Задача оптимального управления ресурсами промышленного предприятия с учетом взаимодействия со смежными предприятиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Старинец, Дмитрий Владимирович

• Старинец, Дмитрий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Старинец, Дмитрий Владимирович

Введение.

Глава 1. Модель динамического взаимодействия двух промышленных предприятий.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Условия существования, единственности и оптимальности.

1.3. Проблема тривиальности решения сопряженной задачи.

1.4. Регуляризация принципа Максимума.

1.5. Продолжение решений по параметру.

Глава 2. Математическое моделирование линейных динамических систем со смешанными ограничениями.

2.1. Постановка параметрической задачи оптимального управления.

2.2. Необходимые условия оптимальности для общей задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина и формализм Дубовицкого-Милютина.

2.3. Линейные параметрические модели с ограничениями смешанного типа.

2.4. Условия оптимальности для линейных задач.

2.5. Задачи оптимального управления 1 и 2.

Глава 3. Решение линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями методом дискретизации по времени.

3.1. Построение конечно-разностной аппроксимации модели.

3.2. Схема решения параметрических задач оптимального управления.

3.2.1. Получение аппроксимации решения прямой задачи.

3.2.2. Выделение множества активных ограничений.

3.2.3. Построение аппроксимации решения сопряженной задачи.

3.3. Сходимость дискретных аппроксимаций.

Глава 4. Задачи линейного программирования.

4.1. Различные формы задач линейного программирования (ЛП).

4.2. Двойственность в задачах ЛП.

4.3. Метод эллипсоидов.

4.4 Метод внутренней точки.

4.5. Барьерно-проективные методы.

4.6. Устойчивость задач ЛП.

4.7. Регуляризация неустойчивых задач.

4.8. Обобщённая задача ЛП.

Выводы.

Список публикаций автора.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача оптимального управления ресурсами промышленного предприятия с учетом взаимодействия со смежными предприятиями»

Актуальность. Развитие отечественного промышленного производства за счет повышения эффективности взаимодействия промышленных предприятий может обеспечить решение целого ряда острых производственных и социально-экономических проблем в условиях кризиса. При этом необходимо отметить, что замещение импорта должно помочь развитию отечественного производства и проведению технического перевооружения российских предприятий, значительный износ оборудования которых приводит к снижению эффективности промышленного производства в целом. Эти вопросы становятся достаточно актуальными в современных условиях экономического кризиса.

Отметим, что показатели конкурентоспособности улучшаются при объединении предприятий в рамках корпорации. Большую роль приобретают методики и технологии, которые позволяют повысить уровень производственных и социальных показателей. Особо важное значение приобретают методы подготовки и принятия эффективных управленческих решений.[33-35],[54].

Наступивший кризис промышленного производства выявил очевидную необходимость пересмотра методов управления промышленными предприятиями в сторону улучшения эффективности потребления ресурсов. Настоящая работа посвящена решению важной частной задачи — улучшению эффективности взаимодействия промышленных предприятий. Цель работы. Целью работы является: построение модели взаимодействия промышленных предприятий в условиях кризиса производства; решение задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями (схема Дубовицкого-Милютина [9]-[11]) для разработанной модели; решение задач линейного программирования большой размерности методом продолжения решения по параметру [24]-[30]; на основании проведенных исследований - предоставить возможность выработки обоснованных эффективных управленческих решений для оптимального развития промышленного производства в условиях кризиса. Методы исследования. Основным инструментом для решения поставленных задач является принцип максимума (схема Дубовицкого-Милютина) и метод продолжения решения по параметру. Поставленные задачи (за счет дискретизации обыкновенных дифференциальных уравнений) сводятся к задачам линейного и нелинейного программирования большой размерности [20]-[23], [36]-[39], [43], [44], [53], [55], [62], [63],[87-97]. Применение принципа максимума в дискретном варианте сводит первоначальную задачу к задаче линейного программирования большой размерности. В качестве параметра выступает время. Это позволяет сначала на малом отрезке решать задачу малой размерности и затем полученное приближение используется при его продолжении по параметру. Научная новизна.

Решена новая важная задача эффективного управления ресурсами с учетом взаимодействия двух промышленных предприятий в условиях кризиса производства.

Разработан новый эффективный подход к решению задачи линейного программирования большой размерности за счет продолжения решения по параметру. Для интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений разработаны специальные явные схемы [24]-[29], [63], [80], которые показали свою эффективность при численном решении указанных систем. Также были применены методы параметризации при качественном и численном решении задачи взаимодействия двух промышленных предприятий [33]. В предложенной модели принцип максимума выполняется тривиально, т.е. является вырожденным. Для построения содержательного принципа максимума в правые части обыкновенных дифференциальных уравнений вводятся малые параметры, которые позволяют исследовать задачу с помощью классического принципа максимума [1]-[16]. Данный подход является новым, так как по существу применяется регуляризация основной задачи в отличие от известных работ, в которых регуляризация применяется для сопряженной системы уравнений. Обоснованность научных положений.

Теоретические положения и выводы диссертации сформулированы в виде утверждений и теорем, которые строго доказаны. Практическая ценность.

Модели, методы и алгоритмы, разработанные в диссертации, применялись для решения практических задач взаимодействия промышленных предприятий, а также в учебном процессе в Московском Физико-Техническом институте и в Вычислительном Центре РАН. Предложенные методы продолжения решения по параметру, а также методы регуляризации вырожденных задач могут быть использованы в теоретических исследованиях при решении прикладных задач оптимального управления. Был адаптирован пакет прикладных программ БАЛАНС-2 для решения задачи ЛП и использован для практических численных расчетов показателей эффективности производства на модельном примере (с применением метода продолжения решения по параметрам).[27], [41],[62],[80].

Апробация работы.

Основные положения исследования докладывались и обсуждались на международной конференции в Черногории (International Conference «Nonlinear Analysis and Optimization Problems», Montenegrin Academy of Sciences and Arts, Petrovac, Montenegro, October 06th - 10th , 2008), на 14-ой Байкальской школе-семинаре СО РАН «Методы оптимизации и их приложения». (Иркутск-Байкал 2-8-го июля 2008г.) и на научных семинарах в МФТИ и в ВЦ РАН.

Личный вклад.

1) Проведен качественный и количественный анализ задачи эффективного управления взаимодействием двух промышленных предприятий.

2) Разработан прямой численный метод построения гипотезы по определению множества активных индексов для задачи управления с ограничениями типа неравенств (геометрия оптимальной траектории).

3) Предложена регуляризация вырожденного случая принципа максимума.

4) Разработан явный эффективный численный метод решения жестких систем ОДУ.

5) Автором адаптирован пакет прикладных программ БАЛАНС-2, использование которого позволяет выработать обоснованные управленческие решения.

Публикации. Основные результаты исследования отражены в восьми публикациях. Список работ приведен в конце автореферата. В совместных работах автору принадлежит 50% результатов.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, шести рисунков, одной таблицы и двух приложений. Список использованной литературы составляет 109 наименований.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Старинец, Дмитрий Владимирович

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1 Дикусар В.В., Старинец Д. В.Управление риском портфеля ценных бумаг Труды ИСА РАН. Т.31(1) Динамика неоднородных систем. 2007г.С. 14-22.

2 Старинец Д. В. Методы продолжения при решении краевых задач оптимального управления. Труды ИСА РАН. Т.31(1) Динамика неоднородных систем. 2007г.С.74-80.

3 Дикусар Э.В., Чекарев Д.А., Старинец Д.В. Достаточные условия экстремума в линейной задаче оптимального управления. Труды ИСА РАН. Т.32(1) Динамика неоднородных систем. 2008г С. 16-23.

4 Дикусар Э.В., Чекарев Д.А., Старинец Д.В. Сходимость дискретных аппроксимаций. Труды ИСА РАН. Т.32(1) Динамика неоднородных систем. 2008г. С. 101-110.

5 Дикусар Э.В., Чекарев Д.А., Старинец Д.В. Численно-аналитический метод решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями. Труды ИСА РАН. Т.32(1) Динамика неоднородных систем. 2008г.С. 111-122.

6 Дикусар В.В., Старинец Д.В. Методы интегрирования жестких систем явными методами. Труды 14-ой Байкальской школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». Иркутск-Байкал 2-8-го июля 2008г. т.З ИСЭМ СО РАН 2008. С. 77-85.

7 Dikusar V.V., Starinets D.V. Continuation methods for solving boundary value problems. Abstracts of International Conference «Nonlinear Analysis and Optimization Problems», Montenegrin Academy of Sciences and Arts, Petrovac, Montenegro, October 06th - 10th , 2008. P.37.

8 Dikusar V.V., Starinets D.V. Determined portfolio dynamic problem. Abstracts of International Conference «Nonlinear Analysis and Optimization Problems», Montenegrin Academy of Sciences and Arts, Petrovac, Montenegro, October 06th - 10th, 2008. P.38

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Старинец, Дмитрий Владимирович, 2009 год

1.J. Arrow. Applications of control theory to economic growth. Mathematics of the decision sciences, part 2, 1968, American mathematical Society, Providence, Rhode 1.land.

2. O.L. Mangasarian. Sufficient conditions for the optimal control of nonlinear systems. SI AM. J. Control 4 (1966), P. 139-151.

3. Fiacco Anthony V., McCormick Garth P. Nonlinear Programming: Sequential Unconstrained Minimization Techniques. John Wiley and Sons, Inc., New York, 1968.

4. Ho J.K. Nested decomposition and multistate linear programs. Management Science, 1973. Vol. 20. № 3. pp. 282-292.

5. Milyutin A.A., Osmolovskii N.P., Calculus of Variations and Optimal Control. AMS, Providencs, Rhode Island, 1998.

6. Stoer J, Bulirsch P., Introduction to Numerical Analysis. Springer-Verlag, 1990.

7. Алифанов O.M., Артюхин E.A., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

8. Арутюнов А.В. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Изд-во "Факториал", 1997.

9. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш. школа, 2003.

10. Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин А. А., Чуканов С.А. Необходимое условие в оптимальном управлении. — М.: Наука, 1990.

11. Афанасьев А.П. Линейные по управляющим воздействиям задачи оптимального управления. Препринт. М.: ВНИИСИ.

12. Белухин В.П. Параметрический метод решения задач линейного программирования Автоматика и телемеханика, 1975. № 3. С. 95-103.

13. Бетт Дж. Сведение задачи оптимального управления к задаче нелинейного программирования большой размерности. Корпорация Боинг. 1998.

14. Биргер Е.С., Пестряков А.К. О численном отыскании допустимого плана развития экономики. Автоматика и телемеханика, 1976. № 14. С. 102-108.

15. Бирюков С.И., Шибанов А.В. Алгоритм поиска сбалансированного плана в динамической модели экономики. В сб. "Моделирование и управление в развивающихся системах". М.: Наука, 1978. С. 76-81.

16. Будак Б.М., Бертович Е.М. Разностные аппроксимации для задач оптимального управления с подвижными концами при наличии фазовых ограничений. I. П. III "Вестник МГУ. Матем. механика", 1969, №6. Стр. 5968; 1970, №1, Стр. 39-47; 1970, №2. Стр 23 32.

17. Вайнберг М.М. Функциональный анализ. М., Просвещение. 1979.

18. M.J7. Вайцман, А.Г. Шмидт. Принцип максимума для дискретных экономических процессов на бесконечном интервале времени. Кибернетика. 1971. № 5.

19. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

20. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М, Факториал, 2002.

21. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М.: Факториал, 1998.

22. Гилязов С.Ф. Приближенное решение некорректных задач. М.: МГУ, 1995.

23. Данциг Дж. Линейное программирование, его обобщения и применения. М.: Прогресс, 1966.

24. Дикусар В.В. Методика численного решения краевых вариационных задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Автореферат дисс. д.ф.-м.н., Дубна, ОИЯИ, 1982.

25. Дикусар В.В., Милютин А.А, Качественные и численные методы в принципе максимума. М., Наука, 1989.

26. Дикусар В.В., Кошъка М., Фигура А. Методы продолжения решений в прикладных задачах оптимального управления. М., МФТИ, 2001.

27. Дикусар В.В., Гживачевский М., Кошъка М., Фигура А. Методы продолжения решений в прикладных задачах оптимального управления. М.,МФТИ, 2001.

28. Дикусар В.В., Кошъка М., Фигура А. Задачи оптимального управления при наличии ограничений общего вида. М., МФТИ, 2001.

29. Дикусар В.В., Кошъка М., Фигура А. Методы решения плохо обусловленных линейных систем. М.: ВЦ РАН, 2001.

30. Дикусар В.В., Синягин С.Ю. Качественные и численные методы в задаче оптимального управления внешним долгом: Сообщ. по прикл. матем. / ВЦ РАН. М., 2000.

31. Дубовицкий А.Я., Дубовицкий В.А. Принцип максимума траекторий, границы которых лежат на фазовой границе. Черноголовка. Препр., 1988.

32. Дубовицкий А.Я., Дубовицкий В.А. Критерий существованиясодержательного принципа максимума в задаче с фазовыми ограничениями. М., Дифференциальные уравнения, т.31, №10, 1995.

33. Дюкалов А.Н., Иванов Ю.Н., Илютович А.Е., Токарев В.В., Уздемир А.П. Методы решения линейных динамических задач экономическогопланирования. В сб. "Измерения, контроль, автоматизация", 1979, № 5. Стр. 43-54.

34. Дюкалов А.Н., Илютович А.Е. Магистральные свойства оптимальных траекторий динамической модели межотраслевого баланса в непрерывном времени. Автоматика и телемеханика, 1074. № 6. Стр. 59-89.

35. Дюкалов А.Н. Некоторые задачи прикладной математической экономики. М.: Наука, 1983.

36. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

37. Еремин И.И., Мазуров В.Д. Нестационарные процессы математическогопрограммирования. М., Наука, 1979.

38. Ермольев Ю.М., Гуленко В.П., Царенко Т.И. Конечно-разностный методв задачах оптимального управления. Киев: Наукова думка, 1978.

39. Измайлов А.Ф., Третьяков А.А., 2-регулярные решения нелинейных задач. М., Физматгиз, 1999.

40. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964.

41. Коротких М.П. Язык «/,» моделирования динамических систем. МФТИ,1993.

42. Косарев В.И. 12 лекций по вычислительной математике. М.: Изд-во МФТИ, 2000.-224 с.

43. Кривобок И.Г. Методы решения линейных динамических задач экономического планирования, основанные на декомпозиции по времени. Автореф. дисс. к.ф.-м.н. М.: ИСА РАН, 1986.

44. Кривоножко В.Е., Чеботарев С.П. О методе факторизации в задачах линейного динамического программирования. Автоматика и телемеханика, 1976. № 6. Стр. 80-90.

45. Крылов И. А., Черноусъко Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления. ЖВМиМФ, 1962, Т. 2, № 6, Стр. 1132 1139.

46. Левиков А.А. Об условиях экстремума для выпуклой задачи оптимального управления. М.: 1982. 60 с. (Препринт ВЦ АН СССР).

47. Левиков А.А. Предельные свойства линейной задачи оптимального управления. ЖВМиМФ, 1977. Т. 17. № 4. С. 879-889.

48. Любушин А.А. О применении модификаций метода последовательных приближений для решения задач оптимального управления. ЖВМиМФ, 1982. Т.22,№1. Стр. 30-35.

49. Мееров М.В., Литвак Б.Л. Оптимизация систем многосвязного управления. М.: Наука, 1972.

50. Милютин А.А., Илютович А.Е., Осмоловский Н.П., Чуканов С.В. Оптимальное управление в линейных системах. М., Наука, 1993.

51. Мордухович Б.Ш. Существование оптимальных управлений. М., Сб. "Итоги науки и техники. Современные проблемы математики" т.6, (стр. 205-261), М., ВИНИТИ. 1976.

52. Морозов В.А. Алгоритмические основы методов решения некорректно поставленных задач. Сб. "Численный анализ: теория, приложения, программы". М.: МГУ, 1999, Стр.3-26.

53. Муртаф В. Современное линейное программирование. М.: Мир, 1984.

54. Петров А.А. Проблемы математического описания экономических процессов и системного анализа экономики. Сб. "Математическое моделирование: Методы описания и исследования сложных систем". М.: Наука, 1989.

55. Поляк Б. Т. Об одном методе решения задач линейного и квадратичного программирования большого объема. М.: МГУ, 1969, вып. 12, Стр. 10-17.

56. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., Физматгиз, 1976.

57. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 2001.

58. Попов Л.Д. Несобственные задачи оптимизации, методы их оптимальной коррекции и приложения. Автореферат дисс. д.ф.-м.н., Новосибирск, Институт математики им. С.Л.Соболева, 1997.

59. Пропой А.К, Ядыкин А.Б. Модифицированные соотношения двойственности в задачах линейного динамического программирования. Автоматика и телемеханика, 1975, № 5. Стр. 106 114.

60. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем. I, II Автоматика и телемеханика, 1959. Т. XX, № 10. Стр. 1320-1334; № 11, Стр. 1441-1458.

61. Тер-Крикоров A.M. Оптимальное управление и математическая экономика. М.: Наука, 1977

62. Умное А.Е. Система содействия принятию решений «Баланс». М.: МФТИ, 1991.

63. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М., Наука, 1978.

64. Федосеев А.В. Оптимальное управление в трехсекторной модели экономики слаборазвитой страны. ЖВМиМФ. Т.12. №4. 1971.

65. Чарный В.К Функциональные методы решения линейных динамических задам экономического планирования. Автоматика и телемеханика, 1975. № 11. С. 159 169.

66. Чекарев Д.А. Построение класса чисел с плавающей точкой повышенной точности. // Управление и обработка информации: модели процессов: Сб.ст./Моск. физ.-тех. ин-т. -М., 2001. С. 244-248.

67. Чекарев Д.А. Схема получения численного решения сопряженной задачи по известному численному решению прямой в задаче оптимального управления. // Обработка информации и моделирование: Сб.ст./Моск. физ.-тех. ин-т. М., 2002. - С. 329-332.

68. Чекарев Д.А. Модель экономической системы с эффектом накопления в задаче оптимального управления внешним долгом. // Моделирование иобработка информации: Сб.ст./Моск. физ.-тех. ин-т. М., 2003. - С. 39-43.

69. Умное А.Е., Умное Е.А., Чекарев Д.А. Анализ эффективности схем дискретной аппроксимации в задачах оптимального управления. // Моделирование и обработка информации: Сб.ст./Моск. физ.-тех. ин-т. -М., 2003.-С. 44-52.

70. Умное А.Е., Умное Е.А., Чекарев Д.А. Использование метода параметризации в задачах оптимального управления со смешанными ограничениями. // Моделирование процессов управления: Сб.ст./Моск. физ.-тех. ин-т. -М., 2004. С. 124-131.

71. Умное А.Е., Умное Е.А., Чекарев Д.А. Параметрический двухуровневыйметод решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями. // Моделирование процессов управления: Сб.ст./Моск. физ.-тех. ин-т. М., 2004. - С. 132-140.

72. Умное А.Е., Умное Е.А., Чекарев Д.А. Оценки погрешности дискретнойаппроксимации решения задач оптимального управления со смешаннымиограничениями. // Моделирование процессов управления: Сб.ст./Моск. физ.-тех. ин-т. М., 2004. С. - 141-148.

73. Дикусар В.В., Чекарев Д.А. Численно-аналитический метод решения задач оптимального управления: Сообщ. по прикл. матем. / ВЦ РАН. М., 2004.-31с.

74. Чекарев Д.А. Увеличение разрядной точности решателя посредством введения нового класса чисел с плавающей точкой повышенной точности. XLIII Научная конференция МФТИ: Тез. докл. М., 2000, ч. VII С. 27.

75. Чекарев Д.А. Оценка погрешности численного решения задачи оптимального управления для линейной модели управления внешним долгом. XLVI Научная конференция МФТИ: Тез. докл. М., 2003, С. 91.

76. Черноусъко Ф.Л., Колмановский В.Б., Вычислительные и приближенные методы оптимального управления. М., Сб. "Итоги науки и техники. Математический анализ", т.14, 1977.

77. Чуканов С.В. О непрерывной зависимости решений задачи оптимального экономического планирования от условий задачи. Автоматика и телемеханика, 1978. № 5. Стр. 113

78. Шалашилин В.К, Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решений по параметру и наилучшая параметризация. Эдиториал. УРСС, 1999.

79. Шатровский Л. И. Об одном численном методе решения задач оптимального управления. М., ЖВМ и МФ, 1962, №2.

80. Шикин Е.В. Линейные пространства и отображения. М.: МГУ, 1987.

81. Шмидт А.Г. Учет фазовых ограничений в задачах оптимизации на конечном и бесконечном интервалах времени. В сб. "Математическая экономика", 1982. Стр. 233-247

82. А. Ашманов Линейное программирование. М., Наука, 1981.

83. А.Г Сухарев, А.В. Тимохов, В.В. Фёдоров. Курс методов оптимизации. М., Наука, 1986.

84. Д.В. Беклемишев. Дополнительные главы линейной алгебры. М., Наука, 1983.

85. Л.Г. Хачиян. Полиномиальный алгоритм в линейном программировании. ДАН СССР, 1979, 244, №5, с. 1093-1096.

86. Д.Б. Юдин., А.С. Немировский. Информационная сложность и эффективные методы решения выпуклых экстремальных задач. Экономика и мат. методы, XII, № 2, 1976.

87. Н.З. Шор. Метод отсечения с растяжением пространства для решения задач выпуклого программирования. Кибернетика, -1977,-№ 1.

88. Л.Г. Хачиян. Сложность задач линейного программирования. Новое в жизни, науке, технике. Серия математика, кибернетика, 10 М., Знание, 1987.

89. Karmarkar N.K. A new Polynomial Time Algorithm for Linear Programming, Combinatorica 4, pp. 373-395, 1984.

90. Fiacco A.V. and McCormick. Nonlinear Programming: Sequential Unconstrained Mimmization Techniques, John Wiley and Sons, New York, 1968.

91. B. Jansen, C. Roos, T. Terlaky, J-Ph. Vial. Interior Poin Methodology for Linear Programming: Duality, Sensivity Analysis and Computational Aspects. Report 93-28. Delft University of Technology. Delft 1993.

92. Ю.Г. Евтушенко, В.Г. Жадан. Барьерно-проективные и барьерно-ньютоновские численные методы оптимизации (случай нелинейного программирования). Сообщения по вычислительной математике. М., ВЦ РАН, 1991.

93. Ю.Г. Евтушенко, В.Г. Жадан; Барьерно-проективные и барьерно-ньютоновские численные методы оптимизации (случай линейного программирования). Сообщения по вычислительной математике. М., ВЦ РАН, 1992.

94. Y.G. Yevtushenko, V.G. Zhadan. Stable Barrier-Projection and Barrier-Newton Methods for Linear and Nonlinear Programming In "Algorithms for

95. Continuous Optimization. The State of Art". NATO ASI Series. Vol. 434. Kluwer Academic Publishers, 1994, pp. 255-286.

96. Дикусар В.В. Обобщённая задача линейного программирования. Доклады РАН, том 348, №6, 1996, с. 1-3.