Группы, содержащие элемент, перестановочный лишь с конечным числом сопряженных с ним элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Кисляков, Валерий Евгеньевич

• Кисляков, Валерий Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кисляков, Валерий Евгеньевич

Введение.

1 Основные понятия и предварительные результаты

1. Элементы теории графов. и

2. Энгелевы элементы в группе.

3. Условия, при которых группа будет черниковской

4. Черниковские автоморфизмы.

2 Строение локально конечного графа в бесконечных группах

1. Конечность связных компонент.

2. Группы с инволюциями.

3. Доказательство теоремы 6.

4. Пример бесконечного связного локально конечного графа.

3 Локально нильпотентные группы

1. Доказательство теоремы 11.

2. Действие на абелевой нормальной подгруппе.

3. Локально-конечные р-группы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Группы, содержащие элемент, перестановочный лишь с конечным числом сопряженных с ним элементов»

Ситуация, когда некоторый элемент а группы С перестановочен лишь с конечным числом сопряжённых с ним элементов в теории групп встречается как критическая при построении бесконечной абелевой подгруппы в (7. В диссертации эту ситуацию мы рассматриваем как одно из условий конечности для бесконечных групп. Оно выполняется в группах, которые удовлетворяют давно и успешно применяемым условиям конечности. Таким, например, как конечность централизатора элемента Сс{а). Для таких групп получены известные результаты [3], которые мы используем в диссертации. Наше условие дает более слабое ограничение на строение группы и получить с помощью него аналогичные результаты, скорее всего, невозможно.

Пусть а — РС-элемент группы (7, т.е. |(7 : Сс{а)| < оо. Ясно, что тогда а перестановочен лишь с конечным числом сопряжённых с ним элементов. Для некоторых классов групп справедливо обратное утверждение (например, для конечно порождённых нильпотентных групп, следствие 1). Поэтому вопрос о том, когда элемент а, для которого | С с (о) П а°\ < оо является .РС-элементом относится к задачам для наших дальнейших исследований.

Более близкое условие конечности ввёл В.П.Шунков в своей статье [14]. Пусть а есть конечно вложенная инволюция в группе (7, т.е. множество дСс{а) П аРаР конечно для всех д £ С. Нетрудно увидеть, что тогда и множество Сс(а) П а° будет конечно. Обратное утверждение в общем случае неверно. Изучение взаимосвязей этих двух условий относится к сфере наших будущих исследований.

Впервые, насколько мы смогли выяснить, группы содержащие инволюцию перестановочную лишь с конечным числом спряжённых с ней инволюций рассматриваются в работе С.П. Стрункова [11]. Здесь доказывается аналог известной теоремы Брауэра-Фаулера о конечности числа конечных простых групп с заданным централизатором инволюции в классе бесконечных периодических групп. Позже в [9] издан вопрос С.П. Стрункова:

11.95 Верно ли, что р-группа С, содержащая элемент а порядка р, для которого подгруппа (а, а9) конечна при любом д и множество Сд{о) П оР конечно, имеет нетривиальный центр?

Этот вопрос на сегодняшний день нерешён и является одной из задач для наших дальнейших исследований.

Обратимся теперь к вопросу, решению которого посвящена наша работа. Пусть группа С содержит элемент а такой, что множество Со{а)С\аР конечно. Определим граф перестановочности С(С,Х) со множеством вершин X — аР. Две вершины ж, у £ X, х ^ у соединены ребром тогда и только тогда, когда ху = ух. Определённый таким образом граф С(С, X) является локально конечным неориентированным графом без петель и кратных рёбер, а группа Сг — вершинно-транзитивной группой автоморфизмов графа Понятие графа перестановочности привлекает внимание многих современных исследователей в теории конечных групп (см., например, [2] -одна из последних работ на эту тему). В теории бесконечных групп автору подобные исследования неизвестны.

Понятие связности есть одно из основных геометрических свойств в теории графов. Граф называется связным, если любые две его вершины связывает путь. Если граф несвязен, то его максимальный связный подграф называется связной компонентой графа. Логично начать изучение локально конечного графа перестановочности C(G,X) с вопроса о его связности. Вопрос, исследованию которого посвящена диссертация, был предложен автору В.В.Беляевым: будут ли конечны связные компоненты локально конечного графа перестановочности C(G, X)?

Изучение связных компонент опирается на известные свойства групп автоморфизмов связных локально конечных графов. Здесь мы используем работу В.И.Трофимова [12]. Стабилизатор вершины такого графа является инертной подгруппой. Подгруппа Н группы G называется инертной, если для всех д £ G индекс |Н : Н П Нд| конечен. Понятие инертной подгруппы в изучаемой нами ситуации переводит на теоретико-групповой язык такие геометрические свойства графа как связность и локальная конечность. В диссертации получены следующие положительные решения вопроса:

Теорема 2. Пусть G — группа, X С G — класс сопряжённых элементов, C(G,X) — локально конечный граф и имеет место одно из утверждений:

1. G — локально конечная группа;

2. G — группа без кручения;

3. G — метабелева группа;

4- G — локально нильпотентная группа. Тогда связные компоненты графа (G, X) конечны.

Доказательство теоремы приводится в параграфе 2.1. В дальнейшем планируется продолжить исследование связных компонент локально конечного графа перестановочности в других классах групп: полициклические группы, разрешимые группы, почти нильпотентные группы, бесконечные р - группы.

Для групп, содержащих инволюции, доказана

Теорема 3. Пусть — группа, X С С? — класс сопряжённых инволюций, С(С, X) — локально конечный граф, Г — некоторая его связная компонента. Если любые две вершины Г порождают конечную группу, то подгруппа порождённая множеством всех вершин Г локально конечна.

С помощью теоремы 3 установлена конечность связных компонент для локально конечного графа С((7, X) без треугольников, теорема 4, а также в случае, когда Оо(а) содержит конечное число инволюций, теорема 5. Результаты для групп с инволюциями доказываются в параграфе 2.2. Заметим также, что в [14] для конечно вложенной инволюции а из группы С, которая с каждой сопряжённой ей инволюцией порождает конечную группу, доказана периодичность подгруппы (а°) [14, следствие 3].

Следующим основным результатом диссертации является

Теорема 6. Пусть С? — группа, I С (? - класс сопряжённых элементов, — локально конечный граф и Г — его некоторая связная компонента. Если любые две вершины Г порождают нильпотентную группу, то подгруппа порождённая всем множеством вершин Г локально нильпотентна.

Для случаев, когда подгруппа порождённая множеством вершин связной компоненты не имеет кручения (теорема 8) или конечнопорождена (теорема 9) из теоремы б следует конечность связных компонент. Доказательство теоремы б приводится в параграфе 2.3.

В такой общей постановке вопрос о конечности связных компонент имеет отрицательное решение. Идею построения бесконечного связного локально конечного графа перестановочности автору сообщил В.И.Трофимов. Этот контрпример построен на сопряжённом классе инволюций в группе автоморфизмов дерева валентности 3 и приводится в параграфе 2.4 второй главы диссертации.

Итак, в группе возможно ввести структуру бесконечного локально конечного коммутирующего графа. У В.И. Трофимова в [9] есть следующая гипотеза:

12.87 Пусть Г — связный неориентированный граф без петель и кратных рёбер, группа АиЬ(Т) автоморфизмов которого действует транзитивно на вершинах. Верно ли, что справедливо хотя бы одно из следующих трёх утверждений?

1. Стабилизатор вершины графа Г в группе АиЬ{Г) конечен.

2. Действие группы АиЬ(Т) на множестве вершин графа Г обладает нетривиальной системой импримитивности а с конечными блоками, для которой стабилизатор вершины фактор - графа Т/а в АиЬ(Г/а) конечен.

3. Существует такое натуральное число п, что граф Г", полученный из Г добавлением рёбер, соединяющих различные вершины, расстояние между которыми в Г не превосходит п, содержит дерево валентность каждой вершины которого равна 3.

Представляет интерес исследование этой гипотезы для групп, содержащих класс сопряжённых элементов на котором можно задать структуру бесконечного связного локально конечного графа перестановочности.

Последняя третья глава диссертации посвящена исследованию ситуации теоремы 6. Здесь рассматриваются локально нильпотентные группы, содержащие элемент, перестановочный с конечным числом сопряжённых с ним элементов. В параграфе 3.1 доказывается следующий основной результат.

Теорема 11. Локально нилъпотентная группа С, содержащая неединичный элемент а перестановочный лишь с конечным числом сопряжённых с ним элементов, имеет неединичную абелеву нормальную подгруппу.

Локально нильпотентные группы не всегда содержат абелевы нормальные подгруппы. Теорема 11 даёт один из признаков их существования. С I другой стороны, теорема 11 позволяет построить изучение строения группы (7 по известной схеме: через исследование связей с абелевыми подгруппами. Для описания действия элемента, перестановочного с конечным числом сопряжённых с ним элементов на периодической абелевой нормальной подгруппе в диссертации вводится понятие черниковского автоморфизма (параграф 1.4 первой главы). В параграфе 3.2 строится нильпотентная группа автоморфизмов, действующая на периодической абелевой группе и доказывается

Теорема 14. Пусть элемент а локально нильпотентной группы С имеет конечный порядок, перестановочен лишь с конечным числом сопряжённых с ним элементов и порядки всех коммутаторов вида а~1д~1ад ограничены в совокупности. Тогда нормальное замыкание (аР) — нилъпотентная группа.

В параграфе 3.3 исследуется ситуация теоремы 6 в случае, когда любые два элемента связной компоненты локально конечного графа порождают конечную р - группу. Тогда подгруппа порождённая множеством всех вершин связной компоненты будет локально конечной р - группой (следствие 5). В локально конечной р-группе действие элемента, перестановочного с конечным числом сопряжённых с ним элементов на абелевой нормальной р-группе описывается с помощью понятия финитарного автоморфизма, недавно введённого в статье [4]. В теореме 16 доказывается, что подгруппа, порождённая множеством всех вершин связной компоненты, вкладывается в фиттингову группу автоморфизмов абелевой нормальной р-группы.

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре «Теория групп» в Новосибирском государственном университете, 1994 г., на семинаре «Алгебра и логика», г. Новосибирск, 1997 г., на всеукраинской научной конференции «Разработка и применение математических методов в научно - технических исследованиях», 1995 г., на Международной алгебраической конференции в Санкт - Петербурге, 1997 г., на «Мальцевских чтениях 2010», г. Новосибирск, на Международной конференции «Алгебра, логика и приложения» в Сибирском федеральном университете, г. Красноярск, 2010 г., на Алгебраическом семинаре в Институте математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, 2010 г.

Основные результаты диссертации опубликованы в [15 — 20].

Работа над диссертацией была поддержана Госкомитетом РФ по высшему образованию, РФФИ грант 94-01-01084 и грант 10-01-00509.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кисляков, Валерий Евгеньевич, 2010 год

1. Kegel О.Н., Wehrfritz B.A.F., Locally finite groups. North Holland, Amsterdam, 1973.

2. Bates C., Bundy D., Hart S., Rowley P. A note on commuting graphs for symmetric groups//The Electronic Journal of Combinatorics. 2009. №16.

3. Беляев В.В. Группы с почти регулярной инволюцией//Алгебра и логика. 1987. Т.26, №5. С.531-535.

4. Беляев В.В.,Швед Д.А. Финитарные автоморфизмы групп// Труды Института математики и механики УрО РАН. 2009. Т. 15, №2. С.50-57.

5. Гаген Т.М. Некоторые вопросы теории конечных групп// в книге: К теории конечных групп (Математика. Новое в зарубежной науке,16),М.: Мир, 1979. С. 13 97.

6. Горенстейн Д.Конечные простые группы.М.:Мир,1985.

7. Горчаков Ю.М. Группы с конечными классами сопряжённых элементов. М.: Наука, 1978.

8. Каргаполов М.И.,Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.:Наука, 1982.

9. Коуровская тетрадь, Новосибирск, 2006.

10. Плоткин Б.И. Группы автоморфизмов алгебраических систем. М.: Наука, 1966.

11. Струнков С.П. Об одном аналоге теоремы Брауэра-Фаулера// Успехи математических наук. 1985.Т. 40, №6(246). С. 155-156.

12. Трофимов В.И. Действие группы на графе// Известия Академии Наук СССР, Серия Математика. 1986. Т. 50, №5. С.429-447.

13. Черников Н.С. О локально конечных группах с условием min — p //в книге: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы. Киев. ИМ АН Украины, 1993.

14. Шунков В.П. Группы с конечно вложенной инволюцией// Алгебра и логика. 1990. Т.29, №1. С. 102-123.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

15. Кисляков В.Е. Группы, содержащие элемент, перестановочный с конечным числом сопряжённых с ним элементов//Алгебра и логика. 1996. Т.35, №5. С.543-551.

16. Кисляков В.Е. Группы, содержащие элемент, перестановочный с конечным числом сопряжённых с ним элементов//Алгебра и логика. 1998. Т.37, №6. С.637-650.

17. Кисляков В.Е. Локально нильпотентные группы, содержащие элемент, перестановочный лишь с конечным числом сопряжённых с ним элементов// Сибирский математический журнал. 2010. №6. (в печати).

18. Кисляков В.Е. Группы, содержащие элемент, перестановочный с конечным числом сопряжённых с ним элементов//Международная алгебраическая конференция. Тезисы докладов. Санкт-Петербург. 1997.

19. Кисляков В.Е. Пример бесконечного коммутирующего связного локально конечного графа//Международная конференция. Тезисы докладов. Красноярск. 2010. С.46.

20. Кисляков В.Е. О коммутирующем локально конечном графе в бесконечной группе//Международная конференция. Тезисы докладов. Красноярск. 2010. С.47.С.211.