Влияние запаздывания на периодические колебания в консервативных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Захаров, Андрей Владимирович

• Захаров, Андрей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Захаров, Андрей Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

1 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ С МАЛЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

1.1 Существование периодических решений

1.2 Устойчивость периодических решений

1.3 Численный эксперимент

2 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ С ПОСТОЯННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

2.1 Постановка и обсуждение задачи.

2.2 Асимптотика периодических решений консервативной системы с малыми амплитудами

2.3 Устойчивость квазигармонического дифференциального уравнения с запаздыванием.

2.4 Асимптотические свойства периодических решений.

2.5 Устойчивость периодических решений

3 ВЛИЯНИЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ

3.1 Математическая модель.

3.2 Исследование устойчивости положений равновесия системы функционально-дифференциальных уравнений.

3.3 Существование периодических решений системы функционально-дифференциальных уравнений при малых значениях параметра

3.4 Существование периодических решений системы функционально-дифференциальных уравнений при малых значениях параметра h

3.5 Численное исследование поведения решений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние запаздывания на периодические колебания в консервативных системах»

История вопроса. Теория нелинейных периодических колебаний дифференциальных уравнений с запаздыванием играет важную роль в исследовании математических моделей динамических систем с последействием. Существенный вклад в ее развитие внесли Ю.Г. Борисович [8], В.Б. Колмановский [52, 119], Ю.С. Колесов [51], М.А. Красносельский [47, 55], Ю.И. Митропольский [64], В.И. Рожков [74], В.П. Ру-баник [75], Ю.А. Рябов [76], С.Н. Шиманов [22, 23, 87, 88], А. Халанай [95], S. Chow [104], J.К. Hale [96, 117], J. Mallet-Paret[104]. Для дифференциальных уравнений с запаздыванием получили развитие известные методы теории нелинейных колебаний: Ляпунова-Пуанкаре, усреднения, бифуркации Андронова-Хопфа, векторных полей. Особое внимание уделялось изучению дифференциальных уравнений с малым запаздыванием. В работах М.А. Красносельского [47], Д.А. Взовского [11], P.P. Ахмерова [5], В.И. Кузнецовой [56], С.Н. Шиманова [22], А.В. Курныша [57], Х.Р. Латипова и Ф.У. Носирова [60], В.В. Матросова [63], Ю.Ф. Долгого [19], С.В. Богатовой [6, 7], Е. Fridman [110], D.W. Luse [124] показано, что введение малого запаздывания в систему дифференциальных уравнений может существенно изменить качественную картину поведения ее решений. Вопросы существования и устойчивости периодических решений наиболее разработаны для дифференциальных уравнений второго порядка. Здесь можно отметить работы: К.Г. Молловой [67, 68], А.Ю. Коломийца [53], Д.С. Кащенко [44, 45], А.Ю. Колесова [48-50], Н.Х. Розова [48], Л.З. Фишмана [93, 94], D.E. Gilsinn [112], Z. Guo, Y. Xu [116, 131], S. Lu, W. Ge [123], S. Ma, Q. Lu [125], T. Furumochi [111], G. Metzen [126], K. Wen, P. Chen, J.S. Turnes [133], F.G. Boese [101], B. Zhang [136].

Объект исследования и основные результаты. В консервативной системе с одной степенью свободы, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением d2x + f{x)=0, хе(-а,а), (0.1) где / - непрерывная нечетная функция на интервале (—а, а), f(x) > 0 при х € (0, а), существует однопараметрическое семейство периодических решений, период которых зависит от начальных условий. В работах Л.С. Понтрягина [73], A.M. Каца [43], И.Г. Малкина [61], В.Н. Тхая [80, 82] установлено, что малые неконсервативные возмущения консервативной системы могут привести к распаду семейства периодических решений и появлению устойчивых предельных циклов. В настоящей работе возмущающим фактором для уравнения (0.1) является запаздывание. Показано, что его введение в описание математической модели консервативной системы также может привести к распаду семейства периодических решений и появлению устойчивых предельных циклов.

В первой главе консервативная система возмущается малым запаздыванием. Исследованию дифференциальных уравнений с малым запаздыванием посвящено большое количество научных работ [5-7,19, 47, 56, 57, 63, 68, 83,110], в которых изучались также и периодические решения. Специфика настоящей постановки связана с возмущением существенно нелинейных систем и учетом свойств симметрии периодических решений невозмущенной системы. Она непосредственно примыкает к постановкам задач в работах JI.C. Понтрягина [73], A.M. Каца [43], И.Г. Малкина [61], В.Н. Тхая [81], но здесь роль неконсервативного возмущения играет запаздывание. Для решения указанной задачи используется метод вспомогательных систем С.Н. Шиманова [16, 89] в теории Ляпунова-Пуанкаре для систем с запаздыванием. Используя идеи работ И.Г. Малкина [62] для обыкновенных дифференциальных уравнений, удается конкретизировать вид функции Q, задающей уравнение разветвления, и сформулировать конструктивное условие существования периодических решений. Реализация в задаче устойчивости периодического решения метода подсчета характеристического показателя в форме разложения по малому параметру осложняется существенной нестационарностью невозмущенного уравнения. Связанные с этим обстоятельством трудности удается преодолеть, учитывая свойства симметрий решений консервативной системы.

Во второй главе возмущение моделируется конечным запаздыванием и ставится задача нахождения периодического решения дифференциального уравнения, период которого совпадает с запаздыванием, с последующим исследованием его устойчивости. Она принадлежит классу задач о периодических решениях с периодами кратными запаздыванию, которые изучались-в работах В.И. Зубова [37], J.L. Kaplan, J.A. Yorke [120]. Значительные трудности возникают здесь при исследовании устойчивости периодических решений с конечными амплитудами. Используя известные результаты Г.Л. Гасилова [12], A.M. Зверкина [36], С.Н. Шиманова [87], Ю.Ф. Долгого [17], эту задачу можно свести к оценке расположения собственных чисел краевой задачи для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с существенно переменными коэффициентами. Для преодоления возникающих трудностей в работе предложен метод изучения движения собственных чисел краевой задачи по комплексной плоскости при изменении специального параметра в коэффициентах системы обыкновенных дифференциальных уравнений. На этом пути удалось свести задачу устойчивости к изучению бифуркаций собственных чисел z краевой задачи в точках г = 1 и г = -1. Применение методов теории возмущений [42], теории самосопряженных краевых задач [69, 98] и учет симметрий, присущих решениям консервативных систем [62, 66], позволило изучить направление движения собственных чисел краевой задачи в малых окрестностях отмеченных точек z = 1 и z = —1. Опираясь на эти результаты, удалось получить достаточные условия устойчивости периодических решений, которые тестировались на конкретных уравнениях с запаздыванием.

В третьей главе изучается влияние запаздывания на движение релятивистской частицы в кулоновском поле. Различные вопросы, связанные с учетом последействия при движении частиц в электромагнитном поле изучались в работах [2, 13, 25, 26, 71, 85, 99, 3, 102, 103, 107, 108, 118, 128-130, 138]. Особое внимание уделялось нахождению специальных круговых орбит [38-40, 84]. В настоящей работе изучаемая математическая модель рассматривается как возмущенная для модели движения релятивистской частицы в кулоновском поле. Показано, что введение запаздывания приводит к появлению изолированных неустойчивых периодических решений и уничтожению семейства почти периодических решений невозмущенной системы.

Краткое содержание работы.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Захаров, Андрей Владимирович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие результаты:

- Получены условия существования изолированных периодических решений для консервативных систем, возмущенных малым запаздыванием.

- Обоснован аналитический признак устойчивости изолированного периодического решения для консервативных систем, возмущенных малым запаздыванием.

- Получены условия существования изолированных периодических решений с периодом, равным запаздыванию, для консервативных систем, возмущенных конечным запаздыванием.

- Разработан бифуркационный метод исследования устойчивости изолированных периодических решений консервативных систем, возмущенных конечным запаздыванием.

- Сформулированы и обоснованы достаточные условия существования изолированных устойчивых периодических решений.

- Изучено влияние запаздывания на движение релятивистской частицы в куло-новском поле.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Захаров, Андрей Владимирович, 2006 год

1. Азбелев Н.В., Малыгина В.В., Симонов П.М. Устойчивость функционально-дифференциальных уравнений с последействием. - Пермь: ПГТУ-ПГУ, 1995. 180 с.

2. Амирханов И.В., Землянская E.B., Пузанин И.В. Релятивистские уравнения для связных состояний с кулоновским и линейным потенциалами // Матем. моделирование. 2000. Т. 12. № 12. С. 79-96.

3. Ангелов В.Г. О трехмерной задаче двух тел классической электродинамики // Докл. Болг. АН. 1988. Т. 41. № 8. С. 17-20.

4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 916 с.

5. Ахмеров P.P. Существование и устойчивость ограниченных решений функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием // Прибл. методы исслед. диффер. уравнений и их прилож. Куйбышев. 1982. С. 3-16.

6. Вогатова С.В. О существовании периодических решений системы дифференциальных уравнений с малым запаздыванием // Деп. в ВИНИТИ 04.12.2001. № 2519-В2001. Рязань. 2001. 20 с.

7. Богатова С.В. Условия существования периодических решений системы дифференциальных уравнений с малым запаздыванием // Тезисы. Вып. 8. М.: Прогресс-Традиция, 2001. С. 132.

8. Борисович Ю.Г., Субботин В.Ф. Оператор сдвига по траекториям эволюционных уравнений и периодические решения // ДАН СССР. 1967. Т. 175. С. 9-12.

9. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Часть I. М.: Наука. 1969. 468 с.

10. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.

11. Взовский Д. А. Эффект малого запаздывания в почти-периодических линейных системах высших порядков // УМЖ. 1983. Т. 35. № 7. С. 740-742.

12. Гасилов Г.Л. О характеристическом уравнении системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 1972. № 4. С. 60-66.

13. Гиль Г. Б. Цепочка ББГКИ для слаборелятивистских систем заряженных частиц с учетом эффекта запаздывания //2 Конфер. мол. ученых физ. фак. Львов, ун-та. Львов. 1986. С. 11-12.

14. Григорьева Е.В., Кащенко С.А. Релаксационные колебания в системе уравнений, описывающих работу твердотельного лазера с нелинейным элементом запаздывающего действия // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27. № 5. Ф С. 752-758.

15. Долгий Ю.Ф. Неустойчивость аналога уравнения Хилла с запаздыванием //

16. Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск: УрГУ, 1984. С. 30-36.

17. Долгий Ю.Ф. Метод вспомогательных систем Шиманова в задаче построения уравнений разветвления// Изв. Урал. гос. ун-та. 2003. № 26. С. 55-65.

18. Долгий Ю. Ф. Устойчивость периодических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом// Автореферат диссертации на соискание ученой степени д. ф.-м. наук. Екатеринбург. 1994. 32 с.

19. Долгий Ю.Ф., Захаров А.В. Периодические колебания в консервативных системах с малым запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41. № 10. С. 1299-1309.

20. Долгий Ю.Ф., Колупаева О. С. Бифуркация Хопфа для дифференциальных уравнений с малым запаздыванием // Вестник ПГТУ. Матем. и приклад, матем. 1997. № 24. С. 84-90.

21. Долгий Ю.Ф., Николаев С.Г. Неустойчивость одной периодической системы с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. № 4. С. 465-470.

22. Долгий Ю.Ф., Николаев С.Г. Устойчивость периодического решения нелинейного дифференциального уравнения с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. № 5. С. 592-600.

23. Долгий Ю.Ф., Шиманов С.Н. Влияние малого запаздывания на устойчивостьканонических систем линейных дифференциальных уравнений // Краевые задачи. Пермь. 1987. С. 31-38.

24. Долгий Ю.Ф., Шиманов С.Н. Существование зоны устойчивости для одного уравнения с запаздыванием // Устойчивость и нелинейные колебания. Сверщ дловск: УрГУ, 1988. С. 11-18.

25. Еленин Г.Г., Мальков К.В. Об одном классе нелинейных эволюционных систем, описывающих процессы кристаллизации // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24. № 6. С. 936-949.

26. Жданов В.И. Конечно-параметрические семейства решений задачи двух тел в динамике в запаздыванием // ДАН УССР. 1983. А. № 7. С. 13-16.

27. Жданов В.И. О двусторонних решениях уравнения движения заряженных частиц с запаздыванием // Изв. вузов. Матем. 1983. № 5. С. 20-25.

28. Захаров А. В. Влияние запаздывания на периодические решения в консервативных квазилинейных системах // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. VII Международный семинар. Тезисы докладов. Москва: ИПУ, 2002. С. 11-13.

29. Захаров А.В. Исследование устойчивости периодических движений в одной нелинейной системе с запаздыванием // Тез. докладов 30-й Регион, молодеж.

30. Щ конф. Екатеринбург: УрО РАН, 1999. С. 30-31.

31. Захаров А.В. Исследование на устойчивость периодических движений в однойконсервативной системе с запаздыванием // Тез. докладов 31-й Регион, молодеж. конф. Екатеринбург: УрО РАН, 2000. С. 40-41.

32. Захаров А.В. О периодических решениях в динамической системе, описывающей движение релятивистской частицы // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ. Воронеж: ВГУ, 2005. С. 66.

33. Захаров А.В. Об устойчивости периодических решений дифференциальногоуравнения второго порядка с запаздыванием // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ. Воронеж: ВГУ, 2003. С. 60-61.

34. Захаров А.В. Периодические решения квазилинейного дифферен-циального уравнения с запаздыванием // Тез. докладов 32-й Регион, молодеж. конф. Ека

35. Щ теринбург: УрО РАН, 2001. С. 112-116.

36. Зверкии A.M. К теории дифференциально-разностных уравнений с запаздываниями соизмеримыми с периодом коэффициентов // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24. № 9. С. 1481-1492.

37. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. М.: Судпромгиз, 1956. 324 с.

38. Зубов В.И. Проблема закручивания пучков заряженных частиц // ДАН. 1994. Т. 335. № 2. С. 142-145.

39. Зубов Н.В. Аналитическая динамика системы тел. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983. 344 с.

40. Зубов Н.В. Колебания и волны. Л.: Изд-во ЛГУ, 1989.

41. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Вл.Х. Математический анализ. Продолжение курса. М.: Изд-во МГУ, 1987.

42. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 720 с.

43. Кац A.M. Вынужденные колебания нелинейных систем с одной степенью свободы, близких к консервативным // Прикл. матем. и механ. 1955. Т. 19, вып. 1. С. 13-32.

44. Кащенко Д. С. Асимптотика простейших аттракторов уравнения второго порядок ка при больших значениях запаздывания // Современные проблемы математики и информатики. Вып. 4. Ярославль. 2001. С. 75-83.

45. Щ 45. Кащенко Д. С. Локальные и нелокальные циклы в уравнении второго порядкас запаздывающей связью // Изв. вузов. Математика. 1999. № 7. С. 12-22.

46. Кащенко С.А. Применение метода большого параметра для исследования динамики системы из двух связанных автогенераторов с запаздыванием // Методы качествен, теории и теории бифуркаций. Горький. 1989. С. 61-73.

47. Козякин B.C., Красносельский М.А. К вопросу о влиянии малых запаздываний на динамику нелинейных систем // Автом. и телем. 1979. N5 1. С. 5-8.

48. Колесов А.Ю. Явления буферности в генераторе Ван-Дер-Поля с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38. № 2. С. 165-176.

49. Колесов А.Ю., Колесов Ю.С. Релаксационные циклы в системах с запаздыванием // Матем. сбор. 1992. Т. 183. № 8. С. 141-159

50. Колесов А.Ю., Колесов Ю.С. Релаксационные циклы дифференциально-разностных уравнений // Изв. АН. Сер. Матем. 1992. Т. 56. № 4. С. 790-812.

51. Ч 51. Колесов Ю.С., Швитра Д.И. Автоколебания в системах с запаздыванием.

52. Вильнюс: Мокслас, 1979. 147 с.

53. Колмаиовский В.В, Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. 448 с.

54. Щ 53. Коломиец В.Г, Коломиец О.В. Об исследовании колебаний в нелинейных системах второго порядка со случайным отклонением аргумента // 1нтеграл. перетворения та ix застосування до крайовних задач. 1995. JV® 10. С. 90-96.

55. Краснопольский Т., Швец А.Ю. Взаимодействие маятниковых систем с неидеальным источником энергии при наличии запаздывания // Теоретич. и приклад.

56. Цр механ. 1985. Т. 16. № 3. С. 16-18.

57. Красносельский М.А., Петров В.Д. О периодических колебаниях в системах регулирования с задержками // Автомат, и телемех. 1984. № 6. С. 169-171.

58. Кузнецова В.И. О дифференциально-разностных уравнениях с малым отклоне1.{| нием аргумента // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22. № 3. С. 403-411.

59. Курныш А. В. Построение периодических решений дифференциально-разностной системы с малым запаздыванием // Нежин, гос. пед. ин-т. Нежин. 1988.

60. Кэсал А. Приложения нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздыванием //9 межд. конфер. по нелин. колеб. Киев. 1984. Т. 2. С. 167-169.

61. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 2. Теория поля. М.:1. Наука, 1988. 512 с.

62. Латипов Х.Р., Носиров Ф.У. О влиянии запаздывания на нелинейные системы. Ташкент. Фан. 1988.ф 61. Малкин И.Г. К теории периодических решений Пуанкаре // Приклад, матем. имехан. 1949. Т. 13, вып. 6. С. 633-646.

63. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: ГИТТЛ, 1956. 492 с.

64. Матросов В.В. Динамика двухпетлевой системы совместной фазовой синхро-" низации и слежения за задержкой с малым запаздыванием регулирования задержки // Динамические системы. Горький. 1988. С. 54-69.

65. Митрополъский Ю.А., Мартынюк Д.И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев: Изд-во ин-та матем. АН УССР, 1982. 147 с.

66. Митрополъский Ю.А., Щвец А.Ю. О влиянии запаздывания на устойчивость маятника с вибрирующей точкой подвеса // Аналитич. методы исследов. нелин. колеб. Киев. 1980. С. 115-120.

67. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, Ц 1969. 380 с.

68. Моллова К.Г. Периодические решения квазилинейных автономных дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом в резонансном случае. // Годишн. Висш. учеб. завед. Прилож. мат. 1977(1978). Т. 13. № 3. С. 95-104.

69. Моллова К.Г., Рябов Ю.А. Устойчивость периодических решений уравнений второго порядка с малым запаздыванием в резонансном случае. // Матем. физика. Киев. 1980. № 27. С. 45-50.

70. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: ГИТТЛ, 1954. 352 с.

71. Носиров А.Ю. О влиянии запаздывания на гироскопические системы с медленно меняющимися параметрами // Методы нел. механики и прил. Киев. 1982. С. 99107.

72. Павлоцкий И.П. Запаздывание взаимодействия в слаборелятивистской гидро-<4 динамике // ДАН СССР. 1983. Т. 269. № 3. С. 583-587.

73. Полозков И.Е. Движение транспортного средства по дороге со случайным профилем с учетом запаздывания // Матем. моделирование. 2005. Т. 17. № 3. С. 314.t11473.767980,8184,8586,87,88,

74. Понтрягин JI. С. О динамических системах, близких к гамильтоновым // ЖЭТФ. 1934. Т. 4, вып. 8. С. 883-885.

75. Рожков В.И. Асимптотическое периодическое решение системы уравнений нейтрального типа в некритическом случае // Дифференциальные уравнения и обратные задачи динамики. М. 1983. С. 40-43.

76. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.:Наука, 1969. 287 с.

77. Рябое Ю.А. Применение метода малого параметра Ляпунова-Пуанкаре в теории систем с запаздыванием // Инженерный журнал АН СССР. 1961. Т. 1, вып. 2. С. 3-21.

78. Сакбаев В.Ж. О движениях системы, гамильтониан которой зависит от предыстории // Некоторые проблемы фундам. и прикл. матем. М. 1996. С. 190-200.

79. Смолин Ю.Н. Некоторые вопросы теории функционально-дифференциальных моделей. Магнитогорск: МаГУ, 2003. 341 с.

80. Тхай В.Н. Обратимые механические системы и нелинейная механика. М.: Физ-матлит. 2001. С. 131-146.

81. Тхай В.Н. Периодические движения системы, близкой к автономной обратимой системе // Прикл. матем. и механ. 2001. Т. 65, вып. 4. С. 661-680.

82. Тхай В.Н. Устойчивость и управление в системе с первым интегралом // Автом. и телемех. 2005. № 3. С. 34-38.

83. Тхай В.Н. Цикл в системе, близкой к резонансной системе // Прикл. матем. и механ. 2004. Т. 68, вып. 2. С. 254-272.

84. Чихаева О.А. О проблеме существования квазипериодических решений системы дифференциальных уравнений с малым отклонением // Информатика и прикл. матем.: Межвузовский сборник научн. трудов. Рязан. гос. пед. ун-т. Рязань: Изд-во РГПУ, 2004. С. 92-95.

85. Шавохина Н.С. Круговые релятивистские движения двух одинаковых тел // Изв. вузов. Физика. 1983. Т. 26. № 12. С. 46-51.

86. Шавохина Н. С. Система уравнений с отклоняющимся аргументом в релятивистской задаче двух тел // Гравитация и теория относительности. Казань. 1984. № 21. С. 140-164.

87. Швец А.Ю. Влияние запаздывания на колебательно-вращательные движения двойного маятника // Методы пел. механики и прил. Киев. 1982. С. 141-149.

88. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // Прикл. матем. и механ. 1963. Т. 27, вып. 3. С. 450-458.

89. Шиманов С.Н. О неустойчивости движения систем с запаздыванием по времени // Прикл. матем. и механ. 1960. Т. 24, вып. 1. С. 55-63.

90. Шиманов С.Н. Об одном способе получения условий существования периодических решений нелинейных систем // Прикл. матем. и механ. 1955. Т. 19, вып. 2. С. 255-228.

91. Шиманов С.Н. Об устойчивости квазигармонических систем с запаздыванием // Прикл. матем. и механ. 1961. Т. 25, вып. 6. С. 992-1002.

92. Широков М.И. Запаздывающие решения и принцип причинности // Препр. Объедин. ин-та ядерн. исследов. Дубна. 1988. № Р2-441. С. 1-15.

93. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 1987.

94. Фишман JI.3. О численном нахождении предельных циклов дифференциальных уравнений второго порядка с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41. № 3. С. 426-428.

95. Фишман Л.З. Об отыскании периодических движений систем с запаздыванием // Прикл. матем. и механ. 2001. Т. 65, вып. 1. С. 165-168.

96. Халанай А. Теория устойчивости линейных периодических систем с запаздыванием // Rev. Math. Pures et Appl. Acad. R.P.R. 1961. T. 4. № 4. C. 633-653.

97. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

98. Эльсголъц Л.Э, Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

99. Якубович В.А., Старэюинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. 720 с.

100. Agop М. On the phisical meaning of trajectory periods in the relativistic two-body problem // Rev. roum. phys. 1983. V. 28. № 7. P. 561-568.

101. Arino 0., Hbid H.L. Periodic solutions for retarded differential systems close to ordinary ones // Nonlinear Anal. Theory Meth. and Appl. 1990. V. 14. № 1. P. 2334.

102. Boese F.G. Stability criteria for second-order dynamical systems involving several time delays // SIAM. J. Math. Anal. 1995. V. 26. № 5. P. 1306-1330.

103. Bogdan V.M. Existence of solutions of differential equations of relativistic mechanics involving Lorentzian time delay //J. Math. Anal, and Appl. 1986. V. 118. JV« 2. P. 561-573.

104. Casal A. On a two-body problem of classical relativistic electrodynanics // Rev. mat. hisp.-amer. 1980. V. 40. № 1-2. P. 17-24.

105. Chow S.N., Mallet-Paret J. Integral averaging and Hopf bifurcations // J. Diff. Eqns. 1977. V. 26. P. 112-159.

106. Dolgii Yu.F., Zakharov A. V. A delay effect upon periodic oscillations in a conservative system // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 2. 2003. P. 24-44.

107. Dormayer P. The stability of special symmetric solutions of x(t) = af(x(t — 1)) with small amplitudes // Nonlinear Analysis, Methods and Applications, 1990. V. 14. № 8, P. 701-715.

108. Priver R.P. A MBackwards"two-body problem of classical relativistic electrodynan-ics // Phys. Rev. 1969. V. 178. № 5. P. 2051-2057.

109. Priver R.P. A functional differential system of neutral type arising in a two-body problem of classical electrodynamics // Nonlinear differential equations and Nonlinear Mechanics. New York: Academic Press. 1963. P. 474-484.

110. Grammatikopoulos M.K., Tersian S.A. On the periodic solutions of nonlinear neutral differential equations // Dyn. Syst. and Appl. 1997. V. 6. № 2. P. 197-206.

111. Fridman E. Effects of small delays on stability of singularly perturbed systems // Automatica. 2002. V. 38. № 5. P. 897-902.

112. Furumochi T. Existence of periodic solutions of two-dimensional delay equations // Appl. Anal. 1979. V. 9. № 4. P. 279-289.

113. Gilsinn P. E. Estimating critical Hopf bifurcation parameters for a second-order delay differential equation with application to machine tool chatter // Nomlinear Dyn. 2002. V. 30. № 2. P. 103-154.

114. Goldshtein V., Mclnerney J., Shchepakina E., Sobolev V. Slow/fast models of laser and chemical systems. // Изв. РАЕН. Сер. МММИУ. 2001. V. 5. № 1-2. P. 32-53.

115. Gorecki H., Fuksa S., Grabowski P., Koritowski A. Analysis and Synthesis of time delay systems. 1989. 300 p.

116. Grafton R.B. Periodic solutions of certain Lienard equations with delay //J. Diff. Equations. 1972. V. 11. № 3. P. 519-527.

117. Guo Z., Xu Y. Existence of periodic solutions to a class of second-order neutral differential difference equations // Acta Anal. Funct. Appl. 2003. V. 5. N« 1. P. 1319.

118. Hale J.K., Weedermann M. On perturbations of delay differential equations with periodic orbits // J. Diff. Equations. 2004. V. 197. № 2. P. 219-246.

119. Hoag J. Т., Priver R.P. A delay-advanced model for the electrodynamics two-body problem // Nonlnear Anal., Theory, Methods and Appl. 1990. V. 15. № 2. P. 165-184.

120. Kalmanoskii V., Myshkis A. Applied theory of functional differential equations. 1992. 243 p.

121. Kaplan J.L., Yorke J.A. Ordinary differential equations which yield periodic solutions of differential delay equations // J. Math. Anal, and Appl. 1974. V. 48. № 2. P. 317-324.

122. Kulenovic M.R.S., Ladas G. Oscillations of the sunflower equation // Quart. Appl. Math. 1988. V. 46. № 1. P. 23-28.

123. Li J., He X., Liu Z. Hamiltonian symmetric groups and multiple periodic solutions of differential delay equations // Nonlinear Anal. Theory, Meth. and Appl. 1999. V. 35. № 4. P. 457-474.

124. Lu S., Ge W. Periodic solutions for a kind of Lienard equation with a deviating argument // J. Math. Anal, and Appl. 2004. V. 289. № 1. P. 231-243.

125. Luse D.W. Multivariable singularly perturbed feedback systems with time delay // IEEE Trans. Autom. Contr. 1987. V. 32. № 11. P. 990-994.

126. Ma S., Lu Q. Hopf bifurcation of a Lienard differential equation with delay //J. China Agr. Univ. 2003. V. 8. № 4. P. 1-4.

127. Metzen G. Existence of periodic solutions of second order differential equations with delay // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. V. 103. № 3. P. 765-772.

128. Nussbaum R. A global bifurcation theorem with applications to functional differential equations //J. Functional Anal. 1975. V. 19. P. 319-339.

129. Pisarenko V.G. Equations with deviating argument in the problem of many gravitated electricity charged bodies with delays of the forces of interaction // Differential Equations with deviating argument. Kiev. 1977. P. 255-269.

130. Rivera R., Villarroel D. An exact solution for several charges in classical electrodynamics // J. Math. Phys. 1999. V. 40. № 6. P. 2867-2881.

131. Stephas P. One-dimentional motion for classical relativistic two-body systems in time-asymmetric lorentz scalar potentials // Phys. Rev. D. Part, and Fields. 1985. V. 31. № 2. P. 319-324.

132. Xu Y., Guo Z. On the existence of periodic solutions to generalized Hamiltonian systems with delay // Acta Anal Funct. Appl. 2000. V. 2. № 2. P. 133-142.

133. Wei Z., Pang C. Periodic boundary value problems for second order functional differential equations 11 Acta math. appl. Engl. Ser. 2004. V. 20. № 1. P. 37-44.

134. Wen K., Chen P., Turner J.S. Bifurcations in a Lienard equation with two delay // Proc. Dyn. Syst. and Appl. V. 1. Proc. 1st. Int. Conf. Dyn. Syst. and Appl., Atlanta, Ga, 26-29 May 1993. Atlanta(Ga). 1994. P. 377-383.

135. Wu J. Bifurcating waves in comped cells described by delay-differential equations //Pattern. Format.: Symmetry Meth. and Appl.: Proc. Two Relat. Workshops., Waterloo, Can., 22-26 March 1993. Providence(R.L). 1996. P. 374-358.

136. Wu J. The effect of delay and difusion on spontaneous symmetry breaking in functional differential equations // Rocky Mount. J. Math. 1995. V. 25. № 1. P. 545-556.

137. Zhang B. Periodic solutions of the retarded Lienard equation // Ann. mat. pura ed appl. 1997. V. 172. P. 25-42.

138. Zhang Z., Wang Z. Existence de periodic solutions of planar systems with four delays // Appl. Math. J. Chin. Univ. B. 2001. V. 16. № 4. P. 355-363.

139. Zhdanov V.I. On the one dimentional two-body problem of classical electrodynamics // Int. J. Theoret. Phys. 1976. № 15. P. 157-167.