Кротовые норы в скалярно-тензорной теории гравитации Хорндески тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Королев Роман Валерьевич

• Королев Роман Валерьевич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Королев Роман Валерьевич

§ 1.3.2 к

§ 1.3.3 Скалярно-тензорные теории типа Бранса-Дикке

§ 1.3.4 Неминимальная кинетическая связь

§ 1.3.5 Кинетическое гравитационное сплетение (КГС)

§ 1.3.6 Ковариантные галилеоны

§ 1.3.7 Теория гравитации со связью Гаусса-Бонне

§ 1.4 Выводы

49

2 Кротовые норы в теории с кинетическим гравитационным

сплетением

§ 2.1 Уравнения поля для статической сферически симметричной конфигурации в теории с кинетическим гравитационным сплетением

§ 2.2 Ограничения в горловине кротовой норы

§ 2.3 Решения вида кротовой норы

§ 2.3.1 Частный случай I: К(ф,Х) = X и С(ф,Х) = /(ф)

§ 2.3.2 Частный случай II: К(ф,Х) = К(X) и С(ф,Х) = С(Х)

§ 2.3.3 Частный случай На: К(X) = X и С(Х) = XX

§ 2.3.4 Частный случай 116: К(X) = X + ^2Х2 и С(Х) = XX

§ 2.4 Выводы

3 Кротовые норы в теории гравитации с неминимальной кинетической связью

§ 3.1 Модель с неминимальной кинетической связью. Действие и полевые уравнения

§ 3.2 Уравнения поля для статической сферически симметричной конфигурации

§ 3.3 Решения вида кротовой норы

§ 3.3.1 Анализ начальных условий

§ 3.3.2 Асимптотический анализ

§ 3.3.3 Точные решения вида кротовой норы при ^ =

§ 3.3.4 Численный анализ

§ 3.4 Выводы и обсуждение

4 Класс точных решений, описывающих кротовые норы в теории гравитации с неминимальной кинетической связью

§ 4.1 Действие и уравнения поля

§ 4.2 Статические сферически симметричные решения

§ 4.3 Решение вида кротовой норы: р(г) = л/г2 + а2

§ 4.4 Выводы

Заключение

Литература

98

Введение

Под кротовыми норами в литературе понимают «мосты» между вселенными или топологические «ручки», связывающие удаленные области одной вселенной. Кротовые норы относятся к конфигурациям с сильным искривлением пространства-времени. Изучение возможности существования объектов, схожих по свойствам с кротовыми норами, началось сразу после появления общей теории относительности в начале XX-го века.

В 1916 году, вскоре после опубликования Эйнштейном уравнений общей теории относительности, Карл Шварцшильд получил первое точное нетривиальное решение в теории относительности, описывающее статическое гравитационное поле вне сферически-симметричного массивного объекта в пустоте. В том же году вышла работа Фламма [1], в которой отмечено, что решение Шварцшильда представляет собой подобие моста между двумя вселенными или двумя областями одной вселенной, что очень похоже на современное понятие кротовых нор [2]. Герман Вейль в 1921 году обсуждал в своей работе [3] концепцию кротовой норы или моста. В 1935 году Эйнштейн и Розен в совместной работе [4] попытались построить геометрическую модель элементарной частицы, которая была всюду регулярна и не содержала сингу-лярностей. Эта модель была математическим представлением пространства с помощью двух идентичных карт, которые соединял «мост» (нейтральный или электрически заряженный) элементарная частица. Стоит отметить, что нейтральный мост Эйнштейна-Розена есть следствие выбора системы координат, описывающей пространство-время Шварцшильда лишь вне горизонта событий, и, следовательно, не содержащее сингулярности кривизны.

Уилер в 1955 году возродил интерес к теме кротовых нор. В своей работе [5] он предложил рассмотреть метрику, которая была асимптотически плоской, но содержала две разнесенные области, дополнительно соединенные пространственно-временной ручкой (см. Рис. 1). В работе [6] Уилер совместно

Рис, 1: Схематичный рисунок кротовой поры Уилера, Силовые линии между устьями напоминают картину ноля двух противоположных зарядов. Это первая диаграмма кротовой норы в научной литературе.

с Мизыером исследовал динамику таких объектов, здесь же впервые в литературе вводится термин «\¥Огткю1е» (дословно «червоточина», в русской литературе вместо него употребляется термин «кротовоя нора»). В этой же работе Уилер приводит понятия «масса без массы», «заряд без заряда», которые отражают цель работы: использовать уравнения Максвелла без источников совместно с уравнениями Эйнштейна и нетривиальную топологию пространства для построения моделей частиц, в том числе заряженных, в классической физике. Предположение Уилера о возможности проявлений неодносвязности топологии пространства-времени на квантовом уровне привело его к понятию «пространственно-временной пены» и флуктуаций метрики [7,8]. Хотя к изучению объектов типа «заряд без заряда» еще не раз возвращались [9], с точки зрения классической физики установлено, что такие ручки неминуемо схлопнутся с образованием черных дыр.

Открытие Керра в 1963 году решения уравнений Эйнштейна в вакууме [10] привело к появлению нового типа кротовых нор. Максимально расширенное решение Керра, которое может служить для описания стационарного осесимметричного гравитационного поля вне массивного вращающегося объ-

екта [11, 12], также возможно интерпретировать как «мост» между двумя асимптотически плоскими пространствами.

Становление современного понятия кротовой норы произошло благодаря Моррису и Торну, которые в 1988 году опубликовали свою знаменитую работу [13]. Авторы ввели понятие «проходимой кротовой норы», которая в принципе может позволить человеку за сравнительно короткое время путешествовать на значительные расстояния по нашей вселенной или же безопасно переходить в другие вселенные. В первую очередь для принципиальной возможности таких перемещений в пространстве-времени необходимо отсутствие горизонтов событий. Упомянутые ранее такие конфигурации как мост Эйнштейна-Розена, кротовая нора Керра содержат горизонт событий и, следовательно, не являются проходимыми. Кротовая нора Уилера просто слишком мала, ведь ее характерные размеры порядка илаиковской длины 10-35 м.). Моррис и Торн пошли от обратного: отталкиваясь от геометрии проходимой кротовой норы, они нашли свойства материи, которая может поддерживать такие кротовые норы. И эти свойства оказались экзотическими: тензор энергии-импульса материи должен нарушать световое энергетическое условие [13,14]. Позднее этот результат был обобщен на все проходимые кротовые норы, как статические, так и динамические [15,16]. Обычная материя известна тем, что удовлетворяет всем энергетическим условиям (световое, слабое, сильное). Материя, нарушающая световое энергетическое условие, называется экзотической. Отметим, что необходимость экзотической материи, поддерживающей горловину кротовой норы в общей теории относительности, есть следствие чисто геометрических заключений. Действительно, из уравнения Райчаудхури [11,17] следует, что притягивающий характер гравитационных сил отражается в ограничении на тензор Риччи: неравенство к^ки > 0 должно выполняться для любого изотропного вектора к^. Это условие обеспечивает схождение конгруэнции геодезических в искривленном

пространстве-времени вследствие притягивающего действия гравитации. Из уравнений Эйнштейна следует другая форма условия схождения геодезических: > 0. Напротив, структура кротовой норы предполагает расхождение (расфокусировку) геодезических в горловине, что обеспечивает геодезическую полноту пространства-времени. Следовательно, для существования кротовой норы необходима материя, которая нарушает световое энергетическое условие. Отметим, что световое энергетическое условие является самым «слабым» из условий, его нарушение означает нарушение слабого и сильного энергетических условий. Необходимость в экзотической материи, считавшаяся поначалу препятствием на пути изучения кротовых нор, в дальнейшем во многом определила развитие физики кротовых нор.

В отличие от обычной материи, удовлетворяющей энергетическим условиям, в квантовой теории поля существуют эффекты, их нарушающие. Хорошим примером служит эффект Казимира, состоящий во взаимном притяжении незаряженных проводников под воздействием квантовых флуктуаций вакуумных средних вследствие непрерывного рождения и уничтожения пар виртуальных частиц. Тензор энергии-импульса, отвечающий таким флукту-ациям, нарушает все известные энергетические условия [17, 18]. К другим эффектам, обусловленным поляризацией вакуума, можно отнести излучение Хокинга. В отличие от эффекта Казимира, подтвержденного экспериментально, излучение Хокинга это гипотетический процесс излучения черной дырой разнообразных элементарных частиц, преимущественно фотонов. Расчет среднего значения тензора энергии-импульса в окрестности горизонта событий черной дыры показывает нарушение светового энергетического условия [17]. Стоит отметить, что хотя нарушения энергетических условий в квантовой теории поля широко распространены, амплитуда этих нарушений относительно мала. Как правило, появление отрицательной энергии в одной области пространства-времени компенсируется возникновением поло-

житедыюй энергии где-либо в другом месте в другое время. Кроме точечных энергетических условий вводят усредненные условия, которые вычисляются как интегралы от выражений для точечных условий вдоль геодезических линий [17 19]. Усредненные условия являются более «слабыми», нежели их точечные аналоги, так как допускают локализованные нарушения точечных условий. Тем не менее было показано, например, что в случае сферически симметричной проходимой кротовой норы усредненное вдоль радиальной изотропной геодезической световое энергетическое условие также должно нарушаться [13]. Обобщение этого факта за пределы сферической симметрии приводит к теореме «топологической цензуры» Фридмана-Шляйха-Витта [20].

После того как в 1988 году Моррис и Торн заявили о необходимости экзотической материи для существования кротовых нор, уже в 1989 Моррис, Торн и Юрцевер предположили, что квантовые поля могут сыграть роль экзотической материи, поддерживающей кротовые норы [14].

В отсутствие полноценной теории квантовой гравитации, полуклассический подход, в котором квантуются материальные поля, а гравитация остается классической, становится наиболее естественным способом рассмотрения квантованных полей в теории гравитации. В литературе обсуждались различные решения вида кротовых нор в полуклассической теории гравитации. Например, полуклассические кротовонорные решения были найдены с помощью приближения Фролова-Зельникова для среднего значения тензора энергии-импульса [21]. Аналитические приближения для тензора энергии-импульса квантового скалярного поля изучались в пространстве-времени статической сферически симметричной кротовой норы [22, 23]. Наконец, впервые самосогласованное кротовонорное решение с квантовым скалярным полем было получено в работе [24]. Однако, вследствие локализации нарушений энергетических условий состояниями в квантовой теории поля на малых масшта-

бах, стало проблемой получить кротовую нору макроскопических масштабов: в таких решениях радиус горловины кротовой норы, как правило, порядка планковской длины.

Другой подход к построению кротовых нор состоит в использовании гипотетических форм материи, нарушающих энергетические условия. Различные модели экзотической материи, поддерживающей кротовые норы, рассматривались в литературе, в том числе фантомная энергия [25 27], обобщенный газ Чаплыгина [28], мультиплет киральных полей [29] и др.

Стоит отметить естественное стремление исследователей уменьшить «количество» экзотической материи при построении моделей кротовых нор. Например, пользуясь методом сшивки двух пространств-времен, Виссер получил модель кротовой норы с кубической горловиной [30], причем экзотическая материя сосредоточена только на ребрах куба, что позволяет путешествовать через горловину (сквозь грани куба) без соприкосновения с аномальной материей. Полученную модель легко обобщить, выбрав вместо куба произвольный многогранник. Модель с кубической горловиной является частью широкого класса моделей кротовых нор с тонкими стенками [31 33]. Формализм тонких стенок это разработанный в теории относительности метод анализа гравитационного поля, созданного тонким (дельта-образным) слоем материи. Также ученые пытались понять, сколько экзотической материи требуется для существования проходимых кротовых нор, предлагая различные математические инструменты в качестве мерила [34,35]. Были получены кротовонорные решения, в которых количество фантомной энергии может быть сколь угодно малым [36]. Выдвигались идеи, что кротовые норы могут образовываться из черных дыр при поглощении последними экзотической материи, в свою очередь при потере такой материи кротовая нора может схлопываться в черную дыру, а радиус горловины кротовой норы может меняться в зависимости от количества окружающей ее экзотической мате-

- И

рии [37].

Моррис и Торн в своей работе [13] также указали на интересное свойство предложенных ими проходимых кротовых нор. Две проходимые кротовые норы, соединяющие удаленные области одной и той же вселенной и движущиеся одна относительно другой, можно использовать в качестве машины времени. Машиной времени называют любой объект или систему, которые можно использовать для путешествий в прошлое. В теории относительности существует множество решений, допускающих существование замкнутых временипо-добных мировых линий. Уже в следующей работе [14] авторы показали, что машину времени можно построить при помощи лишь одной проходимой кротовой норы, фиксируя положение одного устья и двигая другое, так что время будет течь по-разному в разных устьях. Однако возможное существование машины времени приводит к возникновению парадоксов, таких как парадокс убитого дедушки, и вызывает много вопросов, поэтому физики выдвинули несколько гипотез, запрещающих такие объекты. К ним относят принцип самосогласованности Новикова, постулирующий, что локальные законы физики, возникающие в реальной вселенной, являются глобально самосогласованными [38]. В 1992 году Хокинг предложил доказательство необходимости отрицательной энергии для построения ограниченной в пространстве-времени машины времени [39]. В этой же работе Хокинг выдвинул не доказанную до сих пор гипотезу о защищенности хронологии, которая утверждает, что законы физики всегда будут предотвращать возникновение машин времени. Хокинг надеялся, что квантовая физика «спасет» Вселенную, разрушая кротовые норы еще до того, как образуется машина времени. Однако в литературе приводятся аргументы и в пользу их существования [40].

Обобщением статических кротовых нор являются решения, зависящие от времени. Так, Роман предложил следующий механизм образования кротовых нор макроскопических размеров [41]. Пусть кротовая нора планковских раз-

меров образовалась в результате квантовой флуктуации в ранней вселенной. Далее вследствие инфляционного расширения вселенной горловина достигает макроскопических масштабов. Роман, используя масштабный фактор де Ситтера е2х\ где тараметр \ связан с космологической постоянной, показал возможность инфляционного расширения кротовой норы. Однако для поддержания геометрии кротовой норы во время инфляции необходима экзотическая материя, нарушающая все энергетические условия. Позднее Ким в работе [42] обобщил эти результаты на случай масштабного фактора вида R(t)7 а также исследовал постинфляционную стадию. В работах [ - ] авторы пытались ответить на вопрос, существует ли в рамках общей теории относительности класс динамических кротовых нор, не нарушающих слабого энергетического условия. Для этого использовалась метрика с конформным множителем, зависящим от времени. Несмотря на более общую временную зависимость метрики кротовой норы, рассмотренную в работе [47], сделан вывод о невозможности даже временно избежать нарушения энергетических условий материей в горловине кротовой норы. Решения в рамках теории относительности, характеризующие эволюцию кротовых нор со скалярными полями, были найдены в [48,49].

Стоит отметить, что классические решения со скалярными полями, поддерживающими кротовую нору, были получены в работах Эллиса [50] и Бронникова [51] 1973 года, Кодамы 1978 года [52] и Клемента 1981 года [53] задолго до появления краеугольной статьи Морриса-Торна 1988 года [13].

Спустя более 100 лет с момента появления теории гравитации Эйнштейна, перед этой теорией стоят новые вызовы, требующие объяснения ускоренного расширения вселенной и других экспериментальных данных, полученных на самых крупных астрофизических и космологических масштабах. В рамках классической теории гравитации новые эффекты могут лишь быть объяснены гипотезой о том, что вселенная в основном состоит из экзотических

источников материи и энергии. Однако если эти источники не будут подтверждены непосредственными измерениями, то возможно мы столкнемся с несостоятельностью одной из самых оригинальных теорий двадцатого века. К решению этой проблемы существуют два альтернативных подхода: один состоит в поиске источников темной материи и темной энергии, другой заключается в пересмотре теории гравитации, которая может отклоняться от предсказаний теории гравитации Эйнштейна на сверхмалых и сверхбольших расстояниях.

Отметим, что в модифицированных теориях гравитации полевые уравнения могут быть переписаны в форме эффективного уравнения Эйнштейна, то есть в виде: С^ = где Т®® - эффективный тензор энергии-импульса,

содержащий тензор энергии-импульса материи Т^ и дополнительные члены, отвечающие за «неминималыюсть» теории гравитации [54]. Тогда условие неотрицательности свертки тензора Риччи: к^ки > 0 в уравнении Райча-удхури приводит нас к формулировке обобщенного светового энергетического условия:

Тме®к^к" >

Следовательно, необходимым условием для существования геометрии кротовой норы в модифицированных теориях гравитации должно быть нарушение обобщенного светового энергетического условия

т;®к^к" > о.

В теории гравитации Эйнштейна это условие сводится к нарушению стандартного нулевого энергетического условия Т^к^к1' > 0. Более того, в модифицированных теориях гравитации мы можем потребовать, чтобы тензор энергии-импульса материи удовлетворял стандартному энергетическому условию, к^ки > 0, в то время как обобщенное энергетическое условие, >0

горловины.

В модифицированных теориях гравитации было показано, что стандартное нулевое энергетическое условие может быть выполнено при наличии нормальной материи в горловине, при этом поддерживать геометрию кротовой норы будут слагаемые более высоких порядков по кривизне [54]. Фактически, кротовые норы широко изучаются в рамках модифицированных теорий гравитации, таких как /(Д)-гравитация [ ], теории с неминимальной связью кривизны и материальных полей [56], скалярно-тензорные теории с неминимальной кинетической связью [57,58], гибридная теория гравитации Пала-тини [59] и ее обобщенная версия [60], многомерные теории гравитации [61] и другие (например, см. обзор [62]). Эти расширенные теории гравитации допускают эквивалентное скалярно-тензорное представление. В самом деле, скалярные поля популярны для построения физических теорий и часто используются в физике высоких энергий за рамками стандартной модели. Когда существует множество моделей, то возникает вопрос, как мы должны изучать и сравнивать их в рамках единообразного подхода. Особенно полезным инструментом становится понимание того, что все эти классы моделей являются частными случаями наиболее общего лагранжиана, приводящего к уравнениям поля второго порядка.

Самой общей скалярно-тензорной теорией, приводящей к полевым уравнениям второго порядка, стала предложенная в 1974 году теория гравитации Хорндески [63]. Хорндески построил свою теорию, опираясь исключительно на математические аргументы, однако позже те же результаты были получены на основе более интуитивного подхода при исследовании так называемых галилеонов [64 66].

Существуют различные формы связи между производными скалярного поля и кривизной. Например, в случае четырех производных можно получить следующие комбинации щЯф^ф^, щЯ^ищЯф^ф., щЯ^фф'щЯ^фф^ и Яф2у гДе коэффициенты щ,...,щ - параметры связи с размерностью

квадрата длины. Тем не менее, как обсуждалось в работах [67 70], при использовании полных дивергенций и без потери общности можно сохранить только первые два члена.

Как было показано Амендолой [68], теория гравитации с кинетической связью не может быть приведена к Эйнштейновской форме конформным преобразованием у = е2шдмОн также предположил, что эффективная космологическая константа и фаза инфляции могут быть получены без рассмотрения какого-либо эффективного потенциала в случае неминимальной кинетической связи. Амендола [68] исследовал космологическую модель с единственным членом неминимальной связи щЯ^ф^ф^ и привел некоторые аналитические инфляционные решения. Общая модель, содержащая^хИф^ф^ и щR|лvф,иф,1/, обсуждалась Капозиелло и др. в работах [ , ]. В этой модели они нашли решение в виде пространства-времени де-Ситтера.

Отметим, что в общем случае полевые уравнения в модели с щЯф^ф^ и щЯ^фсодержат третьи производные от метрических функций и скалярного поля. Однако, как было показано в работе [67], порядок полевых уравнений уменьшается до второго в случае, если кинетический член связан только с тензором Эйнштейна, т.е. цС^уф^ф^. В работах [ , ] были детально изучены космологические сценарии с неминимальной кинетической связью цС^уф,и,ф,г/7 причем рассматривались два типа скалярного поля - квинтэссенция и фантомное поле, с нулевым и постоянным потенциалами. Стоит отметить, что наличие неминимальной кинетической связи приводит к новым интересным особенностям в космологическом поведении. Так, в работах [67, 71 73] было показано, что эволюция вселенной имеет две квази-де-ситтеровские фазы и переходит из одной в другую без какого-либо потенциала, в зависимости только от параметра связи. Таким образом, неминимальная кинетическая связь обеспечивает существенно новый механизм инфляции. Дальнейшее изучение космологических моделей с неминимальной

кинетической связью проводится в работах [74 87]. Менее исследована проблема о существовании черных дыр и других компактных объектов в теории гравитации с неминимальной кинетической связью.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кротовые норы в скалярно-тензорной теории гравитации Хорндески»

Актуальность работы

Изучение кротовых нор стало особенно актуальным в последнее время. Первая причина это открытие того факта, что вселенная расширяется с ускорением. Впервые об этом независимо заявили две группы ученых в 1998 году [88,89]. Расстояния до далеких галактик, вычисленное по методу «стандартных свеч», то есть сверхновых звезд типа 1а, светимость которых хорошо установлена, оказались выше, чем вычисленные ранее значения по закону Хаббла [90 95]. Кроме того, ускоренное расширение вселенной подтверждается из экспериментов по изучению космического микроволнового фонового (реликтового) излучения [96], данными по крупномасштабной структуре вселенной (кластеризации галактик) [97], поиску барионных акустических ос-цилляций [98], слабому гравитационному линзированию [99]. Подходы к описанию ускоренного расширения вселенной на поздней стадии можно разделить на два класса. Первый подход состоит во введении новой субстанции

так называемой темной энергии в правой части уравнений Эйнштейна в рамках общей теории относительности [100]. Необходимость в материи с отрицательным давлением для построения кротовых нор перекликается с возможностью использовать такую материю для объяснения ускоренного расширения вселенной в рамках теории относительности. Это обстоятельство вызвало новый интерес к тематике кротовых нор. Другой подход к объяснению ускоренного расширения вселенной на поздней стадии эволюции заключается в изменении левой части уравнений Эйнштейна, то есть привлечении модифицированных теорий гравитации, например, /(Д)-гравитации. Преимущество модифицированных теорий заключается в том, что они позволяют избежать

использования экзотической материи при описании ускоренного расширения вселенной. Если говорить более точно, то модифицированная теория добавляет дополнительные слагаемые в полевые уравнения, которые могут быть по аналогии с уравнениями теории относительности интерпретированы как темная энергия.

Цели и задачи диссертационной работы

Целью диссертационной работы является построение и анализ решений, описывающих статические сферически симметричные кротовые норы в ска-лярно-тензорной теории гравитации Хорндески.

В диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Построение полной системы уравнений гравитационного и скалярного полей в теории Хорндески в случае статического сферически симметричного пространства-времени. Вывод условия существования горловины для полного лагранжиана Хорндески.

2. Анализ ограничений полевых уравнений в горловине для множества подклассов теории Хорндески.

3. Получение и анализ точных решений вида кротовой норы в теории с кинетическим гравитационным сплетением.

4. Получение и анализ численных решений, описывающих статические сферически симметричные асимптотически плоские кротовые норы в теории гравитации с неминимальной кинетической связью.

5. Получение класса аналитических решений в теории гравитации с неминимальной кинетической связью, описывающих кротовые норы.

Научная новизна

В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1. Выведено условие существования горловины статической сферически симметричной кротовой норы в случае общего лагранжиана Хорндески.

2. В теории с кинетическим гравитационным сплетением получены новые численные решения вида кротовой норы, соединяющей два пространства-времени анти-де Ситтера.

3. В теории гравитации с неминимальной кинетической связью получены и исследованы новые численные решения, описывающие статическую сферически симметричную проходимую кротовую нору

4. Показано, что асимптотические массы кротовой норы могут быть положительными и/или отрицательными в зависимости от параметра неминимальной связи

5. В теории гравитации с неминимальной кинетической связью и космологической постоянной построено новое аналитическое решение вида кротовой норы, соединяющей два пространства анти-де Ситтера.

6. Показано, что кротовые норы в теории гравитации с неминимальной кинетической связью и космологической постоянной могут существовать как в случае фантомного скалярного поля (е = —1) при Л > — 1/^, так

V

и в случае канонического скалярного поля (е = +1) при Л < —1//2.

Достоверность результатов диссертации

Достоверность результатов, полученных в диссертации, основана на использовании проверенных методов получения уравнений, неоднократно использованных и опубликованных в работах известных в области теорий гравитации авторов. Рассматриваемые в работе теории гравитации являются модификацией общепринятой теории гравитации Эйнщтейна и разделяют с ней основные принципы и методологию исследования. Исследуемые в работе

уравнения совпадают в предельных случаях с результатами, опубликованными ранее в работах других авторов. Численные решения получены с помощью программного пакета для символьных и численных вычислений Maple.

Научные положения, выносимые на защиту

1. Условия существования горловины кротовой норы в скалярно-тензорной теории гравитации Хорндески выполняются при специальном выборе параметров и модельных функций теории.

2. В теории с кинетическим гравитационным сплетением существуют решения, описывающее статические сферически симметричные кротовые норы, как асимптотически плоские, так и с асимптотикой вида пространства анти-де Ситтера.

3. В теории гравитации с неминимальной кинетической связью существуют решения, описывающие асимптотически плоские статические сферически симметричные кротовые норы.

4. В теории гравитации с неминимальной кинетической связью существуют точные решения, описывающие кротовые норы, связывающие два пространства с асимптотикой анти-де Ситтера. Асимптотическое значение кривизны зависит только от характерного масштаба неминимальной связи и не зависит от значения космологической постоянной. Решения, описывающие кротовые норы, существуют как в случае фантомного скалярного поля, так и в случае канонического скалярного поля.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы были представлены на VI Международной зимней школе-семинаре по гравитации, космологии и астрофизике «Петровские чтения-2023» (Казань, 2023), Международной конференции

«Quantum Field Theory and Gravity (QFTG'23)» (Томск, 2023), 3-ей Международной зимней школе-семинаре по гравитации, космологии и астрофизике «Петровские чтения-2017» (Казань, 2017), Международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике «RUSGRAV-16» (Калининград, 2017), 2-ой Международной зимней школе-семинаре по гравитации, космологии и астрофизике «Петровские чтения-2016» (Казань, 2016), на Международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике «RUSGRAV-15» (Казань, 2014), Международной зимней школе-семинаре по гравитации и астрофизике «Петровские чтения-2014» (Казань, 2014), Международном научном семинаре «Нелинейные поля и релятивистские статистические системы в теории гравитации и космологии» (Казань, 2013), итоговых научных конференциях КФУ (2014, 2015, 2016), семинарах кафедры теории относительности и гравитации Института физики Казанского федерального университета.

Публикации

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах: Научные статьи, опубликованные в зарубежных изданиях, входящих в международные реферативные базы данных и системы цитирования Scopus/ Web of Science:

1. Sushkov S. V. Scalar wormholes with nonminimal derivative coupling / S. V. Sushkov, R. Korolev // Classical Quantum Gravity. - 2012. - Vol. 29, № 8. -P. 085008.

2. Korolev R. V. Exact wormhole solutions with nonminimal kinetic coupling / R. V. Korolev, S. V. Sushkov // Phys. Rev. D. - 2014. - Vol. 90, № 12. -P. 124025.

3. Korolev R. General constraints on Horndeski wormhole throats / R. Korolev, F. S. N. Lobo, S. V. Sushkov // Phys. Rev. D. - 2020. - Vol. 101, № 12. -

P. 124057.

4. Korolev R. Kinetic gravity braiding wormhole geometries / R. Korolev, F. S. N. Lobo, S. V. Sushkov // Phys. Rev. D. - 2020. - Vol. 102, № 10. - P. 104016.

Научные статьи, опубликованные в журналах, включенных в перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук (ВАК):

5. Королев Р. В. Кротовые норы в теории гравитации с неминимальной кинетической связью и космологической постоянной / Р. В. Королев, С.

B. Сушков // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. -2017. - Т. 21, № 4. - С. 59-67.

Публикации в прочих научных изданиях:

6. Королев Р. В. Точные регулярные сферически симметричные решения в теории гравитации с неминимальной кинетической связью / Р. В. Королев,

C. В. Сушков // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. - 2014. - Т. 6, № 1. - С. 20-27.

7. Королев Р. В. Кротовые норы в теории гравитации с неминимальной кинетической связью и космологической постоянной / Р. В. Королев, С. В. Сушков // 3-я Международная зимняя школа-семинар по гравитации, космологии и астрофизике «Петровские чтения-2017». Программа и тезисы докладов международной научной школы-семинара. - Казань: Изд-во Академии наук РТ, 2017. - С. 48-49.

8. Королев Р. В. Проблема устойчивости кротовых нор в теории гравитации с неминимальной кинетической связью / Р. В. Королев, С. В. Сушков // XVI Всероссийская гравитационная конференция «Международная

конференция по гравитации, космологии и астрофизике» (1Ш8СНАУ-16). - Калининград: материалы конференции, 2017. - С. 69-70.

9. Королев Р. В. Точные сферически-симметричные решения в теории гравитации с неминимальной кинетической связью и космологической постоянной / Р. В. Королев, С. В. Сушков // 2-ая Международная зимняя школа-семинар по гравитации, космологии и астрофизике «Петровские чте-ния-2016». Программа и тезисы докладов международной научной школы-семинара. - Казань : Изд-во «Хэтер», 2016. - С. 28.

10. Королев Р. В. Точные регулярные решения в теории гравитации с неминимальной кинетической связью / Р. В. Королев, С. В. Сушков // Международная зимняя школа-семинар по гравитации и астрофизике «Петровские чтения-2014»: Аннотации лекций, тезисы докладов. - Казань, 2014. -С. 39.

11. Королев Р. В. Точные регулярные решения в теории гравитации с неминимальной кинетической связью / Р. В. Королев, С. В. Сушков // Материалы XV-II Российской гравитационной конференции - «Международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике» и Международной школы по гравитации и космологии «С11АС08-2014». - Казань: Казанский университет, 2014. - С. 182-183.

12. Королев Р. В. Точные статические сферически-симметричные решения в теории гравитации с неминимальной кинетической связью / Р. В. Королев, С. В. Сушков // Труды Российской летней школы «Математическое моделирование фундаментальных объектов и явлений в системах компьютерной математики» и Российского семинара «Нелинейные поля и релятивистская статистика в теории гравитации и космологии». - Казань : Казанский университет, 2013. - С. 61-62.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 114 страниц. Список литературы содержит 154 наименования.

В первой главе настоящей диссертации приводится вывод условий существования горловины в случае общего лагранжиана Хорндески для статического сферически симметричного пространства-времени. Полученные условия анализируются в частных случаях подклассов теории Хорндески, таких как теории с квинтэссенцией/фантомным полем, ^-эссенцией, теория Бранса-Дикке, /(Д)-гравитация, гибридная гравитация Палатини, теория с кинетическим гравитационным сплетением, ковариантные галилеоны и теория гра-в итации Гау сс а- Б он и е.

Вторая глава посвящена теории с кинетическим гравитационным сплетением. Для различных параметров теории получены аналитические и численные решения вида кротовой норы, проанализированы их свойства вблизи и на удалении от горловины.

Третья глава посвящена поиску решений в теории гравитации с неминимальной кинетической связью в классе сферически симметричных кротовых нор. Построены численные решения, описывающие проходимые кротовые норы, поддерживаемые фантомным безмассовым скалярным полем. Изучены асимптотические свойства полученных решений, исходя из которых построена классификация типов кротовых нор в зависимости от величины параметра неминимальной связи

В заключительной четвертой главе рассматривается теория гравитации с неминимальной кинетической связью и космологической постоянной. Для этой теории получены частные точные сферически симметричные решения для произвольного вида радиальной функции р(г). Среди решений найдены конфигурации кротовых нор, проанализировано асимптотическое поведение

решений.

В диссертации используется система единиц, в которой С = с =1, сигнатура метрики (--1—Ъ+) и следующие определения тензоров кривизны

па _ ра _ „ п _ па

5 = Г ¡35,7 и =

.....I......I с^Т^с"^1 !■

Условия существования статических сферически симметричных кротовых нор в теории гравитации Хорндески

В этой главе рассматриваются условия существования статических сферически симметричных кротовых нор в теории гравитации Хорндески. Строится полная система уравнений для гравитационного поля. Исследуются общие ограничения, накладываемые условиями существования горловины, и рассматривается множество подклассов лагранжиана Хорндески, соответствующих различным моделям кротовых нор. Среди них известные решения с квинтэссенцией и фантомными полями, ^-эссенцией, скалярно-тензорные теории типа Бранса-Дикке, модели с так называемыми ковариантными гали-леонами, теория с неминимальной кинетической связью, модель с так называемым кинетическим гравитационным сплетением, скалярно-тензорное представление гравитации Гаусса-Бонне и др. Общие ограничения, полученные в этой главе, могут служить тестом согласованности для полученных в литературе решений, а также открывают путь к исследованию специальных подклассов теории Хорндески в приложении к физике кротовых нор.

§1.1 Теория гравитации Хорндески

S = & + SM[д^, Хм], (1-1.1)

" _о

Действие теории Хорндески может быть записано в виде:

5

ъу -У

%=2

где д - детерминант метрического тензора Бм - действие, отвечающее за материю, в котором ^м обозначает все материальные поля. Лагранжианы^^ определены ниже:

С2=в2(ф,Х) , £з=-С3 (ф,Х )Пф,

СА=СА(ф,Х)Я + (Ф,Х) [(ОД2 - ф)2}

¿5=С5(Ф, х^ф - 1С5Д X

(ОД3 - 3П0(УМV,ф)2 + 2 ф)3} , (1.1.2)

х

где R - это скалярная кривизна и - тензор Эйнштейна; Gi (i = 2, 3,4, 5) - произвольные функции скалярного поля ф и канонического кинетического члена, X = — 2^^фЧ^ф. Мы введем определения Gi,x = dGi/dX, (VMVф)2 = VyVvФ Vvи (VVф) = VyVvФ VvЧрф VрфЧ^ф. Далее, мы будем считать, что материальные поля \м минимально связаны с кривизной.

Отметим, что соответствующий выбор функций Gi позволяет воспроизвести любую скалярно-тензорную теорию второго порядка. Например, член G2 используется в теории гравитации с fc-эссенцией [ ], а функция исследовалась в модели с кинетическим гравитационным сплетением [102]. Широко исследуются теории, в лагранжиане которых скалярное поле неминимально связано с кривизной R в форме С4(ф)Я [ ]. Известным примером здесь служит теория Бранса-Дикке [ ] с потенциалом скалярного поля V(ф). Частный случай выбора функции G4 = const соответствует лагранжиану Эйнштейна-Гильберта. Частные случаи G4 = X или G5 = —ф приводят к неминимальным связям вида Vм Vф [ , ]. Множество специальных

случаев рассмотрено в обзоре [106]. Все вышеперечисленные теории принадлежат к подклассу более общих скалярно-тензорной теорий второго порядка, так называемых теорий Хорндески [63].

Скалярно-тензорные теории широко применяются в физике кротовых нор, где получено множество решений [107 110]. Проблема стабильности полученных решений активно исследовалась в литературе [111,112]. Эти и другие решения относятся к подклассу теории Хондески (1.1.1), поэтому важно сформулировать наиболее общие условия существования геометрии кротовой норы в теории Хорндески. Так, в этой главе проводится анализ полевых уравнений в горловине и рассматривается множество подклассов лагранжиана Хорндески.

§ 1.2 Общие условия существования горловины стати-

и 1 и и

ческой сферически симметричнои кротовой норы в теории гравитации Хорндески

В этом параграфе рассмотрим особенности геометрии кротовых нор и выведем условия существования горловины в теории гравитации Хорндески.

§ 1.2.1 Геометрия статической сферически симметричной кротовой норы

Для описания статического сферически симметричного пространства-времени в теории (1.1.1) выберем метрику в виде:

ds2 = -A(u)dt2 + А-1 (u)du2 + r2(u)dü2, (1.2.3)

где dQ2 = d62 + sin2 6dtp2 - это линейный элемент на единичной сфере, а метрические функции А(и)7 г (и) и скалярное поле ф зависят только от радиальной координаты и.

Для описания проходимой кротовой норы, метрика (1.2.3) должна обладать следующими свойствами:

• Область значений радиальной координаты и равна (-то,

• Функция А(и) должна быть всюду положительной и регулярной, то есть не должно быть горизонтов событий или сингулярностей пространства-времени,

• Существуют две асимптотически плоские области : и ^ соединенные кротовой норой,

• Радиальная функция г (и) имеет глобальным положительный минимум в горловине кротовой норы при и = и0; без потери общности можно положить и0 = 0.

Необходимое и достаточное условие минимума функции г (и) приводит к условиям, существования горловины для метрики (1.2.3):

г'0 = 0, гЦ > 0 • (1.2.4)

Если метрика (1.2.3) удовлетворяет приведенным выше условиям, то она задает проходимую кротовую нору, соединяющую два асимптотически плоских пространства-времени. В случае сферической симметрии горловиной кротовой норы является сфера минимальной площади

Зная, что метрическая функция А(и) положительна и регулярна Уи7 проанализируем ее первую и вторую производные в горловине и = 0. Так, значение А0 является свободным параметром, так же как и величина А'0, которую мы для упрощения положим равной нулю А'0 = 0. Тогда знак А'0 определяет тип экстремума функции А(и)7 которая имеет минимум при А'0 > 0 и максимум при А'0 < 0. Отметим, что максимум (минимум) функции А(и) соответствует максимуму (минимуму) гравитационного потенциала, так что в

окрестности максимума (минимума) гравитационные силы являются отталкивающими (притягивающими). Таким образом, горловина кротовой норы имеет отталкивающую или притягивающую природу в зависимости от знака параметра А'0.

§ 1.2.2 Уравнения поля в теории гравитации Хорндески

Вариация действия ( ) относительно метрики д^ дает уравнения гравитационного поля, которые в случае статического сферически симметричного пространства-времени, заданного метрикой (1.2.3) принимают следующий вид.

¿¿-компонента уравнений гравитационного поля:

(ГУ»'2 ГУ»'2 \ / /у?"2 — У*' \

—2А>Ф> + -^Аф") + Аф13С5,хф у-^Аф' --Аф" - —А'ф'^

+2С5,фф-^Аф'3 + фвВгХ (-Г^ - ^ - ААГ - ¡А'2ф'ф" - ¡АА'ф"2 + ^АА'ф'2

3 г'2 л2,1,11 2г'г'' л2Л „ (4г' , м 2г" л±/2 3г' , г'2л±/2 ф'2\ +~^Афф + ) + ~Аф'ф" + —.ф'2 + —Лф'2 + -А.ф>2 + ф" j

+ф3ОАЛх (^-АА'ф" + А'2ф' + "'АГф' + + "Аф'2ф' + Аф'3 - ^Аф'

-2ф'2 О^фф - -О4,х (2~^Аф'ф" + ^Аф'2 + ^Гф'2 + Г^Аф'2^ - О4,ф ("2ф" + ^ф' + Гф)

(2 4 г'' 2 г '2 2гМ'\ /1 \ 1

Ы - — - - -^а) - ф'2 -2А'ф + Аф") + ф'2 °3,Ф + = 0 , (1.2.5)

гг-компонента:

Гф'3О,,Хх( 12А'2ф'2 + \А2ф"2 + ¡АА'ф'ф" - -^А2ф'2) - Аф'4О5,Хф (^А' + - А'фО,х (А^ф2 + -А'ф'ф'' + -Аф"2 - Аф'2 + ) + ф2Св,ф (^ + ^ - 1)

/ -г' -г '2 \ /4 г' \

+ф3ОА,Хх (А'2ф' + -АА'ф" + — АА'ф' + ^А2ф\ + ф^хЛ —А + А') п,/2_ ( 1 2г'А' 2г'2 Л ^ (4г' А' \ ^ / 2 2г'А' 2Г'2 \

(й - ~ - - ф 4,ф - + а) + - "ТАГ - -г*-)

гр2 у* 7*2 ) \ 7* гг / V 7*2^Г 7'

1 2 1

-ф'3О3,х( "Г + "Г^ - ф2 О3,ф + ф'2 С2,х + дС2 = 0, (1.2.6)

^-компонента:

- 1-АА'ф'4С5,хх(к Г^Аф" + - Ф'3с5,хф(-А2ф + 1-АА'ф" + Г-^А2ф"^

° I2j.lj.ll

+Ф'3С5,фф(\а + + ф'С5,х(^ААф'2 - ¡АА'ф"2 + Т-тА2фФ2 - ^Аф2 -\а2Ф'Ф

+ТгАА"Ф'2 + ^аа'Ф'Ф") + с5,ф (а'Ф'Ф" + ^Аф'ф» + -^Аф'2 + ^'У2 + А2А2 + ^А'ф'2)

За'У + ЗАА'ф" + -АА'Ф + — А2ф") \2 г г /

(2г' \ { 2г' 2г"

2А ф'2ф" - 2-—Аф'М - 2ф'2САффф - СА,Х Ы'ф'ф" + 2- Аф'ф" + Аф'2

,/2 А'2ф2 Зг' . ,,,Л ^ / ,„ 2г' 2А'ф' \

+Аф + + ТА Ф ] - Ч2Ф + ~Ф + А У

(2" + "А + - Ф'2 Сз'х{\а'Ф' + Аф") + ф2 Сз,ф + А;02 = 0. (1.2.7)

Проварьировав действие теории Хоридески ( ) по скалярному полю получим равнение для скалярного поля, которое в метрике (1.2.3) принимает вид:

М Е Я = Е рг, (°-8)

\ г=2 ) г=2

где слагаемые Vм ^ представлены

^■]1=С2ХХАф2{Аф + - С2ХфАф'2 - С2Х (аАф" + Аф + 2^Аф'^ , (1.2.9)

^4=-ОзХХАф'3 (-АА'ф" + 2-А2ф" + ^А'У + -АА'ф') и ^2 г 4 г /

+взхфАф^-2Аф" - 2Аф' + 2^-Аф^ + 2СзффАф'2 + 2взф(л'ф' + Аф" + 2^Аф')

(/V»' ГУ»'' ГУ»'2 ГУ»' 1 1 \

4-А2ф" + 2—А2ф' + 2-7тА2ф' + АА'Ф' + 5-АА'ф' + -АА"ф' + -А'2ф' , (1.2.10) г г г2 г 2 2 /

(ГУ»'2 ГУ»' ГУ»" ГУ»' ГУ»'2 ГУ»' ГУ»" ГУ»'

-2А2ф" + -АА'Ф' + —АА'Ф + — АА'ф' + 3 Ц-АА'ф' + 2 -2-А2ф' + -А'2ф' 2 2 2

2 2 2 А'Ф' АФ" \ ^ /V' Л 2 ±12 , г'2 Л2,21ЛГ'Л л,,2 , У ,2^// , АФ'2

- 2—А2ф'2 +—2А2ф 2 + 4-АА'ф'2 + 4-А2ф'ф" +

2 2 2 2 +2аА"Ф2 + АА'ф'ф" + 2ф2) - Аф'зС4Хфф + 4£А)

^Азф'2ф" + .....г ,

2 2

(ГУ»' ГУ»' 2 К ГУ»' ГУ»' ГУ»' '

4-А2А'ф'2ф" + 4-^Азф'2ф" + —АА2фз + — А2 А'Фз + — А2 А'Ф'з 2

9 г '2 л2 Л! ,!з г' г'' .з,,з А2ф2ф' АА'фз

А Афз + 2-ГАзф'з -

2 'у2 гр2 2 'у2

)

+2САХХф(- - Г-^Азф'4 + 2 2Азф'зф" + -АА2ф4 + \А2Аф'зф

(ГУ»' ГУ»'2 ГУ»' ГУ»'2 \

2Г-АзА'ф'4ф" + 2Г-^А4ф'4ф" + Г-А2А'2ф'5 + Г~2АзАф'М , (1.2.11)

(Г фф Л фГУ»' ГУ>" ГУ»' /У»' ГУ»'' ГУ»'2

.ф + Гфт - 2ЦгА2ф' - -АГ'ф --АА'ф" --АА'ф - 3^АА'ф' 2 2 2 2

-г1г'2ф' - Г-А2ф") + 2Аф'2О5фф(~2 - -Г - Г4а)

гу» гу» I г г I /р2 гу» гу»2 I

(гу»'2 гу»'2 гу»' гу»' гу*'2 Л — ф1ф1>

^А'ф'ф" - А—А'2ф2 - Г-^А2Гф'2 - "^А-'ф2 +ААфф

+

2 2 2 2 2 3 2

2

ГУ» ГУ»' ГУ»

2 л! ±12 ±11 I г' а3±12±11 , о' ' л3±'3

А 2 ф 2 А А ф 2 2 А ф ' ААф ) + С5Хф(ЬГ-А2А'ф'2ф" + 5Т-^А3ф2ф' + 2Г-^А3ф'-

ГУ»' ** ГУ»' ГУ» ГУ» \ / ГУ»' ГУ»' ГУ»'^ \

+2г А2А"ф' + 14Т-2А2Гф' + 4Т-'-А2Гф\ - А2ф'4О5ХХф Т--2ф + -АА'ф" + Г-2А2ф" 2 2 2 2 2

г'2

-4^А3А'ф'5 О5ХХХ(Гф + 2Аф"), (1.2.12)

соответственно, и факторы Рг даются формулами

Р2=О2ф, (1.2.13)

Р3=О3ффф' - 1Аф'2О3Хф(2Аф" + Гф), (1.2.14)

(г'' г'2 г' 2 \ -Г' - 4—А - 2 —2А - 4—Г + "

гу» гу»2 гу» гу»2 I

+О±Хф(4-А2ф'ф" + 2Г-^А2ф'2 + АА'ф'ф" + 4-АА'ф'2 + 1-2фА , (1.2.15)

у г т2 т 2 )

(ГУ»'2 ГУ»' Л Ж'2 \ / ГУ»'2 ГУ»'

г А2ф2 + — АА'ф'2 - ^ + О5Хф( -2 Г-^А3ф'3ф" - 2—Гг2Гф2ф" 2 2 2

//

3т'2 2 г' „ л12113 А2ф'2ф" АА'ф'3 .

-"-2А А ф3 - ~АГ ф + + -Аф- ) , (1.2.16)

соответственно.

§ 1.2.3 Уравнения поля в горловине

Для вывода условий существования горловины кротовой норы необходимо записать уравнения поля в горловине. Для упрощения расчетов положим начальное значение А'(0) = 0. Вычислим коэффициенты в горловине и приведем представленные в предыдущем параграфе полевые уравнения, принимая во внимание условия г0 = 0 и А'0 = 0. Так уравнения ( ), ( ) и уравнение для скалярного поля (1.2.8) сводятся к виду:

у {2Аф'2О5,ф - 4Аф'2ОАЛ - 4О4) + ф' (--—ф'2ОАЛФ - —¡^Оъ>х - 2О^ф - Аф2

ф2 2 1

= -"^¿Оъ,ф +2ф О^фф - ^2 —О4 -ф &3,ф - — О2 , (1.2.17)

у (Аф'2С5,ф - 2Аф'2С,,х - 2С4) + А" (2ф/2С5,ф - ф/2С4,х - ^ +ф" (2 А ф'2САЛФ - 2(Ь,ф - Аф'2 С3,х) = 2ф'2С4,фф - ф'2 С3ф - \С2 , (1-2.18)

и

у {4АС4ф - 4А2ф'2С4хф + 2А2ф'2Сгх) + А" {АфГаьх - Аф'2САхф + \Аф'2С3х + С^ +ф" 2А^Сбф - 3 ^ С^хф - 2А2>С4х + 2 ^ С4хх - А2ф'2С3хф + 2АСзф + А2ф'2С2хх - АС2х^

А ф 2 А ф 2 2 = -3-2^С5фф + 2-2 С4хф +--2С4ф + (ф - 2Аф )Сзфф + Аф С2хф + С2ф , (1.2.19)

соответственно. Отметим, что мы убрали индексы обозначающие вычисленные значения в горловине, для упрощения полученных выражений.

§ 1.2.4 Условия существования горловины в теории Хорндески

В предыдущем параграфе была получена система линейных алгебраических уравнений относительно вторых производных метрических функций и скалярного поля в горловине г'0, А'0, ф$. При этом использованы две компоненты уравнений гравитационного поля (1.2.5) (1.2.7) и уравнение для скалярного поля (1.2.8).

(гг)-компонента ( ) полевых уравнений не содержит производных второго порядка от метрических функций или скалярного поля и представляет собой уравнение связи, причем с вычисленными в горловине (при и = 0) коэффициентами принимает вид:

1 _ 1 ^2 + Аоф'о2 (С2,Х - Созф)

Гц 2 С4 + Аофо (С4,Х - 2@5,ф)

> 0. (1.2.20)

и0

Это уравнение накладывает дополнительное ограничение на геометрию кротовой норы, так как 1/г^ > 0. Отметим, что в метрике (1.2.3) кинетический

член отрицателен в горловине и принимает вид Х0 = -2А0ф'о < 0.

Далее, для получения условия горловины необходимо разрешить систему линейных алгебраических уравнений относительно г0, что приведет к дополнительному ограничению на геометрию кротовой норы посредством условия горловины ( ). Исключая члены со вторыми производными А'0 и ф'0 из

уравнений (1.2.5), (1.2.7) и (1.2.8), получим наиболее общее условие существования горловины для кротовых нор Хорндески, зависящее только от скалярного поля ф, значения кинетического члена X, факторов и их производных как и выше, мы опустили индексы и0 для упрощения записи):

* = - '2А21 - ^ 2

^ 2 (-С2,ХХ + Сз,Хф) Сз,ф + (-С2,Хф + С3,фф) С4,Хф + ^

С

2,Хф

-С,ФФ) С,Х + С4,фф (—2,ХХ - С,Хф)

г4 +

2 (С2,ХХ - С3,Хф) С1,ф +

( С*2,ХХ + Сз,хф) —4,х + —2

+ (--+ Сз,Ф^ С$,х + (^—4,хх - Сз,ф + 4С\ Хф - 3 (—ъ,фф + —з,х) —4,хФ +--^^ +

+^С5,ФфСз,х - 2уС4^хх--I С.

I —4,фф

Св,ф +

(С2,хф - 2Сз,фф) С^,х + (~2с4,хх + 3С^,хф) —з,ф -

-4С4,хф + 2 (3С5,фф + Сз,х) С4,хф - 3С5,ффСз,х + 4^С41хх - ^С^.х^ —4,фф

С 4

X

-2 ( С4,фф--^^ (с4,хф--) С^,х

Св,ф + 2

{—4,4

г2 + I С 3С5,Хф\ с2 + Г + | С4,ХХ--2- С5,ф +

С5,Х Г2 + (С4,ХХ

0 (п 3С5,фф Сз,Х , п -2 [ С4,Хф--;;---;;— ) С5,Х

п 3 СЪ,фф \ п 1 I п - з,ф I п

С4,Хф--г- С4,Х + тт С4,фф--— ) С5,Х

2

С

(-2С4 ХХ + 3 С$,хф) С4 Х С5,х }ф'6

Сз,ф\

ф

1 (-С2,ХХ + Сз,Хф) Сз,ф

2А (сА}Х - [(-2СА}Хф + Сз,х) Г2 + С5,х] Сз,ффг2ф'5 - 4А21 ^

+ (-С2,Хф + 2Сз,фф) С4,Хф + ^ —- Сз,ф<^ Сз,Х + (С2,ХХ - Сз,Хф) С4,ф0^ С■

+ (—4,х - С-С1,ф +(■

- Сз.Л + 2С4

С2 х \ 1

—2— ) Сз,ф - С4,ХфС2,ф + ,фСз,Х + (С2,Хф - 2Сз,фф) С4,ф

С

С4,ффС2,Х--(С2,ХХ - Сз,Хф)

г4 +

'Сз,

X

- С4,Хф) Сь,ф + (-С2,ХХ + Сз,Хф) С4,Х

.(С + С2 ,Хф Сз,ф С \С .(С 3С1

^ С4,ФФ +--7)---о--Сз,фф I С5,Х + I С4,ХХ

2

+ ЦСз,Х - 3С5,ффСз,Х

5,Хф

С4 + (--Ъ^Ъ + Сз,ф - С4 фф \ с5 , +

4

^ (2С4,фф - Сз,ф) + (-Сз,Х + 3С5,фф) С4,Хф

оп I — ,х 5—з,ф\ — ,ф—5,Х

3—4,фф +--^---2- I —4,Х -

3 1 ( 3 \

—4,Хф—4,ф + 7— 4,ф—Ь,фф + 2 ( —4,ХХ - —2

—5,ф + (—з,ф - 2—4,фф) —4 х +

2 — ,ф—5,Х + —з,Х—4,ф

-3С4,фС5,фф - (С4,ХХ - 2—5,Хф^

С

С4,Х + ( (^С4,Хф - 2Сз,Х^ С5,^|'Г2 +

(-2—4,ХХ + 3 С5,Хф) С4,Х

^--+ —5,ф<^ —5,Х

--I -

Сз

—4 +--^ + (--(Т^- + —4,Х^ —4,Х—5,ф + —5,Х ^--2 45'Х + —4,Х—4,^ \ф'А

2

-4А—з,ффГ 2

2

—з,х 2

- —4,Хф^ —4 + (^—4,Х--—4,ф

2 , СЪ,Х г +--—С4,х

Сл.^ф"

4 А

2 { —2 ^ \ —2 ф ——Сз ^

Ф + ( 2С4,фф + ) Сз,ф - С4,ХфС2,ф + --+ (С2,Хф - 2Сз,фф) С4,ф - С4,ффС2,Х

2

-1 (—2'ХХ - 3 Сз,хф) С2 С4 + (^—2—2'Х - —2—з^ф + —4^—2^ (—4,х--

2

2

2

4

+

(-&2,хх — 2С^,хф + Оз,хф + Оз х) С24 + (—Сз,ф + 2С4,ФФ + С4,ф) С$,ф + (—Сз,ф — 2С4,ФФ + С2,х) С4,х

+ 1 (—С2 + С2,ф) Св,х — 2С4,ХфС4,ф + 2Сз,хС4,ф — 3С4,ФС^,ФФ — ^С4,хх--С2

СС4

+ {С2С4)Х — О2О5,ф + 2С\ ф) [с4)Х — Г2 + 2 ^

+С4,фС5,х

]

3 С^,хф

^ \ ^ ^2 /о /о

— С4 XX--;- С4 + С4,х — с4,хс5,ф

2

С4 \ф'2 — 4С3}ффС4С4}фф<г4 — 4

(

2С2С2,Х — С2С3,ф + С4,фС2,ф ) Г

+ С2 ,Х — 2С3,Ф) С4 + С2 (С4,Х — С5,Ф) + 2С4,Ф] г2 + 2С4 (С4,Х — С5,Ф)

|ва а(с4}Х — \съ,^ф'2 +С4 |а2

С4

(С2,ХХ — С3,ХФ) {°4,Х — — 3 (°4,Хф —

С4,ХХ — 2,С5,ХФ^ (2С4,х — С$,ф) + ^С4,Хф — 2С,Х ) Св,х

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Королев Роман Валерьевич, 2024 год

Литература

[1] Flamm L. Beitrage zur Einsteinsehen Gravitationstheorie / L. Flamm. // Pliys. Z. - 1916. - Vol. 17. - P. 448-454.

[2] Бронников К. А. Лекции по гравитации и космологии / К. А. Бронников, С. Г. Рубин. - Москва : МИФИ, 2008. - 460 с.

[3] Weyl Н. Feld und Materie / Н. Weyl // Annalen der Physik. 1921. - Vol. 65.

- P. 541-563.

[4] Einstein A. The Particle Problem in the General Theory of Relativity / A. Einstein, N. Rosen // Phys. Rev. - 1935. - Vol. 48, № 1. - P. 73-77.

[5] Wheeler J. A. Geons / J. A. Wheeler // Phys. Rev. - 1955. - Vol. 97, № 2. - P. 511-536.

[6] Misner C. W. Classical physics as geometry: gravitation, electro-magnetism, unquantized charge, and mass as properties of curved empty space / C. W. Misner, J. A. Wheeler // Ann. Phys. (NY). - 1957. - Vol. 2.

- P. 525-603.

[7] Wheeler J. A. On the nature of quantum geometrodynamics / J. A. Wheeler // Ann. Phys. (NY). - 1957. - Vol. 2. - P. 604-614.

[8] Wheeler J. A. Geometrodynamics / J. A. Wheeler. - New York: Academic Press, 1962. - 334 p.

[9] Ernst F. J. Variational calculations in geon theory / F. J. Ernst // Phys. Rev. - 1957. - Vol. 105. - P. 1662-1664.

[10] Kerr R. P. Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics / R. P. Kerr // Phys. Rev. Let. - 1963. -Vol. 11, № 5. - P. 237-238.

[11] Хокинг С. Крупномасштабная структура пространства-времени / С. Хокинг, Дж. Эллис. - Москва : Мир, 1977. - 433 с.

[12] Мизнер Ч. Гравитация / Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. - Москва : Мир, 1977. - Т. 3. - 512 с.

[13] Morris М. S. Wormholes in spacetime and their use for interstellar travel: a tool for teaching general relativity / M. S. Morris, K. S. Thorne // Am. J. Phys. - 1988. - Vol. 56, № 5. - P. 395-412.

[14] Morris M. S. Wormholes, time mashines and the weak energy condition / M. S. Morris, K. S. Thorne, U. Yurtsever // Phys. Rev. Lett. - 1988. -Vol. 61, № 13. - P. 1446-1449.

[15] Hochberg D. Geometric structure of the generic static traversable wormhole throat / D. Hochberg, M. Visser // Phys. Rev. D. - 1997. -Vol. 56, № 8. - P. 4745-4755.

[16] Hochberg D. Dynamic wormholes, antitrapped surfaces, and energy conditions / D. Hochberg, M. Visser // Phys. Rev. D. - 1998. - Vol. 58, ..V" 4. - P. 044021.

[17] Visser M. Lorentzian Wormholes: from Einstein to Hawking / M. Visser. - Woodbury: American Institute of Physics, 1995. - 412 p.

[18] Roman T. A. Quantum stress-energy tensors and the weak energy condition / T. A.Roman // Phys. Rev. D. - 1986. - Vol. 33, № 12. - P. 3526.

[19] Wormholes, Warp Drives and Energy Conditions / Edited by F. S. N. Lobo. - Springer, 2017. - 303 p.

[20] Friedman J. L. Topological censorship / J. L. Friedman, K. Schleich, D. M. Witt // Phys. Rev. Lett. - 1993. - Vol. 71, № 10. - P. 1486-1489.

[21] Sushkov S. V. A selfconsistent semiclassical solution with a throat in the theory of gravity / S. V. Sushkov // Phys. Lett. A. - 1992. - Vol. 164, № 1.

- P. 33-37.

[22] Popov A. A. Vacuum polarization of a scalar field in wormhole spacetimes / A. A. Popov, S.V. Sushkov // Phys. Rev. D. - 2001. - Vol. 63, № 4.

- P. 044017.

[23] Khusnutdinov N. R. Ground state energy in a wormhole space-time / N. R. Khusnutdinov, S. V. Sushkov // Phys. Rev. D. - 2002. Vol. 65, № 8. -P. 084028.

[24] Hochberg D.Self-consistent wormhole solutions of semiclassical gravity / D. Hochberg, A. Popov, S. Sushkov // Phys. Rev. Lett. - 1997. - Vol. 78, № 11. - P. 2050-2053.

[25] Sushkov S. V. Wormholes supported by a phantom energy / S.V. Sushkov //Phys. Rev. D. - 2005. - Vol. 71, № 4. - P. 043520.

[26] Lobo F. S. N. Phantom energy traversable wormhole / F. S. N. Lobo // Phys. Rev. D. - 2005. - Vol. 71, № 8. - P. 084011.

[27] Lobo F. S. N. Stability of phantom wormholes / F. S. N. Lobo // Phys. Rev. D. - 2005. - Vol. 71, № 12. - P. 124022.

[28] Lobo F. S. N. Chaplygin traversable wormhole / F. S. N. Lobo // Phys. Rev. D. - 2006. - Vol. 73, № 6. - P. 064028.

[29] Bronnikov K. A. Wormholes supported by chiral fields / K. A. Bronnikov, S. V. Chervon, S. V. Sushkov // Gravitation Cosmol. - 2009. - Vol. 15, № 3.

- p. 241-246.

[30] Visser M. Traversable wormholes. Some simple examples / M. Visser // Phys. Rev. D. - 1989. - Vol. 39, № 10. - P. 3182.

[31] Visser M. Traversable wormholes from surgically modified Schwarzschild spacetimes / M. Visser // Nucl. Phys. B. - 1989. - Vol. 328, № 1. - P. 203 212.

[32] Garcia N. M. Generic spherically symmetric dynamic thin-shell traversable wormholes in standard general relativity / N. M. Garcia, F. S. N. Lobo, M. Visser // Phys. Rev. D. - 2012. - Vol. 86, № 4. - P. 044026.

[33] Eiroa E .F. Thin-shell wormholes in Brans-Dicke gravity / E. F. Eiroa, M. G. Richarte, C. Simeone // Phys. Lett. A. - 2008. - Vol. 373, № 1. - P. 1-4.

[34] Visser M. Traversable wormholes with arbitrarily small energy condition violations / M. Visser, S. Kar, N. Dadhich // Phys. Rev. Lett. - 2003. -Vol. 90, № 20. - P. 201102.

[35] Kuhfittig P. K. F. Can a wormhole supported by only small amounts of exotic matter really be traversable? / P. K. F. Kuhfittig // Phys. Rev. D. -2003. - Vol. 68, № 6. - P. 067502.

[36] A theoretical construction of wormhole supported by Phantom Energy / F. Rahaman, M. Kalam, M. Sarker, K. Gayen // Phys. Lett. B.

- 2006. - Vol. 633, № 2-3. - P. 161-163.

[37] Hay ward S. A. Wormhole dynamics in spherical symmetry / S. A. Hayward // Phys. Rev. D. - 2009. - Vol. 79, № 12. - P. 124001.

[38] Frolov V. P. Physical effects in wormholes and time machines / V. P. Frolov, I. D. Novikov // Phys. Rev. D. - 1990. - Vol. 42, № 4. - P. 1057.

[39] Hawking S. W. Chronology protection conjecture / S. W. Hawking // Phys. Rev. D. - 1992. - Vol. 46, № 2. - P. 603.

[40] Kim S. -W. Particle creation for time travel through a wormhole / S. -W. Kim // Phys. Rev. D. - 1992. - Vol. 46, № 6. - P. 2428.

[41] Roman T. A. Inflating Lorentzian wormholes / T. A. Roman // Phys. Rev. D. - 1993. - Vol. 47, № 4. - P. 1370-1379.

[42] Kim S. -W. Cosmological model with a traversable wormhole / S. -W. Kim // Phys. Rev. D. - 1996. - Vol. 53, № 12. - P. 6889-6892.

[43] Evolving wormhole geometries / L. A. Anchordoqui, D. F. Torres, M. L. Trobo, S. E. Perez Bergliaffa // Phys. Rev. D. - 1998. - Vol. 57, № 2. -P. 829-833.

[44] Kar S. Evolving wormholes and the weak energy condition / S. Kar // Phys. Rev. D. - 1994. Vol. 49, № 2. - P. 862-865.

[45] Kar S. Evolving Lorentzian wormholes / S. Kar, D. Sahdev // Phys. Rev. I). - 1996. - Vol. 53, № 2. - P. 722-730.

[46] Wang A. Dynamical Wormholes and Energy Conditions / A. Wang, P. S. Letelier // Prog. Theor. Phys. - 1995. - Vol. 94, № 1. - P. 137-142.

[47] Kuhfittig P. K. F. Static and dynamic traversable wormhole geometries satisfying the Ford-Roman constraints / P. K. F. Kuhfittig // Phys. Rev. D. - 2002. - Vol. 66, № 2. - P. 024015.

[48] Sushkov S. V. Cosmological Evolution of a Ghost Scalar Field / S. V. Sushkov, S. -W. Kim // Gen. Relativ. Gravit. - 2004. - Vol. 36, № 7. -P. 1671-1678.

[49] Sushkov S. V. Scalar wormholes in a cosmological setting and their instability / S. V. Sushkov, Y.-Z. Zhang // Phys. Rev. D. - 2008. - Vol. 77, № 2. _ p. 024042.

[50] Ellis H. G. Ether flow through a drainhole: A particle model in general relativity / H. G. Ellis // J. Math. Phys. - 1973. Vol. 14, № 1. - P. 104-118.

[51] Bronnikov K. A. Scalar-tensor theory and scalar charge / K. A. Bronnikov // Acta Phys. Pol. B. - 1973. - Vol. 4, № 3-4. - P. 251-266.

[52] Kodama T. General-relativistic nonlinear field: A kink solution in a generalized geometry / T. Kodama // Phys. Rev. D. - 1978. - Vol. 18, № 10. - P. 3529-3534.

[53] Clement G. Einstein-Yang-Mills-Higgs solutions / G. Clement // Gen. Rel. Grav. - 1981. - Vol. 13, № 8. - P. 763-770.

[54] Modified-gravity wormholes without exotic matter / T. Harko, F. S. N. Lobo, M. K. Mak, S. V. Sushkov // Phys. Rev. D. - 2013. - Vol. 87, № 6. - P. 067504.

[55] Lobo F. S. N. Wormhole geometries in f (R) modified theories of gravity / F. S. N. Lobo, M. A. Oliveira // Phys. Rev. D. - 2009. - Vol. 80, № 10. -P. 104012.

[56] Montelongo Garcia N. Nonminimal curvature-matter coupled wormholes with matter satisfying the null energy condition / N. Montelongo Garcia, F. S. N. Lobo // Class. Quant. Grav. - 2011. - Vol. 28, № 8. - P. 085018.

[57] Sushkov S. V. Scalar wormholes with nonminimal derivative coupling / S. V. Sushkov, R. Korolev // Class. Quant. Grav. - 2012. - Vol. 29, № 8. -P. 085008.

[58] Korolev R. V. Exact wormhole solutions with nonminimal kinetic coupling / R. V. Korolev, S. V. Sushkov // Phys. Rev. D. - 2014. - Vol. 90, № 12. - P. 124025.

[59] Wormholes supported by hybrid metric-Palatini gravity / S.

Capozziello, T. Harko, T. S. Koivisto [et al.] // Phys. Rev. D. - 2012. -Vol. 86, № 12. - P. 127504.

[60] Rosa J. L. Wormholes in generalized hybrid metric-Palatini gravity obeying the matter null energy condition everywhere / J. L. Rosa, J. P. S. Lemos, F. S. N. Lobo // Phys. Rev. D. - 2018. - Vol. 98. № 6. - P. 064054.

[61] Zangeneh M. K. Traversable wormholes satisfying the weak energy condition in third-order Lovelock gravity / M. K. Zangeneh, F. S. N. Lobo, M. H. Dehghani // Phys. Rev. D. - 2015. - Vol. 92, № 12, P. 124049.

[62] Lobo F. S. N. Wormholes, Warp Drives and Energy Conditions / F. S. N. Lobo // Fundam. Theor. Phys. - 2017. - Vol. 189.

[63] Horndeski G. W. Second-Order Scalar-Tensor Field Equations in a Four-Dimensional Space / G. W. Horndeski // Int. J. Theor. Phys. - 1974. -Vol. 10, № 6. - P. 363-384.

[64] Nicolis A. Galileon as a local modification of gravity / A. Nicolis, R. Rattazzi, E. Trincherini // Phys. Rev. D. - 2009. - Vol. 79, № 6. - P. 064036.

[65] Deffayet C. Covariant Galileon / C. Deffayet, G. Esposito-Farese, A. Vikman // Phys. Rev. D. - 2009. - Vol. 79, № 8. - P. 084003.

[66] From k- GSSGI1CG to generalised Galileons / C. Deffayet, X. Gao, D. A. Steer, G. Zahariade // Phys. Rev. D. - 2011. - Vol. 84, № 6. - P. 064039.

[67] Sushkov S. V. Exact cosmological solutions with nonminimal derivative coupling / S. V. Sushkov // Phys. Rev. D. - 2009. - Vol. 80, № 10. -P. 103505.

[68] Amendola L. Cosmology with nonminimal derivative couplings / L. Amendola // Phys. Lett. B. - 1993. - Vol. 30, № 2-3. - P. 175-182.

[69] Capozziello S. Nonminimal Derivative Coupling and the Recovering of Cosmological Constant / G. Lambiase // Gen. Rel. Grav. - 1999. - Vol. 31, № 7. - P. 1005-1014.

[70] Capozziello S. Nonminimal Derivative Couplings and Inflation in Generalized Theories of Gravity / S. Capozziello, G. Lambiase, H. J. Schmidt // Annalen Phys. - 2000. - Vol. 9, № 1. - P. 39-48.

[71] Saridakis E. N. Quintessence and phantom cosmology with nonminimal derivative coupling / E. N. Saridakis, S. V. Sushkov // Phys. Rev. D. - 2010. - Vol. 81, № 8. - P. 083510.

[72] Sushkov S. Realistic cosmological scenario with nonminimal kinetic coupling / S. Sushkov // Phys. Rev. D. - 2012. - Vol. 85, № 12. - P. 123520.

[73] Skugoreva M. A. Cosmology with nonminimal kinetic coupling and a power-law potential / M. A. Skugoreva, S. V. Sushkov, A. V. Toporensky // Phys. Rev. D. - 2013. - Vol. 88, № 8. - P. 083539.

[74] Granda L. N. Non-minimal kinetic coupling and the phenomenology of dark energy / L. N. Granda // Class. Quantum Grav. - 2011. - Vol. 28, № 2. - P. 025006.

[75] Granda L. N. Inflation driven by scalar field with non-minimal kinetic coupling with Higgs and quadratic potentials / L. N. Granda // J. Cosm. Astrop. Phys. - 2011. - Vol. 2011, № 04. - P. 016.

[76] Gao C. When scalar field is kinetically coupled to the Einstein tensor / C. Gao //J. Cosm. Astrop. Phys. - 2010. - Vol. 2010, № 06. - P. 023.

[77] Granda L. N. General Non-minimal Kinetic coupling to gravity / L. N. Granda, W. Cardona //J. Cosm. Astrop. Phys. - 2010. - Vol. 2010, № 07.

- P. 021.

[78] Granda L. N. Non-minimal kinetic coupling and Chaplygin gas cosmology / L. N. Granda, E. Torrente-Lujan, J. J. Fernandez-Melgarejo // Eur. Phys. J. C. - 2011. - Vol. 71, № 7. - P. 1704.

[79] Granda L. N. Late time cosmological scenarios from scalar field with Gauss Bonnet and non-minimal kinetic couplings / L. N. Granda // Int. J. Theor. Phys. - 2012. - Vol. 51, № 9. - P. 2813-2829.

[80] Granda L. N. Dark energy from scalar field with Gauss Bonnet and nonminimal kinetic coupling / L. N. Granda // Mod. Phys. Lett. A. - 2012. -Vol. 27, № 4. - P. 1250018.

[81] Mohseni Sadjadi H. Super-acceleration in non-minimal derivative coupling model / H. Mohseni Sadjadi // Phys. Rev. D. - 2011. - Vol. 83, № 10. - P. 107301.

[82] Banijamali A. Crossing of w = —1 with Tachyon and Non-minimal Derivative Coupling. / A. Banijamali, B. Fazlpour // Phys. Lett. B. - 2011.

- Vol. 703, № 3. - P. 366-369.

[83] Gubitosi G. Purely Kinetic Coupled Gravity / G. Gubitosi, E. V. Linder // Phys. Lett. B. - 2011. - Vol. 703, № 2. - P. 113-118.

[84] Matsumoto J. Cosmology with nonminimal kinetic coupling and a Higgs-like potential / J. Matsumoto, S. V. Sushkov //J. Cosm. Astrop. Phys. -2015. - Vol. 2015, № 11. - P. 047.

[85] Matsumoto J. General dynamical properties of cosmological models with nonminimal kinetic coupling / J. Matsumoto, S. V. Sushkov //J. Cosm. Astrop. Phys. - 2018. - Vol. 2018, № 01. - P. 040.

[86] Starobinsky A. A. The screening Horndeski cosmologies / A. A. Starobinsky, S. V. Sushkov, M. S. Volkov //J. Cosm. Astrop. Phys. - 2016.

- Vol. 2016, № 06. - P. 007.

[87] Capozziello S. Classification of the Horndeski cosmologies via Noether Symmetries / S. Capozziello, K. F. Dialektopoulos, S. V. Sushkov // Eur. Phys. J. C. - 2018. - Vol. 78. - P. 447.

[88] Observational evidence from Supernovae for an accelerating universe and a cosmological constant / A. G. Riess, A. V. Filippenko, P. Challis [et al.] // Astron. J. - 1998. - Vol. 116, № 3. - P. 1009.

[89] Measurements of Q and A from 42 high-redshift Supernovae / S.

Perlmutter, G. Aldering, G. Goldhaber [et al.] // Astrophys. J. - 1999. -Vol. 517, № 2. - P. 565.

[90] Kofman L. A. Gnedin N.Y., Bahcall N.A., Cosmological constant, COBE cosmic microwave background anisotropy, and large-scale clustering / L. A. Kofman, N. Y. Gnedin, N. A. Bahcall // Astrop. J. - 1993. - Vol. 413, № 1. _ p. i.

[91] Ostriker J. P. The observational case for a low-density Universe with a non-zero cosmological constant / J. P. Ostriker, P. J. Steinhardt // Nature.

- 1995. - Vol. 377. - P. 600.

[92] Krauss L. M. The cosmological constant is back / L. M. Krauss, M. S. Turner // Gen. Rel. Grav. - 1995. - Vol. 27, № 11. - P. 1137.

[93] Krauss L. M. Old Galaxies at High Redshift and the Cosmological Constant / L. M. Krauss // Astroph. J. - 1997. - Vol. 480, № 2. - P. 466.

[94] Totani T. Evolution of the Luminosity Density in the Universe: Implications for the Nonzero Cosmological Constant / T. Totani, Y. Yoshii, K. Sato // Astroph. J. - 1997. - Vol. 483, № 2. - P. L75.

[95] Carroll S. M. The cosmological constant / S. M. Carroll, W. H. Press, E. L. Turner // Annu. Rev. Astron. Astrophys. - 1992. - Vol. 30. - P. 499.

[96] Seven-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Cosmological Interpretation / E. Komatsu, K. M. Smith, J. Dunkley [et al.] // Astrophys. J. Suppl. - 2011. - Vol. 192, № 2. _ p. is.

[97] Cosmological parameters from SDSS and WMAP / M. Tegmark, M. Strauss, M. Blanton [et al.] // Phys. Rev. D. - 2004. - Vol. 69, № 10. -P. 103501.

[98] Detection of the Baryon Acoustic Peak in the Large-Scale Correlation Function of SDSS Luminous Red Galaxies / D. J.

Eisenstein, I. Zehavi, D. W. Hogg [et al.] // Astrophys. J. - 2005. - Vol. 633, № 2. - P. 560-574.

[99] Jain B. Cross-correlation Tomography: Measuring Dark Energy Evolution with Weak Lensing / B. Jain, A. Taylor // Phys. Rev. Lett. - 2003. - Vol. 91, ..V" 14. - P. 141302.

[100] Lukash V. N. Dark energy: myths and reality / V. N. Lukash, V. A. Rubakov // Physics-Uspechi. - 2008. - Vol. 51, № 3. - P. 283-289.

[101] Armendariz-Picon C. A Dynamical solution to the problem of a small cosmological constant and late time cosmic acceleration / C. Armendariz-Picon, V. F. Mukhanov, P.J. Steinhardt // Phys. Rev. Lett. - 2000. -Vol. 85, № 21. - P. 4438.

[102] Imperfect Dark Energy from Kinetic Gravity Braiding / C.

Deffayet, O. Pujolas, I. Sawicki, A. Vikman //J. Cosm. Astropart. Phys. -2010. - Vol. 2010, № 10. - P. 026.

[103] Fujii Y. The scalar-tensor theory of gravitation / Y. Fujii, N. Maeda. -Cambridge : Cambridge University Press, 2003. - 240 p.

[104] Brans C. Mach's principle and a relativistic theory of gravitation / C. Brans, R. H. Dicke // Phys. Rev. - 1961. - Vol. 124, № 3. - P. 925.

[105] Germani C. New Model of Inflation with Non-minimal Derivative Coupling of Standard Model Higgs Boson to Gravity / C. Germani, A. Kehagias // Phys. Rev. Lett. - 2010. V. 105, № 1. - P. 011302.

[106] Kase R. Dark energy in Horndeski theories after GW170817: A review / R. Kase, S. Tsujikawa // Int. J. MoD. Phys. D. - 2019. - Vol. 28, № 5. -P. 1942005.

[107] Barcelo C. Scalar fields, energy conditions and traversable wormholes / C. Barcelo, M. Visser // Class. Quant. Grav. - 2000. - Vol. 17, № 18. -P. 3843-3864.

[108] Barcelo C. Traversable wormholes from massless conformally coupled scalar fields / C. Barcelo, M. Visser // Phys. Lett. B. - 1999. - Vol. 466, ..V" 2-4. - P. 127-134.

[109] Bronnikov K. A. Notes on wormhole existence in scalar-tensor and F(R) gravity / K. A. Bronnikov, M. V. Skvortsova, A. A. Starobinsky // Gravitation Cosmol. - 2010. - Vol. 16, № 3. - P. 216-222.

[110] Kashargin P. E. Slowly rotating scalar field wormholes: The Second order approximation / P. E. Kashargin, S. V. Sushkov // Phys. Rev. D. - 2008. -Vol. 78, № 6. - P. 064071.

[111] Gonzalez J. A. Instability of wormholes supported by a ghost scalar field: I. Linear stability analysis / J. A. Gonzalez, F. S. Guzman, O. Sarbach // Class. Quantum Grav. - 2009. - Vol. 26, № 1. - P. 015010.

[112] Gonzalez J. A. Instability of wormholes supported by a ghost scalar field. - II. Nonlinear evolution / J. A. Gonzalez, F. S. Guzman, O. Sarbach // Class. Quant. Grav. - 2009. - Vol. 26, № 1. - P. 015011.

[113] Caldwell R. R. Cosmological imprint of an energy component with general equation of state / R. R. Caldwell, R. Dave, P. J. Steinhardt // Phys. Rev. Lett. - 1998. - Vol. 80, № 8. - P. 1582.

[114] Bronnikov K. A. Spherically symmetric false vacuum: No-go theorems and global structure / K. A. Bronnikov // Phys. Rev. D. - 2001. - Vol. 64, № 6. - P. 064013.

[115] Wormholes supported by phantom energy / J. A. Gonzalez, F. S. Guzman, N. Montelongo-Garcia, T. Zannias // Phys. Rev. D. - 2009. -Vol. 79, № 6. - P. 064027.

[116] Bronnikov K. A. No realistic wormholes from ghost-free scalar-tensor phantom dark energy / K. A. Bronnikov, A. A. Starobinsky //J. Exper. Theor. Phys. Lett. - 2007. - Vol. 85. - P. 1-5.

[117] Bronnikov K. A. On horizons and wormholes in k-essence theories / K. A. Bronnikov, J. C. Fabris, D. C. Rodrigues // Grav. Cosmol. - 2016. -Vol. 22, № 1, P. 26.

[118] Ghost condensation and a consistent infrared modification of gravity / N. Arkani-Hamed, H. C. Cheng, M. A. Luty, S. Mukohyama //J. High Ener. Phys. - 2004. - Vol. 2004, № 5. - P. 074.

[119] Gasperini M. The Pre-big bang scenario in string cosmology / M. Gasperini, G. Veneziano // Phys. Rept. - 2003. - Vol. 373, № 1-2. - P. 1-212.

- Ill -

[120] Faraoni V. Cosmology in scalar tensor gravity / V. Faraoni. - Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 2004. - Vol. 139. - 281 p. - ( Fund. Theor. Phys.).

[121] Agnese A. Wormholes in the Brans-Dicke theory of gravitation / A. Agnese, M. La Camera // Phys. Rev. D. - 1995. - Vol. 51, № 4. - P. 2011.

[122] Lobo F. S. N. General class of vacuum Brans-Dicke wormholes / F. S. N. Lobo, M. A. Oliveira // Phys. Rev. D. - 2010. - Vol. 81, № 6. - P. 067501.

[123] Sushkov S. V. Composite vacuum Brans-Dicke wormholes / S. V. Sushkov, S. M. Kozyrev // Phys. Rev. D. - 2011. Vol. 84, № 12. - P. 124026.

[124] Sotiriou T. P. f (R) Theories Of Gravity / T. P. Sotiriou, V. Faraoni // Rev. Mod. Phys. - 2010. - Vol. 82, № 1. - P. 451.

[125] Chiba T. 1/R gravity and scalar - tensor gravity / T. Chiba // Phys. Lett. B. - 2003. - Vol. 575, № 1-2. - P. 1.

[126] Brans-Dicke wormholes in the Jordan and Einstein frames / K. K.

Nandi, B. Bhattacharjee, S. M. K. Alam, J. Evans // Phys. Rev. D. - 1998. - Vol. 57, № 2. - P. 823.

[127] Olmo G. J. Palatini Approach to Modified Gravity: f(R) Theories and Beyond / G. J. Olmo // Int. J. Mod. Phys. D. - 2011. - Vol. 20, № 4. -P. 413.

[128] Planck scale physics and topology change through an exactly solvable model / F. S. N. Lobo, J. Martinez-Asencio, G. J. Olmo, D. Rubiera-Garcia // Phys. Lett. B. - 2014. - Vol. 731. - P. 163-167.

[129] Metric-Palatini gravity unifying local constraints and late-time cosmic acceleration / T. Harko, T. S. Koivisto, F. S. N. Lobo, G. J. Olmo // Phys. Rev. D. - 2012. - Vol. 85, № 8. - P. 084016.

[130] Hybrid metric-Palatini gravity / S. Capozziello, T. Harko, T. S. Koivisto [et al] // Universe. - 2015. - Vol. 1, № 2. - P. 199.

[131] Bronnikov K. A. Spherically symmetric black holes and wormholes in hybrid metric-Palatini gravity / K. A. Bronnikov // Grav. Cosm. - 2019. -Vol. 25. - P. 331-341.

[132] Pujolas O. The Imperfect Fluid behind Kinetic Gravity Braiding / O. Pujolas, I. Sawicki, A. Vikman //J. High Ener. Phys. - 2011. - Vol. 1111. P. 156.

[133] Kobayashi T. G-inflation: Inflation driven by the Galileon field / T. Kobayashi, M. Yamaguchi, J. Yokoyama // Phys. Rev. Lett. - 2010. -Vol. 105, № 23. - P. 231302.

[134] De Felice A. Cosmology of a covariant Galileon field / A. De Felice, S. Tsujikawa // Phys. Rev. Lett. - 2010. V. 105, № 11. - P. 111301.

[135] Nojiri S. Gauss-Bonnet dark energy / S. Nojiri, S. D. Odintsov, M. Sasaki // Phys. Rev. D. - 2005. - Vol. 71, № 12. - P. 123509.

[136] Koivisto T. Cosmology and Astrophysical Constraints of Gauss-Bonnet Dark Energy / T. Koivisto, D. F. Mota // Phys. Lett. B. - 2007. - Vol. 644, ..V" 2-3. - P. 104.

[137] Lovelock D. The Einstein tensor and its generalizations / D. Lovelock // J. Math. Phys. - 1971. - Vol. 12. - P. 498.

[138] Kobayashi T. Generalized G-inflation: Inflation with the most general second-order field equations, / T. Kobayashi, M. Yamaguchi, J. Yokoyama // Prog. Theor. Phys. - 2011. - Vol. 126, № 3. P. 511.

- из -

[139] Sotiriou Т.P. Black hole hair in generalized scalar-tensor gravity: An explicit example / T. P. Sotiriou, S. Y. Zhou // Phys. Rev. D. - 2014. - Vol. 90, № 12. - P. 124063.

[140] Spontaneous scalarization of black holes and compact stars from a Gauss-Bonnet coupling / H. O. Silva, J. Sakstein, L. Gualtieri [et al.] // Phys. Rev. Lett. - 2018. - Vol. 120, № 13. - P. 131104.

[141] Korolev R. General constraints on Horndeski wormhole throats / R. Korolev, F. S. N. Lobo, S. V. Sushkov // Phys. Rev. D. - 2020. - Vol. 101, № 12. - P. 124057.

[142] Korolev R. Kinetic gravity braiding wormhole geometries / R. Korolev, F. S. N. Lobo, S. V. Sushkov // Phys. Rev. D. - 2020. - Vol. 102, № 10. -P. 104016.

[143] Shinkai H.-a. Fate of the first traversible wormhole: Black-hole collapse or inflationary expansion / H. -a. Shinkai, S. A. Hayward // Phys. Rev. D. -2002. - Vol. 66, № 4. - P. 044005.

[144] Bronnikov K. A. On the stability of scalar-vacuum space-times / K. A. Bronnikov, J. C. Fabris, A. Zhidenko // Eur. Phys. J. C. - 2011. - Vol. 71, № 11. - P. 1791.

[145] Боголюбов H. H. Введение в теорию квантованных полей / Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. - Москва : Наука, 1984. - 600 с.

[146] Sushkov S. V. Wormholes supported by the kink-like configuration of a scalar field / S. V. Sushkov, S.-W. Kim // Class. Quantum Grav. - 2002. -Vol. 19, № 19. - P. 4909.

[147] Balakin A. B. Non-minimal Wu-Yang wormhole / A. B. Balakin, S. V. Sushkov, A. E. Zayats // Phys. Rev. D. - 2007. - Vol. 75, № 8. - P. 084042.

[148] Eiroa E. F. Stability of thin-shell wormholes with spherical symmetry / E. F. Eiroa // Phys. Rev. D. - 2008. - Vol. 78, № 2. - P. 024018.

[149] Rinaldi M. Black holes with non-minimal derivative coupling / M. Rinaldi // Phys. Rev. D. - 2012. - Vol. 86, № 8. - P. 084048.

[150] Anabalon A. Asymptotically locally AdS and flat black holes in Horndeski theory / A. Anabalon, A. Cisterna, J. Oliva // Phys. Rev. D. - 2014. -Vol. 89, № 8. - P. 084050.

[151] Babichev E. Dressing a black hole with a time-dependent Galileon / E. Babichev //J. High Energy Phys. - 2014. - Vol. 2014, № 8. - P. 106.

[152] Minamitsuji M. Solutions in the scalar-tensor theory with nonminimal derivative coupling / M. Minamitsuji // Phys. Rev. D. - 2014. - Vol. 89, № 6. - P. 064017.

[153] Cisterna A. Asymptotically locally AdS and flat black holes in the presence of an electric field in the Horndeski scenario / A. Cisterna, C. Erices // Phys. Rev. D. - 2014. - Vol. 89, № 8. - P. 084038.

[154] Королев P. В. Кротовые норы в теории гравитации с неминималвной кинетической связвю и космологической постоянной / Р. В. Королев, С. В. Сушков // Пространство, время и фундаменталвнвю взаимодействия. - 2017. - Т. 21, № 4. - С. 59-67.