Топология Зарисского на алгебраических системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Котов, Матвей Владимирович

• Котов, Матвей Владимирович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Котов, Матвей Владимирович

Содержание

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Языки и алгебраические системы

1.2. Уравнения и алгебраические множества

1.3. Топология Зарисского

1.4. Нётеровость по уравнениям

1.5. Радикалы и координатные алгебры

1.6. Дуальная эквивалентность категории алгебраических множеств

и категории координатных алгебр

1.7. Объединяющие теоремы

1.8. Обобщения свойства нётеровости по уравнениям

1.9. Эквациональные области

1.10. Топологические алгебраические системы

Глава 2. Нётеровость по уравнениям и её обобщения

2.1. Нётеровость по уравнениям фактор-алгебр

2.2. Пример слабо нётеровой по уравнениям алгебры, которая не является нётеровой по уравнениям

2.3. Пример алгебры, которая является q^-компактной, но не является и^-компактной

2.4. Необходимые условия и п^-компактности

2.5. Нётеровость по уравнениям от п неременных

2.6. Нётеровость по уравнениям и расширения языка

Глава 3. Некоторые результаты о топологии Зарисского

3.1. Непрерывность в топологии Зарисского

3.2. Образы алгебраических множеств при термальных отображениях

3.3. Совпадение совокупности алгебраических множеств с совокупно-

стью замкнутых в заданной топологии множеств

3.4. Совпадение топологии Зарисского с заданной топологией

Глава 4. О топологизируемости счётных нётеровых по уравнениям алгебр

4.1. Связь между топологизируемостью и дискретностью топологии Зарисского

4.2. Топологизируемость нётеровых по уравнениям алгебр

4.3. Доказательство критерия А. Д. Таймапова

Предметный указатель

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топология Зарисского на алгебраических системах»

Введение

Актуальность темы исследования. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами — это раздел математической логики в котором изучаются решения систем уравнений над произвольными алгебраическими системами. Г. Баумслагом, А. Г. Мясниковым и В. Н. Ремесленниковым были написаны работы [1, 2], в которых строилась алгебраическая геометрия над группами. Затем разработанный в этих работах подход Э. Ю. Данияровой, А. Г. Мясниковым и В. Н. Ремесленниковым был обобщён на случай произвольных алгебраических систем. Ими была написана серия статей [3-8] в которой развивается алгебраическая геометрия над произвольными алгебраическими системами. Также Б. И. Плоткин опубликовал ряд работ [9, 10] по универсальной алгебраической геометрии, в которых рассматривались близкие вопросы. Также стоит отметить работы А. Г. Пинуса [11, 12] в этом направлении.

Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами ставит перед собой следующие задачи [4]:

1. Перенос основных понятий и идей с алгебраической геометрии над конкретными алгебраическими системами на случай произвольной алгебраической системы.

2. Формулировка общих результатов и доказательство их без использования специфики конкретных алгебраических систем.

3. Последующее развитие общей теории, решение задач, которые естественно возникают на этом пути.

Основными объектами изучения алгебраической геометрии над алгебраическими системами являются алгебраические множества — множества решений систем уравнений. Основная задача алгебраической геометрии над алгебраическими системами — описание алгебраических множеств.

Эта задача решена в цикле работ Э. Ю. Данияровой, А. Г. Мясникова и В. Н. Ремесленникова, ими было показано, что классификация алгебраических множеств с точностью до изоморфизма сводится к задаче классификации координатных алгебр, а также доказаны так называемые объединяющие теоремы, которые дают описание координатных алгебр с семи различных точек зрения.

По любой алгебраической системе Л можно построить различные серии топологий, взяв в качестве предбазы замкнутых множеств совокупность формульных множеств для некоторого подмножества формул. Если мы возьмём в качестве предбазы замкнутых множеств совокупность множеств решений всех систем уравнений от п переменных, то получим серию топологий Зарисско-го Зд)г на алгебраической системе Л. В случае, когда алгебраическая система является полем, эта топология была введена в рассмотрение О. Зарисским [13]. В случае групп, топология Зарисского появляется в работе А. А. Маркова [14] в связи с решением задачи тонологизируемости групп, а также в работе Р. Врайн-та [15]. В дальнейшем топология Зарисского па группах изучалась в работах Г. Баумслага, А. Г. Мясникова и В. Н. Ремесленникова [1, 2]. На дистрибутивных решётках топология Зарисского рассматривалась в работе [16], а над алгебрами Ли — в работе [17]. В работах Э. Ю. Даиияровой А. Г. Мясникова и В. Н. Ремесленникова [3, 4] топология Зарисского определена для произвольной алгебраической системы, а также изучен ряд свойств этой топологии.

В случае, когда любая система уравнений эквивалентна над алгебраической системой Л своей некоторой конечной подсистеме, говорят, что алгебраическая система является пётеровой по уравнениям. Оказывается, что это свойство эквивалентно тому, что для любого п топология Зарисского За?), является нётеровой. Поля являются нётеровыми но уравнениям в силу теоремы Гильберта о базисе. Нётеровы по уравнениям группы изучались в работах [1, 15, 18]. Если алгебраическая система обладает свойством нётеровости по уравнениям, то это должно считаться удачей, так как это позволяет применить ряд теорем при построении алгебраической геометрии над этой алгебраической системой,

например, теорему о разложении алгебраического множества па неприводимые компоненты или объединяющие теоремы. В силу этого необходимо изучать свойство нётеровостн по уравнениям. Ряд результатов получен в упомянутом выше цикле работ [3-8]. Некоторые результаты получены автором и приведены в главе 2.

Было замечено, что ряд результатов о нётеровых по уравнениям алгебраических системах, например, объединяющие теоремы, остаётся верен, если требовать выполнение более слабых свойств. Поэтому Э. Ю. Данияровой, А. Г. Мяс-ннковым и В. Н. Ремесленниковым в [5] было предложено ряд обобщений свойства нётеровостн но уравнениям: слабая нётеровость по уравнениям, q£l^-компактность, Цу-компактность и т. д. Взаимосвязи между этими свойствами были изучены в работе [5], а также в работе А. Н. Шевлякова [19] и в работе автора [20]. В частности, в последней работе было введено понятие ^-систем, и были доказаны необходимые условия qu^- и и^-компактности. А. Н. Шевляков в своей работе [21] продолжил эти исследования, и изучил случаи, когда эти условия являются ещё и достаточными.

Если снабдить алгебраическую систему топологией, в которой все основные функции непрерывны, а все отношения являются замкнутыми множествами, то получим топологическую алгебраическую систему. В этом случае некоторую информацию об алгебраических множествах можно получить из свойств полученного топологического пространства. Например, хорошо известно, что множества решений полиномиальных уравнений над полем М будут замкнутыми в евклидовой топологии множествами. Можно показать, что аналогичное утверждение имеет место в случае произвольной топологической алгебраической системы с хаусдорфовой топологией. Для некоторых топологических алгебраических систем Л = (А, 1, Ь) верно и обратное, то есть любое замкнутое в топологии Т" множество X С Ап является алгебраическим над Л множеством. Такие алгебраические системы изучаются в главе 3. Заметим, что в этом случае мы получаем описание алгебраических множеств, а в этом и состоит основная

задача алгебраической геометрии над алгебраическими системами. Для некоторых топологических алгебраических систем, для которых пе имеет место совпадение совокупности алгебраических множеств с совокупностью замкнутых в заданной топологии множеств, удаётся доказать более слабую теорему о том, что топология Зарисского совпадает с заданной топологией. Такие алгебраические системы также изучаются в главе 3. Также отметим, что некоторые свойства топологии па алгебраической системе, например, хаусдорфовость, можно выразить на языке уравнений над этой алгебраической системой.

В работе А. Г. Пинуса [11] рассматриваются решётки алгебраических множеств 21д)П. Понятно, что свойства этих решёток полностью определяются алгебраической системой. В этой работе отмечено, что иногда удаётся сделать и обратное —• из некоторых свойств решёток алгебраических множеств вывести некоторые свойства алгебраической системы. В диссертации показано, что эту же идею можно применить к топологии Зарисского па алгебраической системе.

Алгебраическая система называется топологизируемой, если её можно наделить недискретной хаусдорфовой топологией.

Дж. Килтинен [22] показал, что любое бесконечное тело топологизируемо, аналогичный результат получен А. Д. Таймаповым [23]. Также топологизиру-мость полей изучалась в работе К.-П. Подевского [24] и А. Ф. Мутылина [25]. А. А. Марковым [14] был доказан критерий топологизируемости группы и поставлен вопрос о существовании бесконечной петопологизируемой группы был поставлен А. А. Марковым [14]. В 1967 году А. И. Мальцев поставил вопрос о топологизируемости других бесконечных алгебраических систем [26, стр. 375]. Дж. Хансон построил пример пстопологизируемого группоида [27], А. Д. Тайма-пов построил пример петопологизируемой полугруппы [28], а В. И. Арнаутов — пстопологизируемого кольца [29]. Несчётные нетопологпзируемыс группы были построены С. Шелахом [30] и Г. Хессе [31]. А. Ю. Ольшанский построил счётную нетоиологизируемую группу [32]. А. А. Клячко и А. В. Трофимов построили счётную нетопологизируемую конечно порождённую группу без кру-

чения [33]. Критерий топологизируемости кольца был доказан В. И. Арнаутовым [34]. Критерии топологизируемости алгебраических систем были доказаны К.-П. Подевским [35] и А. Д. Таймановым [23, 36].

Оказывается критерии А. А. Маркова, К.-П. Подевского и А. Д. Тайма-нова можно просто переформулировать с использованием понятия топологии Зарисского: топологизиуемость счётных алгебраических систем оказывается эквивалентной нсдискретности соответствующих топологий Зарисского. И как показано в главе 4, свойство нётеровости по уравнениям влечёт недискретность топологии Зарисского, следовательно, любая счётная нётерова по уравнениям алгебраическая система является топологизиемой. Это утверждение обобщает целый ряд ранее известных утверждений о топологизируемости конкретных алгебраических систем.

Цели и задачи диссертационной работы: Перечислим цели данной работы.

1. Изучить общие свойства нётеровых по уравнениям алгебраических систем.

2. Изучить взаимосвязи между иётеровостыо по уравнениям, qw-, и iLj-компактностью и слабой иётеровостыо по уравнениям.

3. Показать, что нётеровы по уравнениям аигебраические системы являются топологизируемыми.

4. Изучить топологию Зарисского и совокупность алгебраических множеств для алгебраических систем (N, +, min, max, 0,1), (М, +, —, min, max, •, 0,1) и ряда других.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и перечислены ниже.

1. Доказано, что любая фактор-алгебра нётеровой по уравнениям алгебры

по конгруэнции замкнутой в топологии Зарисского является пётеровой по уравнениям.

2. Построены примеры, показывающие, что существуют слабо нётеровы по уравнениям алгебры, которые не являются нётеровыми по уравнениям, и существуют qw-компактные алгебры, которые не являются компактны ми.

3. Доказаны необходимые условия и uw-компактности, использующие понятия ^-систем уравнений.

4. Показано, что любая счётная нётерова но уравнения алгебра является топологизируемой.

5. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых хаусдорфова топология па алгебраической системе совпадает с топологией Зарисского на этой алгебраической системе, и условия, при которых совокупность алгебраических множеств совпадает с совокупностью множеств замкнутых в хаусдорфовой топологии, заданной на этой алгебраической системе.

Методы исследования. В качестве методов исследования использовались методы теории моделей, универсальной алгебры и топологии.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применены при дальнейшем развитии алгебраической геометрии над алгебраическими системами.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Международная конференция «Мальцсвские чтения» (ИМ им. С. Л. Соболева, Новосибирск, 2009, 2010, 2011, 2012 гг.), Международная школа-семинар «Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений» (Омск, ОФ I4M им. С. Л. Соболева, 2009 г.), 9-ая международная летняя школа «Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры» (ИМ им. С. Л. Соболева, Новосибирск,

2011 г.), Международная конференция «Полиномиальная компьютерная алгебра» (МММ им. Л. Эйлера, Санкт-Петербург, 2012 г.), Конференция «Алгебра, алгоритмы и вычисления на суперкомпьютерах» (ОФ ИМ им. С. Л. Соболева, Омск, 2012 г.).

А также на следующих научных семинарах: Омский алгебраический семинар (ОФ ИМ им. С. Л. Соболева СО РАН, Омск, 2011 г.), Семинар «Теория моделей» (ИМ им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, 2011 г.), Геометрический семинар (ОФ ИМ им. С. Л. Соболева СО РАН, Омск, 2012 г.), Семинар «Геометрия, топология и их приложения» (ИМ им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, 2012 г.), Семинар «Алгебра и логика» (НГУ, Новосибирск, 2012 г.)

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 6 статьях, из них 3 статьи в журналах из списка рекомендованных ВАК РФ [37-39), 2 статьи в рецензируемых журналах [20, 40], 1 статья в сборнике трудов конференций [41], а также 5 тезисов докладов [42-46]. Статья [40] написана совместно с Ю. С. Дворжецким при равном вкладе соавторов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из оглавления, введения, 4 глав и списка литературы. Общий объём диссертации — 91 страница. Библиография включает 70 наименований.

В первой главе приведены необходимые понятия и формулировки теорем из алгебраической геометрии над алгебраическими системами и теории моделей, а также сделан обзор результатов, связанных с топологией Зарисского, свойством нётеровости по уравнениям и её обобщениями, тоиологизирусмостыо алгебраических систем.

Вторая глава посвящена свойству нётеровости по уравнениям и её обобщениям; приведены пример алгебраической системы, являющейся слабо иёте-ровой по уравнениям, но не являющейся нётеровой по уравнениям, и пример компактной алгебраической системы, которая не является ^-компактной; доказана теорема о том, что фактор-алгебра нётеровой по уравнениям алгебры по конгруэнции замкнутой в топологии Зарисского является нётеровой по

уравнениям; приведён пример алгебры, показывающий, что из нётеровости от п переменных вообще говоря не следует нётеровость по уравнениям ни для какого п] также доказана лемма, показывающая в каких случаях расширение нётеровой по уравнениям алгебры константами не приводит к нарушению свойства нётеровости; сформулированы и доказаны необходимые условия и qÍJ-кoмIIaктнocти, использующие понятие ^-систем уравнений.

В третьей главе изучается оператор замыкания в топологии Зарисского, непрерывные отображения в топологии Зарисского; показано, что образы алгебраических множеств при термальных отображениях в случае нётеровых по уравнениям моделей теорий, допускающих элиминацию кванторов поддаются достаточно хорошему описанию; доказаны теоремы, показывающие когда совокупность алгебраических множеств совпадает с заданной на алгебраической системе топологией, и когда топология Зарисского совпадает с заданной на алгебраической системе топологией; приводится множество примеров использования этих теорем.

В четвёртой главе устанавливается связь между топологизируемостью алгебры и недискретностыо топологии Зарисского; даются формулировки критерия К.-П. Подевского и А. Д. Тайманова о топологизируемости с помощью понятия топологии Зарисского; доказывается, что любая счётная нётерова по уравнениям алгебра является топологизируемой; приводятся примеры применения этой теоремы к конкретным алгебраическим системам; приводится доказательство критерия А. Д. Тайманова.

Глава 1

Предварительные сведения

В этом разделе приведены необходимые определения и формулировки теорем из теории моделей и алгебраической геометрии над алгебраическими системами. Изложение в основном следует циклу работ Э. Ю. Данияровой, А. Г. Мяс-никова и В. Н. Ремесленникова [3-7].

1.1. Языки и алгебраические системы

Напомним, что языком L называется набор из трёх множеств Fl, Rl-, Cl, и функции п: F^URl —>■ N\{0}, где множество Fl называется множеством функциональных символов языка L, множество Rl — множеством предикатных символов, множество Cl — множеством константных символов, а значения функции п — местностью символа. Если множество предикатных символов пусто, то такой язык будем называть функциональным.

Введём обозначения для следующих языков: LRr = {■,,1} — язык теории групп, Ljat = {V, А} — язык теории решёток, Lor(\ = — язык теории частично упорядоченных множеств. = {+, —, [, ], {k-}aek-, 0} ~ язык теории алгебр Ли над полем к.

Пусть х = {х\,х2-...} — множество переменных. Множество термов от переменных х языка L определяется индуктивным образом, а именно, переменные и константные символы — термы; если ii,... ЛП} — термы и / — функциональный символ местности пу, то /(¿ь • - • ,tnf) также терм; других термов нет.

Множество атолшрных формул языка L определяется следующим образом. Если г — предикатный символ местности пг, a i],...,t„r — термы, то r(ii,... tUr) — атомарная формула; если t\ и ¿2 — термы, то t\ = ¿2 ~~ атомарная формула.

Множество формул также определяется индуктивным образом. Все атомарные формулы — это формулы; если (риф— формулы, то -19?, {'-р V ф). (<р Л ф), 3х(р и \/х<р также формулы; других формул нет.

Пусть Ь — язык, алгебраической сисгпелюй Л языка Ь называется набор из непустого множества А, называемого носителем, функций /Л: Ап/ —> А для всех функциональных символов / £ предикатов гл С АПг для всех предикатных символов г £ Дс,, и элементов с4 для всех константных символов с € Сь. Соответствующие функции, предикаты и элементы называются интерпретациями символов языка. Алгебраическую систему А будем записывать в виде {А,{/л}1&Р[/,{гл}геЯь,{сА}сеС1), или же просто (А,Ь), если интерпретации ясны из контекста.

Алгебраические системы функциональных языков будем называть алгебрами.

Введём следующее удобное обозначение. Пусть Ь — язык, А — множество, и В С А. Тогда язык, полученный из Ь добавлением множества константных символов {сь]ь&в-, обозначим Ьи- Если А = (А,Ьв) - алгебраическая система такого языка, то будем подразумевать, что с^ = 6 для любого Ь Е В.

Пусть Ь — некоторый язык, А = {А, Ь) — алгебраическая система языка Ь, тогда любому терму Ь(х\,..., хп) языка Ь соответствует очевидным образом определённая функция Ь^: А"- —> А. Отображение /: Ап —V Ат называется термальным отображением, если существуют такие термы ^(х),^*),... ,£т(х) языка Ь от п переменных х, что /(а) = (¿^(а), (а), • • • > ¿т(а)) Для всех а £

Следуя А. И. Мальцеву [47], термальные отображения А —А будем называть трансляциями алгебраической системы А. Произведение трансляций алгебраической системы Д, определяемое формулой (¿1^2)(х) — снова

является трансляцией. Таким образом, множество всех трансляций алгебраической системы А образует полугруппу — полугруппу трансляций. К числу трансляций относится всегда и тождественное отображение 1с1. Трансляция ¿1 называется обратимой, если существует трансляция ¿2 такая, что = ¿2^1 =

Все обратимые трансляции алгебраической системы А составляют группу обратимых трансляций алгебраической системы А.

1.2. Уравнения и алгебраические множества

Пусть L — язык без предикатных символов, х — конечный набор переменных, ¿(x),s(x) — термы языка L от переменных х. Формулу £(х) = s(x) будем называть уравнением, а формулу i(x) ф s(x) — неравенством. Любое множество уравнений языка L от переменных х будем называть системой уравнений, а любое множество неравенств языка L от переменных х — системой неравенств.

Особо отметим, что всюду далее мы будем рассматривать уравнения и системы уравнений от конечного числа переменных, если явно не оговорено противное.

Пусть А = {А, L) — алгебраическая система языка L. Точка а £ Ап называется решением уравнения s(x) языка L от п переменных х над алгеброй А, если А (= s(a)- Точка а 6 Ап называется решением системы уравнений S(pc) над алгеброй А, если точка а является решением каждого уравнения системы S. Аналогично определяются решение неравенства и решение системы неравенств.

Множество всех решений системы уравнений 5"(х) от п переменных называется алгебраическим над А множеством и обозначается Совокупность всех алгебраических над А множеств В С Ап обозначим 21д)Гг. Совокупность всех алгебраических множеств, которые являются множествами решений систем уравнений вида {¿¿(х) = то есть уравнений, правые части которых являются константными символами, обозначим п. Множество решений системы неравенств S будем также обозначать Vно закреплять какое-либо название за таким множеством не будем.

Будем называть две системы уравнений 5i(x) и 5г(х) эквивалентными

над алгеброй Л и писать 5i(x) £2(х), если V^(<S'i(x)) = У_д(5,2(х)).

Приведём примеры алгебраических множеств.

Пример 1. Пусть Л = {А, L) — произвольная алгебра.

1. Множество Ап является алгебраическим, так как является множеством решений, например, уравнения xi — х\.

2. Если существуют два константных символа с\, с2 £ L таких, что cf ф то пустое множество является алгебраическим, так как

0 = Ул({с1 = С2».

3. Пусть С = {сл, с £ L] — множество элементов, которыми интерпретированы константные символы языка L. Тогда любое одноточечное множество {(ai,..., ап)}, аг 6 С, является алгебраическим, так как

Уд({я1 = «1, ...,хп = ап}) = {(аь ... ,а??)}.

4. Пусть {Y"j, i £ 1} — произвольное семейство алгебраических множеств, тогда пересечение р)ieIY, также является алгебраическим множеством. В самом деле, пусть Yi — V^(¿'¡(х)), i £ /, тогда

iel iei

5. Пусть Y\ и Y2 — алгебраические множества. тогда их декартово произведение Y\ х Y2 также является алгебраическим множеством. Пусть Y\ =

... ,хт)), Y2 = VA(S2(xm+1,.. .,хп)), тогда

Yi х Y2 = VA(Si{x,..., xm) U S2{xm+1,..., xn)).

Пример 2. В работе Э. Ю. Данияровой и В. Н. Ремесленникова [48] изучалась алгебраическая геометрия над свободной конечно порождённой алгеброй

Ли С = (А,Ь\л>а) над полем к. Основную роль в этой работе играет понятие ограниченного алгебраического множества. А именно, алгебраическое множество называется ограниченным, если оно содержится в конечномерном линейном подпространстве пространства А". Любое конечномерное линейное подпространство \¥ алгебры С является ограниченным алгебраическим множеством. В самом деле, пусть имеет базис VI,... ,ьт, и пусть /г(х) = [х,У\\, Мх) = [./■_;,(ж),,/иЫ]- Тогда УсЦт(х) = 0) = ИЛ Подмножество V/ С Ап называется п - параллелепипедом над Ь, если \¥ = х ТУ2 х ... х \¥п, где И7,- — конечномерные линейные подпространства алгебры Ь. Положим

аип(Ж) - сНт^) + ... + (1т(И/п).

Алгебраическое множество У называется ограниченным п-параллелепипедом У/, если У С IV. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. (Даниярова, Ремесленников, [48]) Пусть \¥ — п-параллелепипед над свободной конечно пороо/сдённой алгеброй Ли С над полем к. Алгебраические множества над С, ограниченные параллелепипедом \¥ находятся во взаимно однозначном соответствии с алгебраическими мноэ!сествами над основным полем к, определёнными системами урав71ений от с11т(И/) переменных.

Также ими было показано, что произвольное алгебраическое множество в размерности один над свободной алгеброй Ли — это либо ограниченное множество, либо вся алгебра. В. Н. Ремесленников и Р. Штёр [49] показали, что множество решений уравнения [х,а] + [у, Ь) = 0, где [а,Ь] ф- 0, не является ограниченным.

Попытка развить аналогичную теорию для свободной аптнкоммутативной алгебры Ли предпринималась Э. Ю. Данияровой и И. В. Опскулем в [50].

Пример 3. [1] Пусть С = (С, ~~ группа. Тогда для любого подмножества

М С 6? централизатор Сд(М) множества М является алгебраическим, так как

Сд{М)=Уд{{[х,т] = 1}тем)-16

Пример 4. [40] Рассмотрим алгебру Л\ — (М, тах, •,+,—, 0,1). Класс алгебраических множеств над этой алгеброй достаточно большой. Например, единичный круг является алгебраическим множеством, так как является множеством решений уравнения

тах(х2 + у2 - 1,0) = 0.

Рассмотрим следующую систему уравнений от переменной х. Пусть /г(х) = = ж(ж — 1), и первое уравнение 3\(х) имеет вид тах(/\(х),0) = 0. Множество решений этого уравнения есть отрезок [0,1]. Все последующие уравнения будут также иметь вид тах(/г(ж), 0) = 0, а многочлены ./'¿(ж) строятся следующим образом. Множество решений уравнения б'г_1(.т) над Л\ есть объединение попарно непересекающихся отрезков икку-'К-!^]- Положим

Мх) = П ~ ак) (х ~~ (х - °'к ^ 2Ьк\ (ж - Ьк).

Несложно заметить, что множество решений полученной системы уравнений {й1(ж), з2(ж),...} над Л\ является множеством Кантора [51, стр. 31].

Видно, что над алгебраической системой Л\ являются алгебраическими множества очень сложной структуры. Тем не менее, легко получить описание всех алгебраических множеств. Оказывается совокупность алгебраических множеств совпадает с совокупностью замкнутых в евклидовой топологии множеств. Это будет следовать из теоремы 26.

Пусть Л — некоторая алгебра. Превратим семейство алгебраических множеств аЛ„ в решётку: Л У2 = У1 П У2, Ух V У2 = [}{¥ € 2ЦП | У Э Уг П У2}.

Свойства полученных решёткок связаны со свойствами алгебры Л, рассмотрим несколько интересных примеров, следуя работе А. Г. Пинуса [11].

Пример 5. Алгебра Л называется идемпотпентной, если для любой сигнатурной функции Л Уж /(ж, ж,..., ж) — х.

Утверждение 1. [11] Алгебра Л идемпогпентна тогда и только тогда, когда решётка 21^,1 одноэлементна.

Пример 6. Алгебра называется равномерно локально конечной, если для любого натурального п найдется такое натуральное тп, что все п-порождёииые подалгебры алгебры А имеют не более, чем тп элементов.

Утверждение 2. [11] Алгебра А конечной сигнатуры равнольерно локально конечна тогда и только тогда, когда все решётки 21д.п конечны.

Также в работе [11] доказана следующая теорема.

Теорема 2. [11] Для любой полной решётки С существует алгебра А такая, что С = 21дд •

1.3. Топология Зарисского

Зафиксируем положительное целое число п. Топологией Зарисского па множестве Ап называется топология, предбазой замкнутых множеств которой является совокупность всех алгебраических над А множеств 21д,п. Топологию Зарисского будем обозначать 3л,п- Топологию, предбазой замкнутых множеств является совокупность п, обозначим Уд п. Вместо 3.4,1 иногда будем писать Зд, а вместо Ул1 будем писать Зд-

Для произвольной топологии % через С1(Т) будем обозначать совокупность всех замкнутых в топологии Т множеств. Из определений следует, что £ £ с1(ЗдД *А,п С С1(3Лп) и С Злп. Если над ал-

геброй А любое уравнение эквивалентно некоторому уравнению, правая часть которого является константным символом, то = 3л,п- Примерами таких алгебр являются группы и кольца. Отметим, что, вообще говоря, Ъа,п "Ф Ъ\\-Имеет место следующая важная для нас лемма.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Котов, Матвей Владимирович, 2013 год

Литература

1. Bauirislag G., Myasnikov A. G., Remeslennikov V. N. Algebraic geometry over groups I: Algebraic sets and ideal theory //J. Algebra. 1999. Vol. 219. P. 16-79.

2. Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups. II. Logical foundations // J. Algebra. 2000. Vol. 234. P. 225-276.

3. Daniyarova E. Y., Myasnikov A. G., Remeslennikov V. N. Unification theorems in algebraic geometry // Algebra and Discrete Mathematics. 2008. Vol. 1. P. 80-112.

4. Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. H. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II. Основания //' Фундамент, и прикл. матем. 2012. Т. 17, № 1. С. 65-106.

5. Daniyarova E. Y., Myasnikov A. G., Remeslennikov V. N. Algebraic geometry over algebraic structures III: Equationally Noetherian property and compactness // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. 2011. Vol. 35, no. 1. P. 35-68.

6. Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. H. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. IV. Эквациональные области и ко-области // Алгебра и логика. 2010. Т. 49, № 6. С. 715-756.

7. Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. V. Случай произвольной сигнатуры // Алгебра и логика. 2012. Т. 51, № 1. С. 41-60.

8. Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Универсальная алгебраическая геометрия // ДАН. 2011. Т. 439, № 6. С. 730-732.

9. Plotkin В. Varieties of algebras and algebraic varieties, Categories of algebraic: varieties // Siberian Advances in Math. 1997. Vol. 7, no. 2. P. 64-97.

10. Plotkin В. Varieties of algebras and algebraic varieties // Izrael J. Math. 1996. Vol. 96, no. 2. P. 511-522.

11. Пинус А. Г. О решётках подмножеств универсальных алгебр // Algebra and Model Theory 8: Collection of papers / Ed. by A. G. Pinus, K. N. Ponomarev, S. V. Sudoplatov, E. I. Timoshenko. Novosibirsk: NSTU, 2011. P. 67-72.

12. Пинус А. Г. Алгебраическая и логическая геометрии универсальных алгебр (унифицированный подход) // Фундамент, и приют, матем. 2012. Т. 17, № 1. С. 189-204.

13. Zariski О. The fundamental ideas of abstract algebraic geometry // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Vol. 2. Cambridge, Mass.: 1950. P. 77-89.

14. Марков А. А. О безусловно замкнутых множествах // Матем. сб. 1946. Т. 18(60), № 1. С. 3-28.

15. Bryant R. The verbal topology of a group //J. Algebra. 1977. Vol. 48. P. 340-346.

16. Gierz G., Stralka A. The Zariski topology for distributive lattices // Rocky Mountain Journal of Mathematics. 1987. T. 17, № 2. C. 196-217.

17. Даниярова Э. Ю. Основы алгебраической геометрии над алгебрами Ли /'/ Вестник Омского университета. 2007. Т. Специальный выпуск «Комбинаторные методы алгебры и сложность вычислений». С. 8-39.

18. Baumslag G., Myasnikov A. G., Romankov V. A. Two theorems about equation-ally Noetherian groups // J. Algebra. 1997. Vol. 194. P. 654-664.

19. Shevlyakov A. N. Commutative idempotent semigroups at the service of universal algebraic geometry // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. 2011. Vol. 35, no. 1. P. 111-136.

20. Kotov M. V. Equationally Noetherian property and close properties // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. 2011. Vol. 35, no. 3. P. 419-429.

21. Shevlyakov A. N. Algebraic geometry over linear ordered semilattices // Algebra and Model Theory 8: Collection of papers / Ed. by A. G. Pinus, K. N. Ponomarev, S. V. Sudoplatov, E. I. Timoshenko. Novosibirsk: NSTU, 2011. P. 116-131.

22. Kiltinen J. O. Inductive ring topologies // Trans. Amer. Math. Soc. 1968. Vol. 134. P. 149-169.

23. Тайманов А. Д. О топологизируемости счётных алгебр // Мат. анализ и смежн. вопр. мат. 1978. С. 254-275.

24. Podewski К.-Р. The number of field topologies on countable field // Proc. Amer. Math. Soc. 1973. Vol. 39, no. 1. P. 33-38.

25. Мутылин А. Ф. Пример нетривиальной топологизации поля рациональных чисел. Полные локально ограниченные поля // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1966. Т. 30, № 4. С. 873-890.

26. Справочная книга по математической логике / Под ред. Д. Барвайса. М.: Наука, 1982. Т. 1.

27. Hanson J. An infinite groupoid which admits only trivial topologies // Amer. Math. Mounthly. 1967. Vol. 74. P. 568-569.

28. Тайманов А. Д. Пример полугруппы, допускающей только дискретную топологию // Алгебра и логика. 1973. Т. 12. С. 64-65.

29. Арнаутов В. И. Пример бесконечного кольца, допускающего только дискретную топологию // Математические исследования. 1970. Т. 5, № 3. С. 182-185.

30. Shelah S. On a Kurosh problem: Jonsson groups, Frattini subgroups and un-topologized groups. 1975. Preprint of the Institute of Math.

31. Hesse G. Zur Topologisierbarkeit von Gruppen: Ph. D. thesis / Hannover. 1979.

32. Ольшанский А. Ю. Замечание о счётной нетопологизируемой группе // Вестник МГУ. 1980. Т. 3. С. 103.

33. Klyachko A. A., Trofimov А. V. The number of non-solutions of an equation in a group // J. Group Theory. 2005. Vol. 8, no. 6. P. 747-754.

34. Арнаутов В. И. О топологизациях счётных колец // Сиб. мат. ж. 1968. Т. 9, № 6. С. 1251-1962.

35. Podewski К.-Р. Topologisierung Algebraischer Strukturen //' Rev. Roum. Math. Pures Appl. 1977. Vol. 22, no. 9. P. 1283-1290.

36. Тайманов А. Д. О топологизации счётных алгебр // Докл. АН СССР. 1978. Т. 243, № 2. С. 284-286.

37. Котов М. В. О топологизириусмости счётных нётеровых по уравнениям алгебр // Алгебра и логика. 2013. Т. 52, № 2. С. 155-171.

38. Котов М. В. Несколько замечаний о топологии Зарисского на алгебраических системах // Вестник Омского университета. 2012. № 4. С. 27-32.

39. Котов М. В. Несколько замечаний о нётеровости по уравнениям // Вестник Омского университета. 2013. № 2. С. 24-28.

40. Дворжецкий Ю. С., Котов М. В. Минимаксные алгебраические системы // Вестник Омского университета. 2008. Т. Специальный выпуск «Комбинаторные методы алгебры и сложность вычислений». С. 130-136.

41. Котов М. В. Алгебраическая геометрия над некоторыми топологическими алгебрами // Algebra and Model Theory 8: Collection of papers / Ed. by

A. G. Pinus, К. N. Ponomarev, S. V. Sudoplatov, E. I. Timoshenko. Novosibirsk: NSTU, 2011. P. 40-47.

42. Котов M. В. Сравнение классов нётсровътх по уравнениям, слабо нётеро-вых по уравнениям и q^-компактных алгебраических систем. // Международная школа-семинар «Новые алгсбро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах»: тезисы докладов. Омск: изд-во Ом. гос. ун-та, 2009. С. 38-39.

43. Котов М. В. Сравнение классов иётсровых по уравнениям, слабо нётеровых по уравнениям и q^-компактных алгебраических систем // Международная конференция «Мальцевские чтения», посвященная 100-летию со дня рождения А. И. Мальцева, 24-28 августа 2009 г. Тезисы докладов. Новосибирск: 2009. Р. 159.

44. Котов М. В. Несколько замечаний о топологии Зарисского на топологических алгебраических системах // Международная конференция «Мальцевские чтения», посвященная 60-летию со дня рождения С. С. Гончарова. 11-14 октября 2011 г. Тезисы докладов. Новосибирск: 2011. Р. 79.

45. Kotov М. V. On the Zariski topology on some algebras admitting quantifier elimination // International Conference «Polynomial Computer Algebra 2012». April 23-28. St. Petersburg, Euler Int. Math. Inst. P. 50-51.

46. Котов M. В. Несколько замечаний о нётеровости по уравнениям // Международная конференция «Мальцевские чтения». 12-16 ноября 2012 г. Тезисы докладов. Новосибирск: 2012. Р. 135.

47. Мальцев А. И. К общей теории алгебраических систем // Мат. сб. 1954. Т. 35, № 1. С. 3-20.

t

48. Даниярова Э. Ю., Ремесленников В. Н. Ограниченная алгебраическая геометрия над свободной алгеброй Ли // Алгебра и логика. 2005. Т. 44, № 3. С. 269-304.

49. Remeslemiikov V., Stôhr R. The equation [ж, u] + [y, г>] = 0 in free Lie algebras // Int. J. Algebra Comput. 2007. Vol. 17, no. 5/6. P. 1165-1187.

50. Даниярова Э. Ю., Онскуль И. В. Линейные и билинейные уравнения над свободной антикоммутативной алгеброй // Вестник Омского университета. 2008. Т. Специальный выпуск «Комбинаторные методы алгебры и сложность вычислений». С. 38-49.

51. Александрии Р. А., Мирзаханяп Э. А. Общая топология: Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. школа, 1979.

52. Sela Z. Diophantine geometry over groups VII: The elementary theory of a hyperbolic group // Proc. LMS. 2009. Vol. 99. P. 217-273.

53. Романовский H. С. Нётеровость по уравнениям жёстких разрешимых групп // Алгебра и логика. 2009. Т. 48, № 2. С. 258-279.

54. Morar P. V., Shevlyakov А. N. Algebraic Geometry over the Additive Monoid of Natural Numbers: Systems of Coefficient Free Equations // Combinatorial and Geometric Group Theory: Dortmund and Carleton Conferences. Birkhauser, 2010. P. 261-278.

55. Шевляков A. H. Алгебраическая геометрия над булевыми алгебрами. Готовится к публикации.

56. Горбунов В. А. Алгебраическая теория квазимногообразий. Новосибирск: Научная книга, 1999.

57. Mycielsky J. Compactifications of general algebras // Colloq. Math. 1964. Vol. 13. P. 1-9.

58. Plotkin В. Algebras with the same (algebraic) geometry // Proc. Steklov Inst. Math. 2003. Vol. 242. P. 165-196.

59. Haley D. Equational Compactness in Ring. Berlin and New York: Springer-Vcr-lag, 1979. Vol. 745 of Lecture Notes in Math.

60. Арнаутов В. PL, Водичар M. И., Михалёв А. В. Введение в теорию топологических колен, и модулей. Кишинев: Штиинца, 1981.

61. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973. 3-е изд.

62. Paljutin Е. A., Seese D. G., Taimanov A. D. A remark on the topologization of algebraic structures // Rev. Roum. Math. Pures Appl. 1981. Vol. 26, no. 4. P. 617-618.

63. Zelenyuk Y. Ultrafilters and topologies on groups. De Gruyter, 2011. Vol. 50 of Expositions in Mathematics.

64. Беляев В. В. Топологизация счётных локально конечных групп // Алгебра и логика. 1995. Т. 34, № 6. С. 613-618.

65. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. М.: Мир, 1971.

66. Marker D. Model theory: An introduction. Springer, 2002.

67. Биркгоф Г. Теория решёток. М.: Наука, 1984.

68. Губа В. С. Эквивалентность бесконечных систем уравнений в свободных группах и полугруппах конечных подсистем // Матем. заметки. 1986. Т. 40, № 3. С. 321-324.

69. Kertesz A., Szelc Т. On the existence of non-discrete topologies in the infinite abelian group // Publ. math. 1953. Vol. 3, no. 1/2. P. 187-189.

70. Тайманов А. Д. О топологизации коммутативных полугрупп // Матем. заметки. 1975. Т. 17, № 5. С. 745-748.