Задачи оптимального управления финансовыми ресурсами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Митюшин, Николай Юрьевич

• Митюшин, Николай Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Митюшин, Николай Юрьевич

Введение.

1. Необходимые условия экстремума.

1.1 Теория принципа максимума и схема Дубовицкого-Милютина.

1.2 Задача Понтрягина.

1.3 Задача Блисса-Больца.

1.4 Необходимые условия оптимальности.

1.5 Канонические задачи Дубовицкого-Милютина.

1.6 Структура смешанных ограничений.

1.7 Интегральный принцип максимума в регулярном случае.

1.8 О и - стационарности.

1.9 Интегральный принцип максимума /70.

1.10 Класс задач оптимального управления, сводящихся к задаче (1.9).

2 Анализ существующих математических моделей банка.

2.1 Вводные замечания.

2.2 Особенности имитационного моделирования банковских процессов.

2.3 Модель оценки банковских рисков.

2.4 Анализ методов оценки финансового положения банка.

3 Вопросы выбора критерия в задачах оптимального управления банковскими операциями.

3.1 Природа экономической ценности.

3.2 Максимальная ожидаемая прибыль как критерий.

3.3 Психологическая теория ценности.

4. Модель функционирования банка.

4.1 Теорема существования и единственности.

4.2 Сингулярные уравнения.

5. Задача Понтрягина и схема Дубовицкого-Милютина (качественные методы).

5.1 Особые режимы.

5.2 Применение методов теории управления в жестких системах.

5.3 Теорема о среднем.

5.4 Редукция смешанных ограничений к ограничениям на управление.

6. Модель банка.

6.1 Вычисление.

6.2 Результаты вычислений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи оптимального управления финансовыми ресурсами»

Задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями наиболее адекватно отражают свойства управляемого объекта. Большую роль при проектировании систем управления играют программные траектории. Из известных методов решения указанных задач являются: прямые методы (спуск в пространстве управлений); метод вариации фазовых переменных; метод штрафных функций; принцип максимума.

В вычислительном плане наиболее точные результаты получаются с использованием принципа максимума. Однако применение принципа максимума требует решения ряда принципиальных проблем, которые могут быть успешно преодолены по мере накопления опыта решения конкретных задач оптимального управления. Указанное обстоятельство связано с одной стороны со сложной формулировкой принципа максимума для задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями.

Сложность математического аппарата не позволяет надеяться в ближайшее время на упрощение формулировки принципа максимума. С другой стороны известно, что принцип максимума редуцирует исходную постановку задач к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений, причем в таких задачах существует дополнительные алгебраические связи типа равенств и неравенств.

В свою очередь краевая задача требует решения трех основных проблем: задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: решение в каждой расчетной точке t задач нелинейного программирования; поиск нулей трансцендентных функций. Очень часто в принципе максимума возникает неединственность множителей Лагранжа, появляется вырожденный принцип максимума, а также возникает проблема момента схода с ограничения типа неравенств. Совокупность указанных условий определяет геометрию оптимальной траектории или другими словами множество активных индексов для ограничений типа неравенств. Еще одна проблема связана с нерегулярностью принципа максимума. Это приводит к появлению меры, что означает, появление обобщенной функции в правой части сопряженных дифференциальных уравнений. Отсюда следует актуальность разработки методики решения задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями.

Как известно, принцип максимума (ПМ) для простейшей нелинейной задачи оптимального управления был сформулирован JI.C. Понтрягиньм и доказан В.Г. Болтянским уже более 40 лет назад. С тех пор появилось огромное количество работ, посвященное ПМ в различных задачах оптимального управления. Наиболее глубокие и серьезные исследования были проведены в работах А.А. Милютина и А .Я. Дубовицкого. В этих работах теория ПМ была продвинута на широкий класс задач с фазовыми и смешанными ограничениями (в том числе и нерегулярными). По существу проблема получения необходимых условий первого порядка, для указанных задач в этих работах полностью решена.

Опыт численного решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) привел к выделению так называемых жестких уравнений, которые требуют применения специальных методов. Жесткость задачи является отражением того факта, что в рассматриваемом объекте протекают разнотемповые процессы. Участок быстрого начального изменения фазовой координаты называется пограничным слоем.

Выделение жестких систем уравнения в отдельный класс вызвано трудностями их численного интегрирования классическими явными методами. Оказалось, что малый шаг интегрирования, используемый в пограничном слое, не может быть увеличен вне пограничного слоя, хотя производная становится существенно меньше. Для устранения указанного ограничения были предложены различные методы, однако и в настоящее время проблема численного решения жестких систем остается актуальной. Это связано с увеличением классов решаемых задач, общностью их постановки и разнообразием численных методов.

Работы по созданию численных методов ведутся в двух направлениях. Первое направление связано с применением неявных схем (Ваннер Г., Хайрэр Э., Федоренко Р.П. и др.). Другое направление связано с расширением границ применимости явных схем (Лебедев В.И., Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б., Дикусар В.В. и др.) Отметим также и скрытые формы проявления жесткости. Например, большой класс гладких оптимизационных конечномерных задач с трудом поддается решению традиционными методами первого и второго порядка из-за овражного рельефа поверхностей уровней. Исследования этого явления показали, что трудности связанные с жесткостью системы ОДУ, описывающих траекторию наискорейшего спуска (Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. и др.).

Для предварительной оценки определения геометрии оптимальной траектории очень часто используют дискретизацию исходной непрерывной задачи. В результате получается задача нелинейного программирования (НП) большой размерности. Важным частным случаем такой задачи является задача линейного программирования (ЛП) Задачам ЛП посвящено огромное количество исследований Первоначально исследования касались в основном симплекс-метода. В 1979 году появилась работа Л.Г. Хачияна, в которой к задачам ЛП применен принципиально новый алгоритм (так называемый метод эллипсоидов). Метод эллипсоидов был разработан А.С. Немировским, Н.З. Шором и Д.Б. Юдиным. На базе предложенного алгоритма Л.Г. Хачиян доказал полиномиальную сложность ЛП.

В 1984 году Н.К. Кармаркар предложил полиномиальный алгоритм, не только превосходящий метод эллипсоидов по эффективности теоретической оценки числа арифметических операций, но и конкурентоспособный с симплекс-методом на практике. Вскоре было обнаружено, что метод Кармаркара тесно связан с методом логарифмических барьеров Фиакко и Маккормика (метод внутренней точки). Ю.Г. Евтушенко и Ю.Д. Жадан распространили идеи проектирования градиента и метода барьерных функций на общие задачи НП.

Несколько вариантов метода было реализовано программно и включено в библиотеку ДИСО. Следует отметить, что метод внутренней точки для задач ЛП следует из работ Ю.Г. Евтушенко и Ю.Д. Жадана как частный случай, что подтверждается публикацией вышеупомянутых авторов в 1973 году. Отметим, что при решении задач оптимального управления методы дискредитации приводят к задачам ЛП большой размерности, которые как правило, плохо обусловлены. Для такого рода задач применяют специальные методы регуляризации (А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский, Ф.П. Васильев) и др. В работах Мангасарьяна и его сотрудников (США) основное внимание уделялось нахождению нормальных решений в задачах ЛП.

Поиску нормальных решений также посвящена работа Голикова А.И. и Евтушенко Ю.Г. А.Е. Умнов сводил задачу ЛП к задаче негладкой оптимизации, зависящей от параметра. Для задач квадратичного программирования (КП) применяются конечные и итеративные методы. (Поляк Б.Т., Дикусар В.В., и др.). Основные трудности решения указанных задач связаны с их плохой обусловленностью.

Отметим, что при решении ряда задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями принцип максимума вырождается, т.е. становится тривиальным. Последнее означает, что для исследования задачи необходимо применять высшие порядки. Многие авторы рассматривали этот вопрос в плане расширения границ применимости принципа максимума в вырожденных задачах (Дубовицкий А.Я., Дубовицкий В.А., Третьяков А.А., Измайлов А.Р., Арутюнов А.В. и др.). Их результаты в основном связаны с теоремами существования принципа максимума для вырожденного случая. Следует указать работы Дикусара В.В., который применил методы регуляризации структуры ограничений, что позволило распространить принцип максимума П0 на невырожденные задачи.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Митюшин, Николай Юрьевич

Заключение

1. Приведены постановки двух задач оптимального управления финансовыми ресурсами на базе известных моделей.

2. Доказаны теоремы существования и единственности для поставленных задач.

3. Доказано существование особых режимов.

4. Для оценки оптимальных решений проведена редукция исходных задач к задаче линейного программирования малой размерности.

5. Получено решение поставленных задач в зависимости от параметров с помощью системы «Баланс».

6. Приведенные примеры расчета показали эффективность разработанной методики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Митюшин, Николай Юрьевич, 2005 год

1. Шалашилин В.И. Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наи-1 лучшая параметризация, М.: УРСС. 1999.

2. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем, М.: Наука, 1979.

3. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит. 2000.

4. Ваниер Г. Хайрэр Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жестокие и дифференциально-алгебраические задачи, М.: Мир, 1999.

5. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: МФТИ, 1994.

6. Васильев Ф.П. Иваницкий А.Ю. Линейное программирование, М.: Факториал, 1998.

7. Евтушенко Ю.Г. Жадан В.Г. Барьерно-проективные и барьерно-ньютоновские чи^сленные методы оптимизации. Сообщения по вычислительной математике. М.: ВЦ РАН. 1992.

8. Голиков А.И., Евтушенко Ю.Г. Отыскание нормальных решений в задачах линей-чного программирования, ЖВМ и МФ, 2000. т.40, .№12, с. 1766- 1786.

9. Хачиян Л.Г. Сложность задач линейного программирования. Новое в жизни, науке, технике. Серия математика,, кибернетика. 10. М.: Знания, 1987.

10. Умное А.Е. Проблемы математического моделирования в условиях неполной информации, Автореферат докторской диссертации, ИПУ РАН, 1994.

11. Арутюнов А.В., Тынянский Н.Т. О принципе максимума в задачах с фазовыми ограничениями, // Известия АН СССР, тех. киб. 1984, №4. с. 60 68.

12. Дубовицкий А .Я. Дубовицкий В.А. Принцип максимума в регулярных задачах опти-'мального управления, у которых концы фазовой траектории лежат на границе фазо^вого ограничения, // AT, 1987, №12, с.25 33.

13. Дмитрук А.В. К обоснованию метода скользящих режимов для задач оптимального управления со смешанными ограничениями. // Функц. Анализ и его приложения, 1976. т.Ю, №3. с.29 44.

14. Дубовицкий А .Я., Милютин А. А. Теория принципа максимума // Сб. Методы теории экстремальных задач в экономике. М.: Наука, 1981, с.138-177.

15. Фигура А. Методы продолжения решений в прикладных задачах оптимального управления, Автореферат докторской диссертации, ИПУ РАН, 2001.

16. А.А Гончар, Рахманов Е.А. Равновесное распределение и степень рациональной аппроксимации аяалитических функций, Мат. Сборник т. 134 (176), 1987, выпуск 3. с. 305 347.

17. Ашманов С.А. Линейное программирование. М.: Наука, 1981.

18. Калиткин Н.Н, Численные методы. М.: Наука, 1978.

19. Морозов В.А. Алгоритмические основы методов решения некорректно поставленных задач, сборник научных трудов. Численный анализ: теория, приложения, программы, М.: МГУ. 1999.

20. Романюк Д. В. Модель формирования кредитно-дспозитной политики банка, Препринт WP/97/027: М. ЦЭМИ РАН. 1997.

21. Кузнецова С.Б. Моделирование дискретно-непрерывных производственных объектов. Известия ВУЗов. Черная металлургия 7 (1980), с.51 -62.

22. Шкадов Л.М., Бухамова Р. С. Илларионов В.Ф., Плохих В.П. Механика оптимального пространственного движения летательных аппаратов в атмосфере. М.: Машиностро|ение. 1972.

23. Понтрягин J1.C., Болтянский В.Г. Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961, 1969.

24. Болтянский В.Г. Принцип максимума в теории оптимальных процессов //ДАН СССР. 1958, т. 119. №6, с. 1070 1073.

25. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука. 19G9.

26. Гамкрелидзе Р.В. Оптимальные процессы управления при ограниченных фазовых координатах // Известия АН СССР. сер. мат., 1960. т. 24. №3. с. 315 356.

27. Гамкрелидзе Р.В. Оптимальные скользящие режимы // ДАН СССР 1962 т. 143 с. 1243-1245.

28. Гомкрклидзе Р.В. Скользящие режимы в теории оптимального управления//Труды МИАН. 1985. т. 169.

29. Гамкре.лидзе Р.В. Харатишвили Г.Л. Экстремальные задачи в линейных топологических пространствах // Известия АН СССР, сер мат. 1969. т. 33. №4. с.781 -839.

30. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягини в теории оптимальных процессов. // AT 1959, № 11, 12.

31. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Задали па экстремум при наличии ограничений // ДАН СССР, 1963), №4, с. 759 762, ЖВМ и МФ. 1965. т. 5. №3. с. 395

32. Дубовицкий А.Я. Милютин А.А. Необходимые условия слабого экстремума в зада-'чах оптимального управления со смешанными ограничениями типа неравенства. /'/ ЖВМ и МФ. 1968. т. 8, №4. с. 725 779.

33. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Трансляция уравнении Эйлера. // ЖВМ и МФ. 1969, т. 9. №6, с. 1263

34. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Принцип максимума для задач оптимального упра-вления со смешанными ограничениями типа:равенства и неравенства в классе варипаций, малых по абсолютной величине//ДАН СССР, 1969. т. 189. №6. с. 1567 1571.

35. Дубовицкий А .Я., Милютин А, А. Необходимые условия слабого экстремума, в общей задаче оптимального управления. М.: Наука, 1971.

36. Егоров Ю.В. Милютин А.А. О достаточных условиях сильного экстремума в классе кривых с ограниченной производной // ДАН СССР. 1964. т. 159. №5. с. 971

37. Halkin Н. Nonlinear nonconvex programming in an infinite dimensional space // Mathematical theory of control. New York. Acad. Press. 1967. p. LO 25.

38. Neustadt L.W. An abstract variations theory with application to a broad class of optimal problems. II Applications // SIAM J. on Control, 1967, v, 5. №1. p. 90 137.

39. Neustadt L.W. Makowaky K. Maximum principle for problems with mixed constraints // SIAM on Control and Optimization. 1974, v. 12, №2. p. 184 228.

40. Милютин А.А. Общие схемы получения необходимых условии экстремума и задачи оптимального управления // УМН. 1970. т. 25. ,№5. с. 110

41. Иоффе А.Д. Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука,. 1974.

42. Якубович В. А. К абстрактной теории оптимального управления. I. И. III. IV // СМЖ. 1977. т. 18. №3. 1978. т. 19. №2. 1979. т. 20, .№4. 1979. т. 20

43. Матвеев А.С. О необходимых условиях экстремума в задачах оптимального упра-ъления с фазовыми ограничениями // Дифф. уравнения. 1987. т. 23. №4. с. 629

44. Virsan С. Necessary conditions for optimal control problems with equality type mixed constraints // Revue Roumaine de Math. Pures et Appi. 1971. v. 16. №1.

45. Yonidd К. Hewitt E. Finitely additive measures // Transactions of Amor. Math, Soc. 1952. v. 72. p. 46 66.

46. Дмитрук А.В. К обоснованию метода скользящих режимов для задач оптимального управления со смешанными ограничениями. // Функц. анализ и его приложения. 1976. №3, с. 39 44.

47. Милютин А.А. Принцип максимума для регулярных систем // В кн.: Необходимое условие в оптимальном управлении. М.: Наука, 1990. глава, 5 (с. 132 157).

48. Гуриев С.М. Поспелов И.Г. Модель общего равновесия экономики переходного пери-ода. М. журнал «Математическое моделирование», т. 6. № 2. стр. 3-21. 1994.

49. Dak Spencer., Haldanc G. Andrew. A Simple Model of Money, Credit and Aggregate Demand. Bank of England. Working paper scries # 7. April. 1993.

50. Егоров С. В нормальной деятельности банковской системы заинтересована вся экономика России. М. Финансовые известия. №37 (271). 1996.

51. Егорова Н.Е., Смулов A.M. Модели и методы анализа, финансовых инструментов кредитной политики балка и динамики его развития в условиях переходного периода, препринт WP/97/019. М. ЦЭМИ РАН, 1997.

52. Екушов А. Денежные потоки в коммерческом банке. М., журнал «Банковские технологии» № 1, 1996

53. Ивлев К., Чеботарев В. Моделирование кредитно-депозитных операций коммерческого банка. М. журнал «Банковские технологии», .№ 1, 1997.

54. Клейнен Дж., Статистические методы в имитационном моделировании. М. Стати^стика, 1978.

55. Коган И.В. Моделирование процессов управления рыночными структурами в услови-да переходного периода (на примерекоммерческих банков). Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата, экономических наук. М. ЦЭМИ РАН. 1994.

56. Кокорев В., Ремизов А. Модернизация кредитной системы России в условиях кризиса ликвидности: можно ли удешевить деньги без роста инфляции. М. журнал «Вопросы экономики». .№ 8. 1996.

57. Ли Э.Б. Маркус JI. Основы теории оптимального управления. М., Наука,, 1972.

58. Лисициан Н. Оборотные средства, процесс обращения стоимости капитала, неплате^жи. М., журнал «Вопросы экономики». №9. 1997.

59. Lhabitant F. Enhancing Portfolio Performance Using Options Strategic: Why Beating the Market is Easy. Working paper # 9703 Institute of Banking and Financial Management,. University of Lausanne, 1997.

60. Макконклл K.P. Брю С.Л. Экономикс. Tl. Т2. М. Республика. 1992.

61. Математическое моделирование: Процессы в сложных экономических и экологических системах., под ред. Самарского АА. Моисеева Н.Н., Петрова А.А. М. Наука. 1986.

62. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М. Энсргоатомиздат. 1996.

63. Понтрягин Л.С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М. Наука. 1976,

64. Поспелов И.Г. Модель поведения производителей в условиях рынка и льготного кредитования. М., журнал «Математическое моделирование», т. 7. № 10. стр. 19 31.1995.

65. Романюк Д. В. Модель формирования кредитно-депозитной политики банка, препринт WP/97/027: М., ЦЭМИ РАН. 1997.

66. Романюк Д.В. Моделирование управления финансовыми потоками в банке. М. бюллетень «Денежный рынок». № 213 .1997.

67. Роуз Питер С. Банковский менеджмент. М. «Дело», 1997.

68. Сепчагов В. Стратегия государственной денежно-кредитной и бюджетно-налоговой политики России. М. журнал «Вопросы экономики», .№ 6. 1997.

69. Синки Джозеф Ф., мл. Управление финансами в коммерческих банках. Cata.Uaxy М., 1994.

70. Santomero A.M. Modeling the Banking Firm: A survey. Journal of Money. Credit, and Banking. # 16. 1984.

71. Helpman E. Optimal Spending and Money Holding in the Presence of Liquidity Constraints. Economctrica. Vol. 49. No 6, 1981.

72. Manger R. A Life-Cycle Consumption Model with Liquidity Constraints: Theory and Empirical Results. Econometrica. Vol. 55. No 3. 1987.

73. Эрлих А. Прогнозы цен: технический анализ или история повторяется. М. журнал «Банковские технологии», ,№ 2, 1996.

74. Дикусар В.В. Милютин А.А. Качественные и численные методы в принципе макаинмума. М.: Наука. 1989.

75. Моисеев Н.Н. Математические задали системного анализа. М.: Наука,, 1981. Федореико Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления М Наука 1978.

76. Кузнецова С.Б. Моделирование дискретно-непрерывных производственных объектов. Известия вузов. Черная металлургия, 7 (1980), 51-62.

77. Кузнецова С.Б. Имитационная модель термического отделения цеха холодной про-тсатки. Известии вузов. Черная металлургия, 9 (1980). 4756.

78. Арутюнов А.В. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М. 1997.

79. Антонов А.В., Поманский А.Б. Рационирование кредитов и алгоритм эффективности распределения заемных средств. М., Экономика и математические методы, т. 30, вып. 1, 1994.

80. Багриновский К.А., Егорова Н.Е., Имитационные системы в планировании экономических объектов. М., Наука, 1980.

81. Багриновский К.А., Егорова Н.Е., Радченко В.В., Имитационные модели в народнохозяйственном планировании. М., Экономика, 1980. Банковское дело (Справочное пособие) под ред. Бабичевой Ю.А. - My,1. Экономика, 1993.

82. Банковское дело, под ред. Лаврушина О.И. М., Банковский ичбиржевой научно-консультационный центр, 1992.

83. Барлтроп Крис Дж., МакНотон Диана. Банки на развивающихся рынках, том 2, Интерпретирование финансовой отчетности. М., «Финансы и статистика», 1994.

84. Биссада И., Дермин Ж., Управление активами и пассивами в банках /Пособие пользователя. Материалы семинара/. М., издательство Сбербанка РФ, 1996.

85. Бородин А.В., К вопросу прогнозирования динамики суммарных остатков по некоторым группам банковских счетов. Йошкар-Ола, 1996.

86. Baltensperger, Ernst, Alternative Approaches to the Theory of the Banking Firm. Journal of Monetary Economics, January, 1980.

87. Bernanke B. S., On the Predictive Power of Interest Rate's and Interest Rate Spreads. New England Economic Review, Nov/Dec, 1990.

88. Bernanke B. S., Blinder A. S., Credit, Money, and Aggregate Demand.

89. American Economic Review, Papers and Proceedings, 1988.

90. Веденов Д.В., Гуриев С.М., Поспелов И.Г., О некоторых свойствах логарифмической функции полезности. М., журнал «Экономика и Математические методы», том 32, № 2,1996.

91. Голиченко О.Г., О моделировании воздействия роста денежной массы на инфляцию и динамику уровня производства. М., журнал «Экономика и Математические методы», том 32, № 3, 1996.

92. Гуриев С.М., Математическая модель стимулирования экономического роста посредством восстановления сбережений. М., журнал «Математическое моделирование», т. 8, № 4, стр. 21-46, 1996.

93. Гуриев С.М., Поспелов И.Г., Модель общего равновесия экономикипереходного периода. М., журнал «Математическое моделирование»,т. 6, №2, стр. 3-21, 1994. g£ Митюшищ и. ю., ШигурО- ft. Задали онТималбного упрсиёмки* финамсо#&(лш рг£урсаиъи. Ш РАН,

94. С&с&щвциЗ по nf>uxj\agHou M^cuetjuijtuce,%oo4,54ctpg^ Мииюгцин 3ajjoZtJL оиТилиибною

95. Я Кр&ЯШНо-дьно^ьинои hJOJiu.ru*оьГ5<ш<a. A.fbli РДИ) СооШОмме пх> криклфио* иалеиатььке., Ьооч, бЪ&р 38 JltMfOWuui И.Ю.,Ш(Н4Л1аяоВ^<и.п ПроехТусба

96. SlOJUJuuOQ^U^UU': м£бш pa^paFoiKu.