Задача уклонения от столкновения для линейных управляемых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Лукьянова, Лиля Николаевна

• Лукьянова, Лиля Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лукьянова, Лиля Николаевна

Введение

1 Задача уклонения от столкновения с препятствием для линейных управляемых систем

1.1 Постановка задачи.

1.2 Вспомогательная задача управляемости.

1.3 Кривая обхода

1.4 Интегральное уравнение.

1.5 Достаточные условия существования решения в задаче уклонения от столкновения с препятствием в виде звездного множества.

1.6 Пример 1. Решение задачи уклонения от столкновения с выпуклым препятствием для инерционной управляемой системы

1.7 Пример 2. Решение задачи избежания столкновения с выпуклым препятствием для инерционной системы с трением

1.8 Пример 3. Решение задачи избежания столкновения с выпуклым препятствием для инерционного объекта с трением и демпфированием.

1.9 Задача уклонения от столкновения для аппроксимированного препятствия

1.10 Пример 4. Решение задачи уклонения от столкновения с невыпуклым препятствием для инерционной системы

2 Задача выживания траектории линейной управляемой системы при ее движении внутри фазового ограничения к целевому множеству

2.1 Постановка задачи.

2.2 Внутренняя кривая для фазового ограничения.

2.3 Достаточные условия существования решения задачи выживания траектории линейной управляемой системы при ее движении внутри фазового ограничения к целевому множеству

2.4 Пример 5. Решение задачи выживания траектории инерционной управляемой системы при наличии фазового ограничения

2.5 Задача выживания траектории линейной управляемой системы при ее движении внутри фазового ограничения, содержащего препятствие, к целевому множеству

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача уклонения от столкновения для линейных управляемых систем»

В диссертации рассматривается задача уклонения от столкновения для линейных управляемых систем с двумя типами фазовых ограничений. Первый тип фазовых ограничений — ограничения, при которых допустимая область — внешность некоторого открытого множества (фазовое ограничение типа препятствия). Второй тип фазовых ограничений ограничения, при которых допустимая область — внутренность некоторого замкнутого множества. Для второго типа фазовых ограничений нужно обеспечить уклонение от столкновения траектории с точками дополнения к внутренности замкнутого множества.

Объектом исследования являются динамические управляемые системы, описываемые дифференциальным уравнением х(Ь)=Ах{$) + Ви(Ь)1 х(0) = х°, (0.0.1) где £ > 0, х Е Еп, и £ Р С Ер, Еп — п-мерное евклидово пространство, Р — выпуклый компакт; 1тйР ф 0, и — параметр управления, А, В — постоянные матрицы размерности п х п, п х р соответственно. Допустимые управления — измеримые по Лебегу функции и{Ь) со значениями во множестве Р. В пространстве Еп заданы замкнутое целевое множество М\ и фазовое ограничение в виде открытого множества Р. Предполагается, что х° £ ' М\ Г) Р = = М1 + Мх2, где М1 — линейное подпространство из Еп, М\ — выпуклый компакт из Ь1, Ь1 ортогональное дополнение к М1 в Еп. Скажем, что для начальной позиции я0 линейной динамической системы (0.0.1) существует решение задачи уклонения от,столкновения с фазовым ограничением Р при движении вектора &(£) к множеству М\, если найдется допустимое управление и({) и конечный момент времени Т > 0 такие, что х(Т) £ М\ и х(Ь) ^ Р, £ £ [0, Т]. Рассматривается задача о нахождении достаточных условий на параметры системы (0.0.1), при которых для начальной позиции xQ существует решение задачи уклонения от столкновения с фазовым ограничением F при движении к множеству М\.

Исследуются фазовые ограничения F двух типов. Первым типом фазовых ограничений будем называть такие ограничения, для которых выполнено условие F = M1 + , где М| — звездное [31] ограниченное, открытое множество из L1. Такие ограничения в литературе называются ограничениями типа препятствия. Вторым типом фазовых ограничений будем называть такие ограничения, для которых выполнено условие F = Еп \ ( М1 + М|), где М| — звездное компактное множество из L1. Задачи избежания столкновения траектории системы с фазовыми ограничениями второго типа в литературе получили название — задачи выживания (термин принадлежит Aubin J.P. [103]) траектории внутри ограничивающего множества M1 + М|.

Задачи уклонения от столкновения с препятствием для игровых задач управления исследовались в работах JI.C. Понтрягина, Е.Ф. Мищенко, Р.В. Гамкрелидзе, H.H. Красовского, Ю.С. Осипова, А.И. Субботина, Ф.Л. Черноусько, М.С. Никольского, Б.Н. Пшеничного, Н.Ю. Сатимо-ва, H.JI. Григоренко, A.A. Чикрия, А. Азамова, В.В. Остапенко, В.Н. Ушакова, B.C. Пацко и др.

Приведем некоторые из таких результатов, сформулированные для случая управляемых процессов.

В начале семидесятых годов прошлого века JI.C. Понтрягин и Е.Ф. Мищенко [77] сформулировали задачу уклонения от столкновения с препятствием. Ими предложено эффективное решение задачи уклонения от столкновения для линейной управляемой системы и препятствия в виде линейного подпространства. В основе предлагаемого метода уклонения от столкновения лежит маневр обхода точки на плоскости, позволяющий на конечном отрезке времени строить локальное управление, уклоняющее проекцию траектории от встречи с нулевой точкой. Различные варианты итерирования такого локального управления на отрезке времени

О, оо) приводят к различным траекториям обхода препятствия и различным оценкам снизу для расстояния от траектории до препятствия в процессе движения, в том числе и Z-оценке. Величина I зависит от параметров управляемого процесса и в общем случае может быть малой. Отметим также, что в постановке задачи уклонения от столкновения по Понтрягину и Мищенко ставилась задача удержания траектории вне препятствия и не ставилась задача о необходимости достижения траекторией целевого множества за конечное время.

В работе JI.C. Понтрягина [78] исследованы грубый и тонкий случаи в теории уклонения от столкновения, разработаны новые маневры обхода и построены управления, гарантирующие избежание столкновения траектории системы с препятствием в виде линейного подпространства на бесконечном отрезке времени.

В работе Е.Ф. Мищенко, Н.Ю. Сатимова и М.С. Никольского [57] метод уклонения от столкновения Понтрягина и Мищенко был развит на нелинейные игры и случай игр многих преследователей и одного убегающего. В этой работе содержатся достаточные условия существования решения задачи уклонения от столкновения для нелинейных управляемых процессов в случае препятствия в виде линейного подпространства и в случае невыпуклого препятствия — объединения линейных подпространств.

В работе Б.Н. Пшеничного [81] предложен метод решения задачи уклонения траектории линейной системы рт столкновения с терминальным множеством, называемый методом уклонения по направлению. Он содержит достаточные условия существования управления, гарантирующего уклонение от столкновения и метод построения управления. Развитию этого метода на новые классы управляемых процессов посвящена работа Б.Н. Пшеничного, A.A. Чикрий, И.О. Раппопорта [82].

В работе Б.Н. Пшеничного и В.В. Остапенко [80] предложен способ решения задачи уклонения от столкновения траектории линейной и нелинейной систем от встречи с терминальным множеством, основанный на построении ряда маневров "уклонения" и "разгона". Построено также управление уклонения от столкновения для управляемой системы с запаздывающим аргументом. •. .

Особенность задач уклонения от столкновения в перечисленных выше работах заключалась в том, что исследовался вопрос о достаточных условиях уклонения от столкновения из любой начальной позиции не принадлежащей препятствию. Поэтому результатом исследования было построение "локального" управления, гарантирующего уклонение от столкновения лишь в малой окрестности препятствия. Вопрос о возможности построения на основании такого "локального" управления уклонения от столкновения "глобального" управления, обеспечивающего приход траектории на целевое множество и одновременное уклонение от столкновения с препятствием в этих работах не рассматривался и в настоящее время является открытым.

Задача уклонения от столкновения для дифференциальных игр уклонения от многих преследователей, обладающих простым движением, была сформулирована и исследована ФЛ. Черноусько [97]. В этой работе построен такой способ управления, который обеспечивает движение уклоняющейся точки в фиксированной окрестности заданного прямолинейного движения и уклонение от всех преследователей на фиксированное расстояние. В основе подхода лежит конструкция локального управления обхода и многошаговая рекуррентная процедура его применения на отрезке времени [0, со).

В работе Н.Н. Красовского и А.И. Субботина [38] предложены достаточные условия существования решения задачи уклонения от столкновения с препятствием на конечном отрезке времени.

Таким образом, задача отыскания достаточных условий на параметры системы (0.0.1), при которых для начальной позиции х° существует решение задачи уклонения от столкновения с телесным препятствием при движении к целевому множеству исследована, в настоящее время, в ряде важных случаев и ее рассмотрение в более общем виде является актуальным.

Задачи управления при наличии фазового ограничения второго типа исследовались в работах JI.C. Понтрягина, Е.Ф. Мищенко, Р.В. Гамкре-лидзе, H.H. Красовского, А.И. Субботина, Ю.С. Осипова, A.B. Куржан-ского, Т.Ф. Филипповой, А.Я. Дубовицкого, A.A. Милютина, В.В. Ди-кусара, В.А; Дубовицкого, М.С. Никольского, В.И. Благодатских, Ф.П. Васильева, A.B. Арутюнова, С.М. Асеева, В.Н. Ушакова, B.C. Пацко, В.И. Максимова и др.

В работе H.H. Красовского и А.И. Субботина [38] предложен метод гладкого потенциала для решения задач выживания при наличии фазовых ограничений.

В работе A.B. Куржанского и Т.Ф. Филипповой [44] получено аналитическое описание множества траекторий линейных дифференциальных включений, выживающих до определенного момента времени в пределах заданного множества." ' ''•

В работе В.И. Благодатских [10] предложено решение линейных задач выживания при наличии фазовых ограничений на основании достаточных условий оптимальности по быстродействию. С помощью этого подхода получены решения задачи выживания для ряда конкретных линейных систем.

В работе Б.Н. Пшеничного [79] предложена операторная конструкция для нахождения начальных позиций управляемого процесса, для которого разрешима задача выживания для линейных и нелинейных управляемых систем с фазовыми ограничениями.

Задача выживания траектории линейной системы при ее движении внутри ограничивающего множества исследована, в настоящее время, в ряде важных случаев. Однако, общая задача отыскания конструктивных достаточных условий на параметры системы (0.0.1), при которых для начальной позиции х° существует решение задачи выживания траектории при ее движении к целевому множеству внутри ограничивающего множества остается открытой и ее исследование является актуальным.

Цель работы.

Цель работы состоит в разработке достаточных условий существования решения задачи уклонения от столкновения для линейных управляемых систем с двумя типами фазовых ограничений. Первый тип фазовых ограничений — ограничения, при которых допустимая область — внешность некоторого звездного множества (фазовое ограничение типа препятствия). Второй тип фазовых ограничений — ограничения, при которых допустимая область —звездное множество. Для второго типа фазовых ограничений нужно обеспечить уклонение от столкновения траектории системы с точками дополнения к звездному множеству. Решение задачи подразумевает разработку способов построения управлений, решающих задачу уклонения от столкновения для каждого типа фазовых ограничений.

Апробация работы.

Результаты работы были представлены в виде докладов на семинаре кафедры оптимального управления факультета ВМиК МГУ (рук. академик РАН Ю.С. Осипов, профессор М.С. Никольский), семинаре "Математические модели в экономике и экологии", Химки, Моск. обл., 27—29 января 2004 г., семинаре "Проблемы динамического управления", Суханове, Моск. обл., 24—26 января 2005 г., научной школе-конференции "Мобильные роботы и мехатронные системы", Институт механики МГУ, г. Москва, 21—25 марта 2005 г., конференции "Ломоносовские чтения", факультет ВМиК МГУ, г. Москва, 20—25 апреля 2005 г., международном семинаре "Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби"(СС8'2005), Екатеринбург, 22—25 июня 2005 г., конференции "Тихоновские чтения", факультет ВМиК МГУ, г. Москва, 20-23 октября 2005 г.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [50]—[53].

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения. Общий объем диссертации 120 страниц, включая 82 рисунка. Библиография содержит 123 наименования.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Лукьянова, Лиля Николаевна

Заключение

Результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, состоят в следующем.

1. Предложены достаточные условия существования решения задачи уклонения от столкновения с выпуклым и невыпуклым препятствиями для линейных управляемых систем.

2. Разработаны достаточные условия существования решения задачи выживания для линейных управляемых систем при условии нахождения траектории системы внутри ограничивающего множества.

3. Разработаны эффективные методы построения управлений для линейных управляемых систем, решающих задачу уклонения от столкновения с выпуклым или невыпуклым препятствием, а также задачу выживания траектории внутри ограничивающего множества.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лукьянова, Лиля Николаевна, 2006 год

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры / Р. Айзеке. — М.: Мир, 1967. - 479с.

2. Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр / Под ред. А.И. Субботина и B.C. Пацко. — Свердловск: ИММ УрО АН СССР, 1984. 295с.

3. Арутюнов A.B., Асеев С.М. Принцип максимума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями. Невырожденность и устойчивость. // Докл. РАН.— 1994. Т.334, №2. -с. 134—137.

4. Арутюнов A.B., Влагодатских В.И. Принцип максимума для дифференциальных включений с фазовыми ограничениями // Тр. МИАН.- 1991. Т.200. - с.4-26.

5. Асеев С.М. Экстремальные задачи для дифференциальных включений с фазовыми ограничениями. // Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. Т. 233. 2001. с.5—70.

6. Асеев С.М., Смирнов А.И. Задача оптимального прохождения через заданную область // Математические модели в экономике и экологии. Ь. МАКС Пресс — 2004. с. 15—19.

7. Апарцин А. С. Полилинейные кравнения Вольтерра 1 рода // Автоматика и телемеханика 2004. N 2. с. 118—125

8. Азамов А. Двойственность линейных дифференциальных игр преследования //ДАН СССР.- 1982. 263.- N 2.

9. Барабанова H.H., Субботин А.И. О классах стратегий в дифференциальных играх уклонения от встречи // ПММ. — 1971. -Т.35, вып. 3. с.385—392.

10. Благодатских В. И. Задача управляемости для линейных систем. Труды математического института АН СССР. 1977, т.143. с.57— 67.

11. Благодатских В.И., Филлипов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. мат. ин-та АН СССР. — 1985. Т.169. - с. 194—252.

12. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. М. Высшая школа. 2001 г.

13. Близорукова М.С., Максимов В. И. Об одном алгоритме динамической реконструкции управлений // Изв. АН СССР. Теория и системы управления. 1988. N2. с. 56—61.

14. Болтянский В.Г. Метод локальных сечений в теории оптимальных процессов // Дифференц. уравнения. — 1968. Т.4, №12-с.2166—2183.

15. Болтянский В.Г. Математические методы, оптимального управления. М.: Наука, 1969. 408с.

16. Болтянский В.Г. Опорный принцип в задачах оптимального управления // Дифференц. уравнения. — 1973. Т.9, №8. -с. 1363—1370.

17. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М. Факториал Пресс. 2002.

18. Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления.—Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1975. 229с.

19. Гамкрелидзе Р.В. Оптимальные по быстродействию процессы при ограниченных фазовых координатах // Докл. АН СССР— 1959. Т.125, №3. - с.475-478.

20. Гамкрелидзе Р.В. Оптимальные процессы управления при ограниченных фазовых координатах. // Изв. АН СССР. Сер. Мат. -1960. Т.24, №3. - с.315—356.

21. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. Наука. 1967 г.

22. Григорьева C.B., Пахотинских В.Ю., Успенский A.A., Ушаков В.Н. Конструирование решений в некоторых дифференциальных играх с фазовыми ограничениями // Математический сборник. — 2005.- Т. 196, JM- с.51—78.

23. Голубев А.Е., Крищенко А.П., Ткачев C.B. Стабилизация нелинейных динамических систем с использованием оценки состояния системы асимптотическим наблюдателем (обзор) // Автоматика и телемеханика. — 2005.- N 7. с. 3—42.

24. Григоренко H. JI. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. Изд-во МГУ. 1990 г.

25. Гусев М.И., Куржанский A.B. Обратные задачи динамики управляемых систем // Механика и научно-технический прогресс. М.: Наука, 1987. - Т.1. - с.187-195.

26. Гусейнов Х.Г., Моисеев А.Н., Ушаков В.Н. Об аппроксимации областей достижимости управляемых систем // ПММ. — 1998-Т.65, Ш

27. Гурса Э. Курс математического анализа. Т.З, 4.2. ОНТИ. 1933 г.

28. Дарьин А.Н., Куржанский А.Б. Управление в условиях неопределенности при двойных ограничениях // Дифференц. уравнения. -2003. Т.39, МП. - с.1474—1486.

29. Дубовицкий А.Я., Дубовицкий В.А. Принцип максимума в регулярных задачах оптимального управления, у которых концы фазовой траектории лежат на границе фазового ограничения // Автоматика и телемеханика. — 1987. №12. - с.25—33.

30. Дубовицкий А.Я., Дубовицкий В.А. Критерий существования содержательного принципа максимума в задаче с фазовыми ограничениями // Дифференц. Уравнения. — 1995.- Т.31, №10. -с.1611-1616.

31. Касселс Дж.В.С. Введение в геометрию чисел. —М.: Мир, 1965.

32. Киселев Ю.Н. Оптимальное управление. Изд-во МГУ. 1988 г.

33. Киселев Ю.Н. Экстремальное описание неизвестных параметров в краевой задаче принципа максимума // Тр. ИММ УрО РАН. — Екатеринбург, 2000. Т.6, №1. - с. 72-90.

34. Комаров В.А. Оценки множества достижимости для линейных систем //Изв. АН СССР. Серия математическая. — 1984. Т.48, №4.- с.865—879.

35. Комаров В.А. Оценки множества достижимости дифференциальных включений // Мат. заметки.— 1985 Т.37, вып.6.- с.916— 925.

36. Красовский H.H. Игровые задачи о встрече движений. — M.: Наука, 1970. -:420с.

37. Красовский H.H. Управление динамической системой. — М.: Наука, 1985. 520с.

38. Красовский H.H. Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры . // — М.: Наука, 1974. 456с.

39. Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Нелинейные к(х) двойственные системы и синтез наблюдателей // Дифференциальные уравнения. — 1999.- Т.35; N 5. с.648-663.

40. Кряжимский A.B., Максимов В.И., Осипов Ю.С. О реконструкции экстремальных возмущений в параболических уравнениях // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1997. Т. 37, № 3. - с.291—302.

41. Куржанский A.B. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. — М.: Наука, 1977. 392с.

42. Куржанский А.Б., Осипов Ю.С. К задаче управления с ограниченными фазовыми координатами // ПММ. — 1968. Т. 32, вып. 2. - с.194—202.

43. Куржанский А.Б. Филиппова Т.Ф. Дифференциальные включения с фазовыми ограничениями. Метод возмущений // Оптим. упр. и дифференц. уравнения: сб. ст. к 70-летию со дня рождения академика Е.Ф. Мищенко. — М.: Наука, 1995. -Т. 211. с.304—395.

44. Ледяев Ю.С., Мищенко Е.Ф. Об оптимальных стратегиях в дифференциальных играх фиксированной продолжительности // Докл. АН СССР. 1986. - Т. 286, Ж^ 2. - с.284-287.

45. Ледяев Ю.С., Мищенко Е.Ф. Экстремальные задачи в теории дифференциальных игр // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1988. -Т. 185. с. 147—170.

46. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления . М.: Наука, 1972. - 574с.

47. Лотов A.B. Численный метод построения множеств достижимости для линейных управляемых систем с фазовыми ограничениями. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1975. Т. 15, N 1.

48. Лотов A.B. Методы анализа математических моделей управляемых систем на основе построения множества достижимости значений показателей качества управления. Дис.докт. физ.-матем. наук. М. МФТИ. 1985.

49. Лукьянова Л.Н. . Задача уклонения от столкновения для линейной упраляемой системы. Вестник Моск. ун-та. сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2005. N 3, с.29—35.

50. Лукьянова Л.Н. Задача уклонения отстолкновения с невыпуклым препятствием для линейной управляемой системы. Мобильные роботы и мехатронные системы: Материалы научной школы-конференции. Часть 2. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2005. с. 138—149.

51. Лукьянова Л.Н. Задача управляемости для линейной системы с выпуклым фазовым ограничением. Проблемы динамического управления: Сборник научных трудов факультета ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова / под редакцией Ю.С.Осипова,

52. А.В.Кряжимского. М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ 2005. Выпуск 1. с.192-204.

53. Лукьянова Л.Н. Реконструкция управления в задаче уклонения от столкновения. // Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби, Труды международного семинара, Екатеринбург. 2005. Т. 2. с.96—104.

54. Максимов В.И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем // Екатеринбург: УрО РАН, 2000. 305с.

55. Матвеев А.С., Якубович В.А. Оптимальные системы управления: обыкновенные дифференциальные уравнения. Специальные задачи. Издательство с.-петербургского университета 2003.

56. Микусинский Я. Операторное исчисление.М.: Изд-во ИЛ, 1956.

57. Мищенко Е.Ф., Никольский М.С., Сатимов Н.Ю. Задача уклонения от встречи в дифференциальных играх многих лиц. Труды МИАН СССР. 1977. Т. 143. с.105 129.

58. Никольский М.С. Об альтернированном интеграле Л. С. Понтря-гина// Мат. сб. 1981. - Т. 116, № 7. - с.136-144.

59. Никольский М.С. Об аппроксимации множества достижимости для дифференциального включения // Вестник Московского университета. Вычислительная математика и кибернетика. — 1987. Сер. 15, № 4. - с.31-34.

60. Никольский М. С. О нижнем альтернированном интеграле Понт-рягина в линейных дифференциальных играх преследования // Мат. сборник. 1985. - Т. 128, № 1. - с.35-49.

61. Никольский М.С., Мусса Абубакар Некоторые оценки множествадостижимости для управляемого уравнения Ван дер Поля // Тр. ИМИ УрО РАН. Екатеринбург, 2000. - Т. 6, № 1. - с.150-159.

62. Никольский М.С. О линеной задаче осуществления заданного движения. ДАН. 1992. том 322, № 5, с.193—197.

63. Никольский М. С. Об одной задаче осуществления заданного движения. Гибкие системы. ДАН. 1996. том 350, № 6, с. 739—741.

64. Овсеевич, А.И., Черноусько Ф.Л. Двусторонние оценки областей достижимости управляемых систем // ПММ. —1982. Т. 46, вып. 5. - с.737-744.

65. Осипов Ю.С. Позиционное управлениие в параболических системах // ПММ. 1977. - Т. 41, вып. 2. - с.195-201.

66. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. Издательство МГУ. 1999 г.

67. Пахотинских В.Ю., Успенский A.A., Ушаков В.Н. Аппроксимация стабильных мостов в дифференциальных играх с ограничениями на фазовый вектор // Изв. Урал. гос. ун-та.-2002. -№26.

68. Пахотинских В.Ю., Успенский A.A., Ушаков В.Н. Конструирование стабильных мостов в дифференциальных играх с фазовыми ограничениями // ПММ. — 2003. Т. 67, вып. 5. с. 771—783.

69. Пацко B.C. Квазилинейная дифференциальная игра качества второго порядка // Задачи динамического программирования. — Свердловск: УНЦ АН СССР. 1989.

70. Петросян Я.А. Дифференциальные игры преследования. — JI.: ЛГУ, 1977. 222с.

71. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого анализа. М. Физматлит. -2004г. 416 с.

72. Полянин А.Д., Манжиров A.B. Справочник по интегральным уравнениям. —М.: Физматлит, 2003.

73. Понтрягин JI.C. О линейных дифференциальных играх. I // Докл. АНСССР. -1967. Т. 174, № 6. - с.1278-1281.

74. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх. II // Докл. АНСССР. 1967. - Т. 175. - № 4. - с.764-766.

75. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов . — М.: Наука, 1961.- 391с.

76. Понтрягин Л.С., Мищенко Е.Ф. Задача об убегании одного управляемого объекта от другого // Докл. АН СССР. — 1969. Т.189, № 4. - с. 721—723.

77. Понтрягин Л.С., Мищенко Е.Ф. Задача об уклонении от встречи в линейных дифференциальных играх // Дифференциальные уравнения. — 1971. Т. 7, М* 3. - с.436—445.

78. Понтрягин Л. С. Линейная дифференциальная игра убегания.

79. Труды МИАН СССР. 1971. Т. 112. с.30-63.

80. Пшеничный В.Н. Структура дифференциальных игр //Докл. АН СССР. 1969. - Т. 184, №2. - с.285-287.

81. Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. Дифференциальные игры . — Киев: 'Наукова думка, 1992. 260с.

82. Пшеничный В.Н. О задаче убегания // Кибернетика. — 1975. -т. с. 120-127.

83. Пшеничный В.Н., Чикрий A.A., Раппопорт И.С. Преследование несколькими упарвляемыми объектами при наличии ограничений //ДАН СССР. 1981. -259, №4.

84. Рисс Ф., Секефальви-Надь И. Лекции по функциональному анализу М. : Изд-во Мир, 1979.

85. Сатимов Н.Ю. К теории дифференциальных игр убегания // МАт, сб. — 1977. № 2. - с.13-27.

86. Сатимов Н.Ю. Задача избежания столкновений в линейных системах // Кибернетика. — 1976. № 1.

87. Субботин А.И., Субботина Н.Н. К вопросу обоснования метода динамического программирования в задаче оптимального управления // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. — 1983. - № 2. -с.24—32.

88. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. — М.: Наука, 1981: 288с.

89. Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М. Наука. 1991 г.

90. Тарасьев A.M. Аппроксимационные схемы построения минимаксных решений уравнений Гамильтона-Якоби // ПММ. —1994.- Т. 58, вып. 2. с.22—36.

91. Тарасьев A.M., Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. Об одном вычислительном алгоритме решения игровых задач управления // ПММ.- 1987. Т. 51, вып. 2. - с.216-222.

92. Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. О приближенном построении решений в игровых задачах управления // ПММ. — 1997. Т. 61, вып. 3. с.413—421.

93. Ушаков В Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. — 1980. №4. - с.29-36.

94. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования. Вестн. Моск.ун-та. Сер. математика, механика, физика, химия. 1959. N2. с.34—41

95. Ченцов А.Г. Итерационная программная конструкция для дифференциальной игры с фиксированным моментом окончания // Докл. АН СССР. 1978. - Т. 240, №1. - с.796-800.

96. Черноусько Ф.Л., Меликян А.А. Игровые задачи управления и поиска. — М.: Наука, 1976.

97. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988. - 319с.

98. Черноусько Ф.Л. Одна задача уклонения от многих преследователей. ПММ. 1976. т.40. вып. 1.

99. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления // Итоги науки и техники. Математический анализ. — 1977. Т. 14.

100. ЧикрийА.А. Конфликтно-управляемые процессы. —Киев: Наук, думка. 1992. 384 с.

101. ЧикрийА.А. Метод переменных направлений в нелинейных дифференциальных играх убегания // Кибернетика. -1984. -N 1.с.48—54.

102. Akbin I., Clarke F. Monotone invariant solutions to differential inclusions // J.London Math. Soc. 1977. -V. 16. - P.357-366.

103. Ananevskii I.M. Syntesis of a continuous control of a rheonomic mechanical system//Appl.Math.Mech-2003.-V.67, Ш-Р.143-156.

104. Aubin J.P. Viability theory. Boston: Birhauser,1991.

105. Clarke F.H., Ledyaev Yu.S., Stern R.J., Walenski P.R. Nonsmooth Analysis and Control Theory. N.Y.: Springer, 1998. - 278p.

106. Chentsov A.G. Asymptotic attainability. — Dordrecht: Kluwer,1997. —322p.

107. Chikrii A.A. Conflict controlled processes. — Boston; London; . . 1997. 427 p.

108. Fleming W.H. The Convergence Problem of Differential Games // J. Math. Annal and Appl. 1961. - V. 3.- P. 102-116.

109. Fleming W.H. The Convergence Problem of Differential Games II // Adv. in Game Theory. Princeton: Princeton Univ. Press, 1964. -P. 195—210.

110. Haddad G. Monotone trajectories of differential inclusions and functional- differential inclusions with memory // Israel J. of Math. -1981. -V. 81. P. 83-100.

111. Jordan C. Cours d'analyse de l'Ecole poly technique,3 ed.t,l.P.,1909.

112. Kalman R. Mathematical Description of Linear Dynamical Systems // J. SI AM. 1963. - Ser. A., Control 1.

113. Kostousova E.K. Control sunthesis via parallelotopes: optimization and parallel computations // Optimization. Methods and Software.- 2001. V. 14.- P. 267-310.

114. Kraspvskii A.N.,Xrasovskii N.N. Control under Lack of Information.

115. Berlin etc: Birkhauser, 1995. 322p.

116. Kryazhimskii A.V., Osipov Yu.S. Input reconstructiblity for linear dynamics. — Ordinary differential equation (Working paper IIASA; WP-93-65). Luxenburg, 1993. - 28c.

117. Kurzhanski A.B. Identification: A Theory of Guaranteed. Estimates // From Data to Model. — Berlin etc: Springer-Verlag, 1989.

118. Kurzhanski A.B. The principle of optimality in measurement feedback control for linear systems // Directions in Mathematical Systems Theory and Optimization Eds. A.Rantzer and Ch.Byrhes. — Berlin: Springer, 2003. P. 193-202.

119. Kurzhanski A.B., Filippova T.F. On the theory of trajectory tubes: a mathematical formalism for uncertain dynamics, viability and control // Advances in Nonlinear Dynamics and Control. Ser. PSCT 17. Boston: Birkhauser. 1993. - P.122—188.

120. Kurzhanski A.B., Valyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. — Boston: Birkhauser, 1997. 321p.

121. Kurzhanski A.B. , Varaiya P. Reachability analysis for uncertain systems the ellipsoidal technique // Dynamics of continuous, discrete and impulsive systems. Ser. B. —2002. - V.9, №3. -P.347—367.

122. Nikolskii M.S. Method of factorisation applicable to the solution of convolution ■ equations. Integral Transformation and Special Functions, 1994, Vol.2, No. 1, pp.51-64.

123. Osipov Yu.S., Korotkii A.I. On dynamical restoration of parameters of elliptic systems // Некорректно поставленные задачи в естественных науках. М., 1992. - С. 108—117.

124. Subbotin A.I. Generalized Characteristics of First-Order Partial Differential Equations. — Rapp. Montreal Univ. Montreal, 1993. -№, CRM-1848. 43p.

125. Subbotin A.I. Generalized Solution of First-Order PDEs. The Dynamical Optimization Perspective. — Boston: Birkhauser, 1995,312р.