Вербальные вложения и сплетения групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Микаелян, Ваагн Гамлетович

• Микаелян, Ваагн Гамлетович
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Микаелян, Ваагн Гамлетович

ВВЕДЕНИЕ

Вербальные вложения групп

Основные результаты

Апробация результатов

Публикации и тексты статей

Структура диссертации

Подробное описание работы: результаты и техника

ГЛАВА 1. Нормальные вербальные вложения групп

1. Введение и содержание главы

2. Обозначения и определения нормальных и субнормальных вложений групп

3. Задача Хайнекена о нормальных вербальных вложениях групп 19 4 Критерий нормальной вербальной вложимости для групп

5. Простой пример: нормальные ^-вербальные вложения симметричских групп

6. Нормальная вербальная вложимость классов групп

7. Обобщение теоремы Бернсайда о нормальных вложениях р-групп в коммутанты групп

8. Конструкция группы И г(О, Д А)

ГЛАВА 2. Субнормальные вербальные вложения групп

9. Введение

10. Субнормальная вербальная вложимость для любой группы и для любого нетривиального множества слов

11. Конструкция субнормального вербального вложения

12. О дефекте субнормальных вложений, случай нормальных вложений

13 «Экономичные» вербальные вложения разрешимых групп в разрешимые группы

ОГЛАВЛЕНИЕ з

14. О вербальных вложениях конечных групп в конечные группы

15. Проблема явного вложения группы (ф в 2-порожденную группу

16. Определеиние полного порядка над группами, и связанные с этим понятия

17. Вложения вполне упорядоченных групп

ГЛАВА 3. Вложения счетных обобщенных разрешимых и обобщенных нильпотентных групп

18. Введение 54 19 Обозначения и определения 55 20. Теорема Ковача и Ноймана, вложения обобщенных разрешимых и обобщенных нильпотентных групп

21 Основные теоремы о вложениях обобщенных разрешимых групп

22. Основная конструкция вложения

23. Случай нормальных вложений, связь с проблемой Хайнекена, примеры

24. Примеры групп не вложимых в 2-порожденые группы

25. О вложениях 5Д-групп

ГЛАВА 4. Многообразия порожденные сплетениями абелевых групп

26. Основная задача

27. Результаты Хигмена и Хоутона, примеры

28. Общий критерий для случая сплетения любых абелевых групп

29. Общий критерий для случая любых множеств абелевых групп

30. Структура доказательства

31. Дискриминирующие множества групп

32. Некоторые специальные обозначения для абелевых групп

33. Сплетения множеств групп и произведения многообразий групп

34. Случай многообразий, порожденных сплетениями конечных абелевых групп. Теорема Хоутона.

35 Редукция к случаю бесконечных множеств счетных абелевых групп конечных экспонент

36. Случай множеств абелевых р-групп

4 ОГЛАВЛЕНИЕ

37. Случай множеств абелевых групп ï и 2) конечных составных экспонент

38. Общий критерий, примеры для нильпотентных и разрешимых групп

39. Некоторые иллюстрации и приложения 10?

40. Критерий для сплетений типа A Wr (В © В)

ГЛАВА 5. Групповые конструкции основанные на вербальных вложениях групп

41. Введение и основные результаты

42. Конечно-порожденные разрешимые нехопфовы группы

43. Вложение 2-порожденных групп в 3-порожденные нехопфовы группы

44. Континуум 2-порожденных групп, порождающих попарно различные многообразия групп, вложения в 2-порожденные группы

45. Заключительные доказательства

46. Вопрос Плоткина о 2-порожденных группах

47. Первое доказательство, основанное на бесконечных сплетенных степенях

48. Второе доказательство, основанное на геометрическом подходе

49. Сравнение аргументов и другие приложения метода

50. О локально неразрешимых «S7*-rpynnax

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вербальные вложения и сплетения групп»

Вложения групп, существование вложений с определенными заданными свойствами являются одними из самых интересных и продуктивных тематик исследований в теории групп. Можно сказать, чго мотив вложений проходит через всю теорию групп начиная с ее зарождения. Причем вложения групп часто сами оказываются очень полезными инструментами для решения задач в других областях теории групп: с их помощью сгроят примеры групп с заданными свойствами, решают алгоритмические вопросы и т. д.

Цель настоящей работы - разработать методы вербальных нормальных и субнормальных вложений групп, другие методы связанные со сплетениями групп, и с их помощью решить ряд проблем и обобщить известные результаты в теории многообразий групп, обобщенных разрешимых и обобщенных нильпотентных групп, вложений групп в группы с заданными свойствами, хопфовых групп и по близким вопросам.

Вложение (мономорфный гомоморфизм) <р : Н —(7 группы Н в группу С с образом Н = Н = Н{р < С? называется нормальным или субнормальным, если Н нормальная гаи, соответственно, субнормальная подгруппа в С. Пусть V С Ех - множество слов. Назовем эго вложение V-вербальным (или просто вербальным) если Н лежит в вербальной подгруппе где У(С) = (и(ди дп) \и = у(хх,.,хп) <Е У\дг,.,дп £ С). Очевидно понятие вербального вложения есть обобщение таких широко используемых в литературе понятий как «вложение в коммутант группы», «вложение в 7?-ый член нижнего центрального ряда группы» ит. д.

Основные результаты

Ниже в этом Введении будет дано подробное описание глав работы, и техники использованной в них (стр. 9-16). Но дня удобства обзора кратко приведем основные результаты. Работа состоит из пяти глав.

В Главе 1 решается проблема Хайнекена о нормальной вербальной вложимости групп: когда для данной группы Н и данного множества слое V существует группа С?, допускающая нормальное вербальное вложение Н в (?? Этот вопрос был решен Хайнекеном для всех конечных р-групп в [45]. Айк в [31, 32] решила вопрос для случая всех конечных групп. Полный ответ для случая любой группы Н был дан в нашей совместной работе с Хайнекеном [2] (см. Теорему 1 в Параграфе 4 настоящей работы). В Главе 1 также рассматриваются нормальные вербальные вложения «с дополнительными условиями», и с их помощью дается одно обобщение теоремы Бернсайда о вложениях конечных р-групп.

В Главе 2 обсуждаю гея субнормальные вербальные вложения групп. Доказывается, что в отличии от нормального случая, субнормальная вербальная вложимоегь имеет место всегда: По пункту А Теоремы 10 в Параграфе 10, для любой группы Н и для любого нетривиального множества слов V всегда существует группа С?, допускающая субнормальное ^-вербальное вложение Я в С. Более того, можно получигь усиления ряда известных теорем о вложениях счетных групп, в частности, знаменитой Теоремы Хигмена и Нойманов о вложимости любой счетной группы в 2-порожденную группу [46, 74]. По пункту В Теоремы 10 в Параграфе 10, каждая счетная группа для любого нетривиального множества слов V вербалъно вложима в 2-порожденную группу, причем это вложение может быть субнормальным. Далее, в качесгве иллюстрации метода, решается один из пунктов Проблемы 14.10 де ля Арпа и Бридсона из Коуровской Тетради [53] о явной вложимости аддитивной группы рациональных чисел <0> в конечно-порожденную группу. Положительный ответ был дан в [11] (см. Параграф 15). Глава 2 заканчивается рассмотрением вложений вполне упорядоченных групп.

В Главе 3 рассматриваются субнормальные вложения счетных групп с дополнительными условиями. Основная цель - изучение случаев, когда счетная группа данного класса (ниль-потентная группа, обобщенная разрешимая группа и г. д.) вложима в 2-порожденную группу того же класса. Параллельно рассматривается когда это вложение может быть вербальным, сохраняющим отношение порядка на группах, и т. д. В частности, по Теореме 16 и Теореме 15 в Параграфе 21, и по Теореме 18 в Параграфе 25, если счетная группа Н является разрешимой, группой, Б М* -группой, Б1*-группой, 3N-группой, БI-группой, БЫ- группой, Б Г-группой илиже Б П-группой, то для любого нетривиального множества слов V существует 2-порожденная группа и субнормальное V-вербальное вложение Н в С некоторую группу (?, причем группу б? можно выбрать в томже из выше перечисленных }спассов, что и Н. Приводятся контрпримеры, показывающие, что подобное утверждение не верно для классов абелевых групп, нильпотентных групп, 2.4-групп или УУ-групн (см. определения « Параграфе 19).

В Главе 4 обсуждаются многообразия, порожденные сплетениями абелевых групп и сплетениями множеств абелевых групп. Находятся критерии, классифицирующие все случаи, когда для данных множеств абелевых групп X и 2) их декартово сплетение X \\т 2) = {Х\УгУ|Л" € Х,У е 2)} или их прямое сплетение 3£\уг2) = {Х^хУ\Х е Х,У е 2)} порождают произведение уаг (ЗС) уаг (2)) многообразий порожденных данными множествами групп X и 2). В частности, когда множества X и 2) состоят каждая из одной группы: X = {А} и 2) = {В}, мы получаем критерии, классифицирующие все случаи, когда уаг (А \\'г В) = уаг (А) уаг (В) и уаг (А \уг В) = уаг (Л) уаг (В). Эти результаты обобщают известные факты о выполнении таких равенств в частных случаях. Например, результат Хоутона, изучившего случай циклических групп А = Ст, В — Сп: равенство уаг (Ст Сп) = уаг (Ст) уаг (СТ!)'"-01тШп имеет место тогда и только тогда, когда т и п взаимно просты [75].

В Главе 5 мы используем (вербальные) вложения групп для построения групп и классов групп с различными свойствами. Например, в Теореме 37 в Параграфе 42 доказывается, что существует континуум 3-порожденных разрешимых нехопфовых групп, порождающих попарно различные многообразия групп. Длина разрешимости этих групп не более девяти. Там же дана одна иллюстрация к Проблеме 16 Ханны Нойман [75] и к результагу Гроувза [35]. Далее в Главе 5, в Параграфах 46 - 49 дана геометрическая конструкция иллюстрирующая известную концепцию бесконечных сплетенных степеней Ф. Холла, и с их помощью дан ответ на один вопрос Плоткина: Существует ли 2-порожденная группа С? = (х, у) такая, что С не разрешима (поэтому, она и не локально-разрешима), но нормальное замыкание (х)с элемента жаб есть локально разрешимая подгруппа? Глава 5 закрывается примерами локально-неразрешимых 57*-групп. Мы строим континуум примеров таких групп, все лежащие в 21 • [(Яр П <£„) и (05 П ОЗадг)) ■ 213.

ВВЕДЕНИЕ Апробация результатов

Результаты диссертации начиная с 1997 г. неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах, международных конференциях и воркшопах. В их числе можно отметить:

• XXII Международный математический конгресс в Берлине, Германия, 1998. *•

• Объединенный алгебраический семинар университетов Фрайбурга, Нюрнберга и Вюрц-бурга, Германия, 1998.

• Биместр памяти Рейхолда Бэра в Университете Неаполя, Италия, 2002 (два часовых доклада).

• Международная конференция по теории групп и групповых колец в Гливице, Польша, 2003.

• Международная алгебраическая конференция в Москве к 250-летнему юбилею Московского государственного университета, и к 75-летнему юбилею кафедры алгебры Московского государственного университета, Москва, Россия, 2004.

• Международная конференция по комбинаторной и геомегрической теории групп в Уж: -верситете Вапдербильдт, Нэшвиль, США, 2005.

• Международная конференция к 80 юбилею профессора Бориса Плоткина, Иерусалим, Израиль, 2006.

• Первая международная конференция по алгебре и геометрии в Армении, Ереван, 2007.

• Семинар по теории групп кафедры высшей алгебры Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия, 2011.

• Кафедральный семинар кафедры высшей алгебре Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия, 2011.

Большинство результатов диссертации включены в опубликованные тезисы этих конференций.

Работа автора Subnormal embedding theorems for groups (J. London Math. Soc., 62 (2000), 398-406) была удостоена Первой международной премии имени Эмиля Артина в 2001 г. (см. Notices of the American Mathematical Society 2001, 48, 8, c. 834): http ://www.ams.org/notices/200108/people.pdf

ПОДРОБНОЕ ОПИСАНИЕ РАБОТЫ- РЕЗУЛЬТАТЫ И ТЕХНИКА Публикации и тексты статей

Результаты работы представлены в статьях [1]-[16]. Основные из полученных результатов приведены в этой работе полностью, вместе с доказательствами и техническими деталями. Остальная часть материала статей приводится без доказательств, но со ссылками на соответствующие части публикаций. Ниже в основном тексте будут даны все необходимые специальные определения и обозначения. А в этом Введении ограничимся лишь несколькими определениями, чтобы не отсылать читателя к другим параграфам слишком часто. См. таю^е обзор основных результатов в [16].

Структура диссертации

Диссертация состоит из Введения, из 5 глав (разбитых на параграфы) и из списка ли-терагуры. Нумерация параграфов, теорем, лемм, определений и т.д. - сквозная. Полный объем диссертации 167 страниц, библиография включает 87 наименований, из которых 16 -публикации автора по теме диссертации.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Микаелян, Ваагн Гамлетович, 2010 год

1. V. Н. Mikaelian, Subnormal embedding theorems for groups, J. London Math. Soc., 62 (2000), 398-406. MR1783633

2. H. Heineken, V. H. Mikaelian On normal verbal embeddings of groups, J. Math. Sei., New York, 100 (2000), 1, 1915-1924. MR1774361

3. V. H. Mikaelian, On varieties of groups generated by wreath products of abelian groups, Abelian groups, rings and modules (Perth, Australia, 2000), 223-238, Contemp. Math., 273, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001. MR1817165

4. V. H. Mikaelian, On embeddings of countable generalized soluble groups in two-generated groups, J. Algebra, 250 (2002), 1-17. MR1898374

5. V. H. Mikaelian, Two problems on varieties of groups generated by wreath products of groups, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 31 (2002), 2, 65-75. MR1916454

6. V. H. Mikaelian, An embedding construction for ordered groups, J. Austral Math. Soc. (A), 74 (2003), 379-392. MR1970055

7. V. H. Mikaelian, On wreath products of finitely generated abelian groups, Advances in. Group Theory, Proc. Internat. Research Bimester dedicated to the memory of Reinhold Baer, (Napoli, Italy, May-June, 2002), Aracne, Roma, 2003, 13-24. MR2053433

8. V. H. Mikaelian, Infinitely many not locally soluble SI*-groups, Ricerche di Matematica, Univ. Studi Napoli, Naples, 52 (2003), 1-19. MR2090057

9. V. H. Mikaelian, On embedding properties of SD-groups, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2004:2 (2004) 65-76. MR2471850

10. V. H. Mikaelian, On a problem on explicit embeddings of the group Q, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2005:13 (2005) 2119-2123. MR2177699161162 ЛИТЕРАТУРА

11. V. Н. Mikaelian, Metabehan varieties of groups and wreath products of abelian groups, J. Algebra, 2007 (313), 2, 455-485. MR2329555

12. V. H. Mikaelian, On finitely generated soluble non-Hopfian groups, an application to a problem of Neumann, IJAC, International Journal of Algebra and Computations, 17 (2007), Nos. 5-6, 1107-1113. MR2355688

13. V. H. Mikaelian, SD-groups and embeddings, Armen. J. Math. 1 (2008), no. 3, 23r42. MR2471850

14. С. И. Адян, Бесконечные неприводимые системы групповых тождеств, ДАН ССС", 1970, 190, 3, 499--501.

15. R. Baer, Die Kompositionsreihe der Gruppe oiler eineindeutigen Abbildungen emer unendlichen Menge auf sich, Studia Math. 5 (1934), 15-17.

16. G. Baumslag, Wreath products and extensions, Math. Z., 81 (1963), 286-299.

17. G. Baumslag, L.G. Kovacs, B.H. Neumann, On products of normal subgroups, Acta Sci. Math. 26, 145-147 (1965).

18. G. Baumslag, В. H. Neumann, Hanna Neumann, P. M. Neumann On varieties generated by finitely generated group, Math. Z., 86 (1964), 93-122.

19. G. Birkhoff, On the structure of abstract algebras, Proc. Cambridge Phil. Soc., 31 (1935), 433-454.

20. N. Blackburn, On prime power groups in which the derived group has two generators, Proc. Cambridge Philos. Soc. 53 (1957), 19-27.

21. N. Blackburn, B. Huppert, Finite Groups (Endhche Gruppen), Springer-Verlag, Berlin (1967-82).ЛИТЕРАТУРА 1631

22. N. R. Brumberg, Connection of wreath product with other operations on groups, Sib. Mat. Zh., 4 (1963), 6, 1221-1234 (Russian).

23. R. M. Bryant, J. R. J. Groves, Wreath products and ultraproducts of groups, Quart J. Math. (2), 29 (1978), 301-308.

24. R. G. Burns, Ph.D. Thesis.

25. W. Burnside, On some properties of groups whose orders are powers of primes, Proc. London Math. Soc. (2) 11 (1912) 225-245.

26. R. Dark, On subnormal embedding theorems of groups, J. London Math Soc. 43 (1968), 387-390.

27. J. L. Dyer, E. Formanek, The automorphism group of a free group is complete, J. London Math. Soc. (2) 11 (1975), 181-190.

28. B. Eick, The converse of a theorem of W. Gaschütz on Frattini subgroups, Math. Z. 224, (1997), 1, 103-111.

29. B. Eick, Characterisierung und Konstruktion von Frattmigruppen mit Anwendungen in der Konstruktion endlicher Gruppen, Aachener Beiträge zur Mathematik, Band 17, Aachen, 1996.

30. L. Fuchs, Partially ordered algebraic systems, Pergamon Press, Oxford, London, New York, Paris, 1963. Russian translation by I. V. Streletski under edition of A. G. Kurosch, Mir, M 1965.

31. F. Galvin, Embedding countable groups in 2-generator groups. Amer. Math. Monthly 100 (1993), no. 6, 578-580. v

32. J. R. J. Groves, On some finiteness conditions for varieties of metanilpotent groups, Arch. Math. 24 (1973), 252-268.

33. P. Hall, Finiteness conditions for soluble groups, Proc. London Math. Soc., (3) 4 (1954), 419-436.

34. P. Hall, Some constructions for locally finite groups, J. Lond. Math. Soc. 34, 305-319 (1959).

35. P. Hall, Wreath powers and characteristically simple groups, Proc. Camb. Philos. Soc. 58, 170-184 (1962).

36. P. Hall, On non-strictly simple groups, Proc. Camb. Philos. Soc. 59, 531-533 (1963).

37. P. Hall, The Frattiny subgroups of finitely generated groups, Proc. London Math. Soc'., (3) 11 (1961), 327-352.164 ЛИТЕРАТУРА

38. P. Hall, On the embedding of a group into a join of given groups, J. Austral. Math.Soc.,17 (1974), 434-495. • .

39. H. Heineken, J. C. Lennox, The subnormal embedding of complete groups, J. Algebra, 90.(1984), 435-445.

40. H. Heineken, P. Soules, The subnormal embedding of complete groups, J. Austral. Math. Soc. (Series A) 45 (1988), 389-400.

41. H. Heineken, Normal embeddings of p-groups into p-groups, Proc. Edinburgh Math. Soc. 35 (1992) , 309-314.

42. H. Heineken, On normal embedding of subgroups., Geom. Dedicata 83, No.1-3, 211-216 (2000).

43. G. Higman, B. Neumann, Hanna Neumann, 'Embedding theorems for groups', J. London Math. Soc. 3 24, (1949), 247-254.

44. G. Higman, A finitely related group with an isomorphic proper factor group, J. London Math. Soc. 26 (1951), 59-61.

45. G. Higman, Some remarks on varieties of groups, Quart. J. Math. Oxford, (2) 10 (1959), 165-178.

46. H. Hopf, Beitrage zur Klassifizierung der Flàchenabbildungen, J. Reine Angew. Math. 1965 (1931), 225-236.

47. O. Holder, Bildung zusammengesetzter Gruppen, Math. Ann., 46 (1895), 312-422.

48. L. Kaloujnine, M. Krasner, Produit complete des groupes de permutations et le problème d'extension des groupes. Ill, Acta Sci. Math. Szeged, 14 (1951), 69-82.

49. М.И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, 4е издание , (1996). МЛ. Kargapolov, Ju. I. Merzlyakov, Fundamentals of the Theory of Groups, English translation of the second edition by R. G. Burns, Springer-Verlag, New York (1979).

50. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп, 14-е издание, под ред. Мазурова В.Д., Хухро Е.В. Сибирское отделение РАН, Институт математики, Новосибирск, 1999.

51. L. G. Kovâcs, В. Н. Neumann, An embedding theorem for some countable groups, Acta Sci. Math. (Szegel) 26 (1965), 139-142.

52. L. G. Kovâcs, В. H. Neumann, On non-Cross varieties of groups, J. Austral. Math. Soc., 12 (1971), 2, 129-144.

53. A. G. Kuros, The Theory of Groups, third edition, Nauka, Moscow (1967) (Russian). English translation of the second edition by K. A. Hirsch, Chalesa, New York (1960)ЛИТЕРАТУРА

54. F. W. Levi, Ordered groups, Proc. Indian Acad. Sci., 16 (1942), 256-263.

55. F. W. Levi, Contributions to the theory of ordered groups, Proc. Indian Acad. Sci., 17 (1943), 199-201.

56. F. Levin, G. Rosenberger, A class of SQ-universal groups, Group theory (Singapore, 1987), 409-415, de Gruyter, Berlin-New York, 1989.

57. H. Licbeck, Concerning nilpotent wreath products, Proc. Cambridge Phil. Soc., 58 (1962), 443-451.

58. R. C. Lyndon, P. E. Schupp, Combinatorial Group Theory, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York (1977).

59. А. И. Мальцев, Об изоморфном, представлении бесконечных групп матрицами, Мат. Сб. 28 (1940), 405-422.

60. А. И. Мальцев, Нильпотентные группы без кручения, Изв. АН СССР, Сер. мат., 25 (1949), 201-212.

61. D. W. Miller, On a theorem of Holder, Amer. Math. Monthly, 65 (1958), 4, 252-254

62. C. F. Miller, P. E. Schupp, On embeddings into Hopfian groups, J. Algebra 17 (1971), 171-176.

63. В. H. Neumann, On ordered groups, Amer. J. Math., 71 (1949), 1-18.

64. В. H. Neumann, A two-generator group isomorphic to a proper factor group, J. London Math. Soc. 25 (1950), 247-248.

65. В. H. Neumann, 'Embedding theorems for ordered groups', J. London Math. Soc. 35 (1960), 503-512.

66. P. M. Neumann, On the structure of standard wreath products of groups, Math. Z., 84 (1964), 343-373.

67. В. H. Neumann, 'Embedding theorems for groups', Nieuw Arch. Wisk. (3) 16 (1968), 73-78.

68. В. H. Neumann, Embedding theorems for groups. Nieuw Arch. Wisk. (3) 16 (1968), 73-78.

69. В. H. Neumann, On a problem of Hopf, J. London Math. Soc. 28 (1953), 351-353.

70. В. H. Neumann, An essay on free products of groups with amalgamations, Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 246 (1954), 503-554.

71. В. H. Neumann, Hanna Neumann, 'Embedding theorems for gioups', J. London Math. Soc. 34 (1959), 465-479.

72. Hanna Neumann, Varieties of Groups, Springer-Verlag, Berlin (1967).

73. А. Ю. Ольшанский, О проблеме конечного базиса тождеств в группах, Изв. АН СССР. Сер. матем., 34 (1970), 376-384.

74. А. Ю. Ольшанский, Разрешимые почти-кроссовы многообразия групп, Матем. сб., 85(127): 1(5) (1971), 115131.

75. А. Ю. Ольшанский, Вложения счетных периодических групп в простые 2-порожденные периодические группы, Украинский мат. журнал, 43 (1991), 7-8, 980-986.

76. Б. И. Плоткин, К теории локально нипъпотентных групп, ДАН СССР 29 (1965), 149170.

77. Б. И. Плоткин, Обобщенные разрешимые и обобиценные нипъпотентные группы, УМН, сер. матем. 13 (1958), 89-172.

78. D. J. S. Robinson, Finitcness Conditions and Generalized Soluble Groups, SpringerVerlag, Berlin, (1972).

79. D. J. S. Robinson, Recent results of finite complete groups, in Algebra Carbondale 1980, Lecture Notes in Math. 848, Springer-Verlag, Berlin (1981), 178-185.

80. D. J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, second edition, Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg (1996).

81. P. E. Schupp, A note on non-Hopfian groups, J. London Math. Soc. (2) 16 (1977), 235-236.

82. A. JI. Шмелькин, Свободные полинилъпотентные группы, Изв. АН СССР. Сер. матем. 28:1 (1964), 91122.

83. А. Л. Шмелькин, Сплетения и многообразия групп, Изв. АН СССР, сер. матем. 29 (1965), 149-170.

84. J. S. Wilson, P. A. Zalesskii, An embedding theorem for certain residually finite groups, Arch. Math. (Basel) 67 (1996), no. 3, 177-182.