Некоторые вопросы математического моделирования среднесрочных и краткосрочных инвестиций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Бабиков, Владимир Георгиевич

• Бабиков, Владимир Георгиевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бабиков, Владимир Георгиевич

Введение

Глава 1. ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ БАНКА

Глава 2. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ БАНКА С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА МНОГОМЕРНЫХ

ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

2.1. Постановка задачи, представление данных

2.2. Мультиколлинеарность и частная корреляция

2.3. Оценка дисперсии ошибок а2. Распределение в

2.4. Гетероскедастичность и корреляция по времени

2.5. Обобщенный метод наименьших квадратов

2.6. "Старение" информации

2.7. Интерпретация факторов

2.8. Политический фактор

2.9. Модель для прогнозирования доходности государственных облигаций

2.10. Замечания по модели

Глава 3. УПРАВЛЕНИЕ КРАТКОСРОЧНЫМИ

ФИНАНСОВЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ

3.1.1. Исходные данные

3.1.2. Анализ данных

3.1.3. Разделение ошибок экспертов

3.1.4. Анализ ошибок и точность прогнозов 66 3.2. Задача о размещении временно свободных средств. 71 Использование критерия Сэвиджа

3.2.1. Критерий Сэвиджа

3.2.2. Использование критерия Сэвиджа в задаче о 74 размещении свободных средств

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы математического моделирования среднесрочных и краткосрочных инвестиций»

Формирование кредитно-депозитного портфеля и управление активами являются важными задачами как для отдельного банка, так и для всего банковского сектора экономики. Для их решения исследуются соответствующие зависимости, функции, оцениваются параметры модели банка, прогнозируются доходности по ценным бумагам.

Методы прогнозирования в применении к рынку ценных бумаг рассматривались в ряде работ [1-3]. К изучению этой проблемы существуют различные подходы. Так в решении задач прогнозирования, инвестиционного анализа нашли широкое применение исследования по временным рядам [4-11], экспертные оценки [12-22].

Изучение зависимости процентных ставок от макроэкономических показателей также имеет большое теоретическое и практическое значение. Необходимость этих исследований возникает во многих задачах экономической теории, в финансовом менеджменте, при инвестиционном анализе. Изучение и моделирование различных явлений, протекающих в банковской системе, и, в особенности, процесса формирования кредитно-депозитных портфелей банков и спроса на деньги с их стороны [23,24] является очень важной задачей как для государства, так и для частных инвесторов.

В данной работе представлены методы прогнозирования в применении, прежде всего, к задачам в области экономики и управления. В первой главе представлена модель банка и на ее основе решается задача формирования кредитно-депозитного портфеля. Во второй главе с помощью методов статистического анализа многомерных временных рядов решается задача прогнозирования параметров модели кредитно-депозитной политики банка. В третьей главе рассматривается задача управления временно свободными активами банка. Применительно к этой задаче предлагается специальный метод экспертного прогнозирования.

Цель работы: разработка комплекса моделей, алгоритмов и программ для поддержки принятия решений в области среднесрочных и краткосрочных инвестиций.

Потребности практики и возможности, предоставляемые сегодня программными средствами и средствами вычислительной техники, дали мощный импульс развитию новых информационных технологий.

Одним из важных направлений новых информационных технологий является создание систем поддержки принятия решений. Именно на это направлена представленная работа - на разработку комплекса математических моделей, алгоритмов и программ как основы для системы поддержки принятия решений в области среднесрочных и краткосрочных инвестиций кредитно-депозитного учреждения (банка).

Одной из отличительных черт выполненного Исследования является взаимоувязанность моделей, предлагаемых для использования при формировании портфеля среднесрочных и краткосрочных инвестиций. В тоже время каждая из рассмотренных моделей представляет самостоятельный интерес, ибо может быть применена для решения конкретных задач, возникающих в практической деятельности кредитного учреждения.

Так, в первой главе диссертации рассматриваются вопросы формирования кредитным учреждением (банком) политики по привлечению и размещению денежных ресурсов. Для описания процесса формирования кредитно-депозитного портфеля принята динамическая модель в непрерывном времени [25], для которой поставлена оптимизационная задача с фазовыми ограничениями. Решение этой задачи представлено в работах ^25,26] при условии, что все переменные описывающие внешние воздействия считаются заданными. На практике для использования такой модели необходимо проводить предварительную оценку входящих в нее параметров. Методы оценки и прогноз значений параметров данной модели являются основной задачей второй и третьей глав диссертации.

Публикации на тему моделирования финансовой деятельности банка все чаще появляются на страницах периодической печати [27-32]. Однако возрастающая актуальность данной проблемы при отсутствии законченного комплексного решения, а также непонимании многими банкирами необходимости создания модели банка заставляют снова и снова возвращаться к данной теме.

Моделирование финансовой деятельности банка - чрезвычайно сложная задача, поскольку банк представляет собой систему, в которой одновременно протекают детерминированные и случайные процессы, связанные между собой очень сложным образом. Существенную роль в деятельности банка играют и субъективные управленческие решения. Все это указывает на предельную сложность (а то и невозможность) разработки практически применимой аналитической модели финансовой деятельности банка [31]. Моделируя протекание вполне конкретных банковских процессов, их взаимодействие между собой, с учетом влияния факторов внешней среды, можно с достаточно высокой точностью предсказывать будущие состояния банка и использовать эти результаты для анализа его финансового положения.

Успех моделирования в первую очередь зависит от правильного выбора базового объекта, в качестве которого в задачах операционного учета используется, как правило, лицевой счет с его атрибутами: остаток, обороты (иногда доходность и срок). Такой базовый объект позволяет описывать банковские процессы в статике, что вполне достаточно для учета. Однако моделировать динамику банковских процессов [33,34], используя лицевые счета, крайне затруднительно из-за сложных взаимосвязей между лицевыми счетами (особенно в случаях отражения результатов выполнения различных сделок на одном лицевом счете). Для моделирования банковских процессов в динамике целесообразно использование базового объекта "сделка" со следующими атрибутами: сумма, срок, доходность, риск, ликвидность. И поскольку под сделкой здесь понимается процесс предоставления банковской услуги клиенту, то и все атрибуты сделки представляются параметрами, изменяющимися во времени. При осуществлении разделения банковских процессов на сделки важно, чтобы число связей каждой такой сделки с остальными было минимальным. Это позволит рассматривать банк в виде системы, в которой параллельно протекает множество слабо связанных (практически независимых) процессов (сделок), и моделировать состояние банка путем моделирования состояний отдельных финансовых сделок.

Несмотря на то, что моделирование состояния отдельной финансовой сделки задача сама по себе достаточно сложная, осуществить ее значительно проще по сравнению с моделированием финансового состояния банка в целом. Об этом свидетельствуют программно реализованные модели для большинства типовых видов сделок: кредитные модули с прогнозом поступлений, модули работы с ценными бумагами, включающие блоки оценки стоимости портфеля, и пр. И хотя в этих программах моделирование ведется на основе собственных объектов (не обязательно объектов типа "сделка") с использованием ограниченного списка атрибутов, реализованные в них подходы и методы могут с успехом применяться в алгоритмах специализированной аналитической системы.

Когда в 50-е годы компьютеры впервые стали использоваться в банках, целью их внедрения была экономия средств за счет передачи компьютеру части рутинных операций, которые ранее выполнялись людьми. Установка компьютера обходилась дешевле содержания нескольких клерков. В этот период автоматизировались, прежде всего, бухучет и финансовая отчетность. С течением времени банковские операции адаптировались к возможностям автоматизированных банковских систем (АБС). Сейчас банки используют АБС для выполнения многих видов операций, в том числе:

• административных функций (бухучет, ведение клиентских файлов, обработка информации в операционных залах);

• операций банка с широкой клиентурой (банкоматы);

• платежей (SWIFT, Cedel);

• операций с ценными бумагами (системы фирм Reuters и Telerate);

• отслеживания различного рода рисков (связанных с изменением процентных ставок, курсов валют, стоимости ценных бумаг, а также с надежностью клиента, страны и т. д.).

Относительно новым видом услуг с использованием АБС является предоставление банковских услуг на дому (т. е. прямой доступ клиента к своему счету в банке и прямая передача платежных поручений), но такого рода услуги пока не стали популярными. Возможно, более широкое использование сети Internet изменит ситуацию, но предварительно должна быть решена проблема безопасности информации, передаваемой через Internet.

Внешние условия, в которых функционируют банки, очень изменчивь1. Колеблются рыночные ставки, курсы, котировки, возникают новые виды финансовых операций и финансовых инструментов, меняется состав участников рынка, их цели и правила поведения. В России все это усугубляется еще и несовершенством нашего законодательства (банковского, налогового и пр.), постоянным его изменением (доработкой), нестабильностью общей экономической ситуации. Перечисленные объективные предпосылки обусловливают отсутствие в настоящий момент и на Западе, и у нас универсальных подходов и алгоритмов решения задачи оптимального управления финансовой деятельностью банка. Поэтому каждый раз при необходимости решения такой задачи весь цикл работ (проведение исследований, постановка задачи, ее реализация и внедрение) проводится заново. Динамика же процессов в сфере банковского бизнеса такова, что на последовательное прохождение всех этих этапов физически не хватает времени: банковским аналитикам на все дается, как правило, только одна ночь. В таких условиях необходимо предоставить в распоряжение банковских аналитиков инструментарий, позволяющий гибко изменять показатели эффективности, критерии, решающие правила, список учитываемых ограничений, оперативно перестраивать логику работы оптимизационных алгоритмов.

Создание такого рода программ - задача чрезвычайно сложная, наукоемкая, требующая проведения глубоких исследований банковской предметной области [23,34], выявления присущих ей закономерностей и их использования при реализации оптимизационных алгоритмов. Все это под силу только высококлассным математикам и экономистам и связано со значительными сроками выполнения работ. Частично те же проблемы решаются с помощью программ-имитаторов (симуляторов) финансовой деятельности банка. Такие программы широко используются в практической работе западных банков для интерактивного поиска новых и оценки эффективности уже принятых управленческих решений, обучения и тренировок финансовых менеджеров. Они, как правило, не обеспечивают нахождение оптимального решения (не доказывают оптимальность выбранного решения), а лишь отвечают на вопрос: "Что будет, если.?". Однако и этого зачастую достаточно для оперативного анализа ситуации, поиска решений и оценки их эффективности.

Следует отметить, что подавляющее большинство существующих в настоящий момент отечественных АБС (автоматизированных банковских систем) разрабатывалось с целью автоматизации операционно-учетной деятельности банка, поэтому они оказались слабо приспособленными для выполнения аналитической работы. Например, еще не во всех АБС реализован учет сроков и доходности сделок, доходы и расходы по сделкам, как правило, "сливаются" на общие счета, а о полноценном учете рисков и ликвидности даже говорить не приходится. Функциональная полнота многих АБС все еще недостаточна: нередки случаи, когда договора по финансовым сделкам ведутся "в столах", проценты насчитываются на калькуляторе, а льготные сроки и штрафные санкции устанавливаются исходя из личных симпатий по отношению к клиенту. Понятно, что решать задачи оптимального управления банком в таких условиях, мягко говоря, проблематично.

В настоящее время, когда залогом успешной деятельности банка становится автоматизация управления его финансовой деятельностью, возникает потребность в разработке АБС, специально ориентированных на решение задач управления. Такие АБС должны создаваться вокруг систем поддержки принятия решений и могут включать существующие операционно-учетные версии. Аналитическая и операционно-учетная части таких АБС должны быть интегрированы как на уровне данных, так и на уровне используемых программных процедур. Операционно-учетные системы должны:

• Обеспечивать полный учет всех параметров финансовой сделки любого типа. Все формальные и неформальные данные по заключенным с клиентом соглашениям должны находить свое отражение в базе данных АБС.

• Предоставлять информацию о всех движениях средств, связанных с выполнением конкретной финансовой сделки. Аналогичным образом должно обеспечиваться получение информации об изменениях других атрибутов сделки.

• Полнота информации, выдаваемой по любой сделке, не должна зависеть от того, во время или после завершения сделки эта информация запрашивается.

• Эти системы должны обеспечивать работу со следующими атрибутами сделок: сумма, срок, доходность, риск, ликвидность. В связи с этим данные системы должны содержать модули, обеспечивающие насчет процентов, мониторинг рисков и ликвидности. Кроме того, должна быть предусмотрена возможность расширения состава атрибутов сделок без кардинальной переделки всей системы.

• Функциональная полнота этих систем должна быть такова, чтобы обеспечивалась автоматизация всех типов финансовых операций банка.

Отметим, что полученные в работе результаты не решают всех задач, возникающих в процессе управления банком, но даже на реализацию их в едином программном пакете в купе с подходящей системой учета может уйти несколько лет. Истинная же ценность модели, методов и алгоритмов предложенных в диссертации заключается в возможности проведения исследований банковской предметной области, выявления присущих ей фундаментальных закономерностей. Такое использование моделей позволит перейти от эмпирических методов решения банковских задач к строгим, математическим, научно обоснованным. Рентабельность такого использования моделей не сразу становится очевидной, однако именно такое их применение определит будущий успех банка в конкурентной борьбе.

Во второй главе решается вспомогательная задача краткосрочного прогнозирования процентных ставок. Для построения краткосрочных прогнозов наиболее эффективными являются методы математической статистики и анализ временных рядов. Достаточно общей математической (статистической или вероятностной) моделью временного ряда является сумма систематической и случайной составляющих. Существует много методов прогнозирования и статистического анализа. Вначале представим те методы, которые получили широкое применение в исследовании многомерных временных рядов, а также определения некоторых терминов, используемых автором. Итак, статистические методы многомерного анализа (проблемы, возникающие при анализе многомерных временных рядов) удобно разделить на следующие группы:

• Корреляция. Очень важно определить степень зависимости между двумя случайными величинами. Понятие коэффициента корреляции распространяется на измерение зависимости между одной случайной величиной и другими случайными величинами посредством множественного коэффициента корреляции. Частный коэффициент корреляции измеряет зависимость между случайными величинами, когда действие других случайных величин исключено. Различные выборочные коэффициенты корреляции используются для оценки параметров распределения и для проверки таких гипотез, как гипотеза независимости [4, 36, 37].

• Аналоги одномерных статистических методов. Многие проблемы, возникающие при изучении многомерных совокупностей, совершенно аналогичны проблемам, возникающим при изучении одномерных совокупностей; методы решения этих проблем сходны {статистический анализ, сглаживание и фильтрация, модели авторегрессии и скользящего среднего). Например, в одномерном случае мы хотйм проверить гипотезу о равенстве нулю математического ожидания случайной величины; в многомерном случае мы также хотим проверить гипотезу о том, что математические ожидания нескольких случайных величин равны нулю. Аналогом ^критерия Стьюдента для одномерного случая является обобщенный Т2-критерий для многомерного случая [38-48]. Обобщаются также методы наименьших квадратов и дисперсионный анализ.

• Проблемы системы координат. Эти проблемы являются задачами выбора системы координат таким образом, чтобы случайные величины имели желаемые статистические свойства (свойства, характеризующие нормальные распределения). Указанные задачи тесно связаны с алгебраическими методами представления матриц в канонической форме. Примером является отыскание такой нормализованной линейной комбинации случайных величин, что ее дисперсия максимальна или минимальна (нахождение главных компонент); это равноценно отысканию поворота осей, который приводит ковариационную матрицу к диагональной форме. Другой пример - характеристика зависимости между двумя множествами случайных величин (нахождение канонических корреляций). Для решения этих проблем требуется находить характеристические корни и характеристические векторы различных матриц [4].

• Более детализированные проблемы. Во многих из этих проблем множества случайных величин разбиваются на подмножества. Одной из важных задач здесь является проверка гипотез о независимости этих подмножеств. Другие задачи относятся к гипотезам о симметричности между подмножествами или внутри подмножеств. В категорию «более детализированных проблем» мы включаем также факторный анализ [48-56].

• Зависимые наблюдения. При анализе временных рядов наблюдения производятся над случайными величинами, последовательными во времени. Наблюдения, сделанные в некоторый момент времени, могут зависеть от ранее произведенных наблюдений. Такие проблемы ведут к изучению внутрирядной корреляции и стохастическим разностным уравнениям [1,4].

Не менее важно рассказать и о характерных этапах анализа временных рядов. Заметим, что некоторые из трейдеров (операторов фондового рынка) ограничиваются при анализе графическим представлением данных и рассчитывают на собственную интуицию при построении прогноза. Опыт стоит многого. Но это не есть научный, обоснованный подход. Обычно при практическом анализе временных рядов последовательно проходят следующие этапы:

• графическое представление и описание поведения временного ряда;

• (детерминированная компонента) выделение и удаление закономерных составляющих временного ряда, зависящих от времени: тренда, сезонных, циклических составляющих и интервенции;

• выделение и удаление низко- или высокочастотных составляющих процесса (фильтрация);

• исследование случайной составляющей временного ряда, оставшейся после удаления перечисленных выше составляющих;

• построение (подбор) математической модели для описания случайной составляющей и проверка ее адекватности;

• прогнозирование будущего развития процесса, представленного временным рядом;

• исследование взаимодействий между различными временными рядами.

Способы описания детерминированных компонент временного ряда сильно зависят от области приложений. При выборе модели детерминированной компоненты должны, прежде всего, учитываться содержательные соображения, то есть те объективные факторы и закономерности, которые приводят к ее формированию.

В экономических приложениях в детерминированной компоненте временного ряда (Ь обычно выделяют четыре составляющих части: тренд /п, сезонную компоненту 5/, циклическую компоненту а и интервенцию и. В качестве примера приведем аддитивную модель временного ряда. Мы можем записать: = № + ¿7 + а + и, при 1=1, .,п.

Пояснение 1. Трендом временного ряда , при 1=1, .,п называют плавно изменяющуюся компоненту, описывающую чистое влияние долговременных факторов, эффект которых сказывается постепенно.

Пояснение 2. Сезонная компонента временного ряда л , при /=/,.,« описывает поведение, изменяющееся регулярно в течение заданного периода (года, месяца, недели, дня и т.п.). Она состоит из последовательности почти повторяющихся циклов. Пояснение 3. Циклическая компонента временного ряда а , при 1=1,.,п описывает длительные периоды (один период - один подъем, одно падение).

Для анализа циклической компоненты обычно приходится привлекать дополнительную информацию в виде других временных рядов, которые оказывают влияние на изучаемый ряд, например, учитывать информацию типа налоговых льгот, перенасыщенности рынка и т. п.

Пояснение 4. Под интервенцией и , при .,п понимают существенное кратковременное воздействие на временной ряд.

Примером интервенции могут служить события «черного вторника», когда курс доллара за день вырос почти на 27%. Пояснение 5. Модель считается моделью с гетероскедастичностью, если ошибки в этой модели некоррелированы и имеют непостоянные дисперсии.

Как одну из важнейших работ отметим статью С. Гранджера и П. Ньюболда, опубликованную в 1974 г. [57], в которой указывается на то, что экономисты уделяют недостаточное внимание требованию стационарности исследуемых рядов, и, как следствие, "обнаруживают" несуществующие в действительности корреляции. И, следовательно, допускают неверную интерпретацию результатов регрессионного анализа. С. Гранджер и П. Ньюболд ввели понятие "порядок интегрированности", который показывает, сколько раз должна быть взята первая разность, чтобы ряд стал стационарным [58]. В частности, С. Гранджер и П. Ныйболд указали на то, что даже незначительная степень интегрированности рядов, особенно в случае, когда включенные в модель переменные обладают различной степенью интегрированности, ведет к тому, что полученная методом наименьших квадратов регрессия характеризуется высочайшими коэффициентом детерминации Я2 и статистической значимостью (¿-статистик), но, одновременно, сильной корреляцией остатков, которые сами по себе образуют нестационарный ряд (Дарбина-Уотсона [37] - статистика обращается в ноль). Эти вопросы детально рассмотрены в первой главе.

Отдельно отметим работы в области портфельных инвестиций [59-66]. Существует бесконечное число портфелей, доступных для инвестора, но в то же время инвестор должен рассматривать только те портфели, которые принадлежат эффективному множеству. Однако эффективное множество Марковича представляет собой изогнутую непрерывную линию [59], что предполагает наличие бесконечного числа точек на этой кривой. Это означает, что существует бесконечное количество эффективных портфелей. Маркович видел эти потенциальные трудности и внес основной вклад в преодоление этих проблем, представив метод решения. Он включает в себя алгоритм квадратичного программирования, известного как метод критических линий [60]. Идея обобщения модели Марковича на случай безрискового кредитования и заимствования принадлежит Джеймсу Тобину [61-63].

При построении эконометрических моделей, можно ожидать, что некоторые макроэкономические переменные очень значительно влияют на доходность ценных бумаг. К ним относятся, в частности, ожидаемый темп прироста ВВП, инфляция, процентные ставки, цены на нефть и т. д. После выбора таких факторов следующий шаг при построении модели состоит в сборе информации. Затем полученные данные используются для вычисления чувствительности доходностей к факторам и собственной доходности ценных бумаг, а также стандартных отклонений и корреляций. При этом решающим является точное измерение значений факторов. На практике это может оказаться довольно трудным. Для профессиональных инвесторов, заинтересованных в количественной стороне дела, многофакторные модели являются интуитивно привлекательным методом анализа. Они в точном и легко проверяемом виде учитывают сущность фундаментальных экономических и финансовых сил, влияющих на доходности ценных бумаг. Однако переход от абстрактных рассуждений к разработке факторных моделей, которые были бы достаточно всесторонними и мощными для обслуживания различных потребностей институциональных инвесторов, является сложной задачей. Беглый обзор многофакторной модели BARRA для ценных бумаг США дает представление о сложностях строительства факторных моделей.

Модель BARRA основана на работе Барра Розенберга, специалиста по эконометрике в области финансов. В начале 1970-х гг., работая в Университете шт. Калифорния в Беркли, он и Виней Марат сформулировали сложную факторную модель. Эта модель связывала доходности акций с множеством факторов, полученных из данных по деловым операциям соответствующих компаний.

Первоначальная многофакторная модель Розенберга для ценных бумаг США была существенно пересмотрена в 1982 году, и теперь ее называют моделью Е2. В настоящее время 630 институциональных инвесторов (из них более 50% за пределами США) являются подписчиками службы модели Е2.

В практике российского рынка ценных бумаг нашли применение различные методы прогнозирования. Распространение получили следующие методы: факторный анализ (общее обсуждение факторных моделей и кластерный анализ можно найти в работах [48-56]), метод АРПСС (авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего [67-71]), нейронные сети (программный пакет Brain Maker и др.) [72-75], приемы технического анализа - практически все они реализованы в многочисленных программных пакетах. Обобщение рыночной модели, включающее сектор - факторы (сектора выбраны таким образом, чтобы представить отрасли промышленности), представлено в работе [54]. При этом акции любого типа имеют две чувствительности, характеризующие их отклик на доходности по индексу рынка и по индексу отрасли, к которой данные акции относятся.

Статистические методы анализа и прогнозирования временных рядов (сглаживание, частотная фильтрация, спектральный анализ, выделение сезонных колебаний, модели тренда, авторегрессионые модели, скользящее среднее, множественная регрессия, модель ARIMA [6-9]) реализованы в специализированном пакете анализа временных рядов МЕЗОЗАВР и в универсальных статистических пакетах SYSTAT7.0 и SPSS 7.5, а также во многих других.

Современные нейронно-сетевые методы анализа нелинейных структур и зависимостей в данных (многослойный персептрон, радиальная базисная функция, Бейесова сеть, сеть Кохонена) [72-75] представлены в новом нейросетевом пакете NeuralConnection2.0 -совместной разработке фирм SPSS и RecognitionSystems. Уже в 1990 г. фирма CaliforniaScientific Software выпустила коммерческий пакет BrainMaker (задача прогнозирования формализуется через задачу распознавания образов). Первые искусственные нейронные сети были созданы в результате попыток создать компьютерную модель, воспроизводящую деятельность мозга в упрощенной форме. Главное свойство таких сетей - способность к обучению. С помощью такой сети можно найти решение, не зная правил (формул), основываясь на нескольких примерах. Однако долгое время обучения нейронных сетей является одним из существенных недостатков этого метода.

Пакет САНИ специально разработан для решения задач, в которых значительная часть исходных данных имеет нечисловую природу. Кроме того, методы этого типа реализованы также в универсальных статистических пакетах SYSTAT7.0 и SPSS7.5.

Многочисленные методы необходимы при анализе больших массивов данных и активно используются в системах биржевой торговли, сложных вычислительных задачах и многих других областях. Каждая из представленных выше систем анализа данных содержит богатые собственные средства их визуализации. Для разработчиков оригинального программного обеспечения предназначены графические библиотеки IMSL Exponent Graphics и инструментальная среда PV-WAVE. К системам анализа, использующих графические средства визуализации, можно отнести известную в кругу финансистов программу WallStreet. В этой программе реализованы методы технического анализа [76]. В книге [77] подробно в неразрывной связи друг с другом раскрыты основные методы и формы фундаментального и технического анализа ценных бумаг, которые предшествуют принятию инвестиционных решений. Отметим, что в силу своей простоты и эффективности эти методы находят большое число поклонников из числа операторов рынка.

Методы анализа, реализованные в программных пакетах, обрабатывают массивы данных в электронном виде. Биржевую информацию в электронном виде можно найти на многочисленных сайтах Интернета. Одни из самых дешевых сервисов, содержащих информацию о продажных и покупных ценах и дающих цены акций на американских биржах без временной задержки, поставляют фирмы Data Broadcasting Corporation и Quote.Com [78]. Их адреса в Интернете: http://www.dbc.com и http://www.quote.com. Здесь можно узнавать без задержки основные экономические новости, информацию о профиле различных компаний, их финансовое положение и многое другое. Некоторые брокерские фирмы, предоставляющие возможность покупать акции через компьютерные сети, дают бесплатный доступ к текущим ценам акций. В качестве примера можно привести известную брокерскую фирму Datek Securities (http://www.datek.com), которая осуществляет львиную долю электронных сделок на рынке NASDAQ. Многие компьютерные сервисы позволяют бесплатно (требуется только регистрация) загружать графики цен акций. Так, компания Lombard Brokerage, Inc. (http://www.lombard.com) дает возможность просматривать графики изменения цен акций как за последний день, так и за много лет. Некоторые компьютерные сервисы в качестве рекламы дают возможность просмотреть показатели финансовой деятельности компаний бесплатно или за очень небольшую цену: http://pawws.com, http://www.hoovers.com, http://www.techstocks.com, http://www.marketguide.com. Информацию по акциям российских предприятий можно получить на сайте http://www.rtsnet.ru, котировки обновляются один раз в час.

В данной работе представлены методы математической статистики и экспертного анализа. Опыт работы на рынке ценных бумаг помог главным образом выделить наиболее важные с точки зрения финансового аналитика математические методы и предложить некоторые алгоритмы прогнозирования экономических параметров.

Исследования во второй главе стали возможны благодаря обширной и структурированной информации по государственным краткосрочным облигациям. Электронные торги и большой интерес к рынку государственных облигаций привели к созданию уникальной для исследований базы данных.

Много информации поступает непосредственно перед торгами и возникает задача построения эффективного и быстрого алгоритма прогноза котировок. В процессе исследования возникали новые задачи. Так, сформулированные в начале второй главы утверждения представляют собой эффективные алгоритмы. Теорема 2.2 дает ответ на вопрос, как строить прогноз в рамках моделей, учитывающих влияние сразу нескольких состояний системы, предшествующих прогнозируемому. При этом алгоритм реализуется с помощью обобщенных матриц Мура-Пенроуза [79-81], что обеспечивает высокую скорость решения задачи прогнозирования. Далее представлены алгоритмы поиска решений в условиях гетероскедастичности и корреляции ошибок во времени. И, наконец, в теореме 2.4 сформулированы основные пути анализа исследуемых многомерных временных рядов в условиях "старения" информации [82-84].

В начале второй главы дана постановка задачи прогнозирования параметров модели банка. Ряд факторов можно рассматривать как п-мерный случайный вектор, причем среди случайных компонент был введен и "политический" фактор (как фиктивная переменная). Был предложен метод краткосрочного прогноза, связанный с псевдообращением матриц. При этом была исследована дисперсия ошибок, гетероскедастичность и корреляция по времени. Для этого была рассмотрена процедура Кохрейна-Оркатта [37], рассматривался "физический" смысл явления и, так называемый, "политический" фактор, связанный с быстрым и существенным влиянием на временной ряд. В результате была построена модель (2.34).

При построении и изучении модели работа эконометриста имеет несколько аспектов: данные, эконометрическая теория, эконометрический метод оценивания и др. Далее исследователь получает некоторые результаты и, как правило,* не вполне удовлетворен ими. При построении модели рынка государственных облигаций возникает идея детализировать силы, под влиянием которых происходит эволюция рынка. Более сложным представляется вопрос влияния политики и макроэкономики. В первом приближении вводится «политический» фактор, как совокупный индекс ожидания информации отдельными лицами. На практике не всегда легко провести опрос и составить экспертные оценки этого фактора (в гл. III рассматривается алгоритм обработки экспертных опросов).

Возмущения возникают внезапно под влиянием тех или иных государственных решений или политических выступлений отдельных лидеров, поэтому имеет смысл при составлении модели анализировать эти события, другую информацию, а также не рассматривать те факторы, которые уже учтены в текущих котировках.

С другой стороны, политический фактор можно рассматривать как фиктивную переменную типа "0-1". Как правило, независимые переменные в регрессионных моделях имеют "непрерывные" области изменения (доходность, остаток средств на бирже и т. п.). Однако теория не накладывает никаких ограничений на характер регрессоров, в частности, некоторые переменные могут принимать всего два значения или, в более общей ситуации, дискретное множество значений. Необходимость рассматривать такие переменные возникает довольно часто в тех случаях, когда требуется принимать во внимание какой-либо качественный признак. Политический фактор легче оценивать как качественный признак.

Фиктивные переменные, несмотря на свою внешнюю простоту, являются весьма гибким инструментом при исследовании влияния качественных признаков [37].

При оценке коэффициентов модели (2.34) мы предполагали, что она с гетероскедастичностью. При использовании в общем случае метода наименьших квадратов оценки коэффициентов модели являются состоятельными и несмещенными, однако стандартная оценка ее матрицы ковариаций ад2(АтА') 1 смещена. Для поправки на гетероскедастичность и "улучшения" оценки матрицы ковариаций можно применить метод Уайта [37], для более сложного случая, когда в матрице ковариаций ошибок ненулевые элементы стоят не только на главной диагонали, но и на соседних диагоналях, применим метод Невье-Веста [37].

В третьей главе предлагается проводить оценку параметров модели с помощью экспертных опросов. В тех случаях, когда регрессионные модели недостаточно эффективны, предлагается проводить оценку параметров модели банка с помощью экспертов. Этот подход особенно действенен, когда требуется построить интервальные прогнозы значений параметров. Такие оценки необходимо проводить для решения задачи управления временно свободными активами банка. Главным подходом к управлению активами является страхование от риска, основанное на проведении операций, гарантирующих владельцев от потерь средств.

Следует отметить, что этот метод не свободен от недостатков: он не позволяет извлекать прибыль из благоприятных колебаний конъюнктуры валютных рынков, а в ряде случаев требует дополнительных затрат на страхование от риска. Вместе с тем, при наличии достоверных прогнозов движения курсов ценных бумаг, соответствующем размещении активов можно существенно увеличить временно свободные ресурсы.

Подходы к управлению активами коммерческих банков сочетают два противоположных критерия: максимизации прибыли и обеспечения минимального уровня рисков (рисков ликвидности, платежеспособности заемщиков и др.).

Сформулируем два основных подхода к управлению активами.

• Гарантирование определенного уровня дохода методами страхования от риска.

• Максимизация возможного дохода на основе прогнозов.

Наиболее эффективным способом, позволяющим застраховаться от рисков, является хеджирование [85].

При прогнозировании курсов ценных бумаг и процентных ставок часто используют вероятностный (стохастический) подход. Аргументом в пользу этого подхода является громадный статистический материал, на основе которого можно строить разнообразные математико-статистические модели происходящих на рынках процессов и прогнозировать дальнейшее развитие этих процессов.

Рассмотрим ряд существующих методов принятия решений при вероятностном подходе к прогнозированию будущих состояний среды с точки зрения возможности их использования при проведении финансовых операций.

Классический метод принятия решений в финансовых операциях при вероятностном подходе, когда прогнозируется матожидание и дисперсия возможного дохода при каждом виде операций, описан в работе Дж. Тобина [63]. Теоретически данный подход выглядит довольно привлекательно, однако необходимо отметить, что при низкой достоверности оценок матожидания и дисперсии доходов отдельных вариантов вложения средств, в еще большей степени недостоверны оценки суммарного матожидания и дисперсии для общего случая распределения средств.

Этот подход получил развитие в работах М. Лейбовича и Р. Хенриксона в [86]. Здесь авторы вместо матожидания дохода и его дисперсии, как меры риска в качестве полностью описывающих нормальное распределение параметров, используют некоторый желаемый уровень дохода и вероятность, с которой "этот уровень доходов может быть превышен. Например, р{Р=Е-1.28ст} = 0.9. Это выражение представляется, как уравнение "доверительной" прямой на плоскости (Е, а), отделяющей точки с доходом Б, достигаемым с вероятностью не ниже чем 0.9 от остальных, не удовлетворяющих этому критерию. Такое же уравнение будет справедливо и для совокупности ценных бумаг в предположении нормальности функций распределений их доходов. Допустим, существует некоторый набор бумаг, который характеризуется множеством параметров (Еь с^), граница которого есть кривая Ь. Тогда пересечение доверительной прямой с упомянутым множеством определяет множество допустимых вариантов размещения средств. Наилучший вариант (дающий максимальный ожидаемый доход с данной вероятностью) определяет прямая параллельная доверительной прямой и касательная к границе кривой Ь. Авторы также предлагают метод формирования портфеля ценных бумаг с использованием данного подхода.

Описание ряда критериев принятия решений при вероятностном подходе к прогнозированию будущих состояний дано в монографии Р. И. Трухаева [87].

Качество прогнозов движения курсов ценных бумаг в первую очередь определяет пригодность рассмотренных выше критериев для задач принятия решений. Точность вероятностных среднесрочных прогнозов для относительно медленно меняющихся показателей, таких как, например, процентных ставок, при правильно подобранном множестве объясняющих факторов может быть вполне удовлетворительной для целей принятия решений. Однако для прогнозирования быстро и резко меняющихся показателей, таких как цены облигаций, данные методы в основном оказываются малопригодными. Причину этого следует искать в возрастающем влиянии на состояние финансовых рынков чисто психологических и политических факторов, которые трудно, а может быть и невозможно учесть в полной мере. Поэтому надежность вероятностных прогнозов движения курсов ценных бумаг является весьма низкой.

Для средне- и долгосрочных прогнозов используют обычно эконометрические модели и факторный анализ. Такие модели позволяют строить прогнозы для относительно медленно меняющихся макроэкономических показателей [88]. В области же фондового рынка удовлетворительных вероятностных прогнозов, позволяющих принимать решения на основе описанных выше методов, как правило, получить не удается. Причина этого, видимо, состоит в том, что существующие математические модели не могут отразить всей сложности реальных процессов, влияющих на установление валютных курсов.

Все это делает малопривлекательным использование статистических методов прогнозирования в таких ситуациях. Оказывается практически невозможным более или менее обоснованно утверждать, что то или иное состояние рынка является более вероятным.

Альтернативой вероятностному подходу к прогнозированию курсов ценных бумаг может служить использование "интервального" способа прогнозирования, заключающегося в оценивании экспертами лишь области возможных значений параметров без выделения более или менее вероятных состояний. Иными словами, здесь оценивают лишь верхние и нижние границы возможных значений параметров. К такого рода методам прогнозирования относятся экспертные оценки [12-22].

Интервальный подход к прогнозированию позволяет использовать ряд специальных критериев принятия решений в условиях неопределенности, используемых обычно в теории игр и смежных областях [89-93]. В качестве критериев принятия решений в работе Молибога С.Н. [94] предлагаются: критерий максимина, "спекулятивный" критерий, критерий Гурвица, критерий Сэвиджа. Наиболее предпочтительным с точки зрения использования при проведении валютных операций автором выделяется критерий Сэвиджа.

Объединение в динамических задачах всех вариантов размещения средств, включая депозиты, облигации и другие ценные бумаги позволяет достичь максимально возможной эффективности управления временно свободными валютными ресурсами, планируя в зависимости от прогнозов движения курсов валют, процентных ставок, курсов облигаций переразмещение средств в наиболее прибыльные валюты и инструменты независимо от источника средств.

В настоящей диссертации (гл. III) предлагается алгоритм расчета интервалов возможной доходности [LH, А,«в] на основе опроса экспертов. Методы экспертного анализа уже зарекомендовали себя в экономике. С использованием методов экспертного анализа разрабатываются управленческие решения [12-15], решаются проблемы планирования [16], строятся экономические прогнозы в различных отраслях народного хозяйства [17] и так далее. За последние годы получили широкое распространение математические методы экспертного анализа [18-22]. Автор в 1996 году исследовал эти вопросы при проведении опросов нескольких экспертов из коммерческих банков [95]. В первую очередь составлялись таблицы ошибок для разных экспертов. Далее рассматривались вопросы о весовых функциях, устанавливался оптимальный выбор весовых коэффициентов, исследовалось, каким образом прогноз зависит от выбора весовых коэффициентов, от числа экспертов, участвующих в опросе.

При проведении опроса сложность заключалась в том, что данные не были представлены полностью; практически никогда не удавалось опросить всех экспертов. В результате ряд экспертов участвовали в опросе, когда прогноз осуществить было сложно, в то время как другие участвовали в опросе, когда котировки ценных бумаг предсказать было значительно легче. Если оценивать ошибки каждого из экспертов как средний квадрат отклонения прогнозного значения от фактического по всем бумагам и датам для каждого из них, то мы получим ошибочное представление о качестве индивидуальных прогнозов.

В главе разработана методика анализа различных форм опроса. Алгоритмы, представленные в главе, весьма эффективны и позволяют исследователям существенно уменьшить ошибки прогнозов, основанных на опросе экспертов.

Изученные модели обладают рядом преимуществ, облегчающих принятие решений для успешного управления финансами, но основная проблема состоит в том, что для успешного ее применения существует необходимость получения оперативной статистической информации.

В большинстве случаев (при проверке модели на реальных данных) прогноз оказался достаточно близок к реальности, что является доказательством эффективности такой модели. Кроме того, следует отметить, что динамика реальной процентной ставки практически полностью отражает динамику рынка ценных бумаг. Поэтому, эффективные модели прогноза реальной ставки обеспечивают существенно более высокий уровень доходности по операциям с ценными бумагами.

Основные результаты работы заключается в следующем.

1. Вопрос о среднесрочных инвестициях в настоящей работе рассматривается с позиций формирования банком общей'политики по привлечению и размещению денежных средств для выбранного горизонта среднесрочного планирования. Для динамической модели процесса движения денежных средств рассматривается задача поиска допустимого решения в диалоговом режиме. Решение этой задачи осуществляется с помощью численных методов. Ее основное назначение - дать пользователю информацию в визуальной и количественной формах о влиянии выбранных значений управляющих переменных на итоговые результаты деятельности банка, а также определение "чувствительности" итоговых результатов к возможным изменениям значений параметров финансового рынка.

2. Вопросы прогнозирования и оценки параметров модели банка на основе накопленной статистики объективных данных рассмотрены в. от дельной главе диссертации. Здесь можно выделить следующие результаты.

2.1. Предложен метод оценки коэффициентов линейной множественной регрессии с помощью обобщенных обратных матриц Мура-Пенроуза. Доказана теорема об эффективности такого рода оценок в классе несмещенных оценок.

2.2. Сформулированы основные определения и доказана теорема о прогнозировании в условиях сравнительно медленно меняющихся параметров системы, в которой обосновывается целесообразность на коротком интервале времени рассматривать регрессию с гетероскедастичностью и корреляцией ошибок во времени, а при рассмотрении продолжительных отрезков времени учитывать еще и устаревание информации. В результате выполненных исследований были получены модели прогноза процентных ставок в краткосрочном и среднесрочном периодах.

3. Одним из действенных методов прогнозирования является метод прямых экспертных оценок.

3.1. Автором разработан оригинальный метод краткосрочного прогнозирования доходности ценных бумаг на основе опроса экспертов. Для устранения эффекта гетероскедастичности полученных экспериментальных данных были построены эффективные функции-мультипликаторы. Показано, что после устранения гетероскедастичности систематические (общие для всех экспертов) и случайные ошибки в прогнозах каждого из экспертов могут быть разделены. Получены несмещенные оценки для каждого вида ошибок. Это позволило найти оценки числа экспертов, минимально необходимого для "подавления" случайных ошибок, то есть для максимально возможного повышения точности прогноза.

3.2. Рассмотрена задача краткосрочного размещения временно свободных средств по возможным финансовым операциям. В отличие от традиционно применяемых различных методов, основанных на фиксировании доверительной вероятности, предлагается использовать критерий минимаксного риска Сэвиджа. Показана обоснованность предлагаемого подхода в случае, когда для рассматриваемых финансовых операций известен прогноз лишь крайних (максимальных и минимальных) значений их доходности. Проведенные численные расчеты показали высокую эффективность используемого алгоритма решения данной задачи.

В приложении I рассмотрены вопросы псевдообращения матриц. В приложении II представлены опросные таблицы, которые имеют отношение ко второй главе. В приложениях III и IV представлены программа для отработки на реальных данных различных статистических методов и процедура для решения задачи оптимального распределения активов.

Результаты диссертации докладывались на Всероссийской экономической научно-практической конференции в Екатеринбурге в 1997 году, на III Международном симпозиуме по экоинформатике в Москве в 1998 году, на семинаре в Высшей школе экономики (ВШЭ), на Президиуме Российской экономической академии (РЭА) в 1999 году и опубликованы в сборнике МФТИ "Моделирование процессов управления и обработки информации" за 1998 г., в электронном журнале МФТИ "Исследовано в России" за 1999 г. и в тезисах докладов на указанных конференциях.

В заключение автор выражает благодарность своему научному руководителю к.ф.-м.н., доц. И. Ф. Шахнову за консультации и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бабиков, Владимир Георгиевич, 2000 год

1. Mills Т.С. The Econometric Modelling of Financial Time Series 1. Cambridge, 1995.

2. Azoff E.M. Neural Network Time Series Forecasting of Financial Markets II Wiley, 1994.

3. Gately E. Neural Networks for Financial Forecasting II Wiley, 1995.

4. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ IIМ., 1963.

5. Bierens H.J. Topics in Advanced Econometrics Estimation, Testing and Specification of Cross-Section and Time Series Models II Cambridge, 1994.

6. Enders W. Applied Econometric Time Series: A User's Guide H Wiley, 1995.

7. Gourieroux C. and Monfort A. (Ed.) Time Series and Dynamic Models II Cambridge, 1996.

8. Harvey A.C. Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter II Cambridge, 1991.

9. Masters T. Neural, Novel and Hybrid Algorithms for Time Series Prediction II Wiley, 1995.

10. Tanaka K. Time Series Analysis Nonstationary and Noninvertible Distribution Theory II Wiley, 1996.

11. Anderson T. W. The Statistical Analysis of Time Series 11 J. Wiley & Sons. New York. Русский перевод: Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов IIМ., Мир, 1976.

12. Раяцкас Р. Л., Плакунов М. К. Экономические догмы и управленческая реальность IIМ., Экономика, 1991.

13. З.Ларичев О.И., Мечитов А.И., Мошкович Е.М., Фуремс Е. М. Выявление экспертных знаний II М.:Наука, 1989.- 128 с.

14. Ларичев О.И. Наука и искусство принятия решений И М: Наука, 1979. 200 с.

15. Глущенко В. В., Глущенко И. И. Разработка управленческого решения. Прогнозирование-планирование. Теория проектирования экспериментов II г.Железнодорожный, М. о.: ТОО НПЦ "Крылья", 1997.

16. Саати Т., Керне К. Аналитическое планирование. Организация систем. Пер. с англ. IIМ.: Радио и связь, 1991.

17. Денискин В. В. Основы экономического прогнозирования в пищевой промышленности. Учебник. //М.: Колос, 1993.

18. Бешелев С. Д., Гуревич Ф. Т. Математико-статистические методы экспертных оценок II М.: Статистика, 1980.

19. Литвак Б. Г. Экспертные оценки и принятие решений II М.: Патент, 1996.

20. Мазманова Б. Т. Основы теории и практики прогнозирования II Екатеринбург, 1998.

21. Китаев H. Н. Групповые экспертные оценки. М.: "Знание", 1975.

22. Бабиков В.Г. Экспертные оценки на рынке ценных бумаг П Электронный журнал МФТИ "Исследовано в России", 1999, http ://zhurnal .mipt.rssi .ru/articles/12/012.pdf

23. Джозеф Ф. Синки, мл. Управление финансами в коммерческих банках. Catallaxy, M., 1994.

24. С. M. Гуриев. Модель формирования сбережений и спроса на деньги: часть I и часть II. "Математическое моделирование", 1994, т. 6, №7, стр. 25-54.

25. Романюк Д. В. Модель формирования кредитно-депозитной политики банка II Препринт # WP/97/027 М.: ЦЕМИ РАН, 1997.

26. Дикусар В. В. Методы поиска допустимых решений в задачах оптимального управления //Ж. Д. у., №11, 1999.

27. Екушов А., Анализ процентных ставок коммерческого банка II "Банковские технологии" №8/1996.

28. Екушов А., Модель пассивной эволюции в задачах анализа и управления // "Банковские технологии", №8/1995.

29. Чернов М., Управление банком: гарантированный подход // "Банковские технологии", №4/1997.

30. Богарева Е., Эпов А., Моделирование пассивной эволюции для анализа и управления финансами банка // "Банковские технологии" №1/1997.

31. Григорьев Л., Романовский А., Сапов Г., Имитационное моделирование финансового управления банка II "Банковские технологии" №8/1996.

32. Фалько А., О классификации банковских аналитических программ II "Банковские технологии" №8/1996.

33. Банковское дело (Справочное пособие) под ред. Бабичевой Ю. А., М., Экономика, 1993.

34. Банковское дело, под ред. Лаврушина О. И., М., Банковский и биржевой научно-консультационный центр, 1992.

35. К. Р. Макконел, С. Л. Брю. Экономикс. М. Республика, 1992 Т1,Т2.

36. Леман Э. Проверка статистических гипотез II М.: Наука, 1979.

37. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика И М.: Дело, 1998.

38. Айвазян С. А., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей II М., Финансы и статистика, 1985.

39. Вапник В. Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным IIМ., Наука, 1979.

40. Колмогоров А. Н. Несмещенные оценки // Изв. АН СССР, №4, 1950.

41. Bickel P. J., Doksum К. A. Mathematical statistics II Holden-Day, Inc. Русский перевод: Бикел П., Доксам К. Математическая статистика // М., Финансы и статистика, 1983.

42. Cramer Н. Random Variables and Probability Destributions II Cambridge Universirty Press. Русский перевод: Крамер Г. Случайные величины и распределения вероятностей И М., ИЛ, 1947.

43. Johansen S. Statistical Analysis of Cointegration Vectors II Journal of Economic Dynamics and Control, № 12, 1988.

44. Kaldor N., Alternative Theories of Distribution II Review of Economic Studies, V.XXIII, 1955-56.

45. McClave J. T. and Benson P. G. Statistics for Business and Economics II San Francisco: Dellen, 1991.

46. Blake D. Financial Market Analysis 11 McGrow Hill, 1990.

47. Ковалева Л. И. Многофакторное прогнозирование на основе рядов динамики IIМ.: Наука, 1980.

48. Sharpe W. F. Factors in New York Stock Exchange Security Return, 1931-1979II Journal of Portfolio Management, 8, no. 4, 1982.

49. Sharpe W. F. Factor Models, CAMPs, and the АВТII Journal of Portfolio Management, 11, no. 1, 198451 .King B. F. Market and Industry Factors in Stock Price Behavior II Journal of Business, 39, no.l, 1966.

50. Farrell J. L., Jr. Analyzing Covariation of Returns to Determine Stock Groupings II Journal of Business, 47, no.2,1974.

51. Arnott R. D. Gluster Analysis and Stock Price Comovement II Financial Analysts Journal, 36, no.6, 1980.

52. Gordon J. A. and Francis J. Portfolio Analysis II Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall

53. Kahn R. N. And Gulrajani D. Risk and Return in the Canadian Bond Market II Journal of Portfolio Management, 19, no. 3, 1993.

54. Иберла К. Факторный анализ IIМ.: Фин. и стат., 1980.

55. Granger С., Newbold P. Spurious Regression in Econometrics II Journal of Econometrics, № 14, 1974.

56. Engle R. F., Granger C. Cointegration and Error Correction: Representation, Estimation and Testing II Econometrica, №55, 1987.

57. Markowitz H. M. The optimization of the Quadratic Function Subject to Linear Constraints II Naval Research Logistic Quarterly, 3, 1956.

58. Шарп У. Ф., Гордон Д. А., Бейли Д. В. Инвестиции II М.: Инфра-М, 1997.

59. Tobin J. A Dynamic Aggregative Model II Journal of Political Economy, 1955.

60. Tobin J. Liquidity Preference as Behavior Towards Risk // Review of Economic Studies, 1958.

61. Tobin J. The Theory of Portfolio Selection II The Theory of Interest Rates, ed. F. H. Hahn and F.R.P.Brechling, London: Macmillan and Co., 1965.

62. Столярова E. M. Дискретный прецедентный анализ поведения ГКО // сообщения по прикладной математике, ВЦ РАН, 1998

63. Гасанов И. И., Ерешко А. Ф. Об одном подходе к управлению портфелем ГКО II сообщения по прикладной математике, ВЦ РАН, 1997

64. Агасандян Г. А. Элементы многопериодной портфельной модели II сообщения по прикладной математике, ВЦ РАН, 1997

65. Gourieroux С. and Monfort A. Statistics and Econometric ModelsA: General Concepts, Estimation, Prediction, and Algorithms,V.2: Testing, Confidence Regions, Model Selection, and Asymptotic Theory, Собрание из двух томов II Cambridge, 1994.

66. Harvey A.C. Time Series Models, 2-nd ed. II Prentice Hall, 1993.

67. Бокс Дж., Дженкинс Г. "Анализ временных рядов // М.: Мир, 1987.

68. Klitzman М. . About Regression II Financial Analysts Journal, 47, no.3, 1991

69. Дрейпер H., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ II М.: Финансы и статистика, 1986.

70. Bauer R.J. Genetic Algorithms and Investment Strategies II Wiley, 1994.

71. Deboeck G. (Ed.) Trading on the Edge. Neural, Genetic and Fuzzy Systems for Chaotic Financial Markets II Wiley, 1994.

72. Goonatilake S., Treleaven P. Intelligent Systems for Finance and Business 11 Wiley, 1995.

73. Refenes A.-P. (Ed.) Neural Networks in the Capital Markets II Wiley, 1994.

74. Эрлих А. Технический анализ товарных и финансовых рынков, прикладное пособие /У М.: АНХ, 1996.

75. Берзон Н.И., Буянова Е.А., Кожевников М.А., Чаленко А.В. Фондовый рынок: Учебное пособие для высших учебных заведений экономического профиля // М.: Вита-Пресс, 1998.

76. Дараган В. Игра на бирже // М.: УРСС, 1997.

77. Penrose R. A generalized inverse for matrices И Proc. Cambridge Philos. Soc., v. 51, 1955.

78. Moore E. H. -, Bull. Amer. Math. Soc., v. 26, 1920.

79. Moore E. H. General analysis, Pt.I, Mem. Amer. Philos. Soc.I, 1935.

80. Бабиков В. Г. Многомерный статистический анализ в экологии // Материалы III Международного симпозиума "Проблемы экоинформатики". М.: ИРЭ РАН, 1998.

81. Бабиков В. Г. Некоторые методы управления банковскими операциями // Всероссийская научно-практическая конференция "Предпринимательство и занятость населения в условиях перехода к рыночной экономике". Екатеринбург: УрГЭУ, 1997.

82. Бабиков В. Г. Прогнозирование фондового индекса П Моделирование процессов управления и обработки информации. М.: МФТИ, 1999.

83. Болдырев А. Страхование валютных рисков в современных условиях II "Внешняя торговля", №4, 1979.

84. Leibowitz М., Henriksson R. Portfolio Optimisation Under Shortfall Constraints // "Salomon Br. Inc", New York, 1987.

85. Трухаев P. Принятие решений в условиях неопределенности //М.: Наука, 1976.

86. Бабиков В.Г. Среднесрочное прогнозирование процентной ставки II Электронный журнал МФТИ "ИсследовановРоссии" ,1999, http://zhunial.mipt.rssi.ru/articles/12/013.pdf

87. Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций И М.: Наука, 1971.

88. Современное состояние теории исследования операций / Под ред. Н. Н. Моисеева // М.: Наука, 1979.

89. Льюс Р., Райфа X. Игры и решения И М.: ИЛ, 1961.

90. Таха X. Введение в исследование операций // Т. 1,2. М.: Мир, 1985.

91. Исследование операций, ч. 1. Методологические основы и математические методы I под ред. Дж. Моудера, С. Эльмаграби // М.: Мир, 1981.

92. Молибога С. М. Модели управления валютными активами на основе критерия минимаксного риска // автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук М.: ЦЕМИ РАН, 1988.

93. Бабиков В. Г. Ценные бумаги. Прикладные методы прогнозирования //М.: Физтех-полиграф, 1999.

94. ЛиЭ. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М., Наука, 1972.

95. Раскин Л. Г. Анализ сложных систем и элементы теории оптимального управления // М.: Наука, 1976.

96. Жуковский Е. Л., Липтор Р. Ш. О реккурентном способе вычисления систем линейных алгебраических уравнений Н Ж.в.м.и м.ф., т. 12, №4, 1972.