Стохастические задачи с генераторами полугрупп операторов в гильбертовых пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Бовкун Вадим Андреевич

• Бовкун Вадим Андреевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Бовкун Вадим Андреевич

в стержне

1.3 Обобщенные решения стохастических задач с дифференциальными операторами

2 Обобщенные решения квазилинейных задач в абстрактных стохастических фактор-алгебрах

2.1 Определение абстрактной стохастической

фактор-алгебры

2.2 Постановка и решение задачи в абстрактной стохастической фактор-алгебре

3 Связь стохастических задач с детерминированными задачами для вероятностных характеристик

3.1 Свойства процесса, определяемого стохастическим уравнением

3.2 Бесконечномерные уравнения Колмогорова

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стохастические задачи с генераторами полугрупп операторов в гильбертовых пространствах»

Введение

Актуальность темы и степень её разработанности. Диссертация посвящена исследованию бесконечномерных стохастических задач в гильбертовых пространствах и пространствах обобщенных функций. Такие задачи описывают поведение различных эволюционных процессов в условиях неполной информации.

Исследование процессов окружающего мира в условиях неопределённости является одной из наиболее актуальных задач современного естествознания. В течение длительного периода описание эволюционных процессов происходило посредством детерминированных математических моделей. Однако детерминированные модели не позволяют провести детальное изучение процесса в тех случаях, когда на его эволюцию оказывают влияние случайные воздействия. Использование наряду с детерминированными вероятностных методов приводит к стохастическим задачам, которые позволяют получить более полную картину поведения таких процессов. На этой основе моделирование процессов, меняющихся во времени, приводит к задачам для стохастических дифференциальных уравнений. Важное место среди них занимает задача Коши для эволюционных уравнений:

х'(г) = а(г,х(г)) + Ь(г,х(г)) • "шум", г е [0,т] (г е [0, X(0) = £ (1)

с заданными коэффициентами а,Ь и "шумом", отражающим стохастическую неопределённость в исходной модели. На первоначальном этапе исследований такие задачи рассматривались в конечномерном случае, то есть для процессов {X(г),г > 0}, принимающих значение в пространстве . Однако, уже на этапе постановки таких задач возникает проблема: неоднородному слагаемому типа "шум" следует придать строгий математический смысл.

Существует несколько подходов к решению этой проблемы. Один из них состоит в переходе от исходной дифференциальной задачи (1) к интегральной задаче со стохастическим интегралом по броуновскому движению. Начало этому подходу было заложено в работах К. Ито [53, 54], где им была решена задача построения марковских процессов с помощью стохастических уравнений, а в качестве основного инструмента для решения этой задачи был определен интеграл от случайной функции по броуновскому движению1. В исследованиях Р. Л. Стратоновича (см., напр., [34]) было введено альтернативное определение стохастического интеграла, на основе которого построена теория стохастических уравнений, отвечающих физическим процессам. Независимо от этих работ под углом решения задачи построения марковских процессов, теория стохастических дифференциальных уравнений была построена И. И. Гихманом [10, 11]. Дальнейшее развитие теории конечномерных стохастических уравнений в интегральной форме, активно стимулируемое приложениями, отражено в многочисленной литературе (см., напр., [19, 12, 4, 5, 57, 30]).

Другим подходом к определению "шума" является теория, получившая название анализа белого шума. Основополагающей здесь является работа Т. Хиды, в которой построены пространства белого шума [55]; позднее эта идея была развита в работах [58, 59, 56]. В построенных пространствах процесс белого шума является бесконечно дифференцируемой по временной переменной функцией, что позволяет рассматривать постановку исходной дифференциальной задачи (1) в обобщённом (по случайной переменной) смысле.

Наряду с конечномерными задачами, модели реальных процессов, в том числе популяционной динамики, физики и финансовой математики, приводят к задачам для стохастически возмущённых уравнений в частных производных, которые можно рассматривать как бесконечномерные стохастические задачи.

В настоящей диссертации основным объектом исследования является задача Коши для дифференциально-операторного уравнения первого порядка

х '(г) = ах (г) + ^ (г, X (г)) + в (г, X (г))ш(г), г е [0, т], X (0) = (2)

хДпя неслучайных функций такой интеграл ранее был определен Н. Винером.

с оператором А — генератором некоторой полугруппы операторов в гильбертовом пространстве Н, "шумом" Ш = {Ш(г),г > 0}, рассматриваемым в другом гильбертовом пространстве Н и отображениями Г : [0, Т] х Н ^ Н, В : [0, Т] х Н ^ Н. Здесь, как и в случае конечномерных стохастических уравнений, возникает проблема придания строго математического смысла процессу Ш, отражающему случайное воздействие, технически гораздо более сложная.

Один из подходов к решению этой проблемы, аналогично случаю конечномерных стохастических задач, состоит в переходе от задачи (2) к задаче в интегральной форме

X(г) = £ + ( АХ(в)йв + [ Г(в,Х(в))йв

Л Л (3)

+ в(в,х(в))ёш(в), г е [0,Т], Л

с бесконечномерным аналогом интеграла Ито по Н-значному ^-винеровскому или цилиндрическому винеровскому процессу2 {W(г),г > 0}. Изложение результатов 60-90-х годах прошлого века по исследованию задачи (3) с оператором А — генератором полугруппы класса С0, то есть определяющим корректную однородную детерминированную задачу Коши — приведено в монографии [46]. Однородная детерминированная задача Коши

и'(г) = Аи(г), г е [0,Т], и(0) = (. (4)

играет важную роль в исследовании и решении стохастических задач (2) и (3). Свойства решений задачи (4) определяются свойствами полугруппы операторов, порождаемой оператором А. Теория полугрупп операторов в банаховом пространстве появилась в середине двадцатого столетия в работах Э. Хилле и Р. Филипса [38] , К. Иосиды [18], У. Феллера [36], где в основном изучались полугруппы класса С0 — семейства {и(г),г > 0} сильно непрерывных по г > 0 ограниченных операторов решения задачи (4). Такие семейства операторов обеспечивают существова-

2Гильбертовозначные процессы Винера и более общие гильбертовозначные диффузионные процессы были введены в работах [13] и [52].

ние, единственность и устойчивость решения и(г) = и(г)( задачи (4) для любого ( е ОвтА, то есть корректность задачи (см., напр., [60]). Однако в приложениях возникают задачи с оператором А, не порождающим полугруппу класса С0, то есть некорректные задачи. Как обобщения полугрупп класса С0 появились следующие семейства операторов: полугруппы, суммируемые по Абелю, суммируемые по Чезаро [38]; п-раз интегрированные полугруппы [40, 68, 41]; ^-конволюционные полугруппы [42]; С -полугруппы, которые позднее стали называть Д-полугруппами [45, 47, 60].

Наряду с полугрупповым подходом к исследованию (решению) некорректных задач (4) существует альтернативный подход — построение обобщенных решений в соответствующих пространствах (абстрактных) обобщенных функций по временной переменной. Доказано, что задача (4) с генератором п-раз интегрированной полугруппы является корректной в пространстве абстрактных распределений Л. Шварца, а с генератором конволюционной полугруппы — в пространстве абстрактных ультрараспределений (см., напр., [48, 60, 2]).

Начало исследованиям стохастической задачи (3) с оператором А, не порождающим полугруппу класса С0, было заложено в работах И. В. Мельниковой, А. И. Филинкова, М. А. Альшанского и У. А. Алексеевой [27, 61, 62, 63, 1, 64]. В работе [27] рассмотрено слабое решение задачи Коши (3) для линейного уравнения (Г = 0) с аддитивным случайным возмущением (В(в,Х(в)) = В) и оператором А — генератором интегрированной полугруппы операторов. В работе [1] построено Д-регуляризованное решение линейной задачи с аддитивным шумом и генератором регуляризованной полугруппы, а в работе [64] — слабое Д-регуляризованное решение линейной задачи с аддитивным шумом и дифференциальным оператором-матрицей А = А(гд), порождающим Д-полугруппу в пространстве Н =

Введённые в работе [64] Д-полугруппы использованы в первой главе диссертации для построения обобщенных по пространственной переменной решений линейной задачи (3) с дифференциальными операторами А(гд), которые в общем случае не порождают полугруппу операторов класса С0.

Исследованию обобщенных по переменной г решений стохастической дифференциальной задачи Коши (2) посвящены работы [61, 1]. В работе [61] построено обобщенное по переменной г в пространствах абстрактных распределений Л. Шварца решение линейной задачи (2) с аддитивным шумом и генератором интегрированной полугруппы. В работе [1] построено обобщенное в пространствах абстрактных ультрараспределений решение линейной задачи (2) с аддитивным шумом и оператором А, порождающим конволюционную полугруппу. Важно отметить, что при решении задачи в пространствах обобщенных по временной переменной функций, есть возможность учесть не только специфику оператора А, но и определить в этих пространствах процесс Ш как обобщенную производную ^-винеровского процесса W.

Попытка построения обобщенных решений некорректной квазилинейной задачи

и'(г) = Аи(г) + Г (и), г е [0,Т], и(0) = (, (5)

и, тем более, стохастической задачи (2) с нелинейным отображением Г, приводит к проблеме умножения обобщенных функций. Над решением этой проблемы работали многие ученые. Здесь можно выделить два основных направления. Первое направление состоит в том, что операция умножения определяется для некоторого подкласса (подалгебры) обобщенных функций из пространства распределений Л. Шварца V' или Б' (см., напр., работы В. К. Иванова и других исследователей [14, 15, 16, 24, 25]). В отличие от этого подхода, связанного с выделением подалгебр в пространствах распределений, Ж. Коломбо предложил ввести расширение пространства V' = V'(R) — фактор-алгебру Е(К) [43, 44]. Элементами Е(К) являются классы, содержащие пределы последовательностей гладких функций, причём в этом случае (в отличие от аналогичного способа построения самих пространств распределений) запоминается способ аппроксимации. Развитие идей Ж. Коломбо и применение их к решению задач разного рода отражено в обширной литературе (см., напр., [66, 67, 50]).

Исследованию стохастической задачи Коши для квазилинейного уравнения (2) с генератором полугруппы класса С0 и ограниченным оператором В(в,Х(в)) = В

посвящена работа [29], где на основе теории Коломбо построены приближенные решения в абстрактной стохастической фактор-алгебре. Задачи Коши для квазилинейных уравнений с генераторами более общих полугрупп операторов исследованы не были.

В диссертационной работе сделан первый шаг в этом направлении — исследована задача (2) с генератором п-раз интегрированной экспоненциально ограниченной полугруппы. В процессе исследования возникли значительные трудности по сравнению со случаем генератора полугруппы класса С0. На пути преодоления этих проблем во второй главе диссертации построены приближения к решению задачи в соответствующей стохастической фактор-алгебре.

Таким образом, первая и вторая главы диссертации посвящены построению решений бесконечномерных стохастических уравнений (2) и (3) с генераторами полугрупп операторов более общих, чем полугруппы класса С0. Параллельно с непосредственным построением решений стохастических дифференциальных уравнений, важным направлением является исследование связи этих уравнений с детерминированными уравнениями для вероятностных характеристик процессов. Исследованию связи задачи (3) с детерминированными задачами для вероятностных характеристик посвящена третья глава диссертации.

Первые шаги на пути описания случайных процессов с помощью детерминированных уравнений, были сделаны А. Эйнштейном и независимо от него М. Смолу-ховским под углом изучения броуновского движения. Обобщение этих результатов на физическом уровне строгости — уравнение, называемое часто уравнением Фоккера-Планка, получено в 1914-17 годах А. Фоккером при исследовании броуновского движения в поле тяготения и М. Планком в применении к теории флук-туаций. Строгое математическое обоснование этого уравнения появилось в 1931 в работе А. Н. Колмогорова (русский перевод [21]), для него используются названия "уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка" или "уравнение Колмогорова".

Изучение связи между стохастическими задачами и детерминированными задачами для вероятностных характеристик остаётся актуальным направлением исследований и в наше время. Актуальность определяется тем, что с одной стороны

эта связь позволяет строить приближенные решения уравнений в частных производных, с другой — наряду с решением стохастических уравнений, находить характеристики случайных процессов.

В бесконечномерном случае изучение этой связи сталкивается со значительными трудностями, в частности, здесь вместо уравнений в частных производных появляются уравнения с производными Фреше. В монографиях [46, 51] установлена связь между стохастическим уравнением (3) с коэффициентами Г(в,Х(в)) = Г(X(в)), В(в,Х(в)) = В(X(в)) и уравнением с производными Фреше для вероятностной характеристики процесса {X(г),г > 0} вида д(г,х) = Ег,х[/(X(Т))]. В качестве основного инструмента для доказательства связи был использован бесконечномерный аналог формулы Ито. Применение формулы Ито существенно опирается на марковское свойство и мартингальность процесса {X(г),г > 0}. В общем случае мягкое решение задачи (3) не обладает свойством мартингально-сти, что заставляет искать другие методы доказательства связи с уравнением для характеристик.

В третьей главе диссертации для доказательства связи между стохастическим уравнением (3) и уравнениями для характеристик использован подход, опирающийся на бесконечномерный аналог уравнения Чепмена-Колмогорова и локальные характеристики процесса {X(г),г > 0}, что восходит к идеям А. Н. Колмогорова, изложенным в [21], и даёт более общий метод по сравнению с методом, использованным в [46, 51].

Цели и задачи диссертационной работы. Цель работы состоит, во-первых, в исследовании и решении бесконечномерных стохастических задач Коши с генераторами полугрупп операторов более общих, чем полугруппы класса С0, во-вторых, в изучении связи таких задач с детерминированными уравнениями для вероятностных характеристик случайных процессов, определяемых стохастическими уравнениями.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

1. Доказано, что процесс распространения тепла (диффузии) в стержне конечной длины с учётом случайных тепловых воздействий, моделируемых с помощью

броуновского листа, является решением абстрактной стохастической задачи Ко-ши. Установлена связь броуновского листа с Ь2[0; /]-значным ^-винеровским процессом и приращений броуновского листа с приращениями цилиндрического винеровского процесса.

2. Построено обобщённое по пространственной переменной х решение линейной стохастической задачи Коши (3) с дифференциальным оператором-матрицей А = А(гдХ), порождающим различные Д-полугруппы, определяемые свойствами оператора А.

3. Построено обобщённое по временной переменной решение квазилинейной стохастической задачи Коши (2) с генератором интегрированной полугруппы в абстрактной стохастической фактор-алгебре.

4. Установлена связь между стохастическими квазилинейными уравнениями (3) с генераторами полугрупп класса Со и детерминированными уравнениями для вероятностных характеристик решения стохастической задачи.

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер. Развитые в работе методы и полученные результаты вносят вклад в развитие теории стохастических дифференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах. Основные результаты могут быть использованы для исследования процессов, возникающих в различных областях естествознания и финансовой математики.

Методология и методы диссертационного исследования. В основе исследований бесконечномерных стохастических задач лежат методы функционального анализа, более конкретно:

- методы теории полугрупп операторов в банаховых пространствах широко используются, поскольку тип полугруппы можно трактовать как характеристику корректности (некорректности) однородных дифференциально-операторных задач с соответствующими генераторами;

- методы и техника гильбертовых пространств важны при исследовании свойств

операторов следа и операторов Гильберта-Шмидта, а также свойств рядов Фурье, определяющих бесконечномерные винеровские процессы;

- методы теории обобщенных функций, особенно пространства абстрактных обобщённых функций и техника обобщенного преобразования Фурье, позволяющие строить решение некорректных дифференциально-операторных задач в форме функционалов на различных пространствах основных функций, зависящих от временной или пространственных переменных.

На ряду с методами функционального анализа в диссертации использованы методы теории случайных процессов, особенно марковских диффузионных процессов.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносится совокупность полученных в диссертации результатов 1—4.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается строгими математическими доказательствами.

Основные результаты диссертационной работы были доложены на следующих семинарах и конференциях.

• Семинар "Дифференциально-операторные задачи" под руководством профессора И. В. Мельниковой, кафедра математического анализа, ИЕНиМ УрФУ;

• Совместный семинар отдела теории приближения функций и отдела аппроксимации и приложений под руководством профессора А. Г. Бабенко и профессора Н. Ю. Антонова, ИММ УрО РАН;

• Международная конференция "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Челябинск 2014);

• Международная конференция "Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы" (Москва, 2014);

• "Международная конференция по стохастическим методам" (Новороссийск, 2016);

• Международная школа-конференция "Соболевские чтения" (Новосибирск, 2016);

• Международная (48-я Всероссийская) школа-конференция "Современные проблемы математики и её приложений" (Екатеринбург, 2017);

• "Вторая международная конференция по стохастическим методам" (Новороссийск, 2017);

• Международная (49-я Всероссийская) школа-конференция "Современные проблемы математики и её приложений" (Екатеринбург, 2018).

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Главы разделены на параграфы, которые нумеруются двумя индексами: первый индекс — номер главы, второй — номер параграфа внутри данной главы. Определения, утверждения и теоремы также нумеруются двумя индексами: первый — номер главы, второй — номер определения, утверждения или теоремы внутри данной главы. Нумерация формул во введении одинарная. В главах формулы нумеруются двумя индексами: первый сообщается номер главы, второй — номер формулы внутри данной главы. Библиографический список содержит 80 наименований. Общий объём работы составляет 92 страницы.

Содержание работы.

Глава 1 диссертации посвящена исследованию стохастических задач в интегральной форме с дифференциальными операторами-матрицами А = А(гд)

Во вводном параграфе 1.1 приведены определения и основные свойства бесконечномерных винеровских процессов и полугрупп операторов, используемых в диссертации.

В параграфе 1.2 получена абстрактная стохастическая задача Коши для процесса распространения тепла в стержне длины I с изолированными концами, учитывающая случайные тепловые воздействия на боковую поверхность стержня. Согласно постановке задачи, стержень, подвергаясь случайным тепловым воздействиям, получает количество тепла 7 или на единицу длины за единицу времени с вероятностью Л. Естественные законы теплообмена внутри стержня и случайное внешнее воздействие приводят к тому, что изменение количества тепла представимо в виде суммы детерминированной AQd и стохастической AQs составляющих.

Основное внимание уделено исследованию свойств случайной составляющей. На основе центральной предельной теоремы доказано, что величина AQs имеет нормальный закон распределения, что позволяет описать случайные возмущения с помощью приращений броуновского листа [3]. Использование техники гильбертовых пространств — свойств операторов Гильберта-Шмидта и операторов следа и разложения в ряды Фурье по базису пространства Ь2[0; I], определяемому собственными функциями таких операторова — позволило доказать связь броуновского листа с Ь2[0; /]-значным ^-винеровским процессом. Установленная связь позволила выразить приращения броуновского листа через приращения производной ^-винеровского процесса, совпадающих с приращениями цилиндрического вине-ровского процесса {WCyl(г), г > 0}. В предположении существования производной ихх получен следующий результат.

Теорема 1. (Теорема 1.4) Стохастическая задача Коши для процесса распространения тепла в стержне с учетом случайных тепловых воздействии записывается следующим образом

срБ • (и(г,х) - ¡(х)) = аБ [ ихх(в,хЦз + (г), г е [0; Т],

Jo

где с — удельная теплоёмкость стержня, р — плотность стержня, Б — площадь сечения х, а — коэффициент теплопроводности и уравнение понимается в слабом смысле в пространстве Ь2[0; I].

В параграфе 1.3 проведено исследование стохастической задачи Коши в интегральной форме для системы т дифференциальных уравнений:

X(г,х) = ((х)+ ( а( (в,х)йв

Л V дх) (6)

+ Вт(в,х), г е [0;Т], х е К.

0

с общим линейным дифференциальным оператором-матрицей А = А (гдх) порядка р, который в общем случае не порождает полугруппу операторов класса С0 в пространстве Н = ЩК). В задаче (6) процесс {W(г, •),г > 0} — Н-значный Q-

винеровский процесс, В — линейный ограниченный оператор из Н в Н и начальное условие ( £ Н.

Основную роль при решении стохастической задачи (6) играют операторы решения однородной детерминированной задачи

д ( д )

—и(г,х) = А( 1—)и(г,х), г £ [0; Т], х £ К, и(0,х) = С(х), (7)

изучению которой на базе обобщенного преобразования Фурье посвящены исследования школы И. М. Гельфанда (см., напр., [7, 8]). Результаты этих исследований показывают, что в общем случае операторы решения задачи (7) являются неограниченными, что влечёт некорректность однородной задачи. Предложенный в [8] подход к решению некорректной задачи (6) состоит в построении обобщенных решений в пространствах Ф^, определяемых типом задачи в классификации Гельфанда-Шилова. Эта классификация основана на оценках матричной экспоненты егЛ(а\а £ К, которая определяется (в подходящем пространстве ) как ряд по степеням матрицы А (а) — образа Фурье матрицы А (г дХ).

Система (7) называется

• корректной по Петровскому, если существует константа С > 0 такая, что справедлива оценка

э1Л(а)

< С(1 + \а\)ь, г £ [0; Т], а £ К,

(8)

где Н — наименьшее из натуральных чисел I, для которых справедливо неравенство \\е*Л(а)\\т < С(1 + \а\)1, Н < р(т — 1);

• условно-корректной, если существуют положительные константы а,С,Н £ (0; 1) такие, что справедлива оценка

эЬЛ(а)

< Се, г £ [0; Т], а £ К;

(9)

некорректной, если существуют положительные константы Ь, С,р0 > 1 такие,

т

т

что справедлива оценка

< Се^0, г е [0;Т], а е К. (10)

В параграфе 1.3 для стохастической задачи (6) построено решение в пространствах обобщенных по пространственной переменной функций. Важную роль при построении обобщенных решений стохастической задачи сыграла техника Я-полу-групп, поскольку, как доказано в [64], оператор А(гд^) порождает Я-полугруппу операторов {Б(г), г > 0}, где оператор Я отражает степень некорректности задачи, описываемую оценками в классификации Гельфанда-Шилова. Основной результат формулируется следующим образом.

Теорема 2. (Теоремы 1.5 и 1.6) Пусть заданы оператор-матрица А(гд^), Н-значный Q-вuнеровскuй процесс {W(г),г > 0}, линейный ограниченный оператор В из Н в Н и ( е Н. Тогда случайный процесс {X(г), г е [0; Т}}, определяемый при п.в. ш равенством

(ф,х(г)) := ((я-1)*ф,Б(г)()

+ ((Я-1)*фА Б(г - в)ВШ(в)), г е [0; Т], ф е ът, 0

является решением задачи Коши (6) в пространстве Ъ'т:

(ф,х(г)) = (ф,() + ( (А*ф,Х(в))йв + (ф, [ Вт (в)), г е [0; Т], ф е Ът.

00

• Для систем, корректных по Петровскому, пространство Ъ'т = З'т;

• Для условно-корректных систем пространство Ъ'т = (Ба,А)'т с параметра-

( \ 1/н

ми а = 1/к, А = (, а1 > а;

• Для нек(рректных систем пространство Ъ'т = (Ба,А)'т с параметрами а = 1/ро, А = (д)" ,Ь1 > Ь.

Глава 2 посвящена исследованию абстрактной стохастической задачи Коши для квазилинейного уравнения

т

х'(г) = АХ(г) + г(X(г)) + ВШ(г), г е [0;Т], X(0) = (11)

где оператор А является генератором п-раз интегрированной экспоненциально ограниченной полугруппы операторов {5П(г), г > 0} в гильбертовом пространстве Н = Ь2(Ш), Г — нелинейное отображение из БотГ с Н в Н и {Ш(г), г > 0} — процесс типа белого шума.

Для решения задачи Коши (11) в диссертационной работе использован подход, основанный на методах теории абстрактных распределений. Выбор данного подхода определен следующими соображениями. Во-первых, в пространстве абстрактных распределений Л. Шварца (по временной переменной) линейная задача (11) (при Г = 0) является корректной. Во-вторых, в этом пространстве процесс белого шума Ш удаётся определить как обобщённую производную от Н-значного ^-винеровского процесса, который является непрервным по переменной г.

Присутствие нелинейного отображения Г при постановке задачи (11) в пространстве абстрактных распределений приводит к проблеме умножения распределений, которая решается в диссертационной работе с помощью подхода Ж. Коломбо: задача (11) погружается в стохастическую абстрактную фактор-алгебру, построенную с учётом специфики оператора А.

В параграфе 2.1, следуя [71], приведена конструкция стохастической фактор-алгебры Оп(&, На), где На — алгебра в пространстве Н, которая определяется исходя из условия На с ОотА.

В параграфе 2.2 осуществляется погружение задачи (11) в фактор-алгебру Оп(&, На). В результате формулируется задача для нахождения элемента У £ Оп(&, На), удовлетворяющего равенству

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бовкун Вадим Андреевич, 2018 год

Список литературы

[1] Альшанский М.А., Мельникова И.В. Регуляризованные и обобщенные решения бесконечномерных стохастических задач // Математический сборник, 2011, № 11. С. 3-30.

[2] Ануфриева У.А., Мельникова И.В. Особенности и регуляризация некорректных задач Коши с дифференциальными операторами // Дифференциальные уравнения и теория полугрупп, СМФН, 2005. С. 3-156.

[3] Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов // Физматлит, Москва, 2005.

[4] Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы // Наука, Москва, 1986.

[5] Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов // Наука. Физматлит, Москва, 1996.

[6] Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках // Мир, Москва, 1986.

[7] Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции. Выпуск 2. Пространства основных и обобщенных функций // Физматгиз, Москва, 1958.

[8] Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обощенные функции. Выпуск 3. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений // Физматгиз, Москва, 1958.

[9] Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Обощенные функции. Выпуск 4. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные Гильбертовы простан-ства // Физматгиз, Москва, 1961.

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20 21 22

Гихман И.И. К теории дифференциальных уравнений случайных процессов. Часть 1 // Украинский математический журнал, 1950, Т. 2, № 4. С. 37—63.

Гихман И.И. К теории дифференциальных уравнений случайных процессов. Часть 2 // Украинский математический журнал, 1951, Т. 3, № 3. С. 317—339.

Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения // Наукова думка, Киев, 1982.

Далецкий Ю.Л. Дифференциальные уравнения с функциональными производными и стохастические уравнения для обобщенных случайных процессов // ДАН СССР, 1966, Т. 166, № 5. С. 1035—1038.

Иванов В.К. Гиперраспределения и умножение распределений Шварца // ДАН СССР, 1972, Т. 204, № 5. С. 1045—1048.

Иванов В.К. Ассоциативная алгебра простейших обобщенных функций // Сибирский математический журнал, 1979, Т. 20, № 4. С. 731—740.

Иванов В.К., Перминов В.В . Нелинейные операторы в свертках: Обыкновенные дифференциальные уравнения // Издательство УрГУ, Свердловск, 1989.

Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи // Наука, Москва, 1995.

Иосида К. Функциональный анализ // Мир, Москва, 1967.

Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории // Мир, Москва, 1968.

Кеч В., Теодореску П.П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике // Мир, Москва, 1978.

Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей // Успехи математических наук, 1938, № 5. С. 5—41.

Колмогоров А.А., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа // Наука, Москва, 1968.

[23] Лифшиц М.А. Гауссовские случайные функции // ТВ1МС, Киев, 1995.

[24] Маслов В.П. Три алгебры, очвечающие негладким решениям систем квазилинейных гиперболических уравнений // Успехи математических наук, 1980, Т. 35, Вып. 2. С. 252—253.

[25] Маслов В.П. Нестандартные характеристики в асимптотических задачах // Успехи математических наук, 1983, Т. 38, № 2. С. 3—36.

[26] Мельникова И.В., Филинков А.И. Интегрированные полугруппы и С -полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач // Успехи математических наук, 1994, Т. 49, № 6. С. 115—155.

[27] Мельникова И.В., Филинков А.И. Слабые и обобщенные решения абстрактных стохастических уравнений // Доклады академии наук, 2000, Т. 375, № 4. С. 443-447.

[28] Мельникова И.В., Альшанский М.А. Абстраткная стохастическая задача Ко-ши в пространствах распределений // Современная математика. Фундаментальные направления, 2006, Т. 16. С. 96-109.

[29] Мельникова И.В., Алексеева У.А. Решение абстрактной задачи Коши с нелинейными и случайными возмущениями в алгебре Коломбо // Доклады Академии Наук, 2013, Т. 449, № 4. С. 393-397.

[30] Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения // Мир, Москва, 2003.

[31] Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин // Наука, Москва, 1987.

[32] Розанов Ю.А. Случайные процессы (краткий курс) // Наука. Главная редакция физ-мат. лит-ры, Москва, 1971.

[33] Скороход А.В. Интегрирование в гильбертовом пространстве // Наука, Москва, 1975.

[34] Стратонович Р.Л. Новая форма записи стохастических интегралов и уравнений // Вестник МГУ, 1964, Сер.1, № 1. С. 3-12

[35] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики // Наука, Москва, 1977.

[36] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения // Мир, Москва, 1984.

[37] Хелемский А.Я. Лекции по функциональному анализу // МЦНМО, Москва, 2004.

[38] Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы // Издательство иностранной литературы, Москва, 1962.

[39] Allen E.J. Modeling with Ito Stochastic Differential Equations // Springer Netherlands, Houten, 2007.

[40] Arendt W. Vector-valued Laplace Transforms and Cauchy Problems // Israel Journal of Mathematics, 1987, Vol. 59, No 3. P. 327-352.

[41] Arendt W. El-Mennaoui O., Keyantuo V. Local integrated semigroups: Evolution with jumps of regularity // Math. Anal. Appl., 1994, No. 186. P. 572-595.

[42] Cioranescu I., Lumer G. Regularization of evolution equations via kernels K(t), K-evolution operators and convoluted semigroups, generation theorems // Seminar Notes in Func. Anal. and PDEs. - Lousiana State Univ., Baton Rouge, 1994. P. 45-52.

[43] Colombeau J.F. New Generalized Functions and Multiplication of Distributions // North Holland, Amsterdam, 1984.

[44] Colombeau J.F. Elementary Introduction to New Generalized Functions // North Holland, Amsterdam, 1985.

[45] Da Prato G. Semigruppi regolarizzabili // Ricerche di Mat., 1966, No. 15. P. 223-248.

[46] Da Prato G., Zabczyk J. Stochastic equations in infinite dimensions // Cambridge University Press, Cambridge, 2014.

[47] Davies E.B., Pang M.M.H. The Cauchy Problem and a Generalization of the Hille-Yosida Theorem // Proc. of The London Math. Soc., 1987, No. 55. P. 181-208.

[48] Fattorini H.O. The Cauchy Problem // Cambridge University Press, Cambridge, 2009.

[49] Filinkov A., Sorensen J. Differential equations in spaces of abstract stochastic distributions // Stochastics and Stochastics Reports, 2002, Vol. 72, No. 3-4. P. 129-173.

[50] Garetto C., Ruzhansky M. Hyperbolic Second Order Equations with Non-Regular Time Dependent Coefficients // Arch. Rational Mech. Anal., 2015, Vol. 217, No. 1. P. 113-154.

[51] Gawarecki L., Mandrekar V. Stochastic differential equations in infinite dimensions // Springer, Berlin, 2011.

[52] Gross L. Potential theory in Hilbert spaces // Functional Analysis, 1967, Vol. 1, No. 2. P. 123-181.

[53] Ito K. On a stochastic integral equations // Japan Academy Proceedings, 1946, Vol. 22. P. 32-35.

[54] Ito K. On stochastic differential equations // Memoris of the American Mathematical Sosiety, 1951, Vol. 4. P. 1-51.

[55] Hida T. Analysis of Brownian functionals. Carleton Mathematical Lectures 13 // Carleton University, Ottawa, 1975.

[56] Holden H., Oksenda B., Uboe J., Zhang T. Stochastic partial differential equations. A modeling, white noise functional approach // Springer, New York, 2010.

[57] Kallenberg O. Foundations of modern probability // Springer, New York, 1997.

89

[58] Kondratiev Yu.G., Streit. L. Spaces of white noise distribution: Constructions, Descriptions, Applications // Reports on Math. Phys, 1993, Vol. 33, No. 3. P. 341-366.

[59] Kuo H.H. White Noise Distribution Theory // CRC Press, Boca Raton, 1996.

[60] Melnikova I.V., Filinkov A.I. Abstract Cauchy problem: three approaches // CRC Press, 2001.

[61] Melnikova I.V., Filinkov A.I., Anufrieva U.A. Abstract stochastic equations I. Classical and Generalized Solutions // Journal of Mathematical Sciences, 2002, Vol. 111, No. 2. P. 3430-3475.

[62] Melnikova I.V., Filinkov A.I., Alshansky M.A. Abstract Stochastic Equations II. Solutions in Spaces of Abstract Stochastic Distributions // Journal of Mathematical Sciences, 2003, Vol. 116, No. 5. P. 3620-3656.

[63] Melnikova I.V., Filinkov A.I. Abstract Stochastic Problems with Generators of Regularized Semigroups // Journal Communications in Applied Analysis, 2009, Vol. 13, No. 2. P. 195-212.

[64] Melnikova I.V., Alekseeva U.A. Weak regularized solutions to stochastic Cauchy problems // Chaotic modeling and simulations, 2014, No. 1. P. 49-56.

[65] Melnikova I.V. Stochastic Cauchy Problems in Infinite Dimensions. Regularized and Generalized Solutions // CRC Press, Boca Raton and London, 2016.

[66] Oberguggenberger M. Multiplication of Distributions and Applications to Partial Differential Equations // Longman Higher Education, Harlow, 1992.

[67] Peszat S., Zabczyk J. Nonlinear stochastic wave and heat equations // Probab. Theory Related Fields, 2000, Vol. 116, No. 3. P. 421-443.

[68] Tanaka N., Okazawa N. Local C-semigroups and local integrated semigroups // Proc. London Math. C, 1990, Vol. 61, No 1. P. 63-90.

Публикации автора по теме диссертации

Публикации в научных журналах из списка ВАК:

[69] Бовкун В.А. Построение моделей в форме абстрактных стохастических задач Коши // Труды института математики и механики УрО РАН, 2016, Т. 22, № 4. С. 94-101.

[70] Бовкун В.А. Обобщенные решения стохастических задач в форме Ито в пространствах Гельфанда-Шилова // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия "Математика. Механика. Физика", 2016, Т. 8, № 2. С. 5-13.

[71] Мельникова И.В., Бовкун В.А., Алексеева У.А. Решение квазилинейных стохастических задач в абстрактных алгебрах Коломбо // Дифференциальные уравнения, 2017, Т. 53, № 12. С. 1653-1663.

[72] Мельникова И.В., Алексеева У.А., Бовкун В.А. Связь бесконечномерных стохастических задач с задачами для вероятностных характеристик // Труды института математики и механики УрО РАН, 2017, Т. 23, № 3. С. 191-205.

[73] Бовкун В.А. Построение обобщенных решений стохастической задачи Коши для квазилинейного уравнения в абстрактной алгебре Коломбо // Современные проблемы математики и ее приложений труды Международной (48-й Всероссийской) молодежной школы-конференции, 2017, Т. 1894. С. 293-301.

[74] Бовкун В.А. О моделях, приводящих к бесконечномерной стохастической задаче Коши // Теория вероятностей и её применения, 2017, Т. 62, № 4. С. 803-804.

Другие публикации:

[75] Melnikova I. V., Alekseeva U. A., Bovkun V.A. Solution of stochastic systems generalized over temporal and spatial variables // New Prospects in Direct, Inverse and Control Problems for Evolution Equations, Springer, 2014. P. 353-370.

[76] Melnikova I.V., Bovkun V.A. Stochastic problems in Gelfand-Shilov spaces // Proceedings of the Seventh International Conference on Dynamic Systems and Applications. Press of Department of Mathematics Morehouse College, 2016. P. 171-176.

[77] Бовкун В.А. О конструкции обобщенных решений стохастических дифференциальных задач // Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы. Тезисы и тексты докладов международной конференции, Москва, 2014. С. 30-31.

[78] Бовкун В.А. Обобщенная функция Грина в стохастических дифференциальных задачах // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тезисы докладов Международной конференции, посвященной памяти В.К. Иванова, Челябинск, 2014. С. 188-189.

[79] Бовкун В.А. Обобщенные решения абстрактных стохастических задач Коши для квазилинейных уравнений // Тезисы докладов международной школы-конференции "Соболевские чтения" Новосибирск, 2016. C. 52.

[80] Бовкун В.А. О решении стохастической задачи Коши для квазилинейного уравнения в абстрактной алгебре Коломбо // Международная конференция по стохастическим методам. Тезисы и тексты докладов международной конференции, Новороссийск, 2016. С. 77.