Восстановление сечений реакций в экспериментах с тормозным γ-излучением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.16, кандидат физико-математических наук Нефедов, Григорий Сергеевич

• Нефедов, Григорий Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Нефедов, Григорий Сергеевич

Введение.

В.1 Реакции взаимодействия J - излучения с атомными ядрами.

В.2 Проблема восстановления сечений реакций в экспериментах с тормозным J - излучением.

В.З Краткое содержание последующих

разделов диссертации.

Глава 1. Традиционные методы восстановления сечений фотоядерных реакций.

1.1 Метод Пенфольда-Лейсса.

1.2 Метод регуляризации.

1.3 Метод редукции.

Глава 2. Статистический подход. Метод случайных интервалов.

2.1 Характер экспериментальной информации.

Постановка задачи.

2.1.1 Ограничение на разрешающую способность «прибора».

2.1.2 Дискретное представление обратной задачи.

2.1.3 Статистический критерий выбора решения.

2.2 Поиск приближенного решения методом случайных интервалов.

2.2.1 Поиск решения методом случайных интервалов.

2.2.2 Схема получения последовательности приближений.

2.2.3 Область применимости МСИ.

2.3 Тестирование МСИ на модельных сечениях.

Глава 3. Восстановление сечений фотоядерных реакций методом случайных интервалов.

3.1 Алгоритмы численного построения решения МСИ.

3.1.1 Обобщенная схема получения частного решения МСИ.

3.1.2 Моделирования кривых выхода фотоядерных процессов.

3.1.3 Процедура фитирования.

3.1.4 Анализ сходимости последовательности приближений.

3.1.5 Частные и среднее решения МСИ.

3.1.6 Представление среднего решения МСИ суперпозицией резонансов.

3.1.7 Способ построения решения первого приближения.

3.2 Восстановление сечений фотоядерных реакций.

3.2.1 Восстановление сечения реакции 63Cu{y,nf2Cu.

3.2.2 Восстановление сечения реакции 197 Аи(у,хп).

3.2.3 Восстановление сечения реакции 232Th(y, /).

Глава 4. Альтернативные методы обработки данных в экспериментах с тормозным у - излучением.

4.1 Метод извлечения сечений фотоядерных реакций фитированием резонансов.

4.2 Обратная задача спектроскопии и метод итераций.

4.3 Методика проверки применимости теоретических моделей для описания ядерной резонансной флуоресценции б экспериментах с тормозным у - излучением.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Восстановление сечений реакций в экспериментах с тормозным γ-излучением»

В.1 Реакции взаимодействия у- излучения с атомными ядрами.

Ядерные реакции, вызываемые электромагнитным взаимодействием, являются одним из основных источников информации о структуре атомных ядер. Так, из реакций с электромагнитным взаимодействием можно получать более надёжную информацию о строении ядра, чем из реакции с сильным взаимодействием, где трудно отделить проявление структуры ядра от механизма его возбуждения. Наиболее типичной ядерной реакцией, протекающей за счёт электромагнитного взаимодействия, является фотоядерная реакция [1] (далее используется запись A(y,b)B, где у-налетающий фотон, А - ядро мишень, В - остаточное ядро, Ъ - выбитые из ядра-мишени частицы).

Особый интерес представляют фотоядерные реакции, протекающие в диапазоне энергий фотонов от порога выбивания нуклона из ядра (-5-10 МэВ) до порога рождения мезонов («135 МэВ). Основными и наиболее хорошо изученными характеристиками процесса фоторасщепления являются:

1) энергетические распределения частиц, образующихся в результате фоторасщепления ядра.

2) угловые распределения продуктов фотоядерных реакций.

3) сечения основных парциальных реакций, такие как фотопротонные сга(у,пр) и фотонейтронные о(у,п\ сг(у,2я), а также полные сечения поглощения ядром у - квантов e(y,f)~cr(y,p)+o(y,np)+o(y,n)+cr(y,2n).

Главной особенностью сечений поглощения фотонов ядрами, как функции энергии возбуждения, является наличие широкого максимума -гигантского дипольного резонанса (ДГР). Его ширина находится в приделах 4-10 МэВ, а максимум располагается при энергиях 12-25 МэВ. В первом приближении сечения фоторасщепления могут быть охарактеризованы тремя параметрами: положение, полуширина и интегральное сечение основного максимума.

Особый интерес вызывает вопрос существования сложной структуры ДГР, а именно наличие резонансов различной ширины в его составе [2]. В настоящее время для теоретического описания ядерных реакций, идущих с возбуждением ДГР, разрабатываются модели, базирующиеся на коллективизации взаимодействующих одночастичных возбуждений с учётом структуры ядра, а проведённые теоретические расчеты сечений фотопоглощений показывают расщепление ДГР (см., например, [3]). В пользу существования сложной структуры ДГР, в частности, указывают концепции конфигурационного и изоспинового расщепления ДГР [4],[5].

В.2 Проблема восстановления сечений реакций в экспериментах с тормозным у - излучением.

Что же касается получения экспериментальных данных, то одним из главных направлений изучения структуры ядер является повышение точности определения сечений фотоядерных реакций [6-8]. Это связано с целым рядом трудностей. Так, для исследования фотоядерных реакций идеальным источником был бы источник монохроматических фотонов, позволяющий плавно изменять энергию, а так же обладающий высокой интенсивностью. Но все существующие источники у - квантов далеки от идеальных: либо не позволяют плавно изменять энергию в нужных пределах, либо не монохроматичны, и извлечение сечений из экспериментального материала осложнено формой энергетического спектра источника. Наиболее распространенные источники высокоэнергичных фотонов - электронные ускорители, создающие тормозное излучение (см., например, [9]). а)

Тг<Т2<Т3,

ЛуТз

Эисгргил фотонов, МоВ

Онэргил ботоноь, ХэО А 2x10" в)

Е, МэВ

Рис. В.1. Спектры тормозного излучения при различных значениях верхних границ (а), эффективное сечение о{Ег) фотоядерной реакции (б) и экспериментальная кривая выхода фотоядерной реакции Y(T).

В сравнении с другими источниками тормозное излучение обеспечивает наиболее интенсивные потоки У- квантов, что особенно важно из-за малости эффективных сечений фотоядерных реакций. При этом получение тормозных j - квантов сравнительно просто. Для получения тормозного у -излучения достаточно направить поток электронов на мишень-конвертор [10]. В этом случае тормозное излучение возникает за счёт ускоренного движения электронов в кулоновском поле ядер и атомарных электронов мишени. Энергетический спектр у - квантов тормозного излучения непрерывен и подчиняется зависимости 1/£у , за исключением области верхней границы, где еу- энергия испущенного фотона.

С другой стороны, практическое использование тормозного излучения сильно усложняется непрерывным характером его энергетического спектра, что не позволяет в экспериментах получать непосредственную информацию о характере интересующего фотоядерного процесса, относящуюся к определенной энергии возбуждения. Поэтому для восстановления из экспериментального выхода сечения реакции необходимо решать обратную задачу.

Рассмотрим принцип получения эффективных сечений фотоядерных реакций в экспериментах с тормозным у - излучением. Облучая исследуемую мишень тормозным у - излучением с верхней границей Т, регистрируется А^(г) событий фотоядерной реакции, сечение которой c(z?y ) необходимо определить. Имеет место связь

N(T)=saD(T)jcj{E7MErj)dE^ (В.1) о где - число фотонов энергии еу в единичном интервале энергий тормозного спектра с верхней границей Г, отнесенное к единице дозы;

D{t)- доза тормозного j - излучения с верхней границей т, полученная мишенью; а - количество исследуемых ядер, отнесенное к 1 см2 мишени; £ - эффективность установки, детектирующей продукты фотоядерной реакции. Введя обозначение

Y{t) = n{t)/£D{t) (В.2) перепишем (В. 1) в виде

Y(Tha]a{Er)w{Erj)dE7 (В.3) о

Именно величина Y(r\ называемая выходом фотоядерной реакции, а не эффективное сечение, и есть непосредственный результат экспериментов с тормозным J - излучением. Характерной особенностью выхода фотоядерной реакции является его монотонное возрастание с увеличением энергии Г, даже если эффективное сечение может иметь резонансный характер (рис. В. 1,6). Существование резонансов в сечении отражается лишь в слабом изменении наклона касательной к графику Y(t) (рис. В.1,в).

Таким образом, для получения эффективного сечения необходимо знать вид функции Y{t\ что достигается проведением серии измерений при различных значениях верхней границы спектра тормозного излучения (рис. В.1,а). Результатом измерений является набор чисел

Y(Гi) (j = l,2,.,m)3 а для нахождения сечения необходимо решить интегральное уравнение (В.З). Численно решение принято искать в виде вектора о = (сг^, оЕг,., аJ размерности п, разбивая интересующий интервал энергий [е0, еп ] на п равных отрезков шириной = —--, переходя тем самым к дискретному представлению. Выбор константы разбиения п задает максимальное энергетическое разрешение метода. На основании выбранного разбиения интегральное уравнение (В.З) принимает вид м

В.4)

Используя весь набор чисел Yt (i = l,2,.,m), соотношение (В.4), а также нормализовав коэффициенты аппаратурной функции тормозного излучения W на АЕу, получаем систему линейных уравнений f v Л У V

Лг •^21 -^22

4 Л

Л1и а0 va«y

В.З) чАп1 Дп2 .Ди

Существует частный аналог выражения (В. 5), выраженный через треугольную матрицу размерности (тхт) и применяемый во многих математических методах восстановления сечений, в частности, в работах [11], [12]. В этом случае, очевидно, максимальное разрешение по энергии фиксировано и определяется количеством экспериментальных точек кривой выхода т.

В силу вероятностного характера процесса получения экспериментального материала, результатом измерения является значение выхода, лишь статистически приближенное по отношению к истинному значению, величина отклонения от которого определяется статистической обеспеченностью эксперимента. Таким образом, реально имеется возможность получить сечение <т, лишь приближенное к истинному значению о. Это означает существование не одного, а целого семейства возможных решений системы уравнений (В.5), отличающихся друг от друга и от искомого сечения (в том числе, можно получить формальное решение, которое не имеет физического смысла).

Более того, при повышении требований к энергетическому разрешению восстановительных методик, что необходимо для выявления особенностей структуры сечений, неоднозначность решения обратной задачи возрастает, и круг методов, дающих устойчивый результат, сужается. Из-за указанной неоднозначности получаемого решения, обратная задача восстановления сечений фотоядерных реакций в экспериментах с тормозным у -излучением была отнесена к разряду некорректно поставленных задач [13]. Следовательно, особую важность приобретает наличие нескольких разных восстановительных методик, взаимно подтверждающих и дополняющих друг друга.

В настоящее время существует несколько методов решения некорректно поставленных задач, ставших уже традиционными, среди которых, следует выделить метод регуляризации Тихонова А.Н. [14], где проблема надежности решается путем так называемой регуляризации искомых решений, основанной на априорном «знании» вида решения и метод редукции [15].

Восстановленные сечения фотопоглощения традиционными методами решения обратной задачи (В.5), как правило, содержат структурные особенности, что согласуется с теоретическими предсказаниями о сложной структуре ДГР. Однако параметры составляющих ДГР резонансов (расположение, амплитуда, ширина), полученных разными методами восстановления сечений, имеют некоторые отличия, возникающие, главным образом, из-за статистической неопределённости экспериментального материала. Следовательно, при восстановлении сечений фотоядерных реакций в экспериментах с тормозным у - излучением чрезвычайно важна надёжность решения некорректно поставленной задачи. Помимо этого, существует проблема значительного расхождения данных о сечениях, полученных в экспериментах различного типа. Так, например, в работах

16-18] показано, что в экспериментах с квази-моноэнергетическими ашшгиляционными фотонами сложная структура ДГР, как правило, не проявляется.

Поэтому особую актуальность приобретает наличие альтернативного метода решения обратной задачи, учитывающего специфику физической задачи - восстановления сечений фотоядерных реакций в экспериментах с тормозным У - излучением. Так как одной из главных задач исследования является обнаружение структуры в сечении фотопоглощения, то разрабатываемый метод восстановления должен обладать достаточной разрешающей способностью. Особенно важно это требование при работе с экспериментальным материалом с недостаточно высокой статистической обеспеченностью. При этом полученное методом решение должно быть надёжным, т.е. должен быть разработан способ оценки погрешностей восстановления сечений.

В диссертации представлен удовлетворяющий указанным условиям альтернативный метод решения обратной задачи, а также рассматривается его практическое применение для восстановления сечений фотоядерных реакций и выявления сложной структуры гигантского резонанса.

Цель работы

Целью представляемой работы являлось создание альтернативного метода решения обратной задачи и восстановление данным методом сечений фотоядерных реакций в экспериментах на тормозном У -излучении. Достижение поставленной цели осуществлялось путём решения следующих конкретных задач:

1. Разработка альтернативного метода решения обратной задачи - метода случайных интервалов (МСИ), позволяющего получать устойчивое решение с высоким разрешением по энергии, что особенно важно для анализа экспериментальных данных со слабой статистической обеспеченностью.

2. Проведение тестирования МСИ восстановлением модельных сечений.

3. Восстановление МСИ сечений фотоядерных реакций из экспериментально измеренного выхода.

4. Разработка способа альтернативного представления результатов восстановления сечений - в виде суперпозиции резонансов.

5. Разработка программного кода, реализующего МСИ.

Помимо основной задачи в данной диссертации рассматриваются: способ повышения разрешающей способности аппаратуры итерационным методом и методика проверки применимости теоретических моделей для описания ядерной резонансной флуоресценции в экспериментах с тормозным 7 - излучением.

Научная новизна

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые получены следующие результаты:

1. Создан новый, обладающий альтернативной структурой, метод решения некорректно поставленных задач - метод случайных интервалов (МСИ). При решении обратной задачи, МСИ выполняет поиск частного решения случайным образом, базируясь на процедуре фигирования (подбор параметров), в отличие от большинства математических методов, использующих процедуру обращения матриц.

2. Благодаря особой структуре, МСИ целенаправленно реализует так называемый «статистический подход» для поиска усреднённого решения и оценки ошибок, т.е. особым образом учитывается статистическая неопределённость экспериментального материала. Разработан способ выбора оптимального энергетического разрешения.

3. Предложен набор тестов для проверки корректности восстановления новым методом модельных сечений. Проведённое тестирование МСИ показало положительные результаты: устойчивость решения и корректность построения «коридора ошибок».

4. Из экспериментальных кривых выхода с «бедной статистикой», примения МСИ, восстановлены сечения реакций 63Си(у, п)62Си,

197 Аи(у,хп), 232Th(y, /) с высоким разрешением по энергии.

5. Разработан способ альтернативного представления результатов восстановления сечений - в виде суперпозиции резонансов. Указанный способ позволяет вычислять параметры различимых резонансов, составляющих структуру гигантского резонанса, а также оценивать ошибки их определения. Показано применение данного способа для представления полученных МСИ результатов восстановления сечения реакции

63Си(у,п)62Си в виде суперпозиции резонансов. Научная и практическая ценность

Научная и практическая ценность полученных в диссертации результатов обусловлена тем, что они позволяют восстанавливать сечения фотоядерных реакций с высоким энергетическим разрешением альтернативным методом. Важная особенность МСИ - возможность получения устойчивого решения при высоком энергетическом разрешении, особенно при работе со сравнительно слабым статистическим материалом.

Так, в связи с постоянно предпринимающимися попытками объяснить сложную структуру гигантского резонанса одним из главных направлений изучения структуры ядер является повышение точности определения сечений фотоядерных реакций. Увеличение точности восстановительных методик позволяет различать наборы резонансов в полученных сечениях.

Но получаемые результаты зачастую содержат неоднозначность, объясняемую сложностью решения некорректно поставленной задачи. Это подчеркивает необходимость разработки альтернативного метода, базирующегося на нетрадиционной процедуре восстановления, который позволял бы получать устойчивые решения некорректно поставленной задачи восстановления сечений фотоядерных процессов.

Личный вклад автора.

Все основные результаты диссертации, выносимые на защиту, получены лично автором или при его непосредственном участии. Автором разработан новый метод решения обратной задачи - метод случайных интервалов, применённый для восстановления сечений фотоядерных реакций.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены и обсуждены на международных и отечественных научных конференциях, в том числе на международной конференции по ускорителям заряженных частиц «PAC'2001»(Chicago, USA, 2001), на международных конференциях «Ядерная спектроскопия и структура ядер, Ядро-2002, Ядро-2003 (Москва, Россия), Ядро-2004 (Белгород, Россия)», «XXX международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами» (Москва, 2000), «Ломоносовские чтения» (Москва, 2002) и других. Результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах, а также были опубликованы в периодических изданиях (статьи в журналах «Ядерная физика», «Известия Академии Наук, Серия физическая», «Поверхность», «Вестник Московского Университета») и в трудах указанных конференций.

Объём и структура работы

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, приложения и списка используемой литературы. Она изложена на 116 страницах, включает в себя 33 рисунка, 2 таблицы и 1 приложение. Список используемой литературы содержит 52 ссылки. Диссертация написана на основании 8 публикаций.

Заключение диссертации по теме «Физика атомного ядра и элементарных частиц», Нефедов, Григорий Сергеевич

Основные результаты диссертации получены, по существу, впервые.

Таким образом, показана возможность надёжного восстановления методом случайных интервалов сечений фотоядерных реакций в экспериментах с тормозным у - излучением, что позволяет выявлять резонансную структуру ДГР.

Заключение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Нефедов, Григорий Сергеевич, 2004 год

1. Ишханов Б.С., Капитонов И.М. Взаимодействие электромагнитного излучения с атомными ядрами. Издательство Московского университета., (1979), с. 9-12.

2. Drechsel D., Seaborn J. В., Greiner W. Collective correlations in spherical nuclei and structure of giant resonances. Phys. Rev., 162, (1967), p.983-991.

3. Головач E. H. Микроскопическое описание гигантского дипольного резонанса в ядрах SD-оболочки. Канд. Дисс., НИИЯФ МГУ, М. (1993).

4. Berman В. L., Caldwell J. Т., Harvey R. R., et al. Photoneutron crosssections for Zr90,Zr91 ,Zr92,Zr94 and У89. Phys. Rev., 162, (1967), p. 1098-1111.

5. Dushkov I. I., Ishkhanov B. S., Kapitonov I. M. et. Al. Photoprotons from Zr . Phys. Lett., 10, (1964), p. 310-312.

6. Тихонов A. H., Шевченко В.Г., Заикин П. H., Ишханов Б. С., Меченов А.С., О расчете сечения фотоядерной реакции по экспериментальной информации. Вестник МГУ. Физика, астрономия. 3 (1973), с. 317-325.

7. Вапник В.П., Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, (1979).

8. Пытьев Ю.П., Методы анализа и интерпретации эксперимента. М. МГУ, (1990).

9. Гришин В.К., Ишханов Б.С., Лихачев С.П. Родионов Д.А., Высокоэффективный источник тормозного излучения. Можно ли управлять качеством излучения тормозного источника?, Вестник МГУ. Сер.З, №3, (1998), с. 56.

10. Бородина С.С., Ишханов Б.С., Капитонов И.М., Родионов Д.А., Юрьев Б.А., Расчеты оптимальных толщин мишеней-конвертеров длягенерации интенсивных пучков тормозного J излучения. Препринт НИИЯФ МГУ №28/435, (1996).

11. Penfold A.S., Leiss J.E., Determination of Photo Cross-Sections from Bremsstrahlung Activation Curves. Phys. Rev., 95, (1954), p. 637-638.

12. Penfold A.S., Leiss J.E. Analysis of photonuclear cross sections. Phys. Rev., 114,(1959), p. 1332-1337.

13. Тихонов A.H., Арсенин В.Я., Методы решения некорректных задач М. Наука, (1979).

14. Тихонов А. Н., О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. ДАН, 151, (1963), с. 501-504.

15. Пытъев Ю.П., Математические методы интерпретации эксперимента. М. Высш. Шк., (1989).

16. Sund R.E., Baker М.Р., Kull L.A., Walton R.B., Phys. Rev., 176, (1968), p. 1366.

17. Варламов B.B., Ишханов B.C., Руденко Д.С., Степанов M.E., Структура гигантского дипольного резонанса в экспериментах на пучках квази-моноэнергетических фотонов. Препринт НИИЯФ МГУ №19/703, (2002).

18. Руденко Д.С., Гигантский дипольный резонанс в фотоядерных экспериментах различного типа. Канд. Дисс., НИИЯФ МГУ, М. (2004).

19. Гришин В.К., Ишханов Б.С., Нефедов Г.С., Восстановление сечений фотоядерных реакций методом кусочного фитирования. Вестник МГУ. Сер. 3, №3, (2003), с.45-48.

20. Гришин В.К., Живописцев Ф.А., Иванов В.А., Математическая обработка и интерпретация физического эксперимента. М. МГУ, (1988).

21. Ефимкин Н.Г. Анализ данных фотоядерных экспериментов с помощью метода редукции. Канд. Дисс., НИИЯФ МГУ, М. (1993).

22. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В, Ягола А.Г., Численные методы решения некорректных задач. М. Наука, (1990).

23. Дорофеев К. Ю., Титаренко В. JL, Ягола А.Г., Алгоритмы построения апостериорных погрешностей некорректных задач. Журнал вычислительной математики и математической физики., 43, №1, (2003), с. 12-25.

24. Гришин В.К., Ишханов Б.С., Нефедов Г.С., Восстановление сечений фотоядерных реакций в экспериментах с тормозными гамма-пучками методом прямого подбора модельных данных. Изв. АН, Сер. Физ., 67, № 10,(2003), с.1501-1504.

25. Гришин В.К., Ишханов Б.С., Нефедов Г.С., Восстановление сечений фотоядерных процессов в исследованиях с тормозными у-пучками. Вестник МГУ, Сер. 3, №3, (2002), с. 44-47.

26. Sweldens W., The lifting scheme: A custom-design, construction of biorthogonal wavelets. Journal of Applied and Computational Harmonic Analysis, 3, (1996), p. 186-200.

27. Гришин В.К., Статистические методы анализа и планирования экспериментов. М. МГУ, (1975).

28. Гнеденко Б.В., Курс теории вероятности. М. Физматгиз, (1959).

29. Гмурман В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика. М. Высшая школа, (1999).

30. James F. MINUIT 94.1 (Users Guide), CERN Geneva, 1994.

31. Shiff L.I., Energy-angle distribution of a thin target bremsstrahlung. Phys. Rev.,83, (1951), p. 252-253.

32. Brun R., Bryant F., Maire M., Mc Pherson A.C., Zanarini P., GEANT3.21 (Users Guide), CERN Geneva, (1998).

33. Линник Ю.В., Метод наименьших квадратов. М. Физматгиз, (1962).

34. Ищханов Б.С., Капитонов И.М., Лазутин Е.М., Пискарёв И.М., Шевченко В.Г., Вестник Московского Университета. Физика. Астрономия, 6, 606, (1970).

35. Fultz S.C., Bramblet R.L., Caldwell J.T., Kerr N.A., Phys. Rev., 127, (1962), p. 1273.

36. Fuller E.G., Weiss M.S., Phys. Rev., 112, (1958), p. 560.

37. Смиренкин Г.Н., Солдатов A.C., ЯФ., 59, №2, (1996), с. 203.

38. Солдатов А.С., Вопр. атомной науки и техники. Сер. Ядерные константы. Вып. 1-2., (1997), с. 8.

39. Варламов В.В., Руденко Д.С., Степанов М.Е., Оценка сечений реакций232Th(y,f) и 3AS(y,sri) с помощью метода редукции., Изв. АН, Сер. Физ., 65, №11, (2001), с. 1589-1593.

40. Гришин В.К., Лихачев С.П., Нефедов Г.С., Эффект атомных оболочек в когерентном тормозном излучении быстрых электронов на атомах легких элементов. Вестник Московского университета, сер.З. Физика . Астрономия, №2, (2001), с. 60-62.

41. Grishin V., Likhachev S., Nefedov G., Configurational Splitting of Electron Radiation on Atoms and Its Discovery on Accelerators. Proceeding of International Conference "PAC^OOl", New York, June 2001, p.2535-2537.

42. Блажевич C.B., Гришин B.K., Ишханов Б. С., Насонов Н.Н., Нефедов Г.С., Петухов В.П., Шведунов В.И. Спектральная структура поляризационного излучения релятивистских электронов в алюминии. ЯФ, 63, №11, (2000), с. 2097-2100.

43. Гришин В.К., Нефедов Г.С., Когерентное поляризационное тормозное излучение релятивистских электронов в атомах легких элементов. Поверхность, №4, (2002), с. 53-57.

44. С. де Бенедетти. Ядерные взаимодействия. М. Атомиздат, (1968), с. 253.

45. Блат Дж., Вайскопф В., Теоретическая ядерная физика. М. Издательство иностранной литературы, (1954), с. 628.

46. Мухин К.Н., Экспериментальная ядерная физика. М. Энергоатомиздат, (1983).

47. Ишханов Б.С., Капитонов И.М., Мокеев В.И., Ядерная физика. Издательство МГУ, (1980).

48. Форсайт Дж., Моллер К., Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М. Мир, (1968).

49. Gould Н., Tobochnik J., An Introduction to Computer Simulation Methods Applications to Physical Systems. Addison-Wesley Publishing Company. (1990).

50. Kahaner D., Moler C., Nash S., Numerical Methods and Software. Prentice-Hall International, Inc. (1998).

51. Светозарова Г.И., Козловский A.B., Сигитов E.B., Современные методы программирования в примерах и задачах. М. Наука, (1995).