Задачи теории потенциала и фигуры равновесия небесных тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.01, кандидат физико-математических наук Трубицына, Наталья Геннадьевна

• Трубицына, Наталья Геннадьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Трубицына, Наталья Геннадьевна

ВВЕДЕНИЕ.

1. Гравитационный потенциал и его свойства.

2. Прямой метод нахождения потенциала тел.

3. Теорема Маклорена-Лапласа и ее следствия.'

4. Эквигравитирующие элементы тел.

4.а Эквигравитирующий стержень для однородного сжатого сфероида.

4.Ь Эквигравитирующий стержень для однородного круглого диска.

4 Нахождение эквигравитирующихержней для телазимутальноймметрией методом модифицированного интеграла Коши.

5. Цель работы.

ГЛАВА 1. НАХОЖДЕНИЕ ПРЯМЫМ МЕТОДОМ ВНУТРЕННЕГО ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА ОДНОРОДНОГО ЦИЛИНДРА С ЛЕМНИСКАТНЫМ СЕЧЕНИЕМ.

1. Постановка задачи.

2. Преобразование главного интеграла (1.4).

3. Приведение интеграла R0 из (1.8) к вещественной форме.

4. Приведение интеграла из (1.9).

5. Приведение интеграла R2 из (1.10).

6. Преобразование интеграла N из (1.7).

7. Преобразование вспомогательных интегралов /, и /2.

8. Нормированный внутренний потенциал цилиндра.

9. Нахождение вспомогательных интегралов.

10. Выражения в конечном виде для интегралов Ф15 Ф2, Ф'13 Ф'2 в точках на оси симметрии.

11. Преобразование основных интегралов во второмвырожденном случае

12. Вычисление Ф, и Ф2 в случае комплексных корней.

13. Вычисление Ф|.

14. Вычисление Ф2.

15. Резюме расчетов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи теории потенциала и фигуры равновесия небесных тел»

2. Постановка задачи.46

3. Эквигравитирующие элементы тора.47

4. Представление потенциала тора через эквигравитирующие элементы.49

5. Частный случай: потенциал тора на оси симметрии.50

6. Эквипотенциальные кривые гравитирующего тора.51

7. Подведение итогов.52

ГЛАВА 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ВНЕШНЕГО ПОТЕНЦИАЛА ОДНОРОДНОГО КРУГОВОГО ТОРА В РЯД ЛАПЛАСА.54

1. Введение.54

2. Разложение в степенной ряд потенциала тора на оси симметрии.55

3. Постановка задачи.55

4. Нахождение коэффициентов С2п.56

4.а Нахождение интеграла 1Х из (3.13).58

4.Ь Нахождение интеграла /2 из (3.14).59

4.с Приведение С2п к требуемому виду.60

5. Радиус сходимости ряда Лапласа.63

6. Предельный случай д = 1: тор без внутреннего отверстия.64

7. Численная проверка основных формул.68

8. Обсуждение результатов.68

ГЛАВА 4. «ВНУТРЕННИЙ» ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО КРУГОВОГО ТОРА. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ЛАПЛАСА.70

1. Введение в проблему.70

2. Метод нахождения коэффициентов ряда.71 2

3. Представление потенциала тора в виде ряда.75

4. Радиус сходимости ряда Лапласа.76

5. Обсуждение.77

ГЛАВА 5. ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ КОМПАКТНЫХГАЗОПЫЛЕВЫХ ТУМАННОСТЕЙ В ГАЛАКТИКЕ.79

1. Введение.79

2. Фигуры равновесия глобул без внутренних течений.81

3. Глобулы с внутренними течениями.87

4. Результаты расчетов.89

5. Обсуждение.92

ГЛАВА 6. ПРИЛИВНОЕ ВЛИЯНИЕ КОЛЕЦ НА ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ.94

1.Введени е.94

2. Постановка задачи.96

3. Формула для поправки к угловой скорости.97

4. Нахождение а для широкого кольца и кругового тора.98

4 а. Кольцо А.98

4Ь. Кольцов.99

4 с. Кольцо С (модель неоднородного кольца для галактик).100

4 <3. Модификация метода. Приливное влияние кольца на газовую подсистему в галактиках.101

4 е. Модель однородного кругового тора.102

5. Численные оценки для моделей колец и реальных астрофизических объектов .103

6. Обсуждение.107

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.109

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.113

ВВЕДЕНИЕ

Заключение диссертации по теме «Астрометрия и небесная механика», Трубицына, Наталья Геннадьевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации решены шесть новых задач по теории потенциала и фигурам равновесия небесных тел. Первая задача - нахождение прямым методом внутреннего логарифмического потенциала однородного цилиндра с лемни-скатным сечением. Вторая задача заключается в нахождении внешнего пространственного потенциала однородного кругового тора через систему из пяти его эквигравитирующих элементов. Третья задача посвящена разложению внешнего потенциала однородного кругового тора в ряд Лапласа с одновременным определением коэффициентов этого ряда. Та же самая проблема разложения в ряд Лапласа, но уже для «внутреннего» потенциала однородного кругового тора, решается в четвертой задаче. Пятая задача посвящена изучению фигур равновесия компактных газопылевых туманностей в Галактике. Шестая - о вращающейся фигуре равновесия внутри5 круглого кольца. Основные результаты диссертации следующие:

1). Прямым методом найден внешний «потенциал цилиндра с лемнискат-ным сечением и построено семейство эквипотенциалей. Показано, что они образуют два семейства кривых, разделенных сепаратрисой с нулевым потенциалом на ней. На семействе замкнутых кривых, расположенных внутри сепаратрисы, потенциал имеет положительное значение и достигает максимума на оси симметрии в точке Ъ к 0.47077. Вне сепаратрисы эквипотенциали разомкнуты и потенциал на них отрицателен. Несмотря на сложную форму сечения цилиндра, внешний потенциал такого цилиндра получен в конечном виде через элементарные функции. Тем самым расширен список тел с известным потенциалом и на примере цилиндра данного типа демонстрируются широкие возможности прямого метода нахождения потенциалов тел с логарифмическим потенциалом. Нахождение отдельных интегралов в этой задаче представляет собой дополнение к справочникам.

2). Через эквигравитирующие элементы впервые был получен гравитационный потенциал тора в произвольной внешней точке пространства. Проведена всесторонняя проверка полученных аналитических результатов. Она включала

109 в себя численное сравнение найденного данным методом потенциала тора с тем выражением, которое было полученным ранее совершенно другим способом -через тонкие широкие круговые кольца. Это сравнение позволило убедиться в достоверности обоих известных теперь представлений внешнего потенциала однородного кругового тора. Кроме того, был выполнен предельный переход от общего выражения пространственного потенциала тора к потенциалу на оси симметрии Охз. По найденной основной формуле рассчитано семейство экви-потенциалей тора.

3). Найдено разложение внешнего потенциала однородного кругового тора в ряд Лапласа и впервые получены точные аналитические формулы для коэффициентов этого ряда. Показано, что они выражаются через полиномы Ле-жандра, зависящие от геометрического параметра тора. Найден радиус сходимости данного ряда. Данный результат важен для-практических целей и интересен тем, что, как известно, и сам ряд Лапласа представляет собой разложение потенциала тела по полиномам Лежандра. Проверка показала, что найденный ряд быстро сходится и даёт правильные результаты.

4). «Внутренний» потенциал однородного кругового тора представлен в виде ряда по полиномам Лежандра. Найдены точные аналитические формулы для коэффициентов этот ряда и показано, что они выражаются через стандартную гипергеометрическую функцию Гаусса. Проверка показала, что этот ряд быстро сходится и дает правильные результаты. Найден радиус сходимости ряда и установлено, что он зависит от геометрического параметра тора. Найдены границы пространственной сферической оболочки, внутри которой ряд Лапласа для внешнего и «внутреннего» потенциала тора уже не работает, и в этой области задача о представлении потенциала тора рядом должна решаться специальными методами.

5). В эллипсоидальном приближении изучены фигуры равновесия газопылевых туманностей в Галактике и в других гравитационных полях. Результаты имеют теоретическую новизну (расширение теории классических эллипсоидов Римана и фигур Роша, обобщение классического приливного предела) и практическую ценность при изучении глобул и туманностей. Фигуры относительного равновесия (без внутреннего поля скоростей) образуют две однопа-раметрические последовательности и имеют форму вытянутых сфероидов с осью симметрии, указывающей на центр Галактики. Эксцентриситет сфероидов зависит от местоположения глобулы в Галактике, и на солнечном круге глобулы имеют почти сферическую или очень вытянутую форму. Фигуры равновесия туманностей с внутренними течениями являются трехосными эллипсоидами, вытянутыми также в направлении на силовой центр. Вблизи центра глобулы имеют обратные течения (противотоки), а более отдаленные конфигурации допускают оба направления поля скоростей. Выведена и решена полная система уравнений для фигур равновесия. Фигуры равновесия обоих классов не могут существовать в поле Галактики ближе некоторого критического приливного радиуса, равного 0.1-0.8'Кпк. Вывод о вытянутой, форме глобул согласуется с данными наблюдений.

6). Рассмотрена фигура равновесия в виде сфероида Маклорена, находящаяся внутри широкого гравитирующего кольца или тора. В приливном приближении получена общая формула для поправки к угловой скорости вращающегося сфероида Маклорена, представляющая возмущение от кольца. Для трёх моделей колец и кругового тора исследования доведены до числа. Установлено, что влияние кольца на сжатие планеты Сатурн оказывается пренебрежимо малым. С точки зрения точности современных наблюдений можно пренебречь и влиянием кольца из планет и малых тел солнечной системы на сплюснутость Солнца. Однако, для звезды-красного сверхгиганта \\ЮН 064, окруженного мощным массивным тором, влияние внешнего тора на фигуру центральной звезды оказывается на 6-7 порядков больше, чем для Сатурна и Солнца, и этим влиянием уже нельзя пренебречь. Выведена теоретическая формула, описывающая приливное влияние гравитирующего кольца на одну только газовую подсистему галактики. Применение этого модифицированного метода позволило выяснить, что влияние мощного пылевого кольца вокруг галактики NGC 4594 «Сомбреро» на сплюснутость газовой подсистемы в ней весьма значительно и составляет примерно 18 % от эффекта вращения газового облака.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Трубицына, Наталья Геннадьевна, 2010 год

1. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.

2. Антонов В.А., Железняк O.A. Расширение кольцевых структур в галактиках//Астрофизика. 1988. Т. 29. Вып. 1. С. 178.

3. Антонов В.А., Тимошкова Е.И., Холшевников К. В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М.: Наука, 1988.

4. Антонов В.А., Никифоров И.И., Холшевников К.В. Элементы теории гравитационного потенциала и некоторые случаи его явного выражения. СПбГУ, 2008.

5. Бисноватый-Коган Г.С. Mon. Notis. Roy. Astron. Sos., V. 174, P. 203, 1976.

6. Бисноватый-Коган Г.С. Pis'ma Astron. Zh., V. 10, P.l 81, 1984.

7. В книге: Строение звездных систем. M.: ИН, 1962. С. 429.

8. Витязев A.B., Печерникова Г.В., Сафронов B.C. Планеты земной группы. М.: Наука, 1990.

9. Волков Е.В. Астрофизика, 1990. Т. 32. С. 133.

10. Воронцов-Вельяминов Б.А. Внегалактическая астрономия. М.: Наука, 1978.

11. Дибай Э.А. Астрон. журн. 1972. Т. 35. С. 1134.

12. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.:Наука, 1968.

13. Кисляков А.Г., Тернер Б.Е. Астрон. журн. 1995. Т. 72, № 2. С. 168.

14. Кондратьев Б.П. Анизотропия дисперсии скоростей в эллиптических галактиках. // Письма в АЖ. 1981. Т. 7. С. 83.

15. Кондратьев Б.П. Динамика и устойчивость резонансных колец в галактиках // Астрон. журн. 2000. Т. 77. С. 323.

16. Кондратьев Б.П. Прямой метод вычисления внешних и внутренних потенциалов двумерных гравитирующих тел // Тез. Всерос. астрон. конф. С.-Петербург, 2001.

17. Кондратьев Б.П. Прямой метод нахождения внутренних потенциалов однородных двумерных гравитирующих тел // Тез. Всерос. астрон. конф. Москва, 2000.

18. Кондратьев Б.П. Теория потенциала и фигуры равновесия. Москва; Ижевск: Изд-во РХД, 2003.

19. Кондратьев Б.П. Теория потенциала. Новые методы и задачи с решениями. Москва: Мир, 2007.

20. Кондратьев Б.П. Теория потенциала: эквигравитирующие стержни для осесимметричных тел // Вестник Удмуртского Университета. Серия Математика. 2000. № 4. С. 108.

21. Кондратьев Б.П. Теория потенциала: эквигравитирующие стержни для осесимметричных тел // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. Т. 41, № 2. С. 247.

22. Кондратьев» Б.П., Дубровский А.С., Трубицына Н.Г., Мухаметшина Э.Ш. Пространственный потенциал однородного кругового тора через эквигравитирующие элементы // Журнал технической физики. 2008. Т. 78, № 7. С. 132.

23. Кондратьев Б.П., Дубровский А.С., Трубицына Н.Г., Мухаметшина Э.Ш. Разложение потенциала однородного кругового тора в ряд Лапласа // Журнал технической физики. 2009. Т. 79, № 2. С. 17.

24. Кондратьев Б.П., Озерной Л.М. Письма в АЖ. 1979. Т. 5. С. 67.

25. Кондратьев Б.П., Трубицына Н.Г. Гравитационное и электростатическое поле однородного кругового конуса // Журнал технической физики. 2009. Т. 79, № 12. С. 26.

26. Кондратьев Б.П., Трубицына Н.Г. Гравитационное и электростатическое поле однородного кругового конуса // Вестник Удмуртского Университета. Серия Астрономия и математическая физика. 2009. № 1. С. 62.

27. Кондратьев Б.П., Трубицына Н.Г. Разложение внутреннего потенциала однородного кругового тора в ряд Лапласа // Журнал технической физики. 2010. Т. 80. Вып. 1. С. 23.28.