Временные эффекты в пространстве-времени компактных объектов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Тулеганова Гулира Юлдашевна

• Тулеганова Гулира Юлдашевна
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Тулеганова Гулира Юлдашевна

Введение

Глава 1. Временные эффекты

1.1. Временные эффекты без увлечения инерциальных систем отсчета

1.1.1. Эффект Шапиро

1.1.2. Дифференциальная задержка времени

1.2. Временные эффекты с увлечением инерциальных систем отсчета

1.2.1. Эффект Саньяка

1.2.2. Эффект Дымниковой

1.2.2.1. Общий вид уравнения

1.2.2.2. Приближение тонкой линзы

Глава 2. Влияние юкаваподобной силы на относительное запаздывание сигналов

2.1. Модифицированная теория гравитации Моффата

2.1.1. Вращающаяся черная дыра

2.1.2. Статичная черная дыра

2.2. Относительное запаздывание сигналов

2.2.1. Приближение тонкой линзы

2.3. Оценка численных значений

2.3.1. Система пульсар - Лебедь Х-1

2.3.2. Система пульсар - Стрелец А*

2.4. Заключение по главе

Глава 3. Относительное запаздывание сигналов в пространстве-времени регулярных черных дыр

3.1. Сингулярные черные дыры

3.1.1. Черная дыра Керра

3.1.2. Черная дыра Керра-Ньюмена

3.2. Регулярные черные дыры

3.2.1. Черная дыра Бардина

3.2.2. Черная дыра Айон-Беато-Гарсиа

3.3. Относительное запаздывание сигналов

3.4. Оценка численных значений

3.4.1. Система пульсар - Лебедь Х-1

3.4.2. Система пульсар - Стрелец А*

3.5. Заключение по главе

Глава 4. Влияние параметра нарушения симметрии Лоренца на относительное запаздывание сигналов

4.1. Модель гравитации Костелецки и Самуэль

4.1.1. Вращающаяся черная дыра

4.2. Относительное запаздывание сигналов

4.3. Оценка численных значений

4.3.1. Система пульсар - Лебедь Х-1

4.3.2. Система пульсар - Стрелец А*

4.3.3. Система сверхновая типа 1а - галактика

4.4. Заключение по главе

Глава 5. Наблюдаемые характеристики линзирования и дифференциальная задержка времени

5.1. Формализм Китона-Петтерса

5.2. Наблюдаемые характеристики линзирования

5.2.1. Дионная кротовая нора

5.2.2. Кротовая нора Эллиса-Бронникова

5.3. Заключение по главе

Выводы

Публикации автора по теме диссертации

Список цитированной литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Временные эффекты в пространстве-времени компактных объектов»

Актуальность работы

Существует большое количество решений, описывающих черные дыры и кротовые норы в теориях гравитации. Например, в общей теории относительности решение Шварцшильда характеризуется только массой, а решение Керра-Ньюмена включает угловой момент и заряд. Более сложные характеристики возникают в модифицированных теориях гравитации. Фундаментальное свойство черных дыр поглощать материю делает практически невозможным их непосредственное наблюдение. Однако благодаря колоссальному развитию техники и технологий стали возможны косвенные наблюдения черных дыр, которые открывают новые возможности для теоретической и наблюдательной астрофизики. Интерес к исследованию кротовых нор связан с гипотетическим существованием новых форм материи, которые могут нарушать энергетическое условие.

Относительное запаздывание сигналов — это потенциально наблюдаемый эффект, который позволяет рассмотреть теоретические и наблюдательные аспекты изучения черных дыр и других компактных объектов. С помощью численных оценок можно определить, будут ли отличаться при наблюдениях компактные объекты, описываемые разными решениями.

Относительное запаздывание сигналов возникает в линзирующих системах при вращении гравитационной линзы вследствие эффекта увлечения инерциальных систем отсчета [1]. Эффект становится обнаружимым, если источник светового сигнала является переменным. Если два луча света одновременно испускаются источником за вращающейся гравитационной линзой, то, пройдя по разные стороны от линзы, лучи приходят к наблюдателю с некоторой разницей во времени. Эта разница и называется относительным запаздыванием сигналов. Относительное запаздывание имеет принципиальные отличия от известной задержки Шапиро [2], как в природе эффекта, так и в методе расчета.

Пульсары, квазары, гамма-всплески — источники переменных электромагнитных сигналов. Если такие источники сигналов будут обнаружены за вращающейся черной дырой относительно Земли, то подобные системы могут стать подходящими объектами для проверки прогнозов относительного запаздывания сигналов. В настоящее время точные экспериментальные данные по относительному запаздыванию отсутствуют. В случае обнаружения подходящих двойных систем с помощью этих данных можно ограничивать значения свободных параметров решений, описывающих компактные объекты.

Ранее относительное запаздывание сигналов было рассчитано для метрики Йоханнсена [3] для проверки теоремы «об отсутствии волос» Пенроуза. Исследование, проводимое в работе, расширяет применимость метода относительного запаздывания и охватывает несколько важных решений в модифицированных теориях гравитации и общей теории относительности. Модифицированная теория гравитации Моффата [4] содержит несколько решений, описывающих черные дыры. В теории гравитации Моффата кроме метрического тензора есть три скалярных поля и векторное поле. Три скалярных поля представляют собой, соответственно, скалярное поле которое возникает из ньютоновской гравитационной постоянной, функции связи векторного поля ш и массы покоя векторного поля т. Все они меняются в пространстве и во времени. Векторное поле , связанное с зарядом пятой силы, соответствует обмену массивным бозоном со спином 1 и взаимодействует с обычной материей. К ньютоновскому закону обратных квадратов была добавлена юкаваподобная сила, которая характеризуется свободным параметром а. Это приводит к удовлетворительному соответствию к кривым вращения галактик [5]. Интуитивно этот результат можно описать следующим образом: вдали от источника гравитация сильнее, чем предсказание ньютоновской теории, но на меньших расстояниях ей противодействует отталкивающая дополнительная (пятая) сила, возникающая из-за векторного поля. У теории гравитации Моффата есть весомые достоинства: она обладает устойчивым вакуумом, а гамильтониан ограничен в нижнем пределе. Хотя

действие не является калибровочно-инвариантным, можно показать, что теория не содержит так называемых «духов».

В масштабе Солнечной системы теория гравитации Моффата не предсказывает заметного отклонения от общей теории относительности, поэтому исследование влияния свободного параметра черной дыры на относительное запаздывание сигналов актуально в больших масштабах, в частности в системах пульсар - черная дыра. Величина и знак свободного параметра а указывают на отклонения от общей теории относительности (а = 0), и будущие измерения могут ограничивать а при условии идентификации подходящей двойной системы.

Построение моделей регулярных черных дыр было начато Бардином [6], который модифицировал известную метрику Рейснера-Нордстрема для сферически симметрично распределенных массы и заряда, устранив сингулярность при г = 0. Модель Бардина изначально не являлась решением уравнений поля, поэтому, несмотря на то что математические свойства пространства-времени Бардина были хорошо изучены, электромагнитный источник для этого пространства-времени долгие годы был неизвестен. Первые точные решения для регулярных черных дыр были построены в рамках общей теории относительности Айон-Беато и Гарсиа [7]. Эти же авторы позже интерпретировали модель Бардина как точное решение для нелинейного магнитного монополя [8]. Решение для черной дыры Айон-Беато-Гарсиа и Бардина в сравнении с центрально сингулярными решениями для черных дыр Керра и Керра-Ньюмена обладают существенными различиями, особенно в структуре светового конуса и глобальных свойствах. Возможность отличить эти черные дыры с точки зрения наблюдений представляет большой интерес.

Симметрия пространства-времени относительно преобразований Лоренца — это один из основных принципов специальной теории относительности Эйнштейна. Лоренц-инвариантность может быть спонтанно нарушена возникновением отрицательного члена, содержащего массу в квадрате, для тензоров Лоренца, которое можно проанализировать с помощью ковариантной

струнной теории поля [9, 10]. Модель гравитации, предложенная Костелецки и Сэмуэль [10], является простейшей моделью для изучения спонтанного нарушения симметрии Лоренца. Модель содержит векторное поле В^ с ненулевым значением математического ожидания вакуума (В^) = Ь^. Величина математического ожидания вакуума Ь^ действует как фиксированное фоновое поле, которое самопроизвольно нарушает симметрию Лоренца. Влияние параметра нарушения симметрии Лоренца I в модели гравитации Костелецки и Самуэль, в литературе было исследовано в слабом поле с помощью эффекта Шапиро. Результаты с данными эксперимента в Солнечной системе привели к чрезвычайно малому верхнему пределу параметра отклонения / < 10_13. Однако ограничение -0.3 < / < 0.45 было получено с помощью анализа тени черной дыры с наблюдаемыми характеристиками М87* [11]. Поэтому в нашем исследовании были выбраны большие значения параметра нарушения симметрии Лоренца / для определения его предела наблюдаемости. Применение метода относительного запаздывания сигналов представляет большой академический интерес, даже если наблюдательные данные не будут получены в ближайшее время.

Гравитационное линзирование сегодня является неотъемлемой частью набора инструментов астрофизиков для исследования ряда интересных явлений, связанных с компактными объектами с самыми разными масштабами расстояний. В частности, важность изучения наблюдаемых характеристик линзирования в пределе слабого поля заключается в их вкладе в исследование природы линзы. Важное применение линзирования в пространстве-времени безмассовой кротовой норы Эллиса-Бронникова, которое является частным решением в теории Эйнштейна со скаляром с минимальной связью, описано Эби в работе [12]. Безмассовые кротовые норы можно рассматривать как объекты галактического гало, связанные с галактикой с радиусами горловины, если радиус горловины кротовой норы меньше 1011 км. Эби утверждал, что в этом случае кротовые норы с численной плотностью, примерно равной

плотности обычных звезд, могут быть обнаружены путем анализа имеющихся на сегодняшний день данных. Дифференциальная задержка изображений источника сигналов, линзированных кротовыми норами, может являться еще одним важным эффектом линзирования. Принимая во внимание эти астрофизически обнаруживаемые эффекты и предполагая, что область гало галактик населена безмассовыми кротовыми норами Эллиса-Бронникова, как предполагалось в работе [12], важно вычислить наблюдаемые характеристики линзирования, в том числе дифференциальную задержку времени.

Цель работы состоит в исследовании временных эффектов в пространстве-времени компактных объектов и оценке влияния на временные эффекты свободных параметров некоторых решений в общей теории относительности и модифицированных теориях гравитации на основе численных расчетов.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

1. Получить выражение для относительного запаздывания сигналов в пространстве-времени вращающейся черной дыры в теории гравитации Моффата и оценить влияние параметра юкаваподобной силы на относительное запаздывание.

2. Получить выражение для относительного запаздывания сигналов в решениях, описывающих черные дыры Айон-Беато-Гарсиа и Бардина, источник которых связан с нелинейной электродинамикой, и оценить влияния зарядов на относительное запаздывание сигналов.

3. Получить выражение для относительного запаздывания сигналов в пространстве-времени черной дыры модели гравитации Костелецки и Самуэль и оценить влияние параметра нарушения симметрии Лоренца на относительное запаздывание сигналов.

4. Получить наблюдаемые характеристики линзирования и выражение для дифференциальной задержки времени в пространстве-времени дионных кротовых нор в теории Эйнштейна-Максвелла с дилатоном и в пространстве-

времени кротовых нор Эллиса-Бронникова в теории Эйнштейна со скаляром с минимальной связью.

Научная новизна работы

1. Выведены выражения для относительного запаздывания сигналов в решениях, описывающих вращающиеся черные дыры в теории гравитации Моффата, в решениях Айон-Беато-Гарсиа, Керра-Ньюмена, Бардина и решении для черной дыры в модели гравитации Костелецки и Самуэль в приближении тонкой линзы [Л2-Л5].

2. Получены численные значения относительного запаздывания сигналов в системе пульсар - черная дыра для вращающейся черной дыры, описываемой решением в теории гравитации Моффата, и оценено влияние юкаваподобной силы на относительное запаздывание сигналов [Л2].

3. Получены численные значения относительного запаздывания сигналов в системах пульсар - черная дыра Айон-Беато-Гарсиа, пульсар - черная дыра Бардина. Полученные значения сравнены со значениями относительного запаздывания в системе, где вращающимся партнером пульсара является черная дыра Керра-Ньюмена. Оценена возможность наблюдательно отличить сингулярную черную дыру от регулярной [Л4, Л5].

4. Получены численные значения относительного запаздывания сигналов в системе пульсар - черная дыра в модели гравитации Костелецки и Самуэль и оценено влияние свободного параметра на относительное запаздывание сигналов [Л3].

5. Рассчитаны наблюдаемые характеристики линзирования и дифференциальная задержка времени в пространстве-времени дионных кротовых нор в теории Эйнштейна-Максвелла с дилатоном и в пространстве-времени кротовых нор Эллиса-Бронникова в теории Эйнштейна со скаляром с минимальной связью [Л1].

Теоретическая и практическая значимость работы

Результаты работы могут быть использованы в дальнейшем для ограничения свободных параметров исследованных решений в общей теории

относительности и модифицированных теориях гравитаций. Измерение временных эффектов может внести вклад в развитие рассмотренных теорий и моделей гравитации и служить в качестве их тестирования.

Методология и методы исследования

Для вычисления относительного запаздывания сигналов в приближении тонкой линзы использовался метод Дымниковой [1]. Этот метод был расширен на решения для вращающихся черных дыр, рассматриваемых в исследовании. Для оценки влияния свободных параметров решений для вращающихся черных дыр использовались численные методы. Для расчета наблюдаемых характеристик линзирования и дифференциальной задержки времени использовался формализм Китона-Петтерса с применением пост-постньютоновского разложения.

Положения, выносимые на защиту

1. В решении, описывающем черную дыру в теории гравитации Моффата с положительной эффективной гравитационной постоянной, время прибытия луча света со стороны, где он идет по ходу вращения черной дыры, меньше, чем время прибытия луча света с противоположной стороны. Если эффективная гравитационная постоянная отрицательна, то время прибытия луча света со стороны, где он идет по ходу вращения черной дыры, больше, чем с противоположной стороны.

2. Регулярные черные дыры Айон-Беато-Гарсиа и Бардина и сингулярные черные дыр Керра и Керра-Ньюмена имеют разницу в относительном запаздывании сигналов порядка 10-21 секунд.

3. Измеримая разница в относительном запаздывании сигналов между черной дырой в модели гравитации Костелецки и Самуэль и черной дырой Керра проявляется при значениях безразмерного свободного параметра модели гравитации Костелецки и Самуэль / > 10-2.

4. Кротовые норы в теории Эйнштейна-Максвелла с дилатоном и кротовые норы Эллиса-Бронникова в теории Эйнштейна со скаляром неотличимы с помощью гравитационного линзирования в слабом поле.

Достоверность полученных результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается методами дифференциальной геометрии и согласованностью результатов работы с другими авторами. Результаты были опубликованы в ведущих мировых и российских журналах и многократно докладывались на международных и российских конференциях.

Апробация результатов работы

Основное содержание работы опубликовано в 5 научных статьях [А1-А5] в рецензируемых научных журналах ВАК, из них 4 статьи опубликованы в журналах, индексируемыми базами данных Scopus и Web of Science [А1-А4].

Результаты исследования докладывались и обсуждались в рамках следующих конференций:

V Международная зимняя школа-семинар по гравитации, астрофизике и космологии «Петровские чтения - 2022», г. Казань, 2022 г;

Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения, Банное, 2020 г;

Успехи российской астрофизики 2019: Теория и Эксперимент, ГАИШ МГУ, 2019 г;

Международная научно-практическая конференция для студентов и молодежи по естественно-научному и техническому направлениям «НАУКА 2020», Уфа, 2017 г.;

Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», г. Уфа, 2016, 2017, 2018, 2020 (дистанционно), 2021 гг.;

International Conference on Astrophysics, Astro-particle Physics and High Energy Physics «Exploring the Relativistic Universe», India, Siliguri, 2015 г.

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 18-32-00377 мол_а) и гранта Республики Башкортостан Н0Ц-ГМУ-2022 (приказ № 2987 от 29.11.2022 г.).

Личный вклад автора

Автор участвовала в выборе направления исследования, постановке задач, интерпретации результатов и подготовке публикаций. Автор лично выполнила численные расчеты и графические построения, получила основные результаты, описанные в работе, и написала текст диссертации.

Глава 1. Временные эффекты

Единственный способ получить информацию о природе астрофизических объектов во Вселенной — через их излучение, достигающее Земли. Длина пути фотонов изменяется за счет присутствия на их пути других астрофизических объектов, что может привести к различным временным эффектам. Временные эффекты могут быть использованы для получения информации о природе гравитирующего источника и соответствующей геометрии пространства-времени. Кроме того, временные эффекты могут дать информацию о свободных параметрах, которые могут содержаться в теориях гравитации.

В данной главе рассмотрены два вида временных эффектов — с увлечением инерциальных систем отсчета (ИСО) и без увлечения ИСО. Проанализирована работа Дымниковой [1], которая показала возникновение неодновременности приходящих к наблюдателю сигналов в пространстве-времени вращающихся гравитационных линз. Описан метод расчета относительного запаздывания сигналов [3] в приближении тонкой линзы.

1.1. Временные эффекты без увлечения инерциальных систем

отсчета

Возникновение временных эффектов, не связанных с увлечением ИСО, обусловлены массой линзирующего объекта. Здесь рассмотрим известный эффект Шапиро, по-другому называемый гравитационной задержкой времени, и дифференциальную задержку времени.

1.1.1. Эффект Шапиро

Эффект Шапиро является одним из четырех классических тестов общей теории относительности (ОТО) в Солнечной системе. Световым сигналам требуется немного больше времени, чтобы добраться до цели и вернуться, если они проходят вблизи массивного объекта. Задержка времени вызвана замедлением времени вблизи массивного объекта, которое увеличивает время, необходимое свету для прохождения заданного расстояния с точки зрения внешнего наблюдателя.

Этот эффект временной задержки впервые был предсказан в 1964 году Ирвином Шапиро [2]. Шапиро предложил наблюдательную проверку своего предсказания: отразить лучи радара от поверхности Венеры и Меркурия и измерить время прохождения туда и обратно. Шапиро показал, что ожидаемая временная задержка из-за присутствия Солнца для радиолокационного сигнала, идущего от Земли к Венере и обратно, когда Земля, Солнце и Венера выровнены наиболее благоприятно, будет составлять около 200 микросекунд

Первые испытания, проведенные в 1966 и 1967 годах с использованием антенны радара MIT Haystack, прошли успешно. Результаты экспериментов соответствовали прогнозу Шапиро [13]. После этого эффект Шапиро неоднократно проверялся с возрастающей точностью экспериментов.

В статическом (или практически статическом) гравитационном поле объекта небольшой массы (например, звезды и планеты, но не черной дыры) эффект можно рассматривать как частный случай гравитационного замедления времени. Измеренное время прохождения светового сигнала в гравитационном поле больше, чем было бы без поля, и разница прямо пропорциональна классическому гравитационному потенциалу, точно так же, как в стандартных формулах гравитационного замедления времени.

Шапиро получил уравнение задержки времени Д*шапиро для решения Шварцшильда. Уравнение включало член ведущего порядка и поправку первого порядка, разложенные по массе Солнца М0, в предложенном им эксперименте. Электромагнитный импульс, испущенный от Земли, отражается от внутренней планеты (например, Венеры) и возвращается, проходя близко к центральному объекту — Солнцу [2]:

где d — расстояние наибольшего сближения траектории электромагнитного сигнала к центральному объекту, хе — расстояние вдоль траектории полета

[2].

^Шапиро — ~ ln

( 2

Хр + (Хр + и )

-xe+(x|+d2)1/2

2

+ (1.1)

фотона от источника электромагнитного сигнала до точки наибольшего сближения к центральному объекту, а хр — расстояние по траектории сигнала от точки наибольшего сближения до планеты. И хе , и хр считаются положительными при движении сигнала в сторону планеты. Радиус Шварцшильда для центрального объекта равен = = 1,5 км. Здесь О — гравитационная константа, — масса центрального объекта и с — скорость света. В результате расчета (1.1) получается различие скорости электромагнитного импульса. Вкладом задержки электромагнитного сигнала второго порядка (Д$/с) можно пренебречь. Подобный эффект присущ явлениям преломления электромагнитных сигналов, при небольших изменениях показателя преломления.

Для сигнала, проходящего вблизи массивного объекта с массой М, задержка Шапиро может быть рассчитана следующим образом:

Л^Шапиро^^па-^х), (1.2)

где М — единичный вектор, указывающий от наблюдателя к источнику, а х — единичный вектор, указывающий от наблюдателя к гравитирующей массе М. Точка обозначает обычное евклидово скалярное произведение. Численные данные эффекта Шапиро могут быть использованы для ограничения свободных параметров решений для компактных объектов [А 14].

Существует также эффект, обратный эффекту Шапиро, который называется гравитационным ускорением времени [14]. Так же как и эффект Шапиро гравитационное ускорение возникает потому, что в зависимости от кривизны пространства-времени время течет по-разному. Однако, в отличие от эффекта Шапиро, свет распространяется от источника с большим гравитационным потенциалом к приемнику с меньшим гравитационным потенциалом, и отражаясь, возвращается обратно. Таким образом возникает отрицательная задержка — гравитационное ускорение. Варианты тестирования были предложены так же в оригинальной работе [14], хотя в данное время этот эффект еще не подтвержден экспериментально.

1.1.2. Дифференциальная задержка времени

Дифференциальная задержка времени является одним из важных наблюдаемых характеристик гравитационного линзирования в слабом поле и используется для изучения свойств линзирующего объекта и его геометрии. Она возникает из-за разности ЛБ в длинах оптических путей, когда источник света Б, линза Ь и наблюдатель О не расположены на одной прямой р ф 0

(рисунок 1.1) и рассчитывается как [15]- За счет этого появляется

разница времени прибытия сигналов ЛБ/с.

Рисунок 1.1 - Изображения 1± появляются для двух угловых положений в±. Б, Ь и О — источник, линза и наблюдатель соответственно, в — угловое положение источника, в — угловое положение изображения.

Таким образом дифференциальная задержка времени Дт представляет собой задержку времени прихода к наблюдателю пары изображений т + и т- от одного источника света Дт = т+ — т-. При р = 0 пара изображений будет появляться одновременно — дифференциальная задержка отсутствует.

Дифференциальная задержка времени рассчитывается, решая уравнение линзы [15]

в2—рв — в2 = 0, (1.3)

где вЕ — угол Эйнштейна в неподвижной линзе для произвольных расстояний для р ф 0. Угол Эйнштейна вЕ можно вывести исходя из наблюдений в± изображения.

Согласно формализму Китона-Петтерса [16-17], дифференциальная задержка времени в разложении ППН, имеет вид:

Лт = Лт1 +ЛТ2£ + 0(£)2. (1.4)

Параметр разложения представляет собой угол, образуемый гравитационным

радиусом, нормированным на угловой радиус Эйнштейна £ = ~~.

Член ведущего порядка Лт0 и поправка первого порядка к ней равны [16]:

(во"Г2-(во+)"

Лт о = т£

- 1п СЮо)], (15)

ЛТ1=Т^1610Х". (1.6)

Здесь — ведущий порядок положения пары изображений, т£ — характеристический масштаб для дифференциальной задержки времени, определяемый как

Т£=^Г = - (1.7)

где и — это расстояния между Землей и гравитационной линзой,

между Землей и источником излучения, между гравитационной линзой и источником излучения соответсвенной, а — гравитационный радиус = £М/с2. Из последней части равенства видно, что не зависит от расстояний.

В пятой главе дифференциальная задержка времени будет рассмотрена в пространстве-времени дионных кротовых нор в теории Эйнштейна-Максвелла с дилатоном и в пространстве-времени кротовых нор Эллиса-Бронникова в теории Эйнштейна со скаляром с минимальной связью.

1.2. Временные эффекты с увлечением инерциальных систем

отсчета

Увлечение ИСО — это эффект, возникающий из-за нестатического стационарного распределения массы-энергии. Стационарное поле находится в устойчивом состоянии, но массы, являющиеся источником этого поля, могут быть нестатическими — например, вращающимися. Этот эффект является одним из прогнозов ОТО.

2

Впервые эффект увлечения ИСО был получен в 1918 году в рамках ОТО Йозефом Лензе и Гансом Тиррингом [18-20]. Они предсказали, что вращение массивного объекта будет искажать пространство-время. Орбита тестовой частицы, которая находится рядом с вращающимся телом, будет прецессировать. В классической механике подобное явление не возникает, поскольку поле тяготения объекта в этом случае зависит только от массы, но не от вращения. Эффект Лензе - Тирринга очень мал — чтобы обнаружить его, необходимо исследовать очень массивный объект или построить очень чувствительный прибор. Существуют вращательное и линейное увлечение ИСО и увлечение статической массы.

Вращательное увлечение ИСО проявляется в общей теории относительности и подобных теориях вблизи вращающихся массивных объектов [А6]. Система отсчета, в которой часы идут быстрее — это та, которая вращается вокруг объекта, видимого удаленным наблюдателем. Кроме того, внутренняя область увлекается больше, чем внешняя. При некоторой определенной скорости вращения эффекты, обусловленные инерцией и увлечением систем отсчета взаимно компенсируются. Согласно принципу эквивалентности гравитационная и инертная массы тел одинаковы. Поэтому скорость вращения, при которой отсутствует разница увлечения во внутренних и внешних областях, является локальным эталоном отсутствия вращения объекта.

Еще одно интересное следствие состоит в том, что если объект ограничен экваториальной орбитой, но не находится в свободном падении, он весит больше, если движется против направления вращения, и меньше, если движется по направлению вращения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тулеганова Гулира Юлдашевна, 2023 год

Список цитированной литературы

1. Дымникова И. Г. Движение частиц и фотонов в гравитационном поле

вращающегося тела / Дымникова И. Г. // Успехи физических наук. — 1986. — № 148. — С. 393-432.

2. Shapiro I. I. Fourth Test of General Relativity / Shapiro I. I. // Physical Review

Letters. — 1964. — V. 13. — P. 789.

3. Izmailov R. N., Zhdanov E. R., Bhadra A., Nandi K. K. Relative time delay in a

spinning black hole as a diagnostic for no-hair theorem / Izmailov R. N., Zhdanov E. R., Bhadra A., Nandi K. K. // European Physical Journal. — 2019. — V. 79. — P. 105.

4. Moffat J. W. Scalar-tensor-vector gravity theory / J. W. Moffat // Journal of

Cosmology and Astroparticle Physics. — 2005. — V. 2006. — P. 004-004.

5. Brownstein J. R., Moffat J. W. Galaxy Rotation Curves without Nonbaryonic Dark

Matter / Brownstein J. R., Moffat J. W. // Astrophysical Journal. — 2006. — V. 636. — P. 721-741.

6. Bardeen J. M. Black Holes / Bardeen J. M. — New York: Science Publishers,

1973 — 552 c.

7. Ayon-Beato E., Garcia A. Regular Black Hole in General Relativity Coupled to

Nonlinear Electrodynamics / Ayon-Beato E., Garcia A. // Physical Review Letters. — 1998. — V. 80. — P. 5056-5056.

8. Ayon-Beato E., Garcia A. The Bardeen model as a nonlinear magnetic monopole /

Ayon-Beato E., Garcia A. // Physics Letters B. — 2000. — V. 493. — P. 149152.

9. Casana R., Cavalcante A., Poulis F. P., Santos E. B. Exact Schwarzschild-like

solution in a bumblebee gravity model / Casana R., Cavalcante A., Poulis F. P., Santos E. B. // Physical Review D. — 2018. — V. 97. — P. 104001.

10. Kostelecky V. A., Samuel S. Gravitational phenomenology in higher-dimensional theories and strings / Kostelecky V. A., Samuel S. // Physical Review D. — 1989. — V. 40. — P. 1886.

11. Зенин О. И. Тени черных дыр как источник ограничений на расширенные

теории гравитации / Зенин О. И. // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2022. — V. 40. — С. 108-117.

12. Abe F. Gravitational microlensing by the Ellis wormhole / Abe. F. // Astrophysical Journal. — 2010. — V. 725. — P. 787.

13. Shapiro I. I., Pettengill G. H., Ash M. E., Stone M. L. et al. Fourth Test of General Relativity: Preliminary Results / Shapiro I. I., Pettengill G. H., Ash M. E., Stone M. L. et al. // Physical Review Letters. — 1968. — V. 22. — P. 1265-1269

14. Bhadra A., Nandi K.K. Gravitational time advancement and its possible detection / Bhadra A., Nandi K.K. // General Relativity and Gravitation. — 2010. — V. 42. — P. 293-302.

15. Hartle J. B. Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity / Hartle J.B.

— San Francisco: Pearson Inc, 2013 — 553 c.

16. Keeton C. R., Petters A. O. Formalism for testing theories of gravity using lensing by compact objects: Static, spherically symmetric case / Keeton C. R., Petters A. O. // Physical Review D. — 2005. — V. 72. — P. 104006.

17. Keeton C. R., Petters A. O. Formalism for testing theories of gravity using lensing by compact objects. II. Probing post-post-Newtonian metrics / Keeton C. R., Petters A. O. // Physical Review D. — 2006. — V. 73. — P. 044024.

18. Lense J., Thirring H. Über den Einfluss der Eigenrotation der Zentralkörper auf

die Bewegung der Planeten und Monde nach der Einsteinschen Gravitationstheorie / Lense J., Thirring H. // Physikalische Zeitschrift. — 1918. — V. 19. — P. 156-163.

19. Thirring H. Über die Wirkung rotierender ferner Massen in der Einsteinschen Gravitationstheorie / Thirring H. // Physikalische Zeitschrift. — 1918. — V. 19. — P. 33.

20. Thirring H. Berichtigung zu meiner Arbeit: 'Über die Wirkung rotierender Massen in der Einsteinschen Gravitationstheorie' / Thirring H. // Physikalische Zeitschrift. — 1921. — V. 22. — P. 29.

21. Einstein A. The meaning of relativity / Einstein A. — 6-th edition. — Chapman

and Hall, 1967 — 161 p.

22. Everitt et al. Gravity Probe B: Final Results of a Space Experiment to Test

General Relativity / Everitt et al. // Physical Review Letters. — 2011. — V. 106. — P. 221101.

23. Balakin A. B., Zayats A.E. Ray optics in the field of non-minimal Dirac monopole / Balakin A. B., Zayats // Gravitation and Cosmology. — 2008. — V. 1. — P. 86-94.

24. Tseng W. Sagnac Effect and Diurnal Correction on Two-Way Satellite Time Transfer / W. Tseng, K. Feng, S. Lin, H. Lin, Y. Huang, C. Liao // IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement. - 2008. - V. 60 - P. 22982303.

25. Sagnac G. The luminiferous ether demonstrated by the effect of the relative motion of the ether in an interferometer in uniform rotation / G. Sagnac // Comptes Rendus de l'Académie des Science. — 1913. — V. 157. — P. 708710.

26. Sagnac G. On the Proof of the Reality of the Luminous Ether by the Rotating

Interferograph Experiment / G. Sagnac // Comptes Rendus de l'Académie des Science. — 1913. — V. 157. — P. 1410-1413.

27. Michelson A.A. The relative motion of the Earth and of the luminiferous ether /

A.A. Michelson // The American Journal of Science. III series. — 1881. — V. 22, — P. 120-129.

28. Hafele J.C. Around-the-World Atomic Clocks: Predicted Relativistic Time Gains / J.C. Hafele, R.E. Keating // Science. — 1972. — V. 4044. — P. 166168.

29. Hafele J.C. Around-the-World Atomic Clocks: Observed Relativistic Time Gains / J.C. Hafele, R.E. Keating // Science. — 1972. — V. 4044. — P. 168170.

30. Lawrence A. Modern Inertial Technology / Lawrence A. — 1-st edition. — New

York: Springer, 1993 — 268 p.

31. MacKenzie D. From the luminiferous ether to the Boeing 757: a history of the

laser gyroscope / MacKenzie D. // Technology and Culture. — 1993. — V. 34. — С. 475-515.

32. Karimov R.Kh. Terrestrial Sagnac delay constraining modified gravity models /

R.Kh. Karimov, R.N. Izmailov, A.A. Potapov, K.K. Nandi // General Relativity and Gravitation. — 2018. — V. 50 — P. 44.

33. Dymnikova I. G. Effect of the relative delay of rays focused by a rotating massive

body / Dymnikova I. G. // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 1984. — V. 86. — P. 385-389.

34. Гупта P. Проблемы статистической и квантовой физики / Гупта P. — Москва: УДН, 1980 — С. 82.

35. Мицкевич Н. В., Ульдин А. В. Эффект гравитационной линзы в поле Керра /

Мицкевич Н. В., Ульдин А. В. // Рукопись деп. в ВИНИТИ АН СССР. — 1983. — V. 2654-83.

36. Laguna P., Wolszczan A. Pulse Arrival Times from Binary Pulsars with Rotating

Black Hole Companions // Astrophysical Journal. — 1997. — V. 486. — P. L74.

37. Oort J. Some problems concerning the distribution of luminosities and peculiar

velocities of extragalactic nebulae / Oort J. // Bulletin of the astronomical institutes of the Netherlands. — 1931. — V. 6. — P. 155.

38. Riess A.G., et al. Observational Evidence from Supernovae for an Accelerating

Universe and a Cosmological Constant / Riess A.G., et al. // Astronomical Journal. — 1998. — V. 116. — P. 1009.

39. Perlmutter S., et al. Discovery of a supernova explosion at half the age of the

Universe / Perlmutter S., et al. // Nature. — 1998. — V. 391. — P. 51-54.

40. Agnese R., et al. Search for Low-Mass Weakly Interacting Massive Particles

with SuperCDMS / Agnese R., et al. // Physical Review Letters. — 2014. — V. 112. — P. 241302.

41. Mannheim P.D., O'Brien J.G. Impact of a Global Quadratic Potential on Galactic

Rotation Curves / Mannheim P.D., O'Brien J.G. // Physical Review Letters. — 2011. — V. 106. — P. 121101.

42. Milgrom M. A modification of the Newtonian dynamics as a possible alternative

to the hidden mass hypothesis / Milgrom M. // Astrophysical Journal. — 1983. — V. 270. — P. 365-370.

43. Nojiri S., Odintsov S.D. Modified f(R) gravity consistent with realistic cosmology: From a matter dominated epoch to a dark energy universe / Nojiri S., Odintsov S.D. // Physical Review D. — 2006. — V. 74. — P. 086005.

44. Brownstein J.R., Moffat J.W. Galaxy cluster masses without non-baryonic dark

matter / Brownstein J.R., Moffat J.W. // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2006. — V. 367. — P. 527.

45. Moffat J.W., Rahvar S. The MOG weak field approximation and observational

test of galaxy rotation curves / Moffat J.W., Rahvar S. // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2013. — V. 436. — P. 1439-1451.

46. Perez D., Armengol F.G.L., Romero G.E. Accretion disks around black holes in

scalartensor-vector gravity / Perez D., Armengol F.G.L., Romero G.E. // Physical Review D. — 2017. — V. 95. — P. 104047.

47. Lopez Armengol F.G., Romero G.E. Neutron stars in Scalar-Tensor-Vector Gravity / Lopez Armengol F.G., Romero G.E. // General Relativity and Gravitation. — 2017. — V. 49. — P. 27.

48. Brownstein J.R., Moffat J.W. The Bullet Cluster 1E0657-558 evidence shows

modified gravity in the absence of dark matter / Brownstein J.R., Moffat J.W. // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2007. — V. 382. — P. 29-47.

49. Moffat J.W., Toth V.T. Testing Modified Gravity with Globular Cluster Velocity

Dispersions / Moffat J.W., Toth V.T. // Astrophysical Journal. — 2008. — V. 680. — P. 1158.

50. Moffat J.W., Toth V.T. Cosmological Observations in a Modified Theory of

Gravity (MOG) / Moffat J.W., Toth V.T. // Galaxies. — 2013. — V. 1. — P. 65-82.

51. Moffat J.W., Toth V.T. Rotational velocity curves in the Milky Way as a test of

modified gravity / Moffat J.W., Toth V.T. // Physical Review D. — 2015. — V. 91. — P. 043004.

52. Moffat J.W., Rahvar S. The MOG weak field approximation II. Observational test

of Chandra X-ray clusters / Moffat J.W., Rahvar S. // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2014. — V. 441. — P. 3724.

53. Moffat J.W. Black holes in modified gravity (MOG) / Moffat J.W. // European

Physical Journal. — 2015. — V. 75. — P. 1-9.

54. Moffat J.W. Modified gravity black holes and their observable shadows / Moffat

J.W. // European Physical Journal. C. — 2015. — V. 75. — P. 130.

55. Moffat J. W., Toth V. T. Modified Gravity and the origin of inertia / Moffat J.

W., Toth V. T. // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society: Letters. — 2009. — V. 395. — P. L25-L28.

56. Dadhich N., Maartens R., Papadopoulos P., Rezania V. Black holes on the brane /

Dadhich N., Maartens R., Papadopoulos P., Rezania V. // Physics Letters B. — 2000. — V. 487. — P. 1-6.

57. Sasaki M., Shiromizu T., Maeda K. Gravity, stability, and energy conservation on

the Randall-Sundrum brane world / Sasaki M., Shiromizu T., Maeda K. // Physical Review D. — 2000. — V. 62. — P. 024008.

58. Izmailov R. N., Karimov R. Kh., Zhdanov E. R., Nandi K. K. Modified gravity

black hole lensing observables in weak and strong field of gravity / Izmailov R. N., Karimov R. Kh., Zhdanov E. R., Nandi K. K. // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2018. — V. 3. — P. 483.

59. Boyer R.H., Lindquist R.W. Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric /

Boyer R.H., Lindquist R.W. // Journal of Mathematical Physics. — 1967. — V. 8. — P. 265-281.

60. Bozza V. Gravitational lensing in the strong field limit / Bozza V. // Physical

Review D. — 2002. — V. 66. — P. 103001.

61. Narayan R., Piran T., Shemi A. Energy Optimization in Binary Star Systems:

Explanation for Equal Mass Members in Close Orbits / Narayan R., Piran T., Shemi A. // Astrophysical Journal. — 1991. — V. 380. — P. L17.

62. Faucher-Giguere C. A., Loeb A. Pulsar-black hole binaries in the Galactic Centre / Faucher-Giguere C. A., Loeb A. // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2011. — V. 415. — P. 3951-3961.

63. Amaro-Seoane P., Aoudia S., Babak S., et al. Low-Frequency Gravitational-

Wave Science with eLISA/NGO / Amaro-Seoane P., Aoudia S., Babak S. et al. // Classical and Quantum Gravity. — 2012. — V. 29. — P. 124016.

64. Nampalliwar S., Price R. H., Creighton T., Jenet F. A. Detection of pulsar beams

deflected by the black hole in Sgr A*: effects of black hole spin / Nampalliwar S., Price R. H., Creighton T., Jenet F. A. // The American Astronomical Society. — 2013. — V. 778. — P. 145.

65. Yagi K., Stein L. C. Black Hole Based Tests of General Relativity / Yagi K.,

Stein L. C. // Classical and Quantum Gravity. — 2016. — V. 33. — P. 054001.

66. Kaspi V. M., Taylor J. H., Ryba M. F. High-Precision Timing of Millisecond

Pulsars. III. Long-Term Monitoring of PSRs B1855+09 and B1937+21 / Kaspi V. M., Taylor J. H., Ryba M. F. // Astrophysical Journal. — 1994. — V. 428. — P. 713.

67. Deneva J. S., Ray P. S., Camilo F. Timing of Eight Binary Millisecond Pulsars

Found with Arecibo in Fermi-LAT Unidentified Sources / Deneva J. S., Ray P. S., Camilo F. // Astrophysical Journal. — 2021. — V. 909. — P. 6.

68. Lipunov V.M., Postnov K.A., Prokhorov M.E., Osminkin E.Yu. / Lipunov V.M.,

Postnov K.A., Prokhorov M.E., Osminkin E.Yu. // Astrophysical Journal. — 1994. — V. 423. — P. L121.

69. Arzoumanian Z. Radio Observations of Binary Pulsars: Clues to Binary Evolution

and Tests of General Relativity: Диссертация на соискание степени PhD / Arzoumanian Z.; Princeton University. — Princeton, 1995.

70. Deng X.-M., Xie Y., Huang T. Modified scalar-tensor-vector gravity theory and

the constraint on its parameters / Deng X.-M., Xie Y., Huang T. // Physical review D: Particles and fields. — 2009. — V. 79. — P. 044014.

71. Gou L., Jeffrey E. M., Mark J. R., Jerome A. O., James F. S., Ramesh N., Jingen X., Ronald A. R., Keith A. A., Shane W. D. The Extreme Spin of the Black Hole in Cygnus X-1 / Gou L., Jeffrey E. M., Mark J. R., Jerome A. O., James F. S., Ramesh N., Jingen X., Ronald A. R., Keith A. A., Shane W. D. // Astrophysical Journal. — 2011. — V. 742. — P. 85.

72. Kato Y., Miyoshi M., Takahashi R., Negoro H., Matsumoto Measuring spin of a

supermassive black hole at the Galactic centre — implications for a unique spin / Kato Y., Miyoshi M., Takahashi R., Negoro H., Matsumoto // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society: Letters. — 2010. — V. 403. — P. L74-L78.

73. Ford L.H., Vilenkin A. A gravitational analogue of the Aharonov-Bohm effect /

Ford L.H., Vilenkin A. // Journal of Physics A. — 1981. — V. 14. — P. 2353.

74. Van Straten W., Bailes M., Britton M. A test of general relativity from the three-

dimensional orbital geometry of a binary pulsar / Van Straten W., Bailes M., Britton M. // Nature — 2001. — V. 412. — P. 158-160.

75. Pfahl E., Loeb A. Probing the Spacetime around Sagittarius A* with Radio Pulsars / Pfahl E., Loeb A. // Astrophysical Journal. — 2004. — V. 615. — P. 253.

76. Kerr R. P. Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically

Special Metrics / Kerr R. P. // Physical Review Letters. — 1963. — V. 11. — P. 237-238.

77. Newman E. T., Couch R., Chinnapared K., Exton A., Prakash A., et. al. Charged

Mass / Newman E. T., Couch R., Chinnapared K., Exton A., Prakash A., et. al. // Journal of Mathematical Physics. — 1965. — V. 6. — P. 918-919.

78. Misner C.W., Thorne K.S., Wheeler J.A. Gravitation / Misner C.W., Thorne K.S.,

Wheeler J.A. — 2-e. — San Francisco: Freeman, 2017 — 1279 c.

79. Kerr R. P. Discovering the Kerr and Kerr-Schild metrics / Kerr R. P. // Arxiv. —

URL: https://arxiv.org/pdf/0706.1109.pdf (дата обращения: 17.01.2023).

80. Newman E., Penrose R. An Approach to gravitational radiation by a method of

spin coefficients / Newman E., Penrose R. // Journal of Mathematical Physics. — 1962. — V. 3. — P. 566-578.

81. Newman E., Penrose R. An Approach to gravitational radiation by a method of

spin coefficients / Newman E., Penrose R. // Journal of Mathematical Physics. — 1963. — V. 4. — P. 998.

82. Newman E., Tamburino L., Unti T. Empty space generalization of the Schwarzschild metric / Newman E., Tamburino L., Unti T. // Journal of Mathematical Physics. — 1963. — V. 4. — P. 915.

83. Newman E., Janis A. Note on the Kerr spinning particle metric / Newman E.,

Janis A. // Journal of Mathematical Physics. — 1965. — V. 6. — P. 915-917.

84. Sen A. Rotating charged black hole solution in heterotic string theory / Sen A. //

Physical Review Letters. — 1992. — V. 69. — P. 1006.

85. Born M., Infeld L. Foundations of the New Field Theory / Born M., Infeld L. //

Proceedings of the Royal Society A. — 1934. — V. 144. — P. 425-451.

86. Plebanski J. Lectures on non-linear electrodynamics / Plebanski J. — 1-st edition. — Copenhagen: Nordita, 1970 — 147 c.

87. Fradkin E.S., Tseytlin A. Non-linear electrodynamics from quantized strings /

Fradkin E.S., Tseytlin A. // Physics Letters B. — 1985. — V. 163. — P. 123130.

88. Leigh R.G. Dirac-Born-Infeld action from Dirichlet a-model / Leigh R.G. // Modern Physics Letters A. — 1989. — V. 4. — P. 2767.

89. Gibbons G. Born-Infeld particles and Dirichlet p-branes / Gibbons G. // Nuclear

Physics. — 1998. — V. B514. — P. 603-639.

90. Gonorazky S., Schaposnik F.A., Silva G. Supersymmetric Non-Abelian Born-

Infeld Theory / Gonorazky S., Schaposnik F.A., Silva G. // Physics Letters B. — 1999. — V. 449. — P. 187-193.

91. Brinne B., Hjelmeland S.E., Lindstrom U. World-Volume Locally Supersymmetric Born-Infeld Actions / Brinne B., Hjelmeland S.E., Lindstrom U. // Phys. Lett. — 1999. — V. B459. — P. 507.

92. Park J.-H. A study of a non-Abelian generalization of the Born-Infeld action /

Park J.-H. // Physics Letters B. — 1999. — V. 458. — P. 471-476.

93. Tripathy P.K. Gravitating monopoles and black holes in Einstein-Born-Infeld-

Higgs model / Tripathy P.K. // Physics Letters B. — 1999. — V. 458. — P. 252.

94. Balakin A. B., Lemos J. P. S., Zayats A. E. Regular nonminimal magnetic black

holes in spacetimes with a cosmological constant / Balakin A. B., Lemos J. P. S., Zayats A. E. // Physical Review D. — 2016. — V. 2. — P. 024008.

95. Balakin A. B., Lemos J. P. S., Zayats A. E. Magnetic black holes and monopoles

in a nonminimal Einstein-Yang-Mills theory with a cosmological constant: Exact solutions / Balakin A. B., Lemos J. P. S., Zayats A. E. // Physical Review D. — 2016. — V. 8. — P. 084004.

96. Balakin A. B., Sushkov S. V., Zayats A. E. Non-minimal Wu-Yang wormhole /

Balakin A. B., Sushkov S. V., Zayats A. E. // Physical Review D 75. — 2007. V. 8. — P. 084042.

97. Balakin A. B., Lemos J. P. S., Zayats A. E. Nonminimal coupling for the gravitational and electromagnetic fields: Traversable electric wormholes / Balakin A. B., Lemos J. P. S., Zayats A. E. // Physical Review D. — 2010. — V. 8. — P. 084015.

98. Balakin A. B., Popov V. A. Einstein-aether theory: Dynamics of relativistic particles with spin or polarization in a Gödel-type universe / Balakin A. B., Popov V. A. // Journal of Cosmology and Astroparticle Physics. — 2017. — V. 4. — P. 025.

99. Dion B., Marleau L., Simon G. Skyrmions from a Born-Infeld action / Dion B.,

Marleau L., Simon G. // Phys Rev D. — 1996. — V. 3. — P. 1542-1547.

100. Gibbons G. W., Rasheed D. A. Electric-magnetic duality rotations in nonlinear electrodynamics / Gibbons G. W., Rasheed D. A. // Nuclear Physics. — 1995. — V. B454. — P. 185-206.

101. Deser S., McCarthy J., Sarioglu O. "Good Propagation" Constraints on Dual Invariant Actions in Electrodynamics and on Massless Fields / Deser S., McCarthy J., Sarioglu O. // Classical and Quantum Gravity. — 1999. — V. 16. — P. 841-847.

102. Rasheed D.A. Non-Linear Electrodynamics: Zeroth and First Laws of Black Hole Mechanics / Rasheed D.A. // Arxiv — URL: https://arxiv.org/pdf/hep-th/9702087.pdf (дата обращения: 18.01.2023).

103. Sakharov A. D. The Initial Stage of an Expanding Universe and the Appearance of a Nonuniform Distribution of Matter / Sakharov A. D. // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 1966. — V. 49. — P. 345-358.

104. Gliner E. B. Algebraic Properties of the Energy-momentum Tensor and Vacuum-like States of Matter / Gliner E. B. // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 1966. — V. 2. — P. 378-382.

105. Bardeen J. M. Non-singular general-relativistic gravitational collapse / Bardeen J. M. // In Proceedings of the International Conference GR5. — Tbilisi, 1968. — P. 174.

106. Frolov V. P. Notes on nonsingular models of black holes / Frolov V. P. // Physical Review D. — 2016. — V. 94. — P. 104056.

107. Bambi C., Modesto L. Rotating regular black holes / Bambi C., Modesto L. // Physics Letters B. — 2013. — V. 721. — P. 329-334.

108. Toshmatov B., Ahmedov B., Abdujabbarov A., Stuchlik Z. Rotating regular black hole solution / Toshmatov B., Ahmedov B., Abdujabbarov A., Stuchlik Z. // Physical Review D. — 2014. — V. 89. — P. 104017.

109. Bronnikov K.A. Regular Black Hole in General Relativity Coupled to Nonlinear Electrodynamics / Bronnikov K.A. // Physical Review Letters. — 2000. — V. 85. — P. 4641.

110. Oliveira H.P. Nonlinear charged black holes / Oliveira H.P. // Classical and Quantum Gravity. — 1994. — V. 11. — P. 1469-1482.

111. Soleng H. Charged black points in general relativity coupled to the logarithmic U (1) gauge theory / Soleng H. // Physical Review D. — 1995. — V. 52. — P. 6178.

112. Palatnik D. Born-Infeld gravitation: Spherically symmetric static solutions / Palatnik D. // Physics Letters B. — 1998. — V. 432. — P. 287-292.

113. Hawking, S.W., Ellis, G.F., The Large Scale Structure of Space-Time The large scale structure of space-time / Hawking, S.W., Ellis, G.F., The Large Scale Structure of Space-Time — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1973 — 391 c.

114. Jhingan J., Magli G. Gravitational Collapse of Fluid Bodies and Cosmic Censorship: Analytic Insights / Jhingan J., Magli G. // Recent Developments in General Relativity, 1999. — P. 307-322.

115. Magli G. Physically Valid Black Hole Interior Models / Magli G. // Reports on Mathematical Physics. — 1999. — V. 44. — P. 407-412.

116. Tseytlin A. A. On singularities of spherically symmetric backgrounds in string theory / Tseytlin A. A. // Physics Letters B. — 1995. — V. 363. — P. 223-229.

117. Manko V. S., Ruiz E. On electromagnetic energy in Bardeen and ABG spacetimes / Manko V. S., Ruiz E. // Physics Letters B. — 2016. — V. 760. — P. 759-762.

118. Toshmatov B., Abdujabbarov A., Stuchlik Z., Ahmedov B. Quasinormal modes of test fields around regular black holes / Toshmatov B., Abdujabbarov A., Stuchlik Z., Ahmedov B. // Physical Review D. — 2015. — V. 91. — P. 083008.

119. Abdujabbarov A., Amir M., Ahmedov B., Ghosh S. G. Shadow of rotating regular black holes / Abdujabbarov A., Amir M., Ahmedov B., Ghosh S. G. // Physical Review D. — 2016. — V. 93. — P. 104004.

120. Novello M., De Lorenci V. A., Salim J. M., Klippert R. Geometrical aspects of light propagation in nonlinear electrodynamics / Novello M., De Lorenci V. A., Salim J. M., Klippert R. // Physical Review D. — 2000. — V. 61. — P. 045001.

121. Jana S., Kar S. Born-Infeld gravity coupled to Born-Infeld electrodynamics / Jana S., Kar S. // Physical Review D. — 2015. — V. 92. — P. 084004.

122. Abbott B. P. et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration) Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger / Abbott B. P. et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration) // Physical Review Letters. — 2016. — V. 116. — P. 061102.

123. Akiyama K. et. al. (Event Horizon Telescope Collaboration) First M87 Event Horizon Telescope Results. I. The Shadow of the Supermassive Black Hole / Akiyama K. et. al. (Event Horizon Telescope Collaboration) // Astrophysical Journal Letters. — 2019. — V. 875. — P. L1.

124. Ding C., Liu C., Casana R., Cavalcante A. Exact Kerr like solution and its shadow in a gravity model with spontaneous Lorentz symmetry breaking / Ding C., Liu C., Casana R., Cavalcante A. // European Physical Journal. C. — 2020. — V. 80. — P. 178.

125. Прокопов В. А., Алексеев P. О., Зенин О. И. Тени черных дыр как источник ограничений на расширенные теории гравитации / Прокопов В. А., Алексеев P. О., Зенин О. И. // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2022. — № 1. — С. 108-117.

126. Zhan H., Tyson A. J. Cosmology with the Large Synoptic Survey Telescope: an overview / Zhan H., Tyson A. J. // Rep. Prog. Phys. — 2018. — V. 81. — P. 066901.

127. Oguri M., Suto Y., Turner E.L. Gravitational Lensing Magnification and Time Delay Statistics for Distant Supernovae / Oguri M., Suto Y., Turner E.L. // Astrophysical Journal. — 2003. — V. 583. — P. 584.

128. Romanowsky A.J., Fall S.M. Angular momentum and galaxy formation revisited / Romanowsky A.J., Fall S.M. // Astrophysical Journal. Suppl. Ser. — 2012. — V. 203. — P. 17.

129. Giahi-Saravani A., Schäfer B. M. Weak gravitational lensing of intrinsically aligned galaxies / Giahi-Saravani A., Schäfer B. M. // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2014. — V. 437. — P. 1847-1857.

130. Chetouani L., Clément G. Geometrical optics in the Ellis geometry / Chetouani L., Clément G. // General Relativity and Gravitation. — 1984. — V. 16. — P. 111-119.

131. Harko T., Lobo F. S. N. Gravitational, lensing, and stability properties of Bose-Einstein condensate dark matter halos / Harko T., Lobo F. S. N. // Physical Review D. — 2015. — V. 92. — P. 043011.

132. Korolev R. V., Sushkov S. V. Exact wormhole solutions with nonminimal kinetic coupling / Korolev R. V., Sushkov S. V. // Physical review D. — 2014. — V. 90. — P. 124025.

133. Aminova A. V., Chumarov P. I. Static cylindrically symmetric dyonic wormholes in the 6-dimensional Kaluza-Klein theory: Exact solutions / Physical Review D. — 2013. — V. 88. — P. 044005.

134. Sushkov S. V., Korolev R. V. Scalar wormholes with nonminimal derivative coupling / Sushkov S. V., Korolev R. V. // Classical and Quantum Gravity. — 2012. — V. 29. — P. 085008.

135. Jusufi K., Övgun A., Banerjee A. Light deflection by charged wormholes in Einstein-Maxwell-dilaton theory / Jusufi K., Övgun A., Banerjee A. // Physical Review D. — 2017. — V. 96. — P. 084036.

136. Visser M. Lorentzian Wormholes-From Einstein to Hawking / Visser M. — New York: AIP, 1995 — 412 c.

137. Jusufi K., Rahaman F., Banerjee A. Semiclassical gravitational effects on the gravitational lensing in the spacetime of topological defects / Jusufi K., Rahaman F., Banerjee A. // Annals of Physics. — 2018. — V. 389. — P. 219233.

138. Ellis H. G., Ether flow through a drainhole: A particle model in general relativity / Ellis H. G., // Journal of Mathematical Physics. — 1973. — V. 14. — P. 104.

139. Bronnikov K. A. Scalar-tensor theory and scalar charge / Bronnikov K. A. // Acta Phys. Pol. — 1973. — V. 4. — P. 251.

140. Iyer S. V., Petters A. O. Light's bending angle due to black holes: from the photon sphere to infinity / Iyer S. V., Petters A. O. // General Relativity and Gravitation. — 2007. — V. 39. — P. 1563-1582.

141. Goulart P. Phantom wormholes in Einstein-Maxwell-dilaton theory / Goulart P. // Classical and Quantum Gravity. — 2018. — V. 35. — P. 025012.