Закономерности деформирования и зависимости эффективных свойств механического тетрахирального метаматериала от его структуры тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Ахметшин Линар Ришатович

• Ахметшин Линар Ришатович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Ахметшин Линар Ришатович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1 МЕХАНИЧЕСКИЕ МЕТАМАТЕРИАЛЫ И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ТЕТРАХИРАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ

1.1 Типы механических метаматериалов и их особенности

1.2 Структуры метаматериалов, оказывающие влияние на модуль Юнга

1.3 Структуры метаматериалов, оказывающие влияние на модули сдвига и объемного сжатия

1.4 Метаматериалы с точки зрения изучения коэффициента Пуассона

1.5 Выводы по первой главе

2 ВЫБОР МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ И МЕТОД ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

2.1 Гиперупругие модели

2.2 Система уравнений

2.3 Метод конечных элементов

2.4 Начальные и граничные условия

2.5 Анализ сеточной сходимости численных результатов

2.6 Выводы по второй главе

3 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ МЕТАМАТЕРИАЛА С МНОГОУРОВНЕВОЙ ИЕРАРХИЧЕСКИ ОРГАНИЗОВАННОЙ СТРУКТУРОЙ

3.1 Структура ячеистого тетрахирального метаматериала

3.2 Влияние параметров структуры на поведение тетрахирального метаматериала

3.3 Способы соединения элементарных ячеек

3.4 Доля базового материала и пористость в образце из метаматериала

3.5 Механическое поведение ячеистого метаматериала при топологических преобразованиях

3.6 Выводы по третьей главе

4 ЭФФЕКТИВНЫЕ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЯЧЕИСТОГО ТЕТРАХИРАЛЬНОГО МЕТАМАТЕРИАЛА

4.1 Свойства элементарной ячейки метаматериала при приложении нагрузки в трех осевых направлениях

4.2 Свойства образца из метаматериала при приложении нагрузки по трем координатным осям

4.3 Выводы по четвертой главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

106

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Закономерности деформирования и зависимости эффективных свойств механического тетрахирального метаматериала от его структуры»

Актуальность темы исследования

Диссертация посвящена изучению механических метаматериалов. Метаматериалы представляют собой новый бурно развивающийся в последние десятилетия класс материалов, необычные свойства которых определяются не их химическим составом, а специальным образом организованной структурой. Большая часть известных исследований и примеров метаматериалов связана с особыми значениями электромагнитных или акустических свойств. Менее известны механические метаматериалы, представляющие собой специальным образом структурированные среды, обладающие необычными эффективными механическими свойствами, например, отрицательными значениями коэффициента Пуассона (такие материалы называют ауксетиками) или коэффициента теплового расширения.

Метаматериалы можно считать дизайнерскими материалами из-за их своеобразной архитектуры. Примером являются метаматериалы, обладающие хиральной структурой. Хиральность — свойство предмета не совмещаться в пространстве со своим зеркальным отражением, т. е. пространственное расположение, не обладающее центральной и вращательной симметрией. Хиральные метаматериалы способны вызывать эффект отрицательного коэффициента Пуассона. Хиральность в геометрии может не только наделять механические метаструктуры отрицательным коэффициентом Пуассона, но также эффектом «нагружение-скручивание». Дополнительным преимуществом хиральных структур является поляризация упругих волн, нелинейное распространение волн, повышение жесткости и демпфирования. Существует несколько успешных промышленных применений хиральных механических метаматериалов, например, создание интеллектуальных развертываемых антенн и реконфигурируемых структур с запоминанием формы, механических регулируемых стентов и фазовых структур с возможностью переключения формы.

Создание механических метаматериалов позволяет вывести на качественно более высокий уровень проектирование ответственных конструкций техно- и биосистем и использовать их новые функциональные возможности для эффективной адаптации к заданным, в том числе экстремальным, условиям эксплуатации. Одним из наиболее эффективных инструментов дизайна архитектуры метаматериалов является топологическая оптимизация их внутренней структуры. Топологический многоуровневый дизайн осуществляется с учетом прогнозируемых изменений условий нагружения конструкции/системы и свойств окружающей среды.

Развитие данного направления требует привлечения современных концепций представления метаматериала как многоуровневой иерархически организованной

многокомпонентной системы. Одной из таких концепций является развиваемая в ИФПМ СО РАН и признанная мировым научным сообществом концепция физической мезомеханики гетерогенных многокомпонентных материалов и сред различной природы. В рамках данной концепции необычный/нетривиальный отклик метаматериала рассматривается как результат не только коллективной согласованной реакции структурных элементов определенного структурного масштаба, но и взаимовлияния элементов структуры различных масштабных уровней.

Степень разработанности темы исследования

На протяжении истории материаловедения работы учёных были направлены на достижение наилучших, иногда нетривиальных свойств материалов за счет их внутренней структуры, к примеру, материалы с отрицательным коэффициентом Пуассона подробно изучались Гольдштейном Р.В. и Городцовым В.А. Подобные исследования приобретают иной характер, когда можно говорить про программируемость изучаемых характеристик для промышленного использования. Механические метаматериалы продолжают указанную тенденцию по программируемости механического поведения и актуальной задачей в настоящее время является управление свойствами метаматериалов. Данная область исследований активно развивается такими исследователями, как Френцель Т. (Frenzel T.), Кадик М. (Kadic M.) и Вегенер М. (Wegener M.) из Германии, Бертольди К. (Bertoldi K.) и Рузене М. (Ruzzene M.) из США, Фан Д. (Fang D.), Лу Т.Дж. (Lu T.J.) из КНР и Скрипняк В.А. из России. Несмотря на обширный мировой охват исследователей, большое число работ посвящены поиску существующих и способам разработки новых видов структур, но отсутствуют детальные изучения уже известных метаматериалов. Достаточно много работ посвящено методикам получения необычных свойств метаматериалов за счет выбора их конкретной структуры не хирального типа. В свою очередь, группа ученых из Германии получила широкую известность за изучение оптических и акустических свойств тетрахиральных структур метаматериалов. В меньшей степени раскрыт вопрос механического поведения и изучения механических свойств тетрахирального метаматериала.

Цель и задачи

Цель диссертационной работы заключается в установлении на основе численного моделирования закономерностей деформирования механического тетрахирального метаматериала, а также изменения его эффективных свойств в зависимости от параметров, характеризующих его тетрахиральную структуру.

В соответствии с целью в работе сформулированы и решены следующие задачи:

1. Выбрать частные случаи структуры тетрахирального метаматериала при изменении параметров элементов его элементарной ячейки, метода соединения ячеек в образце и топологических преобразований в ячейках.

2. Провести численные эксперименты по одноосному нагружению образцов ячеистого тетрахирального метаматериала с разными параметрами структуры.

3. Выявить закономерности влияние параметров тетрахиральной структуры на деформационное поведение метаматериала.

4. Проанализировать зависимости эффективных упругих свойств изучаемого метаматериала от параметров его структуры.

5. Определить параметры структуры, соответствующие рациональному сочетанию механических свойств тетрахирального метаматериала.

Научная новизна

В процессе проведения исследования получены новые научные результаты:

• Исследован нетривиальный отклик (эффект «нагружение-скручивание») образца из тетрахирального метаматериала при независимом и совместном изменении базовых параметров структуры;

• Определены эффективные характеристики, такие как модуль Юнга и коэффициент Пуассона для различных вариаций параметров элементов тетрахиральной структуры метаматериала;

• Предложены способы программируемости свойств метаматериала на уровне структурных параметров, топологического расположения тетрахиральных структур в кубической ячейке, соединения элементарных ячеек;

• Получены аналитические формулы для расчета объема базового материала в образце из метаматериала;

• Предложен новый способ соединения элементарных ячеек для достижения лучшего эффекта «нагружение-скручивание»;

• Исследованы механические свойства элементарных ячеек хирального метаматериала без топологического дефекта и с его наличием.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость обусловлена тем, что:

• поставлена и решена задача о влиянии параметров тетрахиральной структуры метаматериала на особенности его механического поведения;

• установлена связь между геометрической микроструктурой и особенностями напряженного состояния в тетрахиральном метаматериале;

• раскрыты механизмы нетривиального деформационного поведения хирального метаматериала, позволяющие находить рациональное соотношение параметров его структуры для функциональных применений.

Практическая значимость заключается в возможных приложениях полученных результатов: на основе полученных зависимостей эффективных упругих модулей метаматериала могут быть разработаны и обоснованы варианты структурной организации метаматериала, реализующие заданные значения выбранных упругих характеристик; по результатам численных исследований могут вырабатываться рекомендации по созданию натурных образцов, обеспечивающих заданные механическое поведение и значения упругих модулей (например, отрицательное или нулевое значение коэффициента Пуассона) механического метаматериала; полученные результаты могут быть применены для разработки метаматериалов для конкретной практической сферы применения (ударозащитные материалы, крепеж, медицинская техника, спортивный инвентарь, и т.п.).

Методология и методы исследования

В качестве основного метода исследования используется математическое моделирование с применением аналитических способов расчета механического поведения и средств вычислительной механики деформируемого твердого тела. Численное моделирование одноосного нагружения образца из механического тетрахирального метаматериала проводилось методом конечных элементов в ведущем инженерном программном комплексе ANSYS. Задача о статическом нагружении образцов решена в рамках теории упругости. Нетривиальный отклик (скручивание) метаматериала на макроуровне рассматривается как результат коллективной согласованной реакции структурных элементов мезоскопического пространственного масштаба, который сопровождается взаимовлиянием разных элементов структуры.

Детальное исследование особенности структурной организации метаматериалов на мезоуровне (масштабном уровне элементарной ячейки структуры) позволяет определить эффективные упругие свойства метаматериала на макроуровне в результате процедуры численного усреднения.

На защиту выносятся следующие положения

1. Результаты численного моделирования необычного механического отклика (эффект «нагружение-скручивание») образца из тетрахирального метаматериала при независимом и совместном изменении базовых параметров структуры, позволяющие найти их рациональное соотношение для обеспечения требуемых механических свойств.

2. Метод внедрения и исключения топологических дефектов на масштабах элементарной ячейки и образца из метаматериала для управления его свойствами: увеличения или

уменьшения эффекта «нагружение-скручивание», достижения ортотропии эффективных упругих характеристик.

3. Установленные закономерности влияния геометрических параметров тетрахиральной структуры на эффективные упругие характеристики метаматериала, демонстрирующие изменение относительного модуля Юнга (по сравнению с модулем базового материала) в диапазоне от 0,005 до 0,1 и нулевое значение коэффициента Пуассона для тетрахирального метаматериала с пористостью 84-99%.

Степень достоверности результатов Обосновывается применением апробированных программных комплексов, выбором современных методов численного моделирования и корректной математической постановкой задачи, а также согласием полученных в работе результатов с результатами других авторов, опубликованными в мировых научных источниках.

Апробация результатов Основные результаты и положения диссертационной работы доложены и обсуждены на следующих конференциях:

IX Международная молодежная научная конференция «Актуальные проблемы современной механики сплошных сред и небесной механики - 2019» (Томск, 2019), V Всероссийский научный семинар «Междисциплинарные проблемы аддитивных технологий» (Томск, 2019), Международная конференция «Физическая мезомеханика. Материалы с многоуровневой иерархически организованной структурой и интеллектуальные производственные технологии» (Томск, 2020), XIV Международная конференция «Механика, Ресурс и Диагностика материалов и конструкций» (Екатеринбург, 2020), XVII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук» (Томск, 2020), Международная научно-техническая молодежная конференция «Перспективные материалы конструкционного и функционального назначения» (Томск, 2020), X Всероссийская научная конференция «Актуальные проблемы современной механики сплошных сред и небесной механики-2020» (Томск, 2020), XVIII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук» (Томск, 2021), Международная конференция «Физическая мезомеханика. Материалы с многоуровневой иерархически организованной структурой и интеллектуальные производственные технологии» (Томск, 2021), 2nd International Workshop on Plasticity, Damage and Fracture of Engineering Materials (Анкара, Турция, онлайн, 2021), II Международная конференция «Композитные материалы и конструкции» (Москва, онлайн, 2021), Международная конференция «Механика, ресурс и диагностика материалов и конструкций» (Екатеринбург, 2021), Международная научная конференция «Современные

материалы и передовые производственные технологии» (Томск, 2021), Международная конференция «Механика, ресурс и диагностика материалов и конструкций» (Екатеринбург, онлайн, 2022), XVIII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук» (Томск, 2022), XI Всероссийская научная конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», посвящённая 60-летию Физико-технического факультета ТГУ (Томск, 2022), Международная конференция «Физическая мезомеханика. Материалы с многоуровневой иерархически организованной структурой и интеллектуальные производственные технологии» (Томск, 2022), Международная научно-техническая молодежная конференция «Перспективные материалы конструкционного и функционального назначения» (Томск, 2022), XXXI Всероссийская школа-конференция «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, онлайн, 2022), «XX Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук» (Томск, 2023).

Публикации по теме диссертации

По теме диссертации опубликовано 16 работ, в том числе 8 статей в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук (из них 4 статьи в зарубежных научных журналах, входящих в Web of Science; 1 статья в зарубежном научном журнале, входящем в Scopus; 1 статья в российском научном журнале, входящем в Web of Science; 1 статья в российском научном журнале, входящем в Russian Science Citation Index), 8 статей в сборниках материалов конференций, представленных в изданиях, входящих в Web of Science и / или Scopus.

Научно-исследовательские проекты по теме диссертации

- Проект Российского научного фонда № 16-19-10264 «Теоретико-экспериментальное исследование взаимодействия и способов защиты элементов наземных объектов и космических аппаратов от высокоскоростных ударников» (2016-2020, исполнитель)

- Проект Государственного задания ИФПМ СО РАН FWRW-2019-0035 «III.23.2.12 Многокомпонентные материалы и структуры, в том числе синтезируемые аддитивными методами: разработка связанных термо-механо-химических моделей, изучение функциональных свойств и особенностей механического поведения при интенсивных внешних воздействиях» (2019-2021, исполнитель)

- Проект государственного задания ИФПМ СО РАН. FWRW-2022-0003 «Многокомпонентные материалы и структуры, в том числе синтезируемые аддитивными методами: разработка связанных термо - механо - химических моделей, изучение

функциональных свойств и особенностей механического поведения при интенсивных внешних воздействиях» (2022-2025, исполнитель)

- Программа развития Томского государственного университета (Приоритет-2030) «Исследование программируемости свойств механического тетрахирального метаматериала» (2022, руководитель)

- Проект Российского научного фонда № 23-29-00402 «Исследование влияния параметров структуры хирального метаматериала на его способность сопротивлению одноосного деформирования для обеспечения программируемых свойств» (2023-2024, руководитель).

Личный вклад автора

Автором диссертационной работы совместно с научным руководителем определены цель, задачи исследования, проведен теоретический анализ выбранного направления исследований. Выбор тетрахиральной структуры механического метаматериала, анализ базовых параметров структуры, выбор математической модели и численные эксперименты проведены соискателем самостоятельно. Построение зависимостей, выявление особенностей напряженно-деформированного состояния и описание эффективных характеристик при варьировании параметров структуры выполнены самостоятельно. Анализ и обсуждение полученных результатов, формулировка выводов и положений диссертации, подготовка публикаций по выполненной работе проводились совместно с научным руководителем.

Структура и объем работы

Кандидатская диссертация состоит из введения, трех разделов и заключения, списка литературы, изложенных на 121 странице машинописного текста, содержит 38 иллюстраций и 5 таблиц. Список литературы включает 197 наименования.

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы и степень ее разработанности, сформулированы цель и задачи работы, показана научная новизна полученных результатов, теоретическая и практическая значимость работы, связь с научными направлениями, перечислены методы исследования, сформулированы основные положения, выносимые на защиту. Приведена информация о степени достоверности и об апробации результатов, о личном вкладе автора. Представлено краткое изложение диссертационной работы по главам.

Первая глава имеет обзорный характер и посвящена актуальным проблемам механических метаматериалов и обоснованию выбора тетрахиральной структуры в качестве изучаемого объекта. Метаматериал - искусственно созданный композитный материал со специальной структурой, свойства которого зависят в меньшей степени от химического состава базового материала, и в большей степени от организации его структуры. Метаматериалы не

являются материалами в обычном смысле. Они - продукты человеческой изобретательности, не наблюдаемые в природе. Текст главы содержит информацию о делении механических метаматериалов на классы в соответствии с тремя упругими модулями (модуль Юнга, модуль сдвига, коэффициент Пуассона) и описывает формы возможных структур метаматериалов.

Во второй главе рассмотрены часто встречающиеся математические модели для исследования механических метаматериалов. Также приведена математическая постановка, включающая систему уравнений, описан метод конечных элементов и используемые граничные условия. Представлены этапы подготовки и проведения численного эксперимента, а именно подробно описана структура метаматериала, изучаемого в данной работе, и как она создается в средствах компьютерного проектирования. Задача одноосного нагружения образца из механического метаматериала решалась в рамках линейной теории упругости ввиду малых значений деформаций. Основные уравнения теории упругости образуют три группы соотношений, отражающих статическую (уравнения равновесия), геометрическую (уравнения Коши, связывающие между собой перемещения и относительные деформации) и физическую (определяющие соотношения) сторону задачи. В линейной теории упругости, когда напряжения не превосходят предела пропорциональности, напряжения и деформации связывают между собой при помощи обобщенного закона Гука. Численное моделирование проводилось методом конечных элементов в программном комплексе Ansys WB 2020R2. Элементарная ячейка рассматривалась как система стержней, которые при расчете методом конечных элементов моделировалась, как совокупность трехмерных твердотельных элементов. Деформирование образца происходило без контактных взаимодействий составляющих его элементов.

В третьей главе представлены этапы создания геометрической модели образца из метаматериала, а именно подробно описана структура метаматериала, изучаемого в данной работе и как она создается в средствах компьютерного проектирования. Математическое моделирование для исследования механического поведения, включая нетривиальный отклик - скручивание образца, и определения эффективной силовой характеристики (через силу реакции опоры) проводилось при изменении параметров тетрахиральной структуры. Также, в данной главе предложен новый способ соединения элементарных ячеек - «внахлест». Показано, что, изменяя способ соединения элементарных ячеек в образце или вводя топологические дефекты и изменяя параметры структуры, можно программировать свойства и контролировать удельные характеристики метаматериала, к примеру, изменение пористости. Рассмотрение напряженно-деформированного состояния образца показало, что деформации локализовались в связках -области соединения верхнего и нижней связки с кольцом, не беря во внимание очевидные места соединения кольца и связок. Было обнаружено, что внутренние грани, разделяющие уровни в метаматериале, то есть горизонтальные структуры, в меньшей степени подвержены деформации. В

то время как боковые грани испытывают деформации, вызванные вращением кольца. Из-за этого связки начинают испытывать изгиб, и, как следствие, растягивающие деформации.

В четвертой главе исследованы эффективные физико-механические свойства ячеистого тетрахирального метаматериала. Рассматриваемая структура метаматериала по своей природе не может являться изотропной, но имеет предпосылки для ортотропии свойств. Показано, что такие метаматериалы можно создавать трансверсально изотропными. Для того, чтобы достичь ортотропии свойств, на примере элементарной ячейки показано, что необходимо симметрично располагать тетрахиральные структуры. В противном случае внедренные топологические дефекты на уровне элементарной ячейки - изменение направления хиральности одной или нескольких граней - приводят к непредсказуемому результату. В симметрично уложенной кубической элементарной ячейке эффективное значение коэффициента Пуассона равнялось 0,078 вне зависимости от оси нагружения. Внедренный топологический дефект позволил достичь свойства ауксетичности - отрицательное значение эффективного коэффициента Пуассона. При изменении оси нагружения были получены следующие результаты для эффективного коэффициента Пуассона: \ху = -0,046; = -0,046; \ух = -0,142; = 0,380; Уу2 = -0,142; уХ2 =0,380. То есть вычисленные значения соответствуют модели трансверсально-изотропного тела с плоскостью изотропии Х2. Для всех сценариев нагружения симметричной элементарной ячейки получены следующие значения эффективного модуля Юнга: 0,231 ГПа для ортотропной элементарной ячейки. Для трансверсально изотропной ячейки значения эффективного модуля Юнга принимали значения Ех = 0,310 ГПа, Еу = 0,356 ГПа, Е2 = 0,310 ГПа.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, доценту Смолину Игорю Юрьевичу за полезные советы и обсуждение результатов, постоянную поддержку и внимание к работе, помощь в написании диссертации; а также сотрудникам лаборатории нелинейной механики метаматериалов и многоуровневых систем ИФПМ СО РАН (г. Томск) и сотрудникам кафедры механики деформируемого твердого тела ФТФ ТГУ (г. Томск) за ценные замечания и советы при обсуждении работы.

МЕХАНИЧЕСКИЕ МЕТАМАТЕРИАЛЫ И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ТЕТРАХИРАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ

Метаматериал - материал, свойства которого зависят в меньшей степени от химического состава базового материала и в большей степени от специально организованной структуры. Метаматериалы не являются материалами в обычном смысле. Они - продукты человеческой изобретательности, не наблюдаемые в природе [1]. Экспериментальные исследования метаматериалов впервые появились в оптике [2-4]. Эти объекты представляли собой искусственно структурированные материалы с наноразмерными включениями и нетрадиционными свойствами, наблюдаемыми для оптических частот [3, 5]. Вскоре метаматериалы нашли свое применение в акустике, механике [6, 7] и термодинамике [8, 9]. Акустические метаматериалы, которые демонстрируют исчезающий модуль сдвига [10], по сути, можно классифицировать как отдельные серии метафлюидных механических метаматериалов [11]. Существуют пентамодовые метаматериалы из которых уже можно создать маскировочный плащ [12]. Следующим этапом этой технологической революции станет разработка активных, управляемых и нелинейных метаматериалов, превосходящих естественные среды в качестве платформ для оптической обработки данных и приложений квантовой информации [13, 14] и тем самым появится возможность создавать материалы с беспрецедентными эффективными свойствами [2].

Механические метаматериалы первоначально были разработаны для контроля распространения волн в акустических средах [15, 16], тонких упругих листах, изогнутых оболочках [17]. Затем было обнаружено ауксетическое поведение некоторых структур за счет упругих неустойчивостей структур (нетривиальное поведение, при котором происходит расширение/сужение образца в поперечном направлении при одноосном растяжении/сжатии, соответственно) [18]. Понимание и выявление ключевых особенностей механических метаматериалов является предварительным условием их реализации. Необходимо выяснить их возможности для достижения определенных механических свойств.

1.1 Типы механических метаматериалов и их особенности

В отличие от традиционной композитной инженерии, в которой методы изучения ориентируются на взаимодействие между составными частями, составляющими материал [19], конструкционные особенности в дизайне метаматериала придают новизну, ориентируясь на размеры намного больше атомного уровня. Некоторые типы метаматериалов обеспечивают новые функциональные возможности, такие как настраиваемая жесткость, модуль сдвига,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ахметшин Линар Ришатович, 2023 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Mechanical metamaterials associated with stiffness, rigidity and compressibility: A brief review / X. Yu, J. Zhou, H. Liang [et al.] // Progress in Materials Science. - 2018. - Vol. 94. - P. 114173.

2. Smith D. R. Metamaterials and Negative Refractive Index / D. R. Smith, J. B. Pendry, M. C. K. Wiltshire // Science. - 2004. - Vol. 305, № 5685. - P. 788-792.

3. Cai W. Optical Metamaterials / W. Cai, V. Shalaev. - New York, NY : Springer, 2010. -URL: http://link.springer.com/10.1007/978-1-4419-1151-3 (access date: 13.05.2023).

4. Marqués R. Metamaterials with negative parameter: theory, design, and microwave applications : Wiley series in microwave and optical engineering. Metamaterials with negative parameter / R. Marqués, F. Martin, M. Sorolla. - Hoboken, N.J : Wiley-Interscience, 2008. - P. 315.

5. Liu Y. Metamaterials: a new frontier of science and technology / Y. Liu, X. Zhang // Chemical Society Reviews. - 2011. - Vol. 40 : Metamaterials, № 5. - P. 2494.

6. Wegener M. Metamaterials Beyond Optics / M. Wegener // Science. - 2013. - Vol. 342, № 6161. - P. 939-940.

7. Maldovan M. Sound and heat revolutions in phononics / M. Maldovan // Nature. - 2013. -Vol. 503, № 7475. - P. 209-217.

8. Li X. Smaller and stronger / X. Li, H. Gao // Nature Materials. - 2016. - Vol. 15, № 4. - P. 373-374.

9. Pacchioni G. Mechanical metamaterials: The strength awakens / G. Pacchioni // Nature Reviews Materials. - 2016. - Vol. 1 : Mechanical metamaterials, № 3. - P. 16012.

10. Wang P. Effects of geometric and material nonlinearities on tunable band gaps and low-frequency directionality of phononic crystals / P. Wang, J. Shim, K. Bertoldi // Physical Review B. -2013. - Vol. 88, № 1. - P. 014304.

11. A mechanical metamaterial made from a DNA hydrogel / J. B. Lee, S. Peng, D. Yang [et al.] // Nature Nanotechnology. - 2012. - Vol. 7, № 12. - P. 816-820.

12. An elasto-mechanical unfeelability cloak made of pentamode metamaterials / T. Buckmann, M. Thiel, M. Kadic [et al.] // Nature Communications. - 2014. - Vol. 5, № 1. - P. 4130.

13. Zheludev N. I. The Road Ahead for Metamaterials / N. I. Zheludev // Science. - 2010. -Vol. 328, № 5978. - P. 582-583.

14. Soukoulis C. M. Past achievements and future challenges in the development of three-dimensional photonic metamaterials / C. M. Soukoulis, M. Wegener // Nature Photonics. - 2011. -Vol. 5, № 9. - P. 523-530.

15. DNA-based self-assembly of chiral plasmonic nanostructures with tailored optical response / A. Kuzyk, R. Schreiber, Z. Fan [et al.] // Nature. - 2012. - Vol. 483, № 7389. - P. 311-314.

16. Experiments on Seismic Metamaterials: Molding Surface Waves / S. Brûlé, E. H. Javelaud, S. Enoch, S. Guenneau // Physical Review Letters. - 2014. - Vol. 112. : Experiments on Seismic Metamaterials, № 13. - P. 133901.

17. Harnessing instabilities for design of soft reconfigurable auxetic/chiral materials / J. Shim, S. Shan, A. Kosmrlj [et al.] // Soft Matter. - 2013. - Vol. 9, № 34. - P. 8198.

18. Matsumoto E. A. Patterns on a roll: a method of continuous feed nanoprinting / E. A. Matsumoto, R. D. Kamien // Soft Matter. - 2012. - Vol. 8 : Patterns on a roll, № 43. - P. 11038.

19. Karakulov V. V. About Mechanical Behavior and Effective Properties of Metal Matrix Composites Under Shock Wave Loading / V. V. Karakulov, V. A. Skripnyak - Text : electronic // Behavior of Materials under Impact, Explosion, High Pressures and Dynamic Strain Rates : Advanced Structured Materials / eds. M. Yu. Orlov, Visakh P. M. - Cham : Springer International Publishing, 2023. - Vol. 176. - P. 53-68. - URL: https://link.springer.com/10.1007/978-3-031-17073-7_4 (date accessed: 16.05.2023).

20. Механические характеристики подкрепленной и трехслойной оболочек на основе метаматериалов с учетом эксплуатационных повреждений / Е. В. Ломакин, С. А. Юргенсон, Б. Н. Федулов, А. Н. Федоренко // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. -2021. - № 6. - С. 45-54.

21. Deshpande V. S. Effective properties of the octet-truss lattice material / V. S. Deshpande, N. A. Fleck, M. F. Ashby // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 2001. - Vol. 49, № 8. -P. 1747-1769.

22. Adaptable metamaterials based on biodegradable composites for bone tissue regeneration / P. V. Evdokimov, V. I. Putlayev [и др.] // Inorganic Materials: Applied Research. - 2021. - Vol. 12, № 2. - P. 404-415.

23. Ultralight, ultrastiff mechanical metamaterials / X. Zheng, H. Lee, T. H. Weisgraber [et al.] // Science. - 2014. - Vol. 344, № 6190. - P. 1373-1377.

24. Bell A. G. The Tetrahedral Principle in Kite Structure / A. G. Bell. - 1903. - Vol. 14, № 6. - P. 219-251.

25. The topological design of multifunctional cellular metals / A. G. Evans, J. W. Hutchinson, N. A. Fleck [et al.] // Progress in Materials Science. - 2001. - Vol. 46, № 3-4. - P. 309-327.

26. Fleck N. A. Micro-architectured materials: past, present and future / N. A. Fleck, V. S. Deshpande, M. F. Ashby // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - 2010. - Vol. 466 : Micro-architectured materials, № 2121. - P. 2495-2516.

27. Deshpande V. S. Foam topology: bending versus stretching dominated architectures / V. S. Deshpande, M. F. Ashby, N. A. Fleck // Acta Materialia. - 2001. - Vol. 49 : Foam topology, № 6. - P. 1035-1040.

28. Grima J. N. On the properties of auxetic meta-tetrachiral structures / J. N. Grima, R. Gatt, P.-S. Farrugia // Physica Status Solidi (b). - 2008. - Vol. 245, № 3. - P. 511-520.

29. Wojciechowski K. W. Two-dimensional isotropic system with a negative poisson ratio / K. W. Wojciechowski // Physics Letters A. - 1989. - Vol. 137, № 1-2. - P. 60-64.

30. Prall D. Properties of a chiral honeycomb with a poisson's ratio of — 1 / D. Prall, R. S. Lakes // International Journal of Mechanical Sciences. - 1997. - Vol. 39, № 3. - P. 305-314.

31. Elastic constants of 3-, 4- and 6-connected chiral and anti-chiral honeycombs subject to uniaxial in-plane loading / A. Alderson, K. L. Alderson, D. Attard [et al.] // Composites Science and Technology. - 2010. - Vol. 70, № 7. - P. 1042-1048.

32. Spadoni A. Elasto-static micropolar behavior of a chiral auxetic lattice / A. Spadoni, M. Ruzzene // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 2012. - Vol. 60, № 1. - P. 156-171.

33. A realistic generic model for anti-tetrachiral systems: A realistic generic model for anti-tetrachiral systems / R. Gatt, D. Attard, P.-S. Farrugia [et al.] // Physica Status Solidi (b). - 2013. -Vol. 250 : A realistic generic model for anti-tetrachiral systems, № 10. - P. 2012-2019.

34. Elasticity of anti-tetrachiral anisotropic lattices / Y. J. Chen, F. Scarpa, Y. J. Liu, J. S. Leng // International Journal of Solids and Structures. - 2013. - Vol. 50, № 6. - P. 996-1004.

35. Akhmetshin L. R. Analytical and numerical analysis of the deformation behavior of tetrachiral metamaterial / L. R. Akhmetshin, K. V. Iokhim // AIP Conference Proceedings: Proceedings of the international conference on physical mesomechanics. Materials with multilevel hierarchical structure and intelligent manufacturing technology. - Tomsk, Russia, 2020. - P. 020006. -URL: https://pubs.aip.org/aip/acp/article/781693 (access date: 16.05.2023).

36. Akhmetshin L. R. The localization of deformations in mechanical metamaterial with a twist. numerical investigation / L. R. Akhmetshin, I. Yu. Smolin // AIP Conference Proceedings: Proceedings of the international conference on physical mesomechanics. Materials with multilevel hierarchical structure and intelligent manufacturing technology. - Tomsk, Russia, 2020. - P. 020008. -URL: https://pubs.aip.org/aip/acp/article/781719 (access date: 16.05.2023).

37. Lang R. J. The science of origami / R. J. Lang // Physics World. - 2007. - Vol. 20, № 2. -P. 30-31.

38. Using origami design principles to fold reprogrammable mechanical metamaterials / J. L. Silverberg, A. A. Evans, L. McLeod [et al.] // Science. - 2014. - Vol. 345, № 6197. - P. 647-650.

39. Schenk M. Geometry of Miura-folded metamaterials / M. Schenk, S. D. Guest // Proceedings of the National Academy of Sciences. - 2013. - Vol. 110, № 9. - P. 3276-3281.

40. Geometric Mechanics of Periodic Pleated Origami / Z. Y. Wei, Z. V. Guo, L. Dudte [et al.] // Physical Review Letters. - 2013. - Vol. 110, № 21. - P. 215501.

41. Origami Multistability: From Single Vertices to Metasheets / S. Waitukaitis, R. Menaut, B. G. Chen, M. Van Hecke // Physical Review Letters. - 2015. - Vol. 114 : Origami Multistability, № 5.

- P.055503.

42. Origami based Mechanical Metamaterials / C. Lv, D. Krishnaraju, G. Konjevod [et al.] // Scientific Reports. - 2014. - Vol. 4, № 1. - P. 5979.

43. Waterbomb base: a symmetric single-vertex bistable origami mechanism / B. H. Hanna, J. M. Lund, R. J. Lang [h gp.] // Smart Materials and Structures. - 2014. - Vol. 23 : Waterbomb base, № 9. - P. 094009.

44. Miura K. New structural form of sandwich core / K. Miura // Journal of Aircraft. - 1975. -Vol. 12, № 5. - P. 437-441.

45. Miura K. Method of Packaging and Deployment of Large Membranes in Space / K. Miura // The Institute of Space and Astranautical Science. - 1985. - № 618. - P. 1-9.

46. Isola F. dell'. Synthesis of Fibrous Complex Structures: Designing Microstructure to Deliver Targeted Macroscale Response / F. dell'Isola, D. Steigmann, A. D. Corte // Applied Mechanics Reviews. - 2015. - Vol. 67 : Synthesis of Fibrous Complex Structures, № 6. - P. 060804.

47. Yasuda H. Reentrant Origami-Based Metamaterials with Negative Poisson's Ratio and Bistability / H. Yasuda, J. Yang // Physical Review Letters. - 2015. - Vol. 114, № 18. - P. 185502.

48. Resch R. Self-supporting structural unit having a series of repetitious geometrical modules. US Patent US4059932A, filed June 21, 1976, and issued November 11, 1977.

49. Al-Mulla T. Folding creases through bending / T. Al-Mulla, M. J. Buehler // Nature Materials. - 2015. - Vol. 14, № 4. - P. 366-368.

50. Origami structures with a critical transition to bistability arising from hidden degrees of freedom / J. L. Silverberg, J.-H. Na, A. A. Evans [et al.] // Nature Materials. - 2015. - Vol. 14, № 4. -P.389-393.

51. Tachi T. Freeform variations of origami / T. Tachi // Journal for Geometry and Graphics. -2010. - Vol. 14, № 2. - P. 203-215.

52. Thermally responsive rolling of thin gel strips with discrete variations in swelling / J. Kim, J. A. Hanna, R. C. Hayward, C. D. Santangelo // Soft Matter. - 2012. - Vol. 8, № 8. - P. 2375.

53. Qi Z. Atomistic simulations of tension-induced large deformation and stretchability in graphene kirigami / Z. Qi, D. K. Campbell, H. S. Park // Physical Review B. - 2014. - Vol. 90, № 24.

- P. 245437.

54. A mechanically driven form of Kirigami as a route to 3D mesostructures in micro/nanomembranes / Y. Zhang, Z. Yan, K. Nan [et al.] // Proceedings of the National Academy of Sciences. - 2015. - Vol. 112, № 38. - P. 11757-11764.

55. Assembly of micro/nanomaterials into complex, three-dimensional architectures by compressive buckling / S. Xu, Z. Yan, K.-I. Jang [et al.] // Science. - 2015. - Vol. 347, № 6218. - P. 154-159.

56. Algorithmic lattice kirigami: A route to pluripotent materials / D. M. Sussman, Y. Cho, T. Castle [et al.] // Proceedings of the National Academy of Sciences. - 2015. - Vol. 112 : Algorithmic lattice kirigami, № 24. - P. 7449-7453.

57. Topological Mechanics of Origami and Kirigami / B. G. Chen, B. Liu, A. A. Evans [et al.] // Physical Review Letters. - 2016. - Vol. 116, № 13. - P. 135501.

58. Eidini M. Zigzag-base folded sheet cellular mechanical metamaterials / M. Eidini // Extreme Mechanics Letters. - 2016. - Vol. 6. - P. 96-102.

59. Eidini M. Unraveling metamaterial properties in zigzag-base folded sheets / M. Eidini, G. H. Paulino // Science Advances. - 2015. - Vol. 1, № 8. - P. e1500224.

60. Deployable Prismatic Structures With Rigid Origami Patterns / S. Liu, W. Lv, Y. Chen, G. Lu // Journal of Mechanisms and Robotics. - 2016. - Vol. 8, № 3. - P. 031002.

61. Klett Y. Kinematic Analysis of Congruent Multilayer Tessellations / Y. Klett, P. Middendorf // 39th Mechanisms and Robotics Conference ASME 2015 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference. -Boston, Massachusetts, USA : American Society of Mechanical Engineers, 2015. - Vol. 5B. - P. V05BT08A050. - URL: https://asmedigitalcollection.asme.org/IDETCCIE/proceedings/IDETC-CIE2015/57137/Boston,%20Massachusetts,%20USA/257759 (access date: 13.05.2023).

62. Origami interleaved tube cellular materials / K. C. Cheung, T. Tachi, S. Calisch, K. Miura // Smart Materials and Structures. - 2014. - Vol. 23, № 9. - P. 094012.

63. Origami interleaved tube cellular materials / K. C. Cheung, T. Tachi, S. Calisch [et al.] // Smart Materials and Structures. - 2014. - Vol. 23, № 9. - P. 094012.

64. Tachi T. Rigid-foldable cylinders and cells / T. Tachi, K. Miura // Rigid-foldable cylinders and cells. - 2012. - Vol. 53, № 174. - P. 217-226.

65. Filipov E. T. Origami tubes assembled into stiff, yet reconfigurable structures and metamaterials / E. T. Filipov, T. Tachi, G. H. Paulino // Proceedings of the National Academy of Sciences. - 2015. - Vol. 112, № 40. - P. 12321-12326.

66. Wang Y. C. Composites with Inclusions of Negative Bulk Modulus: Extreme Damping and Negative Poisson's Ratio / Y. C. Wang, R. S. Lakes // Journal of Composite Materials. - 2005. - Vol. 39 : Composites with Inclusions of Negative Bulk Modulus, № 18. - P. 1645-1657.

67. Harnessing Multiple Folding Mechanisms in Soft Periodic Structures for Tunable Control of Elastic Waves / S. Shan, S. H. Kang, P. Wang [et al.] // Advanced Functional Materials. - 2014. -Vol. 24, № 31. - P. 4935-4942.

68. Complex Ordered Patterns in Mechanical Instability Induced Geometrically Frustrated Triangular Cellular Structures / S. H. Kang, S. Shan, A. Kosmrlj [et al.] // Physical Review Letters. -2014. - Vol. 112, № 9. - P. 098701.

69. Overvelde J. T. B. Compaction Through Buckling in 2D Periodic, Soft and Porous Structures: Effect of Pore Shape / J. T. B. Overvelde, S. Shan, K. Bertoldi // Advanced Materials. -2012. - Vol. 24 : Compaction Through Buckling in 2D Periodic, Soft and Porous Structures, № 17. -P.2337-2342.

70. Overvelde J. T. B. Relating pore shape to the non-linear response of periodic elastomeric structures / J. T. B. Overvelde, K. Bertoldi // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 2014. -Vol. 64. - P. 351-366.

71. Design of planar isotropic negative Poisson's ratio structures / S. Shan, S. H. Kang, Z. Zhao [et al.] // Extreme Mechanics Letters. - 2015. - Vol. 4. - P. 96-102.

72. Phase-transforming and switchable metamaterials / D. Yang, L. Jin, R. V. Martinez [et al.] // Extreme Mechanics Letters. - 2016. - Vol. 6. - P. 1-9.

73. Davies G. A. O. Stability of Structures: Elastic, Inelastic, Fracture and Damage Theories, Z. P. Bazant and L. Cedolin, World Scientific Publishing Co, 57 Shelton Street, London, WC2H 9HE, UK. 2010. 1011pp. Illustrated. £34. ISBN 978-981-4317-03-0. / G. A. O. Davies // The Aeronautical Journal. - 2012. - Vol. 116 : Stability of Structures, № 1176. - P. 218-219.

74. Harnessing snap-through instability in soft dielectrics to achieve giant voltage-triggered deformation / C. Keplinger, T. Li, R. Baumgartner [et al.] // Soft Matter. - 2012. - Vol. 8, № 2. - P. 285-288.

75. Singamaneni S. Buckling instabilities in periodic composite polymeric materials / S. Singamaneni, V. V. Tsukruk // Soft Matter. - 2010. - Vol. 6, № 22. - P. 5681.

76. Carta G. Design of a porous material with isotropic negative Poisson's ratio / G. Carta, M. Brun, A. Baldi // Mechanics of Materials. - 2016. - Vol. 97. - P. 67-75.

77. Milton G. W. The theory of composites : Cambridge monographs on applied and computational mathematics / G. W. Milton. - Cambridge; New York : Cambridge University Press, 2002. - I. 6. - P. 719.

78. Milton G. W. Which Elasticity Tensors are Realizable? / G. W. Milton, A. V. Cherkaev // Journal of Engineering Materials and Technology. - 1995. - Vol. 117, № 4. - P. 483-493.

79. Milton G. W. On cloaking for elasticity and physical equations with a transformation invariant form / G. W. Milton, M. Briane, J. R. Willis // New Journal of Physics. - 2006. - Vol. 8, № 10. - P. 248-248.

80. Sigmund O. Tailoring materials with prescribed elastic properties / O. Sigmund // Mechanics of Materials. - 1995. - Vol. 20, № 4. - P. 351-368.

81. Gurtner G. Stiffest elastic networks / G. Gurtner, M. Durand // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - 2014. - Vol. 470, № 2164. - P. 20130611.

82. Norris A. N. Mechanics of elastic networks / A. N. Norris // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - 2014. - Vol. 470, № 2172. - P. 20140522.

83. Pentamode metamaterials under dynamic loading / V. A. Skripnyak, M. Chirkov, E. G. Skripnyak, V. V. Skripnyak // 7th International Congress on energy fluxes and radiation effects (EFRE 2020), Tomsk, Russia, September 14 - 26, 2020 : proceedings. [S. l.]. - 2020. - P. 1101-1105.

84. Skripnyak V. V. Modeling the Mechanical Response of Auxetic Metamaterials to Dynamic Effects / V. V. Skripnyak, M. O. Chirkov, V. A. Skripnyak // PNRPU Mechanics Bulletin. - 2021. -№ 2. - P. 144-152.

85. Tailored 3D Mechanical Metamaterials Made by Dip-in Direct-Laser-Writing Optical Lithography / T. Buckmann, N. Stenger, M. Kadic [et al.] // Advanced Materials. - 2012. - Vol. 24, № 20. - P.2710-2714.

86. Mechanical metamaterials with anisotropic and negative effective mass-density tensor made from one constituent material: Metamaterials with anisotropic and negative effective mass-density tensor / T. Buckmann, M. Kadic, R. Schittny, M. Wegener // Physica Status Solidi (b). - 2015. - Vol. 252 : Mechanical metamaterials with anisotropic and negative effective mass-density tensor made from one constituent material, № 7. - P. 1671-1674.

87. On three-dimensional dilational elastic metamaterials / T. Buckmann, R. Schittny, M. Thiel [h gp.] // New Journal of Physics. - 2014. - Vol. 16, № 3. - P. 033032.

88. On the practicability of pentamode mechanical metamaterials / M. Kadic, T. Buckmann, N. Stenger [et al.] // Applied Physics Letters. - 2012. - Vol. 100, № 19. - P. 191901.

89. Discontinuous Buckling of Wide Beams and Metabeams / C. Coulais, J. T. B. Overvelde, L. A. Lubbers [et al.] // Physical Review Letters. - 2015. - Vol. 115, № 4. - P. 044301.

90. Pentamodal property and acoustic band gaps of pentamode metamaterials with different cross-section shapes / Y. Huang, X. Lu, G. Liang, Z. Xu // Physics Letters A. - 2016. - Vol. 380, № 13. - P. 1334-1338.

91. Metamaterials beyond electromagnetism / M. Kadic, T. Buckmann, R. Schittny, M. Wegener // Reports on Progress in Physics. - 2013. - Vol. 76, № 12. - P. 126501.

92. Mejica G. F. Comparative study of potential pentamodal metamaterials inspired by Bravais lattices / G. F. Mejica, A. D. Lantada // Smart Materials and Structures. - 2013. - Vol. 22, № 11. - P. 115013.

93. On the auxetic properties of generic rotating rigid triangles / J. N. Grima, E. Chetcuti, E. Manicaro [et al.] // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - 2012. - Vol. 468, № 2139. - P. 810-830.

94. Modeling auxetic foams through semi-rigid rotating triangles: Modeling auxetic foams through semi-rigid rotating triangles / E. Chetcuti, B. Ellul, E. Manicaro [et al.] // Physica Status Solidi (b). - 2014. - Vol. 251 : Modeling auxetic foams through semi-rigid rotating triangles, № 2. - P. 297306.

95. Wicks N. Sandwich Plates Actuated by a Kagome Planar Truss / N. Wicks, J. W. Hutchinson // Journal of Applied Mechanics. - 2004. - Vol. 71, № 5. - P. 652-662.

96. Hyun S. Optimal and Manufacturable Two-dimensional, Kagome-like Cellular Solids / S. Hyun, S. Torquato // Journal of Materials Research. - 2002. - Vol. 17, № 1. - P. 137-144.

97. Wills A. S. Model of localized highly frustrated ferromagnetism: The kagome spin ice / A. S. Wills, R. Ballou, C. Lacroix // Physical Review B. - 2002. - Vol. 66 : Model of localized highly frustrated ferromagnetism, № 14. - P. 144407.

98. On the performance of truss panels with Kagome cores / J. Wang, A. G. Evans, K. Dharmasena, H. N. G. Wadley // International Journal of Solids and Structures. - 2003. - Vol. 40, № 25. - P. 6981-6988.

99. Design and demonstration of a high authority shape morphing structure / S. L. Dos Santos E Lucato, J. Wang, P. Maxwell [et al.] // International Journal of Solids and Structures. - 2004. - Vol. 41, № 13. - P. 3521-3543.

100. Designing orthotropic materials for negative or zero compressibility / Y. M. Xie, X. Yang, J. Shen [et al.] // International Journal of Solids and Structures. - 2014. - Vol. 51, № 23-24. - P. 40384051.

101. Nicolaou Z. G. Mechanical metamaterials with negative compressibility transitions / Z. G. Nicolaou, A. E. Motter // Nature Materials. - 2012. - Vol. 11, № 7. - P. 608-613.

102. Materials with Negative Compressibilities in One or More Dimensions / R. H. Baughman, S. Stafstrom, C. Cui, S. O. Dantas // Science. - 1998. - Vol. 279, № 5356. - P. 1522-1524.

103. Lakes R. Advances in negative Poisson's ratio materials / R. Lakes // Advanced Materials. - 1993. - Vol. 5, № 4. - P. 293-296.

104. 3D Soft Metamaterials with Negative Poisson's Ratio / S. Babaee, J. Shim, J. C. Weaver [et al.] // Advanced Materials. - 2013. - Vol. 25, № 36. - P. 5044-5049.

105. Gatt R. Negative compressibility / R. Gatt, J. N. Grima // Physica Status Solidi (RRL) -Rapid Research Letters. - 2008. - Vol. 2, № 5. - P. 236-238.

106. Cai W. Giant negative linear compression positively coupled to massive thermal expansion in a metal-organic framework / W. Cai, A. Katrusiak // Nature Communications. - 2014. -Vol. 5, № 1. - P. 4337.

107. Negative area compressibility in silver( I ) tricyanomethanide / S. A. Hodgson, J. Adamson, S. J. Hunt [et al.] // Chemical Communications. - 2014. - Vol. 50 : Negative area compressibility in silver, № 40. - P. 5264-5266.

108. Supramolecular mechanics in a metal-organic framework / J. M. Ogborn, I. E. Collings, S. A. Moggach [et al.] // Chemical Science. - 2012. - Vol. 3, № 10. - P. 3011.

109. Negative Linear Compressibility of a Metal-Organic Framework / W. Li, M. R. Probert, M. Kosa [et al.] // Journal of the American Chemical Society. - 2012. - Vol. 134, № 29. - P. 1194011943.

110. Geometric switching of linear to area negative thermal expansion in uniaxial metal-organic frameworks / I. E. Collings, M. G. Tucker, D. A. Keen, A. L. Goodwin // CrystEngComm. -2014. - Vol. 16, № 17. - P. 3498-3506.

111. Cairns A. B. Negative linear compressibility / A. B. Cairns, A. L. Goodwin // Physical Chemistry Chemical Physics. - 2015. - Vol. 17, № 32. - P. 20449-20465.

112. Giant Negative Area Compressibility Tunable in a Soft Porous Framework Material / W. Cai, A. Gladysiak, M. Aniola [et al.] // Journal of the American Chemical Society. - 2015. - Vol. 137, № 29. - P. 9296-9301.

113. Structural Aspects of NaV 2 O 5 under High Pressure / K. Ohwada, H. Nakao, Y. Fujii [et al.] // Journal of the Physical Society of Japan. - 1999. - Vol. 68, № 10. - P. 3286-3291.

114. Munn R. W. Role of the elastic constants in negative thermal expansion of axial solids / R. W. Munn // Journal of Physics C: Solid State Physics. - 1972. - Vol. 5, № 5. - P. 535-542.

115. Chu C. N. Negative thermal expansion ceramics: A review / C. N. Chu, N. Saka, N. P. Suh // Materials Science and Engineering. - 1987. - Vol. 95 : Negative thermal expansion ceramics. -P. 303-308.

116. Goodwin A. L. Large negative linear compressibility of Ag 3 [Co(CN) 6 ] / A. L. Goodwin, D. A. Keen, M. G. Tucker // Proceedings of the National Academy of Sciences. - 2008. -Vol. 105, № 48. - P. 18708-18713.

117. Evans J. S. O. Negative thermal expansion materials / J. S. O. Evans, T. A. Mary, A. W. Sleight // Physica B: Condensed Matter. - 1997. - Vol. 241-243. - P. 311-316.

118. Controlled Unusual Stiffness of Mechanical Metamaterials / W. Lee, D.-Y. Kang, J. Song [et al.] // Scientific Reports. - 2016. - Vol. 6, № 1. - P. 20312.

119. Lakes R. Negative compressibility, negative Poisson's ratio, and stability / R. Lakes, K. W. Wojciechowski // physica status solidi (b). - 2008. - Vol. 245, № 3. - P. 545-551.

120. Bisquert J. Master equation approach to the non-equilibrium negative specific heat at the glass transition / J. Bisquert // American Journal of Physics. - 2005. - Vol. 73, № 8. - P. 735-741.

121. Timoshenko S. Theory of Elasticity / S. Timoshenko, J. N. Goodier. - Text: electronic // Fracture Mechanics. - New York, NY : McGraw-Hill Book Company, 1951. - P. 263. - URL: http://parastesh.usc.ac.ir/files/1538886893033.pdf (date accessed: 13.05.2023).

122. Charting the complete elastic properties of inorganic crystalline compounds / M. De Jong, W. Chen, T. Angsten [et al.] // Scientific Data. - 2015. - Vol. 2, № 1. - P. 150009.

123. Prawoto Y. Seeing auxetic materials from the mechanics point of view: A structural review on the negative Poisson's ratio / Y. Prawoto // Computational Materials Science. - 2012. - Vol. 58 : Seeing auxetic materials from the mechanics point of view. - P. 140-153.

124. Evans K. E. Auxetic polymers: a new range of materials / K. E. Evans // Endeavour. -1991. - Vol. 15 : Auxetic polymers, № 4. - P. 170-174.

125. Auxetic Perforated Mechanical Metamaterials with Randomly Oriented Cuts / J. N. Grima, L. Mizzi, K. M. Azzopardi, R. Gatt // Advanced Materials. - 2016. - Vol. 28, № 2. - P. 385389.

126. Smith C. W. A novel mechanism for generating auxetic behaviour in reticulated foams: missing rib foam model / C. W. Smith, J. N. Grima, K. E. Evans // Acta Materialia. - 2000. - Vol. 48 : A novel mechanism for generating auxetic behaviour in reticulated foams, № 17. - P. 4349-4356.

127. Auxetic behaviour from stretching connected squares / J. N. Grima, P. S. Farrugia, C. Caruana [et al.] // Journal of Materials Science. - 2008. - Vol. 43, № 17. - P. 5962-5971.

128. Hexagonal Honeycombs with Zero Poisson's Ratios and Enhanced Stiffness / J. N. Grima, L. Oliveri, D. Attard [et al.] // Advanced Engineering Materials. - 2010. - Vol. 12, № 9. - P. 855-862.

129. Grima J. N. Materials that push back / J. N. Grima, R. Caruana-Gauci // Nature Materials. - 2012. - Vol. 11, № 7. - P. 565-566.

130. Auxetic metamaterials exhibiting giant negative Poisson's ratios: Auxetic metamaterials exhibiting giant negative Poisson's ratios / L. Mizzi, K. M. Azzopardi, D. Attard [et al.] // Physica Status Solidi (RRL) - Rapid Research Letters. - 2015. - Vol. 9 : Auxetic metamaterials exhibiting giant negative Poisson's ratios, № 7. - P. 425-430.

131. Choi J. B. Nonlinear Analysis of the Poisson's Ratio of Negative Poisson's Ratio Foams / J. B. Choi, R. S. Lakes // Journal of Composite Materials. - 1995. - Vol. 29, № 1. - P. 113-128.

132. Masters I. G. Models for the elastic deformation of honeycombs / I. G. Masters, K. E. Evans // Composite Structures. - 1996. - Vol. 35, № 4. - P. 403-422.

133. Pozniak A. A. Computer simulations of auxetic foams in two dimensions / A. A. Pozniak, J. Smardzewski, K. W. Wojciechowski // Smart Materials and Structures. - 2013. - Vol. 22, № 8. - P. 084009.

134. Phononic properties of hexagonal chiral lattices / A. Spadoni, M. Ruzzene, S. Gonella, F. Scarpa // Wave Motion. - 2009. - Vol. 46, № 7. - P. 435-450.

135. Composite chiral structures for morphing airfoils: Numerical analyses and development of a manufacturing process / P. Bettini, A. Airoldi, G. Sala [et al.] // Composites Part B: Engineering. -2010. - Vol. 41 : Composite chiral structures for morphing airfoils, № 2. - P. 133-147.

136. Controllable thermal expansion of large magnitude in chiral negative Poisson's ratio lattices: Controllable thermal expansion in chiral negative Poisson's ratio lattices / C. S. Ha, E. Hestekin, J. Li [et al.] // Physica Status Solidi (b). - 2015. - Vol. 252 : Controllable thermal expansion of large magnitude in chiral negative Poisson's ratio lattices, № 7. - P. 1431-1434.

137. Study of architectural responses of 3D periodic cellular materials / Y. Cho, T.-H. Ahn, H.-H. Cho [h gp.] // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. - 2013. - Vol. 21, № 6. - P. 065018.

138. Grima J. N. Networked calix[4]arene polymers with unusual mechanical properties / J. N. Grima, J. J. Williams, K. E. Evans // Chemical Communications. - 2005. - № 32. - P. 4065.

139. Response Evolution of a Tetrachiral Metamaterial Unit Cell under Architectural Transformations / L. Akhmetshin, K. Iokhim, E. Kazantseva, I. Smolin // Symmetry. - 2022. - Vol. 15, № 1. - P. 14.

140. Negative Poisson's ratio for cubic crystals and nano/microtubes / R. V. Goldstein, V. A. Gorodtsov, D. S. Lisovenko, M. A. Volkov // Physical Mesomechanics. - 2014. - Vol. 17, № 2. - P. 97-115.

141. Caddock B. D. Microporous materials with negative Poisson's ratios. I. Microstructure and mechanical properties / B. D. Caddock, K. E. Evans // Journal of Physics D: Applied Physics. -1989. - Vol. 22, № 12. - P. 1877-1882.

142. Karnessis N. Uniaxial and buckling mechanical response of auxetic cellular tubes / N. Karnessis, G. Burriesci // Smart Materials and Structures. - 2013. - Vol. 22, № 8. - P. 084008.

143. Negative Poisson's ratios in angle-ply laminates: theory and experiment / J. F. Clarke, R. A. Duckett, P. J. Hine [et al.] // Composites. - 1994. - Vol. 25 : Negative Poisson's ratios in angle-ply laminates, № 9. - P. 863-868.

144. Characterization and deformation response of orthotropic fibre networks with auxetic out-of-plane behaviour / S. Neelakantan, W. Bosbach, J. Woodhouse, A. E. Markaki // Acta Materialia. -2014. - Vol. 66. - P. 326-339.

145. Neelakantan S. Out-of-plane auxeticity in sintered fibre network mats / S. Neelakantan, J.-C. Tan, A. E. Markaki // Scripta Materialia. - 2015. - Vol. 106. - P. 30-33.

146. Buckling-induced encapsulation of structured elastic shells under pressure / J. Shim, C. Perdigou, E. R. Chen [et al.] // Proceedings of the National Academy of Sciences. - 2012. - Vol. 109, № 16. - P. 5978-5983.

147. Reis P. M. A Perspective on the Revival of Structural (In)Stability With Novel Opportunities for Function: From Buckliphobia to Buckliphilia / P. M. Reis // Journal of Applied Mechanics. - 2015. - Vol. 82 : A Perspective on the Revival of Structural (In)Stability With Novel Opportunities for Function, № 11. - P. 111001.

148. Akhmetshin L. R. Effective Poisson's ratio of tetrachiral mechanical metamaterial / L. R. Akhmetshin // Procedia Structural Integrity. - 2022. - Vol. 40. - P. 7-11.

149. Ting T. C. T. Negative Poisson's Ratios in Anisotropic Linear Elastic Media / T. C. T. Ting, D. M. Barnett // Journal of Applied Mechanics. - 2005. - Vol. 72, № 6. - P. 929-931.

150. Lim T.-C. Auxetic Materials and Structures : Engineering Materials / T.-C. Lim. -Singapore : Springer, 2015. - URL: https://link.springer.com/10.1007/978-981-287-275-3 (date accessed: 13.05.2023).

151. Negative Poisson's ratios as a common feature of cubic metals / R. H. Baughman, J. M. Shacklette, A. A. Zakhidov, S. Stafstrom // Nature. - 1998. - Vol. 392, № 6674. - P. 362-365.

152. Negative Poisson's Ratios for Extreme States of Matter / R. Нт. Baughman, S. O. Dantas, S. Stafstrom [et al.] // Science. - 2000. - Vol. 288, № 5473. - P. 2018-2022.

153. Bunge H. J. Texture analysis in materials science: mathematical methods. Texture analysis in materials science / H. J. Bunge. - 1. Aufl. - Gottingen : Cuvillier, 1993. - 593 p.

154. Spatial tuning of negative and positive Poisson's ratio in a multi-layer scaffold / P. Soman, J. W. Lee, A. Phadke [et al.] // Acta Biomaterialia. - 2012. - Vol. 8, № 7. - P. 2587-2594.

155. Three-Dimensional Polymer Constructs Exhibiting a Tunable Negative Poisson's Ratio / D. Y. Fozdar, P. Soman, J. W. Lee [et al.] // Advanced Functional Materials. - 2011. - Vol. 21, № 14. - P. 2712-2720.

156. Lee T. Anisotropic polyurethane foam with Poisson'sratio greater than 1 / T. Lee, R. S. Lakes // Journal of Materials Science. - 1997. - Vol. 32, № 9. - P. 2397-2401.

157. The effects of hierarchy on the in-plane elastic properties of honeycombs / C. M. Taylor, C. W. Smith, W. Miller, K. E. Evans // International Journal of Solids and Structures. - 2011. - Vol. 48, № 9. - P. 1330-1339.

158. Tuning the Poisson's Ratio of Biomaterials for Investigating Cellular Response / W. Zhang, P. Soman, K. Meggs [et al.] // Advanced Functional Materials. - 2013. - Vol. 23, № 25. - P. 3226-3232.

159. Heterogeneous PVA hydrogels with micro-cells of both positive and negative Poisson's ratios / Y. Ma, Y. Zheng, H. Meng [et al.] // Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials. - 2013. - Vol. 23. - P. 22-31.

160. Frenzel T. Three-dimensional mechanical metamaterials with a twist / T. Frenzel, M. Kadic, M. Wegener // Science. - 2017. - Vol. 358, № 6366. - P. 1072-1074.

161. Akhmetshin L. R. Influence of unit cell parameters of tetrachiral mechanical metamaterial on its effective properties / L. R. Akhmetshin, I. Yu. Smolin // Nanoscience and Technology: An International Journal. - 2020. - Vol. 11, № 3. - P. 265-273.

162. Pendry J. B. A Chiral Route to Negative Refraction / J. B. Pendry // Science. - 2004. -Vol. 306, № 5700. - P. 1353-1355.

163. Gold Helix Photonic Metamaterial as Broadband Circular Polarizer / J. K. Gansel, M. Thiel, M. S. Rill [et al.] // Science. - 2009. - Vol. 325, № 5947. - P. 1513-1515.

164. Treloar L. R. G. The physics of rubber elasticity: by L.R.G. Treloar : Oxford classic texts in the physical sciences. The physics of rubber elasticity / L. R. G. Treloar. - 3rd ed. - Oxford : New York : Clarendon Press ; Oxford University Press, 2005. - 310 p.

165. Brostow W. Materials: introduction and applications / W. Brostow, H. E. Hagg Lobland. -Hoboken, New Jersey : Wiley, 2016. - 480 p.

166. Lur'e A. I. Theory of elasticity : Foundations of engineering mechanics / A. I. Lur'e, A. Belyaev. - Berlin ; New York : Springer, 2005. - 1050 p.

167. Mooney M. A Theory of Large Elastic Deformation / M. Mooney // Journal of Applied Physics. - 1940. - Vol. 11, № 9. - P. 582-592.

168. Blatz P. J. Application of Finite Elastic Theory to the Deformation of Rubbery Materials / P. J. Blatz, W. L. Ko // Transactions of the Society of Rheology. - 1962. - Vol. 6, № 1. - P. 223-252.

169. Yeoh O. H. Some Forms of the Strain Energy Function for Rubber / O. H. Yeoh // Rubber Chemistry and Technology. - 1993. - Vol. 66, № 5. - P. 754-771.

170. Muhr A. H. Modeling the Stress-Strain Behavior of Rubber / A. H. Muhr // Rubber Chemistry and Technology. - 2005. - Vol. 78, № 3. - P. 391-425.

171. Identification of the elastic properties of an artificial capsule membrane with the compression test: Effect of thickness / M. Rachik, D. Barthes-Biesel, M. Carin, F. Edwards-Levy // Journal of Colloid and Interface Science. - 2006. - Vol. 301 : Identification of the elastic properties of an artificial capsule membrane with the compression test, № 1. - P. 217-226.

172. Kanyanta V. Mechanical characterisation of polyurethane elastomer for biomedical applications / V. Kanyanta, A. Ivankovic // Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials. - 2010. - Vol. 3, № 1. - P. 51-62.

173. Шмурак М. И. Анализ гиперупругих моделей для описания поведения мягких тканей организма человека / М. И. Шмурак, А. Г. Кучумов, Н. О. Воронова // MASTER'S JOURNAL. - 2017. - № 1. - С. 230-243.

174. Limitations of Viscoelastic Constitutive Models for Carbon-Black Reinforced Rubber in Medium Dynamic Strains and Medium Strain Rates / F. Carleo, E. Barbieri, R. Whear, J. Busfield // Polymers. - 2018. - Vol. 10, № 9. - P. 988.

175. Hyperelastic models for the analysis of soft tissue mechanics: definition of constitutive parameters / A. N. Natali, E. L. Carniel, P. G. Pavan [и др.] // The First IEEE/RAS-EMBS International Conference on Biomedical Robotics and Biomechatronics, 2006. BioRob 2006. - Pisa, Italy : IEEE, 2006. - Hyperelastic models for the analysis of soft tissue mechanics. - P. 188-191. -URL: http://ieeexplore.ieee.org/document/1639082/ (access date: 23.05.2023).

176. Large deformation isotropic elasticity - on the correlation of theory and experiment for incompressible rubberlike solids // Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences. - 1972. - Vol. 326, № 1567. - P. 565-584.

177. Macosko C. W. Rheology: principles, measurements, and applications : Advances in interfacial engineering series. Rheology / C. W. Macosko. - New York, NY : VCH, 1996. - 576 p.

178. Seelig Th. Localized plastic deformation in ternary polymer blends / Th. Seelig, E. Van Der Giessen // International Journal of Solids and Structures. - 2002. - Vol. 39, № 13-14. - P. 35053522.

179. Experimental and Numerical Analysis for the Mechanical Characterization of PETG Polymers Manufactured with FDM Technology under Pure Uniaxial Compression Stress States for Architectural Applications / J. M. Mercado-Colmenero, M. D. La Rubia, E. Mata-Garcia [et al.] // Polymers. - 2020. - Vol. 12, № 10. - P. 2202.

180. Engineering with rubber: how to design rubber components. Engineering with rubber / ред. A. N. Gent. - 3rd edition. - Cincinnati, Ohio : Hanser Publications, 2012. - 433 p.

181. Feng Z.-Q. Solution of large deformation impact problems with friction between Blatz-Ko hyperelastic bodies / Z.-Q. Feng, B. Magnain, J.-M. Cros // International Journal of Engineering Science. - 2006. - Vol. 44, № 1-2. - P. 113-126.

182. Kachanov L. M. Fundamentals of the Theory of Plasticity / L. M. Kachanov. - Courier Corporation, 2004. - 512 p.

183. Rabotnov Yu. N. Creep problems in structural members / Yu. N. Rabotnov, F. A. Leckie, W. Prager // Journal of Applied Mechanics. - 1970. Vol. 37, № 1. - 249 p.

184. Experiments and parametric studies on 3D metallic auxetic metamaterials with tuneable mechanical properties / X. Ren, J. Shen, A. Ghaedizadeh [и др.] // Smart Materials and Structures. -2015. - Vol. 24, № 9. - P. 095016.

185. Design of lattice structures with controlled anisotropy / S. Xu, J. Shen, S. Zhou [et al.] // Materials & Design. - 2016. - Vol. 93. - P. 443-447.

186. Yang H. Design and characterization of axisymmetric auxetic metamaterials / H. Yang, L. Ma // Composite Structures. - 2020. - Vol. 249. - P. 112560.

187. Теория упругости. Задачи и примеры / А. В. Бенин, О. В. Козьминская, Н. И. Невзоров, [и др.]. - Санкт-Петербург : Федеральное агенство железнодорожного транспорта Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Петербургский государственный университет путей сообщения» (ПГУПС), 2010. - 67 с.

188. Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures / M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, L. J. Topp // Journal of the Aeronautical Sciences. - 1956. - Vol. 23, № 9. - P. 805-823.

189. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. - Москва : Мир, 1975. - 271 с.

190. Segerlind L. J. Applied finite element analysis / L. J. Segerlind. - 2nd ed. - New York : Wiley, 1984. - 427 p.

191. Ахметшин Л.Р. Анализ некоторых методов соединения ячеек в механическом тетрахиральном метаматериале / Л.Р. Ахметшин, И.Ю. Смолин // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2022. - № 77. - С. 27-37.

192. Sofroniou M. Extrapolation Methods in Mathematica / M. Sofroniou, G. Spaletta // Journal of Numerical Analysis, Industrial and Applied Mathematics. - 2008. - Vol. 3, № 1-2. - P. 105-121.

193. Н.С. Бахвалов. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков.

- БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.

194. Ахметшин Л.Р. Влияние параметров элементарной ячейки тетрахирального механического метаматериала на его эффективные свойства / Л. Р. Ахметшин, И. Ю. Смолин // Вестник Санкт-Петербургского Университета. Математика. Механика. Астрономия. - 2021. -Vol. 8, № 1. - P. 150-157.

195. Akhmetshin L. Characterization of a chiral metamaterial depending on the type of connection between unit cells / L. Akhmetshin, I. Smolin // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science. - 2022. - Vol. 236, № 19.

- P.10214-10220.

196. A novel analytical method of windmill chiral cell structure (WCCS) / L. Qiu, Y. Yu, L. Zheng, M. Chen // Composite Structures. - 2021. - Vol. 268. - P. 113973.

197. Wilkins M. L. Computer Simulation of Dynamic Phenomena : Scientific Computation / M. L. Wilkins. - Berlin, Heidelberg : Springer, 1999. - URL: http://link.springer.com/10.1007/978-3-662-03885-7 (access date: 16.05.2023).