Некоторые задачи импульсного управления при наличии помехи и с невыпуклой целью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Изместьев, Игорь Вячеславович

• Изместьев, Игорь Вячеславович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Изместьев, Игорь Вячеславович

Содержание

Введение

1 Однотипная задача управления при наличии помехи и с терминальным множеством в форме кольца

1.1 Примеры рассматриваемых задач

1.2 Постановка задачи

1.3 Задача преследования

1.4 Задача уклонения

1.5 Решение задачи преследования для примера 1.1.3

1.6 Задача преследования маломаневренных объектов при наличии сопротивления среды

2 Однотипная задача импульсной встречи в заданный момент времени при наличии помехи и с терминальным множеством

в форме кольца

2.1 Примеры рассматриваемых задач

2.2 Постановка задачи

2.3 Определение максимального стабильного моста

2.4 Вычисление значения оператора программного поглощения на кольце

2.5 Построение максимального стабильного моста при д ^ £ ^ р

2.6 Построение максимального стабильного моста при ^ £ ^ д

2.7 Построение максимального стабильного моста при £ ^

2.8 Задача преследования в случае д ^ < р

2.9 Задача преследования в случае < д

2.10 Задача уклонения

2.11 Решение примера 2.1.2

2.12 Компьютерное моделирование импульсной модификации игры

«изотропные ракеты» с терминальным множеством в форме кольца103

3 Задача импульсного управления при наличии помехи с декомпозиционной динамикой

3.1 Примеры рассматриваемых задач

3.2 Постановка задачи

3.3 Область достижимости управления

3.4 Задача уклонения

3.5 Задача преследования

3.6 Одномерный случай

3.7 Построение w-стратегии, гарантирующей встречу, в примере 3.1.1

Заключение

Основные обозначения

Список литературы

Приложение 1. Свидетельство о государственной регистрации

программы для ЭВМ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые задачи импульсного управления при наличии помехи и с невыпуклой целью»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования. Многочисленные задачи из области экономики, экологии, управления механическими системами и других областей знаний сводятся к задачам управления при наличии неконтролируемых помех, о которых известны лишь области их изменения. Математическое моделирование управления в таких системах опирается на подход, который предписывает помехам поведение, ухудшающее показатель качества, в соответствии с которым моделируется управление. Такой подход приводит к рассмотрению задачи построения управления в рамках теории дифференциальных игр.

Становление теории дифференциальных игр связано с работами зарубежных ученых Р. Айзекса, А. Брайсона, У. Флеминга. Современный облик теории дифференциальных игр сформировался в значительной степени под влиянием работ академиков Н.Н. Красовского и Л.С. Понтрягина и представителей их научных школ: Э.Г. Альбрехта, А.В. Кряжимского, А.Б. Куржанского, Ю.С. Осипова, А.И. Субботина, Н.Н. Субботиной, В.Е. Третьякова, В.Н. Ушакова, А.Г. Ченцова, Р.В. Гамкрелидзе, М.И. Зеликина, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розова и других.

В работах Н.Н. Красовского и представителей его научной школы получены основные результаты для задач позиционных дифференциальных игр. Управления в позиционных дифференциальных играх строятся как функции от времени и фазового состояния системы. Под движением, порожденным этими управлениями, понимается (см., например, [16, С. 33]) пучок функций, каждая из которых является равномерным пределом некоторой последовательности ломаных при диаметре разбиения, стремящемся к нулю. В рамках исследования таких задач доказана фундаментальная теорема об альтернативе [15,16], которая утверждает существование решения дифференциальной игры в классе

позиционных стратегий. В основе предложенной Н.Н. Красовским концепции лежит понятие стабильного моста и правило экстремального прицеливания на него.

Этот подход был распространен в работах В.С. Пацко [25,26], А.И. Субботина [37,38], Н.Н.Субботиной [40,41], А.М. Тарасьева [42], В.Н. Ушакова [65,66], А.Г. Ченцова [70,71] и других представителей школы Н.Н. Красовского на различные классы дифференциальных игр.

В трудах Л.С. Понтрягина и представителей его научной школы предложена и обоснована аналитическая схема решения линейных дифференциальных игр преследования, которая базируется на операциях геометрической суммы и геометрической разности двух множеств и процедуре альтернированного интегрирования. Разработанные методы решения получили название первого и второго прямых методов Л.С. Понтрягина. В работах М. С. Никольского [22-24] доказана сходимость альтернированных сумм и разработаны вычислительные алгоритмы. В совместных работах А.С. Мищенко и Л.С. Понтрягина [31-33] разработан алгоритм моделирования управления догоняющего игрока в линейной дифференциальной игре преследования без дискриминации его позиций.

Линейные дифференциальные игры с фиксированным моментом окончания с помощью линейной замены переменных [16, С. 160] можно привести к виду, когда в правой части новых уравнений стоит только сумма управлений первого и второго игроков, значения которых принадлежат заданным множествам, зависящим от времени.

В дифференциальной игре «изотропные ракеты» [1, С. 139], в ее варианте при отсутствии трения «мальчике и крокодиле» [30] и в контрольном примере Л.С. Понтрягина [30] множества значений управлений являются шарами, радиусы которых зависят от времени. Для таких игр в случае, если терминальное множество является шаром заданного радиуса, в [30] построен альтернированный интеграл. В работе В.И. Ухоботова [47] построены оптимальные позиционные стратегии игроков.

В работе В.И. Ухоботова [52] построен альтернированный интеграл для однотипных игр с произвольным выпуклым замкнутым терминальным множеством и построены оптимальные позиционные управления игроков. В этой статье термин «однотипная игра» применяется к играм, в которых области достижимости игроков гомеоморфны одному и тому же выпуклому компакту.

В работах Б.Н. Пшеничного была развита идея второго метода Л.С. Понт-рягина для нелинейных дифференциальных игр [34,35]. Предложенная в его трудах операторная схема позволила в общем случае нелинейной системы описать множество позиций, из которых игру преследования можно окончить к заданному моменту времени. Применение операторной схемы для игр с простым движением изучалось в работах П.Б. Гусятникова и Е.С. Половинкина [3,4].

Актуальными также являются задачи преследования, когда преследователь стремится сделать в заданный момент времени относительное расстояние не больше одного заданного числа, но не меньше другого заданного числа. В работе В.И. Ухоботова [49] множество векторов, определяемое таким условием, названо кольцом. В [49] был построен максимальный стабильный мост для однотипной дифференциальной игры с геометрическими ограничениями на управления игроков, в которой терминальным множеством является кольца.

Представляют интерес задачи импульсного управления, к которым сводятся задачи управления механическими системами переменного состава, когда в отдельные моменты времени может отделяться конечное количество реактивной массы [17, С. 85-86]. Если на механическую систему воздействуют неконтролируемые силы (помехи), о которых известны только области их возможных значений, то задача управления может быть рассмотрена в рамках теории управления гарантированным результатом.

Анализ задач импульсного управления усложняется тем, что траектории управляемой системы могут быть разрывными.

В работе Н.Н. Красовского [12] предложен метод решения игровых задач преследования, основанный на принципе поглощения областей достижимости.

Возможность применения этого метода к задачам импульсного управления рассматривалась, например, в работах [13, 14]. В работе Н.Н. Красовского и В.Е. Третьякова [14] приводится пример импульсной «мягкой» встречи двух управляемых материальных точек, когда первый игрок не может поддерживать требуемое включение областей достижимости. Обсуждается вопрос о возможности применения метода динамического программирования к задачам импульсной встречи. В работе Г.К. Пожарицкого [28] этот метод применяется при решении конкретных задач импульсной встречи.

В работе Н.Н. Субботиной и А.И. Субботина [39] доказана теорема об альтернативе для дифференциальных игр с импульсными управлениями в предположении, что целевые координаты вектора состояния меняются непрерывно.

В работах Т.Ф. Филипповой [67,68] предлагаются методы построения эллипсоидальных оценок множеств достижимости нелинейной динамической системы со скалярным импульсным управлением и неопределенностью по начальным данным. При помощи специальной разрывной замены времени рассматриваемая импульсная система преобразуется в обыкновенное дифференциальное включение, уже не содержащее импульсных составляющих.

В работах С.И. Кумкова и В.С. Пацко [19,20] рассматривается модельная задача преследования с импульсным управлением, где преследователь замеряет с ошибкой угловую скорость линии визирования и старается минимизировать величину промаха. Ошибки замеров стеснены геометрическими ограничениями. Задача формализуется как дифференциальная игра с неполной информацией. В [20] предложен способ управления по принципу обратной связи, в основе которого лежит построение информационных множеств — совокупностей состояний, совместимых с историей процесса наблюдения-управления.

Задачи импульсного управления материальной точкой в ньютоновском поле тяготения рассматривается в работах Ю.И. Бердышева (см., например, [2]).

Необходимым условиям оптимальности в нелинейных задачах динамической оптимизации с разрывными траекториями и обобщенными, импульсными

управлениями, содержащими дельта-функции Дирака, посвящена монография В.А. Дыхты и О.Н. Самсонюк [5]. В ней описан принцип максимума в негладких задачах импульсного управления с односторонними ограничениями на образ управляющей векторной меры, ее вариацию и многоточечными фазоограниче-ниями.

Возможность корректного описания эволюции динамических объектов, уравнения которых содержат нелинейные операции над обобщенными функциями, исследовалась в монографии С.Т. Завалищина и А.Н. Сесекина [6]. В частности, были построены: расширение математической модели движения манипулятора, рассчитанное на импульсные управляющие моменты; расширение уравнений движения точки переменной массы в центральном гравитационном поле в случае дискретного расхода массы и скачкообразного изменения направления реактивной силы.

В работе А.А. Чикрия и И.И. Матичина [73] рассматриваются игры преследования, в которых игроки (преследователь, убегающий или оба) используют импульсные управления, что выражается при помощи дельта-функции Дирака. Изучаются линейные динамические системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, траектории которых терпят разрывы в дискретные моменты времени. Такие системы представляют собой разновидность гибридных систем. В основу исследования положены основные идеи метода разрешающих функций.

В работе Н.Н. Петрова [27] получены условия разрешимости для задачи группового преследования с импульсными стратегиями преследователей.

Среди работ зарубежных ученых следует отметить труды французского математика J.-P. Aubin, который изучал импульсные дифференциальные игры в рамках развиваемой им теории выживаемости (viability theory) (см., например, [74]).

В работах В.И. Ухоботова [43-46,48,50,51,53,54] предложены разные подходы к исследованию дифференциальных игр и задач управления при наличии

помехи в случае импульсных управлений.

В статье [45] рассматривается линейная дифференциальная игра с заданным моментом окончания. Игроки выбирают импульсные управления, на реализацию которых в процессе управления каждый игрок может потратить свой фиксированный запас ресурсов. Условием окончания игры является равенство фазовой координаты нулю. Найдены достаточные условия для завершения игры, которые определяют стабильный мост. Дана процедура построения управления первым игроком без использования информации о количестве оставшегося ресурса второго игрока.

В работах [46,51] рассматривается задача импульсного управления системой вида

Ах = N+ м(фМ, г е и е ^, V е к9, г < р

в случаях, когда на помеху V накладываются различные типы интегральных ограничений. Здесь N(£), М(¿) — непрерывные при £ ^ р матрицы соответствующих размерностей. В каждой из этих статей построен стабильный мост, ведущий к моменту времени р на замкнутое терминальное множество, и соот-ветвующее гарантирующее управление.

Для решения линейных задач импульсной встречи В.И. Ухоботовым разработан метод одномерного проектирования (см., например, [48]). Суть этого метода в следующем: фиксируется непрерывный линейный функционал из пространства, сопряженного к фазовому. Рассматривается одномерное движение образа фазовой точки при этом линейном отображении. Поскольку области достижимости сторон являются выпуклыми компактами, то их образами будут отрезки, зависящие от запасов ресурсов. Необходимые и достаточные условия окончания в каждой такой одномерной однотипной игре являются необходимыми условиями окончания в исходной задаче.

В работе [50] рассматривается игровая задача импульсной встречи в заданный момент времени, в случае когда первый игрок выбирает группу импульс-

ных управлений, на выбор каждого из которых в процессе управления можно потратить свое заданное количество ресурсов. На выбор управления второго игрока накладывается геометрическое ограничение. Найдены достаточные условия возможности окончания игры из заданного начального состояния и построены соответствующие импульсные управления.

В работах [53,54] построены оптимальные управления игроков для конкретных линейных дифференциальных игр второго порядка с импульсным управлением первого игрока.

Цель и задачи исследования. Цель данной работы состоит в получении условий разрешимости и построении соответствующих управлений для новых классов задач управления при наличии помехи. В диссертации исследуются следующие задачи: однотипная задача управления при наличии помехи с геометрическим ограничением на управление и с терминальным множеством в форме кольца; однотипная задача импульсной встречи в заданный момент времени при наличии помехи и с терминальным множеством в форме кольца; задача импульсного управления при наличии помехи с декомпозиционной динамикой.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования задач импульсного управления динамическими системами при наличии помехи, в частности для разработки численных методов решения таких задач, а также в учебном процессе при чтении курсов по теории управления и дифференциальным играм.

Методология и методы исследования. В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений, теории дифференциальных игр, теории оптимального управления, выпуклого анализа и функционального анализа.

Положения, выносимые на защиту. В работе получены:

1. Оптимальное управление и оптимальная реализация помехи в однотип-

ной задаче управления при наличии помехи с геометрическим ограничением на управление и с терминальным множеством в форме кольца;

2. Необходимые и достаточные условия встречи в заданный момент времени с терминальным множеством в форме кольца в однотипной задаче импульсной встречи при наличии помехи и соответствующие оптимальное управление и оптимальная реализация помехи;

3. Достаточное условие встречи в заданный момент времени с началом координат в задаче импульсного управления при наличии помехи с декомпозиционной динамикой и соответствующее гарантирующее управление, достаточное условие невозможности встречи в заданный момент времени с началом координат в этой задаче и соответствующая реализация помехи.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных и всероссийских конференциях и семинарах:

• Международная конференция «Динамика систем и процессы управления», посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н.Красовского (ИММ УрО РАН, УРФУ, Екатеринбург, 15-20 сентября 2014 г.);

• Всероссийская конференция с международным участием «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», посвященная памяти В.К. Иванова (ЮУрГУ, Челябинск, 10-14 ноября 2014 г.);

• II Международный семинар «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби», посвященный 70-летию со дня рождения академика А.И.Субботина (ИММ УрО РАН, УРФУ, Екатеринбург, 1—3 апреля 2015 г.);

• Всероссийская конференция с международным участием «Теория управления и математическое моделирование», посвященная памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова (УдГУ, Ижевск, 8-12 июня 2015

г.);

• XIII Международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конференция Пятницкого) (ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, Москва, 1-3 июня 2016 г.)

• Международная конференция «Геометрические методы в теории управления и математической физике: дифференциальные уравнения, интегрируемость, качественная теория» (РГУ им. С.А. Есенина, Рязань, 15-18 сентября 2016 г.)

Результаты работы обсуждались также на семинаре отдела динамических систем Института математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН (руководители — член-корреспондент РАН В.Н. Ушаков, профессор А.М. Тара-сьев; 2017 г.) и на научных семинарах кафедры теории управления и оптимизации Челябинского государственного университета (Челябинск, 2013-2017 гг.).

Основные результаты по теме диссертации изложены в 14 научных работах [7-9,55-64,82]; из них 5 работ опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК [55,58,60,62,64], 1 работа опубликована в издании, входящем в международную реферативную базу данных Scopus [82]; получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [9] (см. Приложение 1). Все результаты диссертации строго доказаны.

Все основные результаты диссертации автор получил лично. В совместных статьях с научным руководителем В.И. Ухоботову принадлежат постановки задач и общее руководство проводимыми исследованиями.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках базовой части (проект №4047) (2016 г.), грантов Фонда перспективных научных исследований Челябинского государственного университета (2015 г., 2017 г.) и Фонда поддержки молодых ученых Челябинского государственного университета (2016 г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав,

заключения, списка основных обозначений, списка литературы и приложения. Нумерация глав сквозная. Главы разбиты на параграфы, которые имеют двойную нумерацию — первая цифра означает номер главы, вторая — номер параграфа в главе. Нумерация формул в параграфе тройная. Такая же нумерация принята для определений, лемм, теорем, замечаний, примеров и рисунков. Основные обозначения объяснены в списке обозначений. Полный объем диссертации составляет 140 страниц. Список литературы содержит 82 наименования.

Краткое содержание работы. В первой главе диссертации рассматривается однотипная задача управления при наличии помехи и с терминальным множеством в форме кольца. Первая глава состоит из шести параграфов.

В параграфе 1.1 приведены примеры задач, которые с помощью замены переменных сводятся к однотипным задачам управления при наличии помехи. Одним из таких примеров является следующая задача:

х = А(г)х - 'ш + £ + /(¿), х е г < р.

Здесь управление е W С помеха £ е ^ с где W и ^ — связные компакты; А(Ъ) — непрерывная матрица; / : (-<Х),р] ^ — непрерывная функция.

Заданы вектор 'ф е и числа а е К, 0 ^ £1 ^ £2. Цель выбора управления п) заключается в осуществлении неравенств

£1 ^ Цф,х(р))- а1 ^ £2. (0.0.1)

Другим примером является задача преследования маломаневренных объектов с терминальным множеством в форме кольца: объекты (преследователь и убегающий) движутся в некоторой плоскости; оба объекта имеют постоянные по величине скорости и ограниченные значения боковых ускорений; динамика каждого объекта описывается функцией преобразования первого порядка; траектории обоих объектов могут быть линеаризованы при данном геометрическом описании столкновения; доступна полная информация о положении объектов

в каждый момент времени; возможности объектов по изменению направления векторов их скоростей в процессе движения являются малыми (объекты являются маломаневренными); преследователь стремится сделать расстояние между собой и убегающим не меньше одного заданного числа, но не больше другого заданного числа.

В параграфе 1.2 дана общая постановка задачи. В пространстве с нормой || • || движение вектора происходит по правилу

Х = -а(г)и + Ь(ф, ||и|| < 1, |Н| < 1, г < р. (0.0.2)

Здесь функции а(Ъ) ^ 0 и Ь(Ъ) ^ 0 являются суммируемыми на каждом отрезке из полуоси (—ж,р\.

Заданы числа 0 ^ £1 ^ е2. Цель выбора управления и заключается в выводе вектора г(р) на терминальное множество, которое определяется неравенствами

£1 ^ ЦхМ|| ^ £2. (0.0.3)

На систему имеется воздействие со стороны неконтролируемой помехи V.

Допустимыми управлением и допустимой реализацией помехи являются произвольные функции, удовлетворяющие неравенствам

Ци(г,г)Ц < 1, |КМ)|| < 1, г < р, г е (0.0.4)

Зафиксируем начальное состояние Ь0 < р, г) е и момент Ь0 < Ь* ^ р. Возьмем разбиение

ш : ¿о < ¿1 < ... <и < ¿¿+1 < ... < tk+l = Ь* с диаметром ¿(ш) = тах^м — ). Построим ломаную для уравнения (0.0.2)

^(±) = (и) — Ц а(г)(!г^ и(и, (и)) + Ц Ь^г^ у(1г, (и)) (0.0.5)

при г, <г < г+1. Здесь (¿о) = z(tо).

Под движением ^(I) на отрезке [10,1*\, порожденным управлением и допустимой реализацией помехи (0.0.4), с заданным начальным условием х{Ъ0) по-

нимаем равномерный предел последовательности ломаных (0.0.5), у которых диаметр разбиения стремится к нулю.

В параграфе 1.3 рассмотрена задача преследования. Доказана следующую теорема.

Теорема 0.0.1. Пусть начальное состояние Ь0, г(Ь0) таково, что 1(£1,£2) ^ ¿0 ^ Р, Л(*о) ^ ||^о)|| ^ ¡2(1о).

Тогда управление

и{Ь,х) = ф(г) при ||^|| ^ /2(^ и и{Ь,х) = —ф(х) при || < /2(^

при любой допустимой реализации помехи обеспечивает для любого реализовавшегося движения г(^ выполнение неравенств (0.0.3).

Здесь использованы следующие обозначения

/р

(а(г) - Ь(г))(1г, г ^ р; ¡2^) = £2 + 9^) при г ^ р;

№) = £1 - д(ъ) при г(£1) ^ г ^ р и ¡\(г) = 0 при г ^ г(е1), где 1(£\) = т£{Ъ ^ р : £1 > д(т) при всех I < г ^ р};

1(е1 ,£2) = т£{Ъ ^ р : /1 (г) ^ /2(г) при всех I < г ^ р};

ф(г) = -р—тт при ^ = 0 и 0(0) - любое с ограничением 11^(0) | = 1. 11 ^ 11

В параграфе 1.4 рассмотрена задача уклонения. Доказаны следующие утверждения и теоремы.

Утверждение 0.0.1. Пусть начальное состояние Ь0 < р, х(10) е таково, что Цг(£0)|| > /2(Ь). Тогда допустимая реализация помехи ) = ф(г) для любого управления и любого движения г(^ обеспечивает неравенство

|к(р)и > £2

Утверждение 0.0.2. Пусть начальное состояние Ь(£]) ^ Ь0 < р, (Ь0)|| < ¡1(Ь0). Тогда допустимая реализация помехи V(Ь, г) = —ф(г) для любого управ-

ления и любого движения г(^ обеспечивает неравенство (р)Ц < £1

Теорема 0.0.2. Пусть 1(е1,£2) ^ ^Е]). Тогда, если £о < t(£1,£2), то допустимая реализация помехи ) = ф(г) для любого начального состояния г(£о), любого управления и для любого движения г(Ь) обеспечивает неравенство (р)Ц > е2.

Теорема 0.0.3. Пусть £о < t(£1,£2) и Ь(£\) < 1(е1,£2). Тогда существует допустимая реализация помехи, которая для любого начального состояния г(£о) е любого управления и для любого движения г(Ь) обеспечивает либо неравенство < £1, либо неравенство (р)Ц > £2.

В параграфе 1.5 решена задача преследования маломаневренных объектов с терминальным множеством в форме кольца.

В параграфе 1.6 решена задача преследования маломаневренных объектов при наличии сопротивления среды.

Во второй главе диссертации рассматривается однотипная задача импульсной встречи в заданный момент времени при наличии помехи и с терминальным множеством в форме кольца. Вторая глава состоит из двенадцати параграфов.

В параграфе 2.1 приведены примеры задач, которые с помощью замены переменных сводятся к однотипным задачам импульсного управления при наличии помехи. Одним из таких примеров является следующая задача: рассматривается управляемая система при наличии импульсного управления [17, С. 47]

размерностей, непрерывные на промежутке (—<Х),р\; функция / : (—<Х),р\ ^ является непрерывной.

На каждом отрезке \Ъ,т\, £ ^ р допустимыми программными управлениями

Ах = А($)х&г + в(г)йи(г) + с+ /(г)си, г < р.

Здесь х е и е и V е Кт; Л(1), В(£), С({) — матрицы соответствующих

являются функции и : \Ъ,т\ ^ , имеющие ограниченную вариацию

Ь = г0 < г1 < ... < Гк+1 = г. На это управление накладывается условие не перерасхода начального запаса ресурсов:

¡1(1)= ¡1(10) - [ Ыи(г)Ц{1) ^ 0. (0.0.6)

Jto

Здесь 10 < р — начальный момент времени, ц(Ъ0) ^ 0 — начальный запас ресурсов, который может быть использован при формировании управления.

Допустимыми программными реализациями помехи на отрезке \Ъ,т] являются измеримые функции V : \р, т] ^ V, где множество V С Кт является связным компактом.

Заданы вектор 'ф е и числа а е К, 0 ^ е1 ^ е2. Целью выбора управления является осуществление неравенств (0.0.1).

Другим примером является импульсная модификация игры «изотропные ракеты» [1, С. 139], [48, С. 44, 85] с терминальным множеством в форме кольца.

В параграфе 2.2 дана общая постановка задачи. Рассматривается процесс управления при наличии помехи в фазовом пространстве

(1х = -а(^) du + Ъ(Ъ)у ¿1, £ ^ р.

Здесь р — заданный момент времени; а(Ъ) и Ь(Ъ) - неотрицательные скалярные функции, причем функция а(Ъ) является непрерывной на полуоси (-<Х),р], а функция Ь(Ь) суммируема на каждом отрезке [т1,т2] С (-ж,р].

На выбор управления и накладывается импульсное ограничение (0.0.6). Цель управления заключается в том, чтобы в момент времени р осуществить неравенства (0.0.3). Функция V является реализацией помехи.

Управлением является пара функций [48] ф(Ь) е и и(Ь, г) е При выборе этих функций в отдельные моменты времени осуществляется их коррекция [51,72], которая производится следующим образом. Выбирается конечный набор моментов коррекции 10 = т0 < т1 < ... < Т1 = р. В момент времени тг, г = 0,1, зная реализовавшееся состояние ||^(т^)||, ц(т..), выбирается произвольная функция и. : [т.,т.+1) х ^ удовлетворяющую равенству Ци.(1,х)|| = 1,

абсолютно-непрерывная, неубывающая функция : [ri,ri+i] ^ R+ и число Ai ^ 0 такие, что

^(t) = - Ai - i &(r) dr ^ 0, n <t ^ тг+1. (0.0.7)

JTi

Реализацией помехи является любая функция v : (-ж,р] х Rn ^ Rn, удовлетворяющая ограничению \\v(t,z)\\ ^ 1. Такую реализацию помехи назовем допустимой.

Движение, порожденное выбранным на отрезке [ъпт+\] управлением и реализовавшейся помехой, определим с помощью ломаных. Для этого зафиксируем разбиение

ш : п = t(0) < t(1) <...< t(k+1) = Ti+h d(u) = max (t(j+1) - №) и построим ломаные [48, С. 75]

^^(t{0y) = Z(п) - Aia(n)u(Ti, z(Ti)) = z(Ti + 0),

^(t) = zu(№) - Qf а(г)фг(г) dAj u(t(j),z^(№))

^ b(r) dAj v(t(j),z^(№)), при t(j) < t < t(j+1), j

+ ^ Ь(г) Аг^ v(t(J>,zш(№)), при < г < 3 = 0, к.

Под движением ^(I) на отрезке [т1,т+\\ будем понимать равномерный предел последовательности ломаных у которых диаметр разбиения ) ^ 0.

Изменение запаса ресурсов определяется формулой (0.0.7).

Наличие импульсного управления требует дальнейшей формализации условий окончания (0.0.3). Следуя [28,45], распишем условия окончания в следующем виде: е1 ^ ||^(р + 0)|| = (р) — Аа(р)и\\ ^ е2 при некоторых числе А е [0,^,(р)} и векторе и е с ||и|| = 1.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Изместьев, Игорь Вячеславович, 2017 год

Список литературы

1. Айзекс, Р. Дифференциальные игры/ Р. Айзекс. — М.: Наука, 1967. — 479 с.

2. Бердышев, Ю.И. О задачах одноимпульсного перехода и построении области безопасности в ньютоновском поле / Ю.И. Бердышев// Космические исследования. — 1993. — Т. 31, вып. 6. — С. 3-10.

3. Гусятников, П.Б. Линейная дифференциальная игра с простой матрицей / П.Б. Гусятников, Е.С. Половинкин // Дифференц. уравнения. — 1980. — Т. 16, № 8. — С. 1360-1369.

4. Гусятников, П.Б. Простая квазилинейная задача преследования / П.Б. Гусятников, Е.С. Половинкин // Прикл. матем. и мех. — 1980. — Т. 44, Вып. 5. — С. 771-782.

5. Дыхта, В.А. Оптимальное импульсное управление с приложениями / В.А. Дыхта, О.Н. Самсонюк — М.: Физматгиз, 2000. — 256 с.

6. Завалищин, С.Т. Импульсные процессы: модели и приложения / С.Т. Зава-лищин, А.Н. Сесекин — М.: Наука, 1991. — 256 с.

7. Изместьев, И.В. Задача преследования тележки точки переменного состава с импульсным управлением / И.В. Изместьев// Теория управления и математическое моделирование: тез. докл. Всероссийской конф. с международным участием, посвящ. памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова. Ижевск, 8-12 июня 2015 года. Ижевск: УдГУ, 2015. С. 167-169.

8. Изместьев, И.В. Задача преследования маломаневренных объектов с терминальным множеством в форме кольца / И.В. Изместьев, В.И. Ухоботов// Геометрические методы в теории управления и математической физике: дифференциальные уравнения, интегрируемость, качественная теория: тез. докл. Международной конф. Рязань, 15-18 сентября 2016 года. Рязань: РГУ им. С.А. Есенина, 2016. С. 17-18.

9. Изместьев, И.В. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2015615655 «Компьютерное моделирование импульсной модификации игры «изотропные ракеты» с терминальным множеством в форме

кольца» / И.В. Изместьев, В.И. Ухоботов// Федеральная служба по интеллектуальной собственности (Роспатент). Зарегистрировано 26.05.2016.

10. Коддингтон, Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. — М.: Иностр. лит-ра, 1958. — 475 с.

11. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

12. Красовский, Н.Н. Об одной задаче преследования / Н.Н. Красовский // Прикл. матем. и мех. — 1963. — Т. 27, Вып. 2. — С. 244-254.

13. Красовский, Н.Н. О некоторых игровых ситуациях в теории управляемых систем / Н.Н. Красовский, Ю.М. Репин, В.Е. Третьяков // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1965. — № 4. — С. 3-23.

14. Красовский, Н.Н. К задаче о преследовании в случае ограничений на импульсы управляющих сил / Н.Н. Красовский, В.Е. Третьяков // Диффе-ренц. уравнения. — 1966. — Т. 2, № 5. — С. 587-599.

15. Красовский, Н.Н. Альтернатива для игровой задачи сближения / Н.Н. Красовский, А.И. Субботин. // Прикл. матем. и мех. — 1970. — Т. 34, Вып. 4. — С. 1005-1022.

16. Красовский, Н.Н. Позиционные дифференциальные игры / Н.Н. Красовский, А.И. Субботин. — М.: Наука, 1974. — 456 с.

17. Красовский, Н.Н. Теория управления движением / Н.Н. Красовский. — М.: Наука, 1974. — 456 с.

18. Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1 / Л.Д. Кудрявцев. — М.: Наука, 1981. — 687 с.

19. Кумков, С.И. Модельная задача импульсного управления с неполной информацией / С.И. Кумков, В.С. Пацко // Тр. Института математики и механики УрО РАН. — 1992. — Т. 1, № 5. — С. 106-121.

20. Кумков, С.И. Информационные множества в задаче импульсного управления / С.И. Кумков, В.С. Пацко // Автомат. и телемех. — 1997. — № 7. — С. 195-206.

21. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник,

B.И. Соболев. — М.: Наука, 1965. — 520 с.

22. Никольский, М.С. Прямой метод в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями / М.С. Никольский // Управляемые системы: Кн. — Вып. 2. — Новосибирск, 1969. — С. 50-59.

23. Никольский, М.С. О времени первого поглощения / М.С. Никольский // Мат. методы исслед. и оптимизации систем: Кн. — Вып. 2. — Киев, 1970. —

C. 32-44.

24. Никольский, М.С. Прямой метод в линейных дифференциальных играх с общими интегральными ограничениями / М.С. Никольский // Дифференц. уравнения. — 1972. — Т. 8, №6. — С. 964-971.

25. Пацко, В.С. Дифференциальная игра качества второго порядка / В.С. Пац-ко // Прикл. матем. и мех. — 1982. — Т. 46, Вып. 4. — С. 596-604.

26. Пацко, В.С. Численное решение дифференциальных игр на плоскости / В.С. Пацко, В.Л. Турова. — Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1995. — 78 с.

27. Петров, Н.Н. Задача группового преследования в классе импульсных стратегий преследователей / Н.Н. Петров // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2009. — №2. — С. 38-44.

28. Пожарицкий, Г.К. Игровая задача импульсного сближения с противником, ограниченным по энергии / Г.К. Пожарицкий // Прикл. мат. и мех.. — 1975. — Т. 39, Вып. 4. — С. 579-589.

29. Понтрягин, Л.С. О линейных дифференциальных играх / Л.С. Понтрягин // Докл. АН СССР.— 1967. — Т. 175, № 4. — С. 764-766.

30. Понтрягин, Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования / Л.С. Понтрягин // Мат. сб. Новая серия. — 1980.— Т. 112, № 3. — C. 307-330.

31. Понтрягин, Л.С. Решение линейной дифференциальной игры преследования без дискриминации убегающего объекта / Л.С. Понтрягин, A.C. Мищенко // Докл. АН СССР. — 1984. — Т. 277, №5. — С. 1063-1066.

32. Понтрягин, Л.С. Решение линейной дифференциальной игры преследования на основе альтернированного интегрирования без дискриминации убегающего объекта / Л.С. Понтрягин, A.C. Мищенко // Докл. АН СССР. — 1984. — Т. 277, №6. — С. 1330-1334.

33. Понтрягин, Л.С. Линейные дифференциальные игры (аналитическая теория на основе альтернированного интеграла) / Л.С. Понтрягин, A.C. Мищенко // Тр. МИАН СССР. — 1988. — Т. 185. — С. 208-214.

34. Пшеничный, Б.Н. Структура дифференциальных игр / Б.Н. Пшеничный // Докл. АН СССР. — 1969. — Т. 184, № 2. — С. 285-287.

35. Пшеничный, Б.Н. О дифференциальных играх с фиксированным временем / Б.Н. Пшеничный, М.И. Сагайдак // Кибернетика. — 1970. — № 2. — С. 5463.

36. Пшеничный, Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи / Б.Н. Пшеничный. — М.: Наука, 1980. — 319 с.

37. Субботин, А.И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр / А.И. Субботин // Докл. АН СССР. — 1980. — Т. 254, № 2. — С. 293-297.

38. Субботин, А.И. Кусочно-линейная функция цены дифференциальной игры с простым движением / А.И. Субботин // Тр. МИАН СССР. — 1988. — Т. 185. — С. 242-251.

39. Субботина, Н.Н. Альтернатива для дифференциальной игры сближения-уклонения при ограничениях на импульсы управлений игроков / Н.Н. Субботина, А.И. Субботин // Прикл. мат. и мех. — 1975. — Т. 39, Вып. 3. — С. 397-406.

40. Субботина, Н.Н. Универсальные оптимальные стратегии в позиционных дифференциальных играх / Н.Н. Субботина // Дифференц. уравнения. — 1983. — Т. 19, № 11. — С. 1890-1896.

41. Субботина, Н.Н. Метод характеристик Коши и обобщенные решения уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана/ Н.Н. Субботина // ДАН СССР. — 1991. — Т. 320, № 3. — С. 556-561.

42. Тарасьев, А.М. Алгоритм построения стабильного моста в линейной задаче сближения с выпуклой целью / А.М. Тарасьев, В.Н. Ушаков // Исслед. задач минимакс. упр. — УНЦ АН СССР. — 1985. — С. 82-91.

43. Ухоботов, В.И. Об одном классе дифференциальных игр / В.И. Ухоботов // Кибернетика. — 1974. — № 1. — С. 127-130.

44. Ухоботов, В.И. Об одном классе линейных дифференциальных игр с импульсными управлениями / В.И. Ухоботов // Прикл. матем. и мех. — 1974. — Т. 38, Вып. 4. — С. 590-598.

45. Ухоботов, В.И. Линейная дифференциальная игра с ограничениями на импульсы управлений / В.И. Ухоботов // Прикл. матем. и мех. — 1988. — Т. 52, Вып. 3. — С. 355-362.

46. Ухоботов, В.И. Линейная игра импульсной встречи заданной продолжительности с интегральным ограничением / В.И. Ухоботов // Вестник Челяб. ун-та. Сер. «Математика, механика». — 1991. —Вып. 1. — С. 47-64.

47. Ухоботов, В.И. Синтез управления в однотипных дифференциальных играх с фиксированным временем / В.И. Ухоботов // Вестник Челяб. ун-та. Сер. «Математика, механика». — 1996. — Вып. 1. — С. 178-184.

48. Ухоботов, В.И. Метод одномерного проектирования в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями: учеб. пособие / В.И. Ухоботов. — Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2005. — 124 с.

49. Ухоботов, В.И. Однотипная дифференциальная игра с терминальным множеством в форме кольца /В.И. Ухоботов// Некоторые задачи динамики и управления: сб. научных трудов. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2005. С. 108123.

50. Ухоботов, В.И. Об одной задаче импульсной встречи / В.И. Ухоботов, О.В. Зайцева // Вестник Удмуртск. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2008. — № 3. — С. 42-45.

51. Ухоботов, В.И. Линейная задача импульсной встречи в заданный момент времени при наличии помехи / В.И. Ухоботов, О.В. Зайцева // Тр. Института математики и механики УрО РАН. — 2010. — Т. 16, № 1. — С. 186-198.

52. Ухоботов, В.И. Однотипные дифференциальные игры с выпуклой целью / В.И. Ухоботов // Тр. Института математики и механики УрО РАН. — 2010. — Т. 16, № 5. — С. 196-204.

53. Ухоботов, В.И. Задача импульсного преследования вблизи поверхности Луны / В.И. Ухоботов, А.А. Троицкий // Математическая теория игр и ее приложения. — 2013. — Т. 5, № 4. — С. 105-118.

54. Ухоботов, В.И. Об одной задаче импульсного преследования /В.И. Ухоботов, А.А. Троицкий // Вестник Южно-Уральск. гос. ун-та. Сер. «Математика. Механика. Физика». — 2013. — Т. 5, № 2. — С. 79-87.

55. Ухоботов, В.И. Об одной игре импульсной встречи с терминальным множеством в форме кольца / В.И. Ухоботов, И.В. Изместьев // Вестник Южно-Уральск. гос. ун-та. Сер. «Математика. Механика. Физика». — 2014. — Т. 6, № 3. — С. 53-59.

56. Ухоботов, В.И. Однотипные дифференциальные игры с терминальным множеством в форме кольца / В.И. Ухоботов, И.В. Изместьев // Динамика систем и процессы управления: тез. докл. Международной конф., посвящ. 90-летию со дня рождения академика Н.Н.Красовского. Екатеринбург, 15-20 сентября 2014 года. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, УРФУ, 2014. С. 197-198.

57. Ухоботов, В.И. Синтез импульсного управления в декомпозиционных дифференциальных играх /В.И. Ухоботов, И.В. Изместьев // Динамика систем и процессы управления: тез. докл. Всероссийской конф. с международным участием, посвящ. памяти В.К.Иванова. Челябинск, 10-14 ноября 2014 года. Челябинск: издательский центр ЮУрГУ, 2014. С. 160-161.

58. Ухоботов, В.И. Об одной задаче импульсного управления при наличии помехи / В.И. Ухоботов, И.В. Изместьев // Тр. Института математики и механики УрО РАН. — 2015. — Т. 21, № 2. — С. 267-275.

перевод в:

Ukhobotov, V. I. On a problem of impulse control under interference / V. I. Ukhobotov, I. V. Izmest'ev // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. — 2016. — Vol. 293, suppl. 1. — P. 216-224.

59. Ухоботов, В.И. Об одной задаче импульсного управления при наличии помехи /В.И. Ухоботов, И.В. Изместьев// Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби: тез. докл. II Международного семинара, посвящ. 70-летию со дня рождения академика А.И.Субботина. Екатеринбург, 1-3 апреля 2015 года. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, УР-ФУ, 2015. С. 126-127.

60. Ухоботов, В.И. Однотипная задача импульсной встречи в заданный момент времени с терминальным множеством в форме кольца / В.И. Ухоботов, И.В. Изместьев // Вестник Удмуртск. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2015. — Т. 25, Вып. 2. — С. 197-211.

61. Ухоботов, В.И. Однотипные дифференциальные игры с терминальным множеством в форме кольца / В.И. Ухоботов, И.В. Изместьев // Динамика систем и процессы управления: сб. трудов Международной конф., посвящ. 90-летию со дня рождения академика Н.Н.Красовского. Екатеринбург, 1520 сентября 2014 года. Екатеринбург: изд-во УМЦ УПИ, 2015. С. 325-332.

62. Ухоботов, В.И. Об одной задаче преследования при наличии сопротивления среды / В.И. Ухоботов, И.В. Изместьев // Вестник Южно-Уральск. гос. ун-та. Сер. «Математика. Механика. Физика». — 2016. — Т. 8, № 2. — С. 6266.

63. Ухоботов, В.И. Квазилинейные задачи импульсного управления при наличии помехи /В.И. Ухоботов, И.В. Изместьев// Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого): тез. докл. XIII Международной конф. Москва, 1-3 июня 2016 года. Москва: ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 2016. С. 383-385.

64. Ухоботов, В.И. Синтез управлений в однотипной игровой задаче импульсной встречи в заданный момент времени с терминальным множеством в форме кольца /В.И. Ухоботов, И.В. Изместьев // Вестник Удмуртск. унта. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2017. — Т. 27, Вып. 1. — С. 69-85.

65. Ушаков, В.Н. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с интегральными ограничениями / В.Н. Ушаков // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. — 1980. — № 4. — С. 29-36.

66. Ушаков, В.Н. К вопросу стабильности в дифференциальных играх / В.Н. Ушаков // Позиционное управление с гарантированным результатом: Сб. науч. тр. — Свердловск: УрО АН СССР, 1988. — C. 101-109.

67. Филиппова, Т.Ф. Построение многозначных оценок множеств достижимости некоторых нелинейных динамических систем с импульсным управлением / Т. Ф. Филиппова // Тр. Института математики и механики УрО РАН. — 2009. — Т. 15, № 4. — С. 262-269.

68. Филиппова, Т.Ф. Алгоритмы оценивания множеств достижимости импульсных управляемых систем с эллипсоидальными фазовыми ограничениями / Т. Ф. Филиппова, О. Г. Матвийчук // Автомат. и телемех. — 2011. — № 9. — С. 127-141.

69. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. / Г.М. Фихтенгольц. — М.: Физматлит, 2001. — 616 с.

70. Ченцов, А.Г. О структуре одной игровой задачи сближения / А. Г. Ченцов // Докл. АН СССР. — 1975. — Т. 224, № 6. — С. 1272-1275.

71. Ченцов, А.Г. Итерационная программная конструкция для дифференциальной игры с фиксированным моментом окончания / А. Г. Ченцов // Докл. АН СССР. — 1978. — Т. 240, № 1. — С. 36-39.

72. Черноусько, Ф.Л. Игровые задачи управления и поиска / Ф.Л. Черноусько, A.A. Меликян. — М.: Наука, 1978. — 270 с.

73. Чикрий, А.А. Линейные дифференциальные игры с импульсным управлением игроков / А.А. Чикрий, И.И. Матичин// Тр. Института математики и механики УрО РАН. — 2005. — Т. 11, № 1. — С. 212-224.

74. Aubin, J.-P. Conditional viability for impulse differential games/ J.-P. Aubin, N. Seube // Annals of Operations Research. — 2005. — Vol. 137, no. 1. — P. 269-297.

75. Ganebny, S.A. Model problem in a line with two pursuers and one evader/ S.A. Ganebny, S.S. Kumkov, S. Le Menec, V.S. Patsko // Dyn. Games Appl. — 2012. — Vol. 2, no. 2. — P. 228-257.

76. Hermes, H. The generalized differential equation x E R(t,x) / H. Hermes // Advances Math. — 1970. — Vol. 4, no. 2. — P. 149-169.

77. Shima, T. Time-varying linear pursuit-evasion game models with bounded controls / T. Shima, J. Shinar //J. Guidance, Control and Dynamics. — 2002.

— no. 25. — P. 425—432.

78. Shinar, J. Solution techniques for realistic pursuit-evasion games / J. Shinar // Advances in control and dynamic systems. — 1981. — Vol. 17. — P. 63-124.

79. Shinar, J. Singular surface in a linear pursuit-evasion game with elliptical vectograms / J. Shinar, M. Medinah, M. Biton //J. Optimiz. Theory and Appl.

— 1984. — Vol. 43, no. 3. — P. 431-456.

80. Shinar, J. Pursuit of a faster evader — a linear game with elliptical vectograms / J. Shinar, M. Zarkh // Proc. 7th Intern. Symp. on Dynamic Games. Yokosuka: Japan. 1996. — P. 855-868.

81. Turetsky, V. Continuous feedback control strategy with maximal capture zone in a class of pursuit games /V. Turetsky, V.Y. Glizer // Intern. Game Theory Rev. — 2005. — Vol. 7, no. 1.— P. 1-24.

82. Ukhobotov, V. I. Quasilinear problems of impulse control under interference / V. I. Ukhobotov, I. V. Izmest'ev // Proc. 2016 Intern. Conf. «Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems» (Pyatnitskiy's Conference), STAB 2016. Moscow: Russia. 2016. (Scopus)

URL: http://ieeexplore.ieee.org/document/7541235/

Приложение 1. Свидетельство о государственной регистрации про-

граммы для ЭВМ