Абстрактная стохастическая задача Коши с генератором полугруппы класса (1, А) и с генератором К-конволюционной полугруппы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Здобнова, Светлана Владимировна

• Здобнова, Светлана Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Здобнова, Светлана Владимировна

Введение

1 Некоторые семейства операторов, связанные с абстрактной задачей Коши

1.1 Связь абстрактной задачи Коши с теорией полугрупп.

1.1.1 Полугруппа класса Со и равномерно корректные задачи. "Разреженные" условия равномерной корректности.

1.1.2 Полугруппы класса (О, Л): эквивалентные определения, связь с корректными задачами.

1.1.3 Полугруппы класса (1 , .А). Существование проинтегрированного решения детерминированной задачи

1.2 Я"-конволюционная регуляризация

1.2.1 Х-конволюционная полугруппа.

1.2.2 Неоднородная задача с генератором Л'-конволюционной полугруппы: if-конволюционное решение

1.2.3 Семейство операторов, сопряженных к операторам К-конволюционной полугруппы в гильбертовом пространстве

2 Абстрактная стохастическая задача Коши

2.1 Случайные величины со значениями в гильбертовом пространстве. Q-винеровские процессы.

2.1.1 Определение случайных величин со значениями в гильбертовом пространстве.

2.1.2 Моменты случайной величины и характеристический функционал. Взаимные моменты.

2.1.3 Гауссовы случайные величины и случайные функции

2.1.4 Q-винеровские процессы.

2.2 Стохастические интегралы по Q-винеровскому процессу.

2.2.1 Стохастические интегралы от элементарных функций

2.2.2 Изометрия Ито. Расширение понятия стохастического интеграла.

2.3 Абстрактная стохастическая задача Коши с генератором полугруппы класса (1,А).

2.3.1 Постановка задачи.

2.3.2 Стохастическая свертка и ее свойства.

2.3.3 Существование и единственность слабого решения, вероятностные характеристики

2.4 Абстрактная стохастическая задача Коши с генератором К-конволюционной полугруппы.

2.4.1 Постановка задачи.

2.4.2 К-конволюционная стохастическая свертка. Существование и единственность слабого К-конволюционного решения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Абстрактная стохастическая задача Коши с генератором полугруппы класса (1, А) и с генератором К-конволюционной полугруппы»

При построении моделей реальных систем наряду с детерминированными факторами все чаще стремятся учитывать и воздействие различных случайных факторов. Это приводит к созданию стохастических моделей, а при обращении к абстрактной задаче Коши, основному объекту диссертационных исследований, — к стохастическим задачам со случайными процессами в бесконечномерных пространствах.

Пусть (fi,^7, Р) — вероятностное пространство, U,H — (сепарабельные) гильбертовы пространства. Для конструкции стохастических интегралов в вероятностное пространство вводится система <т-алгебр {Tt | t > 0} — фильтрация.

Рассматривается стохастическая неоднородная задача Коши:

- = AX(t) + BW(t), t € (0, г), г < оо Х(0) = (1) с замкнутым оператором А : D{A) С Н Я, помехами в виде композиции белого шума W(t) и оператора В 6 L(U,H), £ — Н-значная случайная величина. Задача (1) пониматся как интегральное уравнение

X(t)=£+ [ AX(s)ds + BW(t), £е[0,т),т<оо, (2)

J о где W(£) — Q-винеровский процесс со значениями в пространстве ?7 (обобщение винеровского процесса на бесконечномерный случай).

Подход, используемый в исследовании уравнения (2), основан на полугрупповой технике: изучается абстрактная стохастическая задача Коши с генератором полугруппы класса (1 ,А) и с генератором К-конволюционной полугруппы.

Таким образом, результаты, представленные в диссертации, находятся в пересечении следующих разделов анализа: теории абстрактных уравнений, стохастического анализа, теории полугрупп. Все разделы являются сравнительно молодыми. Кратко история их появления и взаимопроникновения выглядит следующим образом (по [7, 6, 31, 41, 22]).

Основы того направления, которое сейчас именуется стохастическим анализом, были заложены теоремой Колмогорова о существовании процесса с заданной системой конечномерных распределений, названной автором "основной теоремой" (впервые опубликована на немецком языке в 1933 г. в монографии "Основные понятия теории вероятностей"). До ее появления исследование случайных процессов, как семейств случайных величин, велось, главным образом, с точки зрения свойств их конечномерных распределений. Согласно теореме Колмогорова, отправляясь от системы согласованных конечномерных распределений вероятностей, можно построить случайную функцию с теми же конечномерными распределениями.

Пусть Y(t) — марковский процесс на действительной прямой (решения стохастических дифференциальных уравнений дают обширный класс марковских процессов). Для марковского процесса все конечномерные распределения однозначно определяются его двумерными распределениями. Обозначим F(y,t\ yo,to), где to < t, — условное распределение вероятностей процесса Y(t) для to G М при заданном Y(to) = г/о. Далее почти во всех интересных случаях можно предположить, что imF(y,t\yo,toy[{t-to)~1] = Dyo, i-н о где Dyo — некоторое распрэделение, [а] обозначает целую часть числа, *к — Аькратную свертку. Таким образом, Dy$ является безгранично делимым распределением. Случайная величина Т называется безгранично делимой, если для каждого п > 1 можно найти такие независимые одинаково распределенные случайные величины Ti,. ,Тп, что Т = Т\ + . + Тп (или, что то же самое, Ft = Ftx * . * .FtJ, это равносильно тому, что случайная величина является пределом по распределению сверток вида Ft t * . * Ftu11. К безгранично делимым распределениям принадлежат и гауссовское и пуассоновское распределения.

Проблема, поставленная Колмогоровым, формулируется следующим образом: для заданного семейства безгранично делимых распределений L(t,y) найти процесс Y(t) с заданным начальным распределением, для которого

DY(t) = L(t,y). (3)

Колмогоров ([21]) и Феллер ([44]) получали марковские процессы путем решения дифференциальных уравнений для переходных вероятностей, эквивалентных поставленной задаче (впоследствии названных уравнениями Колмогорова). Тем самым в теорию вероятностей был введен аналитический метод, дальнейшее развитие которого связано с теорией полугрупп Хилле-Иосиды.

Случайная функция в теореме Колмогорова строится координатным способом:

Y = {Y(t,uj) |У(*,ы) = ш(*)}, то есть траекториями могут быть любые такие функции w = co(t). Открытым остается вопрос, насколько "хороши" траектории процесса, построенного по заданным конечномерным распределениям.

В отличие от этого аналитического метода, вероятностный подход, предложенный Леви и строго обоснованный Ито, дает возможность непосредственного построения траекторий процесса Y(t). Если предположить, что L(t, у) = G(a(t, y),a(t, у)) — гауссовское распределение со средним a(t, у) и стандартным отклонением у)) то интуитивный смысл условия (3) состоит в следующем. Бесконечно малое изменение условного распределения при заданном Y(t) = у совпадает с G(a(t,y)dt,a(t,y)y/dt) так, как если бы dY(t) = Y'(t)dt, где Y'(t) — нормально распределенная случайная величина со средним E[Y'(t)] = a(t,y) и стандартным отклонением y/D\Y'(t)] = (?(t,y). С другой стороны, если W{t) — броуновское движение (винеровский процесс), то распределение "стохастического дифференциала" (это понятие рассматривал Леви, например в [59, 23], он использовал наводящее обозначение £y/dt для dW(t), где £ — случайная величина с распределением G{0,1)) dW(t) = W(t + dt) - W(t) есть G(0, у/Ж), тогда можно записать, что a(t, y)dt = a(t, y)dt + cr(t, y)E[dW(t)] = E[a(t, y)dt + a(t, y)dW{t)}, <r2(t, y)dt = o\t, y)D[dW(t)} = D[a(t, y)dt + a(t, y)dW(t)}.

Из этих соображений получаем, что dY(t) = a(t, Y(t))dt + a(t, Y(t))dW(t), следовательно, Y(t) можно определять как решение интегрального уравнения

Y(t) = yo+ Га(в,УМ)Ж + f o(s,Y(s))dW{s). Jo J о

Однако, Винер ([70]) к тому времени уже показал, что почти все траектории W(t) нигде не дифференцируемы, так что второй интеграл в уравнении нельзя определить в обычном смысле. Чтобы обойти эту трудность в 40-х годах прошлого века К. Ито ([55, 56]) ввел понятие "стохастического интеграла". Благодаря этому была получена возможность построения Y(t) как единственного решения интегрального уравнения при заданном начальном условии. Ито показал также, что так построенный процесс на самом деле удовлетворяет задаче Колмогорова с условием (3).

С. Бернштейн ([4, 35]) независимо ввел стохастическое разностное уравнение и показал, что предельное распределение случайной величины, которая определяется этим уравнением, совпадает с решением задачи Колмогорова. Гихман ([9, 10, И]) осуществил программу Бернштейна и независимо от Ито построил теорию стохастических дифференциальных уравнений.

Теорию Ито можно рассматривать как интегродифференциальное исчисление для случайных процессов, поэтому теория называется случайным анализом Ито или стохастическим исчислением.

Стохастические уравнения в бесконечномерных пространствах являются обобщением стохастических уравнений Ито. Первые результаты для уравнений в бесконечномерных пространствах появились в середине 60-х, их появление и развитие было обусловлено как потребностями самого математического анализа так и необходимостью описывать с позиций строгой теории феномен случайности, изучаемый в естественных науках: физике, химии, биологии. В частности, винеровские процессы со значениями в гильбертовом пространстве были введены Гроссом ([47]) и Далецким ([40]) при изучения задачи Дирихле. Теоретические исследования по вопросам существования и единственности решений активизировались в 70-80-х годах. Наиболее ранние результаты принадлежат Бенсоуссан и Темам ([34]), Доусону ([43]), фундаментальные результаты по нелинейным уравнениям получены Парду ([64]), основные результаты по слабым решениям принадлежат Виоту ([68]). Сегодня эти вопросы по-прежнему вызывают большой интерес, в частности, в связи с приложениями в экономике.

Теория однопараметрических полугрупп преобразований берет свое начало, как полагают, в 1936 году в статье Хилле ([49]), где были рассмотрены некоторые специальные полугруппы. Впервые понятие полугруппы появилось в 1904 году в монографии Сеге по теории абстракных групп ([66]). В 1938 году Секефальви-Надь ([67]) и Хилле ([50]) независимо друг от друга получили результаты по представлению полугрупп ограниченных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Значительно раньше появилось понятие группы. В 1903 году Адамар заметил ([48]), что задача Коши для волнового уравнения приводит к некоторым группам преобразований. При этом из групповых свойств вытекают определенные теоремы сложения, которым подчиняются элементарные решения (функция Римана, функция Грина, т.д.), служащие для построения решения задачи Коши, и обратно, эти теоремы сложения в свою очередь обусловливают групповые свойства. В тех задачах, которые изучал Адамар, фигурировали уравнения гиперболического типа, описывающие явления обратимого характера, поэтому там возникали именно группы преобразований; в случае уравнений параболического типа, соответствующих необратимым явлениям, вместо групп появляются полугруппы. Адамар обнаружил, что групповые свойства являются следствием принципа научного детерминизма: "Зная состояние физической системы в момент времени tо, можно определить ее состояние в более поздний момент

Следствие же Адамар формулировал следующим образом: "Если, исходя из начального состояния системы, определить ее состояние в какой-нибудь промежуточный момент t\vic его помощью — состояние в последующий момент t, то получим тот же результат, как если бы мы определили ее состояние в момент t прямо из начального состояния".

К середине XX века аналитическая теория полугрупп и ее приложения в своем развитии достигли значительных успехов. В частности, как уже отмечалось, с теорией полугрупп связано развитие аналитического метода в теории вероятностей. Подход Иосиды ([54]) стал одним из первых применений новой в то время теории полугрупп. Связь теории полугрупп и стохастической теории устанавливается следующим образом. Если состояние некоторой изменяющейся во времени системы описывается процессом Y(t), то марковость процесса означает, что будущая эволюция системы зависит лишь от ее состояния в настоящий момент и не зависит от поведения в прошлом. Переходная функция P(to,yo]t,B) = P{Y(t) € В | Y(to) = уо} марковского процесса, заданная для to < t, должна удовлетворять условию согласованности, которое при известных требованиях измеримости находит свое выражение в функциональном уравнении Чэпмена-Колмогорова. Именно это уравнение связывает стохастическую теорию с теорией полугрупп. Для марковского процесса с дискретным пространством состояний — марковской цепи — переходная функция дается формулой

P(t0,i;t,B) = ^2pij{t0,t), j£B где функции pij(to,t) = P{Y(t) = j | Y(t0) = г}, при t0 < t — переходные вероятности. Эти функции удовлетворяют требованиям вида:

Pi,&0'0 > °> $ = = з и уравнению Чэпмена-Колмогорова для переходных вероятностей: к

Для однородной цепи (когда переходные вероятности не зависят от to, а только от t — to) последнее уравнение принимает вид

PiAs + t) = ^2PiAs)Pkj(t), к то есть матрица переходных вероятностей P(t) = (Pij{t))i,j обладает полугрупповым свойством: P(s + t) = P(s)P(t). Таким образом, с каждой однородной марковской цепью можно связать стохастическую полугруппу матриц P(t) = (Pi,j{t))i,j такую, что при всех t последнее условие означает, что Р(0) = I — единичная матрица.

Начиная с 1949 года Хилле. под влиянием работ Иосиды ([54, 53]) стал заниматься задачей Коши, применяя методы теории полугрупп. Им были сформулированы первые теоремы существования решений задачи Коши и' = Аи с неограниченным оператором А в банаховом пространстве в терминах теории полугрупп операторов ([51, 52]). Возможности нового подхода заинтересовали Феллера. Совместно со своими учениками он внес большой вклад в теорию, в частности, ими были проведены глубокие исследования сингулярной краевой задачи для уравнения диффузии ([45]). Существенный шаг вперед в общей теории был сделан в работе Като [57], где была получена теорема о существовании решения задачи Коши для уравнения и' = A(t)u с переменным неограниченным оператором A(t). Параллельно с этими исследованиями Хилле, а затем Филлипс, начинают строить теорию абстрактной задачи Коши для уравнений в банаховом пространстве ([51, 52, 65]). Таким образом, полугруппы, появившись как некий результат изучения дифференциальных уравнений и став инструментом их исследования, затем, по мере накопления полугрупповой техники, способствовали появлению и развитию теории абстрактной задачи Коши.

Первые применения полугрупповой техники к абстрактным стохастическим уравнениям появились в работах Балакришнана [33], Куртайн и Фальб [39], Метивиер и Пистоне [63].

Наконец, результаты, непосредственным продолжением которых стали исследования диссертации, содержатся в работах [41, 42] Да Прато и Забчика и в работах [61, 25, 46] И.В. Мельниковой, А.И. Филинкова, У.А. Ануфриевой.

В [41, 42] изучается стохастическая задача Коши, в которой оператор А является генератором сильно непрерывной на [0,+оо) полугруппы операторов класса Cq.

Однако для современной теории представляют интерес модели реальных систем, в которых оператор А абстрактной задачи Коши порождает семейство операторов, не обладающее всем набором "хороших" свойств полугрупп класса Cq. В теории детерминированной абстрактной задачи Коши накоплен обширный материал по работе с такими семействами операторов. И когда в модель реальной системы вводится учет стохастического фактора, совершенно оправдано стремление привлечь к рассмотрению уже наработанный материал. В [61, 25, 46] делается шаг в этом направлении: изучается стохастическая задача с генератором интегрированной полугруппы.

Полугруппы операторов класса (1,А) стоят следующими за полугруппами класса Cq в ряду "классических" полугрупп в направлении возрастающей общности. Для полугрупп класса (1,^4) ослаблено требование непрерывности в нуле. При этом, именно отсутствие сильной непрерывности в нуле у семейств операторов решения многих важных для приложения дифференциальных задач и создает трудности при их исследовании ([8]).

Интегрированные же полугруппы являются частным случаем К-конволюционных полугрупп, которые относятся к современным разделам теории полугрупп и появляются на пути применения к исследованию абстрактных задач, не являющихся равномерно корректными, подхода содержащего в своей основе построение определенным образом исправленного решения (в [26] такого рода построения условно названы регуляризацией задачи). Понятие А'-конволюционной полугруппы введено И. Чиоранеску и Г. Люмером в работах [37, 38, 36]. В названии этого класса полугрупп отражена идея построения исправленного решения в соответствующей ситуации (идея К-конволюционной "регуляризации", более подробно см. [26]): исправленное решение — как свертка решения (если бы оно существовало) с некоторой гладкой экспоненциально ограниченной вещественной функцией K(t), определенной на положительной полуоси. Для интегрированных полугрупп K(t) = t. При if-конволюционной "регуляризации", исправленное решение называется ([26]) if-конволюционным решением исходной задачи, соответствующая исправленному решению задача по отношению к исходной называется i-Г-конволюционной. И хотя применительно к этим семействам операторов, термин «полугруппа» утрачивает свой первоначальный смысл, использование его не случайно. Семейство обладает неким свойством, аналогичным полугрупповому ([36, 26]), а его операторы являются операторами исправленного решения задачи.

Таким образом, сложились предпосылки, делающие тему диссертации актуальной на данном этапе развития теории.

Для абстрактной стохастической задачи с генератором полугруппы класса Со в [41, 42] построено решение в слабой форме, а для ограниченного оператора А — и сильное решение. В [61, 25, 46] для задачи с генератором интегрированной полугруппы построено обобщенное решение и слабое решение соответствующим образом "регуляризованной" стохастической задачи Коши.

Нужно отметить, что термины «слабое решение», «сильное решение» появились здесь из традиций теории гильбертовых пространств: решение слабое — означает, что равенство (2) справедливо на сопряженном пространстве в том смысле, что все операции в равенстве выполняются над функционалами из Я*, примененными к операндам равенства (2), и справедливость имеет место для любого функционала. В теории стохастических уравнений эти термины используются в ином смысле ([6, 12, 5, 24]). А именно ([24], стр. 146), когда говорится о решении в сильном смысле, то подразумевается, чго уже заданы некоторое вероятностное пространство с фильтрацией и винеровский процесс. Когда речь идет о слабом решении, то предполагается, что должны найтись вероятностное пространство, фильтрация, винеровский процесс и процесс X(t), для которых Рп.н. выполняется равенство (2).

Прежде, чем сформулировать цель диссертационного исследования, дадим еще некоторые разъяснения по поводу терминологии, связанной с трактовкой понятия «решение». В работе над темой пришлось иметь дело с различными интерпретациями термина «решение», изучение этого вопроса — анализ трактовок в литературе, установление некоторых отношений между ними и с особенностями семейств операторов, связанных с задачей — прояснило определенные моменты исследований.

Пусть в банаховом пространстве Е рассматривается неоднородная абстрактная задача Коши: Au(t) + f(t), 0 < t < т (г < оо), и(0) = х, lim\\u(t) - х\\ = 0. ut t—>0

4)

Если оператор А порождает полугруппу класса Со, х £ D(A), функция f(t) непрерывно дифференцируема, то существует единственное решение u(t) задачи (4), как дифференцируемая на [0, +оо) функция, удовлетворяющая уравнению задачи на [0, +оо) и условию и(0) = х; при этом u(t) = U(t)x + {U*f)(t)1 (5) здесь U(£) — оператор решения однородной задачи.

Далее, если нужно брать х = и(0) вне D(A) или не являющуюся гладкой функцию f(t), то понятие решения расширяется.

В диссертации используются названия для интерпретаций термина «решение» абстрактной задачи Коши:

• функция u(t), удовлетворяющая уравнению u'(t) = Au(t) + f(t)na(0,T), (6) непрерывная на [0,г) и непрерывно дифференцируемая на (0, т), называется (ослабленным) решением;

• функция u(t), на (0, г) удовлетворяющая каждому уравнению ft(u(t),y) = (u(t),A*y) + (/(f),у), у е D(A% (7) для которой \imt->o{u(t), у) = {х,у), называется слабым решением;

• функция и, удовлетворяющая уравнению в обобщенном смысле:

-{u, <fj) - А{и, <р) = (f, <р) + (S, ф, ^р € Ф, (8)

Ф — некоторое пространство основных функций, называется обобщенным решением задачи Кошщ

• функция u(t), на [0, г) удовлетворяющая уравнению u(t) = х + [ Au(s)ds + f f(s)ds, (9)

Jo Jo называется интегральным решением;

• функция u(t), на [0, т) удовлетворяющая каждому уравнению У) = У) + / W). А*у) ds + [\f(s), у) ds, у 6 D(A*), Jo Jo

10) называется слабым интегральным решением;

• функция u(t), на [0, г) удовлетворяющая уравнению u(t) = x + A [ u(s)ds+ f f(s)ds, (И)

J о Jo называется проинтегрированным решением;

• функция u(t), на [0, г) удовлетворяющая каждому уравнению

Й,У> = (х,у) + { fu(s) ds,A*y) + ( ff(s) ds,y), у £ D(A*),

Jo Jo

12) слабым проинтегрированным решением.

Отношение следования между последними задачами действует следующим образом: (9) (11) =>• (12) =>■ (10). Соответствующие «решения», в ряд по возрастанию общности выстраиваются в обратном порядке.

Слабым решением в работах [41, 42] и [61, 25, 46] называется слабое проинтегрированное решение. Свойства полугрупп класса (1,^4) и К-конволюционных полугрупп дают основания полагать, что не лишена смысла попытка построения решения того же характера в задачах с генераторами полугрупп указанных типов.

Поэтому в рамках темы диссертации целью работы явилось построение слабого проинтегрированного решения абстрактной стохастической задачи Коши с генератором полугруппы класса (1 ,А) и /Г-конволюционной задачи по отношению к задаче с генератором iT-конволюционной полугруппы, а также изучение вопроса единственности слабого проинтегрированного решения при условии его предсказуемости.

В соответствии с целью, были поставлены следующие задачи: о изучить свойства указанных полугрупп, а также свойства сопряженных к полугруппам семейств на предмет их связи с абстрактной задачей Коши; о при благоприятных результатах решения первой из поставленных задач найти условия существования и выполнить построение слабого проинтегрированного решения и слабого проинтегрированного if-конволюционного решения для стохастической абстрактной задачи Коши с генераторами соответствующих полугрупп указанных классов.

При решении поставленных задач автором диссертации получены новые результаты. А именно: о Доказано, что полугруппа операторов класса (О, А) может быть эквивалентным образом определена через связь операторов полугруппы с абстрактной задачей Коши. о Для детерминированной неоднородной абстрактной задачи Коши с генератором полугруппы класса (1 ,А) построено слабое проинтегрированное решение, для задачи с генератором Х-конволюционной полугруппы построено слабое проинтегрированное /f-конволюционное решение, о Доказано, что семейство операторов, сопряженных к операторам if-конволюционной полугруппы с плотно определенным генератором, также является if-конволюционной полугруппой, о Построено слабое проинтегрированное решение абстрактной стохастической задачи Коши с генератором полугруппы класса (1,А). Доказана единственность предсказуемого слабого проинтегрированного решения стохастической задачи с генератором полугруппы класса (1,-А). о Построено слабое проинтегрированное Х-конволюционное решение абстрактной стохастической задачи Коши с генератором if-конволюционной полугруппы. Доказана единственность предсказуемого слабого проинтегрированного решения стохастической задачи с генератором if-конволюционной полугруппы.

Анализ структуры решения абстрактной задачи Коши в различных его трактовках приводит к выводу о ее единообразии. Решение неоднородной задачи во всех изученных случаях (при определенных условиях на неоднородность) представляется в виде (5), то есть в виде функции, которая в каждой точке совпадает с суммой оператора решения соответствующей однородной задачи на начальном условии и свертки этого же оператора с неоднородностью. В частности, в [41, 42] слабое проинтегрированное решение стохастической задачи (1) в гильбертовом пространстве Н, понимаемое как процесс, на [0, оо) удовлетворяющий каждому уравнению

X(t),y) = <£, y) + (f X(s)ds, А*у) + ( f BdW(s), у), ye D(A*),

Jo Jo

13) получено в виде

X(t) = U(t)£ + [ U(t- s)BdW(s), (14)

Jo здесь процесс JjU(t — s)BdW(s) — стохастическая свертка, a U(t) — полугруппа класса Cq. Эта идея принята автором диссертации за основу при построении слабого проинтегрированного решения if-конволюционной задачи с генератором if-конволюционной полугруппы и задачи с генератором полугруппы класса (1, А). Таким образом, надлежало изучить операторы решения соответствующей однородной задачи, найти условия существования свертки и проверить, удовлетворяет ли построенная по указанной схеме функция задаче Коши.

Исследованию подлежали задачи, выделенные из общего числа по двум направлениям: связь с полугруппами и стохастическая неоднородность. Полу групповая специфика позволила в качестве основных методов исследования использовать методы теории полугрупп, а стохастическая специфика задач потребовала применения методов стохастического анализа.

Основная часть диссертации состоит из двух глав. Первая посвящена семействам операторов: полугруппам класса (О, А), (1, А), Со и if-конволюционным полугруппам, а также их связи с абстрактной задачей Коши. Вторая — стохастической теории и стохастической задаче. Главы разбиты на параграфы, разделенные на пункты. Нумерация формул сквозная. Нумерация предложений тройная и сообщает главу, параграф, номер предложения этого вида. Общий объем работы составляет 100 страниц. Список литературы содержит 70 наименований.

Далее приводится краткий обзор содержания диссертации по разделам с некоторыми пояснениями по поводу места и роли этого материала в исследовании.

Результаты по теории полугрупп операторов содержатся в первой главе. Глава состоит из двух параграфов.

§1. Как уже было сказано выше, полугруппы обязаны своим появлением тому, что у операторов решения дифференциальных задач было выявлено полугрупповое свойство. Далее при рассмотрении абстрактной задачи Au(t), t>0, u(0) = s, lim||u(f)-z|| = 0, (15) где оператор А : D(А) С Е Е замкнут и плотно определен в банаховом пространстве, обнаруживается, что с корректными задачами Коши связаны сильно непрерывные при t > 0 семейства ограниченных операторов, обладающие полугрупповым свойством. Кроме того, оператор А, порождающий корректную задачу, может быть расширен до производящего оператора семейства.

1.1.1 Полугруппы класса Со теснейшим образом связаны с самой сильной корректностью задачи — с равномерной. А именно, равномерная корректность задачи равносильна тому, что ее оператор порождает полугруппу класса Со- Для последнего же есть четкий критерий, это свойство оператора А тесно связано с поведением его резольвенты Ид(X) := (XI — Л)-1, а именно: А является генератором полугруппы класса Со тогда и только тогда, когда оператор Ra(А) определен в некоторой правой полуплоскости комплексной плоскости и удовлетворяет оценкам Миядеры-Феллера-Филлипса-Хилле-Иосиды

МФФХИ):

SioeR, С>0 :|Й(А)||< С

Re\-uj)k' ReX > uj, к = 0,1,2,.

В разделе 1.1.1 получены "разреженные" условия на резольвенту, эквивалентные условиям МФФХИ. Если плотно определенный в Е линейный оператор А имеет при достаточно больших Л > 0 резольвенту Да (А), причем для некоторого и € R

3/ е N, М > 0 : ||flJ(A)|| < {хМш]1к, Vfee N , Л > о;, то задача (15) для оператора А равномерно корректна.

1.1.2. В разделе приведены факты и результаты исследований полугрупп класса (0, А). Этот класс является более широким, чем класс (1,^4), и первоначально была сделана попытка выполнить построения для этого класса полугрупп операторов, однако на определенном этапе рассматриваемый класс пришлось сузить (см. п. 1.1.3). В п. 1.1.2 доказано, что наряду с классическим определением Хилле и Филлипса класс (0, А) может быть эквивалентным образом определен через связь с абстрактной задачей Коши (15), для которой операторы полугруппы такого класса выступают в роли операторов проинтегрированного решения. Таким образом, всякая полугруппа класса (0,А), а значит, и (1,-А), уже по своей природе является семейством операторов проинтегрированного решения однородной задачи. Рассмотрен также вопрос о связи полугрупп класса (0,А) с корректностью задачи.

1.1.3. В рассмотрение вводятся полугруппы класса (1, Л). Сужение рассматриваемого класса полугрупп операторов до класса (1,А) обусловлена следующим преимущественным свойством полугрупп этого класса перед полугруппами класса (0, А). Семейства операторов, сопряженных к операторам полугрупп (1 ,Л), также являются полугруппами класса (1,-А) (здесь мы ограничиваемся рассмотрением операторов в гильбертовых пространствах), а про семейства, сопряженные к полугруппам класса (0, Л), этого сказать нельзя ([31]). Таким образом, сужение класса полугрупп операторов до класса (1, А) позволяет сохранить возможность работы с проинтегрированным решением и на сопряженном пространстве.

Приведен пример Филлипса полугруппы класса {1,А), доказано, что эта полугруппа не является Со-полугруппой.

Построено слабое проинтегрированное решение неоднородной детерминированной задачи с генератором полугруппы S = {<£>(£) | t > 0} класса (1, А), решением является функция u(t) = S{t)x + \ S(t-s)f(s)ds

Jo где х Е Е. В качестве неоднородности взята непрерывная функция / Е С([0, +оо) Е), хотя выкладки остаются справедливыми для интегрируемой функции.

§ 2. В втором параграфе первой главы содержатся необходимые сведения и предварительные результаты, касающиеся задачи с оператором, порождающим А^-конволюционную полугруппу. При К-конволюционной "регуляризации" для задачи te(0,r), и( 0) = х, lim — ж|| = 0, (16) at ^ ^о где А : D(A) С Е Е — замкнутый линейный оператор, х Е D(A), строится соответствующая «А'-конволюционпая» задача = Av(t) + K(t)x, t € (0,г), V(0) = 0, lim \\v(t)\\ = 0. (17)

1.2.1. В этом разделе приводится определение /Г-конволюционных полугрупп через их связь с задачей Коши, которое встречается в литературе чаще, чем определение через свойство, аналогичное полугрупповому. Сразу по определению, операторы полугруппы оказываются операторами проинтегрированного решения К-конволюционной однородной задачи. Приводится пример Филинкова и Майзурны К-конволюционной полугруппы.

1.2.2. Для неоднородной задачи с оператором, порождающим /Г-конволюционную полугруппу Ski в разделе 1.2.2 построено проинтегрированное решение А'-конволюционной задачи, а именно, функция v{t) = SK(t)x+ \ SK{t-s)f{s) ds, J о где / G C([0,r) £ является решением уравнения v(t) = A f v(s) ds+ f K{s)x ds + [ f K(s - r)f{r)dr ds. Jo Jo Jo Jo

1.2.3. Для рассмотрения слабого проинтегрированного решения стохастической задачи необходимо было изучить свойства семейства операторов, сопряженных к операторам /Г-конволюционной полугруппы. Для случая, когда порождающий полугруппу оператор А плотно определен, в п. 1.2.3 доказано, что сопряженное семейство также является if-конволюционной полугруппой, а значит, на сопряженном пространстве сохраняется возможность работы с проинтегрированным решением.

Вторая глава содержит необходимые сведения по теории случайных величин и случайных процессов в гильбертовом пространстве, из стохастического анализа и результаты по стохастическим задачам. Глава состоит из четырех параграфов.

§§1,2. В этих параграфах введены понятия случайной величины со значениями в гильбертовом пространстве, ее вероятностных характеристик, описана связь с действительнозначными случайными величинами. Большое внимание уделено гауссовым случайным величинам и винеровским процессам со значениями в гильбертовом пространстве, так как стохастическое исчисление, рассматриваемое в работе строится на интегрировании по винеровским процессам. Кратко изложена схема построения стохастического интеграла в гильбертовом пространстве. В этой части нет собственных результатов автора.

§ 3,4. Пусть (fi, Т, Р) — вероятностное пространство с заданной на нем фильтрацией {Tt\ t > 0}, U,H — (сепарабельные) гильбертовы пространства.

В параграфах рассматривается абстрактная стохастическая задача Коши, записанная в виде интегрального уравнения (2).

Построено слабое проинтегрированное решение абстрактной стохастической задачи Коши с генератором полугруппы класса (1, Л) и слабое проинтегрированное if-конволюционное решение абстрактной стохастической задачи Коши с генератором /Г-конволюционной полугруппы.

Для конструкции решения в обоих случаях построены соответствующие стохастические свертки

W(*)= Г S(t-s)B dW(s), WK(t)= f SK(t-s)B dW(s), Jo Jo где S,Sk — полугруппа класса (1,^4) и А'-конволюционная полугруппа соответственно. Для существования сверток понадобились соответственно условия

Г \\S{r)BQb\\2GSdr < оо, Г \\SK{t)BQ*fGSdt < оо, Jo Jo где для ортонормированного базиса {ej} С U

00 00

S(r)BQHbs = £ mBQhjf, \\SK(t)BQms = £ WSK^BQhjf j=i j=i

Существование свертки при указанном условии для случая К-конволюционной полугруппы обеспечено ее сильной непрерывностью на [0, т), а для случая полугруппы класса (1, А) — интегрируемостью на [0,1].

Решением задачи с генератором полугруппы класса является случайный процесс t > 0}, такой что

X(t) = S(t)£ + f S(t- s)B dW(s), t > 0. Jo if-конволюционным решением задачи с генератором К-конволюционной полугруппы, то есть процессом, удовлетворяющим каждому уравнению

X(t), у) = ( Г K(s)£ ds, y) + {f X(s) ds, Л*у)+ Jo Jo ([ faK(s-r)BdW(r)ds,y),te[0,T), Jo Jo является процесс X = {X(t)\ t 6 [0, г)}, такой что

X{t) = SK(t)£ + Г SK(t ~ s)B dW(s), t £ [0, r). Jo

Доказана единственность предсказуемого слабого проинтегрированного решения стохастической задачи с генератором полугруппы класса и единственность предсказуемого слабого проинтегрированного if-конволюционного решения стохастической задачи с генератором /f-конволюционной полугруппы.

Для доказательства потребовалось изучить свойства сверток. Показано, что каждая из стохастических сверток является среднеквадратически непрерывным процессом с предсказуемыми версиями.

Можно констатировать, что результаты [41] и [61] для задачи с генератором полугруппы класса Со и с генератором интегрированной полугруппы удалось распространить на задачи с генератором полугруппы класса (1,-А) и с генератором if-конволюционной полугруппы. Это оказалось возможным благодаря тому, что в рамках указанных более общих семейств сохраняются ключевые для построения теории характеристики: возможность работы с проинтегрированным решением на сопряженном пространстве и интегрируемость семейства на [0, г], т < оо.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинаре по дифференциально-операторным уравнениям кафедры математического анализа и теории функций УрГУ (руководитель — доктор физ.-мат. наук, профессор И.В. Мельникова) в 2003-2006 гг., на семинаре кафедры математического анализа и теории функций УрГУ (руководитель — доктор физ.-мат. наук, профессор В.В. Арестов) в 2006 г. Были сделаны доклады на XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2006), на Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна - 2006 (Воронеж, 2006), на 63-ей научно-технической конференции по итогам научно-исследовательских работ за 2003-2004 гг. (Магнитогорск, 2004).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Здобнова, Светлана Владимировна, 2006 год

1. Алъшанский М. А. Модель белого шума со значениями в гильбертовой пространстве // Известия ВУЗов: Математика. — Т. 501 - т. - 2004. - С. 10-18.

2. Балакришнан А. В. Прикладной функциональный анализ: Пер. с англ. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. — 1980. — 384 с.

3. Баскаков А. Г., Чернышов К. И. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов // Математический сборник. 2002. - Т.193. - №11. - С. 3-23.

4. Бернштейн С. Н. Принципы теории стохастических дифференциальных уравнений // Труды физ.-мат. ин-та им. В.А.Стеклова. 1934. - Т. 5. - С. 95-124.

5. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер: Пер. с англ. / под. ред. А.Н.Ширяева. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. — 1977. 352 с.

6. Булинский А. В., Ширяев А. Я. Теория случайных процессов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 400 с.

7. Ватанабэ С., Икэда Я. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы: Пер. с англ. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. — 1986. — 448 с.

8. Гелъфанд И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений // Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. — Вып. 3. — М., 1958.

9. Гихман И. И. Об одной схеме образования случайных процессов // Докл. АН СССР. 1947. - Т. 58. - М. - С. 961-964.

10. Гихман И. И. О некоторых дифференциальных уравнениях со случайными функциями // Укр. мат. журнал. — 1950. — Т. 2. — Ш. С. 45-69.

11. Гихман И. И. К теории дифференциальных уравнений случайных процессов // Укр. мат. журнал. — 1951. — Т. 2. — т. С. 45-69.

12. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1965. — 656 с.

13. Данилин А. Р. Регуляризация задачи управления динамической системой в гильбертовом пространстве в условиях неопределенности // Дифференциальные уравнения. — 1994. — Т. 30. М. - С. 172-174.

14. Здобнова С. В. «Разреженные» условия равномерной корректности абстрактной задачи Коши // Вестник МаГУ. Математика. — Вып.6. — Магнитогорск: МаГУ, 2004. — С. 4-10.

15. Здобнова С. В. Условия равномерной корректности абстрактной задачи Коши / / Материалы 63-ей научно-технической конференции по итогам научно-исследовательских работ за 2003-2004 гг.: Сб. докладов Т.2. - Магнитогорск: МГТУ, 2004. - С. 216-219.

16. Здобнова С. В. Абстрактная стохастическая задача Коши с генератором полугруппы класса (1,Л) // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2006: Тезисы докладов. — Воронеж: ВорГУ, 2006. - С. 43-44.

17. Здобнова С. В. Абстрактная стохастическая задача Коши с генератором полугруппы класса (l,Ci) или (1,-А) // Дифференциальные уравнения. — 2007. — Т. 43. — №1. — С. 2835.

18. Колмогоров А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей. УМН, 1938. - Т. 5.

19. Крейн С. Г. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М: Наука, главная редакция физ.-мат. лит-ры, 1967.

20. Леей П. Стохастические процессы и броуновское движение. — М.: Наука, 1972.

21. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов: нелинейная фильтрация и смежные вопросы. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. — 1974. — 696 с.

22. Мельникова И. В., Филинков А. И. Слабые и обобщенные решения абстрактных стохастических уравнений // Доклады академии наук 2000. - Т. 375. - №4. - С. 443-447.

23. Пугачев В. С. Стохастические дифференциальные уравнения в гильбертовых пространствах // Дифференциальные уравнения. 1995. - ШЗ. - С. 456-464.28 29 [30 [3132 33 [3435