рядов от трёх переменных Я = и в нем максимальный идеал М = (р,£,УъУ2)- Множество 3x3- матриц над 2Р[[£,уьз/г]]) сравнимых с единичной по модулю М, образует про-р-группу Ь3(Я). Возьмём в этой группе подгруппу С? = (с\, с2, с1х, с/2), где

(\ 0 (Л

С\

I 1 0 0 0 1

0 (Л

| с2

0 1 о о г 1

¿х =

1 о о

0 1-У! 0 О О 1

\ /

,<¿2 =

1 о

О 1-у2 0 0 О 1

\

Положим

а0 = с1,а1 = [а0 \ (1Х а2 = [ах \ с1г а3 = [а2 \ йх ... Ъо = С2, Ьх = [<¿2, &о], Ь2 = [¿2. 61], Ьз = [¿2, 62], • • • Непосредственно проверяется, что

1 0 0 1у1 1 0 0 0 1

\Р"П1 Ьт\

5 ^тп

1 о о

0 1

0 (у.

1 о о 0 1 о

¿2 П,п„,т

0 I)

Заметим, что множество {[ап,Ьт] | п,т, е М} линейно независимо над Ър. Поэтому группа С содержит в качестве подгруппы группу С из предыдущего примера. Пусть Я и В обозначают то же, что и в примере 1.4.1. Из того, что Н содержится в центре группы С, следует С/Н ^ С/Н = Б. Группа <2/Я не является нётеровой по уравнениям, т. к. нётеровой не является её подгруппа И.

В результате построен пример центрально метабелевой про-р-группы С/Я с четырьмя порождающими, которая не является нётеровой по уравнениям.

1.5 Координатные группы неприводимых

алгебраических множеств, универсальные теории и дискриминируемость

Пусть А и В — прокоиечные С-груипы. Будем говорить, что группа А С-дискриминируется группой В, если для всякого конечного набора неединичных элементов из А существует С-гомоморфизм А —> В, такой что образы элементов набора остаются неедшшчпыми. Это условие равносильно тому, что для всякого конечного подмножества из А существует С-гомоморфизм А —» В, действующий инъективно на данном подмножестве.

Пусть С — проконечная группа. Универсальной формулой над С назовём предложение вида \/хх,.... хпФ(х), где Ф(х) — дизъюнкция конъюнкций конечного числа равенст или неравенств вида ь(х) — 1 или у(х) Ф 1, ь(х) 6 Р = С * (х15... ,хп).

Универсальной теорией над С? проконечной С-группы Н назовём совокупность 1/а(Н) всех универсальных формул над С, истинных на Я.

Следующие две теоремы аналогичны соответсявующим утверждениям об абстрактных группах из [25,33]

Теорема 1.5. Пусть Л и В две проконечныс С-группы, причём обе нётеровы по уравнениям с коэффициентами из С. Тогда эквивалентны, следующие условия:

1) ис(А) = ис(В);

2) группа А локально С-дискриминируется группой В и наоборот.

Доказательство. 1) => 2). Пусть К — конечно порождённая С-подгруппа в А. Рассмотрим её представление как С-групны через образующие и соотношения К = (х1,..., хп, С | га(х) = 1,а € 21), х = (х\,... ,хп). Другими словами, К является фактор-группой группы Р — С * ..., хп) по нормальной подгруппе, порождённой элементами га(х). Рассмотрим систему уравнений {га(х) = 1 | а £ 21} на В. Она эквивалентна некоторой своей конечной подсистеме {гх(х) = 1 ,...,гт(.т) = 1}. Пусть и-[(х),... ,У1(х) представляют нетривиальные элементы в К. Возьмём формулу

З.гь . .. ,хп(гг(х) = 1 Л .. .Агт(х) = 1АЬ1(х) ф 1 Л ... Ау^х) ф 1).

Поскольку эта формула истинна на А, то в силу условия 1 она истинна на В. Пусть Ъ - (&!,... А) € Вп и г,(Ь) = ... = гт(Ь) = 1 ,ьг(Ь) Ф ф 1. Т. к. га(Ь) = 1

для всех a G 21, то G-подгруппа в В, порождённая Ьх,..., Ьп, является (7-гомоморфным образом группы К, и при гомоморфизме образы элементов vx(x),... ,vt{x) отличны от единицы. Значит группа А локально G-дискриминируется группой В.

2) 1). Эта импликация легко получается из того, что всякая конечная подмодель одной группы вкладывается в другую группу. Теорема доказана.

Теорема 1.6. Пусть А конечно пороо/сдённая проконеч.ная G-группа, которая нётерова по уравнениям с коэффициентами из G. Тогда эквивалентны следующие условия:

1) А — координатная группа неприводимого алгебраического множества над G;

2) группа A G-дискриминируется группой G;

3) ис(А) = Ug(G).

Доказательство. 1) 2). Пусть S — неприводимое алгебраическое множество из Gn и А = Г(5) = F/I(S), где F = G * (жь...,х„>, х = (хх,... ,хп). Пусть vx (.т),..., vm(x) G F представляют нетривиальные элементы в А, т.е. не лежат в /(£). Положим St = {s £ S | Vi(s) = 1}, i = 1,... ,т. Каждое Si является собственным замкнутым подмножеством в S и последнее множество неприводимо, поэтому S^U.. .U5m < S. Выберем элемент s0 £ ¿Д^и.. .U^). Отображение x н-> s0 определяет G-эпиморфизм А -> G, для которого образы всех элементов vx(x)I(S),... ,vm(x)I(S) отличны от 1.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Афанасьева, Светлана Григорьевна, 2014 год

Литература

[1] Афапфсьева С.Г., Романовский Н. С. Жёсткие метабелевы про-р-группы // Алгебра и логика. - 2014. - Т. 53, Л'« 2. - С. 162-177.

[2] АфанфсъеваС.Г. Координатная группа аффинного пространства над жёсткой метабелевой про-р-группой // Алгебра и логика. — 2014. — Т. 53, № 3. — С. 295-299.

[3] Афанасьева С.Г. Об универсальной эквивалентности жестких метабелевых про-р-групп // Тезисы Межународной (44-й Всероссийской) молодежной школы-конференции «Современные проблемы математики». — Екатеринбург, 2013. — С. 3-4.

[4] Гупта Ч.К., Романовский Н. С. Нётеровость по уравнениям некоторых разрешимых групп// Алгебра и логика. — 2007. — Т. 46, № 1. — С. 46-59.

[5] Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами II: Основания // Фундаментальная и прикладная математика. - 2012. - Т. 17, № 1. - С. 65-106.

[6] Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. IV. Эквациональные области и ко-области // Алгебра и логика. - 2010. - Т. 49, № 6. - С. 715-756.

[7] Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. V. Случай произвольной сигнатуры // Алгебра и логика. - 2012. - Т. 51, 1. - С. 41-60.

[8] Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Универсальная алгебраическая геометрия // ДАН. - 2011. — Т. 439, № 6. — С. 730-732.

[9] Ершов Ю.Л. О проконечных группах // Алгебра и логика. — 1980. — Т. 19, № 5. — С. 552-565.

[10] МелешеваС.Г. Нетеровость по уравнениям и алгебраическая геометрия над проконечными группами // Материалы ХЬУШ Международной научной

студенческой конференции «Студент и паучио-техиические прогресс». — Новосибирск, 2010. - С. 15-16.

[11] Мелешева С.Г. Об основаниях алгебраической геометрии над проконечиыми группами ,// Материалы XLVII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-тсхничсскис прогресс», посвященной 50-лстию НГУ. — Новосибирск, 2009. С. 76-77.

[12] Мелешева С.Г. Об основаниях алгебраической геометрии над проконечными группами // Тезисы Международной школы-семинара «Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах = New algebraic-logical methods in solutions for systems of équations in algebraic structures». — Омск, 2009. - С. 45.

[13] Мелешева С.Г. Об основаниях алгебраической геометрии над проконечными группами / / Тезисы Международной конференции «Мальцевские чтения», посвященная 100-летию со дня рождения Анатолия Ивановича Мальцева. — Новосибирск, 2009. - С. 70.

[14] Мелешева С.Г. Об уравнениях и алгебраической геометрии над проконечными группами // Алгебра и логика. — 2010. — Т. 49, № 5. — С. 654-669.

[15] Мелешева С.Г. Элементы алгебраической геометрии над проконечными группами // Труды Международной конференции «Стохастические модели в биологии и предельные алгебры = Stochastic models in biology and limit algebras». — Омск, 2010. - С. 66-68.

[16] Мясников Л.Г., Романовский H. С. Об универсальных теориях жестких разрешимых групп // Алгебра и логика. — 2011. - Т. 50, № 6. — С. 802-821.

[17] Нейман X. Многообразия групп. — Москва: Мир, 1969. — 264 с.

[18] Ремесленников В.Н., Романовский Н. С. Неприводимые алгебраические множества в метабелевой группе // Алгебра и логика. — 2005. — Т. 44, № 5. — С. 601-621.

[19] Ремесленников В.H. Теоремы вложения для проконечных групп // Изв. АН СССР, сер. матем. - 1979. — Т. 43, > 2. — С. 399-417.

[20] Романовский H. С. Делимые жесткие группы // Алгебра и логика. — 2008. — Т. 47, Л'« 6. - С. 762-776.

[21] Романовский Н. С. Копроизведения жестких групп // Алгебра и логика. — 2010. — Т. 49, Л'« 6. - С. 803-818.

[22] Романовский Н. С. Неприводимые алгебраические множества над делимыми распавшимися жесткими группами // Алгебра и логика. — 2009. — Т. 48, № 6. — С. 793-818.

[23] Романовский Н. С. Нетеровость по уравнениям жестких разрешимых групп // Алгебра и логика. — 2009. - Т. 48, № 2. — С. 258-279.

[24] Романовский Н. С. О вложениях Шмелькина для абстрактных и проконечных групп // Алгебра и логика. — 1999. — Т. 38, № 5. — С. 598-612.

[25] Baumslag G., Myasnikov A., RemeslennikovV. Algebraic geometry over groups. I: Algebraic sets and ideal theory // J. Algebra. - 1999. - Vol. 219, No. 1. — P. 16-79.

[26] Chapuis 0., V-free metabelian groups // J.Symbolic Logic. — 1997. — Vol. 62, № 1. — P. 159-174.

[27] DaniyarovaE., Miasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over algebraic structures III: Equationally Noetherian Property and Compactness // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. - 2011. — Vol. 35. - P. 35-68.

[28] DaniyarovaE., Miasnikov A., Remeslennikov V. Unification theorems in algebraic geometry // Algebra and Discrete Mathematics. — 2008. — № 1. — P. 80-112.

[29] Kharlampovich О., Myasnikov A. Algebraic geometry over free groups: Lifting solutions into generic points // Contcmp. Math. — 2005. — Vol. 378. — P. 213-318.

[30] Kharlampovich 0., Myasnikov A. Elementary theory of free nonabelian groups //J. Algebra. - 2006. - Vol. 302 No. 2. - P. 451-552.

[31] Kharlampovich 0., Myasnikov A. Irreducible affine varieties over free group I: Irreducibil-ity of quadratic equations and Nullstellensatz // ,J. Algebra. — 1998. — Vol. 200, No. 2. - P. 472-516.

[32] Kharlampovich 0., Myasnikov A. Irreducible affine varieties over free group II: Systems in trangular quasi-quadratic form and description of residually free groups //J. Algebra.

- 1998. - Vol. 200, Xo. 2. - P. 517-570.

[33] Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups. II. Logical foundations //J. Algebra. - 2000. - Vol. 234, No. 1. - P. 225-276.

[34] Myasnikov A., Romanovskiy N. Krull dimension of solvable groups // J.Algebra. — 2010.

- Vol. 324, № 10. - P. 2814-2831.

[35] RibesL., ZalesskiiP. Profinite groups. — Berlin: Springer-Verlag, 2000. — 435 p.

[36] Romanovskiy N. S. Presentations for rigid solvable groups // ,1. Groiip Theory. — 2012.

- Vol. 15, № 6. - P. 793-810.

[37] Sela Z. Diophantine geometry over groups I: Makanin-Razborov diagrams // Publications Mathématiques de l'IHES. - 2001. - № 93. - P. 31-105.

[38] SelaZ. Diophantine geometry over groups VI: The elementary theory of a free group // GAFA. - 2006. - № 16. - P. 707-730.

[39] Wilson J.S. Profinite groups. — Oxford: Clarendon Press, 1988. — 296 p.