Задача определения гарантированных уровней при прогнозировании тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Замураев, Константин Александрович

• Замураев, Константин Александрович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Замураев, Константин Александрович

Оглавление

Введение

1. Обзор методов прогнозирования, управления и сглаживания

2. Определение гарантированных уровней при прогнозировании

2.1 Метод оценки гарантированных уровней прогноза

с помощью регрессии

2.2 Метод оценки гарантированных уровней прогноза с помощью предварительной обработки данных

2.3 Связь предварительной обработки данных с порядковыми статистиками

3. Практическая реализация методов определения гарантированных уровней

3.1 Определение гарантированных уровней цены на хлопок

3.2 Определение гарантированных уровней цены на нефть

3.3 Использование методов определения гарантированных уровней в управлении развитием экономики

Санкт-Петербурга

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача определения гарантированных уровней при прогнозировании»

ВВЕДЕНИЕ

Во многих технических, биологических и экономических задачах, в которых осуществляется работа с временными рядами, характеризующими случайные процессы, часто возникает необходимость в построении долгосрочных прогнозов.

В настоящее время прогноз и обработка информации принимает всё более сложные формы, которые зависят от большего количества параметров и факторов. Это приводит к необходимости учета нестационарности в моделях случайных процессов. В результате могут увеличиться ошибки и дисперсия получаемого долгосрочного прогноза.

Поэтому представляется перспективным определение некоторых характеристик временных рядов данных, задающих случайные процессы. Эти характеристики способствуют более точному и разностороннему прогнозированию, а также эффективному управлению процессом.

С такими задачами, например, можно встретиться на практике:

1. при определении «гарантированной на 75% уровне» минимальной цены нефти для формирования бюджета Российской Федерации на год или более;

2. при оценивании предельных уровней цен на основное производственное сырье в текстильной промышленности;

3. при расчете различных уровней развития экономических показателей государственными органами экономического регулирования Российской Федерации и её субъектов, с целью предупреждения развития экономики по негативному сценарию.

Приведенные выше задачи можно математически обобщить.

Обозначим за хи Ь = ОД,...,Г — 1 известные значения скалярного временного ряда. Необходимо определить некоторое значение А такое, что хг > А (или для некоторых задач хг < А) с вероятностью (} на будущем интервале времени, то есть для Ь = Г,..., Г + I.

Искомый уровень А можно считать своеобразным «гарантированным уровнем» прогноза при экстраполяции ряда в будущее. Этот уровень зависит от заданной вероятности

Определение 1. Для скалярного временного ряда хь, являющегося конечной реализацией стохастического процесса, гарантированным уровнем прогноза назовем такое значение А, для которого с вероятностью @ прогнозируемые значения временного ряда равны или могут превосходить его в будущем.

Существует большое число различных подходов и алгоритмов прогнозирования временных рядов, с помощью которых можно построить гарантированные уровни исходных временных рядов. Многие из этих методов основаны на регрессионном и авторегрессионом анализе. Большой вклад в эти области внесли зарубежные и отечественные исследователи: О.Вох, Н.Кгатег, ОЛепктБ, Я.Р.Еп§1е, С.Огаг^ег, С.Бкпз, Н.Акшке, Т.ВоИеЫеу,

A.Н.Колмогоров, Б.В.Гнеденко, А.В.Скороход, И.И.Елисеева, С.А.Айвазян,

B.С.Мхитарян, А.И.Орлов, С.А.Анатольев, Ю.П.Лукашин и многие другие.

В основе методов указанного типа лежит идея подбора некоторой регрессионной или авторегрессионной функции, которая бы описывала поведение имеющихся данных с целью дальнейшего прогнозирования её на интересующий нас временной интервал.

К числу таких методов относятся методы, использующие парную линейную регрессию, авторегрессию, модели авторегрессии и распределенного лага (АОЬ), АЛМА-модели, АЯСН-модели, методологию

Бокса-Дженкинса, модели Хольта, Уинтерса, Брауна и другие. Однако их основной задачей является прогнозирование исходного ряда, а не его характеристик. Учитывая изложенное, разработка методов определения гарантированных уровней прогноза временных рядов, актуальна.

Предметом исследования данной диссертационной работы является задача долгосрочного прогнозирования характеристик случайных процессов по имеющейся реализации в виде конечных временных рядов. Цель диссертации заключается в разработке методов поиска гарантированных уровней стохастического процесса на будущих интервалах времени.

Таким образом, в диссертации ставятся следующие задачи:

1. Исследовать возможности определения уровней прогноза временных

рядов.

2. Сформулировать метод определения гарантированных уровней прогноза, использующий регрессионный аппарат.

3. Сформулировать альтернативный метод определения гарантированных уровней, который бы позволил на практике получать значения с меньшим разбросом.

4. Применить предлагаемые методы к реальным экономическим задачам с целью анализа получаемых результатов.

В работе рассматривается способы специального прогнозирования случайных процессов по их реализациям в виде конечных временных рядов. Полученные результаты могут найти применение в различных областях науки и техники, в частности и экономике, где требуется определения характеристик процессов на будущих интервалах времени.

Научная новизна диссертации заключается в обосновании алгоритмов

метода определения гарантированных уровней прогноза, использующего

регрессионный аппарат, а также в разработке нового метода предполагающего

5

первичную обработку данных, на практических примерах позволяющего получать значения с меньшим разбросом случайных ошибок.

Возможным решением данной проблемы является построение регрессионной зависимости хг = щ + еи где объясняющая функция щ (далее - тренд) определяется из множества О. по правилу минимизации дисперсий случайных ошибок О(^)-> тт.

Процедура определения объясняющей функции щ осуществляется с использованием метода наименьших квадратов, алгоритм которого предполагает работу с функцией суммы квадратов, для которой существует минимум.

Множество выбирается так, чтобы случайные ошибки ег были центрированы Е(е= 0. То есть, считаем, что случайные ошибки е1 являются случайным процессом, стационарным в широком смысле.

Ясно, что тренд щ и гистограмма распределения остатков ег являются статистиками исходного ряда

Таким образом, возникает задача определения этих двух функций (функция тренда, плотность распределения ошибок) в некотором функциональном пространстве по известным конечным реализациям.

В диссертации решается задача определения гарантированного уровня скалярного временного ряда с использованием регрессии. Для этого формулируются и доказываются теоремы, позволяющие определить гарантированный уровень в явном виде или оценить гарантированный уровень в различных общих случаях.

Кроме того, предлагается метод определения уровня А, основанный на предварительной модификации исходного временного ряда.

Алгоритм данного метода предполагает выделение из исходного временного ряда случайных величин новый временной ряд статистик, обладающий выборочной и остаточной дисперсиями, по крайней мере, не превосходящими аналогичные дисперсии исходного ряда.

Данные характеристики представляются важными критериями качества получаемого результата при решении подобных задач, и часто служат сравнительной характеристикой используемых методов прогнозирования или управления.

В работе на нескольких частных случаях с использованием аппарата порядковых статистик обосновывается состоятельность предлагаемого нового метода.

Проводятся три реализации метода на практических примерах, с использованием реальных статистических данных. Первый эксперимент посвящен определению уровней цены на нефть марки Brent, ниже которых она не опустится с некоторой вероятностью. Второй - определению аналогичных уровней для цены на хлопок на внутреннем рынке США. Приведенные ценовые параметры выбраны потому, что их временные ряды имеют сложную структуру: цена на нефть характеризуется обилием факторов, влияющих на её динамику; цена на хлопок характеризуется наличием различных сезонных составляющих, то есть предлагаемый метод апробируется на достаточно сложных данных. В третьем примере рассматривается модель получения гарантированных уровней для оборота организаций и инвестиций в основной капитал с учетом идей выделения нижнего предела для оборота и верхнего для инвестиций. Для всех примеров, помимо построения прогноза, произведено построение полос возможного разброса и сравнение с аналогичными полосами исходных данных. Анализ моделирования в каждой из рассматриваемых практических задач показал

эффективность применения предлагаемого метода, в смысле снижения выборочной дисперсии получаемого гарантированного уровня.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Метод определения гарантированных уровней прогноза, основанный на применении регрессии и оценке гистограммы.

2. Метод определения гарантированных уровней прогноза, основанный на специальной первоначальной обработке исходной статистической информации.

3. Применимость методов, подтвержденная результатами трех практических задач с реальными данными.

Основные положения, представленные в диссертации, докладывались на ХЬ и ХЫП международных научных конференциях аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» факультета ПМ-ПУ СПбГУ, международной научной конференции «Математика, экономика, менеджмент: 100 лет со дня рождения Л.В. Канторовича», международной научно-практической конференции «Государство и бизнес. Вопросы теории и практики». А также на научных семинарах факультета ПМ-ПУ СПбГУ (кафедры Моделирования экономических систем, Математической теории игр и статистических решений, Компьютерного моделирования и многопроцессорных систем), Санкт-Петербургского института информатики и автоматизации РАН, Института прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН, кафедры информационных систем и математических методов в экономике экономического факультета Пермского государственного национального исследовательского университета, кафедры математического моделирования и эконометрии факультета экономики и финансов Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова.

Глава 1

Обзор методов прогнозирования, управления и сглаживания

Задачи прогнозирования и управления различными параметрами и процессами являются одними из важнейших областей применения современной прикладной математической науки. Указанные направления исследования широко представлены в экономике, биологии, во многих областях физики и инженерии. Именно в них были достигнуты многие теоретические результаты эконометрики и математической статистики.

В основе прогнозирования динамики статистических параметров и рядов, лежит идея определения модели симулирующей поведение и тенденции развития исследуемого процесса.

Для подобных задач, одним из наиболее эффективных описательных приемов служит парная регрессия [9],[37],[69], задаваемая уравнением (1.1)

Уь = Р о + РгЩ + Ей 1 = Туп, (1-1)

и множественная регрессия [52], имеющая вид (1.2)

У1=Ро+Р1Хц + - + РкХк1 + £и 1 = Туп- (1-2)

В регрессионных моделях оценка коэффициентов уравнения чаще всего строится с помощью метода наименьших квадратов (МНК), который при удовлетворении условий Гаусс-Маркова (верна спецификация модели, детерминированность регрессора, несмещенность в среднем и постоянство

дисперсий ошибок, их некоррелированность) дает состоятельные и несмещенные оценки [4]-[55].

Правильность выбора объясняющих переменных можно определить по коэффициенту детерминации (множественной детерминации) или корреляции (множественной корреляции) [7],[22],[86]. Однако помимо практического обоснования причинно-следственных связей между исследуемыми временными рядами, их наличие можно определить тестом Грейнджера на причинность [67]. Выбор между моделями осуществляется информационными критериями, например тест Акаике [58].

Указанные условия, накладываемые на данные временных рядов с целью получения МНК-оценок, часто сложно проверить. В таких случаях идентифицировать коэффициенты уравнения регрессии можно методами максимального правдоподобия (ММП), инструментальных переменных (МИП) [31],[50] и другими.

С вычислительной точки зрения получение МНК-оценок на практике проще, нежели ММП или МИП оценки.

Кроме того, методы максимального правдоподобия и инструментальных переменных налагают на временной ряд также некоторые условия, которые при реализации экспериментов на реальных данных не всегда удовлетворяются.

Так, в методе максимального правдоподобия необходима информация о виде распределения исходных данных [28] или информация о распределении их случайных ошибок и их независимость. В практических примерах часто сложно определить вид распределения данных или ошибок, то есть гистограмму плотности распределения нельзя однозначно отнести к какому-либо классу, в таком случае, производятся ослабления требований

путем условного отнесения данных к какому-либо виду распределения. Отсюда оценки параметров уравнения регрессии функцией правдоподобия ¿(0), могут быть смещены [8].

В свою очередь, основой метода инструментальных переменных является выбор вспомогательных элементов 2, к примеру, для уравнения линейной регрессии в матричном виде они будут иметь следующую форму [54]:

У = Хр + £ (1

Х = 2П+У к ' ;

В (1.3) 2 - матрица инструментальных переменных (п х д), V - матрица ошибок (п х к), П - матрица, отражающая эффект влияния инструментальных переменных на эндогенные регрессоры, X - матрица объясняющих переменных (п х к), у - вектор наблюдений (п х 1), г - вектор случайных составляющих (к х 1), ¡3 - неизвестный вектор регрессионных параметров (к х 1).

При выборе инструментальных переменных, для построения эффективной оценки вектора /?, необходимо достижение условия не коррелированности 2 с £, то есть инструменты 2 не должны иметь прямого влияния на у (должны быть экзогенными). Данное требование при рассмотрении многих практических задач удовлетворить сложно. Несостоятельность и смещенность «слабых инструментов» часто может превосходить смещенность МНК-оценки, возникшую из-за несоблюдения условий Гаусс-Маркова [57].

Для сравнения полученных МНК и МИП оценок, а также для проверки экзогенности можно применять тест Дарбина-Ву-Хаусмана [72].

Помимо классов регрессионных моделей, при решении задач прогнозирования особый интерес представляет описание динамики процесса, для которого на текущее состояние линейно оказывают влияния предыдущие.

Для описания указанных процессов используют авторегрессионные модели АЯ(р) вида (1.5) [10], [34]

р

= (1.5)

1=1

модели использующие скользящее среднее МА^) (1.6) [21]

ч

= (1-6)

Хг

;=о

а также смешанные типы, авторегрессии - скользящего среднего АЯМА(р,д) [18]

р я

X.

1 = 1 ]=0

с = ^ «¿Х£_р + ^Г (1.7)

Для описания взаимодействия авторегрессионного параметра с другим эндогенным процессом таюке используют модели авторегрессии и распределенного лага АБЬ(р^) [38],[71],[85]

р

Ус

г ч

= ^ а1Уг-1 + ^ Р]Хгч + Ег. (1.8)

¿=1 ¿=0

Указанные выше модели применяются к стационарным (в широком смысле) временным рядам, то есть для которых верно постоянство среднего значения, и неизменность во времени выборочных дисперсий и автокорреляций [3]. Проверку стационарности можно осуществить тестом Дики-Фуллера на наличие единичных корней [19],[64]. Кроме того, для

определения наличия трендовой или сезонной составляющих, являющиеся признаками нестационарности ряда, возможно проведение визуального исследования графика автокорреляционной функции.

Для удовлетворения условий Гаусса-Маркова необходима некоррелированность ошибок временных рядов. Данной проблематике отдельно посвящаются исследования. Для идентификации автокорреляции разработаны и применяются тесты Дарбина-Уотсона (неавторегрессионные модели, автокорреляции первого порядка), /z-критерий Дарбина для авторегрессионных моделей с автокорреляцией первого порядка, для идентификации автокорреляции любого порядка используют тесты Бройша-Годфри, ф-статистику Бокса-Пирса, Q-тест Лыонга-Бокса [39].

Так же стоит упомянуть о послаблениях, связанных с неоднородностью наблюдений, которые производятся при использовании на практике МНК, МИП и ММП. Вопросу гетероскедастичности случайных ошибок посвящаются отдельные исследования, целью которых является идентификация гетероскедастичности, например тестами Голдфелда-Куандта, Уайта и Бройша- Пагана [68], определения её вида, как например, применение критерия Бартлетта, и дальнейшее построения оценок с использованием обобщенного или взвешенного МНК [49].

Для работы с гетероскедастичными данными предложены модели авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH), которые впервые были применены для объяснения волатильности на финансовых рынках. Модель ARCH, предложенная Энглом [65], представляет собой систему вида (1.9)

= «о + ai£t-i Н-----ap£t-p ^ ^

= Уг ~ xtP

То есть предполагается зависимость условной дисперсии от квадратов прошлых значений ошибок.

В развитие модели ARCH Боллерслевом предложена обобщенная модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (Generalized ARCH) [60], предполагающая зависимость условной дисперсии ещё и от собственных прошлых значений:

q р

°t = «О + ^ + Yu (1"10)

1=1 j=l

Другие обобщения и модификации моделей GARCH рассмотрены в [70],[77]

Однако, для того, чтобы к классам моделей авторегрессии, скользящего среднего, авторегрессии-скользящего среднего иметь возможность применить теоретические выводы, требуется условие их стационарности, или же возможность, в случае нестационарного ряда, выделить стационарный ряд специальными методами.

В случае нестационарных рядов разработан механизм ARIMA (p,q,d') так называемой модели Бокса-Дженкинса [33],[53], в основе которой лежит операция численного интегрирования, необходимая для выделения из исходного yt стационарный ряд, где d обозначает количество проделанных операций

ДУс = Ус~ Уг-1, A2yt = Ayt - (1,11)

дdyt = - да-iyt-i

Однако, не смотря на развитие методов для работы с нестационарными рядами, при выборе модели включающей в себя авторегрессию часто делаются послабления требований стационарности рядов, а понятие

14

авторегрессии не рассматривается в качестве объекта исследования и применения теоретической базы [20].

Помимо ставших классическими параметрических методов идентификации коэффициентов уравнения регрессии стоит упомянуть непараметрический метод прогнозирования временного ряда с некоторой вероятностью, метод квантильной регрессии, или его частный случай медианной регрессии. Суть его заключается в поиске оценки /? коэффициента в — й простой квантили, минимизирующей следующий функционал [42]-[74]

где хиу1 - наблюдаемые переменные, для которых верно Уг = чРв + Щи

Данным методом, однако, проведено незначительное число применений к практическим задачам на реальных данных, поэтому сложно говорить о его выигрышности с точки зрения точности вычислений (в большинстве примеров рассматриваются временные ряды с постоянной функцией тренда), а также простоты вычисления (в большинстве случаев рассматривается линейная регрессионная функция). При использовании квантильной регрессии возможно получение ряда квантилей ряда на будущем интервале времени (прогноза с некоторой вероятностью), однако, для оценки гарантированного уровня ряда на интервале требуются дополнительные предположения о способе его определения.

Все перечисленные, а также многие другие эконометрические методы, уже давно применяются в решении практических задач прогнозирования. С помощью них достигнуто множество результатов в прикладной науке, которые способствовали развитию сферы применения и позволили по-новому взглянуть на неё. Однако изначальной областью разработки и апробации этих

методов являлась экономика, в которой эконометрика вылилась в самостоятельную дисциплину экономической теории. Множество задач, от общих экономических измерений и оценки параметров моделей макроэкономики до прогнозирования процессов в микроэкономических масштабах охвачены прикладной эконометрикой.

С помощью моделей, состоящих из линейной, множественной регрессии, авторегрессии, скользящего среднего, эффективно описывается поведение взаимодействующих экономических параметров, например влияние инвестиций на экономический рост, моделируются сложные эндогенные процессы, такие как, динамика курса валют, акций или цен.

Описывая динамику объемов инвестиций в основные фонды, учеными, представляющими различные экономические школы, был предложен ряд разных моделей, в основе которых рассматривалось возможность влияния на изменение инвестиций различных экономических параметров.

Одной из первых среди них была акселераторная модель чистых инвестиций, предложенная Кларком ещё в 1917 году [62]

к; = fiYt

Int = Kt- fft-1 = H(Yt - Yt-1)

Здесь -оптимальный объем основных фондов, Kt - реальный объем основных фондов, Yt - реальный выпуск в момент (, fi - постоянная величина отношения капитал/выпуск.

Данная модель считается не универсальной из-за предположения о постоянстве отношения капитала и выпуска, однако формулировалась она с целью возможного объяснения волатильности инвестиционных затрат. Кроме того, в эмпирических опытах часто возникали ситуации, когда МНК-оценки параметра были много меньше средних отношений капитал/выпуск.

Более общую акселераторную модель (модель геометрических лагов) для чистых инвестиций 1п1 предложил Койк в работе 1954 года [2],[66]

Здесь Я - фиксированный множитель отношения разности Щ и Кь-г к 1Ш, О < Я < 1. Видно, что модель пред ставима в форме с распределенными лагами с геометрически убывающими весами.

В 1960 году Грюнфельдом предложена модель, связывающая инвестиции с рыночной стоимостью фирмы:

где Уг рыночная стоимость фирмы.

Опираясь на неё Р.Копке, при изучении вопроса измерения инвестиций для нежилых сооружений и производственного оборудования, заменил рыночную стоимость фирмы на более ликвидные величины, введя в модель динамический параметр внутреннего денежного потока [75]

/^-внутренний денежный поток,/- индекс цены для новых элементов основных фондов.

Приведенные модели представляют собой ряд конкурирующих между собой точек зрения различных экономических теорий на процесс прогнозирования инвестиций. Реализация их в практических задачах показала правомерность использования каждой из них, однако как уже упоминалось ранее, в рамках одной модели удается учесть одну группу особенностей

Агс - Л-Ж - Кг-г)

¡пс = — = /лАУ)- — К, = + Я(1 - Я)П_! + Я(1 - Я)2П_2 + - )

Ь=Ла + + {8 - Х)К{

С-1

т-1

данного процесса, в рамках другой вторую группу. Учет всех имеющихся влияний на инвестиции приводил, обычно, к чрезмерному усложнению модели и её не эффективности. Следствием этого служит частое возвращение к модели временных рядов инвестиций, где в основе лежит авторегрессия, а иные влияние экономических параметров не рассматриваются [80]:

Для решения более сложных многоуровневых экономических задач на практике реализуются векторные модели авторегрессии (УЛЫ) [79],[82]. Для них адаптированы некоторые методы идентификации коэффициентов одномерных уравнений [35],[73].

С развитием таких дисциплин как математическая статистика, теория управления и эконометрика многие прикладные экономические задачи стали объектом применения методов вышеуказанных дисциплин. Как следствие, экономические проблемы стали рассматриваться не только с точки зрения построения точного прогноза, но и с учетом возможности управления и корректировки процесса.

Так в рамках современной теории управлении существуют методы позволяющие производить управляемый прогноз.

Например, дискретной линейной системой вида

описывается производственная цепочка включающая склад и сборочный цех. Здесь хк - вектор размерности п, каждый элемент которого число комплектующих на складе в день к, ик- вектор размерности п, каждый элемент которого число комплектующих поступивших на склад в день к, £ дивектор размерности п, каждый элемент которого число элементов ушедших из

т

;=1

хк+1 ~ хк ~ &хк + ик> °к ~ с*хк

склада для сборки конечного продукта (т.е. диагональные элементы матрицы И - количество элементов каждого вида требуемых на изготовление 1 конечного продукта), ак - количество собранных конечных продуктов за день к (с - вектор, состоящий из диагональных элементов матрицы £)).

Таким образом, приняв в указанной системе ик как вход, ок выход, можно применять методы теории управления для достижения интересующих значений хк+1 [30].

Существуют также модели управления развития отраслями за счет управления инвестициями. Так, в [43] строится модель

Х{г) = + ви{ь)

которая описывает перевод отрасли Х(Ь) из одного состояния в другое за счет управления инвестициями ¿/(С).

Нобелевским лауреатом Томасом Сарджентом в соавторстве с Нилом Уоллесом в [84] предложена идея внедрения управляющей составляющей в эконометрическую модель экономического процесса, с целью достижения некоторых уровней. Ими описывается модель взаимодействия уровней ВНП ус и объемов денежной массы т1:, и с точки зрения финансового органа ставится задача достижения в момент Г некоторого уровня у*.

уг = а+ Яус_! + /?7ПС + ег

Видно, что в приведенном стохастическом уравнении ВНП имеет эндогенную природу. Также, делается предположение, что имеет место следующая зависимость тг = д0 + д-уУг-х - Таким образом, с целью получения интересующих значений объемов денежной массы возможно регулирование происходит за счет варьирования коэффициентов д0, д1.

Однако стоит отметить, что приведенная модель предназначена для краткосрочного прогнозирования на 1-2 будущих периодов. Кроме того, дополнительные сложности вносит авторегрессия ВНП.

В целом, исследованию значимости влияния инвестиционных процессов на изменение роста экономики уделяется достаточное внимание уже несколько десятилетий. Так, в работах Роберта Солоу [81] и Роберта Лукаса [76] рассматриваются неоклассические модели эндогенного экономического роста, в которых с использованием производственных функций определена связь чистых инвестиций с общим объемом производства.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Замураев, Константин Александрович, 2014 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Бардасов С. А. Эконометрика. Тюм.: Изд-во ТюмГУ, 2010. 264 с.

2. Берндт Э. Р. Практика эконометрики: классика и современность / пер. с англ. Е. Н. Лукаша; под ред. С. А. Айвазяна. М.: Юнити. 2005. 863 с.

3. Бокс Д., Дженкинс Г. Анализ временных рядов, прогноз и управление. Том 1 / пер. с англ. Дж. Бокс, Г. Дженкинс; под ред. В. Ф. Писаренко. М.: Мир, 1974.406 с.

4. Буре В. М., Евсеев Е. А. Основы эконометрики. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004. 48 с.

5. Бушуев В., Исаин Н. Насколько закономерны цены на нефть? // Нефть России. 2012. № 12. С. 19-23.

6. Гормин А. А., Каштанов Н. М. Уменьшение дисперсии при оценивании опционных контрактов И Вестник СПбГУ. 2009. № 3. С. 10-20.

7. Джонстон Дж. Эконометрические методы / пер. с англ.

A. А. Рывкина. М.: Статистика, 1980. 444 с.

8. Догэрти К. Введение в эконометрику современность / пер. с англ. Е. Н. Лукаша, О. Ю. Шибалкина, О. О. Замкова; под ред. О. О. Замкова. М.: Университетский учебник, 1999. 402 с.

9. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ, Том 1 / пер. с англ. Ю. П. Адлера, В. Г.Горского. М: Финансы и статистика, 1986. 366 с.

10. Дуброва Т. А. Статистические методы прогнозирования. М.: Юнити-ДАНА, 2003. 206 с.

11. Дэйвид Г. Порядковые статистики / пер. с англ. В. А. Егорова,

B. Б. Невзорова; под ред. В. В. Петрова. М.: Наука, 1979. 336 с.

12. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике. СПб.: Невский Диалект, 2009. 192 с.

13. Замураев К.А. О частных характеристиках временного ряда // Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г.Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2009. С. 596-602.

14. Замураев К.А., Прасолов A.B. Модель регулирования экономики Санкт-Петербурга за счет инвестиционного потока // Петрзвск.: Труды КарНЦ РАН. Сер. Математическое моделирование и информационные технологии. 2013. № 1. С. 38-46.

15. Замураев К.А. Об управлении инвестиционным потоком в экономике Санкт-Петербурга // СПб.: Финансы и бизнес. 2013. № 1. С. 39-49.

16. Замураев К.А. Об управлении инвестиционным потоком в экономике Санкт-Петербурга // Процессы управления и устойчивость: Труды 43-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2012. С. 494-500.

17. Замураев К. А., Прасолов A.B. Исследование уровней развития экономики Санкт-Петербурга. Государство и бизнес. Вопросы теории и практики: моделирование, менеджмент, финансы: материалы V Международной конференции. Санкт-Петербург, 23-25 апреля 2013 г. / Под ред. В. А. Курзенева, А. В. Лабудина, Н. А. Тарасова. СПб.: ИПЦ СЗИУ РАНХиГС, 2013. Принята к публикации.

18. Канторович Г. Г. Лекции: Анализ временных рядов // Экономический журнал Высшей школы экономики. 2002. Т. 6. № 2. С. 251-273

19. Канторович Г. Г. Лекции: Анализ временных рядов // М.: Экономический журнал Высшей школы экономики. 2002. Т. 6, № 4. С. 498-523.

20. Канторович Г. Г. Лекции: Анализ временных рядов // М.: Экономический журнал Высшей школы экономики. 2003. Т. 6, № 1. С. 79-103.

21. Карлин С. Основы теории случайных процессов / пер. с англ. В. В. Калашникова; под ред. И. Н.Коваленко. М.: Мир, 1971. 537 с.

22. Кендалл М., Стьюард А., Статистические выводы и связи / пер. с англ. JI. И. Гальчука, А. Т. Терехина; под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Наука, 1973. 900 с.

23. Кирьянов Д. В., Кирьянова Е. Н. Вычислительная физика. М.: Полибук Мультимедиа, 2006. 352 с.

24. Киселев Н. В., Штрафина Е. Д. Эконометрический анализ инвестиционной активности экономики московской области // Королев. Вопросы региональной экономики. 2012. № 4. С. 40-47

25. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. М.: Физматлит. 2006. 816 с.

26. Козлов М. В., Прохоров А. В. Введение в математическую статистику. М.: Изд-во МГУ, 1987. 264 с.

27. Коротченко А. С. Корреляционно-регрессионный анализ влияния инвестиционной активности на рост регионального валового продукта Калининградской области // Калининград, Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2010. №3. С. 108-115.

28. Кремер Н. Ш., Путко Б. А. Эконометрика. М.: Юнити, 2002. 311 с.

29. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа в 3 томах. Т. 1. М.: Дрофа, 2003. С. 704 с.

30. Леонов Г. А. Теория управления. СПб: Изд-во СПбГУ, 2003. 233 с.

31. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов. М.: Физматлит, 1958. 337 с.

32. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. М.: Финансы и статистика, 2003. 416 с.

33. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий A.A. Эконометрика. Начальный курс, 6-е изд. М.: Дело, 2004. 576 с.

34. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 2 / пер. с франц. А. И. Гладышевского, Г. А. Фреймана; под ред. Б. Н. Михалевского, И. Ш. Амирова. М.: Статистика С., 1976. 329 с.

35. Матвеев М. Г. Параметрическая идентификация моделей векторной авторегрессии // Современная экономика: проблемы и решения. Воронеж: Изд-во ВоронежГУ. 2010. № 5. С. 133-142.

36. Миролюбова А. А., Прогнозирование взаимодействия инвестиционного процесса с основным капиталом и его влияния на развитие региона-реципиента // Иваново, Известия высших учебных заведений. Серия: Экономика, финансы и управление производством. 2011. № 3. С. 69-75.

37. Мхитарян В. С., Архипова М. Ю., Балаш В. А., Балаш О. С., Дубова Т. А., Сиротин В. П. Эконометрика. М.: Проспект, 2010. 384 с.

38. Носко В. П. Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. М. 2002. 273 с.

39. Носко В. П. Эконометрика. Книга первая. М.: Дело, 2011. 672 с.

40. Под ред. Елисеевой Т. И. Эконометрика. М.: Финансы и Статистика, 2003. 344 с.

41. Положинцев Б. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Введение в математическую статистику. Учебное пособие. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2010. 95 с.

42. Постникова Е. А. Квантильная регрессия. Иск.: Изд-во НГУ, 2000. 34 с.

43. Прасолов А. В. Математические методы экономической динамики, СПб. Лань, 2008. 352 с.

44. Прохоренков А. М., Качала Н. М. Построение прогнозирующих моделей систем управления теплоэнергетическими объектами // Мурм.: Вестник МГТУ. 2011. Т. 14. № 3. С. 546-551.

45. Розенберг Г. С., Шитиков В. К., Брусиловский П. М. Экологическое прогнозирование (функциональные предикторы временных рядов). Тольят.: Изд-во ИЭВБ РАН, 1994. 182 с.

46. Савелова Т. И. Метод Монте-Карло. М.: НИЯУ МИФИ, 2011. 152 с.

47. Сархан А., Гринберг Б. Введение в теорию порядковых статистик / пер. с англ. Э. А. Боярского. М.: Статистика, 1970. 417 с.

48. Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. 312 с.

49. Суслов В. И., Ибрагимов H. М., Талышева JI. П., Цыплаков А. А. Эконометрия. Нск: Изд-во СО РАН, 2005. 744 с.

50. Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. Эконометрика. М.: Изд-во Рос. экон. Акад, 2002. 640 с.

51. Федотов А.В. Прогнозирование динамики банковских ресурсов методом Монте-Карло // Нск.: Сибирский журнал вычислительной математики. 2006. №4. С. 369-378.

52. Фёрстер Э., Рёнц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа / пер. с нем. В. М. Ивановой. М.: Финансы и статистика. 303 с.

53. Ханк Д. Э., Уичерн Д. У., Райте А. Дж. Бизнес-прогнозирование / пер. с англ. В. В. Марченко, В. Н. Радченко, А. В. Слепцова, О. М. Ядренко; под ред. А. В. Слепцова. М.: Издательский дом «Вильяме», 2003. 656 с.

54. Цыплаков А. А. Экскурс в мир инструментальных переменных // Квантиль. 2007. № 2. С. 21-47.

55. Шанченко Н. И. Лекции по эконометрике. Ульян.: Изд-во УлГТУ, 2008. С. 28-30.

56. Шипунов Е. А. Бюджетные инвестиции как фактор социально-экономического развития российских регионов // Транспортное дело России. 2009. № 5. С. 49-51.

57. Эббес П. Инструментальные переменные: нетехнический обзор // Квантиль. 2007. № 2. С. 3-20.

58. Akaike H. A new look at the statistical model identification // Transactions on Automatic Control. 1974, V.19. P. 716—723.

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72,

Arce G.R. Nonlinear Signal Processing A Statistical Approach. Wiley, New Jersey, 2005. 459 p.

Bollerslev T. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity //

Journal of Econometrics. 1986. V. 31. P. 307-327.

Chou Y. Statistical Analysis. Holt International, 1975. 794 p.

Clarke J.M. Business acceleration and the law of demand: Technical factor in

economic cycles // Journal of political economy. V. 25. № 1. P. 217-235.

DeGroot M. H., Schervish M. J. Probability and Statistics. 4ed Edition.

Addison-Wesley, 2002. 893 p.

Dickey D., Fuller W. Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root // Journal of the American Statistical Association. Vol. 74. 1979. P. 427-431.

Engle R. F. Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of Variance of United Kingdom Inflation // Econometrica, V. 50. № 4. 1982. P. 987-1007.

Franses P. H., van Oest R. On the econometrics of the Koyck model // Econometric Institute Report, 2004. P. 1-11.

Granger C. W. J. Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-spectral Methods // Econometrica 1969. V. 37. № 3. P. 424-438. Greene W. H. Econometric analysis. Prentice Hall, 2003. 827 p. Gujarati D. N. Basic Econometrics 4nd Ed. The McGraw-Hill Companies, 2004. 1004 p.

Hamilton J.D. Time series analysis. Princeton, 1994. 799 p. Hassler U., Wolters J., Autoregressive distributed lag models and cointegration // AStA Advances in Statistical Analysis. Springer. 2006. Vol. 90. № l.P. 59-74.

Hausman J. A. Specification Tests in Econometrics // Econometrica. 1978. Vol. 46. №6. P. 1251-1271.

73. Keating J. Structural Approaches to Vector Autoregressions // Federal Reserve Bank of St. Louis Review. 1992. V. 74. № 5. P. 37-57.

74. Koenker K., Hallock K. F. Quantile Regression // Journal of Economic Perspectives. 2001. V. 15. № 4. P. 143-156.

75. Kopcke R. W. Forecasting investment with models and surveys of capital spending //New England economic review, 1993. P. 47-72.

76. Lucas R. E. On the Mechanics of Economic Development // Journal of Monetary Economics. 1988. V. 22. P. 3-42.

77. Nelson D. B. Conditional heteroskedasticity in asset returns A new approach // Econometrica. 1991. № 59. P. 347-370.

78. Olver F. W. J., Lozier D. W., Boisvert R.F., Clark C.W. NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge University Press. 2010. 967 p.

79. Sims C. Macroeconomics and Reality // Econometrica. 1980. V. 48. № 1 P. 148.

80. Sipos C., Boleantu M. Autoregressive models for analysis of foreign investment in Romania // University of Oradea, Annals of Faculty of Economics. 2008. V. 2. P. 927-932.

81. Solow R. M. A Contribution to the Theory of Economic Growth // Quarterly Journal of Economics. 1956. V. 70. P. 65-94.

82. Stock J. H., Watson M. W. Vector Autoregressions // Journal of Economic Perspectives. 2001. № 15. V. 4. P. 101-115.

83. Teichroew D. Tables of expected values of order statistics and products of order statistics for sample size 20 and less from normal distribution // Ann.Math.Statist. V. 27. 1956. P. 410-426.

84. Wallace N., Sargent T. Rational expectations and the theory of economic policy// Journal of econometrics. 1976. V. 2. P. 169-183.

85. Wickens M. R., Breusch T. S. Dynamic Specification, the Long-Run and The Estimation of Transformed Regression Models // The Economic Journal. 1988. Vol. 98. № 390. P. 189-205.

86. Wooldridge J. Introductory Econometrics: A Modern Approach. Southwestern, 2002. 819 p.

I