Затухание волн в полуограниченных телах и локализация колебаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Пешков, Александр Александрович

• Пешков, Александр Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пешков, Александр Александрович

Введение.

Глава I. Колебания и волны в поперечно-неоднородной пластине.

§ 1. Постановка задачи.

§2. Общее представление решения уравнений стационарных колебаний

Глава И. Однородные решения неоднородной пластины.

§3. Сведение к спектральным задачам.

§4. Критические частоты и моды.

Глава III. Затухание волн в пластине при малой диссипации энергии

§5. Постановка задачи.

§6. Исследование затухания волн методом теории возмущений.

§7. Локализация колебаний.

§8. Некоторые результаты численного анализа.

Глава IV. Колебания двухслойной пластины на поверхности акустической среды.

§9. Постановка задачи.

§ 10. Построение решения методом интеграла Фурье.

§11. Критические частоты и моды двухслойной полосы.

§12. Квазикритические и квазиоднородные моды и локализация колебаний

§13. Характеристика направленности в дальнем поле.

§ 14. Результаты численного анализа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Затухание волн в полуограниченных телах и локализация колебаний»

В настоящее время существуют разнообразные акустические устройства, широко использующие слоистые упругие элементы пластинчатой структуры. Методы расчета таких элементов зачастую опираются на прикладные теории слоистых пластин. Однако такие теории оказываются мало пригодны в случае высокочастотных колебаний, когда длина волны становится соизмерима с толщиной пластины. Такие ситуации возникают, если частота внешнего воздействия на элемент равна или больше первой критической частоты (частоты запирания) неограниченной полосы.

В диссертации исследуются две проблемы. Первая посвящена изучению затухания нормальных волн в поперечно-неоднородных пластинах в случае, когда материал не является идеально-упругим, при отсутствии излучения звука через ее лицевые поверхности и возможности подбора амплитуд внешней нагрузки так, чтобы колебания локализовались в конечной области, созданию алгоритма такого подбора. В случае локализации колебаний можно использовать модель полуограниченного тела (термин введен И.И. Воровичем [8]), частным представителем которой является, например, бесконечная слоистая пластина (поперечно-неоднородный слой). Вторая проблема, тесно связанная с первой, — возможность создания узконаправленных характеристик звука при просвечивании акустической среды через упругие слоистые элементы. Главное внимание в обеих проблемах уделяется изучению поведения волновых полей на критических частотах и возможности локализации колебаний в окрестности области приложения внешней нагрузки. В случае реализации таких возможностей можно использовать модель неограниченной пластины, даже если материал пластины является достаточно добротным.

Большой вклад в развитие математической теории гармонических волн в полуограниченных телах внес И.И. Ворович [6, 7, 8] благодаря тонким исследованиям свойств дисперсионных множеств и связанных с этими свойствами таких проблем, как условия существования решений с конечной энергией, единственность решения и принципы его выбора.

Важным циклом работ аналитического направления для изучения волновой картины в слоистых средах являются работы [24, 25, 26] по применению матричной технологии в теории слоистых сред: каждый слой характеризуется своей матрицей, определяемой параметрами слоя. Для определения характеристик волны, прошедшей несколько слоев, соответствующие матрицы следует перемножить. В терминах произведения матриц характеризуется также и дисперсионное уравнение.

Несмотря на то, что проблеме распространения волн в неоднородных телах посвящено большое количество работ [1, 2, 3, 4, 17, 18, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47], вопросу поведения волновых полей в окрестности критических частот посвящено сравнительно небольшое число исследований. Одним из первых таких исследований, где задача математически изучалась достаточно полно, была работа [8]. Для твердых волноводов типа цилиндра математическая сторона вопроса детально была исследована в [13].

Проблема затухания нормальных волн в однородной полосе на основе метода комплексных модулей упругости (комплексных скоростей РН и PS-волн) подробно исследована в [5, 22], однако из поля зрения авторов этих работ выпал особый случай - затухание волн в окрестности критических частот. Этот случай для однородного слоя детально изучен в [10], а для слоя, лежащего на поверхности идеальной акустической среды - в работе [20]. В [19] рассмотрена задача об определении амплитудно-частотной характеристики упругой полосы, лежащей на поверхности жидкости на критических частотах при воздействии на внешнюю лицевую поверхность пластины сосредоточенной, периодически меняющейся нагрузки.

В диссертационной работе обосновываются и защищаются следующие новые выводы:

- методы определения коэффициента затухания в поперечно-неоднородном слое на критической частоте, порожденного внутренними потерями;

- реализация методов для трехслойной пластины на критических частотах;

- построение алгоритма подбора нагрузки с целью локализации колебаний;

- реализация алгоритма для трехслойной пластины;

- исследование затухания нормальных волн в двухслойной полосе, лежащей на поверхности акустической среды;

- исследование проблемы просвечивания акустической среды через двухслойную пластину.

Актуальность поставленных и исследованных задач вытекает из недостаточного уровня их исследования и практической значимости для создания устройств ультразвукового просвечивания акустических сред через упругие стенки.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.

В первой главе на основе трехмерных уравнений теории упругости рассматривается задача о гармонических колебаниях поперечно неоднородной пластины, физико-механические свойства которой описываются произвольными кусочно-непрерывными функциями. Строится общее представление решения уравнения стационарных колебаний.

Во второй главе задача при однородных граничных условиях на лицевых поверхностях пластины сведена к двум спектральным задачам с парой спектральных параметров, роль которых выполняет круговая частота и волновое число. Особое внимание уделяется критическим частотам, при которых в спектре волновых чисел существуют кратные собственные значения.

Дается их классификация и получены дифференциальные уравнения, описывающие распределение критических мод в области, занятой пластиной.

В третьей главе рассматриваются колебания трехслойной пластины симметричного строения, при этом исследуется затухание нормальных волн на критических частотах методом, основанном на введении комплексных упругих характеристик. Решается задача локализации колебаний на критической частоте путем подбора распределения амплитуды внешней нагрузки.

В четвертой главе рассматривается задача о распространении и затухании волн в упругой двухслойной полосе, лежащей на поверхности идеальной сжимаемой жидкости, на критических частотах. Решается проблема локализации колебаний таким образом, чтобы подвить распространение звуковой энергии вдоль пластины. Методом стационарной фазы изучаются возможности формирования диаграмм направленности звукового давления в акустической среде. Построенная теория иллюстрируется серией расчетов для систем сталь-резина-вода, сталь-резина-воздух.

Основные результаты диссертационной работы отражены в публикациях [27,28,29,30].

Работы [27, 29, 30] выполнены совместно с научным руководителем Ю.А. Устиновым. Ему принадлежит общая постановка задачи и рекомендации по выбору метода исследования.

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, гранты 01-01-00454, 04-01-00069 и программы «Государственная поддержка ведущих научных школ» НШ-2113.2003.1.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Пешков, Александр Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Суммируя результаты проведенных исследований, можно заключить, что в диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1. Для поперечно-неоднородных пластин разработаны численные и аналитические методы определения коэффициентов затухания нормальных волн на критических частотах.

2. На основе разработанных методов исследовано затухание нормальных волн в трехслойной полосе симметричного строения.

3. Для трехслойной полосы разработан алгоритм подбора распределения амплитуды внешней нагрузки, приложенной к одной из лицевых сторон, позволяющий локализовать колебания полосы в окрестности приложения нагрузки.

4. Разработаны аналитические и численные методы определения коэффициента затухания нормальных волн для поперечно-неоднородной полосы, лежащей на поверхности акустической среды.

5. Для двухслойной пластины, лежащей на поверхности воды, проведена серия расчетов, позволившая проверить эффективность полученных формул для коэффициента затухания.

6. Путем построения характеристик направленности исследовано влияние характера распределения давления на поведение давления в дальнем поле на различных частотах. Установлены некоторые закономерности влияния параметров задачи на структуру акустического поля. Построенная теория и разработанные на ее основе численные и аналитические методы могут быть использованы при проектировании устройств ультразвукового просвечивания акустических сред через упругие слоистые стенки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пешков, Александр Александрович, 2004 год

1. Бабешко В.А., Белянкова Т.И., Калинчук В.В. О решении одного класса смешанных задач для слоистого полупространства // Доклады РАН, 2001, Т.380, №5, С.619-622

2. Белянкова Т.И., Калинчук В.В., Устинова С.Ю. Динамические свойства составной преднапряженной среды // Изв. Вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2001. №4, С. 122-125.

3. Боровков О.В., Кучеров И.Я., Островский И.В. Распространение волн в трехслойной системе. Упр. физ. ж., 1973, т. 18, №7, с. 1075-1080.

4. Буденков Г.А., Волков Ю.В., Черепкова Н.Г., Гунтина Т.А. Дисперсионное уравнение интерференционных волн в трехслойной среде. Дефектоскопия, 1977, №3, с. 42-47.

5. Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. М.: Нука, 1966. 168 с.

6. Ворович И.И Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы // Докл. АН СССР, 1979, т.245, №4, С.817-820.

7. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы // Докл. АН СССР, 1979, т.245, №5, С.1076-1079.

8. Ворович И.И, Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М. Наука. 1979, 319 с.

9. Ворович ИИ, Кадомцев ИГ., Устинов Ю.А. К теории неоднородных по толщине плит // Изв. АН СССР. МТТ. 1975. № 3. С.119-129.

10. Гетман И.П., Устинов Ю.А. О распространение волн в упругом продольно-неоднородном цилиндре // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 1. С. 103-108.

11. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория твердых нерегулярных волноводов. Ростов-на-Дону, изд. РГУ, 1993,144 с.

12. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наук. Думка, 1981. 283 с.

13. Диденко Е.В., Устинов Ю.А. Критические моды колебаний поперечно-неоднородной пластины периодической структуры // ПММ. 2002. Т. 66. Вып.З.С. 481-490.1 б.Иссакович М.А. Общая акустика (Учебник пособие для физ. Специальностей вузов) М. Наука, 1973, 495 с.

14. Калинчук В.В., Белянкова Т.Н. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных тел. М, ФИЗМАТЛИТ 2002, 240 с.

15. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. К проблеме исследования динамических смешанных задач электроупругости и термоупругости для слоисто-неоднородного полупространства.// Изв. Вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2000. № 3, С. 72-74.

16. Каплунов Ю.Д., Маркушевич Д.Г. Излучение упругого слоя в жидкое полупространство (плоская задача) // Докл. АН СССР, 1990, т. 313, №6, С. 1385-1390.

17. Меркулов Л.Г. Затухание нормальных волн в пластинах, находящихся в жидкости // Акуст.ж., 1964, т. 10, Вып.2, С.206-212.

18. Молотков JI.A. Об интерференционных волнах в свободном неоднородном упругом слое. Зап.научн.семинаров Ленингр.отд.Мат.Ин-та АН СССР, 1973, т.34, с.117-141.

19. Молотков JI.A. Отражение и преломление волн неоднородным слоем. В ст.: Вопр. динамич. Теории распространения сейсмич.волн. Вып. 13. - Л.: Наука, 1973, с.15-39.

20. Пешков А.А., Устинов Ю.А. Ультразвуковое просвечивание акустической среды через двухслойную пластину // Теоретическая и прикладная механика. Харьков. Основа. 2003. вып.38, С.175-181.

21. Пешков А.А., Устинов Ю.А. О просвечивании акустической среды через толстую двухслойную стенку на критических частотах // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды VIII Международной конференции. Ростов н/Д. Новая книга. 2003. С. 125-128.

22. Труэлл Р., Элъбаум Ч, Чик Б. Ультрозвуковые методы в физике твердого тела. М.:Мир, 1972. 307 с.

23. Устинов Ю.А. Некоторые свойства однородных решений неоднородных плит. // Докл. АН СССР. 1974. Т. 216. № 4. С. 755-758.

24. Устинов Ю.А. О принципах выбора единственного решения для полуограниченных тел на критических частотах. // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. №5. С. 87-93.

25. Устинов Ю.А. О критических модах неоднородной пластины // Докл. РАН. 2000. Т. 370. № 4.С.473-476.

26. Устинов Ю.А. О критических частотах и модах неоднородной пьезо-активной пластины.// Изв. Вузов Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2000. Вып. 3.C.169-173.

27. Федорюк М.В. Метод перевала. М. Наука, 1977. 368 с.

28. Ъ1.Armstrong G.A., Grampin S. Piezoelectric surface-wave calculations in multilayered anisotropic media. Electron.Lett., 1972, vol.8, N21, p.521-522.

29. Cheng N.C., Sun C.T. Wave propagation in two-layered piezoelectric plates. J.Acoust.Soc.Am., 1975, vol.57, N3, p.632-639.

30. Hughes A.J. Elastic surface wave guidance by v/v effect guidance structure. J.Appl.Phys., 1972, vol.43, N6, p.2569-2586. 1.9.

31. Kaliski S. Amplification of a traveling wave in nonhomogeneous elastic medium. Bull.Acad. pol.sci., Ser.Sci.techn., 1973, vol.21, N1, p. 1-5. 1.10.

32. Kenning D.H. A mixed boundary value problem for infinite, piezoceramic bimorphs. Acta mech., 1972, vol.14, N2-3, p. 199-217. 1.11.

33. Kenning D.H. Approximate equations for the flexure of thin, incomplete, piezoelectric bimorphs. J. of Engineering Math., 1971, vol.5, N4, p.307-319. 1.12.

34. Li R.C.M., Yen Kio-Hsiung. Elastic waves guided by a solid layer between adjacent substructures. IEEE Trans. Microwave Theory and Techn., 1972, vol.20, N7, p.477-486. 1.13.

35. Scott R.A. Wave propagation in a layered elastic plate. Int.J.Solids and Struct., 1972, vol.8, N6, p.833-845. 1.14.

36. Sinha B.K., Tiersten H.F. Elastic and piezoelectric surface waves guided by thin films.-J.Appl.Phys., 1973, vol.44, p.4831-4854. 1.15.

37. Wagers R.S. Kino G.S. Analysis of the elastic potential of an acoustic surface wave propagating on a layered halfspace. IEEE Tfans.Sonics and Ul-trason., 1974, vol.21, N3, p.209-213. 1.16.