Задача кручения и плоская задача механики наращиваемых тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Михин, Михаил Николаевич

• Михин, Михаил Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Михин, Михаил Николаевич

Введение.

1. Кручение призматических растущих тел.

1.1. Постановка задачи. Деформирование основного тела.

1.1.1. Постановка смешанной задачи.

1.1.2. Краевая задача для вязкоупругого стареющего нерастущего тела.

1.1.3. Преобразование краевой задачи для основного нерастущего тела

1.1.4 Формальное преобразование краевой задачи нерастущего тела к начально-краевой задаче с параметром времени.

1.2. Напряженно-деформируемое состояние непрерывно растущего тела.

1.2.1. Начально-краевая задача для непрерывно растущего тела.

1.2.2. Преобразование начально-краевой задачи для непрерывно растущего вязкоупругого стареющего тела к задаче наращивания упругого тела, описываемого законом Гука.

1.2.3. Преобразование начально-краевой задачи для непрерывно растущего вязкоупругого стареющего тела к начально-краевой задаче с параметром времени.

1.3. О деформировании вязкоупругого тела, наращивание которого прекращено.

1.4. Методы ТФКП для решения классических краевых задач с параметром.

1.4.1. Применение конформного отображения.

1.4.2. Приведение уравнения границы к специальному виду.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача кручения и плоская задача механики наращиваемых тел»

Настоящая работа посвящена актуальным проблемам механики наращиваемых деформируемых тел. В ней исследуются задачи кручения и плоского деформирования упругих и вязкоупругих стареющих тел в процессе их кусочно-непрерывного наращивания. Изучаются особенности механического поведения сформированных в результате наращивания тел, исследуются новые, присущие только таким телам механические эффекты.

Приведем ряд основных определений из механики наращиваемых тел.

Наращиваемым (растущим) телом называется деформируемое твердое тело, состав, объем или масса которого увеличиваются за счет присоединения к его поверхности новых элементов. Процесс присоединения этих элементов называется наращиванием. Часть границы растущего тела, к которой в данный момент времени присоединяется дополнительный материал, называется границей наращивания (границей роста).

Наращивание деформируемого тела может происходить дискретно или непрерывно (кусочно-непрерывно). При дискретном наращивании, к телу последовательно присоединяются элементы конечных размеров. При непрерывном (кусочно-непрерывном) наращивании к поверхностью наращивания непрерывно (кусочно-непрерывно) притекает материал, т.е. за каждый бесконечно малый промежуток времени к указанному участку поверхности присоединяется элемент инфинитезимальных размеров.

Тело, к поверхности которого, начиная с некоторого момента времени (момента начала наращивания) происходит приток новых элементов, называется основным или исходным телом. Тело, составленное из материальных элементов, которые присоединились к основному телу за промежуток времени от момента начала наращивания до рассматриваемого момента времени, называется дополнительным телом, а объединение основного тела с дополнительным телом - растущим телом или наращиваемым телом. Заметим также, что процесс наращивания может происходить и без участия основного тела, когда наращивание начинается с зарождения бесконечно малого материального элемента тела.

Момент времени, в который к телу присоединяется частица с координатами (2:1,2:2), обозначается через т*(хi,x2) и называется моментом присоединения этой частицы к растущему телу. Моменты изготовления и начала загружения элементов растущего тела обозначаются через т*(хi, жг) и tq(xi,X2) соответственно.

Заметим, кроме того, что соотношение т*(х\,х2) = t представляет из себя уравнение границы роста, a sn = |Vr*(xi, £2)|-1 есть скорость движения границы L* (t) по нормали.

Теории кручения и плоского деформирования тел постоянного состава давно стали классикой механики деформируемого твердого тела. В этих областях издан целый ряд монографий [7, 29, 35, 54, 56, 69, 71, 72 и др.]

По всей видимости, первой работой, в которой рассматривалась задача определения напряженно-деформированного состояния растущего тела, а именно непрерывно наращиваемого бесконечного клина, является работа [70]. Она и работы [31, 32, 81, 82] являются классическими примерами в литературе по механике непрерывно растущих тел. В этих работах предлагались различные, не связанные между собой, модели процессов роста. Однако, и они, и многие другие содержали, зачастую, несовершенные в физико-механическом и математическом планах модели конкретных частных процессов.

Построение единой теории было начато в работах Н.Х. Арутюняна [5] и В.Д. Хар-лаба [78]. Эти работы содержали все необходимые соотношения за исключением одного специфического условия на поверхности тела, к которой притекал материал. Недостающее специфическое условие на поверхности тела, к которой притекал материал, было учтено в работах [19, 73-75]. Формулировкой этого было закончено построение математической теории непрерывно наращиваемых деформируемых тел при малых деформациях и условии отсутствия инерционных эффектов.

В дальнейшем теория была развита для описания больших деформаций [9-13, 5052,76], динамических процессов [22-27], вариационных методов [13,20,21,30,55, 57] и решен ряд задач.

Существенный вклад в теорию механики наращиваемых тел был сделан в работе [15], где впервые была рассмотрена общая безынерционная задача о кусочно-непрерывном наращивании линейно вязкоупругого однородно стареющего тела при малых деформациях. В работах [15-17, 37] изложен, эффективный математический метод построения решения поставленной неклассической задачи механики деформируемого твердого тела.

Указанные результаты позволили в рамках рассматриваемой модели построить общую математическую теорию наращиваемых тел и на ее основе решить ряд сложных существенно неодномерных задач наращивания и контактных задач [15-17,33, 36,4244, 58-63, 83].

Вообще говоря, задача кручения для наращиваемых тел рассматривалась в работах [13, 14, 17]. Но при этом рассматриваемые задачи кручения в указанных работах являлись одномерными. В то же время, теория кручения и плоского деформирования тел для наращиваемых тел в общей постановке до недавнего времени не рассматривались вовсе. Это было вызвано в первую очередь принципиальными трудностями постановочного и математического характера, отсутствием исследований в области новых неклассических краевых задач механики. Возможность исследования указанных задач возникла после появления математической теории наращиваемых тел, в которой были решены основные возникающие теоретические и технические трудности. Материалы настоящей диссертации устраняют указанный пробел в исследованиях для наращиваемых тел и позволяют перейти к регулярному использованию развитых методов для решения важных прикладных задач.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Последний включает 84 наименования. Основные результаты диссертации отражены в публикациях [38-41, 45^9]. Общее количество иллюстраций в работе — 56.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Михин, Михаил Николаевич

4.3. Основные выводы

В качестве применения общей теории, рассмотрены конкретные плоские задачи о зарастающих эллиптических отверстиях: задача Кирша для зарастающего отверстия, симметричное зарастание эллиптического отверстия в одноосно растягиваемой пластинке, зарастание бесконечно тонкого эллипса. Во всех задачах рассматривался вопрос о распределении касательных напряжений в наращиваемом теле. Для каждой из рассмотренных задач получены формулы, определяющие решение, и приведены результаты расчетов.

Основной вывод состоит в том, что если в готовом теле без учета наращивания максимум интенсивности касательных напряжений достигается на границе тела, то при наращивании максимум интенсивности касательных напряжений может достигаться: на границе раздела основного и дополнительного тел, на границе готового тела, в произвольной точке дополнительного тела.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные выводы и перечислим наиболее важные научные результаты выполненных в диссертации исследований.

1. В работе исследованы новые задачи кручения и плоского деформирования наращиваемых тел. Даны их постановки. Детально изучен весь процесс наращивания.

2. Сформулированы новые неклассические начально-краевые задачи механики наращиваемых тел. Предложены методы решения таких задач, основанные на приведении неклассических задач наращивания вязкоупругих стареющих тел к задачам теории упругости с некоторым параметром, использовании теории аналитических функций для решения последних и восстановлении истинных характеристик напряженно-деформированного состояния тел при помощи полученных формул расшифровки.

3. Проведены детальные расчеты и качественный анализ напряженно деформированного состояния таких двумерных задач механики наращиваемых тел, как задача о кручении наращиваемого бруса эллиптического сечения, кручение растущей правильной треугольной призмы, кручение наращиваемого вала с продольной выточкой, задачи зарастания отверстий.

4. В результате анализа полученных в диссертации решений новых задач механики растущих тел обнаружены принципиально новые механические эффекты, возникающие только при наращивании деформируемых тел. В частности установлено, что концентрация напряжений в наращиваемых телах может возникать не только на границе, как это справедливо во многих задачах для тел постоянного состава, но и внутри деформируемых тел.

5. На основании проведенных в диссертации исследований можно сделать общий вывод о принципиальной необходимости учета особенностей процессов наращивания, применяемых при создании разнообразных объектов техники и технологии, что позволит избежать катастрофических ошибок при оценке их напряженного-деформированного состояния.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Михин, Михаил Николаевич, 2007 год

1. Александровский C.B., Васильев П.И. Экспериментальные исследования ползучести бетона // Ползучесть и усадка бетона и железобетонных конструкций. М.: Стройиздат, 1976. С. 97-152.

2. Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести. M.; JL: Гостехиздат, 1952. 323 с.

3. Арутюнян Н.Х. Ползучесть стареющих материалов. Ползучесть бетона //Механика в СССР за 50 лет. Т. 3. М.: Наука, 1972. С. 155-202.

4. Арутюнян Н.Х. О теории ползучести для неоднородно наследственно-стареющих сред // Докл. АН СССР. 1976. - Т. 229, Я- 3. - С. 569-571.

5. Арутюнян Н.Х. Краевая задача теории ползучести для наращиваемого тела // ПММ. 1977. Т. 41. Вып. 5. С. 783-789.

6. Арутюнян Н.Х. Фундаментальные решения задач для растущего тела в форме четвертышоскости // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. 2. С. 85-90.

7. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел // М., Физматгиз. 1963. 686 с.

8. Арутюнян Н.Х., Геогджаев В.О., Наумов В.Э. Задачи механики растущих вязко-упругопластических тел в условиях старения и разгрузки // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. 4. С. 153-163.

9. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д. Механика растущих вязкоупругих тел, подверженных старению, при конечных деформациях // Докл. АН СССР. 1984. Т. 276. 4. С. 821-825.

10. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д. О растущем гравитирующем вязкоупругом шаре при конечных деформациях // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. 4. С. 124^137.

11. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д. Теория вязкоупругопластичности растущих тел, подверженных старению, при конечных деформациях // Докл. АН СССР. 1985. Т. 282. 1.С. 23-27.

12. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д. Механика растущих вязкоупругих тел, подверженных старению, при конечных деформациях // Мех. композита, материалов. 1985. 4. С. 591-602.

13. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вязкоупругопла-стических тел. М.: Наука, 1987. 471 с.

14. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел. М.: Наука, 1983. 336 с.

15. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B. Контактные задачи механики растущих тел // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 1. С. 145-158.

16. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B. Контактные задачи теории ползучести. Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1990; Изд-во HAH РА, 1999. 318 с.

17. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B., Наумов В.Э. Контактные задачи механики растущих тел. М.: Наука, 1991. 176 с.

18. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B., Наумов В.Э., Шматкова A.A. Механика растущих неоднородных вязкоупругих тел, подверженных старению // Отчет (аннотацион-ный) / Ин-т проблем механики АН СССР. М., 1990. 21 с.

19. Арутюнян Н.Х., Метлов В.В. Нелинейные задачи теории ползучести наращиваемых тел, подверженных старению // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. 4. С. 142-152.

20. Арутюнян Н.Х., Михайлов М.Н., Потапов В.Д. Об устойчивости растущего вяз-коупругого армированного стержня, подверженного старению // ПМТФ. 1984. 5. С. 143-151.

21. Арутюнян Н.Х., Михайлов М.Н., Потапов В.Д. Устойчивость растущих вязкоупругих оболочек, подверженных старению // ПМТФ. 1986. 2. С. 151-160.

22. Арутюнян Н.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Динамическое наращивание деформируемых тел. Препринт / Ин-т проблем механики АН СССР. М., 1989. 374. 43 с.

23. Арутюнян Н.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Волны в растущих упругих телах. Препринт / Ин-т проблем механики АН СССР. М., 1989. 405. 44 с.

24. Арутюнян Н.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Математическая модель динамически наращиваемого деформируемого тела. Ч. 1. Кинематика и меры деформации растущего тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. 6. С. 85-96.

25. Арутюнян Н.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Математическая модель динамически наращиваемого деформируемого тела. Ч. 2. Эволюционная граничная задача теории растущих тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. 1. С. 72-86.

26. Арутюнян Н.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Динамическое наращивание упругого слоя. Ч. 1. Движение потока осаждаемых частиц с переменной скоростью // Изв. АН СССР. МТТ. 1992. 5. С. 6-24.

27. Арутюнян Н.Х., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Динамическое наращивание упругого слоя. Ч. 2. Случай падения приращиваемых частиц с постоянной скоростью // Изв. АН СССР. МТТ. 1992. 6. С. 99-112.

28. Гельфанд И.Н., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физмат-гиз, 1958. 256 с.

29. Демидов С.П. Теория упругости: Учебник для вузов. М.: Высш. шк., 1979. 432 с.

30. Дмитриева A.M., Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Наращивание термоупругого сферического слоя: применение вариационного подхода. Препринт / Ин-т проблем механики РАН. М., 1993. 528. 64 с.

31. B.И. Феодосьева. Москва, 4-6 мая 2006 г. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. С. 52.

32. Карапетян К.С. Влияние старения бетона на зависимость между напряжением и деформациями ползучести // Изв. АН. АрмССР. Серия физ.-мат. наук. 1959. Т. 12. 4. С. 57-88.

33. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.

34. Манжиров A.B. О кручении растущего цилиндра жестким штампом // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 5. С. 842-850.

35. Манжиров A.B. Общая безынерционная начально-краевая задача для кусочно-непрерывно наращиваемого вязкоупругого стареющего тела // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 5. С. 836-848.

36. Манжиров A.B., Михин М.Н. Плоская задача для растущего тела // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды VI международной конференции. Ростов-на-Дону, 19-23 июня 2000 г. Т. 2. Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ, 2001.1. C. 106-109.

37. Манжиров A.B., Михин М.Н. О кручении наращиваемого эллиптического бруса // Проблемы механики деформируемых тел. Ереван: Изд-во Гитутюн HAH РА, 2003. С. 216-224.

38. Манжиров A.B., Михин М.Н. Методы теории функций комплексного переменного в механике растущих тел // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2004. 4 (34). С. 82-98

39. Манжиров A.B., Паршин Д.А. Наращивание вязкоупругого шара в центрально-симметричном силовом поле // Изв. РАН. МТТ. 2006. 1. С. 66-83.

40. Манжиров A.B., Паршин Д.А. Моделирование процессов наращивания цилиндрических тел на вращающейся оправке с учетом действия центробежных сил // Изв.

41. РАН. МТТ. 2006. 6. С. 149-166.

42. Манжиров A.B., Черныш В.А. Задача об усилении заглубленной арочной конструкции методом наращивания // Изв. РАН. МТТ. 1992. 5. С. 25-37.

43. Михин М.Н. Кручение растущих тел // "XXX Гагаринские чтения": Тезисы докладов (г. Москва, 6-10 апреля 2004). М.: МАТИ РГТУ им. К.Э. Циолковского, С. 34-35.

44. Михин М.Н. Кручение растущей призмы // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая). Сборник статей. В 3-х частях. Часть 3. Екатеренбург: УрО РАН, 2007. С. 25-29.

45. Михин М.Н. Кручение растущего вала // Вестник СамГУ. Естественная серия. 2007. № 4(54). С. 304—315.

46. Метлов В.В., Никитин A.B. О наращивании вязкоупругого цилиндра, подверженного старению // Изв. АН АрмССР. Механика. 1984. Т. 37, 5. С. 52-60.

47. Метлов В.В. О наращивании тел при конечных деформациях // Докл. АН АрмССР. 1985. Т. 80. 2. С. 87-91.

48. Метлов В.В. О наращивании неоднородных вязкоупругих тел при конечных деформациях // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 4. С. 637-647.

49. Метлов В.В., Турусов P.A. О формировании напряженного состояния вязкоупругих тел, растущих в условиях фронтального отверждения // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. 6. С. 145-160.

50. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости // М: Изд во АН СССР, 1954. 647 с.

51. Наумов В.Э., Радаев Ю.Н. Термомеханическая модель наращиваемого тела: вариационная формулировка. Препринт / Ин-т проблем механики РАН. М., 1993. 527. 39 с.

52. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

53. Образцов И.Ф., Паймушин В.Н., Сидоров И.Н. О постановках задачи непрерывного наращивания упругих тел // Докл. АН СССР. 1990. Т. 314, 4. С. 813-816.

54. Паршин Д.А. Наращивание гравитирующего шара // XXXI Гагаринские чтения. Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции. Москва, 59 апреля 2005 г. М.: МАТИ РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2005. Т. 1. С. 100-101.

55. Паршин Д.А. Наращивание массивных деформируемых тел // XXXII Гагаринские чтения. Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 томах. Москва, 4-8 апреля 2006 г. М.: МАТИ РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2006. Т. 1. С. 147-149.

56. Прокопович И.Е. Влияние длительных процессов на напряженное и деформированное состояние сооружений. М.: Госстройиздат, 1963. 260 с.

57. Прокопович И.Е., Улицкий И.И. О теориях ползучести бетона // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1963. 10. С. 13-34.

58. Прокопович И.Е., Зедгенидзе В.А. Прикладная теория ползучести. М.: Стройиздат, 1980. 240 с.

59. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. - 752 с.

60. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. - 384 с.

61. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела: Учебн. пособие для вузов. Изд. 2-е, испр. М.: Наука, 1988. 712 с.

62. Рашба Э.И. Определение напряжений в массивах от действия собственного веса с учетом порядка их возведения // Сб. тр. Ин-та строит, механики АН УССР. 1953. 18. С. 23-27

63. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2 т. Т. 1. Изд. 6-е, стер. СПб.: Лань, 2004. 528 с.

64. Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. М.: ГИФМЛ, 1961.518 с.

65. Тринчер В.К. Общая геометрически линейная постановка задачи определения деформированного состояния для тела с переменной границей // Проблемы современной механики. Ч. 2 / Под ред. акад. Л.И. Седова. М.: Изд-во МГУ, 1983. 149 с.

66. Тринчер В.К. О постановке задачи определения напряженно-деформированного состояния растущего тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. 2. С. 119-124.

67. Тринчер В.К. Расчет наращиваемых тел. М.: Изд-во МГУ. 1989. 154 с.

68. Хан X. Теория упругости: Основы линейной теории и ее применения. Пер. с нем. М.:Мир, 1988. 344 с.

69. Харлаб В.Д. Линейная теория ползучести наращиваемого тела // Механика стержневых систем и сплошных сред: Тр. ЛИСИ. Л.: ЛИСИ, 1966. Вып. 49. С. 93-119.

70. Харлаб В.Д. Некоторые общие решения в линейной теории ползучести наращиваемого тела // Аналитические и численные решения прикладных задач математической физики: Межвуз. темат. сб. тр. Л.: ЛИСИ, 1986. С. 18-26.

71. Ba^ant Z.P. Mathematical models for creep and shrinkage of concrete // Creep and shrinkage in concrete structures / Ed. by Z.P. Ba^ant and F.H. Wittmann. London: John Wiley & Sons Ltd., 1982. P. 163-256.

72. Brown C.B., Goodman L.E. Gravitational stresses in accreted bodies // Proc. Roy. Soc. London, A. 1963. Vol. 276. No. 1367. P. 571-576.

73. Goodman L.E., Brown C.B. Dead load stresses and the instability of slopes // J. Soil Mech. and Foundat. Div., Proc. Amer. Soc. Civil Engrs. 1963. Vol. 89. No. 3. P. 103-134.

74. Manzhirov A.V., Parshin D.A. Accretion of solids under mass forces // Indo-Russian workshop on Problems in Nonlinear Mechanics of Solids with Large Deformation. Proceedings. IIT Delhi, November 22-24, 2006. New Delhi: IIT Delhi, 2006. P. 71-79.

75. Ross A.D. Creep of concrete under variable stress // J. Amer. Concr. Inst. 1958. Vol. 29. No. 9. P. 739-758.