Восстановление пространственной структуры древовидных объектов по нечетко наблюдаемым проекциям тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат физико-математических наук Корепанов, Андрей Олегович

• Корепанов, Андрей Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Корепанов, Андрей Олегович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДРЕВОВИДНЫХ ОБЪЕКТОВ И ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИХ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СТРУКУТУРЫ ПО

НАБЛЮДАЕМЫМ ПРОЕКЦИЯМ

1.1 Математическая модель пространственного древовидного объекта

1.2 Математическая модель нечетких наблюдений древовидного объекта

1.3 Математическая модель проекции древовидного объекта

1.4 Основные этапы решения задачи восстановления пространственной структуры древовидных объектов

1.5 Проблема устойчивости методов реконструкции пространственной структуры древовидных объектов по нечетко наблюдаемым проекциям 32 Выводы и результаты

ГЛАВА 2 НЕЧЕТКОЕ ПОЛЕ НАПРАВЛЕНИЙ И МЕТОДЫ ЕГО ОЦЕНИВАНИЯ

2.1. Идея нечеткого поля направлений

2.2. Пространство направлений

2.3. Поле направлений

2.4. Нечеткое поле направлений

2.5. Арифметические операции над нечеткими множествами направлений

2.6. Вейвлет-методы оценивания нечеткого поля направлений

2.6.1. Метод оценивания нечеткого поля направлений, основанный на непрерывном вейвлет-преобразовании

2.6.2. Метод оценивания нечеткого поля направлений с использованием дифференциальной геометрии

Выводы и результаты

ГЛАВА 3 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ СТРУКТУРЫ ДРЕВОВИДНЫХ

ОБЪЕКТОВ НА ИЗОБРАЖЕНИЯХ ПРОЕКЦИЙ

3.1 Описание центральной линии проекции ветви древовидного объекта в дискретном представлении

3.2 Задача восстановления центральных линий по опорным точкам

3.3 Восстановление дискретной центральной линии по двум опорным точкам методом динамического программирования

3.4 Алгоритм восстановления центральной линии по двум опорным точкам

3.5 Восстановление центральной линии по множеству опорных точек ф 3.6 Экспериментальные исследования метода восстановления центральных линий

Выводы и результаты

ГЛАВА 4 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СТРУКТУРЫ

ДРЕВОВИДНЫХ ОБЪЕКТОВ

4.1 Восстановление пространственной структуры ветви древовидного объекта по набору центральных линий проекций

4.2 Метод пространственной трассировки с пошаговым согласованием пространственных и проекционных направлений

4.3 Степень наблюдаемости объекта на наборе проекций

4.4 Анализ неблагоприятных случаев расположения проекций

4.5 Экспериментальные исследования метода восстановления пространственной центральной линии древовидного объекта 104 Выводы и результаты

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Восстановление пространственной структуры древовидных объектов по нечетко наблюдаемым проекциям»

Диссертация посвящена разработке информационной технологии восстановления пространственной структуры древовидных объектов по нечетко наблюдаемым проекциям

Актуальность работы

Сложность изучения объектов окружающего мира зачастую связана с невозможностью непосредственного получения информации о пространственной форме объекта в целом. Наблюдению, как правило, доступны лишь отдельные его проекции [16, 18]. Кроме того, объект исследования в процессе получения проекционных данных может в некоторой степени изменять свою пространственную конфигурацию (подвергаться возмущениям), а проекции на этапе регистрации подвергаются воздействию шумов и искажений [29, 57]. Далее в работе такие проекции будем называть нечетко наблюдаемыми, а сами наблюдения будем называть нечеткими. Восстановление пространственной формы объекта в какой-либо определенный момент времени по таким данным не всегда представляется возможным [21, 59, 63]. Вследствие этого возникает задача реконструкции некоторой пространственной формы объекта по набору нечетких проекционных данных.

Предметом исследования настоящей работы является класс нечетко наблюдаемых древовидных объектов. К таким объектам с некоторой степенью приближения можно отнести русла рек, сети дорог, ветви деревьев, сосуды кровеносной системы человека и другие. Примеры древовидных объектов показаны на рисунке 1.1.

В диссертационной работе рассматривается задача восстановления пространственной структуры древовидных объектов по результатам нечетких наблюдений, то есть по результатам наблюдений проекций возмущенных состояний объекта.

Рис. В. 1 — Ангиографические изображения коронарных сосудов

Одним из наиболее ярких примеров задачи восстановления пространственной формы древовидных объектов по нечетким проекционным данным является задача восстановления пространственной структуры коронарных сосудов человека по результатам рентгеновской ангиографии [6*, 28, 57]. Рентгеновская ангиография широко распространена в кардиологии и используется для выявления патологических изменений кровеносных сосудов сердца человека. На основе данных рентгеновской ангиографии выносится решение об операбельности пациента. Однако визуальное наблюдение проекций зачастую не позволяет дать количественное определение характера поражения сосудов, так как пораженный сосуд может выглядеть критическим на одной проекции, в то время как на другой проекции тот же сосуд может не обнаруживать признаков заболевания. Визуальное представление пространственной формы сосудов пациента существенно облегчит врачу определение характера заболевания, позволит наглядно увидеть структуру сердечных сосудов и оценить общее ее состояние в целом.

Решение задачи реконструкции пространственной формы объекта по нечетким проекциям в рамках рассмотренного приложения позволит ускорить диагностирование заболеваний сосудов сердца и повысить его качество. В связи с широким распространением рентгеновской ангиографии в кардиологических клиниках задача реконструкции пространственной структуры древовидных объектов по нечетким проекционным данным представляется актуальной.

Помимо рентгеновской ангиографии задача реконструкции пространственной структуры древовидных объектов по нечетко наблюдаемым проекциям возникает в целом ряде биомедицинских задач, связанных с анализом сосудистой системы человека, таких как задача анализа сосудов глазного дна человека, задача компьютерной томографии сосудов головного мозга [41] и др. Следует также отметить, что восстановление пространственной структуры древовидных объектов может найти свое применение при реконструкции некоторых нерегулярных пространственных форм, например, костной системы человека [38]. Все это указывает на актуальность решаемой в диссертационной работе задачи.

Традиционно задача восстановления пространственной структуры решается либо для статического объекта, либо для набора проекций, наблюдаемых одновременно [28, 49, 51, 52, 56]. Предлагаемые в рамках этого подхода методы позволяют производить восстановление пространственной структуры с высокой точностью, однако обладают существенным недостатком, заключающемся в требовании статичности объекта наблюдения или одновременности регистрации проекций нестационарного объекта. Вследствие этого предлагаемые методы не могут быть использованы в условиях нечетких наблюдений.

Другой широко распространенный способ решения предполагает, что на различных проекциях имеются наборы точек геометрической привязки плоскостей проекций, заведомо являющихся проекциями одной и той же пространственной точки [57, 59, 63, 64, 66]. Предлагаемые в рамках данного подхода методы позволяют производить геометрическую коррекцию проекций и восстанавливать объекты с высокой точностью. Существенным недостатком данного подхода является необходимость задания на проекциях точек пространственной привязки, что, как правило, невозможно, либо определение таких точек является приближенным и может вносить существенную погрешность в результат восстановления. Автору не удалось найти работ, анализирующих зависимость погрешности восстановления пространственной структуры древовидного объекта от погрешности определения точек соответствия.

Отсутствие адекватных подходов и методов восстановления пространственной структуры древовидных объектов по нечетко наблюдаемым проекциям и определяет актуальность настоящей работы. В отличии от рассмотренных подходов в данной работе предлагаются методы восстановления пространственной структуры древовидных объектов в условиях, когда имеются нечеткие проекции и отсутствуют точки геометрической привязки плоскостей проекций.

Обзор существующих методов решения задачи восстановления пространственной структуры древовидных объектов

Существует множество работ, касающихся восстановления пространственных форм объектов, которые могут быть отнесены к классу древовидных. Большинство работ посвящено биомедицинской тематике и описывает восстановление пространственной структуры различных элементов кровеносной системы человека. Все методы реконструкции условно можно разделить на несколько групп.

1. Методы восстановления и анализа пространственной плотности объекта.

Характерной особенностью данных методов является то, что первоначально производится восстановление пространственной плотности (интенсивности) области пространства, содержащей объект, без анализа формы и топологии самого объекта [44, 46, 59, 47]. Визуализация таких объектов может производиться с использованием воксельной графики. Информация об объекте получается при дальнейшем анализе функции пространственной интенсивности. Например, в работах Н. Schmitt [71], W. Е. Higgins и др. [45] предложены методы анализа пространственных ангиограмм, такие как адаптивная пороговая обработка, адаптивная заливка и др., которые позволяют получить информацию о форме исследуемого объекта. В работах Е. Bullitt и S.R. Aylward [29] для выявления пространственного дерева кровеносных сосудов предложен метод анализа «хребтов» пространственной функции интенсивности (аналогичные работы тех же авторов [27, 30, 31, 26]). Метод выделения центральных линий объектов и реконструкции их пространственной формы, на основе анализа восстановленной пространственной интенсивности предложен Y. Kawata, N. Niki, и T. Kumazaki в работе [48].

Рассмотренные методы хорошо работают в условиях, когда пространственная интенсивность может быть восстановлена достаточно точно, либо определена изначально. В условиях, когда имеется малое количество проекций (а также при наличии динамического объекта), при восстановлении пространственной плотности возникают различного рода артефакты [21], которые делают невозможным дальнейший анализ формы объекта. Недостатком рассмотренных методов является также необходимость расстановки набора начальных точек на пространственном изображении, что является непростой задачей для пользователя. 2. Методы, основанные на пространственном моделировании.

Эта группа представляет широкий класс методов связанных с моделированием пространственных объектов и дальнейшим согласованием с имеющимися данными проекций [38, 67]. Например, в работах Y. Sato, T. Araki, M. Hanayama, H. Naito, S. Tamura [70] и T. Kayikcioglu, S. Mitra [49] используется обобщенная цилиндрическая модель сосудов. В работах С. Pellot, A. Herment, M. Sigelle [64], J. A. Fessier, A. Macovski [39] используется эллиптическая модель сечения ветвей объекта для восстановления пространственной формы. Уточнение формы производится в этом случае, например, с использованием алгоритма модельной "закалки" [64] или модифицированным методом Marquardt-Levenberg'a [51, 52]. Одним из наиболее эффективных методов уточнения модели является метод активных контуров, используемый, например, в [56] для уточнения параметров 2?-сплайновой модели сечения ветвей древовидных объекта.

Рассмотренные методы обладают большими возможностями и высокой точностью восстановления объектов в случае, когда имеются согласованные, либо слабо рассогласованные проекции (большинство предложенных методов предназначены для синхронной биплановой съемки объекта). Одним из существенных недостатков рассмотренных методов является необходимость в априорной информации о примерной форме объекта и низкая степень автоматизации.

3. Методы, основанные на анализе изображений проекций и выделении на них ветвей (или их центральных линий) с последующим восстановлением пространственных ветвей (или их центральных лини).

Примерами такого подхода могут служить работы D. L. Parker, J. Wu и R.E. van Bree [63], V. Prinet, O. Monga и J.M. Rocchisani [66], DJ. Stevenson [75]. Рассмотренные работы имеют общую схему восстановления пространственной структуры: на первом этапе производится выделение центральных линий на изображениях проекций, на втором этапе на их основе производится пространственное совмещение и реконструкция объекта.

Данный класс методов является наиболее широким, так как он лишен специфических ограничений на характеристики проекций, присущих другим методам. Такой подход позволяет производить восстановление пространственной структуры объектов в условиях сильного рассогласования проекций (т.е. при наличии погрешности задания геометрических параметров проекций и при регистрации динамического объекта), а также при малом их количестве (2-5 проекций) [28, 57]. Далее, при разработке методов восстановления пространственной структуры древовидных объектов мы будем придерживаться именно этого подхода.

Предложенные в рамках данного подхода методы отличаются в основном способом выделения двумерных центральных линий, и степенью автоматизации процедур восстановления пространственной структуры.

Методы выделения центральных линий на изображениях могут быть также разделены на несколько категорий: (1) методы, основанные на моделировании (работы [68, 55, 60, 32, 65]), (2) методы с использованием нейросетей ([36, 58, 56, 72]), (3) методы трассировки (работы [6*, 78, 42, 62, 33, 44]), (4) методы, основанные на распознавании образов ([69, 35, 63, 66, 25]) и др. Названия категорий говорят сами за себя. Мы не будем подробно описывать существующие методы анализа изображений древовидных объектов, отметим лишь следующее. Анализ литературы показал, что наиболее эффективной при решении рассматриваемой задачи является последняя категория методов, основанных на распознавании образов. Среди существующих методов наиболее перспективными представляются методы, основанные на мультимасштабном анализе изображений [73*, 69, 35, 76], а также методы, основанные на анализе дифференциальных свойств изображений [53*, 66]. Наиболее гибкий аппарат предоставляют методы, являющиеся совмещением указанных подходов, т.е. методы, использующие дифференциальные свойства изображений и мультимасштабный анализ для выделения ветвей (или их центральных линий) на изображениях проекций [25, 53*]. Аналогичные методы с некоторыми модификациями будут использованы для формирования нечетких полей направлений, при разработке методов анализа центральных линий на изображениях проекций древовидных объектов [53*, 73*].

Цель и задачи исследований

Целью работы является разработка математической модели и информационной технологии восстановления пространственной структуры древовидных объектов по нечетко наблюдаемым проекциям. В соответствии с поставленной целью в рамках диссертационной работы решаются следующие задачи:

1. Разработка математической модели нечетких наблюдений пространственных древовидных объектов.

2. Разработка и исследование информационной технологии восстановления пространственной структуры древовидных объектов по нечетко наблюдаемым проекциям.

3. Разработка метода и алгоритма восстановления центральной линии ветви древовидного объекта на изображениях проекций.

4. Разработка метода и алгоритма восстановления пространственной структуры ветви древовидного объекта по набору центральных линий на проекциях.

5. Экспериментальные исследования разработанных алгоритмов на имитационных моделях и на натурных данных.

Научная новизна работы

В диссертации получены следующие новые научные результаты:

1. Математическая модель нечетких наблюдений пространственного древовидного объекта, основанная на описании проекций его возмущенных состояний.

2. Вейвлет-методы построения нечеткого поля направлений, основанные на использовании непрерывного вейвлет-преобразования и методов дифференциальной геометрии.

3. Метод восстановления центральных линий на основе анализа поля направлений с использованием динамического программирования.

4. Метод и алгоритм восстановления пространственной структуры древовидных объектов по нечетко наблюдаемым проекциям, основанный на пространственной трассировке с пошаговым согласованием пространственных и проекционных направлений.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:

1. 6-й Международной конференции "Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии" (РОАИ-2002), Великий Новгород, 2002 г.

2. 17th International Conference on Pattern Recognition (ICPR), г. Кембридж, Великобритания, 2004 г.

3. 7-й Международной конференции "Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии" (РОАИ-2004), (Санкт-Петербург), 2004 г.

4. Конференции «Фундаментальные науки - медицине», Москва, 2004 г. По теме диссертации выполнено 9 работ. Работа [53*] выполнена автором единолично, остальные работы написаны в соавторстве. В работе [6*] автором предложен алгоритм двумерной трассировки сосудов и алгоритм выбора направления движения на основе анализа локальной оценки толщины сосуда. В работах [7*, 8*, 54*] автору принадлежат алгоритм построения полусферы возможных направлений, методы поиска минимумов функции, определенной на сфере, метод пространственной трассировки. В работе [73*] автору принадлежат вейвлет-методы оценивания нечеткого поля направлений. В работе [50*] автором предложен вейвлет-метод оценивания центральных линий кровеносных сосудов. В работе [13*] автору принадлежит метод пространственной трассировки. В работе [19*] автору принадлежит алгоритм оценивания локальных направлений сосудов. В диссертацию включены только результаты, полученные соискателем лично.

Исследования по теме диссертационной работы были поддержаны грантами Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 0301-00642), Американского фонда гражданских исследований и развития (проект CRDF SA-014-02) в рамках российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (BRHE), при финансовой поддержке фонда «Научный потенциал», а также в рамках программы фундаментальных исследований Президиума РАН «Фундаментальные науки - медицине» 2004 г.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту

1. Метод построения нечеткого поля направлений, основанный на использовании непрерывного вейвлет-преобразования и учитывающий локальные пространственно-частотные характеристики изображения при построении характеристической функции принадлежности направлений.

2. Метод построения нечеткого поля направлений, основанный на вычислении кривизны функции яркости, позволяющий производить предварительное оценивание характеристической функции принадлежности направлений и учитывать локальные дифференциальные свойства функции яркости.

3. Решение задачи восстановления центральных линий проекции древовидного объекта с использованием нечеткого поля направлений методом динамического программирования.

4. Алгоритм трассировки с пошаговым согласованием направлений для восстановления пространственной структуры древовидного объекта по нечетко наблюдаемым проекциям при наличии ограниченных возмущений.

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Корепанов, Андрей Олегович

Выводы и результаты

В главе рассмотрены методы восстановления пространственной структуры древовидных объектов по набору двумерных центральных линий. Проведены экспериментальные исследования предложенного метода. 1. Критерий согласованности пространственной центральной линии с центральными линиями наблюдаемых проекций основывается на модели возмущений древовидных объектов и позволяет решить задачу восстановления методом пространственной трассировки с пошаговым согласованием пространственных и проекционных направлений. Задача выбора пространственного вектора центральной линии на каждом шаге работы трассировки сводится к задачи поиска минимума критериальной функции, заданной на сфере.

Предложенный критерий степени наблюдаемости объекта на наборе проекций позволяет производить предварительную оценку возможности и качества восстановления пространственного объекта по данному набору проекций

Экспериментальные исследования показали устойчивость предложенного метода к структурной сложности объекта и к энергии возмущений центральной линии объекта, а. также связь величины отклонения восстановленной центральной линии и степени наблюдаемости исходного объекта на наборе проекций.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе разработана математическая модель нечетких наблюдений пространственных древовидных объектов и информационная технология восстановления пространственной структуры древовидных объектов по нечетко наблюдаемым проекциям. В рамках диссертационной работы получены следующие результаты.

1. Разработана математическая модель нечетких наблюдений пространственных древовидных объектов, основанная на описании проекций возмущенных состояний объекта.

2. Исследованы вейвлет-методы построения нечеткого поля направлений, основанные на использовании непрерывного вейвлет-преобразования и методов дифференциальной геометрии.

3. Предложен и исследован метод восстановления центральных линий на основе анализа нечеткого поля направлений с использованием динамического программирования.

4. Разработана информационная технология восстановления пространственной структуры древовидных объектов по нечетко наблюдаемым проекциям на основе пространственной трассировки с пошаговым согласованием направлений с направлениями центральных линий на проекциях.

5. Предложен количественный показатель степени наблюдаемости объекта на наборе проекций для оценки возможности и качества восстановления пространственной структуры древовидного объекта по данному набору проекций.

6. Проведены экспериментальные исследования по восстановлению пространственной структуры в условиях случайных возмущений на имитационных моделях и на натурных данных, которые показали работоспособность предложенных методов и алгоритмов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Корепанов, Андрей Олегович, 2005 год

1. БеллманР., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования, М.: Наука, 1965, 457 с.

2. Винберг Э.Б., Курс алгебры, M.: Факториал Пресс, 2002, 544 с.

3. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т., Современная геометрия: Методы и приложения, М.: Эдиториал УРСС, Т.1., 1998, 334 с.

4. Игнатьева A.B., Краснощекова Т.И., Смирнов В.Ф., Курс высшей математики, М.: Высшая школа, 1968, 692 стр.

5. Ильясова Н.Ю. Методы и алгоритмы оценивания геометрических параметров диагностических изображений, Дисс. на соиск. учен. ст. канд. техн. наук., Самара, 1997,155 с.

6. Ильясова Н.Ю., Корепанов А.О., Куприянов A.B., Баранов В.Г., Храмов А.Г. «Анализ структуры сосудистой системы сердца методом трассировки изображений проекций», Сб. Компьютерная оптика, N23, 2002, с. 53-57.

7. Ильясова Н.Ю., Корепанов А.О., Куприянов A.B., Храмов А.Г. «Метод определения оптимального пространственного направления сосудов в задаче восстановления 3D топологии коронарной системы», Труды 6-й международной конференции РОАИ-2002., с. 299-303.

8. Ильясова Н.Ю., Корепанов А.О., Куприянов A.B., Храмов А.Г. «Метод определения оптимального пространственного направления сосудов в задаче восстановления 3D топологии коронарной системы», Сб.Компьютерная оптика, N24, 2002, с. 152-154.

9. Ильясова Н.Ю., Устинов A.B., Храмов А.Г. Методы анализа дактилоскопических изображений на основе поля направлений, Научное приборостроение, Т.З, с.89-101,1993, Санкт-Петербург.

10. Князев П.Н., Функциональный анализ, М.: Высшая школа, 1985.

11. Лебедев В.И., Функциональный анализ и вычислительная математика: Учебное пособие, М.: Физматлит, 2000, 296 с.

12. Ли Т.Г., Адаме Г.Э., Гейнз У.М. Управление процессами с помощью вычислительных машин. Моделирование и оптимизация, М.: «Советское радио», 1972, 312 с.

13. Корепанов А.О., Куприянов А.В., Устинов А.В., Храмов А.Г., Ковалёв А.А. «Метод пространственного восстановления коронарных артерий по малому числу ангиографических проекций», Сб.Компьютерная оптика, N 26, 2004, (принята к публикации).

14. Круглов В.В., ДлиМ.И., Годунов Р.Ю., Нечеткая логика и искусственные нейронные сети, М.: Физматлит, 2001, 224 с.

15. Методы компьютерной обработки изображений (под ред. В.А, Сойфера). -М.: Физматлит, 2001.

16. Наттерер Ф., Математические аспекты компьютерной томографии, пер. с англ.-М.: Мир, 1990.

17. Прэтт У., Цифровая обработка изображений, кн. 2, М.: Мир, 1982, 790 с.

18. Реконструкция изображений, под ред. Г. Старка, пер. с англ., М.: Мир, 1992.

19. Тарханов В.И., Геометрическая алгебра язык творческого мышления, Айрэс (С.-Пб.), 2004

20. Хермен Г., Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной томографии, пер. с англ. -М.: Мир, 1983.

21. Шварц Дж., Дифференциальная геометрия и топология, М.: Мир, 1970.

22. Antoine J.-P. and MurenziR., Two-dimensional directional wavelets and the scale-angle representation, Signal Proc. 1996. -No.53. - P. 259-281.

23. Antoine J.-P., Vandergheynst P., and Murenzi R., Two-dimensional directional wavelets in image processing, Int. J. Imag. Syst. Tech. 1996. -No.7: - P. 152-165.

24. Armande N., Montesinos P., and Monga O., Thin nets extraction using multi-scale approach, Computer Vision and Image Understanding, vol. 73, pp. 248257,1999.

25. Aylward S.R. and Bullitt E., Initialization, noise, singularities, and scale in height ridge traversal for tubular object centerline extraction, IEEE Trans, on Med. Img., vol. 21, pp. 61-75, February 2002.

26. Aylward S.R., Pizer S., Bullitt E., and Eberl D., Intensity ridge and widths for tabular object segmentation and registration, in Wksp on Math. Methods in

27. Biomed. Image Analysis,^- 131-138, 1996.

28. Blondel C., Vaillant R., Devernay F., Malandain G., Ayache N., Automatic trinocular 3D reconstruction of coronary artery centerlines from rotational X-ray angiography, CARS, 2002

29. Bullitt E. and Aylward S.R., Analysis of time-varying images using 3D vascular models // in Proc. Applied Imagery Pat. Recog. Works., pp. 9-14, October 2001.

30. Bullitt E., Aylward S.R., Smith S., Mukherji K., JiroutekM., and MullerK., Symbolic description of intracerebral vessels segmented from mra and evaluation by comparison with x-ray angiograms, IEEE Medical Image Analysis, vol. 5, pp. 157-169, 2001.

31. ChanR.C., Karl W.C., and LeesR.S., A new model-based technique for enhanced small-vessel measurements in x-ray cine-angiograms, IEEE Trans, on Med. Img, vol. 19, pp. 243-255, March 2000.

32. Chandrinos K.V., Pilu M., Fisher R.B., and Trahanias P.E., Image processing techniques for the quantification of atherosclerotic changes, in Mediterranian Conf. Medical and Bio. Eng. and Computing, June 1998.

33. Chui C., An Introduction to Wavelets, San Diego, Academic Press, 1992.

34. Chwialkowski M.P., Ibrahim Y.M., Hong F.L., and Peshock R.M., A method for fully automated quantitative analysis of arterial flow using flow-sensitized MR-images, Comp. Med. Imaging and Graphics, vol. 20, pp. 365-378, 1996.

35. Cronemeyer J., HeisingG., and Orglmeister R., A fast skeleton finder for parallel hardware, in IEEE Computers in Cardiology, pp. 23-26, 1992.

36. Daubechies I., Ten Lectures on Wavelets, CBMS-NSF Reg. Conf. Series in Appl. Math. 61, Soc. Ind, Appl. Math., Philadelphia. 1992.

37. Dong Y., Hillman G.R., Three-dimensional reconstruction of irregular shapes based on a fitted mesh of contours, Image and Vision Computing, 19 (2001), 165 176.

38. Fessler J.A. and Macovski A., Object-based 3-d reconstruction of arterial trees from magnetic resonance angiograms, IEEE Trans, on Med. Img, vol. 10, pp. 25-39, March 1991.

39. Geometric Computing with Clifford Algebras: Theoretical Foundations and Applications in Computer Vision and Robotics / Ed.: G. Sommer. Berlin etc.: Springer-Verlag, 2001, p. 542.

40. HarisK., Efstratiadis S.N., Maglaveras N., and Pappas C., Semi-automatic extraction of vascular networks in angiograms, in IEEE Conf. Eng. in Medicine and Bio., pp. 1067-1068, 1997.

41. Hart M. and Holley L., A method of automated coronary artey tracking in unsubtracted angiograms, in IEEE Computers in Cardiology, pp. 93-96, 1993.

42. HestenesD. and ZieglerR., Projective Geometry with Clifford Algebra // Acta Applicandae Mathematicae, Vol. 23, (1991) 25-63.

43. Higgins W.E., Sypra W.J.T., Karwoski R.A., and Ritman E.L., System for analyzing hig-resolution three-dimensional coronary angiograms, IEEE Trans, on M?d. Img., vol. 15, pp. 377-385, June 1996.

44. Higgins W.E., Spyra W.J.T., RitmanE.L., Kim Y., and SpelmanF.A., Automatic extraction of the arterial tree from 3-d angiograms, in IEEE Conf. Eng. in Medicine and Bio., vol. 2, pp. 563-564, 1989.

45. Hunter I.A., Soraghan J J., and McDonagh Т., Fully automatic left ventricular boundary extraction in echocardiographic images, in IEEE Computers in Cardiology, pp. 741-744, 1995.

46. Kawata Y., Niki N., and Kumazaki Т., An approach for detecting blood vessel diseases from cone-beam ct image, in IEEE Int. Conf. on Image Processing, pp. 500-503, 1995.

47. Kawata Y., NikiN., Kumazaki Т., and MoonierP.A., Characteristics measurement for blood vessel diseases detection based on cone-beam ct images, in IEEE Nuclear Science Symposium and Medical Imaging Conference, vol. 3, pp. 1660-1664, 1995.

48. Kayikcioglu T. and Mitra S., A new method for estimating dimensions and 3d reconstruction of coronary arterial trees from biplane angiograms, in IEEE Comp.-BasedMed. pp. 153-158, 1993.

49. KitamuraK., Tobis J.M., and SklanskyJ., Biplane analysis of atheromatous coronary arteries, in Proc. Int. Conf. Pattern Rec., vol.2, pp. 1277-1281, 1988.

50. Kitamura K., Tobis J.M., and Sklansky J., Estimating the 3-d skeletons and transverse areas of coronary arteries from biplane angiograms, IEEE Trans, on Med. Img., vol. 7, pp. 173-187, September 1988.

51. Korepanov A.O., Central lines extraction on the diagnostic vessel images using the methods of wavelet-analysis and differential geometry //

52. Proceedings of the 7th International Conference on Pattern Recognition and Image Analysis (PRIA-7-2004), Vol. 3, pp. 740-743, 2004.

53. Kozerke S., Botnar R., Oyre S., Scheidegger M.B., Pedersen E.M., and BoesingerP., Automatic vessel segmentation using active contours in cine phase contrast flow measurements, J. of Mag. Res. Imaging, vol. 10, pp. 4151, July 1999.

54. Molina C., Prause G., Radeva P., and Sonka M., 3D catheter path reconstruction from biplane angiograms, in SPIE, vol. 3338, pp. 504-512, 1998.

55. Mourgues F.,Devernay F., Malandain G., and Coste-Maniere E., 3D+t Modeling of Coronary Artery Tree from Standard Non Simultaneous Angiograms // in Proc. on MICCAI. 2001. - P. 1320 1322.

56. Nekovei R. and Sun Y., Back-propagation network and its configuration for blood vessel detection in angiograms, IEEE Trans, on Neural Nets, vol. 6, pp. 64-72, January 1995.

57. Niki N., Kawata Y., Satoh H., and Kumazaki T., 3D imaging of blood vessels using x-ray rotational angiographic system, IEEE Med. Imaging Conf., vol. 3, pp. 1873-1877, 1993.

58. O'DonnellT., BoultT.E., FangX., and Gupta A., The extruded generalized cylinder: A deformable model for object recovery, in Proc. of the IEEE Conf on CVPR, pp. 174-181, 1994.

59. Ososkov G., and Shitov A., Gaussian Wavelet Features and their Applications for Analysis of Discretized Signals, Computer Physics Communications, vol.126, 2000, pp. 149-157.

60. Park S., Lee J., Koo J., Kwon O., and Hong S., Adaptive tracking algorithm based on direction field using ml estimation in angiogram, in IEEE

61. Conference on Speech and Image Technologies for Computing and Telecommunications, vol. 2, pp. 671-675, 1997.

62. Parker D.L., WuJ., and BreeR.E. van, Three dimensional vascular reconstruction from projections: A theoretical review, in IEEE Conf Eng. in Medicine and Bio., 1988.

63. PellotC., HermentA., and SigelleM., A 3d reconstruction of vascular structures from two x-ray angiograms using an adapted simulated annealing algorithm, IEEE Trans, on Med. Img, vol. 13, pp. 48-60, March 1994.

64. Petrocelli R.R., ElionJ., and ManbeckK.M., A new method for structure recognition in unsubtracted digital angiograms, in IEEE Computers in Cardiology, pp. 207-210, 1992.

65. Prinet V., Monga O., and Rocchisani J.M., Multi-dimensional vessel extraction using crest lines, in IEEE Conf. Eng. in Medicine and Bio., vol. 1, pp. 393-394, 1997.

66. Rockwood A.P., Winget J., Three-dimensional object from two dimensional images, Computer-Aided Design, Vol. 19, No.4, 1997, 279 285.

67. RueckertD., Burger P., ForbatS.M., Mohiaddin R.D., and YangG.Z., Automatic tracking of the aorta in cardiovascular mr images using deformable models, IEEE Trans, on Med. Img., vol. 16, pp. 581-590, October 1997.

68. Sarwal A. and Dhawan A.P., 3-d reconstruction of coronary arteries, in IEEE Conf. Eng. in Medicine and Bio., vol. 1, pp. 504-505, 1994.

69. Sato Y., Araki T., Hanayama M., Naito H., and Tamura S., A viewpoint determination system for stenosis diagnosis and quantification in coronary angiographic image acquisition, IEEE Trans, on Med. Img., vol. 17, pp. 121137, February 1998.

70. Schmitt H., Grass M., Rasche V., Schramm O., Haehnel S., and Sartor K., An x-ray-based method for the determination of the contrast agent propagation in 3-d vessel structures, IEEE Trans, on Med. Img, vol. 21, pp. 251-262, March 2002.

71. Shiffman S., Rubin G.D., and Napel S., Semiautomated editing of computed tomography sections for visualization of vasculature, vol. 2707, SPIE, 1996.

72. Soifer V.A., Khramov A.G., Korepanov A.O. "Fuzzy Direction Field Method for Fringe and Tree-like Patterns Analysis", Proceedings of the 17th International Conference on Pattern Recognition (ICPR), Vol. 2, pp.779-782, 2004.

73. Soifer V.A., Kotlyar V.V., Khonina S.N., and Khramov A.G., The Method of the Directional Field in the Interpretation and Recognition of the Images with Structure Redundancy // Pattern Recognition and Image Analysis, v.6, No.4, pp.710-724 (1996).

74. Stevenson D.J., Working towards the automatic detection of blood vessels in x-ray angiograms, Pattern Rec. Let., vol. 6, pp. 107-112, July 1987.

75. Summers P.E. and Bhalerao A.H., Derivation of pressure gradients from magnetic resonance angiography using multi-resolution segmentation, in Proceedings of International Conference on Image Processing and its Applications, pp. 404-408, 1995.

76. SuterJ., Geometric Algebra Primer, http://home.student.utwente.n1/i.suter/, 2003.

77. Tolias Y. and Panas S.M., A fuzzy vessel tracking algorithm for retinal images based on fuzzy clustering, IEEE Trans, on Med. Img., vol. 17, pp. 263273, April 1998.