Метод поля направлений в анализе и интерпретации диагностических изображений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, доктор технических наук Храмов, Александр Григорьевич

• Храмов, Александр Григорьевич
• доктор технических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор технических наук Храмов, Александр Григорьевич

ВВЕДЕНИЕ.

1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ.

1.1 Концепция поля направлений.

1.2 Поле направлений на плоскости.

1.3 Комплексное направление на плоскости.

1.4 Нечеткое поле направлений.

1.5 Определение направления на основе вторых производных функции яркости.

Выводы и результаты по главе 1.

2 ЧИСЛЕНННЫЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОЦЕНИВАНИЯ ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ.

2.1 Классификация алгоритмов оценивания поля направлений.

2.2 Проекционно-дисперсионные алгоритмы.

2.3 Методы параметрической аппроксимации.

2.4 Методы фазовой маски.

2.5 Спектральный метод.

2.6 Дифференциальные методы.

2.7 Методы локальных градиентов.

2.8 Исследование погрешностей оценивания поля направлений методом имитационного моделирования.

2.9 Модифицированный дисперсионный алгоритм.

2.10 Оценивание нечеткого поля направлений и локальной структурной функции.

Выводы и результаты по главе 2.

МЕТОД ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ РЕШЕНИЯ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ ДИАГНОСТИКИ.

3.1 Метод поля направлений.

3.2 Анализ данных каротажных измерений.

3.3 Анализ кристаллограмм слезной жидкости и кровяной плазмы.

3.4 Анализ и интерпретация дактилоскопических изображений.

3.5 Восстановление пространственной структуры коронарных сосудов по плоским рентгеновским проекциям.

3.6 Анализ изображений кровеносных сосудов глазного дна.

3.7 Восстановление фазовой функции интерферограммы.

Выводы и результаты по главе 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод поля направлений в анализе и интерпретации диагностических изображений»

Диссертационная работа посвящена разработке математического аппарата поля направлений и созданию на его основе методов, алгоритмов и информационных технологий, позволяющих решать практические задачи анализа и интерпретации диагностических изображений, содержащих древовидные и сетчатые структуры.

Актуальность работы

Согласно определениям «Большой советской энциклопедии» под анализом (от греческого analysis - разложение, расчленение) понимается процедура мысленного или реального расчленения предмета (явления, процесса) на части (признаки, свойства), в том числе классификация в случае, если анализируемый объект рассматривается как представитель некоторого класса объектов, под интерпретацией (от латинского interpretatio - истолкование, объяснение) в математике понимается совокупность значений, придаваемых тем или иным способом элементам (выражениям, формулам) какой-либо естественнонаучной теории, а диагностикой (от греческого diagnostikos - способный распознавать) называется процесс распознавания болезни, т. е. установление диагноза (в медицине) или организация процессов диагностирования технического состояния объектов (деталей, узлов, устройств, изделий, систем, а также процессов передачи, обработки и хранения информации).

В настоящей работе под диагностическими изображениями понимаются изображения, полученные с целью осуществления медицинской или технической диагностики. Под анализом диагностических изображений понимается разложение целого изображения на его геометрические составляющие части (области, контуры, отрезки, дуги, ветви) и оценивание соответствующих величин (длин, углов, площадей, периметров).

Математический анализ в широком смысле - это разработка приемов вычислений и их применение решению различных вопросов о величинах. Здесь мы можем говорить о «геометрическом анализе» изображений, имея в виду измерение геометрических параметров зарегистрированного на изображении объекта и дальнейшую интерпретацию состояния объекта на основе полученных оценок геометрических параметров.

Интерпретация диагностических изображений в диссертации рассматривается, как правило, в аспекте дословного перевода с латинского - «посредничество». При этом информационные технологии выступают для специалиста-диагноста «посредником» в «истолковании» и «объяснении» диагностируемого объекта по диагностическому изображению. В ряде случаев речь может идти об автоматической интерпретации, например, при идентификации личности по дак-тилограмме.

Характерной особенностью рассматриваемого класса диагностических изображений является сетчатая или древовидная структура распределения яркости. Примерами таких диагностических изображений являются интерферограм-мы (информация о состоянии объекта заключена в геометрической конфигурации интерференционных полос), дактилограммы (информация, идентифицирующая личность, заключена в геометрической конфигурации линий на дактилоскопическом узоре), кристаллограммы (диагностическими параметрами являются размеры и направления кристаллов), изображения кровеносных сосудов (диагностическими параметрами являются толщина сосудов, углы ветвления, кривизна трассы сосудов), изображения, полученные в структурном свете (информация о пространственной форме объекта заключена в смещении полос), изображения, полученные по данным каротажных измерений (информация о границах геологических структур заключена в параметрах синусоидальных контуров).

Другой особенностью рассматриваемого класса изображений является наличие структурной избыточности при их описании при помощи функции яркости. То есть информация об объекте исследования заключена не в значениях функции яркости, а в геометрической конфигурации полос, контуров, границ, то есть некоторых протяженных объектов. В частности, одним из основных геометрических параметров, существенных для анализа и интерпретации рассматриваемого класса диагностических изображений, является локальные направления таких протяженных объектов, которые образуют поле направлений.

С другой стороны, такие традиционные характеристики изображения как яркость, контрастность, спектральный состав не играют существенной роли при анализе таких изображений. Переход от описания изображений при помощи функции яркости к описанию при помощи поля направлений является одним из способов сокращения структурной избыточности и позволяет эффективно решать задачи анализа рассматриваемого класса диагностических изображений.

В отличие от традиционного подхода построения систем анализа, обнаружения, распознавания объектов на изображениях, базирующихся на вычислении абстрактных признаков на основе корреляционно-спектрального подхода, развитого в работах Ярославского, Журавлева, Сергеева, Прэтта и многих других [60, 77, 116, 129, 144], подход на основе анализа поля направлений обладает геометрической инвариантностью. А именно, поле направлений в отличие от спектра изображения сохраняет локальные геометрические свойства такие, как расстояния, углы, сдвиг, масштаб.

Поэтому поле направлений, с одной стороны, является самодостаточным для вычисления простейших геометрических параметров диагностируемого объекта таких, как направления и кривизны полос, с другой стороны, в сложных прикладных задачах диагностики поле направлений может быть использовано как вспомогательный эффективный инструмент анализа, что как раз и обеспечивается геометрической инвариантностью поля направлений. Например, в задаче восстановления пространственной древовидной структуры кровеносных сосудов поле направлений совместно с исходной функцией яркости может быть использовано при трассировке сосудов.

В математике понятие поля направлений используется, в основном, для качественной интерпретации поведения интегральных кривых дифференциальных уравнений, нахождения особых точек, и т.п. [132]. В монографии Мардиа [104] приводится описание теории статистического анализа угловых наблюдений. Однако эта теория не применима для анализа квазипериодических структур, т.к. она основана на традиционной векторной арифметике. В подходе Мардиа к определению поля направлений важным является знак направления, т.е. направления, отличающиеся на 180 градусов, считаются различными. При обработке изображений не имеет смысла понятие знака направления, поэтому данная теория не применима для операций усреднения, фильтрации, оценивания и др.

В монографии о современной дифференциальной геометрии [74] также рассматриваются только вопросы классической геометрии с позиций анализа кривых и поверхностей, заданных аналитически. Наиболее близкой к рассматриваемым в диссертации проблемам является работа Antoine, Vandergheynst, Murenzi [2], в которой рассматривается класс двумерных направленных вейвле-тов для решения задачи выделения контуров и сингулярностей и рассмотрены вопросы масштабно-углового представления изображений и построения фильтров направлений.

Первыми работами, в которых неявно использовалось понятие поля направлений, были работы Сойфера, Храмова, Крайнюкова, Шапошникова, 19911994 [13 ,16 , 98 , 138 ] по восстановлению фазовой функции интерферо-граммы. В работе Ильясовой, Устинова, Храмова, 1993 [89*] поле направлений использовалось при анализе и интерпретации дактилоскопических изображений. В работе Сойфера, Котляра, Хониной, Храмова, 1996 [42*] введено понятие структурной избыточности, даны формальные определения поля направлений и комплексного поля направлений. Метод поля направлений, соответствующие алгоритмы и прикладные задачи были подробно описаны в моногра фии под редакцией Сойфера, 2003 [88 ]. В работе Сойфера, Храмова, Корепа-# нова, 2004 [41 ] впервые были введены понятия нечеткого поля направлений и локальной структурной функции.

В настоящей работе заново переосмысливается и определяется понятие направления, порождаемого функцией яркости, для общего случая многомерного пространства, вводятся арифметические операции над направлениями на плоскости, водится понятие нечеткого поля направлений на основе нечетких множеств Заде [46], разрабатываются численные методы и алгоритмы построения поля направлений и создается универсальная информационная технология, позволяющая решать задачи анализа и интерпретации диагностических изображений.

Актуальность настоящей работы определяется необходимостью создания математического аппарата поля направлений, а также разработки и исследования новых информационных технологий анализа и интерпретации диагностических изображений в различных областях техники и медицины. Разработанный в диссертации метод поля направлений дает возможность с единых позиций решать задачи анализа и интерпретации различных диагностических изображений, содержащих сетчатые и древовидные структуры.

Целью настоящей диссертационной работы является разработка математического аппарата поля направлений и создание на его основе информационной технологии, позволяющей решать практические задачи анализа и интерпретации диагностических изображений, содержащих древовидные и сетчатые структуры.

Задачи, решаемые в настоящей работе

1. Обобщение классических понятий направления и поля направлений применительно к задачам обработки диагностических изображений.

2. Разработка математического аппарата комплексного поля направлений и нечеткого поля направлений. Определений соответствующих линейных и нелинейных интегральных операций над этими полями.

3. Разработка численных методов и алгоритмов оценивания поля направлений, ориентированных на различные классы диагностических изображений, и их исследование методами имитационного моделирования.

4. Разработка информационных технологий устранения структурной избыточности с использованием поля направлений и построение на этой основе систем анализа и интерпретации диагностических изображений.

5. Решение ряда актуальных прикладных задач анализа и интерпретации диагностических изображений в медицине и технике.

Научная новизна

1. Обобщены классические понятия направления и поля направлений. Направление определяется по индикаторной функции над полем яркости изображения.

2. Разработан математический аппарат комплексного поля направлений, позволяющий выполнять арифметические операции над направлениями и операцию линейной фильтрации над полями направлений.

3. Предложено определение нечеткого поля направлений и на его основе разработаны соответствующие методы анализа изображений.

4. Разработан ряд новых численных методов и алгоритмов оценивания поля направлений, ориентированных на различные классы диагностических изображений.

5. Предложен метод поля направлений и на основе него разработаны соответствующие информационные технологии анализа диагностических изображений, содержащих древовидные и сетчатые структуры.

На защиту выносится:

1. Обобщение классического определения направления, выполненное на основе индикаторной функции направлений над полем яркости.

2. Математический аппарат комплексного поля направлений, позволяющий выполнять арифметические операции над направлениями (сложение, вычитание, скалярное произведение, норма) и операцию линейной фильтрации над полями направлений.

3. Понятие нечеткого поля направлений и соответствующие математические операции над ним.

4. Численные методы и алгоритмы оценивания поля направлений, ориентированные на диагностические изображения, содержащие сетчатые и древовидные структуры.

5. Информационные технологии устранения структурной избыточности изображений на основе метода поля направлений.

6. Результаты решения актуальных практических задач анализа и интерпретации ряда диагностических изображений.

Теоретическая значимость работы заключается в формулировке понятия направления, порожденного функцией яркости, в определении понятий комплексного поля направлений, нечеткого поля направлений, построении арифметических операций над направлениями и линейных и нелинейных интегральных операций над полем направлений.

Практическая значимость работы заключается в разработке и исследовании численных методов и алгоритмов построения поля направлений, а также в разработке информационной технологии анализа диагностических изображений различной природы в технических и медицинских приложениях с использованием принципа устранения структурной избыточности.

Апробация работы проводилась на следующих Международных, Всесоюзных и Всероссийских научных конференциях:

• 5-th International Workshop on Digital Image Processing and Computer Graphics (1994),

• 2-я международная конференция «Распознавание-95» (Курск, 1995),

• 13-th Biennial international conference «Biosignal-96» (Брно, 1996),

• 5-я международная конференция «Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии» (Самара, 2000),

• 12-th Scandinavian Conference on Image Analysis (Берген, Норвегия, 2001),

• 7-th International Symposium on Laser Metrology Applied to Science, Industry, and Everyday Life (Новосибирск, 2002),

• Конференция на 7-й Международной выставке «Samara MedExpo 2002» (Самара, 2002),

• 6-ая Международная конференция «Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии» (Великий Новгород, 2002),

• Конференция РАН «Фундаментальные науки - медицине» (Москва, 2004),

• 17-th International Conference on Pattern Recognition (Кембридж, Англия, 2004).

По теме диссертации опубликована 41 работа в международных и центральных научных изданиях и в трудах научно-технических конференций, в том числе глава «Метод поля направлений» в коллективной монографии под редакцией В.А.Сойфера «Методы компьютерной обработки изображений» (М: Физматлит, издание второе, 2003, с.459-525). Под руководством соискателя выполнено и защищено три кандидатские диссертации. Имеется патент на изобретение [6 Г].

1 МАТЕМАТИЧЕСКИИ АППАРАТ ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ

В этой главе описывается математический аппарат поля направлений, вводятся определение направления, операции над направлениями, понятия комплексного поля направлений, нечеткого поля направлений и локальной структурной функции.

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Храмов, Александр Григорьевич

Основные результаты работы

1. Применительно к задачам обработки изображений дано обобщение классических понятий направления и поля направлений. Направление определяется по индикаторной функции над полем яркости изображения.

2. Разработан математический аппарат комплексного поля направлений, позволяющий выполнять операции линейной и нелинейной фильтрации, и ряд других стандартных для обработки изображений операций в пространстве направлений.

3. Предложено определение нечеткого поля направлений и на основе теории нечетких множеств разработаны соответствующие методы анализа изображений, которые позволили решить ряд прикладных задач.

4. Разработан ряд численных методов и алгоритмов оценивания поля направлений, ориентированных на различные классы диагностических изображений. Проведено исследование погрешности алгоритмов оценивания методами имитационного моделирования.

5. Предложены информационные технологии устранения структурной избыточности изображений на основе метода поля направлений, что стало основой построения систем анализа и интерпретации диагностических изображений.

6. Решен ряд актуальных практических задач анализа и интерпретации диагностических изображений (данных каротажных измерений, кристаллограмм, дактилограмм, изображений сосудов) с использованием метода поля направлений. Доказана эффективность использования поля направлений при анализе и интерпретации диагностических изображений с сетчатой или древовидной структурой распределения яркости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе разработан математический аппарат поля направлений, разработаны численные методы и алгоритмы оценивания поля направлений и созданы информационные технологии решения прикладных задач анализа и интерпретации диагностических изображений.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Храмов, Александр Григорьевич, 2006 год

1. Antoine J.-P., MurenziR. Two-dimensional directional wavelets and the scale-angle representation// Signal Processing, No.53, 1996, pp.259-281.

2. Antoine J.-P., Vandergheynst P., MurenziR. Two-dimensional directional wavelets in image processing // Int. J. Imag. Syst. Tech., No.7, 1996, pp. 152165.

3. ArmandeN., Montesinos P., MongaO. Thin nets extraction using multi-scale approach // Computer Vision and Image Understanding, vol.73, 1999, pp.248257.

4. Aylward S.R., Bullitt E. Initialization, noise, singularities, and scale in height ridge traversal for tubular object centerline extraction // IEEE Transactions on Medical Imaging, vol.21, 2002, pp.61-75.

5. Chaudhuri S., Chatterjee S., Katz N., Nelson M., Goldbaum M. Detection of blood vessels in retinal images using two-dimensional matched filters // IEEE Transaction on Medical Imaging, vol.8, No.3, 1989.

6. Chutatape O., Zheng L., Krishnan M.S. Retinal blood vessels detection and tracking by matched Gaussian and Kalman filters // Proceedings of the 20th International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society, Vol.20, No.6, 1998.

7. Khonina S.N., Kotlyar V.V., Soifer V.A., Dvoryanova T.P. Optical-digital method for detecting distortions of microcrystal structure on a tear crystal-logram H Proceedings SPIE, 2363, 1994, pp. 249-255.

8. Langs G., Radeva P., Rotger D., Carreras F. Building and registering parameterized 3D models of vessel trees fir visualization during intervention // Proceedings of the 17th International Conference on Pattern Recognition, Volume 3, pp.726-729, 2004.

9. Lee E.A., Varaiya P. Structure and Interpretation of Signals and Systems. -Berkeley, 2000.-41 lp.

10. Quan L., Wendelhag I., Wikstrand J., Gustavsson T. A multiscale dynamic programming procedure for boundary detection in ultrasonic artery images // IEEE Transactions on Medical Imaging, vol.19, No.2, 2000.

11. Oprea J. Differential geometry and its applications. Prentice-Hall, 1997, 400pp.

12. Gonzales R.C., Woods R.E. Digital image processing Massachusetts: Addison-Wesley, 1992.

13. Greenspan H., Laifenfeld M., Einav S., Barnea 0. Evaluation of center-line extraction algorithms in quantitative coronary angiography // IEEE Transactions on Medical Imaging, vol.20, No.9, 2001.

14. Haris K, Efstratiadis S.N., Maglaveras N., Pappas C. Semi-automatic extraction of vascular networks in angiograms // IEEE Conf. Eng. in Medicine and Bio., 1997, pp. 1067-1068.

15. Higgins W.E., Sypra W.J.T., KarwoskiR.A., RitmanE.L. System for analyzing hig-resolution three-dimensional coronary angiograms // IEEE Transactions on Medical Imaging, vol.15, June 1996, pp.377-385.

16. Higgins W.E., Spyra W.J.T., RitmanE.L., Kim Y., Spelman F.A. Automatic extraction of the arterial tree from 3-d angiograms // IEEE Conf. Eng. in Medicine and Bio., vol.2, 1989, pp.563-564.

17. ParkS., LeeJ., KooJ., Kwon 0., and HongS. Adaptive tracking algorithm based on direction field using ml estimation in angiogram // IEEE Conference on Speech and Image Technologies for Computing and Telecommunications, vol.2, 1997, pp.671-675.

18. Quek F.K.H., Kirbas C. Vessel Extraction in Medical Images by Wave-Propagation and Traceback // IEEE Transactions on Medical Imaging, vol.20, No.2, 2001.

19. RueckertD., Burger P., Forbat S.M., Mohiaddin R.D., Yang G.Z. Automatic tracking of the aorta in cardiovascular mr images using deformable models // IEEE Transactions on Medical Imaging, vol.16, 1997, pp.581-590.

20. Sun Zh., Wang Yu., Tan Т., CuiJ. Robust direction estimation of gradient vector field for iris recognition // Proceedings of the 17th International Conference on Pattern Recognition, Volume 2, pp.783-786, 2004.

21. Tolias Y. and Panas S.M. A fuzzy vessel tracking algorithm for retinal images based on fuzzy clustering 11 IEEE Transactions on Medical Imaging, vol.17, 1998, pp.263-273.

22. Zadeh L.A. Fuzzy sets // Inf. Control No.8,1965, pp.338-353.

23. Zana F., Klein J.-C. A multimodal registration algorithm of eye fundus images using vessels detection and Hough transform // IEEE Transactions on Medical Imaging, vol.18, No.5, 1999.

24. Zana F., Klein J.-C. Segmentation of vessel-like patterns using mathematical morphology and curvature evaluation // IEEE Transactions on Image Processing, vol.10, No.7, 2001.

25. Анализ и обработка изображений: принципы и алгоритмы. Учебное пособие для вузов / В.В.Яншин. -М.: Машиностроение, 1995. 111с.

26. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. М.: Наука, 1976.-344с.

27. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965. - 457с.

28. Беллман Р., Заде Л. Вопросы принятия решений в расплывчатых условиях // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир, 1976.

29. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1989.-448с.

30. Введение в контурный анализ и его приложения к обработке изображений и сигналов. Редактор -Я.А.Фурман. М.: Физматлит, 2003. - 590с.

31. Гельфанд И М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971. - 271с.

32. Геофизические исследования скважин. Под редакцией А.М.Чумичева. -М.: МГГУ, 1993.- 131с.

33. Гренандер У. Лекции по теории образов: Синтез образов. М.: Мир, 1979.

34. Гренандер У. Лекции по теории образов: Анализ образов. М.: Мир, 1981.

35. Гренандер У. Лекции по теории образов: Регулярные структуры. М.: Мир, 1983.

36. Громов М. Знак и геометрический смысл кривизны. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2000. - 128с.

37. Грузман И.С., Киричук B.C., Косых В.П. Цифровая обработка изображений в информационных системах. Новосибирск: НГТУ, 2002. - 352с.

38. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматлит, 1961. - 524с.

39. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. М.: РХД, 2004. - 464с.

40. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Эдиториал УРСС, т.1, 1998. - 334с.

41. Дуда P., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. М.: Мир, 1976. -512с.

42. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М.: Физматлит, 2003. - 584с.

43. Корреляционно-экстремальная обработка изображений / А. Г. Буймов. Под редакцией В. П. Тарасенко. -Томск: Томский университет, 1987.- 132с.

44. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Мир, 1982. -432с.98. * Крайнюков Н.И., Сойфер В.А., Храмов А.Г. Метод выделения центров полос на двумерной интерферограмме // Автометрия, № 1, 1991, с. 115118.

45. Круглое В.В., ДлиМ.И, Голунов Р.Ю. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети. М.: Физматлит, 2001. - 224с.

46. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736с.

47. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: УРСС, 2004. - 388с.

48. Мардиа К.В. Статистический анализ угловых наблюдений. М.: Наука, 1978.-240с.

49. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990.-547с.

50. Математическая энциклопедия в пяти томах. Главный редактор И.М.Виноградов. -М.: Советская Энциклопедия, 1977-1985.

51. Методы компьютерной обработки изображений. Под редакцией В.А.Сойфера. М: Физматлит, издание второе, 2003. - 784с.

52. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. -М.: Мир, 1990.-288с.

53. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. Под редакцией Д.А.Поспелова. М.: Наука, 1986. - 312с.

54. Нечеткие множества и теория возможностей: Последние достижения. Под редакцией Р.Р.Ягера. М.: Радио и связь, 1986. - 405с.

55. Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток. М.: Радио и связь, 1985. - 248с.

56. Обработка изображений на основе теории нечетких множеств: Учебное пособие / В.М.Игнатьев, Ф.А.Данилкин. Тула: ТулГУ, 1997. - 99 с.

57. Оппенгейм Э., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М.: Связь, 1979. -416с.

58. Привалов ИИ Аналитическая геометрия. -М.: Лань, 1966.- 272с.

59. Прикладные нечеткие системы. Под редакцией Т.Тэтано и др. М.: Мир, 1993.-368с.

60. Прэтт У. Цифровая обработка изображений, книга 2. М.: Мир, 1982. -790с.

61. Рабинер Л., Гоулд Т. Теория и применение цифровой обработки М.: Мир, 1978.-848с.

62. Распознавание и цифровая обработка изображений: Учебное пособие для вузов / Б.В.Анисимов, В.Д.Курганов, В.К.Злобин. М.: Высшая школа, 1983.- 295с.

63. Реконструкция изображений. Под редакцией Г. Старка -М .'.Мир, 1992.

64. Самарский А.А. Введение в численные методы. СПб.: Лань, 2005. -288с.

65. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. -М.: Физматлит, 2004. 335с.

66. Сергеев В. В., Фролова Л. Г. Разработка и применение алгоритма цилиндрической полиномиальной аппроксимации изображения в скользящем окне // Автометрия, №1, 1996, с.22-30.

67. Словарь иностранных слов. -М.: Русский язык, 1983.-608с.

68. Ту Дж., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов. М.: Наука, 1986. -411с.

69. Устинов А.В. Рекурсивный метод построения поля частот квазипериодических изображений /'/ Компьютерная оптика, выпуск 19, 1999.

70. Физическая энциклопедия. В 5 томах. Главный редактор А.МЛрохоров. -М.: Советская энциклопедия, Большая Российская энциклопедия, 19881998.

71. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3-х томах. М.: Физматлит, 2001-2002.

72. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания образов. -М .-.Наука, 1979.-368с.

73. Фурман Я.А., Юрьев А.Н., Яншин В.В. Цифровые методы обработки и распознавания бинарных изображений. Красноярск, 1992. - 248с.

74. Хелгасон С. Преобразование Радона. -М.: Мир, 1983. 150с.

75. ХерменГ. Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной томографии. М.: Мир, 1983. - 349с.

76. Чуй К. Введение в вэйвлеты. М.: Мир, 2000. - 412с.

77. Шварц Дж. Дифференциальная геометрия и топология. М.: Мир, 1970. -225с.

78. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. М.: Физматлит, 1996. - 619с.

79. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. М.: Наука, 1977. - 344с.

80. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. М.: Советское радио, 1979. - 311с.

81. Ярославский Л.П. Цифровая обработка сигналов в оптике и голографии: Введение в цифровую оптику. М.: Радио и связь, 1987. - 296с.