Восстановление глубинной температуры тела методом акустической термотомографии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.01, кандидат физико-математических наук Босняков, Михаил Сергеевич

• Босняков, Михаил Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Босняков, Михаил Сергеевич

Введение.

Актуальность темы.

Цель работы.

Задачи исследования.

Методы исследования.

Научные результаты, вынесенные на защиту.

Научная ценность.

Практическая ценность.

Доклады и печатные публикации.

Структура и объем диссертации.

Глава

Обзор литературы и постановка задачи.

1.1 Характеристики теплового акустического излучения.

1.2 Восстановление внутренней температуры биологических объектов.

Глава

Восстановление распределения температуры в плоском акустическом термотомографе в равномерной норме с учетом априорной информации в виде уравнения теплопроводности.

2.1 Вывод функционала для оптимального восстановления температуры в равномерной норме.

2.2 Численное моделирование.

2.3 Выводы.

Глава

Решение обратной задачи акустической термотомографии в полукруглом томографе при наличии шума.

3.1 Экспоненциальное преобразование Радона и его свойства на полукруге.

3.3 Выводы.

Глава

Устранение шума в задаче акустической термотомографии на полукруге.

4.1 Дискретное вейвлет преобразование.

4.2 Ортогональный кратномасштабный анализ.

4.3 Базис вейвлет преобразования для задачи устранения шума в акустояркостном сигнале.

4.4 Поиск оптимального базиса в классе несимметричных функций

4.5 Поиск оптимального базиса в классе симметричных функций

4.6 Выводы.

Глава

Оценки параметров полукруглого томографа.

5.1 Аналитическая оценка предельного значения глубины сканирования.

5.2 Численное моделирование пространственного и амплитудного разрешения.

5.2.1 Численное моделирование эффективности устранения шума

5.2.2 Амплитудное разрешение.

5.2.3 Восстановление и пространственная локализация при больших шумах (PSNR-0.5).

5.2.4 Пространственное разрешение.

5.3 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Восстановление глубинной температуры тела методом акустической термотомографии»

Актуальность темы

Измерение распределения температуры внутри тела даёт существенную информацию для диагностики и мониторинга процессов внутри тела. Наибольшее распространение в медицинской диагностике имели инвазивные методы измерения глубинной температуры с помощью термопар. Введение термопар внутрь тела вызывает ответную реакцию организма и в результате искажает искомое распределение температур. Это привело к тому, что несколько лет назад американское агентство Food and Drug Administration (контроль продуктов и медикаментов) рекомендовало не использовать инвазивные методы определения глубинной температуры. В настоящее время комиссия по новой технике Министерства здравоохранения России также не рекомендует использовать инвазивные датчики температуры. В этой связи, особую актуальность приобретают разработки пассивных неинвазивных методов и приборов измерения распределения температуры внутри тела.

Существует только два физических метода пассивного неинвазивного измерения глубинной температуры тела, основанные на измерении электромагнитного (ИК и СВЧ) или акустического излучения на поверхности нагретого тела. Из-за скин слоя ИК термометрия дает распределение температуры на поверхности тела, а СВЧ термометрия, хотя и позволяет измерить температуру на глубине до 10 см, имеет плохое пространственное разрешение и не удовлетворяет многим задачам медицинской диагностики и мониторинга.

Источником акустического теплового излучения является тепловое движение атомов и молекул исследуемого объекта. Регистрация шумового акустического излучения в ультразвуковом диапазоне называется акустотермометрией (или акустотермографией). Длина акустических волн в ультразвуковом (УЗ) диапазоне (около 1 МГц) составляет приблизительно 1 мм, что потенциально дает лучшее, по сравнению с СВЧ-излучением, пространственное разрешение. Акустическое излучение можно сфокусировать, при этом поперечный размер фокальной области определяется длиной УЗ волн. Фокусировка СВЧ-излучения в рассматриваемых условиях невозможна. Глубина проникновения акустических волн в мегагерцовом диапазоне частот достигает 5-10 см, что выше, чем аналогичный параметр для электромагнитных излучений. Точность акустотермометрии ниже, чем у СВЧ-термометрии (частота приема меньше на три порядка), поэтому для надежной регистрации сигнала требуется большее время (около 1 мин). Заметим, что характерное время установления температуры тканей, обусловленное длительностью процессов теплопереноса, теплопродукции, кровотока, может составлять минуты и даже десятки минут.

Рассматривая тепловое акустическое излучение, необходимо упомянуть термоакустическую эмиссию, возникающую в процессе нагрева исследуемых объектов. Измеряемое акустическое давление пропорционально второй производной температуры объекта по времени, которая в свою очередь зависит от скорости поглощения теплоты. Это дает возможность осуществить термоакустическую компьютерную томографию, с помощью которой можно реализовать новые методы медицинской диагностики и мониторинга процесса лечения. Отметим здесь, что при мониторинге температурного распределения важным является, как можно более точное восстановление амплитуды пика, например, при лечении раковых опухолей методами гипертермии (нагрев опухоли до 42° С±0.3° С) и термоабляции (нагрев опухоли до 100° С)

Результаты предыдущих исследований [1, 5, 37, 39, 8, 40] термоакустической томографии показали, что наибольшую ошибку в определении глубинной температуры вносят методы и алгоритмы восстановления глубинной температуры по результатам измерений акустояркостной температуры на поверхности тела.

Решение обратной задачи акустотермотомографии является некорректно поставленной задачей. Некорректность задачи вызвана двумя причинами - шумом в измеряемом сигнале и плохой обусловленностью томографической матрицы.

Из-за небольшой глубинны проникновения акустического излучения в тело, построить томограф классической конфигурации, когда датчики расположены вокруг тела невозможно. Поэтому ранее изучалось конфигурация акстотермотомографа с расположением датчиков на плоской поверхности тела, которая имеет ряд недостатков. Во-первых, затруднено восстановление пиков температуры, расположенных друг за другом вглубь от поверхности тела. Во-вторых, в такой конфигурации датчиков не удается получить аналитический вид решения.

В этой связи, является актуальным:

1) Исследование возможностей построения акустического термотомографа в такой конфигурации (с расположением датчиков на полуокружности - полукруглый томограф), когда решение может быть получено аналитически;

2) Исследование методов, повышающих точность восстановления глубинной температуры в пике распределения, как для акустотермотомографа с плоской конфигурацией датчиков, так и для полукруглого акустотермотомографа;

3) Оценка достижимых характеристик этих термотомографов по пространственному и амплитудному разрешению распределения температуры внутри тела.

Цель работы

Целью настоящей работы являлось исследование возможностей построения акустического термотомографа в плоской и полукруглой конфигурации и определение достижимых характеристик этих термотомографов по пространственному и амплитудному разрешению распределения температуры внутри тела. Задачи исследования

• Разработать метод и алгоритм учета уравнения теплопроводности в качестве регуляризирующей априорной информации при восстановлении распределения температуры внутри тела в равномерной норме для плоского термотомографа

• Исследовать возможность получения аналитического решения распределения температуры в полукруглой конфигурации акустического термотомографа.

• Исследовать и разработать алгоритмы устранения шума в акустояркостном сигнале на поверхности тела

Получить оценки пространственного и амплитудного разрешения температуры внутри тела в плоской и полукруглой конфигурации акустического термотомографа Методы исследования

В работе использованы следующие методы исследования

• Температурная томография

• Методы учета физической информации в регуляризации некорректно поставленных обратных задач

• Вейвлет-анализ сигналов

• Методы оптимизации

• Численное моделирование

Научные результаты, вынесенные на защиту

1. Метод и алгоритм восстановления глубинной температуры тела в равномерной норме с учетом априорной информации в виде уравнения теплопроводности в задаче акустотермотомографии с плоской конфигурацией датчиков.

2. Аналитическое решение задачи восстановления глубинной температуры круглого тела по результатам измерения акустояркостной температуры на полуокружности

3. Вейвлет базис для класса функций, удовлетворяющих уравнению теплопроводности, с помощью которого осуществляется устранение шума акустояркостного сигнала.

4. Зависимость достижимой глубины восстановления температуры тела в полукруглой конфигурации акустического термотомографа от коэффициента поглощения акустического сигнала и теплофизических характеристик тканей. Оценки амплитудного и пространственного разрешения восстановления температуры в полукруглом термотомографе, полученные методом численного моделирования.

Научная ценность

• Разработан метод восстановления распределения температуры в равномерной норме в задаче акустической термотомографии с плоской конфигурацией датчиков.

• Получено аналитическое решение задачи акустической термотомографии с расположением датчиков на полуокружности.

• Разработан вейвлет базис, позволяющий эффективно устранять шум акустояркостного сигнала.

• Для полукруглого томографа получены аналитические оценки глубинного разрешения в зависимости от коэффициента поглощения акустического излучения и теплофизических характеристик тканей.

Практическая ценность

• Предложена схема акустического термотомографа с расположением датчиков на полукруглой поверхности тела. Использование этой схемы позволяет свести обратную задачу термотомографии к аналитическому решению, что повышает устойчивость, пространственное и амплитудное разрешение восстановления распределения глубинной температуры тела.

• Методом численного моделирования получены оценки пространственного и амплитудного разрешения акустического термотомографа в плоской и полукруглой конфигурации.

Доклады и печатные публикации

Результаты работы докладывались на:

• XI сессии Российского акустического общества по медицинской и биологической акустике, 2001, г.Москва;

• 5ой международной конференции Физика и Радиоэлектроника в Медицине и Экологии, ФРЭМЭ-2002, г. Владимир;

• 5-й Международной конференции "Радиоэлектроника в медицине" 2003, г. Москва.

• I Евразийском конгрессе по Медицинской физике и инженерии "Медицинская физика - 2001", МГУ, г. Москва;

• XLII конференции МФТИ, 2000, г.Москва;

• Международных конференциях «Распознавание образов и анализ изображений»: РОАИ-2000, г.Самара; РОАИ-2002, г.Великий Новгород; РОАИ-2004, г.Санкт-Петербург.

• XI Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов» (ММРО -11) 2003, г. Москва.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 13 печатных работах, приведенных в списке литературы [6,7,11,12, 13,14,15, 16, 45,46,47, 48,49]. Работа поддержана проектами РФФИ № 02-01-00814, № 00-01-00361-а.

Структура и объем диссертации

Диссертация содержит 109 страниц текста, включая рисунки, и состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Приборы и методы экспериментальной физики», Босняков, Михаил Сергеевич

5.3 Выводы

По результатам численного моделирования можно сделать следующие выводы:

1. Впервые аналитически получено предельно достижимое соотношение между коэффициентом затухания акустического сигнала, радиусом полукруга сканирования и градиентом температуры. Таким образом, владея априорной информацией о распределении температуры, учитывая величину прогрева в том или ином методе лечения (гипертермия, термоябляция и др.) и учитывая величину распространения тепла в среде (градиент температуры) можно получить предельные характеристики глубины сканирования от показателя затухания /л, для полукруглого акустического термотомографа, который используется для того или иного метода лечения.

2. Точность амплитудного разрешения, зависит только от эффективности устранения шума. В свою очередь эффективность устранения шума зависит от количества точек в проекции.

3. Точность пространственного разрешения зависит от количества углов сканирования.

4. Пространственное разрешение находящихся рядом пиков температуры не зависит от того, расположены ли пики друг за другом вглубь от поверхности тела или располагаются в ряд на одной глубине. Отметим, что ранее предложенные методы восстановления температуры не позволяли разрешать пики, расположенные друг за другом вглубь от поверхности.

5. Метод является устойчивым к большому уровню шума. Восстановление при высоком уровне шума зависит от количества углов сканирования. Например, при увеличении углов сканирования до 36 (0° до 180° через каждые 5°) возможно восстановление температуры при отношении сигнал / шум PSNR ~0.3 (т.е. уровень шума в 3 раза больше полезного сигнала)

6. В задаче акустической термотомографии возможно восстановление температуры в любой точке окружности диаметром 10 см, при отношении сигнал/шум PSNR -1.7 - 2.2 с амплитудной точностью до 0.3 К и пространственным разрешением до 0.3 см. Данные характеристики полностью удовлетворяют требованиям медицинской диагностики.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Для восстановления амплитуды температуры в глубине тела методом акустотермотомографии с плоской конфигурацией датчиков впервые предложен и обоснован функционал в равномерной норме, учитывающий стационарное уравнение теплопроводности с источником. Решение задачи оптимизации этого функционала дает распределение глубинной температуры тела.

2. Численное моделирование решения обратной задачи акустотермотомографии в плоской конфигурации датчиков в равномерной норме показало, что при соотношении акустояркостного сигнала к шуму больше 25 достигается точность восстановления пика от 3% до 6%. Этот метод эффективен при существенном разогреве внутренних участков тела, а именно, при термоабляции (нагрев до 100° С) раковых опухолей. При меньших нагревах соотношение акустояркостного сигнала к шуму составляет от 2 до 5 и предложенный метод восстановления в равномерной норме не всегда даёт решение.

3. Для решения задачи акустотермотомографии при небольшом разогреве участка тела (порядка 40° С), когда отношение акустояркостного сигнала к шуму составляет от 2 до 5, впервые рассмотрена и обоснована акустотермотомографическая схема сканирования биологических объектов на полукруге. Впервые получено аналитическое уравнение для восстановления распределения температуры по этой схеме в виде интеграла Фредгольма 2-го рода, которое имеет решение в виде ряда Неймана.

4. Из условия сходимости ряда Неймана впервые аналитически получено предельно достижимое значение глубины восстановления температуры в зависимости от коэффициента поглощения акустического сигнала и теплофизических характеристик тканей.

5. Для эффективного устранения шума акустояркостного сигнала на поверхности тела впервые разработан вейвлет базис, учитывающий то, что акустояркостный сигнал является проекцией распределения температуры в глубине тела. Разложение акустояркостного сигнала по этому базису описывается малым числом коэффициентов, что позволяет применить эффективный метод устранения шума вейвлет денойзинг.

6. Численное моделирование восстановления глубинной температуры методом акустотермотомографии в полукруглой конфигурации датчиков показало, что при соотношении акустояркостного сигнала к шуму более 1.7 достигается точность восстановления пика температуры не хуже 0.3 К и пространственное разрешение не хуже чем 0.3 см.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Босняков, Михаил Сергеевич, 2004 год

1.А., Пасечник В.И. Пространственная обратная задача акустотермографии/Акуст. журн. 1994. Т.40. №6. С.885-889

2. Бабий В.И. Перенос акустической энергии в поглощающей и излучающей среде/ Мор. гидрофиз. исслед. 1974. №2(65) С. 189-192

3. Баландин А.В., Мансфельд А.Д., Шишков А.В. Многоканальный акустический термометр/ XI Всесоюзная акустическая конференция, Москва, 1991, Секция О, С.40-43

4. Бограчев К.М., Пасечник В.И. Оценки точности восстановления температуры в пассивной термоакустической томографии/ Акуст. журн. 1999. Т. 45 №6 С.742-752

5. Бограчев К.М., Пасечник В.И. "Оценки пространственной разрешающей способности в пассивной термоакустической томографии" Акуст. журн. 2002. Т. 45. №6. С. 742

6. Бограчев К.М. «Оценка параметров пассивного акустического термотомографа» Автореф. дисс. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук, Москва, 2000 г.

7. Боровиков И.П., Обухов Ю.В., Боровиков В.П., Пасечник В.И. Новые алгоритмы восстановления сигналов и изображений, моделируемых при помощи дифференциальных уравнений/ Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44. #6. С. 1-6

8. Босняков М.С., Обухов Ю.В. «О решении обратной задачи акустотермотомографии» статья в сборнике «Компьютерные модели и прогресс медицины» изд. Наука, 2001, стр.114-127

9. Босняков М.С. "Об одном методе решения обратной задачи акустотермотомографии" тезисы XLII конференции МФТИ стр. 95.

10. Босняков М.С. "Устранение шума в задаче акустотермотомографии в оптимальном базисе вейвлет преобразования" тезисы V Международной научно-технической конференции "Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии" ФРЭМЭ'2002 Владимир, Россия 2002.

11. Босняков М.С., Обухов Ю.В. «Оптимальный вейвлет базис для представления функций удовлетворяющих уравнению теплопроводности.» Труды конференции РОАИ-6-2002, Том 1, с. 8084.

12. Босняков М.С. "Проблема устранения шума при решении обратной задачи акустической термотомографии " доклады 5-й Международной конференции "Радиоэлектроника в медицине", стр.69-72. Москва, 2003 г.

13. Босняков М.С., Обухов Ю.В., «Методы и подходы к решению обратной задачи акустической термотомографии при наличии шума»

14. Доклады XI Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов» (ММРО -11), стр. 250-253 Москва, 2003

15. Буров В.А., Касаткина Е.Е. Статистические обратные волновые задачи термоакустической томографии/ Акуст. журн. 1997. Т. 43. №2.С.162-169.

16. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов. М., Советское радио, 1979 г.

17. Вилков А.Е., Мансфельд А.Д., Рейман A.M., Санин А.Г. Многолучевая акустотермография/III сессия Российского акустического общества. Акустика и медицина, Москва, 1994, С.48-50

18. Владимиров B.C. «Уравнения математической физики» изд. Наука М. 1976

19. Герасимов В.В. Экспериментальное исследование возможностей дистанционного измерения температуры по тепловым акустическим шумам/Автореф. дисс. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук, Фрязино, ИРЭ РАН, 1995,23 с.

20. Герасимов В.В., Гуляев Ю.В., Миргородский А.В., Миргородский В.И., Пешин С.В. Пространственное разрешение пассивной локации наоснове корреляционной обработки 4-го порядка/ Акуст. журн. 1999. Т.45. №4 С.487-493

21. Годик Э.Э., Гуляев Ю.В. Человек "глазами радиофизики" / Радиотехника, 1991, №8, С.51-62.

22. Гуляев Ю. В., К.М. Бограчев, И. П. Боровиков, Ю. В. Обухов, В. И. Пасечник Пассивная термоакустическая томография методы и подходы./ Радиотехника и электроника 1998 Т.43 №9 С. 140-146

23. Гуляев Ю.В., Годик Э.Э., Дементиенко В.В., Пасечник В.И., Рубцов А.А. О возможностях акустотермографии биологических объектов./ Докл. АН СССР. 1985. Т.283. №6. С.1495-1499.

24. Гуляев Ю.В., Годик Э.Э., Петров А.В., Тараторин A.M. «О возможностях дистанционной функциональной диагностики биологических объектов по их собственному инфракрасномуизлучению» Доклады Академии Наук СССР (ДАН). 1984. 277:6. 14861491.

25. Добеши. И. Десять лекций по вейвлетам. Перевод с английского Е.В. Мищенко под редакцией А.П. Петухова.,Москва, Ижевск, 2001

26. Дремин И.М. и др. «Вейвлеты и их использование» Успехи физических наук. 2001 том 171 №5

27. Касаткина Е.Е. Статистические оценки в акустических обратных задачах излучения и рассеяния/ Автореф. дисс. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук, Москва, МГУ, Физический факультет, 2000, 17 с.

28. А. Ю. Крашенинников, А. Д. Мансфельд, Е. В. Кротов, К.В. Ершов «Применение фокусированной антенны для акустической термографии» УЭ в ВШ, Научно-методический журнал, г. Саранск, 2000, Т. 1, С. 16-21;

29. Е.В.Кротов, А.Д.Мансфельд, и др. «Многоканальная акустическая термотомография плоскослоистых сред» УЭ в ВШ, Научно-методический журнал, г. Саранск, 2000, Т. 2, С. 13-17;

30. Миргородский В.И., Герасимов В.В., Пешин С.В. О возможности исследования пространственного распределения источниковнекогерентного излучения с помощью корреляционной обработки/ ЖТФ. Т.66. В.5. 1996. С. 196-202

31. Пасечник В.И. Акустическая термография биологических объектов/ Радиотехника. 1991.№8. С. 77-80.

32. Пасечник В.И. Оценка чувствительности метода акустотермографии/Акуст. журн. 1990. Т.36. №4. С.718-724

33. Пасечник В.И. Сопоставление перспективности применения акустотермографии и СВЧ-радиометрии при гипертермии в онкологии / 2-й всесоюзный симпозиум с международным участием "Гипертермия в онкологии" Минск 30-31 мая 1990 г.

34. Пасечник В.И., Аносов А.А., Бограчев К.М. "Основы и перспективы пассивной термоакустической томографии" Биомедицинская радиоэлектроника, 1999. №2. С.3-26

35. В.И.Пасечник, А.А.Аносов, Ю.Н. Барабаненков, К.М. Бограчев, А.Г. Сельский "Определение глубинной температуры биологических объектов методом пассивной акустической термотомографии" Труды Нижегородской акустической научной сессии, ННГУ, 2002 стр 375378

36. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

37. Тихонов А.Н., Самарский А.А. «Уравнения математической физики». М."Наука".1972.

38. Уроев В.М. «Уравнения математической физики» И. «Яуза» М., 1998

39. Beuthan J., Muller G., Minet О., Albrecht H. «Mathematical model of heat transfer in tissue compared with results from thermography, MRI and laser fluorescence spectroscopy» SPIE. 1992. 1649. p. 139.

40. Bosnyakov M. S., Obukhov Yu. V. "On the solution of the inverse problem of thermo acoustic tomography taking into account a priori information in the form of heat equation" Pattern Recognition and Image Analysis, Vol. 11, No. 2, 2001, pp. 413^116.

41. Bosnyakov M.S., Obukhov Yu.V "Solving ill-posed problems of acoustic tomography including a priori information on the heat equation" proceedings of the Pattern Recognition and Image Analysis international conference. Samara 2000 pp.682-686

42. Bosnyakov M. S., Obukhov Yu. V. "Optimum Wavelet Basis for Representation of the Functions Satisfying the Heat Conduction Equation" Pattern Recognition and Image Analysis Vol. 13 No. 1 2003, pp. 74-76

43. Bosnyakov M.S., Obukhov Yu. V. "On the solution of thermoacoustic tomography inverse problem with the data acquired on semicircle and the presence of noise" Proceedings of 7th international conference on Pattern

44. Recognition and Image Analysis, PRIA-7-2004, Vol. II, pp. 621-624, St-Petersburg, 2004

45. Bowen T. Acoustic passive remote temperature sensing/ Proceedings of the 11th International Symposium of Acoustical Imaging, 1982, V.ll, P.549-581.

46. Bowen T. Acoustic radiation temperature for noninvasive thermometry / Automedica (UK). 1987. V.8. #4. P.247-267

47. Bowen, T. Passive remote temperature sensor system/ U.S.Patent, 4,246,784, Jan. 27, 1981.

48. Bowen T. Radiation-induced thermoacoustic soft tissue imaging/ Proceedings of the IEEE Ultrasonics Symposium 2, 817-822 (1981).

49. Chmill A.I., Gerasimov V.V., Guluaev Yu.V., Mirgorodsky V.I., Peshin S.V. Experimental investigations of the correlation tomography space resolution/ Acoustical Imaging-23, S.Lees ed. New York: Plenum Press, 1997. P.77-86

50. Coifman R., Wickerhauser M. V., "Entropy-Based Algorithms for Best Basis Selection", IEEE Transactions on Information Theory, 1992

51. Candes E, Donoho D., "Recovering edges in ill-posed linear inverse problems: Optimality of curvelet frame," tech.rep., Dept. of Statistics, Stanford University, 2000

52. Donoho D.L. De-noising by soft-thresholding, IEEE Trans, on Inform. Theory, 41(3):613-627, 1995

53. Donoho D.L, Johnstone I.M. (1994) Adapting to Unknown Smoothness via Wavelet Shrinkage. Technical Report, Dep. Statistics, Stanford University.

54. Donoho D., "Nonlinear solution of linear inverse problems by wavelet-vaguelette decompositions," J. of Appl. and Comput. Harmonic Analysis 2(2), pp. 101-126, 1995.

55. Donoho D., Johnstone I., "Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkage," Biometrika 81, pp. 425-455, Decemberl994.

56. Ezrow D.H. Measurements of the Thermal Noise Spectrum of Water / JASA, 1962, V.34, #5, P.550-554

57. Gazelle G.S., Goldberg S.N., Solbiati L., and Livraghi T. "Tumor ablation with radio-frequency energy " Radiology. Dec; V. 217(3). P. 63346, review, 2000.

58. Hessemer R., Perper Т., Bowen T. Correlation thermography/ United States patent 4,416,552, Nov.22, 1983.

59. Kruger R.A., D.R.Reinecke, G.A.Kruger Thermoacoustic computed tomography technical consideration/Med. Phys. 26 1832-1837 (1999)

60. Lai M. J., Roach D., Parameterizations of univariate orthogonal wavelets with short support. Proceedings of Approximation Theory X edited by Chui С. K., Schumaker L. L., Stoeckler J., Vanderbilt Univ. Press, 2002.

61. Kolaczyk E., "A wavelet shrinkage approach to tomographic image reconstruction," J. Amer. Statist. Assoc. 91, pp. 1079-1090,1996.

62. Kunyansky L.A., «А new SPECT reconstruction algorithm based on the Novikov explicit inversion formula», Inverse Problems, 17, 2001, pp. 293306.

63. Natterer F., «The mathematics of computerized tomography»( New-York: Wiley, 1986).

64. Natterer F., «Inversion of the attenuated Radon transform», Inverse Problems, 17, 2001, pp. 113-119.

65. Nguyen M.T., Faust U. Possibilities and limitations of temperature monitoring using ultrasound techniques/ Ultrasonics, 1992, V.30, P.128-131

66. R.G. Novikov, «An inversion formula for the attenuated X-ray transformation», Preprint CNRS, UMR 6629, Departement de Mathematiques, Universite de Nantes, 2000.

67. Noo F., Wagner J.-M. « Image reconstruction in 2D SPECT with 180 acquisition» Inverse Problems, 17, (2001), pp. 1357-1371

68. Passechnik V.I., Anosov A.A. and Bograchev K.M. «Passive thermoacoustic tomography a new kind of acoustic imaging for material testing and medicine», CD ROM Edition, Forum Acusticum, Berlin, March 14- 19, 1999, Collected Papers.

69. Rullgard H. "An explicit inversion formula for the exponential Radon transform using data from 180°" Research Reports in Mathematics #9, 2002, Department of Mathematics Stockholm University

70. Rullgard H., "Topics in geometry, analysis and inverse problems" Doctoral dissertation 2003, Department of Mathematics, Stockholm University, Sweden. ISBN 91-7265-738-3

71. Samulski T.V., Macfall J., Zhang Y., Grant W., Charles C. «Noninvasive thermometry using magnetic-resonance diffusion imaging potential for application in hyperthermic oncology» International Journal of hyperthermia, 1992, 8, 819-829

72. Stein, С. (1981). Estimation of the mean of a multivariate normal distribution, Ann. Statist., 9, 1135—1151.

73. Tretiak O.J., Metz C., «The exponential Radon transform»,SIAM J. Appl. Math., 39, 1980, pp. 341-354.

74. Zhang Y., Samulski T.V., Joines W.T., Mattiello J., Levin R.L.,Lebihan D. «On the accuracy of noninvasive thermometry using molecular-diffusion magnetic-resonance-imaging.» International Journal of hyperthermia, 1992, 8, 263-274.

75. Zhuang Y., Baras J.S. «Existence and Construction of Optimal Wavelet Basis for Signal Representation» CSHCN T.R. 94-9 (ISR T.R. 94-28)

76. Zou H. and Tewfik A.H. ,"Parametrization of compactly supported orthonormal wavelet ,'TEEE Trans.signal processing,ppl 428-1431,March,1993.