Исследование детерминированных и стохастических задач в бесконечномерных пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Парфененкова Валентина Сергеевна

• Парфененкова Валентина Сергеевна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Парфененкова Валентина Сергеевна

2.2.1. Подход Ито

2.2.2. Полугрупповой подход

Глава 3. Приложения

3.1. Моделирование броуновского движения в задачах естествознания и финансовой математики

3.1.1. Стохастические задачи для процессов математической физики с учетом случайных возмущений

3.1.2. Стохастическая задача Коши для цен акций

3.2. Применение теоремы Фейнмана-Каца в конечномерном и бесконечномерном случаях

Заключение

Обозначения

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование детерминированных и стохастических задач в бесконечномерных пространствах»

Введение

Многочисленные математические модели в различных областях науки, техники и экономики приводят к дифференциальным уравнениям, коэффициенты и неоднородности которых могут содержать случайные составляющие, называемые шумом. Получаемые таким образом стохастические дифференциальные уравнения зачастую представляют собой более реалистичные математические модели по сравнению с детерминированными и являются важными для исследования.

Подход Ито к решению дифференциальных стохастических уравнений состоит в формализации слагаемых вида «шум»-Д£ приращениями некоторого гауссовского процесса {Ж(£), £ ^ 0} и сводит дифференциальное уравнение с шумом к интегральному уравнению с интегралом по ¿Ж (£)1. Примером такого гауссовского процесса является броуновское движение, то есть случайный процесс с независимыми нормально распределенными приращениями Ж(£¿+1) — Ж(Ь{), с нулевым математическим ожиданием и вариацией пропорциональной — ti, для которого с вероятностью почти наверное выполнено условие Ж(0) = 0. В бесконечномерных пространствах процесс с аналогичными свойствами называется винеровским процессом и зачастую броуновское движение в конечномерном случае также называют винеровским процессом.

Согласно теореме Колмогорова о существовании непрерывной модификации, существует винеровский процесс со всюду непрерывными траекториями (см., напр., [15]), поэтому в дальнейшем под термином «винеровский процесс» будем понимать процесс именно с непрерывными траекториями.

1 Среди первых монографий, описывающих подход Ито к решению стохастических уравнений, следует выделить монографии [6, 8], однако наиболее близким в контексте данной работы является изложение подхода Ито в монографии [15].

Винеровский процесс дифференцируем в обобщенном смысле, его обобщенная производная является шумом (так называемый белый шум). Стохастическое уравнение в пространстве обобщенных функций можно записывать в дифференциальной форме (см., напр., [13, 41, 42]), но в данной работе представлены результаты, полученные для «классических» решений интегральных уравнений (записываемых в форме приращений) с интегралом Ито по винеровскому процессу.

Теория бесконечномерных стохастических задач находится на стыке функционального анализа, теории дифференциальных уравнений и теории случайных процессов. Развитие теории стохастических уравнений, как конечномерных, так и бесконечномерных, диктуется прикладными задачами, возникающими в различных областях физики, химии, биологии и других естественных наук. Целый ряд базовых результатов экономики и финансовой математики получен на основе стохастических моделей: примером в конечномерных пространствах является теория расчета справедливой цены опционов на цену акций (теорема Блэка-Шоулса-Мертона), в бесконечномерных — опционов на цену бондов.

Под стохастическими задачами в бесконечномерных пространствах, как правило, понимают задачи для стохастических дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах, точнее — для проинтегрированных стохастических дифференциальных уравнений. В базовом случае такое уравнение имеет вид

где первый интеграл в правой части уравнения является интегралом Бох-нера, второй — интегралом Ито. Здесь А — генератор полугруппы операторов класса С в гильбертовом пространстве Н, оператор В — ограниченный оператор из гильбертова пространства Н в Н, W(£) — стохастическая со-

5

(0.0.1)

ставляющая в форме Н-значного винеровского процесса. Уравнение (0.0.1) коротко записывается в форме дифференциалов следующим образом

¿X(£) = АХ(£)^£ + В^Ж(£), £ е [0,Т], X(0) = (0.0.2)

Если оператор В тождественно равен нулю, то рассматриваемая задача Коши становится детерминированной

X' = АХ, X (0) = (0.0.3)

Для изучения решения исходной стохастической задачи Коши (0.0.2) важным является исследование ее детерминированной составляющей (0.0.3). В случае, когда А является генератором некоторой полугруппы {и(£), £ ^ 0} операторов решения задачи (0.0.3), например, генератором полугруппы класса С0, решение этой задачи представимо в виде X(£) = и(£)^. Соответственно, изучение решения как однородной задачи (0.0.3), так и неоднородных задач, в том числе (0.0.2) и более общих стохастических задач, приводит к необходимости исследования полугрупп операторов решения

{и(£), £ ^ 0}.

Теория полугрупп операторов — однопараметрических полугрупповых семейств линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве — возникла в середине двадцатого века в работах Хилле Э. и Филлипса Р. С. [20], Иосиды К. [7] и Феллера В. [19]. Полугруппа класса С0 является базовой в теории полугрупп. В случае, когда оператор А порождает полугруппу класса С0, задача Коши (0.0.3) является равномерно корректной. Свойства ее решения, теоремы существования и единственности, формула представления решения X(£) = и(£)^ изучались многими авторами (см., напр., [10, 20]). Однако в приложениях задача Коши не всегда равномерно корректна (иначе говоря, не всегда оператор А порождает полугруппу класса С0), ее решение может существовать не на всей области определе-

6

ния оператора А, быть не единственным или неустойчивым относительно начальных данных.

Вследствие возникающих приложений, после введения полугрупп класса Со, сильно непрерывных при £ ^ 0, были введены различные семейства операторов, каждое из которых отражало какую-либо свою особенность поведения решения однородной задачи Коши. Некоторые из введенных семейств обладают полугрупповым свойством, но задача Коши с оператором А, порождающим такое семейство, не является равномерно корректной. Такие семейства (включая полугруппы класса С0) в работах [42, 43, 44] называют классическими. Другие из введенных семейств не обладают полугрупповым свойством, но некоторое их преобразование является полугруппой. Такие семейства названы регуляризованными.

К классическим относятся такие полугруппы как суммируемые по Абелю или Чезаро, полугруппы роста а, полугруппы класса Ск, полугруппы класса Ск. Полугруппы, суммируемые по Абелю, и полугруппы, суммируемые по Чезаро, исследованы в монографии [20]. В работе [47] введено понятие полугрупп класса С к для натуральных к. Полугруппы роста а в случае натуральных а введены в монографии [29] и позднее обобщены в [18] на случай рациональных а.

К регуляризованным полугруппам относят такие классы семейств ограниченных операторов, как п-раз интегрированные полугруппы, К-конволюционные полугруппы, Я-регуляризованные полугруппы. В отличие от классических, регуляризованные полугруппы могут быть локальными, а также глобальными, но не экспоненциально ограниченными. Интегрированные полугруппы подробно описаны В. Арендтом в работе [22]. В работах [23, 54] изучены локальные интегрированные полугруппы. Показано, что предельный случай локальных интегрированных полугрупп стыку-

ется с глобальными интегрированными полугруппами в смысле Арендта. Конволюционные полугруппы были введены Чиоранеску Е. И. и подробно изучены в работах совместных с Люмером Г. (см., напр., [25]).

Регуляризованные полугруппы были введены в [30], а существенное развитие получили после выхода работы Дэвиса Б. и Пэнга М. [33], где они были названы C-полугруппами. Однако, учитывая тот факт, что литера C перегружена в теории полугрупп (полугруппы классов Co, Ck) и обычно употребляется когда нужно подчеркнуть какую-либо непрерывность (от «continuous»), данный класс полугрупп, следуя Мельниковой И.В. и Филинкову А.И. (см., напр., [43]), стали называть R-полугруппами (от «regularized»). В работах [30, 33] рассмотрены экспоненциально ограниченные R-полугруппы. Работы Миадеры И. [46] и Танаки Н. [51] посвящены исследованию инфинитезимальных генераторов экспоненциально ограниченных R-полугрупп. Показано, что полугруппы класса Ck и роста а можно рассматривать с точки зрения регуляризации подходящими операторами R. В [52] исследована связь между экспоненциально ограниченными R-полугруппами и абстрактной задачей Коши. В [34] рассмотрены R-полугруппы, не являющиеся экспоненциально ограниченными, и их связь с абстрактной задачей Коши. Подробное описание связи между экспоненциально ограниченными R-полугруппами и n-раз интегрированными полугруппами получено в работе [53].

В результате введения множества различных классов полугрупповых семейств в теории полугрупп операторов актуальной стала проблема установления взаимосвязей между введенными семействами и построения классификации различных классов полугрупп.

В настоящей диссертации классификация представлена в форме диаграммы и является продолжением работ [42, 43, 44]. В случае классиче-

ских полугрупп (обладающих полугрупповым свойством) диаграмма строится по вложению полугрупповых семейств. В случае регуляризованных полугрупп, для которых лишь некоторые преобразования являются полугруппами, диаграмма строится по вложению генераторов этих полугрупп. Отметим, что из вложения полугрупповых семейств следует вложение по генераторам. Особое внимание в диссертации уделено строгости доказываемых вложений.

Развитие теории полугрупп оказывает значительное влияние на развитие бесконечномерных стохастических дифференциальных уравнений. Полученные полугрупповые результаты позволяют использовать их для решения стохастических задач с генераторами различных полугрупп. В случае задачи Коши (0.0.2), вклад в поведение ее решения, наряду со слагаемым, определяемым семейством операторов решения однородной задачи {и(£), £ ^ 0} и начальными данными, вносит стохастическая составляющая, также определяемая через семейство {и(£), £ ^ 0}.

Наряду с решениями собственно стохастических уравнений, важное место в стохастической теории занимает определение вероятностных характеристик этих решений. Теорема Фейнмана-Каца в конечномерных пространствах устанавливает связь решений задачи Коши для стохастических дифференциальных уравнений с решениями задачи Коши для детерминированных дифференциальных уравнений в частных производных. Функция, осуществляющая связь этих объектов, обладает полугрупповым свойством и, соответственно, к ней применимы полугрупповые методы. В частности, вычисление генератора этой полугруппы позволяет получить вид дифференциального уравнения в частных производных.

Связь, которую устанавливает аналог теоремы Фейнмана-Каца в случае бесконечномерных пространств, полученный в диссертации, важна в

обе стороны. В частности, устанавливаемая связь позволяет осуществить переход от стохастического дифференциального уравнения (0.0.2) к бесконечномерному детерминированному уравнению в частных производных для некоторых вероятностных характеристик. Этот переход является важным, поскольку в приложениях зачастую требуется найти не конкретные траектории решений стохастических уравнений, а их вероятностные характеристики. Необходимость связи в обратном направлении диктуется численными методами: имея детерминированное уравнение в частных производных, становится возможным перейти к некоторому стохастическому дифференциальному уравнению и решать его численными стохастическими методами.

Теорема Фейнмана-Каца в конечномерных пространствах связывает решения задачи Коши для стохастических дифференциальных уравнений с броуновским движением {в(£), £ ^ 0}:

¿X(£) = а(£, X(£))^£ + 6(£^(£))^в(£), £ е [0,Т], X(0) = (0.0.4)

и решениями задачи Коши для детерминированных дифференциальных уравнений в частных производных:

д*(£,ж) + а(£,ж)дх(£,ж) + 1 62(£,ж)^жх(£,х) = 0, д(Т,ж) = Ь(ж), (0.0.5)

определяющими вероятностные характеристики д(£,ж) = Е^Ь^(Т))]. Здесь Ь — произвольная борелевская функция, — математическое ожидание решения уравнения (0.0.4) с дополнительным условием X(£) = ж, 0 < £ < Т.

Взаимосвязь задач (0.0.4)-(0.0.5) первоначально использовалась для нужд физики. Например, процесс {X(£), £ е [0,Т]} описывает случайное движение частиц в жидкости или газе, а д(£,ж) — температуру, являющуюся вероятностной характеристикой. В последние годы важность взаи-

мосвязи между стохастическими и детерминированными задачами растет в связи с развитием численных методов (см., напр., [45]) и многочисленными приложениями в финансовой математике. Например, если X(Ь) -цена акции в момент времени Ь, то д(Ь, х) — цена опциона, определяемая уравнением Блэка-Шоулса (см., напр., [3, 35, 50]). Наряду с приложениями стохастических дифференциальных уравнений в конечномерном случае (см., напр., [3, 15, 21, 35, 50]), существуют приложения стохастических уравнений в бесконечномерном случае в финансовой математике [36, 37].

Представленный в диссертации аналог теоремы Фейнмана-Каца в случае бесконечномерных пространств потребовал ответа на множество вопросов, связанных как с обоснованием взаимосвязи, так и с формулировкой задач.

Настоящая диссертация состоит из трех глав. Первая глава посвящена классификации полугрупп операторов решений по вложению полугрупповых семейств и их генераторов. Вторая глава посвящена аналогу на случай гильбертовых пространств теоремы Фейнмана-Каца, которая устанавливает взаимосвязь между решениями стохастических дифференциально-операторных уравнений с генераторами полугрупп в гильбертовом пространстве и решениями детерминированных уравнений в частных производных с производными типа Фреше для некоторых вероятностных характеристик. Третья глава посвящена приложениям: моделирование броуновского движения, использование теоремы Фейнмана-Каца и ее аналога в гильбертовых пространствах.

Главы разбиты на параграфы, которые делятся на разделы. Нумерация формул, теорем, предложений, следствий и замечаний тройная и сообщает номер главы, параграфа и номера объекта внутри параграфа. Общий объем работы составляет 94 страницы. Список литературы содержит 55

наименований.

Приведем краткий обзор диссертации по главам, параграфам и разделам.

Глава 1 посвящена построению классификации полугрупп операторов решений. Глава состоит из трех параграфов.

В параграфе 1.1 даны определения изучаемых объектов, формулировки вспомогательных утверждений и классификация связей между следующими классами полугрупп операторов решений:

1) классическими экспоненциально ограниченными полугруппами, среди которых:

а) полугруппы класса C0 ;

б) полугруппы, суммируемые по Чезаро (в том числе с различными дополнительными условиями) — классы Ces, (0, Ces), (1,Ces);

в) полугруппы, суммируемые по Абелю (в том числе с различными дополнительными условиями) — классы ЛЬ, (0, ЛЬ), (1 , ЛЬ);

г) полугруппы класса Ck ;

д) полугруппы класса ;

е) полугруппы роста а (а > 0);

2) регуляризованными полугруппами (для которых лишь некоторое преобразование является полугруппой), среди которых:

а) n-раз интегрированные полугруппы;

б) R-полугруппы;

в) K-конволюционные полугруппы;

г) регуляризованные полугруппы.

Параграф 1.2 диссертации посвящен построению классификации полугрупповых семейств по вложению полугрупп и их генераторов. Она приведена в виде диаграммы, ее вид изображен на Рис. 1. Стрелка вида и ^ и2 на диаграмме означает, что полугруппа класса и является полугруппой класса и2. Стрелка вида и и2 означает, что генератор полугруппы класса и1 является генератором полугруппы класса и2.

Рассматриваемые в диаграмме вложения для классических полугрупп справедливы как по генераторам, так и по полугрупповым семействам. Вложение регуляризованных полугрупп справедливо только по генераторам. В случае регуляризованных полугрупп для каждого семейства можно дополнительно рассматривать экспоненциально ограниченный и локальный аналоги.

Чтобы не загромождать итоговую диаграмму, ее часть, демонстрирующая связи между различными полугруппами, суммируемыми по Абелю, вынесена в отдельную вспомогательную диаграмму связей, изображенную на Рис. 2.

В разделе 1.2.1 приведены доказательства справедливости связей. Для классических полугрупп доказательства приведены по вложению полугрупповых семейств, для регуляризованных полугрупп — по вложению их генераторов.

Раздел 1.2.2. посвящен примерам, демонстрирующим строгость вложений между различными рассматриваемыми классами, а также выявляющими какие-либо специфические особенности полугрупп:

• пример серии полугрупп сколь угодно малого роста, каждая из которых не суммируема по Абелю;

• пример суммируемой по Абелю полугруппы, не суммируемой по Че-заро;

12. Экспон. огр. К- 13. Экспон. огр. п-раз 14. Экспон. огр.

конволюционная интегрированная <— [Ч-полугруппа

полугруппа полугруппа

I 1 1

15. К- 16. п-раз

конволюционная е-- интегрированная 17. ГЧ-полугруппа

полугруппа полугруппа

I V ф ф

18. Локальная К- 19. Локальная п-раз 20. Локальная [Ч-

конволюционная интегрированная полугруппа

полугруппа полугруппа

* 1 4 4

21. Локальная регуляризованная полугруппа

Рис. 1: Диаграмма связей между полугруппами

Рис. 2: Связь полугрупп, суммируемых по Абелю, с полугруппами класса Ск

• пример вырожденной полугруппы, суммируемой по Чезаро;

• пример интегрированной полугруппы, не являющейся полугруппой роста а;

• пример Я-полугруппы, не являющейся интегрированной полугруппой;

• пример интегрированной полугруппы, не являющейся сильно непрерывной с бесконечном числе точек.

Глава 2 посвящена изучению связи между решениями стохастической дифференциальной задачи Коши в гильбертовом пространстве (0.0.2)

¿X(£) = ^(£)й£ + В^(£), £ е [0,Т], X(0) = £

и детерминированной дифференциальной задачи Коши

д2 д

| (£.а0 + ( | (£,х)„4х\ + 2Тг

В(£, х)вд = 0, д(Т, ж) = Ь(ж).

(0.0.6)

для вероятностной характеристики д(£,ж) = Е^х[Ь^(Т))] с произвольной борелевской функцией Ь. Здесь Е^х обозначает математическое ожи-

дание решения уравнения (0.0.2) с дополнительным условием X(Ь) = x, 0 ^ Ь ^ Т.

Задача (0.0.2) исследована в предположении, что оператор А является генератором полугруппы класса С0 в гильбертовом пространстве Н, оператор В принадлежит пространству линейных ограниченных операторов из Н в Н, в случае Н-значного ^-винеровского процесса W и пространству операторов Гильберта-Шмидта, в случае цилиндрического винеровского процесса. Глава состоит из двух параграфов.

В параграфе 2.1 приведены определения и вспомогательные утверждения, необходимые для доказательства аналога теоремы Фейнмана -Каца в случае гильбертовых пространств. Дана интерпретация всех объектов уравнений стохастической (0.0.2) и детерминированной (0.0.6) задач Коши, в том числе стохастической свертки и оператора следа от оператора, действующего из гильбертова пространства Н в сопряженное к нему Н*.

В параграфе 2.2 в обе стороны доказана взаимосвязь между решениями стохастической (0.0.2) и детерминированной (0.0.6) задач Коши: «из стохастической в детерминированную» и «из детерминированной в стохастическую». Доказательство импликации «из стохастической в детерминированную» приведено на основе двух подходов — подхода Ито и полугруппового подхода.

Раздел 2.2.1 посвящен первому из подходов. Доказательство в подходе Ито состоит из нескольких этапов. На первом этапе получено свойство Маркова для решения X задачи Коши, на втором этапе доказана мартин-гальность процесса д(Ь, X(Ь)) = д(Ь, х)|ж=хна последнем этапе обоснован вывод собственно уравнения в частных производных на базе бесконечномерной формулы Ито для д(Ь^(Ь)). Особое внимание уделено переходу от равенства нулю математического ожидания для функции д к равенству

нулю для д. В этом же разделе дано доказательство связи в обратную сторону, то есть «из детерминированной в стохастическую задачу».

Раздел 2.2.2 посвящен второму подходу. Доказательство в полугрупповом подходе состоит в использовании полугрупповой техники для семейства операторов {Я^ £ ^ 0}, определяемых как Я^Ь(ж) := д(£,ж), затем в вычислении инфинитезимального генератора для этого полугруппового семейства и последующей постановки задачи Коши с генератором, который является замыканием инфинитезимального генератора.

В параграфе 2.2 приведено доказательство взаимосвязи для стохастической задачи с детерминированной как в случае ^-винеровского, так и цилиндрического винеровского процесса. Рассмотрены два типа вероятностных характеристик: д(£,ж) = Е^Ь^(Т))] и д(£,ж) = Е0'^^(£))]. Показано, что первый из них приводит к обратной детерминированной задаче Коши (0.0.6), а второй — к прямой задаче Коши

д^(£,ж) = / д^(£,ж),4^ + 1 Тг д£ \дж 2

В * 0(£,Ж)В^

= 0, <7(0, ж) = Ь(ж).

Глава 3 посвящена моделированию броуновского движения и примерам использования теоремы Фейнмана-Каца в конечномерном случае, а также ее аналога в бесконечномерном случае. Глава состоит из двух параграфов.

В параграфе 3.1 рассмотрен ряд моделей математической физики и финансовой математики с учетом случайных возмущений, приводящих к стохастическим задачам Коши. В каждом конкретном случае показана структура броуновского движения (в случае конечномерных пространств) или винеровского процесса (в случае бесконечномерных пространств). Построены последовательности приближений к стохастической составляющей и приближенных (по распределению) решений исходной задачи.

Полученные приближения позволяют использовать их в качестве приближенных решений задачи Коши для стохастических дифференциальных

уравнений наряду с другими численными методами типа модификации методов Эйлера и Монте-Карло для стохастических уравнений [50]. В цели диссертационной работы не входит исследование порядка точности получаемых приближенных решений. Изложение теории численного решения стохастических задач можно найти в [11, 45].

В разделе 3.1.1 рассмотрены задачи математической физики с учетом случайных возмущений: задача малых колебаний струны с учетом случайных возмущений и задачи распределения тепла в стержне со случайными возмущениями либо на границе, либо на боковой поверхности стержня.

Раздел 3.1.2 посвящен изучению задач финансовой математики в конечномерном случае: рассмотрена задача для цены акций в непрерывном времени и доказана теорема о сходимости решений, получаемых в биномиальных моделях с учетом ненулевой процентной ставки, к геометрическому броуновскому движению, определяемому формулой Блэка-Шоулса-Мертона. Несмотря на то, что результаты о сходимости биномиальных моделей являются хорошо известными в финансовой математике (напр., в [38] данный результат называется мультипликативным вариантом центральной предельной теоремы), важным представляется тот факт, что доказательства сходимости приближений к броуновскому движению и соответствующих приближенных решений в случае ненулевой процентной ставки построены в диссертационной работе по той же схеме, что и в задачах математической физики. Результаты о сходимости для случая нулевой процентной ставки можно найти в [50].

В параграфе 3.2 приводится конечномерный пример использования теоремы Фейнмана-Каца для связи стохастического уравнения для цены акций с детерминированным уравнением для опционов акций, а также бесконечномерный результат со стохастическим уравнением для цены бондов

и детерминированным уравнением для опционов на них.

Глава 1. Классификация полугрупп операторов

1.1. Определения и вспомогательные утверждения

Прежде чем сформулировать итоговую диаграмму, приведем определения всех рассматриваемых семейств, а также сформулируем некоторые вспомогательные определения и утверждения. Пусть X — банахово пространство.

Определение 1.1.1. Семейство линейных ограниченных операторов {U(t), t ^ 0} называется полугруппой, если выполнено полугрупповое свойство:

(Ui) U(t + s) = U(t)U(s), t,s ^ 0, U(0) = I.

Определение 1.1.2. Семейство линейных ограниченных операторов {U(t), t ^ 0} называется сильно непрерывной (при t > 0) полугруппой, если выполнены соотношение (U1) и свойство сильной непрерывности при t > 0:

(U2) lim U(t)x = U(t0)x, x e X.

t—^to>0

Определение 1.1.3. Инфинитезимальным генератором полугруппы {U(t), t ^ 0} называется оператор A0, определяемый следующим образом:

. .. U(t)x - x ^ . f U(t)x - x]

A0x = lim —^-, Dom A0 = x e X : 3 lim —^-} .

t— 0 t t— 0 t

Оператор A0 замыкаем. Оператор A, являющийся его замыканием, называется генератором полугруппы {U(t), t ^ 0}.

Определение 1.1.4. Сильно непрерывная полугруппа {U(t), t ^ 0} называется полугруппой класса C0, если условие (U2) выполнено при t0 ^ 0,

что эквивалентно lim U(t)x = x, x G X.

t—0 v y

Данное определение можно интерпретировать как сильную непрерывность при t ^ 0. Можно показать, что сильная непрерывность в нуле эквивалентна сильной непрерывности на всем рассматриваемом временном интервале.

Типом полугруппы называется число ¡х>0 = lim t-1/n||U(t)||. В моногра-

t—УТО

фии [20] показано, что указанный предел существует и для него выполнено: —то ^ ¡х>0 < то.

Определение 1.1.5. Областью значений полугруппы {U(t), t ^ 0} называется множество X0, определяемое как

Xo = U U(t)[X]. t>0

Множеством непрерывности полугруппы называется подмножество £ банахового пространства X, определенное следующим образом:

Е = ix : lim U(t)x = xj. L t—0 v y J

Определение 1.1.6. Полугруппа {U(t), t ^ 0} называется невырожденной, если

Vt> 0 U(t)x = 0 x = 0.

Заметим, что полугруппа класса C0 является невырожденной.

Известно (см., напр., [12]), что для равномерной корректности задачи Коши (0.0.3) необходимо и достаточно, чтобы оператор A являлся генератором полугруппы класса C0. В этом случае решение задачи Коши пред-ставимо в виде u(t) = U(t)£, t ^ 0, £ £ X.

Однако при исследовании задачи Коши нередко возникает ситуация, когда полугруппа операторов решений {и(Ь), Ь ^ 0} определена при всех Ь > 0, а при Ь = 0 определена не на всем X. Именно по типу особенности в нуле и строится классификация классических полугрупп в настоящей работе. Приведем еще ряд необходимых определений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Парфененкова Валентина Сергеевна, 2015 год

Список литературы

[1] Альшанский, М.А. Регуляризованные и обобщенные решения бесконечномерных стохастических задач / М.А. Альшанский, И.В. Мельникова // Матем. сб. -202:11. - 2011. - С. 3-30.

[2] Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве / А. Балакришнан; пер. с англ. Э.Л. Наппельбаума, под ред. Р.В. Гамкре-лидзе. - 2-е изд. - М.: Эдиториал УРСС, 2004. - 260 с.

[3] Бьорк, Т. Теория арбитража в непрерывном времени / Т. Бьорк; пер. с англ. Я.И. Белопольской. - М.: МЦНМО, 2010. - 560 с.

[4] Голдстейн, Д.А. Полугруппы линейных операторов и их приложения / Д.А. Гол-дстейн: пер. с англ. В.В. Любашенко, под ред. Ю.Л. Далецкого. - Львов: Выща школа, 1989. - 347 с.

[5] Далецкий, Ю.Л. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах / Ю.Л. Далецкий, С.В. Фомин. - М.: Наука, Физматлит, 1983. - 384 с.

[6] Гихман, И.И. Введение в теорию случайных процессов / И.И. Гихман, А.В. Скороход. - М.: Наука, 1965. - 654 с.

[7] Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида; пер. с англ. В.М. Волосова. -М.: Мир, 1967. - 624 с.

[8] Ито, К. Диффузионные процессы и их траектории / К. Ито, Г. Маккин; пер. с англ. А.Д. Вентцеля, под ред. Е.Б. Дынкина. - М.: Мир, 1968. - 394 с.

[9] Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като; пер. с англ. Г.А. Воропаевой, под ред. В.Н. Маслова. - М.: Мир, 1972. - 739 с.

[10] Функциональный анализ : справочная математическая библиотека / под ред. С.Г. Крейна. - 2-е изд., переработанное и дополненное. - М.: Наука, 1972. - 544 с.

[11] Кузнецов, Д.Ф. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений / Д.Ф. Кузнецов. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2006. - 764 с.

[12] Мельникова, И.В. Абстрактная задача Коши в пространствах стохастических распределений / И.В. Мельникова, А.И. Филинков // - Труды Четвертой Международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям. - Часть 2, СМФН, 16, РУДН, М. - 2006. - С. 96109.

[13] Мельникова, И.В. Абстрактные стохастические уравнения. II. Решения в пространстве абстрактных стохастических распределений / И.В. Мельникова,

A.И. Филинков, М.А. Альшанский // Функциональный анализ, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. - N 96. - ВИНИТИ, М. - 2006. -C. 212-271.

[14] Мизохата, С. Теория уравнений с частными производными / С. Мизохата; пер. с японского Ю.В. Егорова, под ред. О.А. Олейник. - М.: Мир, 1977. - 504 с.

[15] Оксендаль, Б. Стохастические дифференциальные уравнения / Б. Оксендаль; пер. с англ. Н.И. Королевой и А.И. Матасова, под ред. В.Б. Колмановкого. -М.: Мир, 2003. - 408 с.

[16] Петров, В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин /

B.В. Петров. - Теория вер. и мат. стат. - Вып. 39. - М.: Наука, 1987. - 317 с.

[17] Розовский, Б.Л. О стохастических дифференцальных уравнениях в частных производных / Б.Л. Розовский // Математический сборник. - Т. 96(138), N 2. - 1975. -

C. 314-341.

[18] Соболевский, П.Е. Об одном классе роста а / П.Е. Соболевский // Докл. АН СССР. - Т. 196, N 3. - 1971. - С. 535--537.

[19] Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения / В. Феллер; пер. с англ. Ю.В. Прохорова, под ред. Б.Б. Дынкина. - 2 изд. - в 2-х томах, т.2. - М.: Мир, 1984. - 752 с.

[20] Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы. / Э. Хилле, Р.С. Филлипс; пер. с англ. Д.А. Василькова, под ред. В.М. Алексеева и С.В. Фомина. - 2 изд. - М.: ИЛ, 1962. - 829 с.

[21] Allen, E.J. Modeling With Ito Stochastic Differential Equations / E.J. Allen. -Mathematical Modelling: Theory and Applications. - Vol. 22, Springer, 2007. - 228 p.

[22] Arendt, W. Vector-valued Laplace Transforms and Cauchy Problems / W. Arendt // Israel Journal of Mathematics. - Vol. 59, N 3. - 1987. - P. 327-352.

[23] Arendt, W. Local integrated semigroups: Evolution with jumps of regularity J / W. Arendt, O. El-Mennaoui, V. Keyantuo // Math. Anal. Appl. - N 186. - 1994. -P. 572-595.

[24] Cabana, E.M. The vibrating string forced by white noise / E.M. Cabana // Zeitschrift fUr Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete. - N 15. - 1970. - P. 111—130.

[25] Cioranescu, I. Regularization of evolution equations via kernels K(t), K-evolution operators and convoluted semigroups, generation theorems / I. Cioranescu, G. Lumer // Seminar Notes in Func. Anal. and PDEs. - Lousiana State Univ., Baton Rouge. -1994. - P. 45-52.

[26] Curtain, R.F. Stochastic differential equations in Hilbert spaces / R.F. Curtain, P. Falb // J. Differential Equations. - Vol. 10, N 3. - 1971. - P. 412-430.

[27] Curtain, R.F. Infinite Dimensional Linear Systems Theory / R.F. Curtain, A.J. Pritchard. - Lect. Notes in Control and Information Sciences, ed. Balakrishnan A.V. -Thoma M. Springer-Verlag, 1978. - 297 p.

[28] Da Prato, G. Kolmogorov equations for stochastic PDEs / G. Da Prato. - Birkhauser Verlag: Advanced Courses in Math CRM Barcelona, 2004. - 182 p.

[29] Da Prato, G. Nouveau-type de semi-groupes / G. Da Prato // C. R. Acad. Sci. Paris. -Ser. A-B 262. - 1966. - A996-A998.

[30] Da Prato, G. Semigruppi regolarizzabili / G.Da Prato // Ricerche di Mat. - N 15. -1966. - P. 223-248.

[31] Da Prato, G. Stochastic equations in infinite dimensions / G. Da Prato, J. Zabczyk. -Encycl. of math. and its appl. - N 45. - Cambridge University Press, 1992. - 454 p.

[32] Davies, E.B. One-parameter semigroups / E.B. Davies. - Acad. Press, London-New York, 1980. - 230 p.

[33] Davies, E.B. The Cauchy Problem and a Generalization of the Hille-Yosida Theorem / E.B. Davies, M.M.H. Pang // Proc. of The London Math. Soc. - N 55. - 1987. - P. 181208.

[34] deLaubenfels, R. C -semigroups and the Cauchy problem / R. deLaubenfels //J. Func. Anal. 111. - N 1. - 1993. - P. 44-61.

[35] Emamirad, H. Chaotic solution for the Black-Scholes equation / H. Emamirad, G.R. Goldstein, J.A. Goldstein // Proc. Amer. Math. Soc. - N 140. - 2012. - P. 20432052.

[36] Ekeland, I. A theory of bond portfolios / I. Ekeland, E. Taflin // Annals of Applied Probability. - Vol. 15, N 2. - 2005. - P. 1260-1305.

[37] Filipovic, D. Consistency Problems for Heath-Jarrow-Morton Interest Rate Models / D. Filipovic. - Lecture Notes in Math. - 1760, Springer, 2001. - 137 p.

[38] Follmer, H. Stochastic finance. An introduction in discrete time / H. Follmer, A. Schied. - Walter de Gruyter GmbH & Co KG. Berlin. New York, 2002. - 422 p.

[39] Gawarecki, L. Stochastic Differential Equations in Infinite Dimensions with Applications to Stochastic Partial Differential Equations / L. Gawarecki, V. Mandrekar. - Springer, Probability and Its Applications, 2011. - 292 p.

[40] Hamza, K. On solutions of First Order Stochastic Partial Differential Equations / K. Hamza, F.C. Klebaner // Far East J. Theor. Statist. - N 1. - 2006. - P. 13-25

[41] Melnikova, I.V.Regularized solutions to Cauchy problems well posed in the extended sense / I.V. Melnikova // Integral transforms and Spec. Func. - Vol. 17, N 2-3. -2006. - P. 185-191.

[42] Melnikova, I.V. Well-posedness of a nondegenerate Cauchy problem and related semigroups / I.V. Melnikova, M.A. Alshansky // J. of Math. Sci. - Vol. 87, No. 4. - 1997. - P. 3732-3780.

[43] Melnikova I.V. Abstract Cauchy Problems: Three Approaches / I.V. Melnikova, A.I. Filinkov. - No. 120, Chapman & Hall/CRC, New York, 2001. - 246 p.

[44] Melnikova, I.V. Relations between modern and classical semigroups / I.V. Melnikova, I.A. Freyberg // International Sci. J. "Spectral and Evolution Problems Simferopol, Ukraine. - 2007. - P. 117-124.

[45] Milstein, G.N. Stochastic numerics for mathematical physics / G.N. Milstein, M.V. Tretyakov. - Scientific Computation series. - Springer, 2004. - 594 p.

[46] Miyadera, I. On the generators of exponentially bounded C-semigroups / I. Miyadera // Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. - Vol. 62, N 7. - 1986. - P. 239-319.

[47] Oharu, S. Semigroups of Linear Operators in a Banach Space / S. Oharu // Publ. RIMS, Kyoto Univ. - N 7. - 1971/72. - P. 205-260.

[48] Okazawa, N. A Generation theorem for semigroups of growth order a / N. Okazawa // Tohoku Math. Journ. - N 26. - 1974. - P. 39-51.

[49] Shreve, S.E. Lectures on Stochastic Calculus and Finance / S.E. Shreve, P. Chalasani, S. Jha. - Carnegie Mellon University. - 1997. - 365 p.

[50] Shreve, S.E. Stochastic Calculus for Finance II. Continuous-Time Models / S.E. Shreve. - Springer Finance, 2004. - 550 p.

[51] Tanaka, N. On the Exponentially Bounded C-semigroups / N. Tanaka // Tokyo J. of Math. - Vol. 10, N 1. - 1987. - P. 1-257.

[52] Tanaka, N. C-semigroups and the abstract Cauchy problem / N. Tanaka, I. Miyadera // J. Math. Anal. Appl. - 170(1). - 1992. - P. 196-206.

[53] Tanaka, N. Some remarks on C-semigroups and integrated semigroups / N. Tanaka, I. Miyadera // Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. - Vol. 63, N 5. - 1987. - P. 139-142.

[54] Tanaka, N. Local C-semigroups and local integrated semigroups / N. Tanaka, N. Okazawa // Proc. London Math. Soc. 61. - N 3. - 1990. - P. 63-90.

[55] Walsh, J.B. An introduction to stochastic partial differential equations / J.B. Walsh // Lect. Notes in Mathematics. - Vol. 1180. - Berlin, LLC: Springer-Verlag. - 1986. -P. 265-439.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи, опубликованные в рецензируемых научных изданиях, определенных ВАК:

[1] Парфененкова, В.С. Исследование стохастических задач математической физики / В.С. Парфененкова // Труды ИММ УрО РАН. - 18:2. - 2012. - С. 212-221.

[2] Парфененкова В.С. Классификация полугрупп операторов решения задачи Коши / В.С. Парфененкова // Известия ИГУ. - Т. 9, Иркутск. - 2014. - С. .103-117.

[3] Melnikova, I.V. Relations between Stochastic and Partial Differential Equations in Hilbert Spaces / I.V. Melnikova, V.S. Parfenenkova // International Journal of Stochastic Analysis. - v. 2012, article Id 858736. - 2012. - 9 pp.

[4] Melnikova, I.V. Feynman-Kac Theorem in Hilbert Spaces / I.V. Melnikova, V.S. Parfenenkova // Electronic Journal of Differential Equations. - v. 2014, No. 208, Texas. - 2014. - P. 1-10.

Другие публикации:

[5] Тихановцева (Парфененкова), В.С. Исследование моделей математической физики, приводящих к стохастическим задачам /В.С. Тихановцева // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. - Ч. 3, Самара. - 2009. - С. 216-220.

[6] Тихановцева (Парфененкова), В.С. Формализация случайных возмущений в задачах финансовой математики и математической физики / В.С. Тихановцева // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. - Ч. 2, Самара. - 2010. -С. 257-261.

[7] Тихановцева (Парфененкова), В.С. Свойства операторов решений абстрактной задачи Коши / В.С. Тихановцева // Проблемы теоретической и прикладной математики. Тезисы 41-й Всероссийской молодежной конференции. - Екатеринбург, УрО РАН. - 2010. - С. 289-295.

[8] Тихановцева (Парфененкова), В.С. О классификации полугрупп операторов решений абстрактной задачи Коши / В.С. Тихановцева // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения — XXI». - Воронеж: Издательско-полиграф. центр Воронежского ун-та. - 2010.

[9] Парфененкова, В.С. Исследование стохастических задач математической физики / В.С. Парфененкова // Труды Шестой международной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач». - Т. 3, Екатеринбург. - 2011. - С. 263264.

[10] Мельникова, И.В. Теорема Фейнмана-Каца в гильбертовых пространствах / И.В. Мельникова, В.С. Парфененкова // Труды международной конференции «Крымская осенняя математическая школа-симпозиум», Таврический национальный университет. - Т. 22, Севастополь. - 2011. - С. 143-148.

[11] Парфененкова, В.С. Обобщение теоремы Фейнмана-Каца на бесконечномерные пространства и приложения / В.С. Парфененкова // Тезисы докладов Всероссийской конференции с международным участием «Алгоритмический анализ неустойчивых задач». - Челябинск. - 2014. - С. 216-217.

[12] Melnikova, I.V. Two Approaches to Infinite Dimensional Extension of Feynman-Kac Theorem / I.V. Melnikova, V.S. Parfenenkova // Semigroups of operators: Theory and applications. — Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, Vol. 113. -2014. — P. 225-233.