Влияние теплового дисбаланса на свойства и динамику МГД волн в магнитоструктурированной плазме и нелинейные волновые взаимодействия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Белов Сергей Александрович

• Белов Сергей Александрович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Белов Сергей Александрович

Введение

Глава 1 Параметрическое взаимодействие между альфвеновскими и магнитоакустическими волнами

1.1 Математическая модель для описания динамики МГД возмущений

1.2 Квазирезонансное параметрическое взаимодействие

1.2.1 Резонансные соотношения

1.2.2 Система укороченных уравнений для описания квазирезонансного параметрического взаимодействия

1.2.3 Нестационарное взаимодействие

1.2.4 Влияние отстройки по частоте на нестационарное взаимодействие

1.3 Свинг-волновое взаимодействие

Выводы по Главе

Глава 2 Распространение нелинейных сдвиговых альфвеновских волн в плазме с тепловым дисбалансом

2.1 Возмущения плазмы, индуцированные сдвиговыми альфвеновскими волнами в плазме с тепловым дисбалансом

2.1.1 Генерация продольных возмущений плазмы сдвиговыми альфвеновскими волнами

2.1.2 Продольные возмущения плазмы, вызванные синусоидальной сдвиговой альфвеновской волной

2.1.3 Частотная зависимость амплитуды и фазового сдвига индуцированного возмущения продольной скорости плазмы для условий солнечной короны

2.1.4 Структура индуцированного продольного возмущения плазмы в условиях солнечной короны

2.2 Самовоздействие альфвеновских волн в диссипативной плазме с тепловым дисбалансом

2.2.1 Получение системы укороченных уравнений для описания самовоздействия альфвеновских волн в диссипативной плазме с тепловым дисбалансом

2.2.2 Самовоздействие альфвеновских волн как параметрическое взаимодействие

2.2.3 Численное решение системы укороченных уравнений

2.3 Самовоздействие сдвиговых альфвеновских волн в условиях солнечной атмосферы

2.3.1 Расчет характерных времен для хромосферных условий

2.3.2 Расчет характерных времен для условий корональных дыр

2.3.3 Численное решение системы укороченных уравнений для хромосферных условий

Выводы по Главе

Глава 3 Влияние теплового дисбаланса на динамику МГД волн при условии структурированности по магнитному полю

3.1 Распространение МГД волн в тонкой магнитной трубке при условии теплового дисбаланса

3.1.1 Модель тонкой трубки второго порядка

3.1.2 Линейное описание динамики МГД возмущений в тонкой трубке при условии теплового дисбаланса

3.1.3 Дисперсионное уравнение для МГД возмущений, распространяющихся в тонкой трубке при условии теплового дисбаланса

3.1.4 Влияние теплового дисбаланса на дисперсионные свойства медленных волн в веерных петлях активных областей

3.2 Генерация продольных возмущений плазмы крутильными альфвеновскими волнами, распространяющимися в тонких магнитных трубках, при условии теплового дисбаланса

3.2.1 Математическая модель для описания распространения крутильных альфвеновских волн в тонких магнитных трубках при условии теплового дисбаланса

3.2.2 Возмущение продольной скорости, индуцированной альфвеновской волной

3.2.3 Возмущение плотности, индуцированное альфвеновской волной

3.2.4 Сравнение между крутильными и сдвиговыми альфвеновскими волнами

Выводы по главе

Заключение

Список публикаций автора по теме диссертации

Список литературы

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние теплового дисбаланса на свойства и динамику МГД волн в магнитоструктурированной плазме и нелинейные волновые взаимодействия»

ВВЕДЕНИЕ

Солнце является уникальной естественной лабораторией по изучению физики плазмы, находящейся в магнитном поле. Эта уникальность заключается не только в том, что солнечная плазма существует при условиях недоступных на данный момент для воспроизводства в земных лабораториях, но также в том, что она крайне разнообразна. Так, если говорить о плазме, электромагнитное излучение которой можно непосредственно наблюдать, то она варьируется от частично ионизованной плазмы с температурой порядка тысяч градусов Кельвина в нижних слоях солнечной атмосферы до полностью ионизованной плазмы солнечной короны, имеющей температуру в миллионы градусов [1].

Подобное разнообразие условий ведёт к тому, что в солнечной плазме наблюдается огромный спектр процессов, особое место среди которых занимают колебательные и волновые процессы. Наблюдения колебаний и волн в солнечной атмосфере представляют интерес не только в рамках изучения подобных процессов, но также тем, что они могут быть использованы для изучения строения и параметров Солнца. Исторически одними из первых колебаний, зарегистрированных в солнечной атмосфере, стали пятиминутные фотосферные осцилляции [2], которые впоследствии были отождествлены со стоячими акустическими волнами, формирующимися внутри конвективной зоны [3,4]. Теория данных волн была развита в [5,6], но данное объяснение фотосферных осцилляций получило признание после наблюдений предсказанного спектра гармоник [7]. Впоследствии данные волны предложили в качестве сейсмологического инструмента для исследования внутренней структуры Солнца [8]. Информацию о методах и достижениях глобальной гелиосейсмологии можно найти в [9].

В последние десятилетия развитие наблюдательных инструментов космического базирования, таких как SOHO (Solar and Heliospheric Observatory), запущенного в конце 1995 года, TRACE (Transition Region and Coronal Explorer), запущенного в начале 1998 года, миссии STEREO (Solar TErrestrial RElations

Observatory), запущенной в конце 2006 года в виде двух космических аппаратов, STEREO-A и STEREO-B, и обсерватории солнечной динамики SDO (Solar Dynamics Observatory), запущенной в начале 2010 года, позволило наблюдать солнечную корону и процессы, происходящие в ней, в мельчайших подробностях. Среди наблюдаемых процессов особое место заняли волновые явления в солнечной короне, наблюдения показали, что МГД колебания и волны являются достаточно частым явлением в солнечной короне. Достаточно полную информацию о наблюдениях МГД волн и колебаний в короне можно найти в обзоре [10]. Более детальную информацию о наблюдениях конкретных типов МГД мод можно найти в обзоре [11], посвященном быстрым осесимметричным магнитоакустическим (МА) волнам, обзоре [12], описывающем изгибные колебания корональных петель, и обзоре [13] о медленных МА волнах. Следует отметить, что периоды наблюдаемых волн варьируются от десятков секунд до десятков минут, а их фазовые - скорости от сотен до нескольких тысяч км/с.

Наблюдение МГД волн в солнечной короне и нижних слоях солнечной атмосферы имеет важное значение для объяснения нагрева солнечной короны до наблюдаемых температур. Применительно к данным вопросам среди МГД волн на первое место выходят альфвеновские волны, которые, благодаря своей несжимаемости, могут распространяться на большие расстояние без существенного затухания, перенося тем самым энергию из нижних слоёв солнечной атмосферы в корону. Данный тип МГД волн был предложен в качестве переносчика энергии ещё Альфвеном [14]. В настоящее время в нижних слоях солнечной атмосферы были, действительно, зафиксированы крутильные альфвеновские волны с энергией, достаточной для нагрева солнечной короны [15,16]. Кроме того, существуют свидетельство того, что крутильные альфвеновские волны могут генерироваться в результате солнечных вспышек [17] и магнитного пересоединения [18]. Несмотря на наличие наблюдений, говорящих о существовании высокоэнергетических альфвеновских волн в солнечной атмосфере, существует ряд проблем в теории нагрева солнечной короны данным

типом волн. Самой главной проблемой является то, как альфвеновские волны, достигшие солнечной короны, могут отдавать свою энергию корональной плазме.

В настоящее время предложено большое количество механизмов передачи энергии альфвеновских волн плазме. Одним из таких механизмов выступает смешение фаз [19], принцип которого заключается в том, что фронт альфвеновской волны, распространяющейся в среде, в которой альфвеновская скорость варьируется перпендикулярно к волновому вектору, искажается, тем самым создавая более высокие гармоники, которые могут эффективнее диссипировать из-за воздействия, например, конечной проводимости.

Также важным классом механизмов являются волновые взаимодействия, при которых альфвеновские волны взаимодействуют с магнитоакустическими волнами, которые, в свою очередь, могут эффективно затухать, отдавая тем самым энергию плазме [20-23]. Кроме того, линейно поляризованные альфвеновские волны большой амплитуды способны образовывать крутые фронты из-за нелинейного каскада и тем самым эффективнее затухать [24-27]. В пользу работы последнего механизма для альфвеновских волн в солнечной атмосфере говорит тот факт, что подобная диссипация альфвеновских волн из-за образования резких фронтов была зафиксировано на границе тени солнечного пятна [28]. Данная диссипация является последствием возникновения токовых слоев из-за укручения альфвеновской волны [25,27].

Альфвеновские волны укручаются в два этапа. Сначала альфвеновская

волна индуцирует два типа продольных возмущений: магнитоакустическую волну

и возмущение плазмы, вызванное действием пондеромоторной силы и

распространяющееся с альфвеновской скоростью [29,30]. На втором этапе

альфвеновская волна взаимодействует с возмущениями плазмы,

индуцированными ей, с помощью пондеромоторной силы, данное взаимодействие

называют самовоздействием. Самовоздействие сдвиговых слабо нелинейных

эллиптически поляризованных альфвеновских волн описывается уравнением

Коэна-Кулсруда [31]. Для линейно поляризованных альфвеновских сдвиговых

[32], крутильных [33] и сферических альфвеновских волн [26] самовоздействие

7

описывается скалярным уравнением Коэна-Кулсруда. Более подробную информацию по проблеме нагрева солнечной короны альфвеновскими волнами можно найти в недавнем обзоре [34].

Возвращаясь к наблюдениям МГД волн в солнечной короне, важно подчеркнуть, что, благодаря развитию наблюдательной техники, данные волны могут быть использованы для определения параметров корональной плазмы. Данная область солнечной физики, занимающаяся оценкой корональной плазмы по свойствам наблюдаемых осцилляций и волн, называется корональной сейсмологией. Свое начало она берёт с работ [35,36], в которых изгибные колебания корональных петель были интерпретированы как стоячие фундаментальные быстрые магнитоакустические моды. В рамках данной интерпретации удалось оценить магнитное поле петель по известным свойствам плазмы и параметрам колебаний.

В настоящее время наблюдения МГД волн уже были использованы для определения локальной альфвеновской скорости [37], коэффициентов переноса [38], показателя адиабаты [39] и магнитного поля [40] в условиях солнечных корональных структур. Базовой математической моделью, используемой для подобных сейсмологических оценок, является ZSER модель, берущая свое начало в работах Зайцева и Степанова [41,42] и Эдвин и Робертса [43]. Данная модель описывает распространение МГД волн в однородном магнитном цилиндре, который может рассматриваться в качестве одного из строительных блоков для корональных магнитных структур. ZSER модель позволяет описать дисперсию МГД волн, вызванную магнитной структурированностью плазмы, а также описать возникновение объемных, поверхностных и вытекающих мод.

Важно подчеркнуть, что для корональной сейсмологии критически важно обладать моделями волновых процессов, которые учитывают все наиболее важные физические механизмы, влияющие на распространение МГД волн в короне. В частности, стоит учитывать тот факт, что корональная плазма не является адиабатической, поскольку в ней присутствуют процесс радиационного

охлаждения и другие неадиабатические процессы, связанные с нагревом короны.

8

Строго говоря, для того чтобы различные магнитные структуры солнечной короны могли существовать достаточно долгое время, кроме условий механического равновесия необходимо также равновесие между процессами нагрева и охлаждения. Существующие процессы нагрева и охлаждения зависят от параметров среды. Так, мощность радиационного нагрева в короне является функцией плотности и температуры плазмы [44]. Функцию нагрева в солнечной короне можно оценить как некоторую степенную функцию параметров плазмы [45,46]. Из-за данной зависимости мощностей нагрева и охлаждения от параметров плазмы может возникнуть ситуация, когда возмущение данных параметров, вызванное волной, может нарушить баланс между этими процессами, в результате чего возникнет доминирование либо охлаждения, либо нагрева. Это нарушение баланса между нагревом и охлаждением, в свою очередь, может влиять на вызвавшую его волну. Данный эффект называется тепловым дисбалансом.

Еще в работах Паркера [47] и Филда [48] было показано, что нарушение

баланса между процессами нагрева и охлаждения может приводить к появлению

тепловых неустойчивостей: изохорической, изобарической и изоэнтропической.

Изохорическая тепловая неустойчивость была подробно исследована в контексте

возникновения коронального дождя [49-51]. Изобарическая неустойчивость

приводит к катастрофическому охлаждению плазмы и последующим

конденсациям. Данная неустойчивость может иметь большое значение для

динамики и эволюции процесса конденсации холодных протуберанцев [52].

Также изобарическая неустойчивость была предложена в качестве механизма,

объясняющего последовательное зажигание аркад магнитных петель в солнечных

вспышках [53]. Изоэнтропическая неустойчивость воздействует на возмущения

акустического типа. В изоэнтропически неустойчивой плазме

акустические/магнитоакустические волны становятся неустойчивыми и

усиливаются до больших амплитуд, в то время как альфвеновские волны

остаются устойчивыми [54-58]. Данная неустойчивость может приводить к

возникновению квазипериодических цугов акустических/магнитоакустических

9

волн [59-62], появлению автоволн [58,59,63,64], а также автоволновых солитонных импульсов [65-67]

Применительно к солнечной короне исследования влияния теплового дисбаланса на МГД волны получили толчок после публикации работы [62], в которой было показано, что характерные времена, связанные с действием теплового дисбаланса по порядку величины совпадают с периодами наблюдаемых волн, а характерные размеры возникающих квазипериодических структур совпадают с длинами наблюдаемых волн, что говорит о потенциальной важности данного механизма для МГД волн в солнечной короне. В работе [68] изоэнтропическая устойчивость, возникающая в результате теплового дисбаланса, была рассмотрена в качестве механизма затухания колебаний типа SUMER. Для медленных волн в солнечной короне было найдено, что тепловой дисбаланс способен приводить к затуханию волн с характерными временами 10-100 минут, что совпадает с наблюдаемыми периодами и временами затухания [69]. Кроме того, было показано, что тепловой дисбаланс может приводить к возникновению фазового сдвига между различными параметрами плазмы, а также к различному распределению энергии между плазменными модами [70]. В частности, было показано, что роль теплового дисбаланса в определении фазовых сдвигов может быть значительной для холодных и плотных петель. В работе [39] было показано, что вариация механизма нагрева может привести к примерно пятикратному увеличению в разнице фаз. Наиболее показательным примером учёта теплового дисбаланса при рассмотрении динамики волн в солнечной короне является работа [71], в которой из-за устойчивости медленных и тепловых волн были наложены ограничения на параметры корональной функции нагрева. Наиболее полный и свежий обзор исследований теплового дисбаланса применительно к волнам в солнечной короне можно найти в [72].

Из сказанного выше можно сделать вывод, что влияние теплового

дисбаланса на волны в солнечной короне может быть значительным, поэтому

важным является рассмотрение того, как этот эффект может воздействовать на

нелинейные волновые взаимодействия, являющиеся важными для объяснения

10

нагрева солнечной короны альфвеновскими волнами, а также на распространение МГД волн в магнитоструктурированной плазме, исследование которого необходимо для задач корональной сейсмологии. В связи с вышесказанным можно заключить, что тема и цель диссертации являются актуальными.

Целью диссертации является теоретическое исследование влияния теплового дисбаланса на нелинейные волновые взаимодействия МГД волн, а также на свойства и динамику МГД волн в магнитоструктурированной плазме.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

1. Определить и проанализировать закономерности квазирезонансного трехволнового взаимодействия между сдвиговыми альфвеновскими и МА волнами в плазме с тепловым дисбалансом и для свинг-волнового взаимодействия между сдвиговой альфвеновской волной и стоячей быстрой МА волной в плазме с тепловым дисбалансом и конечной электрической проводимостью.

2. Исследовать процесс распространения нелинейных сдвиговых альфвеновских волн в плазме с тепловым дисбалансом, конечной электрической проводимостью, вязкостью и теплопроводностью.

3. Получить дисперсионное соотношение и построить дисперсионные кривые для медленных магнитоакустических волн, распространяющихся в корональных петлях в приближении тонкой трубки второго порядка.

4. Найти выражения для величины продольного возмущения плазмы, индуцированного крутильными альфвеновскими волнами в плазме с тепловым дисбалансом.

Новизной обладают следующие результаты:

1. Система трех укороченных уравнений, описывающих коллинеарное квазирезонансное параметрическое взаимодействие акустической волны с двумя альфвеновскими волнами в плазме с тепловым дисбалансом. Уравнение, описывающее свинг-волновое взаимодействие между сдвиговой альфвеновской волной и стоячей быстрой МА волной в плазме с тепловым дисбалансом и конечной электрической проводимостью.

2. Впервые предсказанный эффект увеличения/уменьшения амплитуды и ускорения/замедления укручения альфвеновских волн в результате их самовоздействия в изоэнтропически неустойчивой/устойчивой плазме.

3. Модифицированная трубочная скорость, отражающая совместное влияние геометрической дисперсии и теплового дисбаланса на медленные магнитоакустические волны.

4. Уравнения, описывающие генерацию продольных возмущений плазмы крутильными альфвеновскими волнами в плазме с тепловым дисбалансом. Научная и практическая ценность проведенных в диссертации исследований заключается в том, что полученные результаты дополняют теорию нелинейных взаимодействий между МГД волнами, учитывая влияние теплового дисбаланса, тем самым способствуя пониманию того, как альфвеновские волны, распространяющиеся в солнечной атмосфере, могут черпать и отдавать свою энергию, которая в дальнейшем может быть преобразована в тепловую энергию солнечной короны. Кроме того, полученные результаты могут иметь значимость для создания методов детектирования МГД волн в солнечной короне и измерения параметров солнечной корональной плазмы с помощью этих волн.

Достоверность полученных научных результатов обеспечена корректной математической постановкой задач, использованием обоснованных аналитических и апробированных численных методов, совпадением результатов численного счета с аналитическими методами, а также качественным согласием полученных результатов с данными других авторов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Режимы коллинеарного квазирезонансного параметрического

взаимодействия акустической волны с двумя альфвеновскими волнами в плазме с

тепловым дисбалансом и условия их реализации в зависимости от величины

отстройки частоты, включающие биэкспоненциальное усиление альфвеновских

волн, параметрическую модуляцию альфвеновских волн, а также двухэтапный

режим. Пороговое условие параметрического распада акустической волны.

Биэкспоненциальное усиление альфвеновских волн в результате свинг-волнового

12

взаимодействия со стоячей быстрой МА волной в плазме с тепловым дисбалансом и конечной электрической проводимостью.

2. Выражения для возмущений плазмы, индуцированных сдвиговой альфвеновской волной в плазме с тепловым дисбалансом, конечной электрической проводимостью, вязкостью и теплопроводностью, включающие выражение для экспоненциального сдвигового потока. Система укороченных уравнений, описывающая процесс самовоздействия сдвиговых альфвеновских волн в плазме с тепловым дисбалансом, конечной электрической проводимостью, вязкостью и теплопроводностью. Результаты численного решения данной системы для условий солнечной атмосферы. Характерные времена укручения и изменения амплитуды альфвеновских волн в результате самовоздействия. Оценки данных времён для условий солнечной атмосферы.

3. Дисперсионное соотношение, описывающее влияние теплового дисбаланса на магнитоакустические волны, распространяющиеся в магнитных трубках, в приближении тонкой трубки второго порядка. Аналитическое решение дисперсионного соотношения для распространяющихся медленных МА волн. Дисперсионные кривые для условий веерных корональных петель.

4. Выражения для возмущений плазмы, индуцированных крутильными альфвеновскими волнами в плазме с тепловым дисбалансом, и их оценки для условий солнечной короны.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации

докладывались и обсуждались на научном семинаре СФ ФИАН - ФИАН -

Самарского университета «Исследование процессов, происходящих на Солнце, с

помощью наноспутников» (Самара, 2019), конференции-конкурсе молодых

физиков (Москва 2018), 12-17 ежегодных конференциях «Физика плазмы в

солнечной системе» (Москва, 2017-2022), научных школах «Нелинейные волны»

(Нижний-Новгород, 2018, 2020), 3 и 4 Российских конференциях по магнитной

гидродинамике (Пермь, 2018, 2021), 25 International Congress on Sound and

Vibration (Япония, Хиросима, 2018), The 31st International Symposium on Shock

Waves (Япония, Нагоя, 2017), 8th International Symposium on Bifurcations and

13

Instabilities in Fluid Dynamics (Ирландия, Лимерик, 2019), международном онлайн-семинаре «Effects of Coronal Heating/Cooling on MHD Waves» (Великобритания, Уорвик, 2021-2022), Международной Байкальской молодежной научной школе по фундаментальной физике «Физические процессы в космосе и околоземной среде» (Иркутск, 2022), научном семинаре отдела радиоастрофизики ИСЗФ СО РАН (Иркутск, 2022), научном семинаре кафедры аэрогидромеханики КФУ (Казань, 2022).

Основные публикации. По материалам диссертации опубликовано 35 печатных работ, в том числе 11 статей в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК, 24 труда Международных и Всероссийских конференций, получено 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Личный вклад соискателя. Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором лично, либо при его определяющем личном участии. Из работ в соавторстве на защиту выносятся результаты, в получении которых автор принимал непосредственное участие. Результаты, вошедшие в диссертацию, были отмечены премией им. Д.В. Скобельцына в рамках конкурса молодежных научных работ ФИАН (цикл работ «Влияние теплового дисбаланса на магнитогидродинамические волны в атмосфере Солнца»), дипломом победителя областного конкурса «Молодой ученый» за научно-исследовательскую работу «Влияние теплового дисбаланса на магнитогидродинамические волны» (г. Самара, 2021г.), победами в конкурсах по предоставлению денежных выплат молодым ученым и конструкторам, работающим в Самарской области (2021, 2022 гг.), а также памятным знаком «За успехи в высшем образовании и в научной деятельности», учреждённым губернатором Самарской области.

Связь с государственными программами и НИР.

Работы по теме диссертации выполнялись в соответствии с планами

фундаментальных научно-исследовательских работ по грантам и программам:

повышения конкурентоспособности Самарского государственного

аэрокосмического университета имени академика С.П. Королёва (национального

исследовательского университета)» на 2013-2020 гг. (соглашение № СИ1/10-

14

2015), государственных заданий вузам и научным организациям в сфере научной деятельности НИР №3.1158.2017/4.6 «Разработка плазменно-вихревого реактора на А1-Н20 смеси для производства тепловой энергии и водорода», FSSS-2020-0014 «Компьютерное моделирование сложных процессов в классических и квантовых системах», НИР ФИАН № 114091840046 «Кинетические и нелинейные волновые процессы в неравновесных открытых средах, их применение в аэрокосмических, астрофизических приложениях, в лазерных и оптических информационных технологиях», АААА-А17-117111470058-8 «Физические основы лазерных, фотонных и оптоэлектронных технологий и взаимодействие лазерного излучения с веществом для решения задач навигации, УТС, информатики и биомедицины», АААА-А19-119083090053-9 «Кинетические и нелинейные волновые процессы в неравновесных открытых средах, разработка и создание новых эффективных источников излучения от УФ до среднего ИК диапазона, формирование структурированных световых полей и исследование взаимодействия лазерного излучения с материалами и квантовыми объектами для целей лазерных и оптических технологий в промышленности, медицине, информатике, геофизике и навигации», гранта РФФИ 17-42-630224 р_а -«Изучение анизотропных свойств магнитогазодинамических структур, формируемых в условиях изоэнтропической неустойчивости», гранта РФФИ 1832-00344 мол_а «Исследование влияния неадиабатических процессов на МГД -волны в оптически тонкой плазме», гранта РФФИ 20-32-90018 «Аспиранты» «Исследование распространения нелинейных альфвеновских волн в плазме с тепловым дисбалансом».

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 132 страницы, включая 22 рисунка, 0 таблиц, список литературы содержит 108 наименований.

Основное содержание работы:

Во введении описано состояние рассматриваемой проблемы и обоснована

актуальность темы диссертации. Сформулированы цели и задачи исследования,

15

новизна полученных результатов и защищаемые положения. Приведено краткое содержание работы по главам диссертации.

В первой главе рассматривается влияние теплового дисбаланса на нелинейные параметрические взаимодействия между альфвеновскими и магнитоакустическими волнами.

В разделе 1.1 приводится система магнитогидродинамических уравнений в общем виде, которая будет использоваться в течение всей диссертационной работы.

В разделе 1.2 исследуется влияние теплового дисбаланса на трехволновое квазирезонансное параметрическое взаимодействие между двумя альфвеновскими и одной магнитоакустической волнами.

В подразделе 1.2.1 приведены резонансные соотношения между волновыми векторами и частотами взаимодействующих волн.

В подразделе 1.2.2 получена система укороченных уравнений, описывающая случай квазирезонансного параметрического взаимодействия между альфвеновскими волнами и одной магнитоакустической волной.

В подразделе 1.2.3 выводится аналитическое решение полученной системы укороченных уравнений для случая нестационарного взаимодействия в приближении мощной волны накачки.

В подразделе 1.2.4 исследовано влияние отстройки по частоте на нестационарное взаимодействие, получены граничные отстройки по частоте и пороговая амплитуда волны накачки, показано, что в зависимости от величины отстройки по частоте возможны три режима взаимодействия: биэкспоненциальное усиление альфвеновских волн, сначала модуляция с последующим биэкспоненциальным усилением альфвеновских волн, только модуляция альфвеновских волн.

В разделе 1.3 проводится исследование влияния теплового дисбаланса и конечной электрической проводимости на свинг-волновое взаимодействие между альфвеновской и стоячей быстрой магнитоакустической волнами, в пределе

слабого усиления получено уравнение, описывающее данное взаимодействие, а также его приближенное решение.

Во второй главе рассмотрено распространение нелинейных сдвиговых альфвеновских волн в плазме с тепловым дисбалансом, рассмотрена генерация продольных возмущений плазмы, а также процесс самовоздействия альфвеновских волн, проведены оценки для условий солнечной атмосферы.

В разделе 2.1 исследованы возмущения плазмы, индуцированные нелинейными сдвиговыми альфвеновскими волнами в плазме с тепловым дисбалансом.

В подразделе 2.1.1 получены уравнения, описывающие генерацию возмущений плазмы сдвиговыми альфвеновскими волнами в плазме с тепловым дисбалансом.

В подразделе 2.1.2 получено аналитическое выражение для возмущения продольной скорости плазмы, индуцированного сдвиговой альфвеновской волной в плазме с тепловым дисбалансом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Белов Сергей Александрович, 2022 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Priest, E. Magnetohydrodynamics of the Sun. / E. Priest. Cambridge University Press, - 2014. 582 p.

2. Leighton, R.B. Velocity Fields in the Solar Atmosphere. I. Preliminary Report. / R.B. Leighton, R.W. Noyes, G.W. Simon // Astrophys. J. - 1962. - Vol. 135. - P. 474.

3. Frazier, E.N. An Observational Study of the Hydrodynamics of the Lower Solar Photosphere. / E.N. Frazier // Publ. Astron. Soc. Pacific. - 1966. - Vol. 78. - P. 424.

4. Frazier, E.N. A Spatio-Temporal Analysis of Velocity Fields in the Solar Photosphere. / E.N. Frazier // Zeitschrift fur Astrophys. - 1968. - Vol. 68. - P. 345.

5. Ulrich, R.K. The Five-Minute Oscillations on the Solar Surface. / R.K. Ulrich // Astrophys. J. - 1970. - Vol. 162. - P. 993.

6. Leibacher, J.W. A New Description of the Solar Five-Minute Oscillation. / J.W. Leibacher, R.F. Stein // Astrophys. Lett. - 1971. - Vol. 7. - P. 191-192.

7. Deubner, F.L. Observations of low wavenumber nonradial eigenmodes of the sun. / F.L. Deubner // Astron. Astrophys. - 1975. - Vol. 44. - P. 371-375.

8. Christensen-Dalsgaard, J. Towards a heliological inverse problem. / J. Christensen-Dalsgaard, D.O. Gough // Nature. - 1976. - Vol. 259, № 5539. - P. 89-92.

9. Basu, S. Global seismology of the Sun. / S. Basu // Living Rev. Sol. Phys. - 2016. - Vol. 13, № 1. - P. 2.

10. Nakariakov, V.M. Magnetohydrodynamic Waves in the Solar Corona. / V.M. Nakariakov, D.Y. Kolotkov // Annu. Rev. Astron. Astrophys. - 2020. - Vol. 58, № 1. - P. 441-481.

11. Li, B. Magnetohydrodynamic Fast Sausage Waves in the Solar Corona. / B. Li, P. Antolin, M.-Z. Guo, A.A. Kuznetsov, D.J. Pascoe, et al. // Space Sci. Rev. - 2020.

- Vol. 216, № 8. - P. 136.

12. Nakariakov, V.M. Kink Oscillations of Coronal Loops. / V.M. Nakariakov, S.A. Anfinogentov, P. Antolin, R. Jain, D.Y. Kolotkov, et al. // Space Sci. Rev. - 2021.

- Vol. 217, № 6. - P. 73.

13. Wang, T. Slow-Mode Magnetoacoustic Waves in Coronal Loops. / T. Wang, L. Ofman, D. Yuan, F. Reale, D.Y. Kolotkov, et al. // Space Sci. Rev. - 2021. - Vol. 217, № 2. - P. 34.

14. Alfven, H. Magneto hydrodynamic waves, and the heatinhg of the solar corona. / H. Alfven // Mon. Not. R. Astron. Soc. - 1947. - Vol. 107. - P. 211.

15. Jess, D.B. AlfVen Waves in the Lower Solar Atmosphere. / D.B. Jess, M. Mihalis, E. Robert, P.J. Crockett, F.P. Keenan, et al. // Science (80-. ). - 2009. - Vol. 323, № 5921. - P. 1582-1585.

16. Srivastava, A.K. High-frequency torsional Alfven waves as an energy source for coronal heating. / A.K. Srivastava, J. Shetye, K. Murawski, J.G. Doyle, M. Stangalini, et al. // Sci. Rep. - 2017. - Vol. 7, № 1. - P. 43147.

17. Aschwanden, M.J. Torsional Alfvenic Oscillations Discovered in the Magnetic Free Energy during Solar Flares. / M.J. Aschwanden, T. Wang // Astrophys. J. -2020. - Vol. 891, № 1. - P. 99.

18. Kohutova, P. First direct observation of a torsional Alfven oscillation at coronal heights. / P. Kohutova, E. Verwichte, C. Froment // Astron. Astrophys. - 2020. -Vol. 633.

19. Heyvaerts, J. Coronal heating by phase-mixed shear Alfven waves. / J. Heyvaerts, E.R. Priest // Astron. Astrophys. - 1983. - Vol. 117. - P. 220-234.

20. Wentzel, D.G. Alfven Waves Heating the Solar Corona. / D.G. Wentzel // Bulletin of the American Astronomical Society. - 1974. - Vol. 6. - P. 346.

21. Wentzel, D.G. Coronal heating by Alfvén waves, II. / D.G. Wentzel // Sol. Phys. -1976. - Vol. 50, № 2. - P. 343-360.

22. Brodin, G. Three-wave coupling coefficients for MHD plasmas. / G. Brodin, L. Stenflo // J. Plasma Phys. - 1988. - Vol. 39, № 02. - P. 277-284.

23. Zaqarashvili, T. V. Swing wave-wave interaction: Coupling between fast magnetosonic and Alfven waves. / T. V. Zaqarashvili, B. Roberts // Phys. Rev. E. - 2002. - Vol. 66, № 2. - P. 26401.

24. Hollweg, J. V. Alfven Waves in the Solar Atmospheres - Part Three - Nonlinear Waves on Open Flux Tubes. / J. V. Hollweg, S. Jackson, D. Galloway // Sol. Phys. - 1982. - Vol. 75, № 1-2. - P. 35-61.

25. Boynton, G.C. Dissipation of non-linear Alfven waves. / G.C. Boynton, U. Torkelsson // Astron. Astrophys. - 1996. - Vol. 308. - P. 299-308.

26. Nakariakov, V.M. Nonlinear dissipative spherical Alfvén waves in solar coronal holes. / V.M. Nakariakov, L. Ofman, T.D. Arber // Astron. Astrophys. - 2000. -Vol. 353. - P. 741-748.

27. Zheng, J. Nonlinear Alfvén wave propagating in ideal MHD plasmas. / J. Zheng, Y. Chen, M. Yu // Phys. Scr. - 2015. - Vol. 91, № 1. - P. 15601.

28. Grant, S.D.T. Alfvén wave dissipation in the solar chromosphere. / S.D.T. Grant, D.B. Jess, T. V Zaqarashvili, C. Beck, H. Socas-Navarro, et al. // Nat. Phys. -2018. - Vol. 14, № 5. - P. 480-483.

29. Hollweg, J. V. Density fluctuations driven by Alfvén waves. / J. V Hollweg // J. Geophys. Res. - 1971. - Vol. 76, № 22. - P. 5155-5161.

30. McLaughlin, J.A. Phase mixing of nonlinear visco-resistive Alfvén waves. / J.A. McLaughlin, A.W. Hood, I. De Moortel // Astron. Astrophys. - 2011. - Vol. 527.

31. Cohen, R.H. Nonlinear evolution of parallelpropagating hydromagnetic waves. / R.H. Cohen, R.M. Kulsrud // Phys. Fluids. - 1974. - Vol. 17.

32. Verwichte, E. On the evolution of a nonlinear Alfvén pulse. / E. Verwichte, V.M. Nakariakov, A.W. Longbottom // J. Plasma Phys. - 1999. - Vol. 62, № 2. - P. 219-232.

33. Farahani, S. Nonlinear evolution of torsional Alfvén waves. / S. Farahani, V. Nakariakov, E. Verwichte, T. Van Doorsselaere. - 2012. - Vol. 544. 127 p.

34. Van Doorsselaere, T. Coronal Heating by MHD Waves. / T. Van Doorsselaere, A.K. Srivastava, P. Antolin, N. Magyar, S. Vasheghani Farahani, et al. // Space Sci. Rev. - 2020. - Vol. 216, № 8. - P. 140.

35. Nakariakov, V.M. TRACE observation of damped coronal loop oscillations: Implications for coronal heating. / V.M. Nakariakov, L. Ofman, E.E. DeLuca, B. Roberts and, J.M. Davila // Science (80-. ). - 1999. - Vol. 285, № 5429. - P. 862-864.

36. Nakariakov, V.M. Determination of the coronal magnetic field by coronal loop oscillations. / V.M. Nakariakov, L. Ofman // Astron. Astrophys. - 2001. - Vol. 372, № 3. - P. L53-L56.

37. Cho, I.H. Determination of the Alfvén Speed and Plasma-beta Using the Seismology of Sunspot Umbra. / I.H. Cho, K.. S. Cho, S.C. Bong, Y.J. Moon, V.M. Nakariakov, et al. // Astrophys. J. Lett. - 2017. - Vol. 837, № 1. - P. L11.

38. Wang, T. Evidence of thermal conduction suppression in a solar flaring loop by coronal seismology of slow-mode waves. / T. Wang, L. Ofman, X. Sun, E. Provornikova, J.M. Davila // Astrophys. J. Lett. - 2015. - Vol. 811, № 1.

39. Prasad, A. Effect of Thermal Conductivity, Compressive Viscosity and Radiative Cooling on the Phase Shift of Propagating Slow Waves with and Without Heating-Cooling Imbalance. / A. Prasad, A.K. Srivastava, T. Wang // Sol. Phys. -2021. - Vol. 296, № 6. - P. 105.

40. Jess, D.B. Solar coronal magnetic fields derived using seismology techniques applied to omnipresent sunspot waves. / D.B. Jess, V.E. Reznikova, R.S.I. Ryans,

D.J. Christian, P.H. Keys, et al. // Nat. Phys. - 2016. - Vol. 12, № 2. - P. 179185.

41. Zajtsev, V. V. On the origin of pulsations of type IV solar radio emission. Plasma cylinder oscillations (I). / V. V Zajtsev, A. V Stepanov // Issled. Geomagn. Aeron. i Fiz. Solntsa. - 1975. - Vol. 37. - P. 3-10.

42. Zaitsev, V. V. On the Origin of the Hard X-Ray Pulsations during Solar Flares. / V. V Zaitsev, A. V Stepanov // Sov. Astron. Lett. - 1982. - Vol. 8. - P. 132-134.

43. Edwin, P.M. Wave propagation in a magnetic cylinder. / P.M. Edwin, B. Roberts // Sol. Phys. - 1983. - Vol. 88, № 1. - P. 179-191.

44. Del Zanna, G. CHIANTI - An Atomic Database for Emission Lines. {XVI}. Version 10, Further Extensions. / G. Del Zanna, K.P. Dere, P.R. Young, E. Landi // Astrophys. J. - 2021. - Vol. 909, № 1. - P. 38.

45. Rosner, R. Dynamics of the quiescent solar corona. / R. Rosner, W.H. Tucker, G.S. Vaiana // Astrophys. J. - 1978. - Vol. 220. - P. 643-645.

46. Carbonell, M. Spatial damping of linear non-adiabatic magnetoacoustic waves in a prominence medium. / M. Carbonell, J. Terradas, R. Oliver, J.L. Ballester // Astron. Astrophys. - 2006. - Vol. 460, № 2. - P. 573-581.

47. Parker, E.N. Instability of Thermal Fields. / E.N. Parker // Astrophys. J. - 1953. -Vol. 117. - P. 431-436.

48. Field, G.B. Thermal Instability. / G.B. Field // Astrophys. J. - 1965. - Vol. 142. -P. 531-567.

49. Foukal, P. V. Pressure and energy balance of the cool corona over sunspots. / P. V Foukal // Astrophys. J. - 1976. - Vol. 210. - P. 575-581.

50. Antolin, P. Coronal Rain as a Marker for Coronal Heating Mechanisms. / P. Antolin, K. Shibata, G. Vissers // Astrophys. J. - 2010. - Vol. 716, № 1. - P. 154.

51. Antolin, P. The Multithermal and Multi-stranded Nature of Coronal Rain. / P.

Antolin, G. Vissers, T.M.D. Pereira, L.R. van der Voort, E. Scullion // Astrophys. J. - 2015. - Vol. 806, № 1. - P. 81.

52. Soler, R. Stability of thermal modes in cool prominence plasmas. / R. Soler, J.L. Ballester, S. Parenti // Astron. Astrophys. - 2012. - Vol. 540. - P. A7.

53. Ledentsov, L.S. Thermal instability of a reconnecting current layer as a trigger for solar flares. / L.S. Ledentsov, B. V Somov // J. Exp. Theor. Phys. - 2017. - Vol. 125, № 2. - P. 347-356.

54. Heyvaerts, J. The thermal instability in a magnetohydrodynamic medium. / J. Heyvaerts // Astron. Astrophys. - 1974. - Vol. 37. - P. 65-73.

55. Krasnobaev, K. V. Quasi-isentropic nonlinear waves in a gas with thermal instability. / K. V Krasnobaev, V.Y. Tarev // Sov. Astron. - 1987. - Vol. 31. - P. 635.

56. Molevich, N.E. Second viscosity in thermodynamically nonequilibrium media. / N.E. Molevich, A.N. Oraevskii // Zh. Eksp. Teor. Fiz. - 1988. - Vol. 94, № 3. - P. 128-132.

57. Nakariakov, V.M. Magnetoacoustic waves of small amplitude in optically thin quasi-isentropic plasmas. / V.M. Nakariakov, C.A. Mendoza-Briceno, M.H. Ibanez S // Astrophys. J. - 2000. - Vol. 528, № 2. - P. 767-775.

58. Chin, R. Self-organization of magnetoacoustic waves in a thermally unstable environment. / R. Chin, E. Verwichte, G. Rowlands, V.M. Nakariakov // Phys. Plasmas. - 2010. - Vol. 17, № 3. - P. 32107.

59. Galimov, R.N. Structure and bifurcations of plane shock waves in a vibrationally excited gas with an external pumping source. / R.N. Galimov, N.E. Molevich // Fluid Dyn. - 2009. - Vol. 44, № 1. - P. 158-169.

60. Molevich, N.E. Traveling self-sustained structures in interstellar clouds with the isentropic instability. / N.E. Molevich, D.I. Zavershinsky, R.N. Galimov, V.G. Makaryan // Astrophys. Space Sci. - 2011. - Vol. 334, № 1. - P. 35-44.

61. Krasnobaev, K. V. Isentropic thermal instability in atomic surface layers of photodissociation regions. / K. V Krasnobaev, R.R. Tagirova // Mon. Not. R. Astron. Soc. - 2017. - Vol. 469, № 2. - P. 1403-1413.

62. Zavershinskii, D.I. Formation of quasi-periodic slow magnetoacoustic wave trains by the heating/cooling misbalance. / D.I. Zavershinskii, D.Y. Kolotkov, V.M. Nakariakov, N.E. Molevich, D.S. Ryashchikov // Phys. Plasmas. - 2019. - Vol. 26, № 8. - P. 82113.

63. Nakariakov, V.M. Solitary autowaves in magnetic flux tubes. / V.M. Nakariakov, B. Roberts // Phys. Lett. A. - 1999. - Vol. 254. - P. 314-318.

64. Makaryan, V.G. Structure of a gasdynamic disturbance in a thermodynamically nonequilibrium medium with a power-law relaxation model. / V.G. Makaryan, N.E. Molevich // Fluid Dyn. - 2004. - Vol. 39, № 5. - P. 836-845.

65. Makaryan, V.G. Stationary shock waves in nonequilibrium media. / V.G. Makaryan, N.E. Molevich // Plasma Sources Sci. Technol. - 2007. - Vol. 16, № 1. - P. 124-131.

66. Zavershinskii, D.I. Nonlinear magnetoacoustic waves in plasma with isentropic thermal instability. / D.I. Zavershinskii, N.E. Molevich, D.S. Riashchikov, S.A. Belov // Phys. Rev. E. - 2020. - Vol. 101, № 4. - P. 43204.

67. Molevich, N. Shock wave structures in an isentropically unstable heat-releasing gas. / N. Molevich, D. Riashchikov // Phys. Fluids. - 2021. - Vol. 33, № 7. - P. 076110.

68. Kolotkov, D.Y. Damping of slow magnetoacoustic oscillations by the misbalance between heating and cooling processes in the solar corona. / D.Y. Kolotkov, V.M. Nakariakov, D.I. Zavershinskii // Astron. Astrophys. - 2019. - Vol. 628. - P. A133.

69. Duckenfield, T.J. The effect of the magnetic field on the damping of slow waves in the solar corona. / T.J. Duckenfield, D.Y. Kolotkov, V.M. Nakariakov //

Astron. Astrophys. - 2021. - Vol. 646. - P. A155.

70. Zavershinskii, D. Mixed Properties of Slow Magnetoacoustic and Entropy Waves in a Plasma with Heating/Cooling Misbalance. / D. Zavershinskii, D. Kolotkov, D. Riashchikov, N. Molevich // Sol. Phys. - 2021. - Vol. 296, № 6. - P. 96.

71. Kolotkov, D.Y. Seismological constraints on the solar coronal heating function. / D.Y. Kolotkov, T.J. Duckenfield, V.M. Nakariakov // Astron. Astrophys. - 2020. - Vol. 644. - P. A33.

72. Kolotkov, D.Y. The solar corona as an active medium for magnetoacoustic waves. / D.Y. Kolotkov, D.I. Zavershinskii, V.M. Nakariakov // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2021. - Vol. 63, № 12. - P. 124008.

73. Yokoyama, T. Magnetic reconnection model of coronal X-ray jets. / T. Yokoyama // Solar Jets and Coronal Plumes. - 1998. - Vol. 421. - P. 215.

74. Takeuchi, A. Magnetic Reconnection Induced by Convective Intensification of Solar Photospheric Magnetic Fields. / A. Takeuchi, K. Shibata // Astrophys. J. Lett. - 2001. - Vol. 546, № 1. - P. L73-L76.

75. Kigure, H. Generation of Alfven Waves by Magnetic Reconnection. / H. Kigure, K. Takahashi, K. Shibata, T. Yokoyama, S. Nozawa // Publ. Astron. Soc. Japan. -2010. - Vol. 62, № 4. - P. 993-1004.

76. Молевич Н.Е. Вторая вязкость в термодинамически неравновесных средах. / Н.Е. Молевич, А.Н. Ораевский // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1988. - Т. 94, № 3. - С. 128-132.

77. Wentzel, D.G. Coronal heating by Alfven waves. / D.G. Wentzel // Sol. Phys. -1974. - Vol. 39, № 1. - P. 129-140.

78. Zavershinskiy, D.I. Parametrical amplification of Alfven waves in heat-releasing ionized media with magnetoacoustic instability. / D.I. Zavershinskiy, N.E. Molevich // Astrophys. Space Sci. - 2015. - Vol. 358, № 22. - P. 1-13.

79. Zavershinsky, D.I. Alfven wave amplification as a result of nonlinear interaction with a magnetoacoustic wave in an acoustically active conducting medium. / D.I. Zavershinsky, N.E. Molevich // Tech. Phys. Lett. - 2014. - Vol. 40, № 8. - P. 701-703.

80. Ахманов С.А. Метод Хохлова в теории нелинейных волн. / С.А. Ахманов // Усп. физ. наук. - 1986. - Т. 149, № 7. - С. 361-390.

81. Зайцев В.Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. М.: ФИЗМАТЛИТ, - 2001. 576 с.

82. Molevich, N.E. Excitation of the opposite acoustic flows in thermodynamically nonequilibrium gaseous media. / N.E. Molevich // Tech. Phys. Lett. - 2001. - Vol. 27, № 11. - P. 900-901.

83. Molevich, N.E. Nonstationary self-focusing of sound beams in a vibrationally excited molecular gas. / N.E. Molevich // Acoust. Phys. - 2002. - Vol. 48, № 2. -P. 209-213.

84. Dere, K.P. CHIANTI - an atomic database for emission lines* I. Wavelengths greater than 50 A. / K.P. Dere, E. Landi, H.E. Mason, B.C. Monsignori Fossi, P.R. Young // Astron. Astrophys. Suppl. Ser. - 1997. - Vol. 125, № 1. - P. 149-173.

85. Boris, J.P. Flux-corrected transport. I. SHASTA, a fluid transport algorithm that works. / J.P. Boris, D.L. Book // J. Comput. Phys. - 1973. - Vol. 11, № 1. - P. 38-69.

86. Toth, G. Comparison of Some Flux Corrected Transport and Total Variation Diminishing Numerical Schemes for Hydrodynamic and Magnetohydrodynamic Problems. / G. Toth, D. Odstrcil // J. Comput. Phys. - 1996. - Vol. 128, № 1. - P. 82-100.

87. Banerjee, D. Signatures of Alfven waves in the polar coronal holes as seen by EIS/Hinode. / D. Banerjee, D. Perez-Suarez, J. ~G. Doyle // Astron. Astrophys. -2009. - Vol. 501, № 3. - P. L15-L18.

88. Pekünlü, E.R. Alfvén waves in the inner polar coronal hole. / E.R. Pekünlü, Z. Bozkurt, M. Afsar, E. Soydugan, F. Soydugan // Mon. Not. R. Astron. Soc. -2002. - Vol. 336, № 4. - P. 1195-1200.

89. Campos, L.M.B.C. On the viscous and resistive dissipation of magnetohydrodynamic waves. / L.M.B.C. Campos // Phys. Plasmas. - 1999. -Vol. 6, № 1. - P. 57-65.

90. Spitzer, L. Physics of Fully Ionized Gases (Interscience, New York, 1962). / L. Spitzer // Google Sch. - 1965. - P. 28.

91. Dahlburg, R.B. Influence of heating rate on the condensational instability. / R.B. Dahlburg, J.T. Mariska // Sol. Phys. - 1988. - Vol. 117, № 1. - P. 51-56.

92. Ibanez S, M.H. Propagation of hydrodynamic waves in optically thin plasmas. / M.H. Ibanez S, O.B. Escalona T // Astrophys. J. - 1993. - Vol. 415. - P. 335-341.

93. Kawaguchi, I. On the Excitation and Ionization Temperature of the Hydrogen in the Chromosphere. / I. Kawaguchi // Publ. Astron. Soc. Japan. - 1952. - Vol. 4. -P. 131.

94. Gary, G.A. Plasma beta above a solar active region: Rethinking the paradigm. / G.A. Gary // Sol. Phys. - 2001. - Vol. 203, № 1. - P. 71-86.

95. Bourdin, P.-A. Plasma Beta Stratification in the Solar Atmosphere: A Possible Explanation for the Penumbra Formation. / P.-A. Bourdin // Astrophys. J. - 2017.

- Vol. 850, № 2. - P. L29.

96. Hofmeister, S.J. Characteristics of Low-latitude Coronal Holes near the Maximum of Solar Cycle 24. / S.J. Hofmeister, A. Veronig, M.A. Reiss, M. Temmer, S. Vennerstrom, et al. // Astrophys. J. - 2017. - Vol. 835, № 2. - P. 268.

97. Heinemann, S.G. Statistical Analysis and Catalog of Non-polar Coronal Holes Covering the SDO-Era Using CATCH. / S.G. Heinemann, M. Temmer, N. Heinemann, K. Dissauer, E. Samara, et al. // Sol. Phys. - 2019. - Vol. 294, № 10.

- P. 144.

98. Zheng, J. Nonlinear Alfven wave propagating in ideal MHD plasmas. / J. Zheng, M. Yu, Y. Chen // Phys. Scr. - 2015. - Vol. 91, № 1.

99. Reale, F. Coronal Loops: Observations and Modeling of Confined Plasma. / F. Reale // Living Rev. Sol. Phys. - 2014. - Vol. 11, № 1. - P. 4.

100. Roberts, B. Wave propagation in a magnetically structured atmosphere. I: Surface waves at a magnetic interface. / B. Roberts // Sol. Phys. - 1981. - Vol. 69, № 1. -P. 27-38.

101. Roberts, B. Wave propagation in a magnetically structured atmosphere. II: Waves in a magnetic slab. / B. Roberts // Sol. Phys. - 1981. - Vol. 69, № 1. - P. 39-56.

102. Zaqarashvili, T. V Coupling between Radial and Torsional Oscillations in a Magnetized Plasma and Possible Stellar Applications. / T. V Zaqarashvili, G. Belvedere // Astrophys. J. - 2007. - Vol. 663, № 1. - P. 553.

103. Zhugzhda, Y.D. Force-free thin flux tubes: Basic equations and stability. / Y.D. Zhugzhda // Phys. Plasmas. - 1996. - Vol. 3, № 1. - P. 10-21.

104. Yuan, D. Measuring the apparent phase speed of propagating EUV disturbances. / D. Yuan, V.M. Nakariakov // Astron. Astrophys. - 2012. - Vol. 543.

105. Prasad, S.K. Frequency-dependent damping in propagating slow magneto-acoustic waves. / S.K. Prasad, D. Banerjee, T. Van Doorsselaere // Astrophys. J. - 2014. -Vol. 789, № 2. - P. 118.

106. Marsh, M.S. Observed damping of the slow magnetoacoustic mode. / M.S. Marsh, I. De Moortel, R.W. Walsh // Astrophys. J. - 2011. - Vol. 734, № 2. - P. 81.

107. Vasheghani Farahani, S. Nonlinear long-wavelength torsional Alfven waves. / S. Vasheghani Farahani, V.M. Nakariakov, T. Van Doorsselaere, E. Verwichte // Astron. Astrophys. - 2011. - Vol. 526.

108. Scalisi, J. Propagation of Torsional Alfven Pulses in Zero-beta Flux Tubes. / J. Scalisi, W. Oxley, M.S. Ruderman, R. Erdelyi // Astrophys. J. - 2021. - Vol. 911,

№ 1. - P. 39.

ПРИЛОЖЕНИЕ

В работе был использован вариант метода коррекции потоков под названием ETBFCT, подробное описание которого может быть найдено в [86]. Однако целесообразно будет привести основные моменты данного алгоритма ниже. Семейство методов коррекции потоков направлено на явное независимое решение системы уравнений, каждое из которых может быть записано в консервативной форме:

ди+£=5,

дг дг

где и - некоторая консервативная переменная; / = иуг - поток этой величины вдоль оси z; 5 - источник, включающий остальные слагаемые уравнения.

Используемая система одномерных МГД уравнений (2.1)-(2.6) в консервативной форме выглядит следующим образом:

ЗР + р = о,

дг дг друх _ друху2 Вг дВх

дг

дг

4л дг

р | др] дг

дг

д_

дг

г

д_ дг

г г р

8 +

2 2 2 ЛЛ V2 + V;; + ^

V V

Р +

V

г г

в2 + в

2 у

8л

У

+ ■

уУ

дг

р

8 +

V V

222 V2 + V2 + V ^

\

У У

дPv BzvxдB BzVудBу --1----1----Vz

дг 4л дг 4л дг

д_

дг

^2 + B2Л

х у

V ^^У

+

Я (р, Т),

дБ дBy,

дг дг

^х д

дг дг

'А. д_ВЛ

к 4ла дг У

Р = ^ рТ,

т

_К Т т у-1

Каждое из представленных выше уравнений решается независимо (что позволяет использовать общий решатель для разных систем уравнений). Для решения используется однородная по пространству и времени сетка: 1 .+1 = ^ + Аг, 'и+1 = ^ = А/ + А/, значение рассчитываемой величины на

временном шаге гп в точке 1. обозначается как и".

Итерация по времени с гп до 'и+1, совершается в два шага, состоящих из трех последовательных транспортного, диффузионного и антидиффузионного этапов: 1. Полушаг:

А^ ( 4"п 4"п \ л- А^ С"

;( /у+1/2 - //-1/2 ) + ~ '

и] = ип

2 Аг

иа = и' + Бп - Бп

и] + Б]+1/2 -1/2'

J

7+1/2

А

7-1/2 •

2. Шаг:

ттТ _ТТп А' ( гп+1/2 /-п+1/2\ . А .еп+1/2 ^^ = ^^ (+1/2 - -1/2 ) + ■> '

Т Ти _ Т Т1 I 7~)П+1/2 т-чП+1/2 и ] = и ] + Б]+1/2 - Б]-1/2

и) ~и) 7+1/2 7-1/2 '

Во время диффузионного этапа (обозначается индексами ё и Б на полушаге и шаге, соответственно) в решение транспортного этапа (обозначается индексами 1 и Т на полушаге и шаге, соответственно) добавляется диффузионный поток Б, вносящий численную диффузию для достижения устойчивости и монотонности решения. Затем на антидиффузионном этапе вносится скорректированный антидиффузионный

поток А , который убирает численную диффузию там, где это возможно.

тО , ~АП+1/2 >+1/2

п

На транспортном этапе использованы следующие выражения для потоков:

У'И _ т ти п гп+И2 _ т ти п+1/2

]+1/2 =иу+1/2Vz,у+1/2, I]+1/2 ~и]+1/2'г,]+1/2,

и" +ип

ттп — ]+1 ]

и]+1/2 О

"п+1/2 _т тп п+1/2

] +1/2', ]+1/2

пп

, ^, ]+1/2

V, ]+1 + V ,]

Диффузионные потоки задаются через диффузионный коэффициент уп и величину Лип+1/2 = ип+1 - ип:

Оп =Уп лип Оп+1/2 = у+1/2л ип

^/+1/2 У+1/2ли]+1/2, ^/+1/2 У+1/2 ли]+1/2-Величина антидиффуизонного потока контролируется, чтобы избежать формирования новых максимумов или минимумов по сравнению с транспортным и диффузионным этапами:

4+1/2=^+1/2тах(0,1шп(

Ап

А]+1/2

л п+1/2 А]+1/2

Vй Ли* Vй Ли*

> л ]+1/2ли ]-1/2,+1/2ли/+3/2

> ^п+1/2 ли_/-1/2, ^/+1/2 ли/+3/2

)), )),

где

^+1/2

п+1/2 ]+1/2

= (л 1/2); = sgn (ли^+1/2);

Ап - нескорректированный антидиффузионный поток.

В рамках ETBFCT версии алгоритма нескорректированный антидиффузионный поток определяется как:

Ап+1/2 = Ру+1/2ли./+1/2, ^+1/2 = +1/2 ли/+1/2 , с использованием следующих диффузионных и антидиффузионных коэффициентов:

• п 1 . 1 / „п у+„2 = 1 + 3 <8

{8j+1/2 ) ,

+1/2

11

, .«+1/2 _ 1 , 1 / „п+1/2 \2 п _ 1 _ 1 / „п+1/2 \2 У]+1/2 = £ + 3 ( 8]+1/2 ) , Г/+1/2 = А А (8/+1/2 ) ,

6 6

1_1 6 - 6

(^ )2

п 1 & п

где = ^ ^П,^;

п+1/2 _ п+1/2

у+1/2 = Д^ Уг,У+1/2 •

Рассмотренная численная схема должна использоваться при условии, что ^П+1/2 < 0,5 на всей сетке, чтобы гарантировать монотонность на резких градиентах. Это условие соответствует величине числа Куранта С < 0,5. Также следует подчеркнуть, что используемая схема имеет второй порядок аппроксимации по времени и координате.

Чтобы удостовериться в реализации базового решателя алгоритм тестировался на задаче адвекции прямоугольного импульса, путем решения уравнения непрерывности с заданной постоянной скоростью ^. Затем для

тестирования решения полной системы МГД уравнений использовались задачи распространения акустических и альфвеновских волн малой амплитуды. В качестве финальной тестовой задачи рассматривалось распространение сдвиговых линейно поляризованных альфвеновских волн в идеальной плазме, результаты которого затем сравнивались с результатами, представленными в [25,27].