Качественные и численные методы решения задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями на примере управления локомотивом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Данг Тхи Май

• Данг Тхи Май
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Данг Тхи Май

Оглавление

Введение

Глава 1

ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ОГРАНИЧЕНИЙ ОБЩЕГО ВИДА

1.1 Задача Понтрягина

1.2 Задача Блисса - Больца (Майера)

1.3 Канонические задачи Дубоеицкого—Милютина

1.3.1 Каноническая задача оптимального управления с гладкой зависимостью от времени

1.3.2 Локально-выпуклые функции конечномерного пространства г, у по у

1.3.3 Предположения, при выполнении которых проводится вариационное исследование задачи А

1.3.4 Структура смешанных ограничений

1.3.5 Интегральный принцип максимума в регулярном случае 19 1.3. 7 Интегральный принцип максимума в нерегулярном случае

(принцип максимума П0)

1.3.8 Каноническая задача с непрерывной зависимостью от времени при фиксированном

1.4 Класс задач оптимального управления, сводящихся к каноническим Задачам А и В

1.5 Редукция задач оптимального управления к задаче отыскания

корней трансцендентных функций

Глава

КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ И ЧЕБЫШЕВСКИЙ СПЛАЙН. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ

2.1 Сплайны в гильбертовых пространствах

2.1.1 Определение и общие сплайнов в гильбертовых пространствах

2.1.2 Полиномиальные сплайны

2.2 Интерполяционный кубический сплайн

2.2.1 Определение интерполяционного кубического сплайна

2.2.2 Метод построения интерполяционного сплайна

2.2.3 Свойства интерполяционного кубического сплайна

2. 3 Сглаживающий кубический сплайн

2.3.1 Определение сглаживающего кубического сплайна

2.3.2 Методы вычисления сглаживающего кубического сплайна

2.4 Чебышевский сплайн в задаче аппроксимации функций

Глава

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ПОЕЗДОВ

3.1 Постановка задачи оптимального управления движением скоростного поезда

3.1.1 Критерий оптимальности

3.1.2 Описание объекта управления

3.1.3 Формулировка задачи

3.2 О применении принципа максимума в задаче управления движением поезда

3.2.1 Преобразование уравнения движения

3.2.2 Принцип максимума

3.2.3 Оптимальные режимы управления

3.2.4 Структура оптимальной траектории

3.2.5 Расчет функции p(s)

3.2.6 Расчет оптимального управления поездом

3.2.7 Учет ограничения скорости движения

3.2.8 Оптимальное управление электроподвижным составом с

рекуперативным торможением

3.3 Применение принципа максимума при дискретном регулировании силы тяги

3.3.1 Постановка задачи

3.3.2 Описание скользящих режимов

3.3.3 Оптимальные управляющие воздействия

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приложения

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Качественные и численные методы решения задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями на примере управления локомотивом»

Введение

Актуальность темы диссертации.

Задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями наиболее адекватно отражают свойства управляемого объекта. Большую роль при проектировании систем управления играют программные траектории. Из известных методов решения указанных задач являются: прямые методы; метод вариации фазовых переменных; метод штрафных функций; метод функций Лагранжа, принцип максимума. В вычислительном плане наиболее точные результаты получаются с использованием принципа максимума. Основы теории оптимального управления были заложены в работах JI.C. Понтрягина, H.H. Красовского, В. Г. Болтянского, А. А. Милютина, А. Я. Дубовицкого, Р. В. Гамкрелидзе, Р. Беллмана и других авторов [1-9].

Известно, что принцип максимума редуцирует исходную постановку задачи к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение краевых задач связано с выбором начальных значений сопряженных переменных и опирается, в основном, на требования хорошей обусловленности матрицы Якоби [32-39, 50, 57, 68, 69, 72].

Трудности исследования и численного решения таких задач связаны с алгебраическими ограничениями типа неравенства, а также со структурой сопряженной системы ОДУ. Для задач с фазовыми и нерегулярными смешанными ограничениями правые части сопряженных ОДУ содержат обобщенные функции. Особую трудность при численной реализации представляют траектории, близкие к нерегулярным. В этом случае сопряженные уравнения могут содержать малый параметр при производной, который зависит от времени [73-76].

Кроме того, одной из основных задач, возникающих при обработке результатов экспериментов, является задача интерполяции и

дифференцирования табличных данных. Из-за сложности математических моделей экспериментов процесс точного их восстановления более трудоемок по сравнению с построением модели, близкой по свойствам к модели эксперимента. Для более точного приближения построенной математической модели к эксперименту, помимо информации, полученной в результате эксперимента, используется априорная информация, которая задает дополнительные ограничения на поведение функции.

Известно, что наилучшее приближение для функций класса Ж22 [а, Ъ] (если / е Ж? [а, ъ\ то / интегрируемых в квадрате и /' абсолютно

ь

непрерывна ) с точки зрения функционала энергии вида дают

а

кубические сплайны [10, 18, 19]. То есть, кубический сплайн обладает минимальной кривизной среди всех интерполяционных функционалов, построенных по заданным точкам. Наиболее простым кубическим сплайном является интерполяционный кубический сплайн, методы вычисления которого являются базовыми для вычисления других видов сплайнов.

Однако область применения таких сплайнов ограничена таблицами, содержащими точные значения интерполируемой функции. То есть при использовании этого типа сплайнов мы должны быть уверены, что экспериментальные данные не содержат ошибок, которые могут быть внесены, например, регистрирующей аппаратурой. В случае наличия таких ошибок выполнение условий интерполяции приводит к искажению исходной функции, более того, при дифференцировании построенного сплайна его производная будет содержать высокочастотные «шумовые» осцилляции большой амплитуды, обусловленные некорректной операцией дифференцирования. Чтобы избежать такой ситуации используются сглаживающие кубические сплайны[22, 28].

В связи с указанными обстоятельствами возникает, с одной стороны, необходимость создания новых математических моделей, описывающих динамические процессы, с другой стороны, необходимость разработки методов, позволяющих оптимизировать и оценивать эффективность функционирования динамических систем. Так, в связи с проектированием и внедрением скоростных и высокоскоростных составов актуальными задачами являются изучение качественного поведения и устойчивости математических динамических моделей с учетом различных типов возмущений.

Предмет исследования - разработка эффективных методов и алгоритмов решения задач оптимального управления и задача аппроксимации профиля поверхности по которой движется транспорт.

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка и исследование эффективных качественных и численных методов решения задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями. Методы исследования настоящей работы опираются на схему Дубовицкого-Милютина; включая разработку и анализ алгоритмов а также программную реализацию предложенных алгоритмов, включая исследование и разработка методов и алгоритмов построения кубических сплайнов а также Чебышевского сплайна.

Теоретическая и методологическая основа диссертации. Теоретическую и методологическую основу диссертации составляют труды российских и зарубежных специалистов по методам оптимального управления. Основным инструментом для решения поставленных задач является принцип максимума (схема Дубовицкого-Милютина) и методы исследования сплайн-функций.

Научная новизна результатов диссертационной работы состоит в

исследовании методов решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями, сводящейся к последовательному решению линейных задач оптимального управления; проведении сравнительного анализа эффективности методов кубического и Чебышевского сплайнов. Во всех случаях проводились численные эксперименты по выяснению границ применимости предложенных методов.

Практическая ценность диссертации.

Разработанные методы, алгоритмы и программное обеспечение позволили решить три важные для практики задачи:

1. задачи аппроксимации функции;

2. задача оптимального управления движением поезда с учетом рельефа местности;

3. задача наилучшего прогноза элементов матрицы Якоби а также задача корректного численного дифференцирования.

Качественное исследование и вычислительные эксперименты подтверждают эффективность предложенной методики при решении практических задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями.

Апробация результатов исследования. Результаты диссертации докладывались и обсуждались в ВЦ РАН, ИСА РАН, ЦЭМИ РАН, ИПУ РАН, МФТИ.

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, подтверждается использованием математических моделей управления движением поезда, корректных алгоритмов аппроксимации и прогноза, методов статистической обработки информации и теории оптимального управления движением, а также проведенным математическим моделированием процессов оптимальной обработки результатов

измерений.

Публикации. Основные результаты исследования по теме диссертации опубликованы 4-х работах общим объемом 2,2 п.л., в том числе 3 работы в журналах и изданиях из перечня, рекомендованного ВАК РФ, объемом 1,5 п.л.

Структура и объем работы.

Диссертация содержит 110 страницы текста с 25 графиками и состоит из введения, 3 глав, заключения по работе, приложения и списка литературы.

В первой главе диссертационной работы излагается схема Дубовицкого-Милютина для задач с фазовыми и смешанными ограничениями. Приводятся постановки задачи Понтрягина, а также задач Блисса-Больца (Лагранжа-Майера). Изложение ограничивается принципом максимума П0.

Далее рассматриваются две задачи: каноническая задача

Дубовицкого-Милютина с гладкой зависимостью правой части

дифференциальных уравнений от времени; каноническая задача с

непрерывной зависимостью от времени при фиксированном .

Изложена редукция задач оптимального управления к задаче отыскания корней трансцендентных функций.

Во второй главе приводятся основные теории сплайнов в

гильбертовых пространствах и вводятся методы построения

интерполяционных, сглаживающих сплайнов и Чебышевского сплайна.

Излагаются существующие методы их построения. Решение конкретных

задач моделируется на компьютере.

В третье главе представлена постановка задачи оптимального управления движением скоростного поезда, проанализированы существующие методы ее решения и рассматривается возможность использования принципа максимума при оптимальном управлении движением скоростного поезда. Исследуем вариант дискретного регулировании силы тяги на базе принципа максимума.

Проведена структура оптимальной траектории движения скоростного поезда с учетом ограничений скорости движения. Проведен анализ оптимальных управляющих воздействий.

В заключении приведены основные результаты диссертации.

Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям доктору физико-математических наук Дикусару Василию Васильевичу и доктору технических наук Нгуен Куанг Тхоынг за помощь в работе над диссертацией, статьями, решении организационных вопросов, и научный опыт, переданный в процессе совместной деятельности.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Данг Тхи Май

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В заключении приведены основные результаты диссертации.

1. Проведён сравнительный анализ качества аппроксимации методом Чебышевского сплайна и кубического сплайна. По результатам экспериментов был сделан вывод о том что, ошибка аппроксимации функции по методу сплайн-Чебышева меньше.

2. Оптимальное управление скоростью поезда определялось с помощью принципа максимума. Рассмотрен вариант дискретного регулирования силы тяги на базе принципа максимума.

3. Предложенные алгоритмы реализованы программно в Матлабе 7.0 для решения задачи аппроксимации функций а также поставленных задач оптимального управления.

4. Для решения краевых задач использован метод продолжения по параметру.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Данг Тхи Май, 2012 год

Список литературы

[1]. А.А. Милютин, А.В. Дмитрук, Н.П. Осмоловский. Принцип максимума в оптимальном управлении, 2004.

[2]. А.П. Афанасьев, В.В. Дикусар, А.А. Милютин, С.А. Чуканов. Необходимое условие в оптимальном управнении. М.: Наука, 1990.

[3]. А.Я.Дубовицкий, А.А. Милютин. Необходимые условия слабого экстремума в общей задаче оптимального управления. М. : 1971.

[4]. Sergei М. Aseev and Arkady V. Kryazhimskiy. The Pontryagin Maximum Principle and Transversality Conditions for a Class of Optimal Control Problems with Infinite Time Horizons, 2005.

[5]. H.H Моисеев, Ю.П. Иванилов, E.M. Столярова. Методы оптимизации. М.: Наука 1978.

[6]. Pesch. Н. J., "Real-time computation of feedback controls for constrained optimal control problems, Part 1: Neighbouring extremals", Optim. control appl. Method, 10,129-145 (1989).

[7]. Pesch. H. J., "Real-time computation of feedback controls for constrained optimal control problems, Part 1: A correction method based on multiple shooting", Optim. control appl. Method, 10, 147-172 (1989).

[8]. O. Von Stryk and R. Bulirsch. Direch and indirect methods for trajectory optimization.

[9]. А.Я. Дубовицкий, А.А. Милютин. Задача на экстремум при наличии ограничений. Журнал вычислительной математики и математической физики, том 5, 1965.

[10]. С. Карлин, В. Стадден. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. М.: Наука, 1976.

[11]. Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко.

Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

[12]. Р.В. Гамкрелидзе, ГЛ. Харатишвили. Экстремальные задачи в линейных топологических пространствах. Известия АН СССР, сер. матем., т.ЗЗ, No.4, 1969, с. 781-839.

[13]. К.Ш. Цискаридзе, Экстремальные задачи в банаховых пространствах. Автореферат кандидатской диссертации. Тбилиси, Тбилисский государственный университет, 1973.

[14]. А. П. Афанасьев, В.В. Дикусар, А. А. Милютин, СВ. Чуканов. Необходимое условие в принципе максимума. М.: Наука, 1990.

[15]. В.П. Аноров. Принцип максимума для процессов с ограничениями общего вида.

[16]. А.М. Тер-Крикоров. Некоторые линейные задачи теории оптимального управления с фазовыми ограничениями. ЖВМ и МФ, N1, 1975, с. 55-66

[17]. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.

[18]. Е.А. Волков. Численные методы. М.: Наука, 1987.

[19]. Л. Коллатц, В. Крабе. Теория приближений чебышевские приближения и их приложения. М.: Наука, 1978.

[20]. Р.В. Гамкрелидзе, Г.Л. Харатишвили. Экстремальные задачи в линейных топологических пространствах. Известия АН СССР, сер. матем., т.ЗЗ, No.4, 1969, с. 781-839.

[21]. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация: Пер. с франц. - М.: Мир, 1975.-496с.

[22]. В.В. Вершинин, Ю. С. Завьялов, H.H. Павлов, Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживания, 1988.

[23]. Воскобойников Ю.Е., Мицель А. А. Решение обратных задач зондирования газовой составляющей атмосферы на основе дескриптивных сплайнов //Оптика атмосферы.-1991.т.4.№2-с.41-48.

[24]. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г., Седельников А.И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. Новосибирск, Наука, 1984.

[25]. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967. - 575 с.

[26]. 30.Игнатов М. И., Малоземов В. П., Певный А. Б. О сглаживании // Вестник ЛГУ. Сер. 1. 1989. Вып. 2 (№8). С. 7-11.

[27]. Мирошниченко В. Л. Достаточные условия монотонности и выпуклости для интерполяционных кубических сплайнов класса С //Приближение сплайнами.-Новосибирск. 1990. -Вып 137:Вычислительные системы, с.31-40.

[28]. А.И. Гребенников. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений, 1983

[29]. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.:Наука, 1980.

[30]. С.Б.Стечкин, Ю.Н. Субботин. Сплайны в вычислительной математике. М.:Наука, 1976.

[31]. Ярошевский В.А. Вход в атмосферу космических летательных аппаратов. —М.: Наука, 1988.

[32]. Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин A.A., Чуканов C.B. Необходимое условие в принципе максимума. — М.: Наука, 1990.

[33]. Дикусар В.В., Милютин A.A. Количественные и качественные методы в принципе максимума — М.: Наука, 1989.

[34]. Арутюнов A.B., Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. —М.: Факториал, 1997.

[35]. Дикусар В. В, Кошька М, Фигура А. Продолжение решений в прикладных задач оптимального управления. М.,МФТИ. 2001.

[36]. Дикусар В.В.,Шилов A.A. Оптимизация дальности при входе аппарата в атмосферу с учетом ограничений на величину полной перегрузки. Ученые записки ЦАГИ №2,1970.

[37]. Дикусар В. В, Кошька М, Фигура А. Качественные и количественные методы в задачах оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями. М.,МФТИ. 2001.

[38]. Б. Ш. Мордухович, Существование оптимальных управлений. В сб. Современные проблемы математики. Итоги науки и техники. M.: ВИНИТИ АН СССР, 1976, т.6, с.207-261.

[39]. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решений по параметру и наилучшая параметризация. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

[40]. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения.М.: Наука, 1985.

[41]. Петров Ю. П. Оптимальное управление движением транспортных средств. JI: Энергии. 1960. 96с.

[42]. Иоффе А. Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.:Наука, 1974, 376с.

[43]. Головичер Я. М. Исследование устойчивости релейной системы автоуправления скоростью поезда// Тр. МИИТ. 1976. Вып. 519. С.24-28.

[44]. Максимов В. М. Оптимальное распределение времени хода поезда по перегонам // Тр. МИИТ. 1975. Вып. 498. С. 48-52.

[45]. Б. В. Хакимов, Моделирование корреляционных зависимостей сплайнами.

[46]. Cari H. Fitzgerald & L. Schumaker. A differential equation approach to interpolation at extremal points, MRC Technical Summary Report, 731(1967).

[47]. S. Karlin & Z.Ziegler, Tchebycheffian spline functions, J. SIAM Num.Anal., 3 (1966), 514-543.

[48]. Schumaker L.L, Spline functions: Basic theory, 2007.

[49]. Апоров B. 77. Принцип максимума для процессов с ограничениями общего вида. I, II -Авт. И телемеханика, 1967, номер 3, с.5-15, номер 4, с.5-17.

[50]. Дикусар В.В., Кошъка М.М, Фигура А. .Задачи оптимального управления при наличии ограничений общего вида. М.: Изд. МФТИ, 2001.

[51]. А.К Тихонов, В.Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

[52]. В. А. Морозов. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

[53]. Ю.П. Боглаев. Вычислительная математика и программирование. М.: Высшая школа, 1990.

[54]. Баранов Л. А, Моисеев А. Б. Принципы построения микропроцессорных регуляторов времени хода поездов метрополитена // Вестник ВНИИЖТ. 1986. № 8. С. 8-12.

[55]. Баранов Л. А, Моисеев А.Б. Алгоритмы определения веса поезда в тяговом режиме//Вестник ВНИИЖТ. 1985. №5. С. 1-4.

[56]. Максимов В.М, Годяев А. И. Исследование процессов управления торможением подвижного состава метрополитена // Тр. МИИТ. 1982 Вып. 710. С. 86-89.

[57]. В.В Дикусар, A.A. Шилов. Нерегулярные оптимальные траектории аппарата при полете в атмосфере. Учен. зап. ЦАГИ, 1970, No.4, с. 73-83.

[58]. И.И. Кочетов. О новом способе выбора параметра регуляризации. // ЖВМ и МФ, 1976, Т. 16, No.2, с. 499-503.

[59]. Ф. П. Васильев. Методы оптимизации. Москва, Факториал Пресс 2002.

I 107

[60]. Р. Габасов. Ф.М. Кириллова. Конструктивные методы оптимизации. Минск, 1984.

[61]. Jae Н. Park. Chebyshev Approximation of Discrete Polynomials and Splines, 1999.

[62]. Б.В. Хакимов. Моделирование корреляционных зависимостей сплайнами на примерах в геологии и экологии, 2003.

[64]. Базара М. Шетти К. Нелинейное программирование: Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1982.-460с.

[65]. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987.-630 с.

[66]. Н. Kreim, В. Kugelmann, Н. J. Pesch, М. Н. Breitner. Minimizing the Maximum heating of a reentering space shuttle: An optimal control problem with multiple control constrains.

[67]. Вершинин В. В. О сглаживающих сплайнах и их производных -Новосибирск, 1980 -20с.

[68]". В. В. Дикусар. Задачи оптимального управления при наличии ограничений общего вида. М.: МФТИ, 1983.

[69]. А.Я. Дубовицкий, А.А.Милютин. Теория принципа максимума. В кн.: Методы теории экстремальных задач в экономике. М.:Наука, 1981

[70]. Bryson, А.Е.; Y.-C. Но. Applied Optimal Control . Rev. Printing. (HemispherePublishing Corporation, New York, 1975).

[71]. У.И. Зангвилл. Нелинейное программирование. M.: Наука, 1973.

[72]. Дикусар В.В., Зубов Н.В. Задачи оптимального управления движением судна. Труды ИСА РАН, 2009. Т. 42(2).

[73]. Дикусар. В.В. Задачи на экстремум при наличии ограничений, 1999.

[74]. Дикусар. В.В. Методы регуляризации вырожденного и нерегулярного принципа максимума, 2008.

[75]. Шалашилин В. И., Кузнецов Е. Б. Метод продолжения решений по параметру и наилучшая параметризация. M.: URSS, 1999.

[76]. Крылова М. В., Дикусар В. В., Зубов Н. В. Критерий полной управляемости для нестационарных дискретных систем управления. Труды ИСА РАН Динамика неоднородных систем, Т. 42(2). М: Изд. Либроком, 2009, с.35-39.

[11]. Головичер Я. М. Исследование устойчивости релейной системы автоуправления скоростью поезда// Тр. МИИТ. 1976. Вып. 519. С.24-28.

[78]. Максимов В. М. Аппаратурная погрешность устройства автоматического управления торможением // Тр. МИИТ . 1978. Вып. 612. С. 115-118.

[79]. Почаевец Э.С. Исследование оптимального тягового режима электроподвижного состава // Тр. МИИТ. 1967. Вып. 282. С 82-92.

[80]. Л.А. Баранов, Е. В .Ерофеев, В. И. Астранхан, В.М. Максимов. Системы автоматического и телемеханического управления электроподвижным составом. Под ред. Л.А. Баранов М.: Транспорт, 1984. 311с.

[81]. Н.К Тхыонг, Д.Т.Май, О задаче оптимального управления движением скоростных поездов. Труды ИСА РАН Динамика неоднородных систем, Т.49(1), 2010, с 43-48.

[82]. Н.К. Тхыонг, Д.Т.Май, О применении принципа максимума в задаче управления движением поезда. Труды ИСА РАН Динамика неоднородных систем, Т.49(1), 2010, с 49-56.

[83]. Д. Т. Май. Применение сплайнов Чебышева в задаче аппроксимаций функций. Труды ИСА РАН Динамика неоднородных систем,Т.53(1), 2010, с.225-233.

[84]. Дикусар В.В, Н. К.Тхыонг, Д. Т. Май. О минимуме максимального

суммарного нагрева спускаемого аппарата. «Оптимизация и приложение».2 -М.: ВЦ РАН, 2011, с.84-94.