Задачи оптимального управления и существование сильных решений начально-краевых задач моделей движения вязкоупругой среды Джеффриса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Кузнецов, Александр Владимирович

• Кузнецов, Александр Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецов, Александр Владимирович

Введение

1 Оптимальное управление правыми частями в начально-краевой задаче для модели движения вязкоупругой среды с производной Яу манна

1.1 Введение.

1.2 Обозначения и необходимые факты.

1.2.1 Вспомогательные обозначения

1.2.2 Определения используемых пространств.

1.3 Постановка задачи для случая с производной Яуманна.

1.4 Существование решений задачи (1.3.17)-(1.3.19)

1.5 Существование оптимального решения для случая с производной Яуманна.

2 О плотности множества правых частей начально-краевой задачи для модели движения вязкоупругой среды с производной Яуманна

2.1 Введение.

2.2 Постановка задачи.

2.2.1 Исходная задача и формулировка основного результата работы.

2.2.2 Аппроксимационная задача.

2.3 Операторная трактовка задачи.

2.3.1 Линейный оператор С&.

2.3.2 Операторы К и /С.

2.3.3 Оператор Z.

2.3.4 Оператор <3.

2.4 Аппрокимационные уравнения. Априорные оценки.

2.5 Разрешимость для плотного множества правых частей.

3 Граничное оптимальное управление в начально-краевой задаче для модели движения вязкоупругой среды с полной производной

3.1 Введение.

3.2 Постановка задачи и формулировка основных результатов

3.3 О продолжении управления внутрь области.

3.4 Вспомогательные задачи.

3.5 Существование слабого решения для модели Джеффриса и его оценка.

3.6 Существование оптимального решения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи оптимального управления и существование сильных решений начально-краевых задач моделей движения вязкоупругой среды Джеффриса»

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В окружающем мире повсеместно наблюдается движение разнообразных жидкостей и сред, во многом близких к жидкостям (газов, гелей, золей и других). Математическое описание этого движения является интересной и трудной задачей. Уже при исследовании самых простых уравнений движения жидкостей и сред, близких к жидкостям, возникло множество нерешенных до настоящего момента математических проблем.

Начала гидродинамики (науки о движении жидкостей) были заложены Блезом Паскалем, Даниилом Бернулли и Леонардом Эйлером. Развитие эта наука получила в трудах Лагранжа, Даламбера, Лапласа, Навье, Стокса и других. Обычной гидродинамической проблемой является вычисление различных характеристик жидкости (таких, как скорость, давление, плотность) как функций от времени и точки пространства.

Объектом изучения классической гидродинамики являются идеальные жидкости (жидкости, у которых отсутствуют сдвиговые напряжения) и ньютоновские жидкости (у которых сдвиговые напряжения пропорциональны скорости деформации). Основное математическое уравнение, описывающее движение идеальной жидкости, называется уравнением Эйлера, а основное математическое уравнение для ньютоновской жидкости называется уравнением Навье-Стокса.

Различные начальные, краевые и начально-краевые задачи для уравнений Навье-Стокса и Эйлера исследовались очень многими авторами. Наиболее известны работы Ж. Лере, O.A. Ладыженской, Т. Като, Р. Темама, Ж. Лионса и др. Тем не менее основной вопрос: проблема глобального по времени существования гладкого решения начально-краевой задачи при гладких начальных данных остается открытым. Пока существование такого решения доказано только для случая плоскопараллельных течений. В трехмерном случае для уравнения Навье-Стокса доказано существование решения при малых данных задачи.

Одним из возможных выходов из сложившейся ситуации стало применение обобщенной постановки начально-краевой задачи с использованием некоторого равенства функционалов. Решения такой задачи называют слабыми решениями, и любое обычное решение всегда является и слабым. Для уравнения Навье-Стокса доказано глобальное по времени существование слабого решения начально-краевой задачи. Однако проблема единственности этого решения остается открытой.

С другой стороны, давно было замечено, что многие реальные среды (битумы, кровь, полимеры, тесто, земная кора, бетон и другие) не описываются моделями классической гидродинамики, хотя по многим признакам близки к жидкостям. Такие объекты получили название "неньютоновские жидкости". Имеется большое число моделей, описывающих разные классы таких сред. I

Следует отметить, что эти объекты не столь подробно изучены с точки зрения математических постановок задач, в первую очередь из-за того, что они являются еще более сложными, чем задачи, порождаемые классической гидродинамикой. Тем не менее, и здесь имеются десятки работ таких авторов, как O.A. Ладыженская, К. Гильопе, Ж. Со, М. Ренарди, В.Г. Литвинов, А.П. Осколков, П.Е. Соболевский, В.Г. Звягин, Ю.Я. Агранович, В.Т. Дмитриен-ко, ДА. Воротников, М.В. Турбин (например, [1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 17, 18, 20, 26, 28]) и многих других.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию вопросов существования и некоторых свойств решений начально-краевых задач и связанных с ними задач оптимального управления, описывающих движение различных несжимаемых жидкостей и сред, близких к жидкостям.

Вообще говоря, движение несжимаемой среды с постоянной плотностью р = const определяется системой дифференциальных уравнений в форме Коши ть + = + (í,z)£[0,T]xQ (0.0.1) i=1 divi> = 0, (t, x) e [0, T] x Q. (0.0.2)

Здесь ficf- область, v = (v1,. ,vn) - вектор скорости точек среды, /о - плотность внешних сил, а - девиатор тензора напряжений (все они зависят от точки пространства х и момента времени t). Дивергенция div берется по переменной х. Дивергенция Div от тензора а - это вектор с координатами

Diva), = £ Щ. 1

Тип рассматриваемой среды определяется выбором определяющего соотношения между сг и тензором скоростей деформации £(v) = (£ij(v))ljl £ij{v) — + §f~) • Так, один класс сред связан с постулатом Стокса о том, что девиатор тензора напряжения (т.е. тензор напряжений минус его изотропная компонента) в точке в данный момент времени полностью определяется тензором скоростей деформации в этой же точке в этот момент времени. Это концепция линейно- и нелинейно-вязкой жидкости. Примерами моделей нелинейно-вязких жидкостей являются модели Прандтля и Эйринга. Частным случаем этой концепции является также линейно-вязкая жидкость с определяющим соотношением a = -pI + 2riS. (0.0.3)

Здесь p(t, ж) — скалярная функция давления, а коэффициент r¡ называется вязкостью. При г] > 0 соотношение (0.0.3) определяет ньютоновскую жидкость, и, подставляя (0.0.3) в (0.0.1), можно получить уравнение Навье-Стокса. При г) = 0 соотношение (0.0.3) задает идеальную жидкость, и, подставляя (0.0.3) в (0.0.1), можно получить уравнение Эйлера.

Однако концепция нелинейно-вязкой жидкости не является удовлетворительной для всех сред. В частности, она не подходит для сред "с памятью": битумов, бетонов, разнообразных полимеров и растворов полимеров, земной коры и др. Один из способов учесть эффекты памяти - ввести в определяющее соотношение производные по времени. На этом пути возникли модели Максвелла, Джеффриса, Олдройда, Ларсона, Гизекуса, Фан-Тиена-Таннера, Сприггса и другие ([33]). Особый интерес представляют модели движения вязкоупругих сред, в которых определяющее отношение удовлетворяет требованию объективности, т.е. является инвариантным при изменении системы отсчета. Примером таких моделей может служить модель с производной Ол-дройта где а е [-1,1], а = (^)}=1,"'.',п) — (И7^))*- - тензор завихренности, при а = 0 называется производной Яуманна.

Целью работы является исследование вопросов существования и некоторых свойств решений задач оптимального управления правыми частями, задач граничного оптимального управления, а также исследование задачи о плотности множества правых частей для математических моделей движения вязкоупругих сред типа Джеффриса с полной производной и объективной производной Яуманна.

Методика исследований. Использовались идеи и методы современного нелинейного анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных, в частности, методы теории нелинейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, аппроксимационно-топологический метод а + аУУ(у) - №(у)а + а(а£{у) + £{и)а), (0.0.4) — = 1,., п. Частный случай производной Олдройта исследования задач гидродинамики, разработанный В.Г. Звягиным и его учениками (см. [10], [16]), методы теории топологической степени, априорных оценок и др. Также использовались методы, предложенные A.B. Фурсиковым для исследования задач оптимального управления и установления плотности множества правых частей.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1. Доказана плотность множества правых частей для модели движения вязкоупругой среды с производной Яуманна в некоторых специально выбранных топологиях.

2. Доказано существование решения задачи управления правыми частями в модели движения вязкоупругой среды с производной Яуманна для определенного класса функционалов цены.

3. Доказано существование решения задачи граничного управления в модели движения вязкоупругой среды с полной производной.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты применяются при исследовании различных течений нелинейно-вязких, вязкоупругих и нелинейных вязкоупру-гих жидкостей и сред. 1

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежских зимних математических школах (2005, 2008), научной сессии ВГУ (2008), семинаре под руководством проф. М.И. Вишика (МГУ, 2008), семинаре под руководством проф. A.JI. Скубачевского (РУДН, 2008).

Исследования, включенные в настоящую диссертацию, поддержаны грантами РФФИ № 07-01-00137, № 08-01-00192.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21] - [25]. Из совместной работы [25] в диссертацию вошли только принадлежащие Кузнецову A.B. результаты. Работа [25] издана в журнале, входящем в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на девятнадцать пунктов, и списка литературы, включающего 42 источника. Окончания доказательств отмечены знаком □. Общий объём диссертации 130 страниц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецов, Александр Владимирович, 2009 год

1. Agranovich Yu.Ya. Motion of nonlinear viscoelastic fluid / Yu.Ya. Agranovich, P.E. Sobolevskii// Nonlinear Anal. TMA. - 1998. - V. 32, №. - P. 755-760.

2. Dmitrienko, V.T. The topological degree method for equations of the Navier-Stokes type/ V.T. Dmitrienko, V.G. Zvyagin // Abstract and Applied Analysis, 1997. V.l/2. - P. 1-45.

3. Guilliopé, C. Existence results for the flow of viscoelastic fluids with differential constitutive law / C. Guilliopé, J.-C. Saut // Nonlinear Anal. , 1990. V. 15, № 9. - P. 849-869. .

4. Guillopé C. Mathematical problems arising in differential models for viscoelastic fluids / C. Guillopé, J.C. Saut // Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Longman, Harlow, 1993. - P. 64-92.

5. Renardy M. Existence of slow steady flows of viscoelastic fluids with differential constitutive equations/ M. Renardy// Z. angew. Math. Mech.-1985,- V. 65, P. 449-451.

6. Simon J. Compact sets in Lp(0, T; B) / J. Simon // Ann. Mat. Pura Appl. ser. IV, 1987. V. CXLVI. - P. 65-96.

7. Talhouk R. Existence locale et unicité d'écoulements de fluides viscoélastiques dans des domaines non bornés/ R. Talhouk// C.R. Acad. Sci. Paris. Serie I. 1999. - T.328. - P. 87-92.

8. Turbin M.V. Research of a mathematical model of low-concentrated aqueous polymer solutions / M.V. Turbin // Abstract and Applied Analysis, 2006. -V. 2006. P. 1-27.

9. Vorotnikov, D.A. On the existence of weak solutions for the initial-boundary value problem in the Jeffreys model of motion of a viscoelastic medium / D.A. Vorotnikov, V.G. Zvyagin // Abstract and Applied Analysis, 2004 . -m 10 (2004). P. 815-829.

10. Zvyagin, Victor G. Topological approximation methods for evolutionary problems of nonlinear hydrodynamics / Victor G. Zvyagin, Dmitry A.Vorotnikov Berlin ; New York : Walter de Gruyter, 2008 . XII, 230 P

11. Агранович Ю.Я. Движение нелинейной вязкоупругой жидкости/ Ю.Я. Агранович, П.Е. Соболевский // ДАН СССР. 1990. - Т. 314, № 3. - С. 521-525.

12. Бесов О.В. Интегральные представления функций и теоремы вложения / О.В. Бесов, В.П. Ильин, С.М. Никольский. М. : Наука, 1975. - 480 с.

13. Гаевский X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грёгер, К. М. Захарис. М. : Мир, 1978. - 336 с.

14. Гольдштейн Р.В. Механика сплошных сред / Гольдштейн Р.В., Город-цов В.А. 4.1: Основы и классические модели жидкостей. М.: Наука. Физматлит, 2000. - 256 с.

15. Джусти, Э. Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации / Э. Джусти. М. : , 1989. - 240 с.

16. Звягин В.Г. Аппроксимационно-топологический подход к исследованию задач гидродинамики. Система Навье-Стокса / В.Г. Звягин, В.Т. Дмит-риенко. М. : Едиториал УРСС, 2004. - 112 с.

17. Звягин В.Г. О разрешимости некоторых начально-краевых задач для математических моделей движения нелинейно-вязких и вязкоупругих жидкостей/ В.Г. Звягин// Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. - Т. 2. - С. 57-69.

18. Звягин В.Г. О слабых решениях регуляризованной модели вязкоупругой жидкости / В.Г. Звягин, В.Т. Дмитриенко // Дифференциальные уравнения, 2002. Т. 38, №12. - С. 1633-1645.

19. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин М. : Наука, 1972. - 496 с.

20. Котсиолис A.A. О разрешимости фундаментальной начально-краевой задачи для уравнений движения жидкости Олдройда/ A.A. Котсиолис, А.П. Осколков// Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1986. - Т. 150, № 6. - С. 48-52.

21. Кузнецов A.B. Оптимальное управление правыми частями в начально-краевой задаче для модели вязкоупругой среды с полной производной /A.B. Кузнецов // Вестник Воронежского Государственного Университета. Серия: Физика. Математика, 2007. №2. - С. 116-127.

22. Кузнецов A.B. Граничное оптимальное управление в начально-краевой задаче для модели вязкоупругой среды с полной производной / A.B. Кузнецов // Вестник Воронежского Государственного Университета. Серия: Физика. Математика, 2008. №1. - С. 232-248.

23. Кузнецов A.B. Задача оптимального управления правыми частями для модели вязкоупругой среды / A.B. Кузнецов // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2008. Тезисы докладов. Воронеж: ВорГУ, 2008. - С. 95-96.

24. Кузнецов A.B. О плотности множества правых частей начально-краевой задачи модели Джеффриса с объективной производной Яуманна / В.Г. Звягин, A.B. Кузнецов // Успехи матемаических наук, 2008. Т. 63. -Вып. 6. - С. 165-166.

25. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости/ O.A. Ладыженская.- М.: ГИФМЛ, 1961. -204с.

26. Лионе Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионе, Э.М. Мадженес. М. : Мир, 1971. - 372 с.

27. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости/ В.Г. Литвинов.-М.: Наука, 1982 376 с.

28. Меры некомпактности и уплотняющие операторы / Ахмеров P.P., Каменский В.И., Потапов A.C. и др.] Новосибирск : Наука, 1986. - 264, 1. с.

29. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С.М. Никольский. М. : Наука, 1969. - 480 с.

30. Орлов В.П. Исследование математических моделей многомерных вязко-упругих сред / В.П. Орлов, П.Е. Соболевский Львов, 1989 (Препринт / Ин-т прикл. проблем механики и математики АН УССР: 27-29).

31. Осмоловский В.Г. Линейные и нелинейные возмущения оператора div /B.Г. Осмоловский. СПб. : Издательство С.-Петербургского университета, 1995. - 144 с.

32. Рейнер М. Реология/ М. Рейнер.- М.: Физматгиз, 1965. 224 с.

33. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. 5 / В.И. Смирнов М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959.- 656 с.

34. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / C.JI. Соболев. М. : Наука, 1988. - 333 с.

35. Солонников В.А. Априорные оценки для уравнений второго порядка параболического типа / A.B. Солонников // Труды мат. инст. Стеклова, 1964. Т. 70. - С. 133-212.

36. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. М. : Мир, 1987. - 408 с.

37. Функциональный анализ / сост. Н.Я. Виленкин и др.] ; под ред. С.Г. Крейна. М. : Наука,' 1964. - 424 с.

38. Фурсиков A.B. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных уравнений Навье-Стокса и Эйлера / A.B. Фурсиков // Математический сборник, 1981. Т. 115(157) : 2(6). - С. 281-306.

39. Фурсиков A.B. Оптимальное управление распределительными системами: Теория и приложения: Учеб. пособие / A.B. Фурсиков. Новосибирск: Научная книга, 1999. - 352 с. - (Университетская сер. ; Т. 5).

40. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман.- М.: Мир, 1970. 720 с.

41. Экланд И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы / И. Экланд, Р. Темам. М. : Мир, 1979. - 339 с.